热学 (4 第四章 气体内的输运过程)
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4-气体内的输运现象解析
时气体分子可以从容器的一壁出发，无碰撞地飞到
容器的另一壁。这种气体多处的状态称为真空。 真空是一个相对的概念，随着容器线度的减小，
形成真空态的压强值提高。真空容器中所包含的气
体是高度稀薄的气体，通常称为克努森气体，这种
气体流动称为分子流。
13
6) 单位体积内气体分子相互碰撞次数 假设分子是两两相碰的，单位体积内的分子相 互碰撞的总次数为 1 2 2 2 2 4kT Z AA nZ d v n d n
——分子的有效直径
碰撞时两分子质心距离的平均值称为分子的平均有 效直径d
4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2、分子的有效碰撞截面 当两分子质心之间垂直距离b<d 时，两分子发生碰撞。 d 2 2 d 4 ( ) 2 这里的σ就是弹性刚球的有效碰撞截面，是一个分 子截面的4倍。
5
二、平均自由程和平均碰撞频率
热运动分子之间 频繁碰撞，分子的运 动路径曲折复杂 分子在与其它分 子的相邻两次碰撞之 间所经历路程的平均 值为平均自由程 分子在单位时间内 与其它分子的平均碰 撞次数称为平均碰撞 频率
第4章 气体内的输运现象
4.1 气体分子碰撞和平均自由程 4.2 输运过程的宏观规律 4.3 气体输运现象的微观解释
1
§4.1 气体分子碰撞和平均自由程
气体分子之间的碰撞对于气体中发生的过程有
重要的作用，如在气体中建立分子按速率或速度分 布的麦克斯韦分布律，确立能量按自由度均分定理 等，都是通过气体分子的频繁碰撞加以实现并维持 的。因此，分子间的碰撞时气体中建立并维持平衡
Z 2d
2
kT 8kT p 2 4d p 2 2 d p m kT mkT
11
4-气体内的输运现象
N (0 ~ ) P ( ) 0 f ( )d N 物理意义：一个分子在自由飞行了距离后与其他分 子发生碰撞的概率。 N ( ~ ) 1 P ( ) f ( )d N 物理意义：一个分子在自由飞行了距离后仍未与其 他分子发生碰撞的概率。
d u n
2
先假设其它分子静止
2
平均碰撞频率为
Z 2d vn 2vn
10
3、分子的平均自由程 v 1 2 Z 2d n 讨论：
1 2n
1) 分子的平均自由程与分子的有效碰撞截面σ和分 子的数密度n成反比，与平均速率无关。 2) 平衡态下，对确定的气体，平均自由程和平均 碰撞频率有确定的值。 3) 用宏观量 p、T表示的平均碰撞频率和平均自由程：
6
一个分子在单位时间内和其他分子碰撞的次数 是偶然的、不可预测的。 平均自由程 和平均碰撞频率 Z ： 反映了分子间碰撞的频繁程度，是对大量分子、 多次碰撞的统计平均值。 二者关系：
v Z
7
1、分子间的相对运动速率 u 设分子运动速度满足麦克斯韦分布律，根据统计 规律，假设所有分子均以平均速率 v 运动。则分子
1 7 2.08 10 m 2 2d n
常温常压下，一个分子在一秒内平均要碰撞几十亿次， 可见气体分子之间的碰撞是多么的频繁！
15
三、有效碰撞截面的概率解释
如图所示的气体层。 一个分子以相对速度u沿x方向 入射气体层，层内其他分子看做 相对静止。问：
A
n
x
入射分子与气层内分子发生碰撞的概率有多大？
26
这也是为什么促使系统从非平衡态过渡到平衡
态的过程称为输运过程或内迁移过程的原因。 输运过程的特点：
（1）描述系统状态的宏观参量在空间的分布不随 时间改变的输运过程，称为稳定的输运过程，相 应系统状态为稳定态。 描述系统状态的宏观参量在空间的分布随时 间改变的输运过程，称为非稳定的输运过程，相 应系统状态为非稳定态。
d u n
2
先假设其它分子静止
2
平均碰撞频率为
Z 2d vn 2vn
10
3、分子的平均自由程 v 1 2 Z 2d n 讨论：
1 2n
1) 分子的平均自由程与分子的有效碰撞截面σ和分 子的数密度n成反比，与平均速率无关。 2) 平衡态下，对确定的气体，平均自由程和平均 碰撞频率有确定的值。 3) 用宏观量 p、T表示的平均碰撞频率和平均自由程：
6
一个分子在单位时间内和其他分子碰撞的次数 是偶然的、不可预测的。 平均自由程 和平均碰撞频率 Z ： 反映了分子间碰撞的频繁程度，是对大量分子、 多次碰撞的统计平均值。 二者关系：
v Z
7
1、分子间的相对运动速率 u 设分子运动速度满足麦克斯韦分布律，根据统计 规律，假设所有分子均以平均速率 v 运动。则分子
1 7 2.08 10 m 2 2d n
常温常压下，一个分子在一秒内平均要碰撞几十亿次， 可见气体分子之间的碰撞是多么的频繁！
15
三、有效碰撞截面的概率解释
如图所示的气体层。 一个分子以相对速度u沿x方向 入射气体层，层内其他分子看做 相对静止。问：
A
n
x
入射分子与气层内分子发生碰撞的概率有多大？
26
这也是为什么促使系统从非平衡态过渡到平衡
态的过程称为输运过程或内迁移过程的原因。 输运过程的特点：
（1）描述系统状态的宏观参量在空间的分布不随 时间改变的输运过程，称为稳定的输运过程，相 应系统状态为稳定态。 描述系统状态的宏观参量在空间的分布随时 间改变的输运过程，称为非稳定的输运过程，相 应系统状态为非稳定态。
气体分子平均自由程
分子的无引力的弹性刚球模型与理想气体微观模型相比，同样忽略了分
子间的引力，但考虑了分子斥力起作用时两个分子质心间的距离，即考虑了 分子的体积，而不象理想气体，忽略了分子本身的大小。
4
自由程 ： 分子两次相邻碰撞之间自由通过 的路程 .
