圆章节知识点及练习题

圆章节知识点及其练习题一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；四、圆与圆的位置关系A外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD六、圆心角定理图4图5BD圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。

此定理也称1推3定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；③OC OF =；④ 弧BA =弧BD七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵90C ∠=︒ ∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

即：在△ABC 中，∵OC OA OB ==∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

BBABAO即：在⊙O 中，∵四边形ABCD 是内接四边形∴180C BAD ∠+∠=︒ 180B D ∠+∠=︒ DAE C ∠=∠九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

十、切线长定理 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB =PO 平分BPA ∠十一、圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。

PDB即：在⊙O 中，∵弦AB 、CD 相交于点P ， ∴PA PB PC PD ⋅=⋅（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

即：在⊙O 中，∵直径AB CD ⊥， ∴2CE AE BE =⋅（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

即：在⊙O 中，∵PA 是切线，PB 是割线 ∴ 2PA PC PB =⋅（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。

即：在⊙O 中，∵PB 、PE 是割线 ∴PC PB PD PE ⋅=⋅十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。

如图：12O O 垂直平分AB 。

即：∵⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点 ∴12O O 垂直平分AB 十三、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：12Rt O O C ∆中，221AB CO ==（2）外公切线长：2CO 是半径之差； 内公切线长：2CO 是半径之和 。

十四、圆内正多边形的计算 （1）正三角形BA在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ∆中进行：::2OD BD OB =；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在Rt OAE ∆中进行，::OE AE OA =（3）正六边形同理，六边形的有关计算在Rt OAB ∆中进行，::2AB OB OA =.十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形：（1）弧长公式：180n Rl π=； （2）扇形面积公式： 213602n R S lR π== n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积2、圆柱：（1）圆柱侧面展开图2S S S =+侧表底=222rh r ππ+（2）圆柱的体积：2V r h π=（2）圆锥侧面展开图（1）S S S =+侧表底=2Rr r ππ+（2）圆锥的体积：213V r h π=lOC 1D 1二、选择题：13. 若两圆相切，且两圆的半径分别是2，3，则这两个圆的圆心距是（ ）A. 5B. 1C. 1或5D. 1或414. ⊙O 1 和⊙O 2 的半径分别为1和4，圆心距O 1O 2＝5，那么两圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 内含 C. 外切 D. 外离或内含15．如果半径分别为1cm 和2cm 的两圆外切，那么与这两个圆都相切，且半径为3cm 的圆的个数有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个16．若两圆半径分别为R 和r （R ＞r ），圆心距为d ，且R 2＋d 2－r 2＝2Rd ，则两圆的位置关系是（ ）A. 内切B. 外切C. 内切或外切D. 相交17. 如图，⊙O 的直径为10厘米，弦AB 的长为6cm ，M 是弦AB 上的一动点，则线段OM 的长的取值范围是（ ）A. 3≤OM ≤5B. 4≤OM ≤5C. 3＜OM ＜5D. 4＜OM ＜5 18. 已知：⊙O 1和⊙O 2的半径是方程x 2－5x ＋6＝0 的两个根，且两圆的圆心距等于5则⊙O 1和⊙O 2的位置关系是（ ）A. 相交B. 外离C. 外切D. 内切19. 如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝2，⊙A 与BC 相切，则图中阴影部分的面积为（ ）A. 1－2π B. 1－3π C. 1－4π D. 1－5π20. 如图，点B 在圆锥母线VA 上，且VB ＝13VA ，过点B 作平行于底面的平面截得一个小圆锥，若小圆锥的侧面积为S 1，原圆锥的侧面积为S ，则下列判断中正确的是（ ）A. S 1＝13SB. S 1＝14SC. S 1＝16SD. S 1＝19S三、填空题21. 若半径分别为6和4的两圆相切，则两圆的圆心距d 的值是 _______________ 。

22. ⊙O 1和⊙O 2 的半径分别为20和15，它们相交于A ，B 两点，线段AB ＝24，则两圆的圆心距O 1O 2＝____。

23. ⑴⊙O 1和⊙O 2相切，⊙O 1的半径为4cm ，圆心距为6cm ，则⊙O 2的半径为__________; ⑵⊙O 1和⊙O 2相切，⊙O 1的半径为6cm ，圆心距为4cm ，则⊙O 2的半径为__________ABMO24.⊙O1、⊙O2和⊙O3是三个半径为1的等圆，且圆心在同一直线上，若⊙O2分别与⊙O1，⊙O3相交，⊙O1与⊙O3不相交，则⊙O1与⊙O3圆心距d的取值范围是_____。

25. 在△ABC，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点O是△ABC的外心，现在以O为圆心，分别以2、2.5、3、为半径作⊙O，则点C与⊙O的位置关系分别是_____________．26.如图在⊙O中，直径AB⊥弦CD，垂足为P，∠BAD＝30°，则∠AOC的度数是________度．27.在Rt△ABC，斜边AB＝13cm，BC＝12cm，以AB的中点O为圆心，2.5cm为半径画圆，则直线BC和⊙O的位置关系是________________．28.把一个半径为12厘米的圆片，剪去一个圆心角为120°的扇形后，用剩下的部分做成一个圆锥侧面，那么这个圆锥的侧面积是___________．29.已知圆锥的母线与高的夹角为30°，母线长为4cm，则它的侧面积为 ________ cm2（结果保留π）。

30. 一个扇形的弧长为4π，用它做一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为。

四、解答题：31. 已知：如图，⊙O1和⊙O2相交于点A、B，过点A的直线分别交两圆于点C，D点M 是CD的中点直线，BM分别交两圆于点E、F。

⑴求证：CE//DF⑵求证：ME＝MF32. △ABC的三边长分别为6、8、10，并且以A、B、C三点为圆心作两两相切的圆，求这三个圆的半径33.如图所示，⊙O1和⊙O2相切于P点，过P的直线交⊙O1于A,交⊙O2于B，求证：O1A ∥O2B34.如图，A 为⊙O 上一点，以A 为圆心的⊙A 交⊙O 于B 、C 两点，⊙O 的弦AD 交公共弦BC 于E 点。