幂函数、零点与函数的应用.板块二.函数的零点.学生版

题型一：函数的零点 【例1】 若1()xfxx，则方程(4)fxx的根是( ) A．12 B．－12 C．2 D．－2 【考点】函数的零点 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 【答案】A

【例2】 若函数1yax在(0,1)内恰有一解，则实数a的取值范围是（ ）. A. 1a B. 1a C. 1a D. 1a 【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 【答案】B

【例3】 已知函数()34fxmx，若在[2,0]上存在0x，使0()0fx，则实数m的取值范围是 . 【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】无 【解析】 ∵在[2,0]上存在0x，使0()0fx， 则(2)(0)0ff，

∴ (64)(4)0m，解得23m.

所以， 实数m的取值范围是2(,]3. 点评：根的分布问题，实质就是函数零点所在区间的讨论，需要逆用零点存在性定理，转化得到有关参数的不等式

【答案】2(,]3

典例分析 板块二.函数的零点 【例4】 函数()23xfx的零点所在区间为（ ） A. （1，0） B. （0，1） C. （1，2） D. （2，3） 【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 【答案】C

【例5】 函数()ln26fxxx的零点一定位于区间（ ）. A. (1, 2) B. (2 , 3) C. (3, 4) D. (4, 5) 【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 易知函数()fx在定义域(0,)内是增函数.

∵(1)ln12640f，(2)ln246ln220f，(3)ln366ln30f.

∴ (2)(3)0ff，即函数()fx的零点在区间(2,3). 所以选B. 【答案】B

【例6】 函数2log21fxxx的零点必落在区间 （ ） A.41,81 B.21,41 C.1,21 D.(1,2) 【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】2009年，泉州市，高考模拟 【解析】

【答案】 C

【例7】 函数xxxfln)(的零点所在的区间为 （ ） .A．（－1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（1，e） 【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】

【答案】B 【例8】 若函数01xfxaxaaa且有两个零点，则实数a的取值范围是 . 【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】2009年，山东文，高考 【解析】 设函数(0,xyaa且1}a和函数yxa,则函数 01xfxaxaaa且有两个零点, 就是函数(0,xyaa且1}a与

函数yxa有两个交点,由图象可知当10a时两函数只有一个交点,不符合,当1a时,因为函数(1)xyaa的图象过点(0,1),而直线yxa所过的点（0，a）一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是}1|{aa.

【答案】}1|{aa

【例9】 利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间： （1）3()21fxxx； （2）1()32xfxex. 【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 （1）易知函数3()21fxxx在定义域R上是减函数. 用计算器或计算机作出,()xfx的对应值表或图象. x -3 -2 -1 0 1 2 3 ()fx 34 13 4 1 -2 -11 -32

由列表或图象可知，(0)0f，(1)0f，即(0)(1)0ff，说明函数()fx在区间(0,1)内有零点，且仅有一个. 所以函数()fx的零点所在大致区间为(0,1). （2）易知函数1()32xfxex在定义域R上是增函数. 用图形计算器或计算机作出图象. 由图象可知，(2)0f，(1)0f，即(2)(1)0ff，说明函数()fx在区间(2,1)内有零点，且仅有一个. 所以函数()fx的零点所在大致区间为(2,1). 【答案】（1）(0,1)

（2）(2,1)

【例10】 已知函数()fx图象是连续的，有如下表格，判断函数在哪几个区间上有零点. x －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 fx －3.51 1.02 2.37 1.56 －0.38 1.23 2.77 3.45 4.89

【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 【答案】（－2，－1.5）、（－0.5，0）、（0，0.5）内有零点

【例11】 画出函数3()231fxxx的图象，判断函数在以下区间(-1.5，-1)，(0，0.5)，(0.8，1.5)内有无零点，并判断零点的个数. 【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 通过作出x、fx的对应值表(如下).

x -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

fx -1.25 2 2.25 1 -0.25 0 3.25

所以图象为

由上表和上图可知，1.50f，10f，即1.510ff，说明这个函数在区间1.5,1内有零点.同样，它在区间(0，0.5)内也有零点.另外，10f，所以1也是它的零点.由于函数fx在定义域,1.5和(1，)

内是增函数，所以它共有3个零点.． 【答案】共有3个零点

【例12】 求函数3222yxxx的零点，并画出它的图象. 【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 因为32222(2)(2)(2)(1)(1)yxxxxxxxxx

所以函数的零点为-1，1，2 3个零点把x轴分成4个区间：(-∞，-1)、(-1，1)、(1，2)、(2，+∞). 在这四个区间内，取x的一些值，以及零点，列出这个函数的对应值表： x -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

y -4.38 0 1.88 2 1.13 2 -0.63 0 2.63

在直角坐标系内描点连线，这个函数的图象如图所示. 【答案】零点为-1，1，2 【例13】 函数()yfx的图象是在R上连续不断的曲线，且(1)(2)0ff，则()yfx在区间[1,2]上（ ）. A. 没有零点 B. 有2个零点 C. 零点个数为偶数 D. 零点个数为k，kN 【考点】函数的零点 【难度】3星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 【答案】D

【例14】 已知函数)(xfy和)(xgy在]2,2[的图象如下所示： 给出下列四个命题： ①方程0)]([xgf有且仅有6个根 ②方程0)]([xfg有且仅有3个根

③方程0)]([xff有且仅有5个根 ④方程0)]([xgg有且仅有4个根 其中正确的命题是 ．（将所有正确的命题序号填在横线上）. 【考点】函数的零点 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】2009年，北京市石景山，高考一模 【解析】

【答案】①③④

【例15】 若函数fx的零点与422xgxx的零点之差的绝对值不超过0.25， 则fx可以是

A. 41fxx B. 2(1)fxx C. 1xfxe D. 1ln2fxx



【考点】函数的零点 【难度】3星 【题型】选择 【关键词】2009年，福建文，高考

【解析】 41fxx的零点为14x,2(1)fxx的零点为1x, 1xfxe的

零点为0x, 1ln2fxx的零点为32x.现在我们来估算422xgxx的零点，因为01g,112g,所以g(x)的零点x(0, 21),

又函数fx的零点与422xgxx的零点之差的绝对值不超过0.25，只有41fxx的零点适合，故选A。 【答案】A

题型二：二次函数的零点与方程 函数在方程中的应用主要是构造函数，确定方程的实根的个数、讨论方程的实根的存在性和唯一性问题以及讨论方程的实根的范围问题.主要方法是构造各种函数，利用数形结合，观察函数图象的交点等等.

【例16】 函数2243yxx的零点个数（ ）. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 不能确定 【考点】二次函数的零点与方程 【难度】1星 【题型】选择