5
气体分子平均自由程（mean free path） 平均自由程λ 为分子在连续两次碰撞之间所自 由走过的路程的平均值。
dN K exp( Kx)dx N0
18
由分子自由程的概率分布可求平均自由程 dN K exp( Kx)dx N0
1 K exp( Kx) xdx K 0
dN Kdx N
N Kdx Ln N
0 0
x
N N 0 exp( Kx )
17
N N 0 exp( Kx )
表示从 x =0 处射出了刚被碰撞过的N0个分子，它们 行进到 x 处所残存的分子数 N 按指数衰减。 对上式之右式两边微分，得到
既然（-dN ）表示 N0 个分子中自由程为 x 到x + dx 的平均分子数，则（-dN /N0 ）是分子的自由程在 x 到 x + dx范围内的概率。这就是分子自由程的概率分布。 即分子按自由程分布的规律。
Z 2 π d vn
2
v 1 2 z 2π d n
当气体较稀薄时
p nkT
1 T 一定时 p
kT 2π d 2 p
p 一定时
T
11
例 计算空气分子在标准状态下的平均自由程 10 和碰撞频率。取分子的有效直径 d 3.5 10 m 已知空气的平均相对分子量为29。 解： 标准状态下
子间的引力，但考虑了分子斥力起作用时两个分子质心间的距离，即考虑了 分子的体积，而不象理想气体，忽略了分子本身的大小。
4
自由程 ： 分子两次相邻碰撞之间自由通过 的路程 .
5
气体分子平均自由程（mean free path） 平均自由程λ 为分子在连续两次碰撞之间所自 由走过的路程的平均值。
dN K exp( Kx)dx N0
18
由分子自由程的概率分布可求平均自由程 dN K exp( Kx)dx N0
1 K exp( Kx) xdx K 0
dN Kdx N
N Kdx Ln N
0 0
x
N N 0 exp( Kx )
17
N N 0 exp( Kx )
表示从 x =0 处射出了刚被碰撞过的N0个分子，它们 行进到 x 处所残存的分子数 N 按指数衰减。 对上式之右式两边微分，得到
既然（-dN ）表示 N0 个分子中自由程为 x 到x + dx 的平均分子数，则（-dN /N0 ）是分子的自由程在 x 到 x + dx范围内的概率。这就是分子自由程的概率分布。 即分子按自由程分布的规律。
Z 2 π d vn
2
v 1 2 z 2π d n
当气体较稀薄时
p nkT
1 T 一定时 p
kT 2π d 2 p
p 一定时
T
11
例 计算空气分子在标准状态下的平均自由程 10 和碰撞频率。取分子的有效直径 d 3.5 10 m 已知空气的平均相对分子量为29。 解： 标准状态下
热力学-4.气体内的输运过程
. 输运系数的数量级 若已知气体分子的质量、有效直径(或碰撞
截面σ), 可以计算出在不同压强和温度条件下的 输运系数。
300K时N2的η =4.2×10-5Pa·s(实验:1.78×10-5Pa·s) 273K时Ar的κ =1.47×10-2W·m-1·K-1
(实验值1.67×10-2W·m-1·K-1)。
dz z0
D为扩散系数；(单位是米2/秒)
气体在非平衡态下的三种典型变化过程:
粘滞现象
——动量的传递
传热
——热量的传递
扩散
——质量的传递
三种输运现象宏观规律共同宏观特征:
它们都是由气体中的某一性质的不均匀分 布而引起的；
为了定量描述这不均匀性，分别采用了定 向流动的速率梯度、温度梯度和密度梯度；
第四章 气体内的输运过程
问题的提出
v 1.6 RT 470 m / s
讲台处的某类气体分子约需多长时间能 运动到你处？
t ~ 0.1秒 ??
