3.2 菱形 课件3(湘教版八年级下)
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八年级下册数学课件(湘教版)菱形的判定
练一练
如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB， AB=2，求平行四边形ABCD的周长.
解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠DAC=∠ACB，∠BAC=∠ACD， ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC=∠BAC， ∴∠DAC=∠ACD， ∴AD=DC， ∴四边形ABCD为菱形， ∴四边形ABCD的周长=4×2=8．
证一证 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形,对角线AC 与BD相交于点O ，AC⊥BD.
求证：□ABCD是菱形.
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形.
B
∴OA=OC.
O
又∵AC⊥BD,
A
C
∴BD是线段AC的垂直平分线.
D
∴BA=BC.
∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.
归纳总结
平行四边形的判定定理：
4.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC, CE ∥BD.求证：四边形OCED是菱形.
证明：∵DE∥AC，CE∥BD， A
D
∴四边形OCED是平行四边形.
O
E
∵四边形ABCD是矩形，
B
C
∴OC=OD，
∴四边形OCED是菱形．
5.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点
D，交AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE、
AC AB2 BC2 62 82 10cm.
∴AC＝DF＝AD＝CF＝10cm， ∴四边形ACFD是菱形．
归纳 四边形的条件中存在多个关于边的等量关系 时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较 方便．
例3 如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四
边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形.
湘教版八年级数学下册教学课件(XJ) 第2章 四边形 菱形的性质
做一做：把图中的菱形ABCD沿直线DB对折，点A的像是______， 点C的 像是_点__C__， 点D的像是_____，点点BA的像是_____，边AD的点像B是_____，边
CD的像是__点__D_， 边AB的像是_____，边边CCDB的像是_____.
边AD
边CB
边AB
想一想：你能得到什么结论？ 菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴.
B
(2)AC⊥BD；AO NhomakorabeaC
∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
D
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB = CD，AD = BC（菱形的对边相等）. 又∵AB=AD, ∴AB = BC = CD =AD.
（2）∵AB = AD, ∴△ABD是等腰三角形.
(1)求OC的长； (2)求四边形OBEC的面积．
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD. 在直角△OCD中，由勾股定理得OC＝4cm； (2)∵CE∥DB，BE∥AC， ∴四边形OBEC为平行四边形. 又∵AC⊥BD，即∠COB＝90°， ∴平行四边形OBEC为矩形. ∵OB＝OD＝3cm， ∴S矩形OBEC＝OB·OC＝3×4＝12(cm2)．
练一练
如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的
高DE为（ ）
B
A.2.4cm B.4.8cm C.5cm D.9.6cm
当堂练习
1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
C
A.对角相等
B.对边相等
C.对角线互相垂直
D.对角线相等
2.如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABD的周长等于
湘教版八下3.2《菱形》课件之一
湘教版八下3.2《菱形》
探究菱形的定义、性质、应用，以及多边形相关知识和实际应用场景。
什么是菱形？
定义
菱形由四条边相等的平行四边形组成，对角线相交 于垂直平分线。
差异
虽然正方形是菱形的一种，但两者的对角线分别垂 直平分线和相互平分角，也有所区别。
与平行四边形的关系
菱形是特殊的平行四边形，也可以看作是对某个平 行四边形做了一次对称变换。
到。
3
数学证明
经常作为证明几何问题的基础，用于推 导如三角形垂心、垂线定理等结论。
实例分析：梯形房屋屋顶的计算方法
类型 上底边 下底边 高 对角线1 对角线2
边长 3 5
角度 60° 120°
150° 30°
对角线交点距离
面积
2
梯形的上、下底边分别对应菱形的两个交错边，通过旋转一个菱形上下两边展开为两个梯形体进行计算，最后 合并得到梯形房屋屋顶面积。即：(3+5)/2 x √(2²-((5-3)/2)²) = 7.348。
