1.2新高考 常用逻辑用语：新课标试卷
2024年新高考版数学专题1_1.2 常用逻辑用语(分层集训)
2.(2023届福建龙岩一中月考,3)下列命题中,错误的命题是 ( ) A.函数f(x)=x与g(x)=( x )2不是同一个函数 B.命题“∃x∈[0,1],x2+x≥1”的否定为“∀x∈[0,1],x2+x<1”
C.设函数f(x)=
2x 2x , x
2,
x 0,
0,
则f(x)在R上单调递增
2.(2022福建龙岩一模,1)已知a∈R,若集合M={1,a},N={-1,0,1},则“M ⊆N”是“a=0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B
3.(2020天津,2,5分)设a∈R,则“a>1”是“a2>a”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A
A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n<x2 B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n<x2 C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n<x2 D.∃x∈R,∀n∈N*,使得n<x2 答案 D
2.(2015课标Ⅰ,3,5分)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则¬p为 ( ) A.∀n∈N,n2>2n B.∃n∈N,n2≤2n C.∀n∈N,n2≤2n D.∃n∈N,n2=2n 答案 C
4.(2021山东淄博模拟,5)已知a,b∈R,则“ab≠0”的一个必要条件是
()
A.a+b≠0 B.a2+b2≠0
C.a3+b3≠0 答案 B
D. 1 + 1 ≠0
ab
5.(多选)(2021辽宁省实验中学二模,4)下列四个选项中,q是p的充分必要 条件的是 ( )
A.p:
集合与常用逻辑用语新高考数学新情景、新文化问题(新高考地区专用)(原卷版)
集合与常用逻辑用语一、单选题1．（2021·江苏高二月考）《墨经》上说：“小故，有之不必然，无之必不然体也，若有端.大故，有之必然，若见之成见也.”则“有之必然”表述的数学关系一定是（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．既不充分也不必要条件D ．不能确定2．（2021·湖南宁乡一中高二月考）南北朝时期的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为1V 、2V ，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为1S 、2S ，则命题p ：“1V 、2V 相等”是命题:q “1S 、2S 总相等”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2021·丰县宋楼中学高二月考）任何一个复数i z a b =+（其中a ，R b ∈，i 为虚数单位）都可以表示成()cos sin z r i θθ=+（其中0r ≥，R θ∈）的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：()(cos sin cos nn r i r n θθθ⎡⎤+=⎣⎦)()sin i n n Z θ+∈，我们称这个结论为棣莫弗定理.由棣莫弗定理可知，“n 为偶数”是“复数()cos sin 22ni n Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭为实数”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．（2021·浙江高三）某国近日开展了大规模COVID -19核酸检测，并将数据整理如图所示，其中集合S 表示（ ）A ．无症状感染者B ．发病者C ．未感染者D ．轻症感染者5．（2021·江苏）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？现有如下表示：已知{}32,A x x n n N *==+∈，{}53,B x x n n N *==+∈，{}72,C x x n n N *==+∈，若x A B C ∈⋂⋂，则下列选项中符合题意的整数x 为 A ．8 B ．127 C ．37 D ．236．（2021·江苏）已知[]x 表示不超过x 的最大整数，称为高斯取整函数，例如[3.4]3=，[ 4.2]5-=-，方程220x x ⎡⎤-=⎣⎦的解集为A ，集合{}22650B xx ax a =-+>∣，且A B R =，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10a -≤≤或322a ≤< B ．10a -<<或322a ≤< C ．10a -<≤或322a ≤< D ．10a -≤≤或322a <≤ 7．（2020·南京市中华中学高一月考）集合论是德国数学家康托尔（G .Cantor ）于19世纪末创立的.在他的集合理论中，用()card A 表示有限集合中元素的个数，例如：{},,A abc =，则()card 3A =.若对于任意两个有限集合,A B ，有card()card()card()card()A B A B A B ⋃=+-⋂.某校举办运动会，高一（1）班参加田赛的学生有14人，参加径赛的学生有9人，两项都参加的有5人，那么高一（1）班参加本次运动会的人数共有（ ）A ．28B ．23C ．18D ．168．（2020·江苏高一期中）在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象．数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个n 位正整数的所有数位上数字的n 次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合A ，集合{}Z 34B x x =∈-<<，则A B 的真子集个数为（ ）A ．3B ．4C ．7D ．8二、多选题9．（2020·江苏省板浦高级中学高三期末）已知集合()(){},M x y y f x ==，若对于任意()11,x y M ∈，存在()22,x y M ∈，使得12120x x y y +=，则称集合M 是“垂直对点集”.则下列四个集合是“垂直对点集”的为（ ） A ．(){},sin 1M x y y x ==+B ．()1,N x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭C ．(){},2xP x y y e ==- D ．(){}2,log Q x y y x == 10．（2020·江苏省通州高级中学高一月考）高斯是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一.高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.有这样一个函数就是以他名字命名的：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]()f x x =称为高斯函数，又称为取整函数.如：(2.3)2f =，( 3.3)4f -=-.则下列正确的是（ ）A ．函数()f x 是R 上单调递增函数B ．对于任意实数a b ，，都有()()()f a f b f a b +≤+ C ．函数()()g x f x ax =-（0x ≠）有3个零点，则实数a 的取值范围是34434532⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，， D ．对于任意实数x ，y ，则()()f x f y =是1x y -<成立的充分不必要条件11．（2020·广东广州六中高一期中）对x R ∀∈，[]x 表示不超过x 的最大整数，十八世纪，[]y x =被“数学王子“高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是（ ） A ．x R ∃∈，[]1x x =-B ．x R ∃∈，[]1x x =+C ．x ∀、y R ∈，[][][]x y x y +≤+D ．函数[]()y x x x R =-∈的值域为[)0,1E.若t R ∃∈，使得31t ⎡⎤=⎣⎦，42t ⎡⎤=⎣⎦，53t ⎡⎤=⎣⎦，，2n t n ⎡⎤=-⎣⎦同时成立，则正整数n 的最大值是512．（2021·全国）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪．直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足Q M N ⋃=，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，则称(),M N 为戴德金分割．试判断，对于任一戴德金分割(),M N ，下列选项中，可能成立的是（ ）A ．M 没有最大元素，N 有一个最小元素B ．M 没有最大元素，N 也没有最小元素C ．