矛盾
气体分子热运动平均速率高， 但气体扩散过程进行得相当慢。
设想下课后大家闭着眼睛往外走的情形…
分子速率虽高，但分子在运动中还要和 大量的分子碰撞。
2.69 10 25 m 3
(2)v 1.60 RT /
1.60 8.31 273 / 29 103 448 m s1
(3)Z 2 d 2 nv
1.41 3.14 (3.510 10 )2 2.69 10 25 448 6.54 10 9 s1
)
z0
dS
1 nmv
3
df
(
du dz
)
z0
气体内的输运过程
（内迁移、输运过程）
热传导：温度 T 不均匀 热的迁移； 内摩擦（粘滞）：定向速度u不均 输运过程 定向动量的迁移； 扩散：密度 不均匀 m的迁移。
热学
13
一、粘滞现象的宏观规律
1、层流 在流动过程中，相邻质点的轨迹线彼此仅稍有差别， 不同流体质点的轨迹线不相互混杂，这样的流动称 为层流。
由于分子的热运动，从而引起质量从密度大的区域 向密度小的区域迁移的现象。 d 1 2 ( z ) 密度梯度 2 dz
z z0
dM dS
表示气体的密度沿x 轴方向 的空间变化率。
在dt时间内，通过dS传递的质量
o
1
x
d dM D dSdt dz z0
热学
23
§3. 输运过程的微观解释
首先是气体分子的热运动 另一个重要原因就是分子间的碰撞。 一、粘滞现象的微观解释 气体黏性系数的导出
1 1 nmv或 v 3 3
讨论： 注意：*近平衡非平衡过程；
*气体既足够稀薄又不 太稀薄
1）、η 与n无关。 2）、 η仅仅是温度的函数。
热学
21
D 扩散系数
d dM D dSdt dz z0
' ' 表示扩散总沿减小的方向
1自扩散与互扩散 当物质中粒子数密度不均匀时，由于分子的热运动 使粒子从密度高的地方迁移到数密度低的地方的现象 称为扩散。 互扩散：发生在混合气体中，由于各成分的气体空间 分布不均匀，各成分分子均要从高密度区向低密度区 迁移的现象。 自扩散：是互扩散的一种特例
空气的平均分子量为29。
解： 已知 T 273K , p 1.0atm 1.013 105 Pa,
热传导：温度 T 不均匀 热的迁移； 内摩擦（粘滞）：定向速度u不均 输运过程 定向动量的迁移； 扩散：密度 不均匀 m的迁移。
热学
13
一、粘滞现象的宏观规律
1、层流 在流动过程中，相邻质点的轨迹线彼此仅稍有差别， 不同流体质点的轨迹线不相互混杂，这样的流动称 为层流。
由于分子的热运动，从而引起质量从密度大的区域 向密度小的区域迁移的现象。 d 1 2 ( z ) 密度梯度 2 dz
z z0
dM dS
表示气体的密度沿x 轴方向 的空间变化率。
在dt时间内，通过dS传递的质量
o
1
x
d dM D dSdt dz z0
热学
23
§3. 输运过程的微观解释
首先是气体分子的热运动 另一个重要原因就是分子间的碰撞。 一、粘滞现象的微观解释 气体黏性系数的导出
1 1 nmv或 v 3 3
讨论： 注意：*近平衡非平衡过程；
*气体既足够稀薄又不 太稀薄
1）、η 与n无关。 2）、 η仅仅是温度的函数。
热学
21
D 扩散系数
d dM D dSdt dz z0
' ' 表示扩散总沿减小的方向
1自扩散与互扩散 当物质中粒子数密度不均匀时，由于分子的热运动 使粒子从密度高的地方迁移到数密度低的地方的现象 称为扩散。 互扩散：发生在混合气体中，由于各成分的气体空间 分布不均匀，各成分分子均要从高密度区向低密度区 迁移的现象。 自扩散：是互扩散的一种特例
空气的平均分子量为29。
解： 已知 T 273K , p 1.0atm 1.013 105 Pa,
热学 (4 第四章 气体内的输运过程)
速度梯度和面积也可以直接测得； 于是，从公式可以算出
内摩擦系数。
C 小镜 B A
旋转黏度计
17
18
19
二、热传导现象的宏观规律 热传导 (heat conduction)
当系统内各部分的温度不均匀时，就有热量从 温度较高的地方传递到温度较低的地方，由于温差 而产生的热量传递现象。
傅立叶定律
dN
1
N0ex/ dx
13
§5-2 输运过程的宏观规律
一、黏性现象的宏观规律
当气体各层流速不同时，通过任一平行于流速的截面，相 邻两部分气体将沿平行于截面方向互施作用力，结果使得 流动慢的气层加速，使流动快的气层减速。这种相互作用 力称为内摩檫力，也叫做粘滞力。这种现象称为内摩檫现 象，也叫做黏性现象。
5）、采用不同近似程度的各种推导方法的实质是
相同的。
31
理性气体内部压强的微观解释
从微观的角度看来, 理想气体内部的压强 实质上是由于垂直于截面方向的热运动 动量交换引起的