菱形的性质
对角线关系
两条对角线相等，且互相平 分。
角度关系
任意一边对应的两个角相等， 且相邻两个角互补。
边长关系
菱形的四条边等长，但不一 定与邻边垂直。
菱形的应用
1
建筑结构
在建筑中可用于营造较为稳定和节约空
制图工具
2
间的结构形式。
绘制用途广泛的道路标志、地图符号等，
在地理信息系统（GIS）软件中也常被用
拓展阅读
多边形的相关知识
了解三角形、四边形、多边形等不同几何图形的定 义、性质和应用，深入了解几何学。
实际应用场景
探究几何图形的在现实世界中的用途，如航空运输、 建筑设计、工业加工等。
探究菱形的定义、性质、应用，以及多边形相关知识和实际应用场景。
什么是菱形？
定义
菱形由四条边相等的平行四边形组成，对角线相交 于垂直平分线。
差异
虽然正方形是菱形的一种，但两者的对角线分别垂 直平分线和相互平分角，也有所区别。
与平行四边形的关系
菱形是特殊的平行四边形，也可以看作是对某个平 行四边形做了一次对称变换。
到。
3
数学证明
经常作为证明几何问题的基础，用于推 导如三角形垂心、垂线定理等结论。
实例分析：梯形房屋屋顶的计算方法
类型 上底边 下底边 高 对角线1 对角线2
边长 3 5
角度 60° 120°
150° 30°
对角线交点距离
面积
2
梯形的上、下底边分别对应菱形的两个交错边，通过旋转一个菱形上下两边展开为两个梯形体进行计算，最后 合并得到梯形房屋屋顶面积。即：(3+5)/2 x √(2²-((5-3)/2)²) = 7.348。
菱形的性质
对角线关系
两条对角线相等，且互相平 分。
角度关系
任意一边对应的两个角相等， 且相邻两个角互补。
边长关系
菱形的四条边等长，但不一 定与邻边垂直。
菱形的应用
1
建筑结构
在建筑中可用于营造较为稳定和节约空
制图工具
2
间的结构形式。
绘制用途广泛的道路标志、地图符号等，
在地理信息系统（GIS）软件中也常被用
拓展阅读
多边形的相关知识
了解三角形、四边形、多边形等不同几何图形的定 义、性质和应用，深入了解几何学。
实际应用场景
探究几何图形的在现实世界中的用途，如航空运输、 建筑设计、工业加工等。
湘教版初中八年级数学下册 菱形(第2课时)课件ppt(优秀课件)
D
A
O
C
课件在线
4
B
用四支长度相等的圆珠笔（或铅笔）能摆成菱形吗？
四边都相等的四边形是菱形吗？ 是
如图，四边形ABCD的四条边都相等．四边形ABCD是 平行四边形吗？它是菱形吗？为什么？
是
是
根据菱形的定义
D
四条边都相等的四边形是菱形．
A
C
菱形的判定方法：
一组邻边相等的；
四条边都相等的四边形是课件菱在形线 ．
5
如图，直线l1∥l2，A，C分别是l1, l2上的点，使得AC与l1不垂直，线段
AC的垂直平分线与l1，l2，AC分别相交于点B，D，O，连结BC，DA，
试问：四边形 ABCD是菱形吗？为什么？
解 由于l1∥l2，因此∠1＝∠2
B
A
1
l1
由于BD是线段AC的垂直平分线，因此OA＝OC
∴ AB∥CD BC∥AD ∴ 四边形ABCD是平行四边形 又BD⊥AC OC＝OA ∴ BC=BA ∴ 四边形ABCD是菱形
B
A
1
l1
O
2 C
D
l2
课件在线
8
O
又有 ∠BOA＝∠DOC，
2 C
D
l2
所以 △OAB≌△OCD（ASA）
从而 OB＝OD
因此四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）
课件在线
6
1.画一菱形，使它的两条对角线长度分别为4cm,3cm. D
1.5
A
C
2
2
1.5
B
课件在线
7
2.在例2 中，你能用另外一种方法说明四边形ABCD是菱形吗？
D
A
O
C
课件在线
4
B
用四支长度相等的圆珠笔（或铅笔）能摆成菱形吗？
四边都相等的四边形是菱形吗？ 是
如图，四边形ABCD的四条边都相等．四边形ABCD是 平行四边形吗？它是菱形吗？为什么？
是
是
根据菱形的定义
D
四条边都相等的四边形是菱形．
A
C
菱形的判定方法：
一组邻边相等的；
四条边都相等的四边形是课件菱在形线 ．
5
如图，直线l1∥l2，A，C分别是l1, l2上的点，使得AC与l1不垂直，线段
AC的垂直平分线与l1，l2，AC分别相交于点B，D，O，连结BC，DA，
试问：四边形 ABCD是菱形吗？为什么？
解 由于l1∥l2，因此∠1＝∠2
B
A
1
l1
由于BD是线段AC的垂直平分线，因此OA＝OC
∴ AB∥CD BC∥AD ∴ 四边形ABCD是平行四边形 又BD⊥AC OC＝OA ∴ BC=BA ∴ 四边形ABCD是菱形
B
A
1
l1
O
2 C
D
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课件在线
8
O
又有 ∠BOA＝∠DOC，
2 C
D
l2
所以 △OAB≌△OCD（ASA）
从而 OB＝OD
因此四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）
课件在线
6
1.画一菱形，使它的两条对角线长度分别为4cm,3cm. D
1.5
A
C
2
2
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B
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7
2.在例2 中，你能用另外一种方法说明四边形ABCD是菱形吗？
D
湘教版八年级数学下册第二章《菱形的性质》公开课课件
菱形：是轴对称图形，对称轴是对角线所在的直线。
探究菱形的面积公式
A
B
EO
D
S菱形=BC. AE
C
思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利用对角
线能 计算菱形的面积公式吗?
