高中数学人教A版选修4-4模块检测卷(一) Word版含解析
高中数学人教A版选修4-1学业分层测评1 平行线等分线段定理 Word版含解析
学业分层测评(一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．如图1113，已知l 1∥l 2∥l 3，AB ，CD 相交于l 2上一点O ，且AO ＝OB ，则下列结论中错误的是( )图1113A ．AC ＝BDB ．AE ＝EDC ．OC ＝ODD ．OD ＝OB【解析】 由l 1∥l 2∥l 3知AE ＝ED ，OC ＝OD ， 由△AOC ≌△BOD 知AC ＝BD ， 但OD 与OB 不能确定其大小关系． 故选D. 【答案】 D2．如图1114，已知AE ⊥EC ，CE 平分∠ACB ，DE ∥BC ，则DE 等于( )【导学号：07370003】图1114A ．BC －ACB ．AC －BF C.(AB －AC ) 12D.(BC －AC ) 12【解析】 由已知得CE 是线段AF 的垂直平分线． ∴AC ＝FC ，AE ＝EF . ∵DE ∥BC ，∴DE 是△ABF 的中位线， ∴DE ＝BF ＝(BC －AC )．1212【答案】 D3．如图1115所示，过梯形ABCD 的腰AD 的中点E 的直线EF 平行于底边，交BC 于F ，若AE 的长是BF 的长的，则FC 是ED 的( )23图1115A.倍B.倍 2332C ．1倍D.倍 12【解析】 ∵AB ∥EF ∥DC ，且AE ＝DE ， ∴BF ＝FC .又∵AE ＝BF ，23∴FC ＝ED .32【答案】 B4．如图1116，在梯形ABCD 中，E 为AD 的中点，EF ∥AB ，EF ＝30 cm ，AC 交EF 于G ，若FG －EG ＝10 cm ，则AB ＝( )图1116A ．30 cmB ．40 cmC ．50 cmD ．60 cm【解析】 由平行线等分线段定理及推论知，点G ，F 分别是线段AC ，BC 的中点，则EG ＝DC ，FG ＝AB ，1212∴Error!Error! 解得Error! 【答案】 B5.如图1117，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为BC 中点，且AE ∥DC ，AE 交BD 于点F ，过点F 的直线交AD 的延长线于点M ，交CB 的延长线于点N ，则FM 与FN 的关系为( )图1117A ．FM >FNB ．FM <FNC ．FM ＝FND ．不能确定【解析】 ∵AD ∥BC ，AE ∥DC ， ∴四边形AECD 是平行四边形. ∴AD ＝EC ＝BC ，12即BE ＝EC ＝AD . ∴△ADF ≌△EBF ， ∴AF ＝FE ， ∴△AFM ≌△EFN ， ∴FM ＝FN . 【答案】 C 二、填空题6．如图1118所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝2，BC ＝6，E ，F 分别为对角线BD ，AC 的中点，则EF ＝____.图1118【解析】 如图所示，过E 作GE ∥BC 交BA 于G .∵E 是DB 的中点，∴G 是AB 的中点，又F 是AC 的中点， ∴GF ∥BC ，∴G ，E ，F 三点共线， ∴GE ＝AD ＝1，GF ＝BC ＝3，1212∴EF ＝GF －GE ＝3－1＝2. 【答案】 27．如图1119，已知在△ABC 中，AD ∶DC ＝1∶1，E 为BD 的中点，AE 延长线交BC 于F ，则BF 与FC 的比值为__________．【导学号：07370004】图1119【解析】 过D 作DG 平行于BC ，交AF 于点G ，再根据平行线等分线段定理即可解决．【答案】 128．如图1120，在△ABC 中，E 是AB 的中点，EF ∥BD ，EG ∥AC ，CD ＝AD ，若EG ＝5 cm ，则AC ＝________；若BD ＝20 cm ，则EF ＝________. 12图1120【解析】 ∵E 为AB 的中点，EF ∥BD ， ∴F 为AD 的中点．∵E 为AB 的中点，EG ∥AC ，∴G 为BD 的中点，若EG ＝5 cm ，则AD ＝10 cm ，又CD ＝AD ＝5 cm ，∴AC ＝15 cm.若BD ＝20 cm ，则EF ＝BD ＝101212cm.【答案】 15 cm 10 cm 三、解答题9．(2016·南京模拟)如图1121，在梯形ABCD 中，CD ⊥BC ，AD ∥BC ，E 为腰CD 的中点，且AD ＝2 cm ，BC ＝8 cm ，AB ＝10 cm ，求BE 的长度．图1121【解】 过E 点作直线EF 平行于BC ，交AB 于F ，作BG ⊥EF 于G (如图)，因为E 为腰CD 的中点，所以F 为AB 的中点，所以BF ＝AB ＝5 cm ， 12又EF ＝＝＝5(cm)，AD ＋BC 22＋82GF ＝BC －FE ＝8 cm －5 cm ＝3 cm ， 所以GB ＝＝＝4 cm ， BF 2－GF 225－9EC ＝GB ＝4 cm ，所以BE ＝＝＝4(cm)．BC 2＋CE 282＋42510．用一张矩形纸，你能折出一个等边三角形吗？如图1122(1)，先把矩形纸ABCD 对折，设折痕为MN ；再把B 点叠在折痕线上，得到Rt △ABE ，沿着EB 线折叠，就能得到等边△EAF ，如图(2)．想一想，为什么？图1122【解】 利用平行线等分线段定理的推论2， ∵N 是梯形ADCE 的腰CD 的中点，NP ∥AD ， ∴P 为EA 的中点．∵在Rt △ABE 中，PA ＝PB (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)， ∴∠1＝∠3. 又∵PB ∥AD ，∴∠3＝∠2，∴∠1＝∠2. 又∵∠1与和它重合的角相等， ∴∠1＝∠2＝30°.在Rt △AEB 中，∠AEB ＝60°，∠1＋∠2＝60°， ∴△AEF 是等边三角形．[能力提升]1．如图1123，AD 是△ABC 的高，E 为AB 的中点，EF ⊥BC 于F ，如果DC ＝BD ，那么FC 是BF 的( )13图1123A.倍B.倍 5343C.倍 D.倍 3223【解析】 ∵EF ⊥BC ，AD ⊥BC ，∴EF ∥AD . 又E 为AB 的中点，由推论1知F 为BD 的中点， 即BF ＝FD .又∵DC ＝BD ，∴DC ＝BF .1323∴FC ＝FD ＋DC ＝BF ＋DC ＝BF .53【答案】 A2．梯形的一腰长10 cm ，该腰和底边所形成的角为30°，中位线长为12 cm ，则此梯形的面积为( )A ．30 cm 2B ．40 cm 2C ．50 cm 2D ．60 cm 2【解析】 如图，过A 作AE ⊥BC ，在Rt △ABE 中，AE ＝AB sin 30°＝5 cm.又已知梯形的中位线长为12 cm ，∴AD ＋BC ＝2×12＝24(cm)． ∴梯形的面积S ＝(AD ＋BC )·AE12＝×5×24＝60(cm 2)． 12【答案】 D3．如图1124，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，M 是AD 的中点，CM 交AB 于P ，DN ∥CP ，若AB ＝9 cm ，则AP ＝__________；若PM ＝1 cm ，则PC ＝__________.【导学号：07370005】图1124【解析】 由AB ＝AC 和AD ⊥BC ，结合等腰三角形的性质，得D 是BC 的中点．再由DN ∥CP ，可得N 是BP 的中点．同理可得P 是AN 的中点，由此可得答案．【答案】 3 cm 4 cm4．如图1125所示，AE ∥BF ∥CG ∥DH ，AB ＝BC ＝CD ，AE ＝12，DH12＝16，AH 交BF 于点M ，求BM 与CG 的长．图1125【解】 如图，取BC 的中点P ，作PQ ∥DH 交EH 于点Q ，则PQ 是梯形ADHE 的中位线．∵AE ∥BF ∥CG ∥DH ， AB ＝BC ＝CD ，12AE ＝12，DH ＝16， ∴＝，＝， AB AD 14BM DH AB AD ∴＝， BM 1614∴BM ＝4.∵PQ 为梯形的中位线，∴PQ ＝(AE ＋DH )＝(12＋16)＝14.1212同理，CG ＝(PQ ＋DH )＝(14＋16)＝15.1212。
2019-2020学年高中数学人教A版选修4-4学案：第二讲 一 2. 圆的参数方程 Word版含答案
2．圆的参数方程[对应学生用书P17]圆的参数方程(1)在t 时刻，圆周上某点M 转过的角度是θ，点M 的坐标是(x ，y )，那么θ＝ωt (ω为角速度)．设|OM |＝r ，那么由三角函数定义，有cosωt ＝x r，sinωt ＝y r，即圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝rcosωt y ＝rsinωt(t 为参数)．其中参数t 的物理意义是：质点做匀速圆周运动的时间．(2)若取θ为参数，因为θ＝ωt ，于是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rcos θy ＝rsin θ(θ为参数)．其中参数θ的几何意义是：OM 0(M 0为t ＝0时的位置)绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时，OM 0转过的角度．(3)若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为R ，则圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x0＋Rcos θy ＝y0＋Rsin θ(0≤θ＜2π)．[对应学生用书P17][例1] 圆(x －r )2＋y 2＝r 2(r ＞0)，点M 在圆上，O 为原点，以∠MOx ＝φ为参数，求圆的参数方程．[思路点拨] 根据圆的特点，结合参数方程概念求解． [解] 如图所示，设圆心为O ′，连O ′M ，∵O ′为圆心， ∴∠MO ′x ＝2φ. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋rcos 2φ，y ＝rsin 2φ.(1)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题容易把参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋rcos φ，y ＝rsin φ.(2)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．1．已知圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，写出它的参数方程． 解：x 2＋y 2＝2x 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1， 设x －1＝cos θ，y ＝sin θ，则 参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜2π)．2．已知点P (2,0)，点Q 是圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ上一动点，求PQ 中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解：设中点M (x ，y )．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ2，y ＝0＋sin θ2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12cos θ，y ＝12sin θ，(θ为参数)这就是所求的轨迹方程．它是以(1,0)为圆心，以12为半径的圆.[例2] 若x ，y 满足(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，求2x ＋y 的最值．[思路点拨] (x －1)2＋(y ＋2)2＝4表示圆，可考虑利用圆的参数方程将求2x ＋y 的最值转化为求三角函数最值问题．[解] 令x －1＝2cos θ，y ＋2＝2sin θ，则有 x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ－2， 故2x ＋y ＝4cos θ＋2＋2sin θ－2. ＝4cos θ＋2sin θ＝25sin(θ＋φ)． ∴－25≤2x ＋y ≤25.即2x ＋y 的最大值为25，最小值为－25.圆的参数方程突出了工具性作用，应用时，把圆上的点的坐标设为参数方程形式，将问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题．3．已知圆C ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a 的取值范围．解：法一：∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ消去θ，得x 2＋(y ＋1)2＝1.∴圆C 的圆心为(0，－1)，半径为1. ∴圆心到直线的距离d ＝|0－1＋a|2≤1.解得1－2≤a ≤1＋2.法二：将圆C 的方程代入直线方程，得 cos θ－1＋sin θ＋a ＝0， 即a ＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sin(θ＋π4)．∵－1≤sin(θ＋π4)≤1，∴1－2≤a ≤1＋2.[对应学生用书P19]一、选择题1．圆的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．则圆的圆心坐标为( )A ．(0,2)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(2,0)解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ化为(x －2)2＋y 2＝4，其圆心坐标为(2,0)．答案：D2．