1 n dSdt
2m
6
dK 1 n dSdt2m
6
p dK 2 n(1 m 2 )
dSdt 3 2
32
二、热传导现象的微观解释
并且单位体积中各有 n 的分子沿 + z, - z
方向运动。
6
27
这样,在dt 时间内,从 dS一侧跑到另一侧 的分子数为
dN 1 n v dt dS 6
z
z0
z0
z0
u u0
pz
dS
pz
x
u0
（2）假设分子越过 dS 面之前都是在离 dS 面距离
内摩擦系数。
C 小镜 B A
旋转黏度计
17
18
19
二、热传导现象的宏观规律 热传导 (heat conduction)
当系统内各部分的温度不均匀时，就有热量从 温度较高的地方传递到温度较低的地方，由于温差 而产生的热量传递现象。
傅立叶定律
dN
1
N0ex/ dx
13
§5-2 输运过程的宏观规律
一、黏性现象的宏观规律
当气体各层流速不同时，通过任一平行于流速的截面，相 邻两部分气体将沿平行于截面方向互施作用力，结果使得 流动慢的气层加速，使流动快的气层减速。这种相互作用 力称为内摩檫力，也叫做粘滞力。这种现象称为内摩檫现 象，也叫做黏性现象。
5）、采用不同近似程度的各种推导方法的实质是
相同的。
31
理性气体内部压强的微观解释
从微观的角度看来, 理想气体内部的压强 实质上是由于垂直于截面方向的热运动 动量交换引起的
1 n dSdt
2m
6
dK 1 n dSdt2m
6
p dK 2 n(1 m 2 )
dSdt 3 2
32
二、热传导现象的微观解释
并且单位体积中各有 n 的分子沿 + z, - z
方向运动。
6
27
这样,在dt 时间内,从 dS一侧跑到另一侧 的分子数为
dN 1 n v dt dS 6
z
z0
z0
z0
u u0
pz
dS
pz
x
u0
（2）假设分子越过 dS 面之前都是在离 dS 面距离
第四章 气体内的输运过程补充 大学物理热学部分PPT
3）当任一分子在运动过程中于某地只经受一次碰 撞就会失掉它原来的运动特性，在受碰处被当 地的分子完全“同化”。
1.dt 时间内沿z轴向上和向下穿过ds面的分子数目 dN↑和dN↓
❖气体中处于ds面上方的部分为A，下方的为B，两部
分子的数密度和平均速率分别为nA、nB和 v A 、v B ，于
是
Z
dN
1. 思路与准备
• 模型中的一些假设：
1）把分子看成是彼此无吸引力的刚性小球，都以 平均速率而运动。
2）将系统中的分子等分为三队，各自平行于x轴、 y轴、z轴运动；每一队又等分为两小队，各自 沿坐标轴的正、负方向运动。(输运过程与平衡 态偏离不大 ，平衡态下分子热运动及碰撞的一 些结果都可直接采用)
处的分子热运动平均能量 z0 ；由B部沿z轴向上穿过ds
的分子携带 z0 处的平均能量 z0 。所以，A、B两部
每交换一对分子通过ds沿z轴正方向净输运的热量为：
z0
z0
依据能量按自由度均分定理
z0
i 2kTz0
z0
i
k 2
T
z0
i是分子热运动的自由度。
于是
z0
第四章 气体内的输运过程
补充
输运过程的微观解释
The microscopic explanations of transportation processes
1.思路与准备 2.粘滞现象的微观解释 3. 热传导现象的微观解释 4. 扩散现象的微观解释 5. 输运过程简单微观理论与实验的比较 6. 对简单理论的改进
dkm(u u )
z0 z0
定向流速u的下标表示相应气层的空间位置。利用在z0 处定向流动的速率梯度，可写出
du
1.dt 时间内沿z轴向上和向下穿过ds面的分子数目 dN↑和dN↓
❖气体中处于ds面上方的部分为A，下方的为B，两部
分子的数密度和平均速率分别为nA、nB和 v A 、v B ，于
是
Z
dN
1. 思路与准备
• 模型中的一些假设：
1）把分子看成是彼此无吸引力的刚性小球，都以 平均速率而运动。
2）将系统中的分子等分为三队，各自平行于x轴、 y轴、z轴运动；每一队又等分为两小队，各自 沿坐标轴的正、负方向运动。(输运过程与平衡 态偏离不大 ，平衡态下分子热运动及碰撞的一 些结果都可直接采用)
处的分子热运动平均能量 z0 ；由B部沿z轴向上穿过ds
的分子携带 z0 处的平均能量 z0 。所以，A、B两部
每交换一对分子通过ds沿z轴正方向净输运的热量为：
z0
z0
依据能量按自由度均分定理
z0
i 2kTz0
z0
i
k 2
T
z0
i是分子热运动的自由度。
于是
z0
第四章 气体内的输运过程
补充
输运过程的微观解释