M 有一个最大元素，N 有一个最小元素D ．M 有一个最大元素，N 没有最小元素三、填空题13．（2021·浙江高二期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把取整函数[],y x x =∈R 称为高斯函数，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如][1.11, 1.1 2.⎡⎤=-=-⎣⎦则点集{}22(,)|[][]1P x y x y =+=所表示的平面区域的面积是___________. 14．以下说法正确的是________(填序号)．①在三角形中，已知两边及一边的对角，可用正弦定理解三角形，但不能用余弦定理去解；②余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形；③利用余弦定理，可解决已知三角形三边求角问题；④在三角形中，勾股定理是余弦定理的一个特例．15．给出以下4个命题，其中所有正确结论的序号是________（1）当a 为任意实数时，直线()1210a x y a --++=恒过定点P ，则焦点在y 轴上且过点P 的抛物线的标准方程是243x y =． （2）若直线()1:2110l kx k y +++=与直线2:20l x ky -+=垂直，则实数1k =；（3）已知数列{}n a 对于任意*,p q N ∈，有p q p q a a a ++=，若119a =，则304S =； （4）对于一切实数n ， 令[]x 为不大于n 的最大整数，例如：[]53.053,13⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，则函数()[]f x x =称为高斯函数或取整函数，若()*3n n a f n N ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则30145S =.16．（2021·宝山·上海交大附中高二期中）高斯被誉为历史上最伟大的数学家之一，与阿基米德、牛顿、欧拉同享盛名，高斯函数[]()f x x =也应用于生活、生产的各个领域.高斯函数也叫取整函数，其符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如：[3.14]3=，[ 1.6]2-=-，定义函数：[]()sin 2x f x π⎛⎫=⎪⎝⎭，则()f x 值域的子集的个数为：________．。
2023版高考数学一轮总复习专题检测1-2常用逻辑用语
1.2 常用逻辑用语一、选择题1.(2022届豫北名校联盟10月联考,4)已知命题p:若x>0,y>0,则xy>0,则p的否命题是( )A.若x>0,y>0,则xy≤0B.若x≤0,y≤0,则xy≤0C.若x,y至少有一个不大于0,则xy<0D.若x,y至少有一个小于或等于0,则xy≤0答案 D 否命题应在否定条件的同时否定结论,原命题中的条件是“且”的关系,所以条件的否定形式是“x≤0或y≤0”.而结论的否定是“xy≤0”,故选D.2.(2022届贵州五校联考(二),3)已知命题p:“∀x∈N,x2<2x”的否定是“∃x0∈N,x02>2x0”;命题q:∃α0∈R,sinα0+cosα0=1.下列说法不正确的是( )A.(xp)∧q为真命题B.p∨(x q)为真命题C.p∨q为真命题D.x q为假命题答案 B 由全称命题的否定为特称命题知,命题“∀x∈N,x2<2x”的否定为“∃x0∈N,x02≥2x0”,所以命题p为假命题,x p为真命题.当α0=0时,sinα0+cosα0=1,所以命题q为真命题,x q为假命题,所以(xp)∧q为真命题,p∨(x q)为假命题,p∨q为真命题,所以A,C,D正确,B不正确,故选B.3.(2022届山西百校联盟强化训练(一),5)有下列四个命题:①“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题;②“面积相等的三角形全等”的否命题;③“若m≤1,则x2-2x+m=0有实数解”的逆否命题;④“若A∩B=B,则A⊆B”的逆否命题.其中,是真命题的为( )A.①②B.②③C.④D.①②③答案 D ①中逆命题为“若x,y互为倒数,则xy=1”,是真命题;②中否命题为“面积不相等的三角形不是全等三角形”,是真命题;③中原命题是真命题,所以它的逆否命题也是真命题;④中原命题是假命题,所以它的逆否命题也是假命题.故选D.4.(2022届重庆西南大学附中9月考试,2)命题“∃x>0,x+1x≥3且sinx≥1”的否定是( )A.∀x≤0,x+1x<3且sinx<1B.∃x>0,x+1x<3或sinx<1C.∀x>0,x+1x<3且sinx<1D.∀x>0,x+1x<3或sinx<1答案 D 因为存在量词命题的否定是全称量词命题,所以命题“∃x>0,x+1x≥3且sinx≥1”的否定是“∀x>0,x+1x<3或sinx<1”.故选D.5.(2022届T8联考,1)“0<θ<π3”是“0<sinθ<√32”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A 由正弦函数的单调性可知,当0<θ<π3时,0<sinθ<√32,充分性成立;当0<sinθ<√32时,θ∈(2xπ,2xπ+π3)∪(2xπ+2π3,2kπ+π),k∈Z,必要性不成立,所以“0<θ<π3”是“0<sinθ<√32”的充分不必要条件,故选A.6.(2022届山东日照校际联考,2)“|x-1|<2成立”是“x(x-3)<0成立”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 B |x-1|<2的解集为{x|-1<x<3},令A={x|-1<x<3}.x(x-3)<0的解集为{x|0<x<3}.令B={x|0<x<3}.因为B⫋A,所以“|x-1|<2成立”是“x(x-3)<0成立”的必要不充分条件,故选B.7.(多选)(2022届河北武强中学月考,10)下列命题中为真命题的是( )A.“a-b=0”的充要条件是“xx=1”B.“a>b”是“1x <1x”的既不充分也不必要条件C.命题“∃x∈R,x2-2x<0”的否定是∀x∈R,x2-2x≥0”D.“a>2,b>2”是“ab>4”的必要条件答案BC 对于A,由xx =1⇒a-b=0,但a-b=0⇒/xx=1,所以“xx=1”是“a-b=0”的充分非必要条件,故A中命题错误.对于B,取a=2,b=-1,满足a>b,但1x >1x,所以a>b⇒/1x<1x;同理,取a=-1,b=2,满足1x <1x,但a<b,所以1x<1x⇒/a>b,所以“a>b”是“1x<1x”的既不充分也不必要条件,故B中命题正确.对于C,命题“∃x∈R,x2-2x<0”的否定是∀x∈R,x2-2x≥0”,故C中命题正确.对于D,因为a>2,b>2⇒ab>4,但ab>4⇒/a>2,b>2,所以“a>2,b>2”是“ab>4”的充分不必要条件,故D中命题错误.故选BC.8.(2022届重庆巴蜀中学月考(一),1)已知命题p:∀x∈(0,+∞),lnx>x-1,则命题p的否定是( )A.∀x∈(0,+∞),lnx≤x-1B.∃x∈(0,+∞),lnx>x-1C.∀x∈(0,+∞),lnx<x-1D.∃x∈(0,+∞),lnx≤x-1答案 D 命题∀x∈(0,+∞),lnx>x-1的否定是∃x∈(0,+∞),lnx≤x-1,故选D.9.(2022届河南10月调研,8)设p:∀x∈[2,3],kx>1,q:∃x∈R,x2+x+k≤0.若p或q为真,p 且q为假,则k的取值范围为( )A.(-∞,14)∪(12,+∞)B.[14,1 2 )C.(-∞,14]∪(12,+∞)D.(14,12)答案 C 若p 为真,则{2x >1,3x >1,解得k>12,若q 为真,则Δ=1-4k≥0,解得k≤14.因为p 或q 为真,p 且q 为假,所以p,q 一真一假. ①若p 假q 真,则{x ≤12,x ≤14,解得k≤14;②若p 真q 假,则{x >12,x >14,解得k>12.故k 的取值范围是(-∞,14]∪(12,+∞).故选C.10.(2022届江西新余月考(三),5)已知命题p:∃x∈R,使sinx=√52;命题q:∀x∈R,都有x 2+x+1>0.给出下列结论: ①命题“p∧q”是真命题 ②命题“p∧xq”是假命题 ③命题“xp∨q”是真命题 ④命题“xp∨xq”是假命题 其中正确的是( ) A.①②③ B.②③ C.②④ D.③④答案 B 由已知得命题p 为假命题,命题q 为真命题,所以p∧q 为假命题,p∧x q 为假命题,xp∨q 为真命题,xp∨x q 为真命题,所以正确的结论序号有②③,故选B. 二、填空题11.(2022届吉林10月月考,14)已知命题“∃x 0∈R,x 02-ax 0+a≤0”是假命题,则实数a 的取值范围是 . 答案 (0,4)解析 由已知可得,“∀x∈R,x 2-ax+a>0”是真命题,则Δ=a 2-4a<0,解得0<a<4.12.(2022届豫北名校联考(二),14)若命题“∀a>0,长为1,2,a 的三条线段不能构成三角形”是假命题,则实数a 的取值范围是 . 答案 (1,3)解析 根据题意可知,命题“∃a>0,使得长为1,2,a 的三条线段能构成三角形”是真命题,故{x >2-1,x <1+2,x >0,解得1<a<3,即实数a 的取值范围为(1,3).三、解答题13.