直线：x ＋y ＝1与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ化为x 2＋y 2＝4，它表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆，由于12＝22<2＝r ，故直线与圆相交，有两个公共点． 答案：C3．直线：3x －4y －9＝0与圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ，(θ为参数)的位置关系是( )A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心解析：圆心坐标为(0,0)，半径为2，显然直线不过圆心，又圆心到直线距离d ＝95<2，故选D.答案：D4．P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)上任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( )A ．36B ．6C ．26D ．25解析：设P (2＋cos α，sin α)，代入得： (2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2 ＝25＋sin 2α＋cos 2α－6cos α＋8sin α ＝26＋10sin(α－φ)．∴最大值为36.答案：A 二、填空题5．x ＝1与圆x 2＋y 2＝4的交点坐标是________． 解析：圆x 2＋y 2＝4的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，令2cos θ＝1得cos θ＝12，∴sin θ＝±32.∴交点坐标为(1，3)和(1，－3)．答案：(1，3)；(1，－3)6．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋4sin φ，y ＝4cos φ－3sin φ表示的图形是________．解析：x 2＋y 2＝(3cos φ＋4sin φ)2＋(4cos φ－3sin φ)2＝25.∴表示圆． 答案：圆7．设Q (x 1，y 1)是单位圆x 2＋y 2＝1上一个动点，则动点P (x 21－y 21，x 1y 1)的轨迹方程是________．解析：设x 1＝cos θ，y 1＝sin θ，P (x ，y )． 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x21－y21＝cos 2θ，y ＝x1y1＝12sin 2θ.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝12sin 2θ，为所求．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θy ＝12sin 2θ三、解答题8．P 是以原点为圆心，r ＝2的圆上的任意一点，Q (6,0)，M 是PQ 中点 ①画图并写出⊙O 的参数方程；②当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹的参数方程． 解：①如图所示，⊙O 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ.②设M (x ，y )，P (2cos θ，2sin θ)， 因Q (6,0)，∴M 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋2cos θ2，y ＝2sin θ2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ.9．(新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t(t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，32. 10．已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋tcos α，y ＝tsin α(t 为参数)，圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点．当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．解：(1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1. 联立方程组错误!解得C 1与C 2的交点为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，－32. (2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0. A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)， 故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin2α，y ＝－12sin αcos α，(α为参数)．P 点轨迹的普通方程为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －142＋y 2＝116.故P 点轨迹是圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，0，半径为14的圆．。
高中数学人教A版选修4-4优化练习第二讲一第二课时圆的参数方程含解析
[课时作业] [A 组 基础巩固]1．曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ－1，y ＝sin θ＋1(θ为参数)的普通方程为( )A ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝1D ．(x －1)2＋(y －1)2＝1解析：由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －1，两式平方再相加，可得(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，故选C.答案：C2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋4sin φ，y ＝4cos φ－3sin φ表示的图形是( )A ．直线B ．点C ．圆D ．椭圆解析：将参数方程化为普通方程为x 2＋y 2＝25，表示的图形是以原点为圆心，以5为半径的圆．答案：C3．若直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝－2＋sin θ(θ为参数)相切，则实数m 的值是( )A ．0B ．10C ．0或10D ．无解解析：由题意，知圆心(1，－2)，半径r ＝1.由直线与圆相切，可知圆心到直线的距离等于半径，所以d ＝|m －5|5＝1，解得m ＝0或m ＝10.答案：C4．P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)上任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( )A ．36B ．6C ．26D ．25解析：设P (2＋cos α，sin α)，代入得： (2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2＝25＋sin 2α＋cos 2α－6cos α＋8sin α ＝26＋10sin(α－φ)．∴最大值为36. 答案：A5．若直线l ：y ＝kx 与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)有唯一的公共点，则斜率k＝( )A.33B ．－33C ．±33D. 3解析：曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)的普通方程为(x －2)2＋y 2＝1，所以曲线C 是一个圆心为(2,0)、半径为1的圆．因为圆C 与直线l 有唯一的公共点，即圆C 与直线l 相切，则圆心(2,0)到直线l 的距离d ＝|2k －0|k 2＋(－1)2＝1，解得k ＝±33.答案：C6．x ＝1与圆x 2＋y 2＝4的交点坐标是________．解析：圆x 2＋y 2＝4的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，令2cos θ＝1得cos θ＝12，∴sin θ＝±32.∴交点坐标为(1，3)和(1，－3)． 答案：(1，3)，(1，－3)7．若直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos θ，y ＝t sin θ(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)相切，则θ＝________. 解析：直线为y ＝x tan θ，圆为(x －4)2＋y 2＝4，作出图形(图略)，直线与圆相切时，易知tan θ＝±33，所以θ＝π6或θ＝5π6.答案：π6或5π68．圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sin θ＋4cos θ，y ＝4sin θ－3cos θ(θ为参数)，则此圆的半径为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sin θ＋4cos θ，y ＝4sin θ－3cos θ，得x 2＋y 2＝(3sin θ＋4cos θ)2＋(4sin θ－3cos θ)2＝25(sin 2 θ＋cos 2 θ)＝25， 所以圆的半径为5.答案：59．圆M 的参数方程为x 2＋y 2－4Rx cos α－4Ry sin α＋3R 2＝0(R ＞0)． (1)求该圆的圆心坐标以及半径；(2)当R 固定，α变化时，求圆心M 的轨迹． 解析：(1)依题意，得圆M 的方程为 (x －2R cos α)2＋(y －2R sin α)2＝R 2，故圆心坐标为M (2R cos α，2R sin α)，半径为R . (2)当α变化时，圆心M 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2R cos α，y ＝2R sin α(其中α为参数)， 两式平方相加，得x 2＋y 2＝4R 2.所以，圆心M 的轨迹是圆心在原点，半径为2R 的圆． 10．若x ，y 满足(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，求S ＝2x ＋y 的最值．解析：由(x －1)2＋(y ＋2)2＝4知，它表示以(1，－2)为圆心，半径为2的圆， 设x ＝1＋2cos θ，y ＝－2＋2sin θ， ∴S ＝2x ＋y ＝2＋4cos θ－2＋2sin θ ＝4cos θ＋2sin θ＝25sin(θ＋φ)， ∴－25≤S ≤2 5.∴S 的最大值为25，最小值为－2 5.[B 组 能力提升]1．设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ(θ为参数)，直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，则曲线C 上到直线l 距离为71010的点的个数为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：∵曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ(θ为参数)，∴(x －2)2＋(y ＋1)2＝9，而l 的方程为x －3y ＋2＝0， ∴圆心(2，－1)到l 的距离 d ＝|2＋3＋2|1＋9＝710＝71010.又∵71010<3，141010>3，∴有2个点．答案：B2．若直线y ＝x －b 与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ∈[0,2π))有两个不同的公共点，则实数b的取值范围为( )A ．(2－2，1)B ．[2－2，2＋ 2 ]C ．(－∞，2－2)∪(2＋2，＋∞)D ．(2－2，2＋2)解析：曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ，即为圆(x －2)2＋y 2＝1.直线y ＝x －b 与圆(x －2)2＋y 2＝1有两个不同的公共点，则圆心(2,0)到直线y ＝x －b 的距离小于圆的半径1，即|2－b |2<1，∴2－2<b <2＋ 2. 答案：D3．设Q (x 1，y 1)是单位圆x 2＋y 2＝1上一个动点，则动点P (x 21－y 21，x 1y 1)的轨迹方程是________．解析：设x 1＝cos θ，y 1＝sin θ，P (x ，y )．则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 21－y 21＝cos 2θ，y ＝x 1y 1＝12sin 2θ.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝12sin 2θ为所求． 答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝12sin 2θ4．圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋4cos θ，y ＝－3＋4sin θ(0≤θ＜2π)，若圆上一点P 对应参数θ＝43π，则P 点的坐标是________．解析：当θ＝43π时，x ＝2＋4cos 43π＝0，y ＝－3＋4sin 43π＝－33，∴点P 的坐标是(0，－33)． 答案：(0，－33)5．P 是以原点为圆心，r ＝2的圆上的任意一点，Q (6,0)，M 是PQ 的中点． (1)画图并写出⊙O 的参数方程；(2)当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹的参数方程．解析：(1)如图所示，⊙O 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ.(2)设M (x ，y )，P (2cos θ，2sin θ)，因Q (6,0)， ∴M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝6＋2cos θ2，y ＝2sin θ2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ. 6．已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)． (1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点．当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．解析：(1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1.联立方程组⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点为(1,0)，⎝⎛⎭⎫12，－32.(2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0. A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)， 故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α(α为参数)．P 点轨迹的普通方程为(x －14)2＋y 2＝116.故P 点轨迹是圆心为⎝⎛⎭⎫14，0，半径为14的圆．。