The microscopic explanations of transportation processes
1.思路与准备 2.粘滞现象的微观解释 3. 热传导现象的微观解释 4. 扩散现象的微观解释 5. 输运过程简单微观理论与实验的比较 6. 对简单理论的改进
dkm(u u )
z0 z0
定向流速u的下标表示相应气层的空间位置。利用在z0 处定向流动的速率梯度，可写出
du
热学(李椿章立源钱尚武~)习题解答第四章气体内的输运过程
第四章气体内的输运过程4－1.氢气在，时的平均自由程为×m，求氢分子的有效直径。
解：由＝得：＝代入数据得：（m）4－2.氮分子的有效直径为，求其在标准状态下的平均自由程和连续两次碰撞间的平均时间。
解：＝代入数据得：－（m）＝代入数据得：＝（s）4－3.痒分子的有效直径为3.6×m，求其碰撞频率，已知：（1）氧气的温度为300K，压强为1.0atm；（2）氧气的温度为300K，压强为1.0×atm解：由＝得＝＝代入数据得：＝6.3×（）（）4－4.某种气体分子在时的平均自由程为。
（1）已知分子的有效直径为，求气体的压强。
（2）求分子在的路程上与其它分子的碰撞次数。
解：（1）由得：代入数据得：（2）分子走路程碰撞次数（次）4－5.若在下，痒分子的平均自由程为，在什么压强下，其平均自由程为？设温度保持不变。
解：由得4－6.电子管的真空度约为HG，设气体分子的有效直径为，求时单位体积内的分子数，平均自由程和碰撞频率。
解：（2）（3）若电子管中是空气，则4－7.今测得温度为压强为时，氩分子和氖分子的平均自由程分别为和，问：（1）氩分子和氖分子的有效直径之比是多少？（2）时，为多大？（3）时，为多大？解：（1）由得：（2）假设氩分子在两个状态下有效直径相等，由得：（3）设氖气分子在两个状态下有效直径相等，与（2）同理得：4－8.在气体放电管中，电子不断与气体分子相碰撞，因电子的速率远远大于气体分子的平均速率，所以后者可以认为是静止不动的。
设电子的“有效直径”比起气体分子的有效直径来可以忽略不计。
（1）电子与气体分子的碰撞截面为多大？（2）证明：电子与气体分子碰撞的平均自由程为：，n为气体分子的数密度。
解：（1）因为电子的有效直径与气体分子的有效直径相比，可以忽略不计，因而可把电子看成质点。
又因为气体分子可看作相对静止，所以凡中心离电子的距离等于或小于的分子都能与电子相碰，且碰撞截面为：（2）电子与气体分子碰撞频率为：（为电子平均速率）4－9.设气体分子的平均自由程为试证明：一个分子在连续两次碰撞之间所走路程至少为x的几率是解：根据（4.6）式知在个分子中自由程大于x的分子占总分子数的比率为＝由几率概念知：对于一个分子，自由程大于x的几率为，故一个分子连续两次碰撞之间所走路程至少为x的几率是。
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设 Q为单位时间内通过的热量简称为热流，则
Q
dT
A
傅立叶定律
dz 若设热流密度为JT,则：
JT
dT dz
20
T2 ( T1 )
B
温度梯度 dT
dz
z0
dS dQ
T T(z)
表示流体中温度沿z
轴方向的空间变化率。
o
T1
Ax
在dt时间内，从温度较高的一侧，通过这一平
面向温度较低的一侧所传递的热量，与这一平面所
在处的温度梯度和面积元成正比
热导率
能量流动方 向与温度梯 度方向相反
恒为正值
dQ κ dT dSdt dz z0
21
三、扩散现象的宏观规律 扩散 (diffusion)
在混合气体内部，当某种气体在各处的密度不均匀时， 这种气体将从密度大的地方向密度小的地方散布，这 种现象叫扩散。
输运过程
扩散：密度 不均匀 m的迁移
热传导：温度T不均均 热的迁移
内摩擦(黏性)： 分子定向速度u 不均匀 定向运动动量 p的迁移 22
§ 5-1 气体分子的平均自由程
一、分子的平均自由程和碰撞频率
非平衡态平衡态，碰撞起重要作用。
克劳修斯指出：气体分子的速度虽然很大，但前进中要与其 他分子作频繁的碰撞，每碰一次，分子运动方向就发生改变， 所走的路程非常曲折。
若不均
一种气体
n不均
p不均
生宏 气流
22
我们这里研究的是：纯扩散--仅仅是由于分 子的无规则运动和碰撞引起的扩散过程。
实现纯扩散的条件
不存在宏观气流
P、T各处均匀 n各处均匀 不同气体的分子质量相等
即：混合气体各处的密度、压强、温度都相 同，只是组成混合气体的各组分密度不均匀
z L
u0 B
流体沿x 方向作定向流动, 并且流动速率u沿z方向递
z0
df dS df
增 。 u是z的函数 u u(z)
u u(z)
流速梯度 du
o
u0
A
x
dz
