《推荐》高中数学同步导学(2017新课标)(函数的综合应用)专题一函数的图像Word版含解析

【学习目标】1.理解点的坐标与函数图象的关系；2.会利用平移、对称、伸缩变换，由一个函数图象得到另一个函数的图象；3.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题．【知识梳理】1．利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线，首先：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．2．利用图象变换作函数图象(1)平移变换(2)对称变换(3)伸缩变换①y＝Af(x)(A>0)的图象，可将y＝f(x)的图象上所有点的纵坐标变为原来的A倍，横坐标不变而得到；② y ＝f(ax)(a>0)的图象，可将 y ＝f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的1a 倍，纵坐标不变而得到．问题探究1：函数y ＝f(2x －1)的图象与y ＝f(2x)的图象有何关系？提示：函数y ＝f(2x －1)的图象是由函数y ＝f(2x)的图象向右平移12个单位得到的．3．函数图象的应用(1)函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．(2)对于给定的函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．问题探究2：(1)若函数f(x)对任意x∈R 都有：f(a ＋x)＝f(b －x)，则f(x)的图象是否具有对称性？其对称轴(中心)是什么？(2)函数y ＝f(a ＋x)与函数y ＝f(b －x)的图象又具有怎样的对称关系呢？提示：(1)若f(a ＋x)＝f(b －x)，x ∈R 恒成立，则y ＝f(x)的图象关于x ＝a ＋b2成轴对称图形．(2)函数y ＝f(a ＋x)与函数y ＝f(b －x)的图象关于直线x ＝12(b －a)对称．基础自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f(x)|与y ＝f(|x|)的图象相同．( ) (2)函数y ＝f(x)与y ＝－f(x)的图象关于原点对称．( )(3)若函数y ＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x ＝1对称．( )(4)若函数y ＝f(x)满足f(x －1)＝f(x ＋1)，则函数f(x)的图象关于直线x ＝1对称．( )(5)将函数y ＝f(－x)的图象向右平移1个单位得到函数y ＝f(－x －1)的图象．( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×2．(2016·合肥抽测)若lg a ＋lg b ＝0(其中a≠1，b ≠1)，则函数f(x)＝a x与g(x)＝b x的图象( )A ．关于直线y ＝x 对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于原点对称【解析】 由lg a ＋lg b ＝0，得b ＝1a ，所以g(x)＝a －x，所以函数f(x)与g(x)的图象关于y 轴对称．故选C.【答案】 C3．函数f(x)＝ln(x 2＋1)的图象大致是( )【解析】 函数f(x)＝ln(x2＋1)的定义域为(－∞，＋∞)，又因为f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数且f(0)＝ln 1＝0，综上选A.【答案】 A4．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x>m ，x 2＋4x ＋2，x ≤m 的图象与直线y ＝x 恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．D ．[2，＋∞)5．直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x|＋a 有四个交点，则a 的取值范围是________．【解析】 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－x ＋a ，x ≥0，x2＋x ＋a ，x<0，作出图象，如图所示．此曲线与y 轴交于(0，a)点，最小值为a －14，要使y ＝1与其有四个交点，只需a －14<1<a ，∴1<a<54.【答案】 1<a<54考点探究 考点一 作图画函数图象的一般方法(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出．(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．(3)描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．作函数的图象要规范，特别是与图象有关的特殊点和特殊线，应足够重视． 【例一】 分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|lg x|; (2)y ＝2x ＋2；(3)y ＝x 2－2|x|－1; (4)y ＝x ＋2x －1.＝x ＋2x －1的图象，如图④.【名师点睛】(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y ＝x ＋1x 的函数；(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．针对训练作出下列函数的图象：(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x|；(2)y ＝2x －1x －1；(3)y ＝|log 2x －1|.【解析】 (1)作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 图象中x≥0的部分，加上y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象中x>0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x|的图象，如图(1)实线部分．(2)由y ＝2x －1x －1得y ＝1x －1＋2.