(2022届广东湛江一中、深圳实验学校10月联考,18)函数f(x)=sinx+cosx+sin2x,x∈(0,π2)的值域为集合A,函数g(x)=ln x -x 2-√2x -x的定义域为集合B,记p:x∈A,q:x∈B.(1)若a=0,则p 是q 的什么条件?(2)若p 是q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.解析 令t=sinx+cosx=√2sin (x +π4),则sin2x=t 2-1,因为x∈(0,π2),所以t∈(1,√2],函数f(x)的值域就是函数y=t 2+t-1,t∈(1,√2]的值域,根据二次函数的性质可知,函数y=t 2+t-1在(1,√2]上单调递增,于是可求得A=(1,√2+1].要使函数g(x)=ln x -x 2-√2x -x有意义,则有x -x 2-√2x -x>0,即[x-(a 2+√2)](x-a)<0.因为a 2+√2-a=(x -12)2+√2-14>0,所以B=(a,a 2+√2).(1)若a=0,则B=(0,√2),又A=(1,√2+1],所以可得p 是q 的既不充分也不必要条件. (2)若p 是q 的充分不必要条件,则A ⫋B,即{x ≤1,x 2+√2>√2+1,解得a<-1.14.(2022届山东济宁兖州期中,18)已知p:函数f(x)=(a-2m)x在R 上单调递减,q:关于x 的方程x 2-2ax+a 2-1=0的两根都大于1. (1)当m=3时,p 是真命题,求a 的取值范围;(2)若p 为真命题是q 为真命题的充分不必要条件,求m 的取值范围. 解析 (1)因为m=3,所以f(x)=(a-6)x.因为p 是真命题,所以0<a-6<1,解得6<a<7,故a 的取值范围是(6,7).(2)若p 是真命题,则0<a-2m<1,解得2m<a<2m+1.关于x 的方程x 2-2ax+a 2-1=0的两根分别为a-1和a+1.若q 是真命题,则a-1>1,解得a>2.因为p 为真命题是q 为真命题的充分不必要条件,所以2m≥2,所以m≥1.。
高考专题复习1.2常用逻辑用语真题练习(附答案)
1.2常用逻辑用语考点一充分条件与必要条件1.(2022浙江,4,4分)设x∈R,则“sin x=1”是“cos x=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A根据sin x=1解得x=π2+2kπ,k∈Z,此时cos x2χ=cosπ2=0.根据cos x=0解得x=π2+kπ,k∈Z,此时sin xχ=±1.故“sin x=1”是“cos x=0”的充分不必要条件,故选A.2.(2021浙江,3,4分)已知非零向量a,b,c,则“a·c=b·c”是“a=b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案B解题指导:利用平面向量的数量积定义分别判断命题“若a·c=b·c,则a=b”与“若a=b,则a·c=b·c”的真假性即可.解析若c与向量a,b都垂直,则由a·c=b·c不一定能得到a=b;若a=b,则由平面向量的数量积的定义知a·c=b·c成立,故“a·c=b·c”是“a=b”的必要不充分条件.故选B.方法总结:(1)充分条件、必要条件的判断方法:①定义法:根据“若p,则q”与“若q,则p”的真假性进行判断;②集合法:根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.(2)要判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可.但要判断一个命题是真命题,必须通过严格的推理论证.3.(2021北京,3,4分)设函数f(x)的定义域为[0,1],则“函数f(x)在[0,1]上单调递增”是“函数f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A若f(x)在[0,1]上单调递增,则f(x)在[0,1]上的最大值为f(1);若f(x)在[0,1]上的最大值为f(1),则f(x)未必在[0,1]上单调递增,如图.故选A.4.(2022北京,6,4分)设{a n}是公差不为0的无穷等差数列,则“{a n}为递增数列”是“存在正整数N0,当n>N0时,a n>0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案C设等差数列{a n}的公差为d(d≠0),则a n=a1+(n-1)d.若{a n}为递增数列,则d>0,由a n=a1+(n-1)d可构造函数f(x)=xd+a1-d,令f(x)=0,得x=K1,若a1>d,则x<0,取N0=1,即有n>1时,f(n)>f(1)>0成立;若a1<d,则x>0,取N0K1K1表示不超过K1的最大正整数,此时n>N0,必有f(n)>f(N0)=K1+1>K1.综上,存在正整数N0,当n>N0时,a n>0,∴充分性成立.易知a n是关于n的一次函数,若存在正整数N0,当n>N0时,a n>0,则一次函数为增函数,∴d>0,∴必要性成立.故选C.5.(2019天津文,3,5分)设x∈R,则“0<x<5”是“|x-1|<1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B|x-1|<1⇔-1<x-1<1⇔0<x<2.当0<x<2时,必有0<x<5;反之,不成立.所以,“0<x<5”是“|x-1|<1”的必要而不充分条件.一题多解因为{x||x-1|<1}={x|0<x<2}⫋{x|0<x<5},所以“0<x<5”是“|x-1|<1”的必要而不充分条件.6.(2018天津,理4,文3,5分)设x∈R,则“<12”是“x3<1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A本题主要考查解不等式和充分、必要条件的判断.由−<12得-12<x-12<12,解得0<x<1.由x3<1得x<1.当0<x<1时能得到x<1一定成立;当x<1时,0<x<1不一定成立.所以“<12”是“x3<1”的充分而不必要条件.方法总结(1)充分、必要条件的判断.解决此类问题应分三步:①确定条件是什么,结论是什么;②尝试从条件推结论,从结论推条件;③确定条件和结论是什么关系.(2)探究某结论成立的充要、充分、必要条件.解答此类题目,可先从结论出发,求出使结论成立的必要条件,然后验证得到的必要条件是否满足充分性.7.(2017北京理,6,5分)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A由存在负数λ,使得m=λn,可得m、n共线且反向,夹角为180°,则m·n=-|m||n|<0,故充分性成立.由m·n<0,可得m,n的夹角为钝角或180°,故必要性不成立.故选A.8.(2017天津理,4,5分)设θ∈R,则“−<π12”是“sinθ<12”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A本题考查不等式的解法及充分必要条件的判断.∵<π12⇔-π12<θ-π12<π12⇔0<θ<π6,sin θ<12⇔θ∈2χ−7π6,+62χ−7π6,2kπ+∴“−<π12”是“sin θ<12”的充分而不必要条件.9.(2016天津理,5,5分)设{a n }是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q<0”是“对任意的正整数n,a 2n-1+a 2n <0”的()A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件答案C 若对任意的正整数n,a 2n-1+a 2n <0,则a 1+a 2<0,又a 1>0,所以a 2<0,所以q=21<0.若q<0,可取q=-1,a 1=1,则a 1+a 2=1-1=0,不满足对任意的正整数n,a 2n-1+a 2n <0.所以“q<0”是“对任意的正整数n,a 2n-1+a 2n <0”的必要而不充分条件.故选C.评析本题以等比数列为载体,考查了充分条件、必要条件的判定方法,属中档题.10.(2015重庆理,4,5分)“x>1”是“lo g 12(x+2)<0”的()A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件答案B 当x>1时,x+2>3>1,又y=lo g 12x 是减函数,∴lo g 12(x+2)<lo g 121=0,则x>1⇒lo g 12(x+2)<0;当lo g 12(x+2)<0时,x+2>1,x>-1,则lo g 12(x+2)<0⇒/x>1.故“x>1”是“lo g 12(x+2)<0”的充分而不必要条件.选B.11.(2015天津理,4,5分)设x∈R,则“1<x<2”是“|x-2|<1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A因为|x-2|<1等价于-1<x-2<1,即1<x<3,由于(1,2)⫋(1,3),所以“1<x<2”是“|x-2|<1”的充分而不必要条件,故选A.12.(2015湖南理,2,5分)设A,B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C若A∩B=A,任取x∈A,则x∈A∩B,∴x∈B,故A⊆B;若A⊆B,任取x∈A,都有x∈B,∴x∈A∩B,∴A⊆(A∩B),又A∩B⊆A显然成立,∴A∩B=A.