沿z方向所出现的流速空间
变化率。
14
z 黏性力的大小与两部分 L
的接触面dS和截面所在
处的流速梯度成正比。 z0
u0 B
df dS df
1 2
(t
r
2s)k TB33
因此,在 dt 时间内,通过 dS 总能量为
dQ
1 6
n
v
dt
dS
(t
r 2
2s)
k (TA
TB
)
引入温度梯度，则有
TA
TB
2
dT dz
z0
因此 dQ 1 n v λ (t r 2s) k dT dsdt
根据动量定理: dK = fdt
将
f
(
du dz
)
z0
dS
代入上式得:
注:因为动量是沿着流速减小方向输运的，若 du 0 dz
则 dk<0 ,而粘滞系数总是正的,所以应加一负号
16
：与流体的性质和状态有关,
可以实验测定。
测定 的实验装置简图：
A筒保持一定的转速，B筒相应 地偏转一定的角度（可由小镜反 射的光线测得）； 悬丝的扭转系数和 B 筒的半径 都是已知的，可算出内摩擦力；
23
24
系统中某种气体的密度 沿z 方向增大,其不均匀
情况用密度梯度d /dz
z
2 > 1
2
表示。
z0
dM
ΔS
设想在z=z0 处有一界面
dS,实验指出，在dt内
O
通过dS 面传递的气体 质量为:
x
1
y
dM
D d
dz
dSdt z0
—菲克定律
D 为扩散系数,单位m 2s-1，表示单位时间、 单位面积、单位密度梯度上所输运的质量25 。
z
4
平均碰撞频率与平均速率的关系
理想气体，在平衡态下，并假定： （1）只有一种分子； （2）分子可视作有效直径为 d 的刚球；
（3）只有某一个分子A以平均相对速率u
运动，
其余的分子静止。分子A走的是一条折线。
一秒钟内
中心在 扫过的柱体内的分子都能碰撞
它与多少
个分子碰
π d2
撞?
pz
dS
pz
x
u0
因此,在 dt 时间内,
在 dS 下方的流体层 净增加的定向动量为
dk 1 n v dt dS p p
6
z0 λ
z0 λ
1 n v d t d S d p 2
6 d p
d z z0
d z z0
：表示
z z0处的动量梯度
第五章 气体内的输运过程
引言 §5-1 气体分子的平均自由程 §5-2 输运过程的宏观规律 §5-3 输运过程的微观解释
引言
输运过程 (transport process)
非平衡态下气体各部分性质不均匀。 热运动+碰撞、p、m的迁移
气体系统由非平衡态向平衡态转变的过程，就成为输运过程。 黏性现象，热传导现象，扩散现象是典型的输运过程
2.68 1025
/m3
z 2 πd2vn
2 π 31010 2 425 2.681025
4.55109 /s
7
平均自由程与压强、温度的关系
一个分子在相邻两次碰撞之间的平均
路程称为平均自由程，记作 。
v v 1
z 2 π d 2 vn 2 π d 2n
下层的定向动量增大,所以宏观上看 等于下层受到了指向前方的内摩擦力。
26
内摩擦现象的微观本质是： 分子在无序的热运动中输运定向动量的过程。
下面近似地推导关系式：
气体黏性系数 1 nmv
3
简化模型:
(1) u 宏观流速 v 分子热运动平均速率
如果
可认为气体处于平衡态
(2)认为dS上下交换的分子都是沿z轴运动的，
29
dk 1 n v dt dS dp 2λ
6
dz z0
由牛Ⅱ, dS下方的流体层相应受到的
内摩擦力就是 df dk 1 n v dS dp λ
dt 3
dz z0
因为定向运动动量为 p = m u
d f 1 n m v d u d S d f d u d S
v v 碰撞夹角 有各种可能（0 — 180）
u
90 u 2v
z 2 π d 2nv
6
例. 数量级的概念：
氧气O2 ,标准状态下，以 d 310-10m估计
8RT 8 8.31 273
v
πM
π 32 103 425m/s
n
P kT
1.01 105 1.381023 273
并且单位体积中各有 n 的分子沿 + z, - z
方向运动。
6
27
这样,在dt 时间内,从 dS一侧跑到另一侧 的分子数为
dN 1 n v dt dS 6
z
z0
z0
z0
u u0
pz
dS
pz
x
u0
（2）假设分子越过 dS 面之前都是在离 dS 面距离
约为平均自由程处发生最后一次碰撞的，
6.9 108 m
空气摩尔质量为 2910-3kg/mol
空气分子在标准状态下
8RT
的平均速率
v
448m / s
M mol
z
v
448 6.9 108
6.5 109 s1
11
二、分子按自由程的分布
全部分子中, 自由程介于任一给定长度区间xx+dx内 的分子有多少?