1
S菱形ABCD = S△ABD+S△BCD = 2 AC×BD
为 什 么
?
菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半
合作探究：
⒈在菱形ABCD中，对角线AC、BD的长分别为a、b， AC、
的边长是 ，另一条对角线的长是 ．
5.以菱形ABCD的钝角顶点A引BC边的垂线，恰好平分BC，
则此菱形各角是
．
6.如图，菱形ABCD中，E是
D
AB的中点，且DE⊥AB，
（1）求∠ABD的度数
（2）若菱形的边长为2，求菱形的面积
AE
C B
7.如图，矩形ABCD对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥DB，
从而：AB=2.5（cm）
因此菱形ABCD的周长为：
4 2.5=10（cm）
课堂小结：
菱形的性质： （边）：对边平行、四边都相等． （角）：对角相等． （对角线）：对角线互相垂直平分，且平分各内角
同时菱形还是轴对称图形，它的对称轴有两条， 是两条对角线所在的直线，它是中心对称图形， 其对称中心，就是它两条对角线的交点．
1、相等的线段： AB=CD=AD=BC OA=OC OB=OD
A
1
2
7D
8
2、相等的角：
O
∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA
B
5 6
34
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°
C
∠1=∠2=∠3=∠4 ∠5=∠6=∠7=∠8
探究菱形的面积公式
A
B
EO
D
S菱形=BC. AE
C
思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利用对角
线能 计算菱形的面积公式吗?
1
S菱形ABCD = S△ABD+S△BCD = 2 AC×BD
为 什 么
?
菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半
合作探究：
⒈在菱形ABCD中，对角线AC、BD的长分别为a、b， AC、
的边长是 ，另一条对角线的长是 ．
5.以菱形ABCD的钝角顶点A引BC边的垂线，恰好平分BC，
则此菱形各角是
．
6.如图，菱形ABCD中，E是
D
AB的中点，且DE⊥AB，
（1）求∠ABD的度数
（2）若菱形的边长为2，求菱形的面积
AE
C B
7.如图，矩形ABCD对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥DB，
从而：AB=2.5（cm）
因此菱形ABCD的周长为：
4 2.5=10（cm）
课堂小结：
菱形的性质： （边）：对边平行、四边都相等． （角）：对角相等． （对角线）：对角线互相垂直平分，且平分各内角
同时菱形还是轴对称图形，它的对称轴有两条， 是两条对角线所在的直线，它是中心对称图形， 其对称中心，就是它两条对角线的交点．
1、相等的线段： AB=CD=AD=BC OA=OC OB=OD
A
1
2
7D
8
2、相等的角：
O
∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA
B
5 6
34
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°
C
∠1=∠2=∠3=∠4 ∠5=∠6=∠7=∠8
湘教版八下 3.2菱形 课件
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You made my day!