高中数学人教A版选修4-4阶段质量检测(二)A卷Word版含解析.docx
阶段质量检测（二） A 卷一、选择题 (本大题共10 小题，每小题 6 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知曲线的方程为x＝ 2t，(t 为参数 )，则下列点中在曲线上的是 () y＝ tA． (1,1)B． (2,2) C． (0,0) D． (1,2)解析：选 C当t＝0时，x＝0且y＝0，即点(0,0)在曲线上．x＝－ 1＋ cos θ，2． (北京高考 )曲线(θ为参数 )的对称中心 ()y＝ 2＋ sin θA．在直线 y＝ 2x 上B．在直线 y＝－ 2x 上C．在直线 y＝ x－ 1 上D．在直线 y＝ x＋ 1 上解析：选 Bx＝－ 1＋ cos θ，曲线(θ为参数 )的普通方程为y＝ 2＋ sin θ(x＋ 1)2＋ (y－ 2)2＝ 1，该曲线为圆，圆心 (－ 1,2)为曲线的对称中心，其在直线y＝－ 2x 上，故选 B.3．直线 l 的参数方程为x＝ a＋ t(t 为参数 )， l 上的点 P1对应的参数是 t1，则点 P1与y＝ b＋ tP(a， b)之间的距离是 ()2 A． |t1 |B． 2|t1| C.2|t1| D.2 |t1|解析：选 C∵ P1 (a＋ t1， b＋ t1)， P(a， b)，∴ |P1P|＝a＋ t1－ a2＋ b＋ t1－ b 2＝ t12＋ t12＝ 2|t1|.4．已知三个方程：①x＝ t，x＝ tan t，②y＝ tan2 t，y＝ t2，x＝ sin t，③(都是以 t 为参数 )．那么表示同一曲线的方程是()y＝ sin2tA．①②③B．①② C ．①③D．②③解析：选 B①②③的普通方程都是y＝ x2，但①②中 x 的取值范围相同，都是x∈ R，而③中 x 的取值范围是－ 1≤ x≤ 1.15．参数方程x＝ t＋t(t 为参数 )所表示的曲线是 ()y＝－ 2A．一条射线B．两条射线 C．一条直线 D．两条直线解析：选 B因为 x＝ t＋1∈ (－∞，－ 2]∪ [2，＋∞ )，t即 x ≤－ 2 或 x ≥ 2，故是两条射线．46．已知曲线 C 的参数方程为x ＝ 6＋ cos θ(θ为参数， π≤ θ＜ 2π)．已知点 M (14，a)y ＝ 5tan θ－ 3在曲线 C 上，则 a ＝ ()55A ．－ 3－ 5 3B ．－ 3＋5 3C ．－ 3＋ 3 3D ．－ 3－3 3解析： 选 A ∵ (14， a)在曲线 C 上，4∴14＝ 6＋ cos θ ① a＝ 5tan θ－ 3 ②由①得： cos θ＝1，又 π≤θ＜ 2π.2∴ sin θ＝－ 1－ 1 2＝－ 3，∴ tan θ＝－ 3.2 2∴ a ＝ 5·(－ 3)－ 3＝－ 3－ 5 3.7．直线x ＝－ 2－ 2t ，2的点的坐标是 ()y ＝ 3＋ 2t(t 为参数 )上与点 P(－ 2,3)的距离等于A ． (－ 4,5)B ． (－ 3,4)C ． (－ 3,4)或 (－ 1,2)D ． (－ 4,5)或 (0,1)解析： 选 C 可以把直线的参数方程转化成标准式，或者直接根据直线参数方程的非标准式中参数的几何意义可得－2 2＋ 2 2·|t|＝ 2，解得 t ＝ ±2，将 t 代入原方程，得2x ＝－ 3， x ＝－ 1， 所以所求点的坐标为 (－ 3， 4)或 (－ 1,2)． 或y ＝ 2，y ＝ 48．若圆的参数方程为x ＝－ 1＋ 2cos θ， x ＝ 2t －1， y ＝ 3＋ 2sin θ (θ为参数 )，直线的参数方程为y ＝6t －1(t 为参数 )，则直线与圆的位置关系是()A ．过圆心B ．相交而不过圆心C ．相切D ．相离解析： 选 B 将圆、直线的参数方程化成普通方程，利用圆心到直线的距离与圆的半径进行比较，可知圆心到直线的距离小于半径，并且圆心不在直线上．x ＝ 2sec θ，(θ为参数 )的两个焦点，点 P 在双曲线上，且满9．设 F 1 和 F 2 是双曲线y ＝ tan θ足∠ F 1PF 2＝ 90°，那么△ F 1PF 2 的面积是 ()5A． 1 B. 2C． 2D． 5x22解析：选 A方程化为普通方程是4－ y＝1，∴ b＝ 1.|PF 1|2＋|PF 2|2＝ 4c2，由题意，得|PF 1|－ |PF 2| 2＝ 4a2.∴2|PF 1| ·|PF 2|＝ 4b2.12∴ S＝ |PF 1| ·|PF 2|＝b ＝ 1.210．已知方程2－ ax＋ b＝ 0 的两根是 sin θ和 cos θ θ≤π，则点 (a，b)的轨迹是 ()x| |4A．椭圆弧B．圆弧 C ．双曲线弧 D．抛物线弧解析：选 Dsin θ＋ cos θ＝ a，a＝ sin θ＋ cos θ，由题知即sin θ·cos θ＝ b，b＝ sin θ·cos θ.a2－ 2b＝ (sin θ＋ cos θ)2－ 2sin θ·cos θ＝ 1.π又 |θ|≤.∴表示抛物线弧．4二、填空题 (本大题共 4 个小题，每小题 5分，满分 20 分．把答案填写在题中的横线上)x＝ 2＋ cos θ，11．若直线l： y＝ kx 与曲线 C： (参数θ∈ R)有唯一的公共点，则实数y＝ sin θk＝ ________.解析：曲线 C 的普通方程为22|2k－ 0|3(x－ 2) ＋ y ＝ 1，由题意知，2＝ 1，∴ k＝±.1＋ k3答案：±3312． (湖南高考 )在平面直角坐标系x＝ t，(t 为参数 )过椭圆 C：xOy 中，若直线 l：y＝ t－ ax＝ 3cos φ，a 的值为 ________．(φ为参数 )的右顶点，则常数y＝ 2sin φx＝ t，(t 为参数 )消去参数 t 得直线 l 的一般方程： y＝ x 解析：由直线 l 的参数方程y＝ t－ a－ a，由椭圆的参数方程可知其右顶点为(3,0) ．因为直线 l 过椭圆的右顶点，所以3－ a＝ 0，即 a＝ 3.答案： 3x＝3＋ 4t，5(t 为参数 )上，点 Q 为曲线x＝3cos θ，(θ为参数 )13．已知点 P 在直线y＝ 1＋ 3ty＝ 3sin θ上的动点，则|PQ|的最小值等于________．解析：直线方程为3x－ 4y－ 5＝ 0，由题意，点Q 到直线的距离d＝ |5cos θ－ 12sin θ－ 5|＝ |13cos θ＋φ－ 5|，55∴ d min＝8，即 |PQ|min＝8.55答案：85x＝ 2pt2，14． (天津高考 )已知抛物线的参数方程为y＝ 2pt(t 为参数 )，其中 p>0，焦点为 F ，准线为 l.过抛物线上一点M 作 l 的垂线，垂足为 E.若|EF |＝ |MF |，点 M 的横坐标是 3，则 p＝________.解析：由题意知，抛物线的普通方程为2＝，焦点p， 0 ，准线＝－p，设y2px(p>0) F 2x2准线与 x 轴的交点为 A.由抛物线定义可得|EM |＝ |MF |，所以△ MEF是正三角形，在Rt △EFA 中， |EF |＝ 2|FA |，即 3＋p＝ 2p，得 p＝2.2答案： 2三、解答题 (本大题共 6 个小题，满分 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 )215． (本小题满分：x＝t2＋1，1所截得10 分 )求曲线 C12t(t 为参数 )被直线 l： y＝ x－2y＝t ＋ 1.2的线段长．2解：曲线 C1：x＝t2＋1，①②得 t＝y，代入①，化简得x2＋ y2＝ 2x.2t①xy＝t2＋1，②2又 x＝t2＋1≠ 0，∴C1的普通方程为 (x－ 1) 2＋ y2＝ 1(x≠ 0)．1－ 0－1圆 C1的圆心到直线l： y＝ x－1的距离 d＝ 2 ＝ 1.2222所求弦长为 2 1－ d2＝142.16． (本小题满分 12分 )已知实数 x， y 满足 x2＋ ( y－ 1)2＝ 1，求 t＝ x＋ y 的最大值．解：方程 x2＋ (y－ 1)2＝ 1 表示以 (0,1) 为圆心，以 1为半径的圆．x＝cos θ，∴其参数方程为y＝1＋ sin θ.∴t＝ x＋ y＝ cos θ＋ sin θ＋ 1π＝ 2sin(θ＋4)＋ 1π2＋ 1.∴当 sin (θ＋)＝ 1 时 t max＝4x＝ cos φ，17．(本小题满分 12 分 )在平面直角坐标系xOy 中，曲线 C1的参数方程为y＝ sin φ，(φ为参数 )，曲线 C2的参数方程为x＝ acos φ，(a＞ b＞ 0，φ为参数 )．在以 O 为极点， x y＝ bsin φ，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ＝α与 C1，C2各有一个交点．当α＝0时，这两π个交点间的距离为2，当α＝时，这两个交点重合．2(1) 分别说明 C1，C2是什么曲线，并求出 a 与 b 的值；ππ(2) 设当α＝4时， l 与 C1，C2的交点分别为A1， B1，当α＝－4时， l 与 C1， C2的交点分别为 A2， B2，求四边形 A1A2B2B1的面积．22解： (1)C1， C2的普通方程分别为22x y＝1.因此 C1是圆， C2是椭圆．x ＋ y ＝ 1 和 2 ＋ 2a b当α＝ 0 时，射线 l 与 C1，C2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)，因为这两点间的距离为 2，所以 a＝ 3.π(0,1)， (0， b)，因为这两点重合，当α＝时，射线 l 与 C1， C2交点的直角坐标分别为2所以 b＝ 1.(2) C1， C2的普通方程分别为22和x22x ＋ y ＝ 1＋ y ＝ 1.9πx＝2，与 C2交点 B1的横坐标为x′＝310.当α＝时，射线 l 与 C1交点 A1的横坐标为210 4π当α＝－时，射线l 与 C1， C2的两个交点A2， B2分别与 A1， B1关于 x 轴对称，因此4四边形 A1A2B2B1为梯形，故四边形 A1A2B2B1的面积为2x′＋ 2x x′ － x ＝ 2.25 18．(本小题满分12 分 )舰 A 在舰 B 的正东，距离 6 千米；舰C 在舰 B 的北偏西 30°，距离 4 千米．它们准备围捕海中某动物，某时刻 A 发现动物信号， 4 秒后 B、C 同时发现这种信号， A 于是发射麻醉炮弹，假设舰与动物都是静止的，动物信号的传播速度为 1 千米 /秒，炮弹初速度为20 3g千米 / 秒，其中 g 为重力加速度，空气阻力不计，求舰 A 炮击3的方位角与仰角．解： 以 BA 为 x 轴， BA 中垂线为 y 轴建立直角坐标系 (如图 )，则 B(－ 3， 0)， A(3,0) ，C(－ 5,2 3)．设海中动物为 P(x ， y)．因为 |BP|＝ |CP|，所以 P 在线段 BC 的中垂线上，易知中垂线方程是y ＝33 (x ＋ 7)．x 2 y 2 又 |PB|－ |PA|＝ 4，所以 P 在以 A 、 B 为焦点的双曲线右支上，双曲线方程是4 －5 ＝ 1.从而得 P(8,5 3)．设∠ xAP ＝ α，则 tan α＝ k AP ＝ 3，∴ α＝ 60° ，这样炮弹发射的方位角为北偏东 30° .再以 A 为原点， AP 为 x ′轴建立坐标系 x ′ Ay ′ ， (如图 )． |PA|＝ 10，设弹道曲线方程是x ′ ＝v 0tcos θ1 2(其中 θ为仰角 )y ′ ＝ v 0tsin θ－ 2gt将 P(10,0) 代入，消去 t 便得 sin 2θ＝3， θ＝ 30°或 60° 这样舰 A 发射炮弹的仰角为230° 或 60° .19． (本小题满分 12 分 )已知曲线 C 1：x ＝－ 4＋ cos t ， x ＝ 8cos θ，y ＝ 3＋ sin t(t 是参数 )， C ：y ＝ 3sin θ(θ是参数 )．(1) 化 C 1， C 2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2) 若 C 1π中点 M 到直线 C 3：上的点 P 对应的参数为 t ＝ ， Q 为 C 2 上的动点，求 PQ2x ＝ 3＋ 2t ， ( t 是参数 )距离的最小值．y ＝－ 2＋ t解： (1)C 1： (x ＋ 4)2＋ (y － 3)2＝ 1， C 2：x 2＋ y 2＝ 1，64 9C 1 为圆心是 (－ 4,3)，半径是 1 的圆．C 2 为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是 3 的椭圆．π(2) 当 t ＝ 时， P(－ 4,4)，Q(8cos θ， 3sin θ)，23故 M － 2＋4cos θ， 2＋2sin θ. C3为直线 x－ 2y－7＝ 0，M到 C3的距离 d＝5|4cosθ－ 3sin θ－ 13|. 54385从而当 cos θ＝5， sin θ＝－5时， d 取得最小值 5.20．(本小题满分12 分 )在平面直角坐标系x＝ 4cos θ，xOy 中，曲线 C1的参数方程为y＝ 4sin θ(θ为参数，且0≤ θ≤ 2π)，点 M 是曲线 C1上的动点．(1)求线段 OM 的中点 P 的轨迹的参数方程；(2) 以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＋ 1＝0( ρ>0) ，求点 P 到直线 l 距离的最大值．解： (1)曲线 C1上的动点 M 的坐标为 (4cos θ，4sin θ)，坐标原点O(0,0) ，设 P 的坐标为11(x， y)，则由中点坐标公式得x＝2(0＋ 4cos θ)＝ 2cos θ， y＝2(0＋ 4sin θ)＝ 2sin θ，所以点 P的坐标为 (2cos θ， 2sin θ)，因此点P 的轨迹的参数方程为x＝ 2cosθ， (θ为参数，且y＝ 2sin θ0≤ θ≤ 2π)．x＝ρcos θ，得直线 l 的直角坐标方程为x－ y＋ 1＝ 0，(2) 由直角坐标与极坐标关系y＝ρsin θ，又由 (1)知点 P 的轨迹为圆心在原点，半径为 2 的圆，因为原点 (0,0)到直线 x－ y＋ 1＝0的距离为|0－ 0＋ 1|＝1＝2，12＋－ 1 222所以点 P 到直线 l 距离的最大值为2＋22.高中数学学习技巧：在学习的过程中逐步做到：提出问题，实验探究，展开讨论，形成新知，应用反思。