1
2 πd 2n
因为P = nkT 所以也可以写成
kT
2 πd2P
8
kT
2 πd2P
当温度一定时, 压强越小,平均自由程越大。
例. 空气 , t = 0oC, d 3.510-10m,
在不同压强时对应的 平均自由程 ：
P (mmHg) 760 1
10-4
( m) 710-8 510-5 510-1
例 计算空气分子在标准状态下的平均自由程和平均 碰撞频率。取分子的有效直径d=3.510-10m。已知空气 的平均分子量为29。
解： 已知 T 273K , p 1.0atm 1.013 105 Pa, d 3.5 1010 m
10
kT 2 d 2 p
1.38 1023 273 1.41 3.14 (3.5 1010 ) 1.01105
而且它们带过来的定向动量,就是在那里
的定向动量…… “一次同化论”假设。
分子由上到下携带 的动量是 pz0 ;
分子由下到上携带 的动量是 pz0 .
28
分子由上到下携带 的动量是 pz0 ;
分子由下到上携带 的动量是 pz0 .
z
z0
z0
z0
u u0
u
A
d
n
2d
— 碰撞截面 （collision cross-secti5on5 ）
Q
dT
A
傅立叶定律
dz 若设热流密度为JT,则：
JT
dT dz
20
T2 ( T1 )
B
温度梯度 dT
dz
z0
dS dQ
T T(z)
表示流体中温度沿z
轴方向的空间变化率。
o
T1
Ax
在dt时间内，从温度较高的一侧，通过这一平
面向温度较低的一侧所传递的热量，与这一平面所
在处的温度梯度和面积元成正比
热导率
能量流动方 向与温度梯 度方向相反
恒为正值
dQ κ dT dSdt dz z0
21
三、扩散现象的宏观规律 扩散 (diffusion)
在混合气体内部，当某种气体在各处的密度不均匀时， 这种气体将从密度大的地方向密度小的地方散布，这 种现象叫扩散。
输运过程
扩散：密度 不均匀 m的迁移
热传导：温度T不均均 热的迁移
内摩擦(黏性)： 分子定向速度u 不均匀 定向运动动量 p的迁移 22
§ 5-1 气体分子的平均自由程
一、分子的平均自由程和碰撞频率
非平衡态平衡态，碰撞起重要作用。
克劳修斯指出：气体分子的速度虽然很大，但前进中要与其 他分子作频繁的碰撞，每碰一次，分子运动方向就发生改变， 所走的路程非常曲折。
若不均
一种气体
n不均
p不均
生宏 气流
22
我们这里研究的是：纯扩散--仅仅是由于分 子的无规则运动和碰撞引起的扩散过程。
实现纯扩散的条件
不存在宏观气流
P、T各处均匀 n各处均匀 不同气体的分子质量相等
即：混合气体各处的密度、压强、温度都相 同，只是组成混合气体的各组分密度不均匀
z L
u0 B
流体沿x 方向作定向流动, 并且流动速率u沿z方向递
z0
df dS df
增 。 u是z的函数 u u(z)
u u(z)
流速梯度 du
o
u0
A
x
dz
沿z方向所出现的流速空间
变化率。
14
z 黏性力的大小与两部分 L
的接触面dS和截面所在
处的流速梯度成正比。 z0
u0 B
df dS df
1 2
(t
r
2s)k TB33
因此,在 dt 时间内,通过 dS 总能量为
dQ
1 6
n
v
dt
dS
(t
r 2
2s)
k (TA
TB
)
引入温度梯度，则有
TA
TB
2
dT dz
z0
因此 dQ 1 n v λ (t r 2s) k dT dsdt
根据动量定理: dK = fdt
将
f
(
du dz
)
z0
dS
代入上式得:
注:因为动量是沿着流速减小方向输运的，若 du 0 dz
则 dk<0 ,而粘滞系数总是正的,所以应加一负号
16
：与流体的性质和状态有关,
可以实验测定。
测定 的实验装置简图：
A筒保持一定的转速，B筒相应 地偏转一定的角度（可由小镜反 射的光线测得）； 悬丝的扭转系数和 B 筒的半径 都是已知的，可算出内摩擦力；
23
24
系统中某种气体的密度 沿z 方向增大,其不均匀
情况用密度梯度d /dz
z
2 > 1
2
表示。
z0
dM
ΔS
设想在z=z0 处有一界面
dS,实验指出，在dt内
O
通过dS 面传递的气体 质量为:
x
1
y
dM
D d
dz
dSdt z0
—菲克定律
D 为扩散系数,单位m 2s-1，表示单位时间、 单位面积、单位密度梯度上所输运的质量25 。
z
4
平均碰撞频率与平均速率的关系
理想气体，在平衡态下，并假定： （1）只有一种分子； （2）分子可视作有效直径为 d 的刚球；
（3）只有某一个分子A以平均相对速率u
运动，
其余的分子静止。分子A走的是一条折线。
一秒钟内
中心在 扫过的柱体内的分子都能碰撞
它与多少
个分子碰
π d2
撞?