我们，还在路上……
八年级数学湘教版
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第三章 四边形
•
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3.2 菱 形
菱形
• 定义 • 菱形性质定理1 • 菱形性质定理2
菱形的定义：
有一组邻边相等的平行 四边形叫做菱形
1
菱形性质定理1 菱形的四条边都相等
2
菱形性质定理2
菱形的对角线互相垂直， 并且每一条对角线平分一 组对角
3
你会计算菱形的面积吗？
D
A
O
C
B
练一练
例题一 例 题二 例 题三
小结
1、菱形的定义 2、菱形的性质定理1 3、菱形的性质定理2
4、菱形的一条对角线把菱形分成 两个全等的等腰三角形；菱形的 两条对角线把菱形分成四个全等 的直角三角形
Байду номын сангаас
作业
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月2日星期三2022/3/22022/3/22022/3/2 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/22022/3/22022/3/23/2/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/22022/3/2March 2, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/22022/3/22022/3/22022/3/2
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第三章 四边形
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3.2 菱 形
菱形
• 定义 • 菱形性质定理1 • 菱形性质定理2
菱形的定义：
有一组邻边相等的平行 四边形叫做菱形
1
菱形性质定理1 菱形的四条边都相等
2
菱形性质定理2
菱形的对角线互相垂直， 并且每一条对角线平分一 组对角
3
你会计算菱形的面积吗？
D
A
O
C
B
练一练
例题一 例 题二 例 题三
小结
1、菱形的定义 2、菱形的性质定理1 3、菱形的性质定理2
4、菱形的一条对角线把菱形分成 两个全等的等腰三角形；菱形的 两条对角线把菱形分成四个全等 的直角三角形
Байду номын сангаас
作业
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月2日星期三2022/3/22022/3/22022/3/2 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/22022/3/22022/3/23/2/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/22022/3/2March 2, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/22022/3/22022/3/22022/3/2
【最新】湘教版八年级数学下册第二章《菱形的性质》公开课课件.ppt
3.2菱形的性质
观 察：
图形中有你熟悉的图形吗？
自主探究：
A
D
B C
什么叫菱形？它与平行四边形有什么关系？
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；
① AB=BC 四边形ABC将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚 线剪下，你发现这是什么图形？
合作探究：
已知菱形ABCD ，它有哪些性质？请
E
D
C
O
A
B
• 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2020/12/162020/12/16Wednesday, December 16, 2020
• 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2020/12/162020/12/162020/12/1612/16/2020 7:14:46 PM • 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2020/12/162020/12/162020/12/16Dec-2016-Dec-20 • 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2020/12/162020/12/162020/12/16Wednesday, December 16, 2020 • 13、志不立，天下无可成之事。2020/12/162020/12/162020/12/162020/12/1612/16/2020
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
观 察：
图形中有你熟悉的图形吗？
自主探究：
A
D
B C
什么叫菱形？它与平行四边形有什么关系？
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；
① AB=BC 四边形ABC将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚 线剪下，你发现这是什么图形？
合作探究：
已知菱形ABCD ，它有哪些性质？请
E
D
C
O
A
B
• 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2020/12/162020/12/16Wednesday, December 16, 2020
• 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2020/12/162020/12/162020/12/1612/16/2020 7:14:46 PM • 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2020/12/162020/12/162020/12/16Dec-2016-Dec-20 • 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2020/12/162020/12/162020/12/16Wednesday, December 16, 2020 • 13、志不立，天下无可成之事。2020/12/162020/12/162020/12/162020/12/1612/16/2020
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
湘教版八年级数学下册第二章《 菱形的性质》优质课课件
做一做
把图中的菱形ABCD沿直线DB对折（即作关于直线DB的 轴反射），点A的像是_C___,点C的像是__A____，点D的像 是_B___，点B的像是__D__，边AD的像是_C_B__，边CD的像 是__B_A_，边AB的像是__C_D_，边CB的像是_A_D_. D
A
O
C
B
从上述结果看出，在关于直线DB的轴反射下，菱形 ABCD的像与它自身重合.同理，在关于直线AC的轴反射下， 菱形ABCD的像与它自身重合.
•
动脑筋
如图，你能利用菱形的性质说明菱形ABCD的面积 S 1 AC•BD 吗？
2 ∵S菱形ABCD=S△ADC+S△ABC, 由AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），
∴S菱形ABCD=
1
2 AC·DC+
1
A2 C·BO
1
= 2 AC(DC+BO)
1
= 2 AC·BD.
菱形的面积等于 两条对角线长度乘 积的一半.
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O.
对角线AC⊥DB吗？你的理由是什么？
D
∵四边形ABCD是菱形，
A
O
C
∴DA=DC.
∴点D在线段AC的垂直平分线上.
B
又点O为线段AC的中点，
∴直线DO（即直线DB）是线段AC的垂直平分线，
∴AC⊥DB.
