第1章习题答案

arctan
zz，A r, θ, φ
arccos
²
²
²
arctan φ。
第 1 章习题答案（毕岗编写）
1‐11 将圆柱坐标系中的矢量场A ρ, φ, z 解：x ρcosφ，y ρ² ρsinφ，r z²r ρ² θ ρρ z²，θ φφ。 φφ,别用直角坐标系和球坐标系表示。 A x, y, z ρcosφx ρsinφy
3x cz,则由
2y
z都正交的单位矢量。 ，得C 0
√
A·C 0 B·C 0 a² b² c²
x
√
y
√
z或C
x
y
z。 xx yy x² zz分别用圆柱坐标系和球坐标系表示。 y² z²，θ x² y² arccos z²r
² ² ²
1‐10 将直角坐标系中的矢量场A 解：ρ x² y² x² z²ρ y²，φ arctan ，r φ ，A ρ, φ, z θ
1‐2 已知矢量A x 2y 3z, B 3x 2y z，求 1 A和B的大小； 2 A和B的单位矢量； 3 A和B之间的夹角； 4 A在B上的投影。 解： 1 A
√
√14， B arccos
√14； 2 eA ； 4 BA A B x
√
x y
√
y z
√
z，eB
√
x
√
y
z； 3 θ
1‐3 证明：若A · B A · C和A B A C，所以A 证明：因为A B C且A 0，则B C 0。又因A C。 0，所以B C 0，因此B C。
A
A。
yzx xzy xyz既是无散场又是无旋场。 0，所以A x, y, z 既是无散场又是无旋场。 A y A A y z A Φ x ·Φ x A
A
A。 y A Φ y
A
z Φ A A z 左边，所以 ΦA Φ· ΦA A z
A A A
Φ
A
A
A
x
Φ
A
A
x
A
A
y
A
A
z ΦA ΦA
A
·Φ
1‐13 求标量场u x, y, z 导数。 解： u|
µ µ , ,
√
√
√
36x
24y
72z，cosα
√
，cosβ
√
，cosγ
√
，方向导数
48√2。
1‐14 求u ρ, φ, z 解： u cosφρ 1‐15 求u r, θ, φ 解： u
ρcosφ的梯度。 sin φ。 r²sinθcosφ的梯度。 rcosθsinφθ rsinφφ。 。
A。 2zρsinφz和B 3y 2x x x²y
1‐27 已知矢量A、B分别为A z²sinφρ z²cosφφ 2zz，求 1 哪个矢量可以由一个标量的梯度表示； 2 哪个矢量可以由一个矢量的旋度表示z， · A 2ρsinφ， · B 1 A可以由一个标量的梯度表示； 2 B可以由一个矢量的旋度表示； 3 A有散场无旋场，B无散场由旋场。
2rsinθcosφr
1‐16 在球坐标系中，已知 解：E 1‐17 在圆柱坐标系中，矢量场E r 的环量积分为 0，即 证明： E E · dl 0。 r
，p和ε 为常数，求矢量场E φ。5
r，其中 k 为常数，证明矢量E r 对任意闭合曲线 l
0，由斯托克斯定理，得
E · dl
S
E · dS
ydy
⁴
，
A · dS
y²z · dS
，因此
A · dl
A · dS，故斯托克斯定理成立。
1‐24 已知矢量场A x, y, z yx xy，计算A · 解： A 2z，A · A 0。 1‐25 证明矢量场A x, y, z 证明：因为A 0， A 1‐26 证明 ΦA Φ· x 证明：因为 右边=Φ · A Φ
zz，A r, θ, φ
1‐12 将球坐标系中的矢量场A r, θ, φ 解： x rsinθcosφ 0，y rsinθsinφ
rr,别用直角坐标系和圆坐标系表示。 0，z rcosθ r，ρ x² y² 0，A x, y, z
rz，A ρ, φ, z
rz。 x²y²z²的梯度及在点M 2,3,1 沿方向l x y z的方向
V
· A · dV A · dS
0；
V
S
0，验证 因为
· A · dV
S
A · dS，所以高斯散度定理成立。
1‐21 求下列函数的 ²u： 1 直角坐标系 u x, y, z 2 圆柱坐标系 u ρ, φ, z 3 球坐标系 u r, θ, φ 解： 1 2 3 u u u 2y z 1 ； ρ 0。 2x z； x²y²z； ρ； k ，k 为常数。 r
1‐4 证明：如果A，B和C在同一平面上，则A · B C 证明：因为B，C在同平面，所以 B C S，因此 B A · B C · cosθ 0。
0。 C A，故θ
90°。A · B
C
1‐5 求点A 2,3,1 指向B 1,3,1 的单位矢量和两点间的距离。 解：AB B A 1,0,0 ， AB 1，eAB 1,0,0 。
S
A · dS
S
A · dS
ρ ρ
2zz · ρρdφdz
1200π，故
V
S
A · dS，因此高斯散度定理成立。
1‐20 已知矢量A x, y, z y²z²x x²z²y x²y²z， 1 求 · A； 2 求 · A对中心立方体的积 分； 3 求A对立方体表面的通量，并验证散度定理。 解： 1 · A 0； 2 3
1‐22 求下列矢量场的旋度： 1 直角坐标系A x, y, z 2 圆柱坐标系A ρ, φ, z 3 球坐标系A r, θ, φ 解： 1 2 3 A A A xx x²y y²zz； ρcos²φρ ρsinφφ；
³
r
³
φ。
2yzx 2xz； 2 sinφ cosφsinφ z；
⁴
r
⁴
θ
⁴
φ。
1‐23 求矢量场A x, y, z
第 1 章习题答案（毕岗编写）
第 1 章 1‐1 已 知 矢 量 A 2x 3y z，B x B； 3 A · B ； 4 A B ； 5 A B · C ； 6 解： 1 A B 3x y 3z； 2 A B 41； 6 A · B 9y 7z； 5 A B · C 2y 4z，C 3x 2y A · B C 。 x 5y 5z； 3 A · B C ‐41。 z，求 1 A 8； 4 A B B； 2 A 10x
0。
1‐7 求标量场u xyz在 1,1,1 点上的值。理解矢量场和标量场之间的区别。 解： u| , , xyz| , , 1，矢量场有方向，标量场无方向。 1‐8 求函数u x, y, z 1‐9 求与矢量A 解：设单位矢量C
√ √ √
arcsin
²
的值面方程。
x
y ax
z，B by
x²x
xy²y沿圆周x²
y²
a²的线积分。再求
A对此圆周所围
第 1 章习题答案（毕岗编写）
面积的面积分，并验证斯托克斯定理。 解：x A · dl
S
acosφ，dx
asinφdφ，y
asinφ，dy
acosφdφ， x²x
S
a cos φsinφ
S
a cos φsin φ · dφ
⁴
xy²y · xdx
A A
； 0。 4围成的圆柱形区域中，求矢量A ρ, φ, z ρ ρ 2zz的散度，
1‐19 在由ρ 5，φ 0，z 并验证高斯散度定理。 解： · A 证明：由于
S
3ρ
V
2； · A · dV 3ρ 2 · dρdφdz 1200π，
A · dS
S
A · dS · A · dV
0。
1‐18 计算下面矢量的散度： 1 直角坐标系A x, y, z 2 圆柱坐标系A ρ, φ, z 3 球坐标系A r, θ, φ 解： 1 A 0；
²
yzx xzy xyz，并求其在 1,0, 1 处的值； ρ ρφ； r，k 为常数。
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