作出y ＝1x 的图象，将y ＝1x 的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，即得y ＝1x －1＋2的图象．如图(2)实线部分． (3)作出y ＝log2x 的图象，再向下平移一个单位，最后将x 轴下方的图象作关于x 轴对称的图象，即得所求图象，如图(3)实线部分．考点二 识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：(1)定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征来分析解决问题；(2)定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．首先由图象观察函数的奇偶性、对称性、单调性及其他性质，再做出判断．另外，赋值法也是常用方法之一．【例二】(1)(2015·浙江卷)函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x(－π≤x ≤π且x≠0)的图象可能为( )(2)(2015·新课标全国卷Ⅱ)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP＝x.将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f(x)，则y ＝f(x)的图象大致为( )【名师点睛】函数图象的分析判断主要依据两点：一是根据函数的性质，如函数的奇偶性、单调性、值域、定义域等；二是根据特殊点的函数值，采用排除的方法得出正确的选项．针对训练1．对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是( )【解析】若0<a<1，则y＝logax单调递减，抛物线y＝(a－1)x2－x开口向下，对称轴在y轴左侧，排除C、D；若a>1，则y＝logax单调递增，抛物线y＝(a－1)x2－x开口向上，对称轴在y轴右侧，排除B.故选A.【答案】 A2．(2016·泰州综合测试)已知函数f(x)是定义在R 上的增函数，则函数y ＝f(|x －1|)－1的图象可能是( )【解析】 函数y ＝f(|x －1|)－1关于x ＝1对称，排除A 、C ；又f(x)是R 上的增函数，所以x>1时，函数y ＝f(x －1)应为增函数，排除D ，故选B.【答案】 B3．函数y ＝xln|x||x|的图象可能是( )【解析】 解法一：函数y ＝xln |x||x|的图象过点(e ，1)，排除C ，D ；函数y ＝xln|x||x|的图象过点(－e ，－1)，排除A.故选B.解法二：由已知，设f(x)＝xln|x||x|，则f(－x)＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数，排除A ，C ，当x>0时，f(x)＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，排除D.故选B.【答案】 B 考点三 用图1．函数图象形象地显示了函数的性质(如单调性、奇偶性、最值等)，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，因此常用函数的图象研究函数的性质．2．有些不等式问题常转化为两函数图象的上、下关系来解． 3．方程解的个数常转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题来求解． 与两不同类型的函数图象交点有关的问题常常采用数形结合的方法解决．【例三】(1)已知函数y ＝log a (x ＋c)(a ，c 为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A ．a>1，c>1B ．a>1，0<c<1C ．0<a<1，c>1D ．0<a<1，0<c<1(2)(2016·西安质检)已知函数f(x)＝|x －2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1，2)D ．(2，＋∞)【解题指导】 切入点：函数的图象；关键点：图象的性质，准确画出函数的图象． 【解析】 (1)由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换知0<a<1，0<c<1.(2)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥2，3－x ，x<2.如图，作出y ＝f(x)的图象，其中A(2，1)，则kOA ＝12.要使方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则函数f(x)与g(x)的图象有两个不同的交点，由图可知，12<k<1.故选B.【答案】 (1)D (2)B 【名师点睛】(1)利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，如判断方程是否有解，有多少个解．数形结合是常用的思想方法；(2)利用图象，可观察函数的对称性、单调性、定义域、值域、最值等性质．【拓展探究】 (1)若本例(2)中的“方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根”改为“方程f(x)＝g(x)有一个实根”结果如何？(2)若本例(2)中的“g(x)＝kx”改为“g(x)＝log a (x ＋1)”，求实数a 的取值范围．由loga3＝1，得a ＝3.由对数函数的图象变化可知，当函数f(x)与g(x)的图象有两个不同的交点时，有1<a<3. 【方法技巧】1．函数图象是函数的一种重要表达形式，它形象直观地显示了函数的性质，是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．2．函数图象主要涉及三方面的问题，即作图、识图、用图．作图主要应用描点法、图象变换法以及结合函数的性质等方法；识图要能从图象的分布范围、变化趋势、对称性等方面来研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性及周期性等性质；用图是函数图象的最高境界，利用函数图象的直观性可以方便、快捷、准确地解决有关问题．【易错点睛】1．用描点法作函数图象时，要注意取点合理，并用“平滑”的曲线连接，作完后要向两端伸展一下，以表示在整个定义域上的图象．2．当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用．。