综上,“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件,故选C.13.(2015陕西理,6,5分)“sinα=cosα”是“cos2α=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A由sinα=cosα,得cos2α=cos2α-sin2α=0,即充分性成立.由cos2α=0,得sinα=±cosα,即必要性不成立.故选A..若p:f'(x0)=0;q:x=x0是f(x)的极值点,则() 14.(2014课标Ⅱ文,3,5分)函数f(x)在x=x0处导数存在A.p是q的充分必要条件B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件答案C∵f(x)在x=x0处可导,∴若x=x0是f(x)的极值点,则f'(x0)=0,∴q⇒p,故p是q的必要条件;反之,以f(x)=x3为例,f'(0)=0,但x=0不是极值点,∴p⇒/q,故p不是q的充分条件.故选C.15.(2014安徽理,2,5分)“x<0”是“ln(x+1)<0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案B ln(x+1)<0⇔0<x+1<1⇔-1<x<0⇒x<0;而x<0⇒/-1<x<0,故选B.16.(2014浙江理,2,5分)已知i是虚数单位,a,b∈R,则“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A当a=b=1时,有(1+i)2=2i,即充分性成立.当(a+bi)2=2i时,有a2-b2+2abi=2i,得2−2=0,B=1,解得a=b=1或a=b=-1,即必要性不成立,故选A.评析本题考查复数的运算,复数相等的概念,充分条件与必要条件的判定,属于容易题.17.(2014北京理,5,5分)设{an }是公比为q的等比数列.则“q>1”是“{an}为递增数列”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案D若q>1,则当a1=-1时,a n=-q n-1,{a n}为递减数列,所以“q>1”⇒/“{a n}为递增数列”;若{a n}为递增数列,则当a n时,a1=-12,q=12<1,即“{a n}为递增数列”⇒/“q>1”.故选D.考点二全称量词与存在量词1.(2015浙江理,4,5分)命题“∀n∈N*,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是()A.∀n∈N*,f(n)∉N*且f(n)>nB.∀n∈N*,f(n)∉N*或f(n)>nC.∃n0∈N*,f(n)∉N*且f(n0)>n0D.∃n0∈N*,f(n)∉N*或f(n0)>n0答案D“f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定为“f(n)∉N*或f(n)>n”,全称命题的否定为特称命题,故选D.2.(2014湖北文,3,5分)命题“∀x∈R,x2≠x”的否定是()A.∀x∉R,x2≠xB.∀x∈R,x2=xC.∃x∉R,x2≠xD.∃x∈R,x2=x答案D原命题的否定为∃x∈R,x2=x.故选D.3.(2013重庆理,2,5分)命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为()A.对任意x∈R,都有x2<0B.不存在x∈R,使得x2<0C.存在x∈R,使得02≥0 D.存在x0∈R,使得02<0答案D全称命题的否定是特称命题.“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为“存在x0∈R,使得02<0”,故选D.4.(2015山东理,12,5分)若“∀x∈x≤m”是真命题,则实数m的最小值为.答案1解析∵0≤x≤π4,∴0≤tan x≤1,∵“∀x∈0,x≤m”是真命题,∴m≥1.∴实数m的最小值为1。
2025版高考数学一轮总复习1-2常用逻辑用语
)
3.（教材题改编）若 ∈ ，则“3 > 1”是“2 > 1”的(
A.充分不必要条件
√
C.充要条件
)
B.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解：解不等式3 > 1可得 > 1，解不等式2 > 1可得 < −1或 > 1.
因为{ > 1} ⫋ { < −1或 > 1}，
4
15
+
8
> 0，A正确.
对于B，当 = 时，ln = −1 < 0，B正确.
对于C，当 = 1时，满足 ≤ ，C正确.
对于D，当 = 0时， 2 = 0，D错误.故选ABC.
考点一 充分、必要条件的判定
例1（1） 若为复数，则“ 2 < 0”是“为纯虚数”的(
A.充分不必要条件
则(
)
A.是假命题
√
C.是假命题
2
3
B.的否定：∀
∈
0,4
,
≤
4或
≥6
√
D.的否定：存在一个三角形没有内切圆
√
1
3
1
3
解：∀ ∈ 0,4 ，若 2 > 4，则 > 2；若 3 < 6，则 < 6 < 8 = 2,所以 2 > 4与
3 < 6不可能同时成立，故是假命题.显然是真命题.所以A正确，C错误.的否定：
∀ ∈ 0,4 , 2 ≤ 4或 3 ≥ 6. 的否定：存在一个三角形没有内切圆.所以B，D正确.故
选ABD.
【点拨】 ①否定全称（存在）量词命题，一是改变量词，二是否定结论，没有
量词的要结合命题的含义加上量词.②否定全称量词命题，常举一反例即可，但否定
备考2024年新高考数学一轮复习专题1-2 常用逻辑用语含详解
专题1.2常用逻辑用语题型一充分条件与必要条件的判定题型二根据充分（必要）条件求参数的范围题型三全称（存在）量词命题的否定题型四全称（存在）量词命题真假的判断题型五全称（存在）量词命题中有关参数的取值范围题型一充分条件与必要条件的判定例1．（2023·陕西榆林·统考三模）已知两个非零向量()2(1,),,4a x b x x == ，则“||2x =”是“//a b ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件例2．（2022秋·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）（多选）不等式5log 32)1(x -<成立的必要不充分条件是（）A ．(1,0)-B ．(1,1)-C ．(1,2)-D ．(1,)-+∞练习1．（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）“0ab >”是“0a b +>”的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分又不必要条件练习2．（2023·重庆·统考二模）“20x x -<”是“e 0x >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件练习3．（2023·河南·校联考二模）设椭圆()2210,0x y m n m n+=>>的离心率为e ，则“2e =”是“4=m n ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件练习4．（2023·辽宁沈阳·高三校联考学业考试）已知圆221:1C x y +=和圆()222:16C x a y -+=，其中0a >，则使得两圆相交的一个充分不必要．．．．．条件可以是（）A ．35a <<B ．36a <<C ．45a <<D ．25a <<练习5．（2023春·四川内江·高二威远中学校校考期中）“1x >”是“x >m ”的充分不必要条件，若Z m ∈，则m 取值可以是___________（满足条件即可）.题型二根据充分（必要）条件求参数的范围例3．（2022春·四川绵阳·高二校考期中）关于x 的一元二次方程2210ax x +-=有两个不相等正根的充要条件是（）A ．1a <-B ．10a -<<C ．a<0D ．01a <<例4．（2023·山东潍坊·统考二模）若“x α=”是“sin cos 1x x +>”的一个充分条件，则α的一个可能值是__________.练习6．（2022秋·浙江金华·高一校考阶段练习）已知x ∈R ，条件:01p x <<，条件1:q a x≥()0a >，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（）A ．0<1a ≤B ．1a ≤C ．1a ≥D ．0a >练习7．（2023·全国·高三专题练习）函数()()()2e e -=-++x xf x ax bx c 是偶函数的充分必要条件是（）．A ．0b =B ．0ac =C ．0a =且0c =D ．0a =，0c =且0b ≠练习8．（2023春·云南红河·高二校考阶段练习）若“m a >”是“63m ≥”的必要不充分条件，则实数a 能取的最大整数为_______________．练习9．（2023秋·河南许昌·高三校考期末）已知集合2}{|+280A x x x =-≤，{|433}B x m x m =-≤≤+．(1)求A ；(2)若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求m 的取值范围．练习10．