2020年高中数学人教A版选修4-1阶段质量检测(一) B卷 Word版含解析
阶段质量检测(一) B 卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.如图，AD ∥EF ∥BC ，GH ∥AB ，则图中与△BOC 相似的三角形有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C 根据相似三角形的预备定理可得 △OEF ∽△OAD ，△CHG ∽△CBO ，△OAD ∽△OBC .2.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，D 是BC 中点，AE ⊥AD 交CB 延长线于点E ，则下列结论正确的是( )A ．△AED ∽△ACB B ．△AEB ∽△ACDC ．△BAE ∽△ACED ．△AEC ∽△DAC解析：选C ∵D 为BC 的中点，∠CAB ＝90°， ∴AD ＝BD ，∴∠DAB ＝∠DBA ， ∴∠C ＝∠BAE ，又∵∠E ＝∠E ， ∴△BAE ∽△ACE .3．已知矩形ABCD ，R 、P 分别在边CD 、BC 上，E 、F 分别为AP 、PR 的中点，当P 在BC 上由B 向C 运动时，点R 在CD 上固定不变，设BP ＝x ，EF ＝y 那么下列结论中正确的是( )A ．y 是x 的增函数B ．y 是x 的减函数C ．y 随x 的增大先增加后减小D ．无论x 怎样变化，y 为常数解析：选D 连接AR ，∵E 、F 分别为AP 、PR 的中点， ∴EF 是△APR 的中位线， ∴EF ＝12AR ，∵当P 在BC 上由B 向C 运动时， 点R 在CD 上固定不变，故选D.4．如图，G 点是△ABC 的重心，GE ∥BC ，那么AB 是BE 的( ) A ．3倍 B ．6倍 C ．2倍D ．4倍解析：选A ∵G 是△ABC 的重心， ∴GC ＝2DG ，∵GE ∥BC ，∴BE ＝2ED .∴BE ＝23BD ，即BD ＝32BE .∵AB ＝2BD ，∴AB ＝2×32BE ＝3BE .5．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AD ∶BD ＝2∶3.则△ACD 与△CBD 的相似比为( )A ．2∶3B ．4∶9 C.6∶3D ．不确定解析：选C 如右图，在Rt △ACB 中，CD ⊥AB ，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，即CD AD ＝BDCD .又∵∠ADC ＝∠BDC ＝90°，∴△ACD ∽△CBD .又∵AD ∶BD ＝2∶3，令AD ＝2x ， BD ＝3x (x >0)．∴CD 2＝6x 2，∴CD ＝6x . 易知△ACD 与△CBD 的相似比为AD CD ＝2x 6x ＝63. 6.如右图，过梯形ABCD 的腰AD 的中点E 的直线EF 平行于底边，交BC 于F ，若AE 的长是BF 的长的23，则FC 是ED 的________倍．( )A.23B.32 C ．1 D.12解析：选B ∵AB ∥EF ∥DC ，且AE ＝DE ， ∴BF ＝FC .又∵AE ＝23BF ，∴FC ＝32ED .7.如图，在正三角形ABC 中，D 、E 分别在AC 、AB 上，且AD AC ＝13，AE ＝BE ，则有( )A ．△AED ∽△BEDB ．△AED ∽△CBDC ．△AED ∽△ABD D ．△BAD ∽△BCD解析：选B 直接法，注意到∠A ＝∠C ＝60°，可设AD ＝a ， 则AC ＝3a ，而AB ＝AC ＝BC ＝3a . 所以AE ＝BE ＝32a .所以AD AE ＝a 32a ＝23.又CDBC＝2a3a＝23，所以ADAE＝CDCB，∠A＝∠C＝60°，故△AED∽△CBD，选B.8．等腰梯形各边中点连线所围成的四边形是()A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形解析：选B连接梯形各边中点，可得平行四边形，由于等腰梯形的对角线相等，所以平行四边形的各边相等，由此可以判定此四边形必定为菱形．9．如图，锐角三角形ABC的高CD和BE相交于点O，图中与△ODB相似的三角形的个数是()A．1B．2C．3 D．4解析：选C∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴△ODB，△ABE，△ADC，△OCE都是直角三角形．又∵∠DBO＝∠EBA，∠A＝∠A，∠DOB＝∠EOC，∴△ODB∽△AEB∽△ADC，△ODB∽△OEC，∴与△ODB相似的三角形有3个．10.如图所示，将边长为1的正方形ABCD绕A点按逆时针方向旋转60°至AB′C′D′的位置，则这两个正方形重叠部分的面积为()A．4 B．2－ 3C．2＋ 3 D.3－1解析：选B如图，过B′点作EF∥BC，分别交AB、DC于E、F，连接AK.由基本图形知，Rt△KFB′∽Rt△B′EA.在Rt△AB′E中，∠EAB′＝60°，AB′＝1，∴B′E＝3 2.∴KB′AB′＝B′FAE＝1－B′EAE＝1－3212＝2－ 3∴KB′＝2－ 3.又∵Rt△AB′K≌Rt△ADK，∴S AB′KD＝2S△AB′K＝AB′×KB′＝2－ 3.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上)11．如图，在▱ABCD中，BC＝24，E、F为BD的三等分点，则BM＝________，DN ＝________.解析：BMAD＝BEED＝12，∴BM＝12BC＝12，DNBM＝DFFB＝12，∴DN＝12BM＝6.答案：12 612．如图，已知在△ABC中，AD∶DC＝1∶1，E为BD的中点，AE延长线交BC于F，则BF与FC的比值为____________．解析：过D作DG平行于BC，交AF于点G，再根据平行线等分线段定理即可解决．答案：1 213．如图，等边△DEF内接于△ABC，且DE∥BC，已知AH⊥BC于H，BC＝4 cm，AH＝2 cm，则△DEF的边长为________cm.解析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.又∵AH⊥BC，DE∥BC，∴AG⊥DE，∴DEBC＝AGAH，设DE＝x，则GH＝32x，AG＝AH－GH＝2－32x.∴x4＝2－32x2.解得：x＝23－2(cm)．答案：23－214．(湖北高考)如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E.若AB＝3AD，则CEEO的值为________．解析：连接AC，BC，则AC⊥BC. ∵AB＝3AD，∴AD＝13AB，BD＝23AB，OD＝16AB.又AB是圆O的直径，OC是圆O的半径，∴OC＝12AB.在△ABC中，根据射影定理有：CD2＝AD·BD＝29AB2.在△OCD中，根据射影定理有：OD2＝OE·OC，CD2＝CE·OC，可得OE＝118AB，CE＝49AB，∴CEEO＝8.答案：8三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)如图，△ABC中，D是BC的中点，M是AD上一点，BM，CM的延长线分别交AC，AB于F，E.求证：EF∥BC.证明：法一：延长AD至G，使DG＝MD，连接BG，CG.∵BD＝DC，MD＝DG，∴四边形BGCM为平行四边形．∴EC∥BG，FB∥CG.∴AEAB＝AMAG，AFAC＝AMAG.∴AEAB＝AFAC.∴EF∥BC.法二：过点A作BC的平行线，与BF，CE的延长线分别交于G，H.∵AH ∥DC ，AG ∥BD ， ∴AH DC ＝AM MD ，AG BD ＝AM MD . ∴AH DC ＝AG BD. ∵BD ＝DC ， ∴AH ＝AG . ∵HG ∥BC ， ∴AE EB ＝AH BC ，AF FC ＝AG BC . ∵AH ＝AG ， ∴AE EB ＝AF FC . ∴EF ∥BC .16．(本小题满分12分)如图所示，已知边长为12的正三角形ABC ，DE ∥BC ，S △BCD ∶S △BAC ＝4∶9，求EC 的长．解：如图，过D 作DF ⊥BC ， 过A 作AG ⊥BC ， S △BCD ＝12BC ·DF ，S △BAC ＝12BC ·AG .因为S △BCD ∶S △BAC ＝4∶9， 所以DF ∶AG ＝4∶9. 因为△BDF ∽△BAG ， 所以BD ∶BA ＝DF ∶AG ＝4∶9. 因为AB ＝12， 所以CE ＝BD ＝163. 17．(本小题满分12分)如图所示，在四边形ABCD 中，求证：AC ·BD ≤AB ·CD ＋AD ·BC .证明：如图所示．取点E 使∠BAE ＝∠CAD ，∠ABE ＝∠ACD ， 连接AE ，BE ，DE ， 则△ABE ∽△ACD . ∴AB AC ＝AEAD ，①AB AC ＝BE CD.② 由①及∠BAC ＝∠EAD ，得△BAC ∽△EAD . ∴BC ED ＝AC AD.③ 由②得BE ＝AB ·CDAC ，由③得ED ＝BC ·ADAC .由于BE ＋ED ≥BD ， ∴AB ·CD AC ＋BC ·ADAC ≥BD . ∴AB ·CD ＋BC ·AD ≥AC ·BD .18．(本小题满分14分)如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AE 是∠CAB 的角平分线，CD 与AE 相交于点F ，EG ⊥AB 于G .求证：EG 2＝FD ·EB .证明：因为∠ACE ＝90°，CD ⊥AB ，所以∠CAE ＋∠AEC ＝90°，∠FAD ＋∠AFD ＝90°. 因为∠AFD ＝∠CFE ， 所以∠FAD ＋∠CFE ＝90°. 又因为∠CAE ＝∠FAD ， 所以∠AEC ＝∠CFE . 所以CF ＝CE .因为AE 是∠CAB 的平分线，EG ⊥AB ，EC ⊥AC ， 所以EC ＝EG ，CF ＝EG .因为∠B ＋∠CAB ＝90°，∠ACF ＋∠CAB ＝90°， 所以∠ACF ＝∠B . 因为∠CAF ＝∠BAE ， 所以△AFC ∽△AEB ，AF AE ＝CFEB. 因为CD ⊥AB ，EG ⊥AB ， 所以Rt △ADF ∽Rt △AGE . 所以AF AE ＝FD EG . 所以CF EB ＝FD EG .所以CF ·EG ＝FD ·EB ， 即EG 2＝FD ·EB ......................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。
【精品习题】高中数学人教A版选修4-1学业分层测评1 平行线等分线段定理 Word版含解析