pz
dS
pz
x
u0
因此,在 dt 时间内,
在 dS 下方的流体层 净增加的定向动量为
dk 1 n v dt dS p p
6
z0 λ
z0 λ
1 n v d t d S d p 2
6 d p
d z z0
d z z0
：表示
z z0处的动量梯度
第五章 气体内的输运过程
引言 §5-1 气体分子的平均自由程 §5-2 输运过程的宏观规律 §5-3 输运过程的微观解释
引言
输运过程 (transport process)
非平衡态下气体各部分性质不均匀。 热运动+碰撞、p、m的迁移
气体系统由非平衡态向平衡态转变的过程，就成为输运过程。 黏性现象，热传导现象，扩散现象是典型的输运过程
2.68 1025
/m3
z 2 πd2vn
2 π 31010 2 425 2.681025
4.55109 /s
7
平均自由程与压强、温度的关系
一个分子在相邻两次碰撞之间的平均
路程称为平均自由程，记作 。
v v 1
z 2 π d 2 vn 2 π d 2n
下层的定向动量增大,所以宏观上看 等于下层受到了指向前方的内摩擦力。
26
内摩擦现象的微观本质是： 分子在无序的热运动中输运定向动量的过程。
下面近似地推导关系式：
气体黏性系数 1 nmv
3
简化模型:
(1) u 宏观流速 v 分子热运动平均速率
如果
可认为气体处于平衡态
(2)认为dS上下交换的分子都是沿z轴运动的，
29
dk 1 n v dt dS dp 2λ
6
dz z0
由牛Ⅱ, dS下方的流体层相应受到的
内摩擦力就是 df dk 1 n v dS dp λ
dt 3
dz z0
因为定向运动动量为 p = m u
d f 1 n m v d u d S d f d u d S
v v 碰撞夹角 有各种可能（0 — 180）
u
90 u 2v
z 2 π d 2nv
6
例. 数量级的概念：
氧气O2 ,标准状态下，以 d 310-10m估计
8RT 8 8.31 273
v
πM
π 32 103 425m/s
n
P kT
1.01 105 1.381023 273
并且单位体积中各有 n 的分子沿 + z, - z
方向运动。
6
27
这样,在dt 时间内,从 dS一侧跑到另一侧 的分子数为
dN 1 n v dt dS 6
z
z0
z0
z0
u u0
pz
dS
pz
x
u0
（2）假设分子越过 dS 面之前都是在离 dS 面距离
约为平均自由程处发生最后一次碰撞的，
6.9 108 m
空气摩尔质量为 2910-3kg/mol
空气分子在标准状态下
8RT
的平均速率
v
448m / s
M mol
z
v
448 6.9 108
6.5 109 s1
11
二、分子按自由程的分布
全部分子中, 自由程介于任一给定长度区间xx+dx内 的分子有多少?
1
2 πd 2n
因为P = nkT 所以也可以写成
kT
2 πd2P
8
kT
2 πd2P
当温度一定时, 压强越小,平均自由程越大。
例. 空气 , t = 0oC, d 3.510-10m,
在不同压强时对应的 平均自由程 ：
P (mmHg) 760 1
10-4
( m) 710-8 510-5 510-1
例 计算空气分子在标准状态下的平均自由程和平均 碰撞频率。取分子的有效直径d=3.510-10m。已知空气 的平均分子量为29。
解： 已知 T 273K , p 1.0atm 1.013 105 Pa, d 3.5 1010 m
10
kT 2 d 2 p
1.38 1023 273 1.41 3.14 (3.5 1010 ) 1.01105
而且它们带过来的定向动量,就是在那里
的定向动量…… “一次同化论”假设。
分子由上到下携带 的动量是 pz0 ;
分子由下到上携带 的动量是 pz0 .
28
分子由上到下携带 的动量是 pz0 ;
分子由下到上携带 的动量是 pz0 .
z
z0
z0
z0
u u0
u
A
d
n
2d
— 碰撞截面 （collision cross-secti5on5 ）