（2023秋·江苏无锡·高一统考期末）设全集U =R ，集合2{|321},{|log (1)2}A x a x a B x x =-<<-=-≤，其中R a ∈．(1)若“x A ∈”是“x B ∈”成立的必要不充分条件，求a 的取值范围；(2)若命题“x A ∃∈，使得R x B ∈ð”是真命题，求a 的取值范围．题型三全称（存在）量词命题的否定例5．（2023·四川达州·统考二模）命题p ：x ∀∈R ，2210x x x +-+>，则p ⌝为（）A ．x ∀∈R ，2210x x x +-+≤B ．x ∀∈R ，2210x x x +-+<C ．0x ∃∈R ，0200210x x x +-+<D ．0x ∃∈R ，0200210x x x +-+≤例6．（2023春·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）命题“[]1,2x ∃∈-，21x <”的否定是（）A ．[]1,2x ∃∈-，21x ≥B ．[]1,2x ∃∉-，21x <C ．[]1,2x ∀∈-，21x <D ．[]1,2x ∀∈-，21x ≥练习11．（2023春·江苏南京·高一江苏省高淳高级中学校联考阶段练习）命题“2010x x ∀>->，”的否定是（）A ．2010x x ∀≤->，B ．2010x x ∃>->，C ．2010x x ∃≤-≤，D ．2010x x ∃>-≤，练习12．（2023·全国·高一专题练习）命题“R,sin x x x ∀∈<”的否定是（）A ．R,sin x x x ∃∈≥B ．R,sin x x x ∃∉≥C ．R,sin x x x∀∈<D ．R,sin x x x∀∈≥练习13．（2022秋·浙江杭州·高一校考阶段练习）命题{}:15p x x x ∀∉≤≤，245x x ->，则命题p 的否定是（）A ．{}15x x x ∃∈≤≤，245x x -≤B ．{}15x x x ∃∉≤≤，245x x -≤C ．{}15x x x ∀∉≤≤，245x x -≤D ．{}15x x x ∀∈≤≤，245x x -≤练习14．（2023春·黑龙江大庆·高一大庆实验中学校考阶段练习）命题：“0x ∃>，0x x +≥”的否定是（）A ．0x ∀<，0x x +<B ．0x ∀>，0x x +<C ．0x ∀>，0x x +≤D ．0x ∀<，0x x +≤练习15．（2021秋·高一课时练习）命题00:0,21p x x ∃><，则命题p 的否定是（）A ．000,21x x ∃>≥B ．000,21x x ∃≤≥C ．0,21x x ∀>≥D ．0,21x x ∀≤≥题型四全称（存在）量词命题真假的判断例7．（2023春·河北·高三统考阶段练习）已知命题:N e 0，x p x ∃∈<（e 为自然对数的底数）2;:R 0q x x x ∀∈+≥，，则下列为真命题的是（）A ．p 真，q 假B ．p 真，q 真C ．p 假，q 真D ．p 假，q 假例8．（2022秋·高一校考课时练习）下列命题中的真命题是__________.①R x ∀∈，233x +≥;②0R x ∃∈，233x +≤;③所有的量词都是全称量词.练习16．（2023春·重庆·高三重庆市长寿中学校校考期末）已知P ，Q 为R 的两个非空真子集，若R Q ðP R ð，则下列结论正确的是（）A ．x Q ∀∈，x P ∈B ．0R x P ∃∈ð，0R x Q ∈ðC ．0x Q ∃∉，0x P∈D ．R x P ∀∈ð，R x Q∈ð练习17．（2021春·陕西渭南·高二校考阶段练习）下列命题中的假命题．．．是（）A ．0x ∃∈R ，0lg 1x =B ．0x ∃∈R ，0sin 0x =C ．x ∀∈R ，30x >D ．x ∀∈R ，20x >练习18．（2023·山东枣庄·统考二模）已知集合{}02A x x =<<，{}244150B x x x =--<，则（）A ．x A ∃∈，xB ∉B ．x B ∀∈，x A ∈C ．x B ∃∈，x A∈D ．x A ∀∈，x B∉练习19．（2023秋·浙江杭州·高一杭师大附中校考期末）下列命题为真命题的是（）A ．2,30x x ∀∈+<RB ．2,1x x ∀∈≥NC ．5,1x x ∃∈<Z D ．2,5x x ∃∈=Q 练习20．（2022秋·广西百色·高一校考阶段练习）（多选）关于命题p ：“2,10x x "Î+¹R ”的叙述，正确的是（）A ．p 的否定：2,10x x $Î+=RB ．p 的否定：2,10x x "Î+=RC ．p 是真命题，p 的否定是假命题D ．p 是假命题，p 的否定是真命题题型五全称（存在）量词命题中有关参数的取值范围例9．（2022秋·江西抚州·高一统考期末）若01,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得200310x x λ-+<成立是假命题，则实数λ可能取值是（）．A ．B ．C ．4D ．5例10．（2021秋·高一课时练习）已知命题2:R,210p x ax x ∀∈++≠”的否定为真命题，则实数a 的取值范围是______________.练习21．（2022秋·陕西西安·高一校考期末）若命题“[1,4]x ∀∈-时，2x m >”是假命题，则m 的取值范围（）A ．16m ≥B ．m 1≥C ．0m ≥D ．1m <练习22．（2023春·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知命题“[]01,1x ∃∈-，20030x x a -++>”为真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．(),2-∞-B ．(),4-∞C ．()2,-+∞D ．()4,+∞练习23．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知命题2024:,31p x a x ∀∈<+R ，若p 为真命题，则实数a 的取值范围是__________.练习24．（2022秋·四川成都·高二树德中学校考期末）已知“{}11x x x ∀∈-≤≤，都有不等式2x x m --<0成立”是假命题，则实数m 的取值范围为______．练习25．（2021秋·高一课时练习）若“2R,30x x x m ∃∈++=”是真命题，则实数m 的取值范围是________．专题1.2常用逻辑用语题型一充分条件与必要条件的判定题型二根据充分（必要）条件求参数的范围题型三全称（存在）量词命题的否定题型四全称（存在）量词命题真假的判断题型五全称（存在）量词命题中有关参数的取值范围题型一充分条件与必要条件的判定例1．（2023·陕西榆林·统考三模）已知两个非零向量()2(1,),,4a x b x x == ，则“||2x =”是“//a b ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据向量的共线的坐标运算，求得2x =±，再结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】因为()2(1,),,4a x b x x == 且//a b ，可得34x x =，解得2x =±或0x =，又因为b为非零向量，所以2x =±，即||2x =，故“||2x =”是“//a b ”的充要条件．故选：C.例2．（2022秋·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）（多选）不等式5log 32)1(x -<成立的必要不充分条件是（）A ．(1,0)-B ．(1,1)-C ．(1,2)-D ．(1,)-+∞【答案】CD【分析】求出对数不等式的解集，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】解不等式5log 32)1(x -<得：0321x <-<，解得312x <<，即原不等式的解集为3(1,)2，(1,0)-、(1,1)-与3(1,)2的交集都空集，因此选项A ，B 都不是；而3(1,2(1,2)-，3(1,)2(1,)-+∞，因此选项C 、D 都是.故选：CD练习1．（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）“0ab >”是“0a b +>”的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】D【分析】先推导出充分性不成立，再举出反练习得到必要性不成立.【详解】因为0ab >，所以0,0a b >>或0,0a b <<，则0a b +>或0a b +<，故充分性不成立，若1,2a b =-=，满足0a b +>，但不满足0ab >，必要性不成立，故“0ab >”是“0a b +>”的既不充分又不必要条件.故选：D练习2．（2023·重庆·统考二模）“20x x -<”是“e 0x >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】将已知转化为集合的关系再利用充分条件和必要条件的定义处理即可.【详解】由20x x -<可得其解集为：}{01x x x ∈<<，由e 0x >可得其解集为：x ∈R .而}{01x x <<ÜR ，即由“20x x -<”可以推出“e 0x >”，反过来“e 0x >”不能推出“20x x -<”，故“20x x -<”是“e 0x >”的充分不必要条件.