由此得到菱形的性质：
菱形的对角线互相平分.
因此，菱形ABCD的周长为 2.5 4 10(cm).
练习
1.菱形ABCD的两条对角线的交点为点O,已知AB＝5cm,OB＝3cm,求菱
形ABCD的两条对角线的长度以及它的面积．
解 ∵菱形ABCD的两条对角线互相垂直平分，
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菱形的定义、性质
菱形
2015-1-12
1
情 景 创 设
前面我们学习了平行四边形 和矩形，知道了如果平行四边形 有一个角是直角时,成为什么图形?
(矩形,由角变化得到)
如果从边的角度,将平行四边形特殊化, 又会得到什么特殊的四边形呢?
2015-1-12 2
在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅 改变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程 中，哪些关系没变？哪些关系变了？
9
C
2015-1-12
命题：菱形的对角线互相垂直平分， 并且每一条对角线平分一组对角；
已知：菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，如下图，
求证：AC⊥BD ；
AC平分∠BAD和∠BCD ；BD平分∠ABC和∠ADC
证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=AD（菱形的四条边都相等） 在△ABD中，
2015-1-12
23
四边形集合
平行四边形集合 菱形集合
矩形集合
2015-1-12
24
四、课堂小结：矩形和菱形的性质
矩形 定 有一个角是直角的平 义 行四边形 性 1、具有平行四边形的 一切性质 质 2、四个角都是直角 3、矩形的对角线相等 菱形 有一组邻边相等的平行 四边形 1、具有平行四边形的 一切性质 2、菱形的四条边都相 等 3、菱形的对角线互相 垂直，并且每一条对角 线平分一组对角
有同学是这样做的：将一张长方形的纸对 折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打 开即可.你知道其中的道理吗？
2015-1-12
7
(1)观察得到的菱形,它是中心对称图形吗? 它是轴对称图形吗?如果是，有几条对称轴? 对称轴之间有什么位置关系?
菱形是中心对称图形
A B D
菱形是轴对称图形
(2)从图中你能得到哪些 结论?并说明理由.
A
D
F E C
35
B
2015-1-12
A
D
B
F E
C
已知如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD 上的点，且∠B= ∠ EAF=60 , ∠ BAE=18, 求∠ CEF的度数.
2015-1-12 36
思考：已知：菱形中ABCD，∠A=72°, 请设计三种不同的分法，将菱形ABCD 分成四个三角形，使得每一个三角形都 是等腰三角形。
A E
3 12
F D C
21
B
2015-1-12
7、已知，菱形对角线长分别为12cm和 16cm，求菱形的高。 8、如图，E为菱形ABCD边BC上一点， 且AB=AE，AE交BD于O，且 ∠DAE=2∠BAE， A D 求证：EB=OA； O
B
2015-1-12
E
C
22
课堂反思
1.你的收获是什么？你的困惑是什么？ 2.你会用类比的学习方法学习特殊四边形知识 吗？
2015-1-12
37
提示:从边、角、对角线、 面积等方面来探讨
8
C
2015-1-12
菱形的性质：
菱形是特殊的平行四边形，具有平行四 边形的所有性质.
由于平行四边形的对边相等， 而菱形的邻边相等， 故： 菱形的性质1： 菱形的四条边都相等。 又：
A B
D
菱形的性质2：
菱形的两条对角线互相垂 直，并且每一条对角线平 分一组对角。
2015-1-12 27
菱形性质的应用
已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm 的菱形,其中对角线BD长10cm. 求:(1).对角线AC的长度; (2).菱形的面积
解:(1)∵四边形ABCD是菱形,
AE
∴∠AED=900, DE
1 1 BD 10 5cm . 2 2 AD2 DE 2 132 52 12cm.
