人教版中考数学二轮复习专题练习上常用辅助线-构造等边三角形

PF A BC ， A ABC 是等边三角形，
PFD QCD，A APF 是等边三角形， AP PF AF ， PE AC ， AE EF ， AP PF，AP CQ ，
PF CQ ．
在 A PFD 和 AQCD 中， PFD QCD PDF QDC ， PF CQ A PFD≌A（Q）CD AAS ，
CD DE 4 ．
5.如图所示，在 A ABC 中， AB AC，D、 E 是 A ABC 内两点， AD 平分 BAC．EBC E 60 ，若 BE 6，DE 2 ，则 BC 的长度是__.
答案：8
解析：作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出 BE 6，DE 2 ，进而得出 A BEM 为 等边三角形， A EFD 为等边三角形，从而得出 BN 的长，进而求出答案． 解：延长 ED 交 BC 于 M ，延长 AD 交 BC 于 N ，作 DF A BC 于 F ，
BCD BCA ACD DCE ACD ACE ，
在 A BCD 和 A ACE 中， AC BC ACE BCD CD CE
A BCD≌A（A）CE SAS ， BD AE ． 又ADC 30 ， ADE 90 ． 在 RtA ADE 中， AE 5，AD 3 ， 于是 DE AE2 AD2 4 ，
间的函数关系式．
（2）由已知可列出方程组结合已知求出 EF 的长． （3）当线段 PE、FQ 相交时，根据已知得到它们与线段 EF 围成的三角形三个角都是 60 解：（1）A ABC 是等边三角形， AB 1 ． A B C 60，BC CA AB 1 ． 又BEP CFE FQA 90，BP x ．
E B
∴ DBA 90 ， BD 10 3 ，
∵ A 45 ，∴ AB 10 3 ，
∴ SABD
1 2
10
3
2
150 ， SBCD
1 2 SBDE
1 1 10 10 22
3 25
3，
∴这块草地的面积为 150 25 3 平方米．
2.如图：已知 AB 10 ,点 C、D 在线段 AB 上且 AC DB 2 ； P 是线段 CD 上的动点, 分别以 AP、PB 为边在线段 AB 的同侧作等边 A AEP 和等边 A PFB ,连结 EF ,设 EF 的中 点为 G ；当点 P 从点 C 运动到点 D 时,则点 G 移动路径的长是____．
答案：10
解析：延长 ED 交 BC 于 M ，延长 AD 交 BC 于 N ，根据等腰三角形的性质得出 CE 8，DE 2 ，进而得出 ACEM 为等边三角形，从而得出 BN 的长，进而求出答
案．
解：延长 ED 交 BC 于 M ，延长 AD 交 BC 于 N ，
AB AC，AD 平分 BAC ， AN BC，BN CN ， ECB E 60 ， ACEM 为等边三角形， CE 8，DE 2 ， DM 6 ， ACEM 为等边三角形，
，
ABD E ， 在 A ABD 和 A AEC 中，
BAD EAC
AB
AE
，
ABD E
A ABD≌A（A）EC ASA ， BD CE ， CE BE BC AB BC 3 2 5 ， BD 5 ，
8.如图，在 A ABC 中， AB AC，D、 E 是 A ABC 内两点， AD 平分 BAC，EBC E 60 ，若 BE 60cm，DE 2cm ，则 BC ____ cm ．
．
六边形 ABCDEF 的六个角都是 120°， 六边形 ABCDEF 的每一个外角的度数都是 60°．
A PGH、A B、G、A A DHC A EFP 都是等边三角形． GC BC 12，DH CH 8 ． GH 12 30 8 50，FE PE PH ED DH 50 28 8 14， AF PG PF AG 50 14 12 24 ．
的三角形周长的取值范围．
答案：见解析
解析：（1）由已知等边 A ABC 中，可得每个角都是 60 ，由作 PE BC ，垂足为 E ；作 EF AC ，垂足为 F ；作 FQ AB ，垂足为 Q ，得三个直角三角形且 都有 30 的角，据此用 x 可表示出 BE，C，E CF ，相继表示出 AF，AQ ，求出 y 与 x 之
FD CD ， AE EF ， EF FD AE CD ， AE CD DE 1 AC ，
2 AC 1 ， DE 1 0.5 ．
2
10.如图， A ABC 中， AB AC，AD 平分 BAC，D、 E 是 A ABC 内两点，且 ECB E 60 ，若 CE 8，DE 2 ，则 BC _____.