故选：A练习3．（2023·河南·校联考二模）设椭圆()2210,0x y m n m n+=>>的离心率为e ，则“32e =”是“4=m n ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分、必要性定义，结合椭圆方程，讨论,m n 判断充分性，由离心率定义判断必要性，即可得答案.【详解】当m n >时32m n e m -=4=m n ；当m n <时32n m e n-=4n m =；所以32e =4=m n ，充分性不成立；当4=m n 时，则2e ==，必要性成立；综上，“2e =”是“4=m n ”的必要不充分条件.故选：B练习4．（2023·辽宁沈阳·高三校联考学业考试）已知圆221:1C x y +=和圆()222:16C x a y -+=，其中0a >，则使得两圆相交的一个充分不必要．．．．．条件可以是（）A ．35a <<B ．36a <<C ．45a <<D ．25a <<【答案】C【分析】根据圆与圆的位置关系求参数范围，结合充分、必要性定义确定答案即可.【详解】由1(0,0)C 且半径11r =，2(,0)C a 且半径24r =，结合a 大于0，所以2121r r a r r -<<+时，两圆相交，则35a <<，由选项可得A 选项为35a <<的充要条件；B 、D 选项为35a <<的必要不充分条件；C 选项为35a <<的充分不必要条件；故选：C练习5．（2023春·四川内江·高二威远中学校校考期中）“1x >”是“x >m ”的充分不必要条件，若Z m ∈，则m 取值可以是___________（满足条件即可）.【答案】0（答案不唯一，满足1m <且Z m ∈均可）.【分析】利用充分不必要条件的定义求解.【详解】解：因为“1x >”是“x >m ”的充分不必要条件，且Z m ∈，所以1m <且Z m ∈，故可取0，故答案为：0（答案不唯一，满足1m <且Z m ∈均可）题型二根据充分（必要）条件求参数的范围例3．（2022春·四川绵阳·高二校考期中）关于x 的一元二次方程2210ax x +-=有两个不相等正根的充要条件是（）A ．1a <-B ．10a -<<C ．a<0D ．01a <<【答案】B【分析】2210ax x +-=有两个不相等正根的充要条件是：1212Δ000x x x x >⎧⎪+>⎨⎪⋅>⎩，解不等式组即可求出a 的取值范围.【详解】解：关于x 的一元二次方程2210ax x +-=有两个不相等正根的充要条件是：Δ440210a a a⎧⎪=+>⎪⎪->⎨⎪⎪->⎪⎩，解得10a -<<，故选：B.例4．（2023·山东潍坊·统考二模）若“x α=”是“sin cos 1x x +>”的一个充分条件，则α的一个可能值是__________.【答案】π4（只需满足()π2π,2π2k k k α⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭Z 即可）【分析】解不等式sin cos 1x x +>，可得出满足条件的一个α的值.【详解】由sin cos 1x x +>π14x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，则πsin 42x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以，()ππ3π2π2π444k x k k +<+<+∈Z ，解得()π2π2π2k x k k <<+∈Z ，因为“x α=”是“sin cos 1x x +>”的一个充分条件，故α的一个可能取值为π4.故答案为：π4（只需满足()π2π,2π2k k k α⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭Z 即可）.练习6．（2022秋·浙江金华·高一校考阶段练习）已知x ∈R ，条件:01p x <<，条件1:q a x≥()0a >，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（）A ．0<1a ≤B ．1a ≤C ．1a ≥D ．0a >【答案】A【分析】先求出条件q 的x 的范围，再根据充分不必要建立不等式求解即可.【详解】条件q ：由不等式()10a a x>≥，解得：10<≤x a ，若p 是q 的充分不必要条件，则()0,110,a ⎛⎤⎥⎝⎦，所以11a≥解得01a <≤.故选：A ．练习7．（2023·全国·高三专题练习）函数()()()2e e -=-++x x f x ax bx c 是偶函数的充分必要条件是（）．A ．0b =B ．0ac =C ．0a =且0c =D ．0a =，0c =且0b ≠【答案】C 【分析】利用偶函数的定义求得2()(22)0x x axc --+=e e 恒成立，即可求出a ，c ，再验证0b =时情况即可判断作答.【详解】显然函数2)())((x x f x ax bx c -=-++e e 定义域为R ，因()f x 是偶函数，即R,()()x f x f x ∀∈-=，亦即22()(()())x x x x ax bx c ax bx c ---++=--+e e e e ，整理得2()(22)0x x ax c --+=e e ，而e e x x --不恒为0，因此，2220ax c +=，即0a =且0c =，当0b =时，()0f x =也是偶函数，D 不正确，所以一定正确的是C.故选：C练习8．（2023春·云南红河·高二校考阶段练习）若“m a >”是的必要不充分条件，则实数a 能取的最大整数为_______________．【答案】0【分析】先由集合与充分必要的关系得到23m m ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭是{}m m a >的真子集，从而利用数轴法得到23<a ，由此得解.【详解】因为“m a >”是3”的必要不充分条件，所以⎧⎪≥⎨⎪⎪⎩⎭是{}m m a >的真子集，23m ≥，所以23m m ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭是{}m m a >的真子集，所以23<a ，所以实数a 能取的最大整数为0.故答案为：0.练习9．（2023秋·河南许昌·高三校考期末）已知集合2}{|+280A x x x =-≤，{|433}B x m x m =-≤≤+．(1)求A ；(2)若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求m 的取值范围．【答案】(1)[]4,2-(2)1,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据一元二次不等式的解法解出20+28x x -≤即可；（2）由题意知若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件则集合A 是集合B 的真子集，求出m 的取值范围，再讨论即可.【详解】（1）由20+28x x -≤，可得()()420x x +-≤，所以42x -≤≤，所以集合[4,2]A =-.（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则集合A 是集合B 的真子集，由集合A 不是空集，故集合B 也不是空集，所以7433214400333213m m m m m m m m ⎧≥-⎪-≤+⎧⎪⎪-≤-⇒≤⇒-≤≤⎨⎨⎪⎪+≥⎩⎪≥-⎩，当13m =-时，13{|2}3B x x =-≤≤满足题意，当0m =时，{|43}B x x =-≤≤满足题意，故103m -≤≤，即m 的取值范围为1,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.练习10．（2023秋·江苏无锡·高一统考期末）设全集U =R ，集合2{|321},{|log (1)2}A x a x a B x x =-<<-=-≤，其中R a ∈．(1)若“x A ∈”是“x B ∈”成立的必要不充分条件，求a 的取值范围；(2)若命题“x A ∃∈，使得R x B ∈ð”是真命题，求a 的取值范围．【答案】(1)(3,4](2)()2,-+∞【分析】（1）首先求解集合B ，根据条件转化为集合的包含关系，列式求解；（2）根据条件转化为R A B ≠∅ ð，列式求a 的取值范围.【详解】（1）()2log 12x -≤，得014x <-≤，解得：15x <≤，即{}15B x x =<≤，因为“x A ∈”是“x B ∈”成立的必要不充分条件，所以B A ，则32131215a a a a -<-⎧⎪-≤⎨⎪->⎩，解得：34a <≤；（2）由条件可知，R A B ≠∅ ð，{1R B x x =≤ð或5}x >，所以31321a a a -<⎧⎨-<-⎩或215321a a a ->⎧⎨-<-⎩，解得：2a >-，所以a 的取值范围是()2,-+∞题型三全称（存在）量词命题的否定例5．（2023·四川达州·统考二模）命题p ：x ∀∈R ，2210x x x +-+>，则p ⌝为（）A ．x ∀∈R ，2210x x x +-+≤B ．x ∀∈R ，2210x x x +-+<C ．0x ∃∈R ，0200210x x x +-+<D ．