解：∵四边形ABCD是菱形 A 4 O C
∴AC⊥BD
2 2 2 2
5
2
3
∴ OB AB OA 5 4 9B ∴OB=3 ∴ BD=2OB=6 cm
2015-1-12 20
有关菱形问题可转化为直角三角 形或等腰三角形的问题来解决
6 已知：如图，AD平分∠BAC， DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F． 求证：EF⊥AD；
A
D
O
C
又∵BO=DO ∴AC⊥BD，AC平分∠BAD B 同理： AC平分∠BCD； 2015-1-12 BD平分∠ABC和∠ADC
10
D
边
菱形的两组对边平行且相等 A
O B 数学语言
C
菱形的四条边相等
菱形的两组对角分别相等 ∵四边形ABCD是菱形
角
菱形的邻角互补
DCA= ∠ BCA ∠∠ ADC= ∠ ABC ∥ CD AB ∠ADB= ∠CDB 菱形的 两条对角线互相平分 ∠ABD=∠CBD AC⊥BD 对角线
A
B
O
D
C
2015-1-12 13
作
练习题 习题
业
1、2、 5、11、12
14
2015-1-12
例1变形
菱形ABCD的周长为16，相邻两角的度数 比为1：2．
⑴求菱形ABCD的对角线的长； ⑵求菱形ABCD的面积．
B C
2015-1-12 15
A O D
补充例题：已知如图，菱形ABCD中， E是AB的中点，且DE⊥AB，AB=1。 求（1）∠ABC的度数； （2）对角线AC、BD的长； （3）菱形ABCD的面积。
2015-1-12
≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA
△ABD≌△BCD
△ABC≌△ACD
18
A
D O C
1.已知菱形的周长是12cm，那 3cm 么它的边长是______. 2.菱形ABCD中∠ABC＝60度， 60度 则∠BAC＝_______.
B
D
3
3、菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm A，4 O 则菱形的边长是（ ）C
A E
F
D O C
33
B
2015-1-12
A
E
B
F
D
C
变式题（1）：菱形ABCD ,E、F分别ABCD 的中点，求证：CE=CF. （2）如果上题中还有CE⊥AB, CF⊥AD,求各内角的度数
2015-1-12 34
例3：如果菱形的一个角是1200，那么这 个角的顶点向两条对边所引的两条垂线分别 平分两边。
（2）：菱形ABCD的面积为96，对角线 AC长为16 ，此菱形的边长为 10 。 （3）:菱形对角线的平方和等于一边平方 （ C） A. 2倍 B. 3倍 C.4倍 D. 5倍
32
的
2015-1-12
例2：菱形ABCD中，对角线AC、BD相 交于点O，E、F分别是AB、AD的中点，求证： OE＝OF。
29
由此可进一步推导得出：对角线互相垂 直的四边形的面积都等于两条对角线乘积的 一半。
D B O A
2015-1-12
E
30
例1：如图，菱形ABCD的边长为4cm， ∠BAD＝2 ∠ABC。对角线AC、BD相交于点 O，求这个菱形的对角线长和面积。
A
D O C
31
B
2015-1-12
变式题（1）：菱形两条对角线长为6和8，菱形 的边长为 5 ，面积为 4 。
25
2015-1-12
如图，边长为a的菱形ABCD中，∠DAB=60 度，E是异于A、D两点的动点，F是CD上的动 点，满足AE+CF=a。
证明：不论E、F怎样移动，三角形BEF总是正 三角形。 F
D
C
E A
2015-1-12
B
26
例1、已知：AD是△ABC的角平分线，DE∥AC 交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：四边形 AEDF是菱形。 A F 1 2 变式训练：把本例中的 “DE//AC交AB于E， DF E ∥AB交AC于F”改成“EF垂 3 直平分AD”，其他条件不变， C 你能否证明四边形AEDF是 B D 菱形？
平行四边形 邻边相等
菱形
如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么 这个平行四边形成为怎样的四边形？
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形
AB=BC ABCD
2015-1-12
．
四边形ABCD是菱形
3
菱形的性质
2015-1-12
4
2015-1-12
5
2015-1-12
菱形就在我们身边
6
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准 确地剪出一个菱形的纸片？
∥ ∴ AD BC ∴ ∠ ∴ DAB+ ∠ DAC= ∠ ABC= ∠BAC 180° ∴ AB=BC=CD=DA ∴OA=OC;OB=OD ∠DAB= ∠ DCB ∴ =
=
菱形的两条对角线互相垂直平分， 并且每一条对角线平分一组对角。
2015-1-12
11
【菱形的面积公式】
A B 菱形是特殊的平行四边形, 那么能否利用平行四边形 面积公式计算菱形的面积吗? D
A
∴AC=2AE=2×12=24(cm). E B (2)菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△CBD的面积 =2×△ABD的面积
1 2 BD AE 2 1 2 10 12 120 cm 2 . 2
D
2015-1-12
C
28
三、课堂练习（复习巩固） 1、菱形的两条对角线长分别是6cm和 8cm，则菱形 的周长 ，面积 。 2、菱形的面积为24cm2,一条对角线的 长为6cm，则另一条对角线长为 ；边 长为 。 3、已知菱形的两个邻角的比是1：5，高 是 8cm，则菱形的周长为 。 4、已知菱形的周长为40cm，两对角线的 比为3：4，则两对角线的长分别 是 。
菱形
2015-1-12
1
情 景 创 设
前面我们学习了平行四边形 和矩形，知道了如果平行四边形 有一个角是直角时,成为什么图形?