学业分层测评(一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．如图1113，已知l1∥l2∥l3，AB，CD相交于l2上一点O，且AO＝OB，则下列结论中错误的是( )图1113A．AC＝BD B．AE＝EDC．OC＝OD D．OD＝OB【解析】由l1∥l2∥l3知AE＝ED，OC＝OD，由△AOC≌△BOD知AC＝BD，但OD与OB不能确定其大小关系．故选D.【答案】 D2．如图1114，已知AE⊥EC，CE平分∠ACB，DE∥BC，则DE等于( ) 【导学号：07370003】图1114A．BC－ACB．AC－BFC.12(AB－AC)D.12(BC－AC)【解析】 由已知得CE 是线段AF 的垂直平分线．∴AC ＝FC ，AE ＝EF .∵DE ∥BC ，∴DE 是△ABF 的中位线，∴DE ＝12BF ＝12(BC －AC )． 【答案】 D3．如图1115所示，过梯形ABCD 的腰AD 的中点E 的直线EF 平行于底边，交BC 于F ，若AE 的长是BF 的长的23，则FC 是ED 的( )图1115A.23倍 B.32倍 C ．1倍 D.12倍 【解析】 ∵AB ∥EF ∥DC ，且AE ＝DE ，∴BF ＝FC .又∵AE ＝23BF ， ∴FC ＝32ED . 【答案】 B4．如图1116，在梯形ABCD 中，E 为AD 的中点，EF ∥AB ，EF ＝30 cm ，AC 交EF 于G ，若FG －EG ＝10 cm ，则AB ＝( )图1116A ．30 cmB ．40 cmC ．50 cmD ．60 cm【解析】 由平行线等分线段定理及推论知，点G ，F 分别是线段AC ，BC 的中点，则EG ＝12DC ，FG ＝12AB ， ∴⎩⎨⎧ AB ＋DC ＝60，12AB －12DC ＝10，⎩⎨⎧ AB ＋DC ＝60，AB －DC ＝20， 解得⎩⎨⎧ AB ＝40，DC ＝20.【答案】 B 5.如图1117，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为BC 中点，且AE ∥DC ，AE 交BD 于点F ，过点F 的直线交AD 的延长线于点M ，交CB 的延长线于点N ，则FM 与FN 的关系为( )图1117A ．FM >FNB ．FM <FNC ．FM ＝FND ．不能确定【解析】 ∵AD ∥BC ，AE ∥DC ，∴四边形AECD 是平行四边形.∴AD ＝EC ＝12BC ， 即BE ＝EC ＝AD .∴△ADF ≌△EBF ，∴AF ＝FE ，∴△AFM ≌△EFN ，∴FM ＝FN .【答案】 C二、填空题6．如图1118所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝2，BC ＝6，E ，F 分别为对角线BD ，AC 的中点，则EF ＝____.图1118【解析】 如图所示，过E 作GE ∥BC 交BA 于G .∵E 是DB 的中点，∴G 是AB 的中点，又F 是AC 的中点，∴GF ∥BC ，∴G ，E ，F 三点共线，∴GE ＝12AD ＝1，GF ＝12BC ＝3， ∴EF ＝GF －GE ＝3－1＝2.【答案】 27．如图1119，已知在△ABC 中，AD ∶DC ＝1∶1，E 为BD 的中点，AE 延长线交BC 于F ，则BF 与FC 的比值为__________．【导学号：07370004】图1119【解析】 过D 作DG 平行于BC ，交AF 于点G ，再根据平行线等分线段定理即可解决．【答案】 128．如图1120，在△ABC 中，E 是AB 的中点，EF ∥BD ，EG ∥AC ，CD ＝12AD ，若EG ＝5 cm ，则AC ＝________；若BD ＝20 cm ，则EF ＝________.图1120【解析】 ∵E 为AB 的中点，EF ∥BD ，∴F 为AD 的中点．∵E 为AB 的中点，EG ∥AC ，∴G 为BD 的中点，若EG ＝5 cm ，则AD ＝10 cm ，又CD ＝12AD ＝5 cm ，∴AC ＝15 cm.若BD ＝20 cm ，则EF ＝12BD ＝10 cm. 【答案】 15 cm 10 cm三、解答题9．(2016·南京模拟)如图1121，在梯形ABCD 中，CD ⊥BC ，AD ∥BC ，E 为腰CD 的中点，且AD ＝2 cm ，BC ＝8 cm ，AB ＝10 cm ，求BE 的长度．图1121【解】 过E 点作直线EF 平行于BC ，交AB 于F ，作BG ⊥EF 于G (如图)，因为E 为腰CD 的中点，所以F 为AB 的中点，所以BF ＝12AB ＝5 cm ，又EF ＝AD ＋BC 2＝2＋82＝5(cm)，GF ＝BC －FE ＝8 cm －5 cm ＝3 cm ，所以GB ＝BF 2－GF 2＝25－9＝4 cm ，EC ＝GB ＝4 cm ，所以BE ＝BC 2＋CE 2＝82＋42＝45(cm)．10．用一张矩形纸，你能折出一个等边三角形吗？如图1122(1)，先把矩形纸ABCD 对折，设折痕为MN ；再把B 点叠在折痕线上，得到Rt △ABE ，沿着EB 线折叠，就能得到等边△EAF ，如图(2)．想一想，为什么？图1122【解】 利用平行线等分线段定理的推论2，∵N 是梯形ADCE 的腰CD 的中点，NP ∥AD ，∴P 为EA 的中点．∵在Rt △ABE 中，PA ＝PB (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)， ∴∠1＝∠3.又∵PB ∥AD ，∴∠3＝∠2，∴∠1＝∠2.又∵∠1与和它重合的角相等，∴∠1＝∠2＝30°.在Rt △AEB 中，∠AEB ＝60°，∠1＋∠2＝60°，∴△AEF 是等边三角形．[能力提升]1．如图1123，AD 是△ABC 的高，E 为AB 的中点，EF ⊥BC 于F ，如果DC ＝13BD ，那么FC 是BF 的( )图1123A.53倍 B.43倍 C.32倍 D.23倍 【解析】 ∵EF ⊥BC ，AD ⊥BC ，∴EF ∥AD .又E 为AB 的中点，由推论1知F 为BD 的中点，即BF ＝FD .又∵DC ＝13BD ，∴DC ＝23BF . ∴FC ＝FD ＋DC ＝BF ＋DC ＝53BF .【答案】 A2．梯形的一腰长10 cm ，该腰和底边所形成的角为30°，中位线长为12 cm ，则此梯形的面积为( )A ．30 cm 2B ．40 cm 2C ．50 cm 2D ．60 cm 2【解析】 如图，过A 作AE ⊥BC ，在Rt △ABE 中，AE ＝AB sin 30°＝5 cm.又已知梯形的中位线长为12 cm ，∴AD ＋BC ＝2×12＝24(cm)．∴梯形的面积S ＝12(AD ＋BC )·AE ＝12×5×24＝60(cm 2)． 【答案】 D3．如图1124，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，M 是AD 的中点，CM 交AB 于P ，DN ∥CP ，若AB ＝9 cm ，则AP ＝__________；若PM ＝1 cm ，则PC ＝__________.【导学号：07370005】图1124【解析】 由AB ＝AC 和AD ⊥BC ，结合等腰三角形的性质，得D 是BC 的中点．再由DN ∥CP ，可得N 是BP 的中点．同理可得P 是AN 的中点，由此可得答案．【答案】 3 cm 4 cm4．如图1125所示，AE ∥BF ∥CG ∥DH ，AB ＝12BC ＝CD ，AE ＝12，DH ＝16，AH 交BF 于点M ，求BM 与CG 的长．图1125【解】 如图，取BC 的中点P ，作PQ ∥DH 交EH 于点Q ，则PQ 是梯形ADHE 的中位线．∵AE ∥BF ∥CG ∥DH ，AB ＝12BC ＝CD ，AE ＝12，DH ＝16，∴AB AD ＝14，BM DH ＝AB AD ， ∴BM 16＝14， ∴BM ＝4.∵PQ 为梯形的中位线，∴PQ ＝12(AE ＋DH )＝12(12＋16)＝14. 同理，CG ＝12(PQ ＋DH )＝12(14＋16)＝15.。
苏州市高中数学选修4-4第一章《坐标系》检测(含答案解析)
一、选择题1．在极坐标系中，圆cos()3πρ=θ+的圆心的极坐标为（ ） A ．1(,)23π-B ．1(,)23πC ．(1,)3π-D ．(1,)3π2．已知曲线C 的极坐标方程为222123cos 4sin ρθθ=+，以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，则曲线C经过伸缩变换12x x y y⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩后，得到的曲线是（ ）A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线3．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为sin 42a πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，曲线2C 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0θπ）.若1C 与2C 有且只有一个公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A．B．(C ．[1,1)-D ．[1,1)-4．将正弦曲线sin y x =先保持纵坐标y 不变，将横坐标缩为原来的12；再将纵坐标y 变为原来的3倍，就可以得到曲线3sin 2y x =，上述伸缩变换的变换公式是（ ）A ．1'2'3x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩B ．'2'3x xy y =⎧⎨=⎩C ．'21'3x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩D ．1'21'3x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩5．221x y +=经过伸缩变换23x xy y''=⎧⎨=⎩后所得图形的焦距（ ） A．B．C ．4D ．66．若22,3P π⎛⎫⎪⎝⎭是极坐标系中的一点，则8552,,2,,2,,2,3333Q R M N ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭四个点中与点P 重合的点有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．在极坐标系中，点A 是曲线8sin ρθ=上一动点，以极点O 为中心，将点A 绕O 顺时针旋转90︒得到点B ，设点B 的轨迹为曲线C ，则曲线C 的极坐标方程为( ) A ．8cos ρθ= B ．8sin ρθ= C ．8cos ρθ=-D ．8sin ρθ=-8．在满足极坐标和直角坐标互化的条件下，极坐标方程222123cos 4sin ρθθ=+经过直角坐标系下的伸缩变换1'2'x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩后，得到的曲线是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．直线9．已知直线1:1x t l y at =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）与曲线221613sin ρθ=+的相交弦中点坐标为(1,1)，则a 等于（ ）A ．14-B ．14C ．12-D ．1210．极坐标方程2cos 3cos 30ρθρθρ-+-=表示的曲线是（ ） A ．一个圆B ．两个圆C ．两条直线D ．一个圆和一条直线11．在同一坐标系中，将直线1x y +=变换为直线236x y +=的一个伸缩变换是（ ）A ．32x x y y ''=⎧⎨=⎩B ．23x xy y ''=⎧⎨=⎩C ．1312x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩D ．1213x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩12．在极坐标系中，两条曲线1πC :ρsin θ14⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2C :ρ=的交点为A,B ，则AB =（ ）A ．4B．C ．2D ．1二、填空题13．若直线l 的极坐标方程为ρcos ()4πθ-=C ：ρ＝1上的点到直线l 的距离为d ，则d 的最大值为________．14．在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线C ：2cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩(α为参数)交于A ，B 两点，且|AB |＝2.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________．15．在极坐标系中，曲线2ρ=与cos sin 00θθθπ+=≤≤（）的交点的极坐标为__________．16．在极坐标系中，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴，建立直角坐标系，点2,6M π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标是__________． 17．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为 .18．已知直线l 和曲线Γ的极坐标方程分别为()sin cos 1ρθθ-=和1ρ=，若l 和Γ相交于两点,A B ，则AB =_______.19．在极坐标系中，已知两点(2,)3P π和)6Q 5π，则PQ 的中点M 的极坐标为_________．20．在极坐标系中，直线cos 10ρθ+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为__________．三、解答题21．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的极坐标方程；（2）过极点O 作直线与圆C 交于点A ，求OA 的中点所在曲线的极坐标方程. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（其中α为参数），曲线()222:11C x y -+=，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的极坐标方程； (2)若射线(0)6πθρ=>与曲线1C ，2C 分别交于,A B 两点，求AB .23．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos 24sin x y αα=+⎧⎨=⎩ (α为参数)，以O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()6R πθρ=∈．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求||AB 的值． 24．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为3cos ,3sin x m a y α=+⎧⎨=⎩（α为参数，m 为常数）.在以原点O 为极点、以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭若直线l 与圆C 有两个公共点，求实数m 的取值范围.25．已知平面直角坐标系xOy ，直线l 过点P ，且倾斜角为α，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为24cos()103πρρθ---=．（1）求直线l 的参数方程和圆C 的标准方程；（2）设直线l 与圆C 交于M 、N 两点，若||||PM PN -=，求直线l 的倾斜角α的值．