0x ∃∈R ，0200210x x x +-+≤【答案】D【分析】对全称量词的否定用存在量词，直接写出p ⌝.【详解】因为对全称量词的否定用存在量词，所以命题p ：x ∀∈R ，2210x x x +-+>的否定为：0x ∃∈R ，0200210x x x +-+≤.故选：D例6．（2023春·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）命题“[]1,2x ∃∈-，21x <”的否定是（）A ．[]1,2x ∃∈-，21x ≥B ．[]1,2x ∃∉-，21x <C ．[]1,2x ∀∈-，21x <D ．[]1,2x ∀∈-，21x ≥【答案】D【分析】由存在量词命题的否定形式可直接确定结果.【详解】由存在量词命题的否定知：原命题的否定为[]1,2x ∀∈-，21x ≥.故选：D.练习11．（2023春·江苏南京·高一江苏省高淳高级中学校联考阶段练习）命题“2010x x ∀>->，”的否定是（）A ．2010x x ∀≤->，B ．2010x x ∃>->，C ．2010x x ∃≤-≤，D ．2010x x ∃>-≤，【答案】D【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可求解.【详解】命题“2010x x ∀>->，”的否定是2010x x ∃>-≤，,故选：D练习12．（2023·全国·高一专题练习）命题“R,sin x x x ∀∈<”的否定是（）A ．R,sin x x x ∃∈≥B ．R,sin x x x∃∉≥C ．R,sin x x x ∀∈<D ．R,sin x x x∀∈≥【答案】A【分析】全称量词命题否定为存在量词命题即可.【详解】命题“R,sin x x x ∀∈<”的否定是“R,sin x x x ∃∈≥”.故选：A练习13．（2022秋·浙江杭州·高一校考阶段练习）命题{}:15p x x x ∀∉≤≤，245x x ->，则命题p 的否定是（）A ．{}15x x x ∃∈≤≤，245x x -≤B ．{}15x x x ∃∉≤≤，245x x -≤C ．{}15x x x ∀∉≤≤，245x x -≤D ．{}15x x x ∀∈≤≤，245x x -≤【答案】B【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义判断.【详解】解：因为命题{}15x x x ∀∉≤≤，245x x ->是全称量词命题，所以其否定是存在量词命题，即{}15x x x ∃∉≤≤，245x x -≤，故选：B练习14．（2023春·黑龙江大庆·高一大庆实验中学校考阶段练习）命题：“0x ∃>，0x x +≥”的否定是（）A ．0x ∀<，0x x +<B ．0x ∀>，0x x +<C ．0x ∀>，0x x +≤D ．0x ∀<，0x x +≤【答案】B【分析】利用存在量词命题的否定可得出结论.【详解】命题：“0x ∃>，0x x +≥”为存在量词命题，该命题的否定为“0x ∀>，0x x +<”.故选：B.练习15．（2021秋·高一课时练习）命题00:0,21p x x ∃><，则命题p 的否定是（）A ．000,21x x ∃>≥B ．000,21x x ∃≤≥C ．0,21x x ∀>≥D ．0,21x x ∀≤≥【答案】C【分析】直接根据存在量词命题的否定是全称量词命题得到答案.【详解】命题00:0,21p x x ∃><，的否定是0,21x x ∀>≥，故选：C题型四全称（存在）量词命题真假的判断例7．（2023春·河北·高三统考阶段练习）已知命题:N e 0，x p x ∃∈<（e 为自然对数的底数）2;:R 0q x x x ∀∈+≥，，则下列为真命题的是（）A ．p 真，q 假B ．p 真，q 真C ．p 假，q 真D ．p 假，q 假【答案】C【分析】由全称量词，存在量词定义判断命题p ，q 正误可得答案.【详解】,e 0,x x ∀∈>∴N 命题p 为假命题，x ∀∈Q R ，必有20,0x x ≥≥，所以20x x +≥，∴命题q 为真命题.故选：C.例8．（2022秋·高一校考课时练习）下列命题中的真命题是__________.①R x ∀∈，233x +≥;②0R x ∃∈，2033x +≤;③所有的量词都是全称量词.【答案】①②【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的含义判断命题的真假即可.【详解】①因为20x ≥，所以R x ∀∈，233x +≥，故①为真命题；②当00x =时，2033x +=，所以0R x ∃∈，2033x +≤，故②为真命题；③量词有全称量词和存在量词，故③为假命题.故答案为：①②.练习16．（2023春·重庆·高三重庆市长寿中学校校考期末）已知P ，Q 为R 的两个非空真子集，若R QðP R ð，则下列结论正确的是（）A ．x Q ∀∈，x P ∈B ．0R x P ∃∈ð，0R x Q∈ðC ．0x Q ∃∉，0x P ∈D ．R x P ∀∈ð，R x Q∈ð【答案】B【分析】根据条件画出Venn 图，根据图形，判断选项.【详解】因为R Q ðR P ð，所以P Q ，如图，对于选项A ：由题意知P 是Q 的真子集，故∃∈x Q ，x P ∉，故不正确，对于选项B ：由R Q ð是R P ð的真子集且R Q ð，R P ð都不是空集知，0R x P ∃∈ð，0R x Q ∈ð，故正确.对于选项C ：由R Q ð是R P ð的真子集知，x Q ∀∉，x P ∉，故不正确，对于选项D ：Q 是R P ð的真子集，故R x P ∃∈ð，R x Q ∉ð，故不正确，故选：B练习17．（2021春·陕西渭南·高二校考阶段练习）下列命题中的假命题．．．是（）A ．0x ∃∈R ，0lg 1x =B ．0x ∃∈R ，0sin 0x =C ．x ∀∈R ，30x >D ．x ∀∈R ，20x >【答案】C【分析】A 、B 、C 可通过取特殊值法来判断；D 由指数函数的性质来判断.【详解】当010x =时，0lg lg101x ==，故A 正确；当00x =时，0sin sin 00x ==，故B 正确；当0x <时，30x <，故C 错误；由指数函数的性质可知，x ∀∈R ，20x >，故D 正确.故选：C.练习18．（2023·山东枣庄·统考二模）已知集合{}02A x x =<<，{}244150B x x x =--<，则（）A ．x A ∃∈，xB ∉B ．x B ∀∈，x A∈C ．x B ∃∈，x A ∈D ．x A ∀∈，x B∉【答案】C【分析】先求出B ，在判断两个集合的关系，从而可得出答案.【详解】{}2354415022B x x x x x ⎧⎫=--<=-<<⎨⎬⎩⎭，则集合A 是集合B 的真子集，所以x A ∀∈，x B ∈，x B ∃∈，x A ∈，故ABD 错误，A 正确.故选：C.练习19．（2023秋·浙江杭州·高一杭师大附中校考期末）下列命题为真命题的是（）A ．2,30x x ∀∈+<R B ．2,1x x ∀∈≥N C ．5,1x x ∃∈<Z D ．2,5x x ∃∈=Q 【答案】C【分析】根据全称量词命题和特称量词命题的定义判断.【详解】对于A ，因为20x ≥，所以2,33x x ∀∈+≥R ，A 错误；对于B ，当0x =时，21x <，B 错误；对于C ，当0x =时，51<x ，C 正确；由25x =可得x =均为无理数，故D 错误，故选:C.练习20．（2022秋·广西百色·高一校考阶段练习）（多选）关于命题p ：“2,10x x "Î+¹R ”的叙述，正确的是（）A ．p 的否定：2,10x x $Î+=R B ．p 的否定：2,10x x "Î+=R C ．p 是真命题，p 的否定是假命题D ．p 是假命题，p 的否定是真命题【答案】AC【详解】p 的否定为“2,10x x $Î+=R ”，A 对B 错；2,11x x "Î+³R ，所以p 是真命题，则p 的否定是假命题，故C 对D 错.故选：AC题型五全称（存在）量词命题中有关参数的取值范围例9．（2022秋·江西抚州·高一统考期末）若01,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得200310x x λ-+<成立是假命题，则实数λ可能取值是（）．A ．B ．C ．4D ．5【答案】B【分析】由题意得到1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2310x x λ-+≥成立是真命题，转化为13x x λ+≥在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，由基本不等式得到1323x x+≥，从而得到23λ≤，从而求出答案.【详解】由题意得：1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2310x x λ-+≥成立是真命题，故13x x λ+≥在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，由基本不等式得：1132323y x x x x =+≥⋅=，当且仅当13x x =，即31,232x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦时，等号成立，故23λ≤，故选：B.例10．