(矩形,由角变化得到)
如果从边的角度,将平行四边形特殊化, 又会得到什么特殊的四边形呢?
2015-1-12 2
在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅 改变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程 中，哪些关系没变？哪些关系变了？
9
C
2015-1-12
命题：菱形的对角线互相垂直平分， 并且每一条对角线平分一组对角；
已知：菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，如下图，
求证：AC⊥BD ；
AC平分∠BAD和∠BCD ；BD平分∠ABC和∠ADC
证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=AD（菱形的四条边都相等） 在△ABD中，
2015-1-12
23
四边形集合
平行四边形集合 菱形集合
矩形集合
2015-1-12
24
四、课堂小结：矩形和菱形的性质
矩形 定 有一个角是直角的平 义 行四边形 性 1、具有平行四边形的 一切性质 质 2、四个角都是直角 3、矩形的对角线相等 菱形 有一组邻边相等的平行 四边形 1、具有平行四边形的 一切性质 2、菱形的四条边都相 等 3、菱形的对角线互相 垂直，并且每一条对角 线平分一组对角
有同学是这样做的：将一张长方形的纸对 折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打 开即可.你知道其中的道理吗？
2015-1-12
7
(1)观察得到的菱形,它是中心对称图形吗? 它是轴对称图形吗?如果是，有几条对称轴? 对称轴之间有什么位置关系?
菱形是中心对称图形
A B D
菱形是轴对称图形
(2)从图中你能得到哪些 结论?并说明理由.
A
D
F E C
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B
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A
D
B
F E
C
已知如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD 上的点，且∠B= ∠ EAF=60 , ∠ BAE=18, 求∠ CEF的度数.
2015-1-12 36
思考：已知：菱形中ABCD，∠A=72°, 请设计三种不同的分法，将菱形ABCD 分成四个三角形，使得每一个三角形都 是等腰三角形。
A E
3 12
F D C
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B
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7、已知，菱形对角线长分别为12cm和 16cm，求菱形的高。 8、如图，E为菱形ABCD边BC上一点， 且AB=AE，AE交BD于O，且 ∠DAE=2∠BAE， A D 求证：EB=OA； O
B
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E
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课堂反思
1.你的收获是什么？你的困惑是什么？ 2.你会用类比的学习方法学习特殊四边形知识 吗？
2015-1-12
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提示:从边、角、对角线、 面积等方面来探讨
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C
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菱形的性质：
菱形是特殊的平行四边形，具有平行四 边形的所有性质.
由于平行四边形的对边相等， 而菱形的邻边相等， 故： 菱形的性质1： 菱形的四条边都相等。 又：
A B
D
菱形的性质2：
菱形的两条对角线互相垂 直，并且每一条对角线平 分一组对角。
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菱形性质的应用
已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm 的菱形,其中对角线BD长10cm. 求:(1).对角线AC的长度; (2).菱形的面积
解:(1)∵四边形ABCD是菱形,
AE
∴∠AED=900, DE
1 1 BD 10 5cm . 2 2 AD2 DE 2 132 52 12cm.