26．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线M 的参数方程为1cos 1sin x y ϕϕ=+⎧⎨=+⎩(ϕ为参数)，过原点O 且倾斜角为α的直线l 交M 于A 、B 两点．(1)求l 和M 的极坐标方程；(2)当04πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，求OA OB +的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】由圆cos()3πρ=θ+，化为21(cos )2ρρθθ=，∴2212x y x y +=-，化为2211()(44x y -+=，∴圆心为1(,4，半径r=12．∵tanα=3π-，∴圆cos()3πρ=θ+的圆心的极坐标为1(,)23π-．故选A ．2．C解析：C 【分析】将曲线C 的极坐标方程222123cos 4sin ρθθ=+化为普通方程，再将曲线C 的普通方程进行12x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩的伸缩变换后即可解. 【详解】解：由极坐标方程22222123(cos )4(sin )123cos 4sin ρρθρθθθ=⇒+=+， 可得：223412x y +=，即22143x y +=，曲线C经过伸缩变换12x x y y⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩，可得2x x y =⎧=''⎪，代入曲线C 可得：221x y ''+=，∴伸缩变换得到的曲线是圆． 故选：C ． 【点睛】考查曲线的极坐标方程化普通方程以及曲线方程的变换.其中将12x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩转化为2x xy =⎧=''⎪为解题关键. 3．D解析：D 【解析】 【分析】先把曲线1C ，2C 的极坐标方程和参数方程转化为直角坐标方程和一般方程，若1C 与2C 有且只有一个公共点可转化为直线和半圆有一个公共点，数形结合讨论a 的范围即得解. 【详解】因为曲线1C的极坐标方程为sin ,42a πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即)ρθθ= 故曲线1C 的直角坐标方程为：0x y a +-=.消去参数θ可得曲线2C 的一般方程为：221x y +=，由于0θπ，故0y ≥如图所示，若1C 与2C 有且只有一个公共点，直线与半圆相切，或者截距11a -≤< 当直线与半圆相切时122O l d a -==∴=由于为上半圆，故02a a >∴= 综上：实数a 的取值范围是[1,1)-2故选：D 【点睛】本题考查了极坐标、参数方程与直角坐标方程、一般方程的互化，以及直线和圆的位置关系，考查了学生数形结合，数学运算的能力，属于中档题.4．A解析：A 【分析】首先设出伸缩变换关系式，把伸缩变换关系式代入变换后的方程，利用系数对应相等，可得答案。
高中数学选修4-4(人教A版)第一讲坐标系1.3知识点总结含同步练习及答案
第一讲 坐标系 三 简单曲线的极坐标方程
一、知识清单
极坐标与极坐标方程
二、知识讲解
1.极坐标与极坐标方程 描述： 极坐标系 在平面上取一个定点O ，由O 点出发的一条射线Ox，一个长度单位及计算角度的正方向（通常取 逆时针方向），合称为一个极坐标系．O 点称为极点，Ox称为极轴．平面任一点M 的位置可以由 线段OM 的长度ρ 和从Ox到OM 的角度θ 来刻画．这两个数组成的有序对(ρ, θ)称为点M 的极坐 标．ρ 称为极径，θ 称为极角． 在极坐标系(ρ, θ)中，一般限定ρ ≥ 0．当ρ = 0时，就与极点重合，此时θ 不确定．给定点的极坐 标(ρ, θ)，就唯一地确定了平面上的一个点．但是，平面上的一个点的极坐标并不是唯一的，它有 无穷多种表示形式．事实上，(ρ, θ)和(ρ, θ + 2kπ)代表同一个点，其中k 为整数．可见，平面上的 点与它的极坐标不是一一对应关系．这是极坐标与直角坐标的不同之处，如果限定ρ ≥ 0， 0 ≤ θ ≤ 2π，则除极点外，平面上的点就与它的极坐标系构成一一对应关系． ρ < 0，此时极坐标(ρ, θ)对应的点M 的位置按下面规则确定：点M 在与极轴成θ 角的射线的反向 延长线上，它到极点O 的距离为|ρ|，即规定当ρ < 0时，点M (ρ, θ)就是点M (−ρ, θ + π)． 极坐标与直角坐标系的关系 设M 为平面上的一点，它的直角坐标系为(x, y)，极坐标为(ρ, θ)．则有{ x = ρ cos θ 或
⎧ ρ2 = x 2 + y 2 ⎨ ⎩ tan θ = y (x ≠ 0) ，ρ < 0也成立． x
y = ρ sin θ
曲线的极坐标方程 在给定的平面上极坐标系下，有一个二元方程F (ρ, θ) = 0．如果曲线C 是由极坐标(ρ, θ)满足方程 的所有点组成的，则称此二元方程F (ρ, θ) = 0为曲线C 的极坐标方程． 圆心(a, 0)在极轴上且过极点的圆，其极坐标方程是ρ = 2a cos θ ；圆心在点(a, 圆，其极坐标方程是ρ = 2a sin θ，0 ≤ θ ≤ π．
人教新课标A版高中选修4-1数学2.4弦切角的性质同步检测(I)卷
人教新课标A版选修4-1数学2.4弦切角的性质同步检测（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）已知如图，四边形ABCD为圆内接四边形，AB是直径，MN切⊙O于C点，∠BCM=38°，那么∠ABC 的度数是（）A . 38°B . 52°C . 68°D . 42°2. （2分） (2017高二上·信阳期末) 如图，已知四边形ABCD是圆内接四边形，且∠BCD=120°，AD=2，AB=BC=1，现有以下结论：①B，D两点间的距离为；②AD是该圆的一条直径；③CD= ；④四边形ABCD的面积S= ．其中正确结论的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 43. （2分）如图，直线BC切⊙O于B，AB=AC，AD=BD，则∠A=（）A . 35°B . 36°C . 40°D . 50°4. （2分）如图所示，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D，则∠DAC=（）A . 15°B . 30°C . 45°D . 60°5. （2分）(2016·天津模拟) 如图，圆O的直径AB长度为10，CD是点C处的切线，AD⊥CD，若BC=8，则CD=（）A .B .C .D .6. （2分）如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E，F．已知∠B=50°，∠C=60°，连结OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于（）A . 40°B . 55°C . 65°D . 70°7. （2分）如图，CD是⊙O的直径，AE切⊙O于点B，连接DB，若∠D=20°，则∠DBE的大小为（）A . 20°B . 40°C . 60°D . 70°8. （2分） PT切⊙O于T，割线PAB经过O点交⊙O于A、B，若PT=4，PA=2，则cos∠BPT=（）A .B .C .D .9. （2分）如图PA是圆O的切线，切点为A，PA=2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB=1，则圆O 的半径R=（）A . 2B . 3C .D .10. （2分） (2017高一下·河北期末) 如图所示，在圆的内接四边形中，平分，切于点，那么图中与相等的角的个数是（）A . 4B . 5C . 6D . 7二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分）如图，AB的延长线上任取一点C，过C作圆的切线CD，切点为D，∠A CD的平分线交AD于E，则∠CED=________12. （1分）如图，圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD=， AB=BC=3．AC 的长为________ ．13. （1分）如图，已知点D在圆O直径AB的延长线上，过D作圆O的切线，切点为C．若CD=， BD=1，则圆O的面积为________ ．14. （1分）如图，从圆O外一点P作圆O的割线PAB、PCD，AB是圆O的直径，若PA=4，PC=5，CD=3，则∠CBD=________．15. （1分）如图，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C．若∠BAC=60°，BC=6，则⊙O的半径为________ ．三、解答题 (共10题；共70分)16. （5分）如图，圆内接四边形ABCD满足AB∥CD，P在BA的延长线上，且PD2=PA•PB．若BD=2 ，PD=CD=2．（Ⅰ）证明：∠PDA=∠CDB；（Ⅱ）求BC的长．17. （5分） (2017·江苏) 如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．求证：（Ⅰ）∠PAC=∠CAB；（Ⅱ）AC2 =AP•AB．18. （5分） (2015高三上·连云期末) 如图，∠PAQ是直角，圆O与射线AP相切于点T，与射线AQ相交于两点B，C．求证：BT平分∠OBA．19. （10分）(2014·新课标I卷理) 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（1）证明：∠D=∠E；（2）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．20. （10分）(2016·深圳模拟) 如图，AB为圆O的直径，C在圆O上，CF⊥AB于F，点D为线段CF上任意一点，延长AD交圆O于E，∠AEC=30°．（1）求证：AF=FO；（2）若CF= ，求AD•AE的值．21. （5分）(2016·城中模拟) 如图，在△ABC和△ACD中，∠ACB=∠ADC=90°，∠BAC=∠CAD，⊙O是以AB 为直径的圆，DC的延长线与AB的延长线交于点E．（Ⅰ）求证：DC是⊙O的切线；（Ⅱ）若EB=6，EC=6 ，求BC的长．22. （5分）如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B，C，∠APC的平分线分别交AB，AC于点D，E．（Ⅰ）证明：∠ADE=∠AED；（Ⅱ）若AC=AP，求的值．23. （10分） (2015高三上·大庆期末) 如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：（1）∠ACE=∠BCD．（2）BC2=BE•CD．24. （5分）如图，AB是⊙O的直径，BE为⊙O的切线，点C为⊙O上不同于A、B的一点，AD为∠BAC的平分线，且分别与BC交于H，与⊙O交于D，与BE交于E，连接BD、CD．（Ⅰ）求证：∠DBE=∠DBC；（Ⅱ）求证：AH•BH=AE•HC．25. （10分） (2016高三上·宝安模拟) 如图，AB是⊙O的切线，ADE是⊙O的割线，AC=AB，连接CD，CE，分别与⊙O交于点F，点G．（1）求证：△ADC～△ACE；（2）求证：FG∥AC．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共10题；共70分) 16-1、17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、23-1、23-2、24-1、25-1、25-2、。
数学人教A版选修4-4模块综合测评A 含解析 精品
模块综合测评(A)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．方程ρ＝2sin θ表示的图形是( )A ．圆B ．直线C ．椭圆D ．射线 2．将正弦曲线y ＝sin x 作如下变换：2,3,x x y y '=⎧⎨'=⎩得到的曲线方程为( )A ．y ′＝3sin 12x ′B ．y ′＝13sin 2x ′C ．y ′＝12sin 2x ′ D ．y ′＝3sin 2x ′3．若a ，b ∈R ，a 2＋2b 2＝6，则a ＋b 的最小值是( ) A ．－2 2 B ．－53 3C ．－3D ．－724．若点M 的极坐标是π2,6⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则它关于直线θ＝π2的对称点的极坐标是( ) A ．11π2,6⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．7π2,6⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．π2,6⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．11π2,6⎛⎫-- ⎪⎝⎭5．下列可以作为直线2x －y ＋1＝0的参数方程的是( ) A ．1,3x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数) B ．1,52x t y t =-⎧⎨=-⎩(t 为参数)C ．,12x t y t =-⎧⎨=-⎩(t 为参数) D．2,55x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)6．在极坐标系中，曲线π4sin 3ρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭关于( ) A ．直线θ＝π3对称 B ．直线θ＝5π6对称C ．点2，π3对称 D ．极点对称7．极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0的直角坐标方程为( ) A ．x 2＋y 2＝0或y ＝1 B ．x ＝1 C ．x 2＋y 2＝0或x ＝1 D ．y ＝18．在极坐标系中，与圆ρ＝4cos θ相切的一条直线方程为( ) A ．