答案：等于
解析：延长 DC 到点 E ，使得 BC CE ，连接 BE 和 BD ，根据已知条件和所作辅 助线可得 A ABD 与 A BCE 均为等边三角形，证明 A ABC 和 A DBE 全等即可证明；
解：延长 DC 到点 E ，使得 BC CE ，连接 BE 和 BD . ∵ BCD 120 ∴ BCE 180 120 60 又 BC CE ， AB AD，BAD 60 A ABD 与 A BCE 均为等边三角形 BD AB，B，E BC ABD EBC 60 ABD DBC EBC DBC ,即 ABC DBE 在 A ABC 和 A DBE 中
D C
B
D C E
B
4.如图，四边形 ABCD 中， AC，BD 是对角线， A ABC 是等边三角形． ADC 30，A，D 3 BD 5 ，则 CD 的长为____.
答案：4
解析：首先以 CD 为边作等边 ACDE ，连接 AE ，利用全等三角形的判定得出 A BCD≌A ACE ，进而求出 DE 的长即可． 解：如图，以 CD 为边作等边 ACDE ，连接 AE
6.如图，六边形 ABCDEF 中，每一个内角都是 120，A，B，，12 BC 30 CD 8 DE 28 ．求这个六边 形的周长为_____.
答案：116
解析：凸六边形 ABCDEF ，并不是一规则的六边形，但六个角都是120 ，所以通过适
当的向外作延长线，可得到等边三角形，进而求解．
解：如图，分别作直线 AF、E、D BC 的延长线和反向延长线使它们交于点 G、H、 P
六边形的周长为： 24 12 30 8 28 14 BD 平分 ABC，DAC 60 ，若 AB 2，BC 3 ，则 BD 的长是_____.
答案：5
解析：在 CB 的延长线上取点 E ，使 BE AB ，连接 AE ，则可证得 A ABE 为等边 三角形，再结合条件可证明 A ABD≌A AEC ，可得 BD CE ，再利用线段的和差可求 得 CE ，则可求得 BD . 解：在 CB 的延长线上取点 E ，使 BE AB ，连接 AE ，
F G E
A CP
DB
答案：3
解析：分别延长 AE、BF 交于点 H ，易证四边形 EPFH 为平行四边形，得出 G 为PH中点，
则G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN．再求出CD的长，运用中位线的性质求出MN的长度 即可．
解：如图，分别延长AE、BF交于点H．
∵ ∠A＝∠FPB＝60°， ∴ AH ∥ PF， ∵ ∠B＝∠EPA＝60°， ∴ BH ∥ PE， ∴ 四 边形EPFH为平行四边形， ∴ EF与HP互相平分． ∵ G为EF的中点， ∴ G正好为PH中点， 即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN． ∵ CD＝10－2－2＝6，∴MN＝3，即G的移动路径长为3
6.构造等边三角形
1.公园里有一块形如四边形 ABCD 的草地，测得 BC CD 10 米， B C 120 ， A 45 ．请你求出这块草地的面积？
D
C
答案：见解析 解析：
A
B
D C
A
延长 DC、AB 交于 E ，连结 DB ， ∵ ABC BCD 120 ，∴ EBC ECB 60 ， ∴ EBC 是等边三角形， ∵ DC CB ，∴ CDB DBC 30 ，
ABC 120 ， ABE 180﹣ABC 60 ， BE AB ， A ABE 为等边三角形， AE AB，BAE E 60 ， DAC 60 ， DAC BAE ， BAD BAC DAC，EAC BAC BAE ， BAD EAC ， BD 平分 ABC ，
3.四边形 ABCD ，有 BC CD ， B C 120 ， A 45 ．请你求 D ____ .
A
答案：75 解析：
A
延长 DC、AB 交于 E ，连结 DB ， ∵ ABC BCD 120 ，∴ EBC ECB 60 ， ∴ EBC 是等边三角形， ∵ DC CB ，∴ CDB DBC 30 ， ∴ DBA 90 ， ∵ A 45 ，∴ ADB 90 45 45 ， ∴ ADC ADB BDC 45 30 75
答案不是整数，请化为小数）
答案：0.5
解析：过 P 作 PF A BC 交 AC 于 F ，得出等边三角形 APF ，推出 AP PF QC ，根据等腰三角形性质求出 EF AE ，证 A PFD≌AQCD ，推出 FD CD ，推出 DE 1 AC 即可．
2
解：过 P 作 PF A BC 交 AC 于 F ．
EMC 60 ， AN BC ， DNM 90 ， NDM 30 ， NM 3 ， CN 8﹣3 5 ， BN 5， BC 2BN 10 ．
故答案为：10．
11.如图，凸四边形 ABCD 满足条件： AB AD，，BAD 60 BCD 120 那么 AC ____ BC CD ．（填“大于”或“小于”或“等于”）
AB BD ABC DBE ， BC BE ∴ A ABC≌A DBE ∴ BD DE ∵ DE CD EC CD BC AC BC CD ．
故答案为：相等