解：∵四边形ABCD是菱形 A 4 O C
∴AC⊥BD
2 2 2 2
5
2
3
∴ OB AB OA 5 4 9B ∴OB=3 ∴ BD=2OB=6 cm
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有关菱形问题可转化为直角三角 形或等腰三角形的问题来解决
6 已知：如图，AD平分∠BAC， DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F． 求证：EF⊥AD；
A
D
O
C
又∵BO=DO ∴AC⊥BD，AC平分∠BAD B 同理： AC平分∠BCD； 2015-1-12 BD平分∠ABC和∠ADC
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D
边
菱形的两组对边平行且相等 A
O B 数学语言
C
菱形的四条边相等
菱形的两组对角分别相等 ∵四边形ABCD是菱形
角
菱形的邻角互补
DCA= ∠ BCA ∠∠ ADC= ∠ ABC ∥ CD AB ∠ADB= ∠CDB 菱形的 两条对角线互相平分 ∠ABD=∠CBD AC⊥BD 对角线
A
B
O
D
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作
练习题 习题
业
1、2、 5、11、12
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例1变形
菱形ABCD的周长为16，相邻两角的度数 比为1：2．
⑴求菱形ABCD的对角线的长； ⑵求菱形ABCD的面积．
B C
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A O D
补充例题：已知如图，菱形ABCD中， E是AB的中点，且DE⊥AB，AB=1。 求（1）∠ABC的度数； （2）对角线AC、BD的长； （3）菱形ABCD的面积。
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≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA
△ABD≌△BCD
△ABC≌△ACD
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A
D O C
1.已知菱形的周长是12cm，那 3cm 么它的边长是______. 2.菱形ABCD中∠ABC＝60度， 60度 则∠BAC＝_______.
B
D
3
3、菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm A，4 O 则菱形的边长是（ ）C
A E
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D O C
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B
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A
E
B
F
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C
变式题（1）：菱形ABCD ,E、F分别ABCD 的中点，求证：CE=CF. （2）如果上题中还有CE⊥AB, CF⊥AD,求各内角的度数
2015-1-12 34
例3：如果菱形的一个角是1200，那么这 个角的顶点向两条对边所引的两条垂线分别 平分两边。
（2）：菱形ABCD的面积为96，对角线 AC长为16 ，此菱形的边长为 10 。 （3）:菱形对角线的平方和等于一边平方 （ C） A. 2倍 B. 3倍 C.4倍 D. 5倍
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的
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例2：菱形ABCD中，对角线AC、BD相 交于点O，E、F分别是AB、AD的中点，求证： OE＝OF。
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由此可进一步推导得出：对角线互相垂 直的四边形的面积都等于两条对角线乘积的 一半。
D B O A
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E
30
例1：如图，菱形ABCD的边长为4cm， ∠BAD＝2 ∠ABC。对角线AC、BD相交于点 O，求这个菱形的对角线长和面积。
A
D O C
31
B
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变式题（1）：菱形两条对角线长为6和8，菱形 的边长为 5 ，面积为 4 。
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如图，边长为a的菱形ABCD中，∠DAB=60 度，E是异于A、D两点的动点，F是CD上的动 点，满足AE+CF=a。
证明：不论E、F怎样移动，三角形BEF总是正 三角形。 F
D
C
E A
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B
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例1、已知：AD是△ABC的角平分线，DE∥AC 交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：四边形 AEDF是菱形。 A F 1 2 变式训练：把本例中的 “DE//AC交AB于E， DF E ∥AB交AC于F”改成“EF垂 3 直平分AD”，其他条件不变， C 你能否证明四边形AEDF是 B D 菱形？
平行四边形 邻边相等
菱形
如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么 这个平行四边形成为怎样的四边形？
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形
AB=BC ABCD
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．
四边形ABCD是菱形
3
菱形的性质
2015-1-12
4
2015-1-12
5
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菱形就在我们身边
6
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准 确地剪出一个菱形的纸片？
∥ ∴ AD BC ∴ ∠ ∴ DAB+ ∠ DAC= ∠ ABC= ∠BAC 180° ∴ AB=BC=CD=DA ∴OA=OC;OB=OD ∠DAB= ∠ DCB ∴ =
=
菱形的两条对角线互相垂直平分， 并且每一条对角线平分一组对角。
2015-1-12
11
【菱形的面积公式】
A B 菱形是特殊的平行四边形, 那么能否利用平行四边形 面积公式计算菱形的面积吗? D
A
∴AC=2AE=2×12=24(cm). E B (2)菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△CBD的面积 =2×△ABD的面积
1 2 BD AE 2 1 2 10 12 120 cm 2 . 2
D
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C
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三、课堂练习（复习巩固） 1、菱形的两条对角线长分别是6cm和 8cm，则菱形 的周长 ，面积 。 2、菱形的面积为24cm2,一条对角线的 长为6cm，则另一条对角线长为 ；边 长为 。 3、已知菱形的两个邻角的比是1：5，高 是 8cm，则菱形的周长为 。 4、已知菱形的周长为40cm，两对角线的 比为3：4，则两对角线的长分别 是 。