ρsin θ＝4 B ．ρcos θ＝2 C ．ρcos θ＝4 D ．ρcos θ＝－49．直线2,3x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)上与点P (－2,3)的距离等于2的点的坐标是( )A ．(－4,5)B ．(－3,4)C ．(－3,4)或(－1,2)D ．(－4,5)或(0,1)10．过点P (4,3)，且斜率为23的直线的参数方程为( )A．4,3x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数) B．3,4x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数) C．4,3x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数) D．3,4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数) 11．双曲线4tan ,2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)的渐近线方程为( )A ．y ＝±12x B ．y ＝±xC ．y ＝±2xD ．y ＝±3x12．直线3x－4y－9＝0与圆2cos,2sinxyθθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)的位置关系是()A．相切B．相离C．直线过圆心D．相交但直线不过圆心二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上)13．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ≤π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为__________．14．在平面直角坐标系中，曲线C：2,212xy⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t为参数)的普通方程为__________．15．参数方程sin 2,sin cosxyθθθ=⎧⎨=+⎩(θ为参数)表示的曲线的普通方程是______________．16．若直线11,22x ty⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t为参数)与圆x2＋y2＝16交于A，B两点，则AB的中点坐标为________．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)在极坐标系中，直线l的方程为πsin26ρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，求极点在直线l上的射影的极坐标．18．(12分)(2014·福建高考，理21(2))已知直线l的参数方程为2,4x a ty t=-⎧⎨=-⎩(t为参数)，圆C的参数方程为4cos,4sinxyθθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)．(1)求直线l和圆C的普通方程；(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．19．(12分)已知直线l过点P(3,2)，且与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，求|P A|·|PB|取最小值时的直线l的方程．20．(12分)已知A，B分别是椭圆x236＋y29＝1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹方程．21．(12分)(2014·课标全国Ⅰ高考，文23)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：2,22x t y t=+⎧⎨=-⎩(t为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．22．(14分)已知某圆的极坐标方程为ρ2－42ρ·πcos 4θ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋6＝0，求： (1)圆的直角坐标方程和参数方程；(2)圆上所有点(x ，y )中xy 的最大值和最小值．参考答案1．解析：ρ＝2sin θ可化为x2＋y2－2y＝0，表示以(0,1)为圆心，1为半径的圆．答案：A2．答案：A3．解析：不妨设,abαα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，则a＋b＝6cos α＋3sin α＝3sin(α＋φ)，其中φ为锐角，tan φ＝ 2.所以a＋b的最小值为－3.答案：C4．解析：如图，描点π2,6⎛⎫--⎪⎝⎭时，先找到角－π6的终边，又因为ρ＝－2＜0，所以再在反向延长线上找到离极点2个单位长度的点即是点π2,6⎛⎫--⎪⎝⎭.直线θ＝π2，就是极角为π2的那些点的集合．故Mπ2,6⎛⎫--⎪⎝⎭关于直线θ＝π2的对称点为M′π2,6⎛⎫⎪⎝⎭，但是选项没有这样的坐标．又因为M′π2,6⎛⎫⎪⎝⎭的坐标还可以写成M′7π2,6⎛⎫-⎪⎝⎭，故选B.答案：B5．解析：题目所给的直线的斜率为2，选项A中直线的斜率为1，选项D中直线的斜率为12，所以可排除选项A，D.而选项B中直线的普通方程为2x－y＋3＝0，故选C.答案：C6．解析：由方程π4sin3ρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，得ρ2＝2ρsin θ－23ρcos θ，即x2＋y2＝2y－23x.配方，得(x＋3)2＋(y－1)2＝4.它表示以(－3，1)为圆心，2为半径，且过原点的圆．所以在极坐标系中，它关于直线θ＝5π6成轴对称．答案：B7．解析：∵ρ(ρcos θ－1)＝0， ∴ρ＝x 2＋y 2＝0或ρcos θ＝x ＝1. 答案：C8．解析：圆的极坐标方程可化为直角坐标方程(x －2)2＋y 2＝4，四个选项所对应的直线方程分别为y ＝4，x ＝2，x ＝4，x ＝－4，故选C.答案：C9．解析：设Q (x 0，y 0)，则0002,3x y ⎧=--⎪⎨=⎪⎩由|PQ |＝ 2 得(－2－2t 0＋2)2＋(3＋2t 0－3)2＝2，即t 20＝12，所以t 0＝±22.当t 0＝22时，Q (－3,4)；当t 0＝－22时，Q (－1,2)．答案：C10．解析：∵倾斜角α满足tan α＝23，∴sin α＝213，cos α＝313. ∴所求参数方程为4,3x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)． 答案：A11．解析：把参数方程化为普通方程，得y 24－x 216＝1，故渐近线方程为y ＝±12x .答案：A12． 解析：圆的参数方程可化为x 2＋y 2＝4，可求得圆心(0,0)到直线的距离为95＜2，故选D.答案：D13． 解析：由ρ＝2sin θ，ρcos θ＝－1， 得2sin θcos θ＝－1，即sin 2θ＝－1.因为0≤θ≤π，所以0≤2θ≤2π，2θ＝3π2，θ＝3π4，ρ＝ 2.所以交点的极坐标为3π4⎫⎪⎭. 答案：3π4⎫⎪⎭14． 解析：两式相减得，x －y ＝2－1，即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝015． 解析：y 2＝(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝1＋2sin θcos θ＝1＋x ，又x ＝sin 2θ∈[－1,1]，所以曲线的普通方程是y 2＝x ＋1(－1≤x ≤1)． 答案：y 2＝x ＋1(－1≤x ≤1)16． 解析：把x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t 代入x 2＋y 2＝16中，得t 2－8t ＋12＝0.设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝8.故AB 中点对应的参数为t 0＝12(t 1＋t 2)＝12×8＝4，将t 0＝4代入直线参数方程，可求得中点的坐标为(3，－3)．答案：(3，－3)17．解：把直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程， 得x ＋3y －4＝0，过极点且与l 垂直的直线方程为y ＝3x .由40,x y ⎧+-=⎪⎨=⎪⎩得射影的直角坐标为(1，3)，化为极坐标为π2,3⎛⎫⎪⎝⎭.即极点在直线l 上的射影的极坐标为π2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭. 18．解：(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.19．解：设直线的倾斜角为α，直线l 过点P (3,2)， 则直线l 的参数方程为3cos ,2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)．因为直线与x 轴正半轴交于点A ，所以令y ＝0，即2＋t sin α＝0，即|P A |＝|t |＝2sin α. 又直线与y 轴正半轴交于点B ，所以令x ＝0， 即3＋t cos α＝0，又由于α明显为钝角， 则|PB |＝|t |＝－3cos α.所以|P A |·|PB |＝2sin α·3cos a ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－6sin αcos α＝－12sin 2α.由题意可知π2＜α＜π，所以π＜2α＜2π.当2α＝3π2，即α＝3π4时，sin 2α＝－1，|P A |·|PB |取最小值12.故直线l的参数方程为3,22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，转化为普通方程是x ＋y －5＝0. 20．解：由题意知A (6,0)，B (0,3)．由于动点C 在椭圆上运动，故可设动点C 的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G 的坐标为(x ，y )，由三角形重心的坐标公式可得606cos ,3033sin 3x y θθ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩(θ为参数)， 即22cos ,1sin .x y θθ=+⎧⎨=+⎩.消去参数θ得到(x －2)24＋(y －1)2＝1.故重心G 的轨迹方程为22cos ,1sin .x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)或(x －2)24＋(y －1)2＝1.21．分析：在第(1)问中，可根据参数方程与普通方程的关系求解；在第(2)问中，可由曲线C 的参数方程设出点P 的坐标，结合点到直线的距离公式与三角函数的定义得出|P A |与θ的关系，通过三角变换求得|P A |的最值．解：(1)曲线C 的参数方程为2cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|，则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43. 当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255.22． 解：(1)原方程可化为2ππcos cos sin sin 6044ρθθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，即ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0.① 因为ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以①可化为x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0，即(x －2)2＋(y －2)2＝2，即为所求圆的直角坐标方程．设2,2x y θθ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩所以所求圆的参数方程为2,2x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)．(2)由(1)可知xy ＝(2＋2cos θ)·(2＋2sin θ)＝4＋22(cos θ＋sin θ)＋2cos θ·sin θ＝3＋22(cos θ＋sin θ)＋(cos θ＋sin θ)2.②设t ＝cos θ＋sin θ，则π4t θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，t ∈[－2，2]．所以xy ＝3＋22t ＋t 2＝(t ＋2)2＋1.当t ＝－2时，xy 有最小值为1；当t ＝2时，xy 有最大值为9.。