（2021秋·高一课时练习）已知命题2:R,210p x ax x ∀∈++≠”的否定为真命题，则实数a 的取值范围是______________.【答案】{}1a a ≤【分析】问题等价于2210ax x ++=有解，即Δ4400a a =-≥⎧⎨≠⎩或0a =，解得答案.【详解】已知问题等价于2210ax x ++=有解，即Δ4400 a a =-≥⎧⎨≠⎩或0a =，解得1a ≤.故答案为：{}1a a ≤练习21．（2022秋·陕西西安·高一校考期末）若命题“[1,4]x ∀∈-时，2x m >”是假命题，则m 的取值范围（）A ．16m ≥B ．m 1≥C ．0m ≥D ．1m <【答案】C【分析】由否命题为真命题可得2min ()x m ≤，求2y x =的最小值即可.【详解】因为命题“[1,4]x ∀∈-时，2x m >”是假命题，所以命题“[1,4]x ∃∈-时，2x m ≤”是真命题，即有2min ()x m ≤，易知当0x =，2y x =有最小值0,所以0m ≥.故选：C练习22．（2023春·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知命题“[]01,1x ∃∈-，20030x x a -++>”为真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．(),2-∞-B ．(),4-∞C ．()2,-+∞D ．()4,+∞【答案】C 【分析】由题知[]01,1x ∈-时，()min 2003a x x ->，再根据二次函数求最值即可得答案.【详解】解：因为命题“[]01,1x ∃∈-，20030x x a -++>”为真命题，所以，命题“[]01,1x ∃∈-，2003a x x >-”为真命题，所以，[]01,1x ∈-时，()min 2003a x x ->，因为，2239324y x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，所以，当[]1,1x ∈-时，min 2y =-，当且仅当1x =时取得等号.所以，[]01,1x ∈-时，()200min 32a x x ->=-，即实数a 的取值范围是()2,-+∞故选：C练习23．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知命题2024:,31p x a x ∀∈<+R ，若p 为真命题，则实数a 的取值范围是__________.【答案】(),1-∞【分析】根据题意知202431a x <+恒成立，求出x ∈R 时，202431x +的最小值，即可求出实数a 的取值范围.【详解】若2024,31x a x ∀∈<+R 为真命题，等价于()2024min 31a x<+，∵20240x ≥，当且仅当0x =时，等号成立，∴2024311x +≥，即()2024min 131x +=，可得1a <，故实数a 的取值范围是(),1-∞.故答案为：(),1-∞.练习24．（2022秋·四川成都·高二树德中学校考期末）已知“{}11x x x ∀∈-≤≤，都有不等式2x x m --<0成立”是假命题，则实数m 的取值范围为______．【答案】2m ≤【分析】根据命题的否定得“{}11x x x ∃∈-≤≤，使得20x x m --≥成立”是真命题，进而转化成最值问题，利用二次函数的性质即可求解最值.【详解】“{}11x x x ∀∈-≤≤，都有不等式2x x m --<0成立”是假命题，故“{}11x x x ∃∈-≤≤，使得20x x m --≥成立”是真命题，因此{}11x x x ∃∈-≤≤，使2m x x ≤-，只需要()2max m x x ≤-，而二次函数()2f x x x =-在112⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减，在112⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增，故当=1x -时，()f x 取最大值()1=2f -，因此2m ≤，故答案为：2m ≤练习25．（2021秋·高一课时练习）若“2R,30x x x m ∃∈++=”是真命题，则实数m 的取值范围是________．【答案】94m ≤【分析】根据一元二次方程有解，利用判别式求解.【详解】根据题意知，2340m ∆=-≥，解得，94m ≤，所以实数m 的取值范围是94m ≤.故答案为：94m ≤。
新高考高中数学必修一1.2常用逻辑用语讲义
常用逻辑用语一般的,在数学中我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题。
命题的两个要素：条件，结论。
一、四种命题概述(一)四种命题的定义：1．在两个命题中，如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题。
2．在两个命题中，如果第一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题。
3．在两个命题中，如果第一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否否命题。
如果我用p 和q 分别表示原名题的条件和结论，用┐p 和┐q 分别表示p 和q 的否定。
注意：“逆”是条件和结论互换，“否”是条件和结论都加以否定。
在写出或者判断逆、否、逆否命题时，一定要注意“大前提”，大前提是保持不变的。
(二)四种命题的表示：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有必然关系. （四）充要条件1、充分条件与必要条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件,q 是P 的必要条件.2、充分不必要和必要不充分条件： ①若p q ⇒，但q p ⇒/，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件； ②若p q ⇒/，但q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件；3、充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件.4、既不充分也不必要条件：④若p q ⇒/，且q p ⇒/，则p 是q 的既不充分也不必要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然。
原结论 反设词原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n 个 至多有（1n -）个 小于 不小于 至多有n 个至少有（1n +）个对所有x ，成立存在某x ，不成立p 或qp ⌝且q ⌝对任何x ，不成立 存在某x ，成立p 且qp ⌝或q ⌝反设词就和我们语文上所学的反义词差不多，也可以这么说，我们先把命题的结论所有可能性给写出来，然后对这些命题进行否定，就叫做这些结论的反设词。
2025年新高考数学专题 集合与常用逻辑用语 含解析
专题01集合与常用逻辑用语易错点一：对集合表示方法的理解存在偏差（集合运算问题两种解题方法）方法一：列举法列举法就是通过枚举集合中的所有元素，然后根据集合基本运算的定义求解的方法。
其解题具体步骤如下:第一步定元素：确定已知集合中的所有元素，利用列举法或画数轴写出所有元素或范围；第二步定运算：利用常见不等式或等式解未知集合；第三步：定结果。
方法二：赋值法高考对集合的基本运算的考查以选择题为主,所以我们可以利用特值法解题,即根据选项之间的明显差异,选择一些特殊元素进行检验排除,从而得到正确选项.其解题具体步骤如下:第一步：辨差异:分析各选项,辨别各选项的差异；第二步：定特殊:根据选项的差异,选定一些特殊的元素；第三步：验排除:将特殊的元素代入进行验证，排除干扰项；第四步：定结果:根据排除的结果确定正确的选项。
易错提醒：对集合表示法的理解先观察研究对象（丨前），研究对象是点集还是数集，故要对本质进行剖析，需要明确集合中的代表元素类型及代表元素的含义.若A B ⊆，即A 是B 的子集，所以A B A = ，所以（4）正确；根据元素与集合的关系可知{}∅∈∅正确，也即（5）正确.所以正确的个数是4.故选：A易错点二：忽视（漏）空集导致错误（集合中的含参问题）1.利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围解题时务必注意:由于∅是任意集合的子集,若已知非空集合B,集合A 满足A ⊆B 或A ⊂B,则对集合A 分两种情中的含参问题况讨论:(1)当A=∅时,若集合A 是以不等式为载体的集合,则该不等式无解;(2)当A≠∅时,要利用子集的概念把子集关系转化为两个集合对应区间的端点值的大小关系,从而构造关于参数的不等式(组)求解.2.利用两集合的运算求参数的值或取值范围解决此类问题的步骤一般为:第一步：化简所给集合;第二步：用数轴表示所给集合;第三步：根据集合端点间关系列出不等式(组);(4)解不等式(组);第四步：检验,通过返回代入验证端点是否能够取到.第五步：解决此类问题多利用数形结合的方法,结合数轴或Venn 图进行求解.易错提醒：勿忘空集和集合本身.由于∅是任意集合的子集，是任何集合的真子集，任何集合的本身是该集合的子集，所以在进行列举时千万不要忘记。