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模块检测卷(一)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所围成的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π解析：选B 设P 点的坐标为(x ，y )， ∵|PA |＝2|PB |，∴(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]． 即(x －2)2＋y 2＝4.故P 点的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，它的面积为4π. 2．柱坐标⎝⎛⎭⎫2，π3，1对应的点的直角坐标是( ) A ．(3，－1,1) B ．(3，1,1) C ．(1，3，1)D ．(－1，3，1)解析：选C 由直角坐标与柱坐标之间的变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，z ＝1.3．在极坐标系中，点A 的极坐标是(1，π)，点P 是曲线C ：ρ＝2sin θ上的动点，则|PA |的最小值是( )A ．0B. 2C.2＋1D.2－1解析：选D A 的直角坐标为(－1,0)，曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1，|AC |＝2，则|PA |min ＝2－1.4．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ＋t sin 15°，y ＝cos θ－t sin 75°(t 为参数，θ是常数)的倾斜角是( )A ．105°B ．75°C ．15°D ．165°解析：选A 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝sin θ＋t sin 15°，y ＝cos θ－t sin 75°⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ＋t cos 75°，y ＝cos θ－t sin 75°，消去参数t 得，y －cos θ＝－tan 75°(x －sin θ)， ∴k ＝－tan 75°＝tan (180°－75°)＝tan 105°. 故直线的倾斜角是105°.5．双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan θ，y ＝21cos θ(θ为参数)的渐近线方程为( )A ．y ＝±22xB ．y ＝±12xC ．y ＝±2xD ．y ＝±2x解析：选D 把参数方程化为普通方程得y 24－x 2＝1，渐近线方程为y ＝±2x .6．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋3t (t 为参数)所表示的图形分别是( )A ．圆、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．直线、直线解析：选A ∵ρ＝cos θ，∴x 2＋y 2＝x 表示圆．∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋3t ，∴y ＋3x ＝－1表示直线． 7．已知点P 的极坐标为(π，π)，则过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程为( ) A ．ρ＝π B ．ρ＝cos θ C ．ρ＝πcos θD ．ρ＝－πcos θ解析：选D设M (ρ，θ)为所求直线上任意一点，由图形知|OM |cos ∠POM ＝π，∴ρcos(π－θ)＝π.∴ρ＝－πcos θ. 8．直线l ：y ＋kx ＋2＝0与曲线C ：ρ＝2cos θ相交，则k 满足的条件是( ) A ．k ≤－34B ．k ≥－34C ．k ∈RD ．k ∈R 且k ≠0解析：选A 由题意可知直线l 过定点(0，－2)，曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1.由图可知，直线l 与圆相切时，有一个交点，此时|k ＋2|k 2＋1＝1，得－k ＝34.若满足题意，只需－k ≥34.即k ≤－34即可．9．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θ，y ＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4－θ2(θ为参数，0≤θ<2π)所表示的曲线是( ) A ．椭圆的一部分 B ．双曲线的一部分C ．抛物线的一部分，且过点⎝⎛⎭⎫－1，12 D ．抛物线的一部分，且过点⎝⎛⎭⎫1，12 解析：选D 由y ＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4－θ2＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ2＝1＋sin θ2，可得sin θ＝2y －1，由x ＝1＋sin θ得x 2－1＝sin θ，∴参数方程可化为普通方程x 2＝2y ， 又x ＝1＋sin θ∈[0，2]．∴表示抛物线的一部分，且过点⎝⎛⎭⎫1，12. 10．在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝π3，ρcos θ＋ρsin θ＝1围成的图形的面积为( )A.14B.3－34C.2－34D.13解析：选B 三条直线的直角坐标方程依次为y ＝0，y ＝3x ，x ＋y ＝1，如图所示，围成的图形为△OPQ ，可得S △OPQ ＝12|OQ |·|y P |＝12×1×33＋1＝3－34.11．设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ(θ为参数)，直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，则曲线C 上到直线l 的距离为71010的点的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 曲线C 的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9，它表示以(2，－1)为圆心，3为半径的圆，其中圆心(2，－1)到直线x －3y ＋2＝0的距离d ＝|2＋3＋2|10＝71010且3－71010<71010，故过圆心且与l 平行的直线与圆交于两点，满足题意的点即为该两点． 12．已知直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t sin 30°，y ＝－1＋t sin 30°(t 为参数)与圆x 2＋y 2＝8相交于B 、C 两点，O 为原点，则△BOC 的面积为( )A ．27 B.30 C.152 D.302解析：选C ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t sin 30°，y ＝－1＋t sin 30°⇒⎩⎨⎧x ＝2－12t ＝2－22t ′，y ＝－1＋12t ＝－1＋22t ′(t ′为参数)．代入x 2＋y 2＝8，得t ′2－32t ′－3＝0，∴|BC |＝|t ′1－t ′2|＝(t ′1＋t ′2)2－4t ′1t ′2＝(32)2＋4×3＝30， 弦心距d ＝8－304＝22，S △BCO ＝12|BC |·d ＝152. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．将参数方程⎩⎨⎧ x ＝a 2⎝⎛⎭⎫t ＋1t ，y ＝b 2⎝⎛⎭⎫t －1t (t 为参数)转化成普通方程为________．解析：参数方程变为⎩⎨⎧2x a ＝t ＋1t ，2y b ＝t －1t ，∴(2x )2a 2－(2y )2b 2＝4，∴x 2a 2－y 2b2＝1.答案：x 2a 2－y 2b2＝114．在极坐标中，直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________． 解析：直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2可化为x ＋y －22＝0，圆ρ＝4可化为x 2＋y 2＝16，由圆中的弦长公式，得2r 2－d 2＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2222＝4 3.答案：4 315．(广东高考)已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)，C 在点(1,1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为________．解析：曲线C 的普通方程为：x 2＋y 2＝ ( 2 cos t )2＋( 2 sin t )2＝2(cos 2t ＋sin 2t )＝2，由圆的知识可知，圆心(0,0)与切点(1,1)的连线垂直于切线l ，从而l 的斜率为－1，由点斜式可得直线l 的方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.由ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，可得l 的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－2＝0.答案：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ 216．(重庆高考)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：ρcos θ＝4化为直角坐标方程为x ＝4，①⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3化为普通方程为y 2＝x 3，② ①②联立得A (4,8)，B (4，－8)， 故|AB |＝16. 答案：16三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，M 是C 1上的动点，P 点满足OP ―→＝2OM ―→，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.解：(1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝⎛⎭⎫x 2，y 2.由于M 点在C 1上，所以⎩⎨⎧x2＝2cos α，y2＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.(α为参数) (2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ1＝8sin θ.射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.18．(江苏高考)(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．解：因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，由x ＝t ＋1，得t ＝x －1，代入y＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0.同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x －1)，y 2＝2x ，解得公共点的坐标为(2,2)，⎝⎛⎭⎫12，－1. 19．(福建高考)(本小题满分12分)已知方程y 2－6y sin θ－2x －9cos 2θ＋8cos θ＋9＝0，(0≤θ＜2π)．(1)试证：不论θ如何变化，方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线； (2)θ为何值时，该抛物线在直线x ＝14上截得的弦最长，并求出此弦长．解：(1)证明：将方程y 2－6y sin θ－2x －9cos 2θ＋8cos θ＋9＝0可配方为(y －3sin θ)2＝2(x －4cos θ)∴图象为抛物线．设其顶点为(x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ，消去θ得顶点轨迹是椭圆x 216＋y 29＝1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y 2－6y sin θ－2x －9cos 2θ＋8cos θ＋9＝0 消去x ，得y 2－6y sin θ＋9sin 2θ＋8cos θ－28＝0. 弦长|AB |＝|y 1－y 2|＝47－2cos θ， 当cos θ＝－1，即θ＝π时，弦长最大为12. 20．(本小题满分12分)曲线的极坐标方程为ρ＝21－cos θ，过原点作互相垂直的两条直线分别交此曲线于A 、B 和C 、D 四点，当两条直线的倾斜角为何值时，|AB |＋|CD |有最小值？并求出这个最小值．解：由题意，设A (ρ1，θ)，B (ρ2，π＋θ)，C ⎝⎛⎭⎫ρ3，θ＋π2，D ⎝⎛⎭⎫ρ4，θ＋3π2. 则|AB |＋|CD |＝(ρ1＋ρ2)＋(ρ3＋ρ4) ＝21－cos θ＋21＋cos θ＋21＋sin θ＋21－sin θ＝16sin 22θ.∴当sin 22θ＝1即θ＝π4或θ＝3π4时，两条直线的倾斜角分别为π4，3π4时，|AB |＋|CD |有最小值16.21．(辽宁高考)(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2 2. (1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)．求a ，b 的值． 解：(1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4， 直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，⎝⎛⎭⎫22，π4. 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)． 故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1，所以⎩⎨⎧b2＝1，－ab2＋1＝2，解得a ＝－1，b ＝2.22．(辽宁高考)(本小题满分12分)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝⎛⎭⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝⎛⎭⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.。