《数列》专题(特长生、艺体生高考专用)
高考数列专题知识点
高考数列专题知识点数列是数学中的重要概念之一，也是高中数学中的重要知识点。
在高考中，数列专题常常涉及到各种不同类型的数列，如等差数列、等比数列等。
掌握好数列的相关知识，对于解题能力的提升至关重要。
本文将介绍高考数列专题的相关知识点，帮助同学们更好地理解和应用数列。
一、等差数列等差数列是指一个数列中任意两个相邻的数之差都相等的数列。
常用的表示方法是：{a1, a2, a3, ...}，其中a1为首项，d为公差。
1. 公式推导对于等差数列，可以通过首项a1、公差d和项数n来求解数列的任意项an的值。
常用的公式有：- 第n项公式：an = a1 + (n-1)d- 前n项和公式：Sn = (a1 + an) * n / 22. 性质和特点等差数列有一些重要的性质和特点，包括：- 公差d与相邻两项之差相等- 中间项等于相邻两项的平均值- 前n项和是项数n和首末项之和的乘积的一半二、等比数列等比数列是指一个数列中任意两个相邻的数之比都相等的数列。
常用的表示方法是：{a1, a2, a3, ...}，其中a1为首项，q为公比。
1. 公式推导对于等比数列，可以通过首项a1、公比q和项数n来求解数列的任意项an的值。
常用的公式有：- 第n项公式：an = a1 * q^(n-1)- 前n项和公式：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)2. 性质和特点等比数列也有一些重要的性质和特点，包括：- 公比q与相邻两项的商相等- 中间项等于相邻两项的平方根- 前n项和无穷等于首项除以(1 - 公比)三、数列求和在高考中，常常需要求解数列的前n项和。
不同类型的数列有不同的求和公式，需要根据具体情况进行运用。
1. 等差数列的求和公式对于等差数列，前n项和的求和公式如下：Sn = (a1 + an) * n / 2其中，Sn表示前n项和，a1表示首项，an表示第n项，n表示项数。
2. 等比数列的求和公式对于等比数列，前n项和的求和公式如下：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)其中，Sn表示前n项和，a1表示首项，q表示公比，n表示项数。
高考数列必考知识点
高考数列必考知识点数列作为高中数学中的重要知识点之一，在高考中占据着重要的位置。
掌握数列的概念、性质以及常见的数列类型是高考数学取得好成绩的必备知识。
本文将为同学们总结归纳高考数列必考的知识点。
一、数列的概念和性质1. 数列的定义：数列是按照一定顺序排列的由数字组成的序列。
2. 数列的通项公式：数列的通项公式表示数列中第n个数的一般项，常用符号有an或者Un。
3. 数列的首项和公差：对于等差数列，首项表示数列的第一个数，常用符号是a1；公差表示相邻两项之间的差值，常用符号是d。
4. 数列的递推公式：数列的递推公式表示数列中第n+1项与第n项的关系式。
二、等差数列1. 等差数列的定义：等差数列是指数列中相邻两项之差保持不变的数列。
2. 等差数列的通项公式：对于公差为d的等差数列，其通项公式为an = a1 + (n-1)d。
3. 等差数列前n项和：等差数列前n项和的公式为Sn = (a1 + an) *n / 2。
三、等比数列1. 等比数列的定义：等比数列是指数列中相邻两项之比保持不变的数列，且首项不能为0。
2. 等比数列的通项公式：对于公比为q的等比数列，其通项公式为an = a1 * q^(n-1)。
3. 等比数列前n项和：等比数列前n项和的公式为Sn = a1 * (1-q^n) / (1-q)。
四、特殊数列1. 斐波那契数列：斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项之和，首几项为0、1、1、2、3、5、8、13……2. 等差-等比混合数列：等差-等比混合数列是指数列中既存在等差关系又存在等比关系的数列。
五、数列求和问题1. 常用的数列求和方法：对于等差数列或者等比数列，可以通过数列求和公式或者特殊方法进行求和。
2. 数列求和的技巧：对于一些特殊的数列，可以利用数列的性质进行化简，从而简化求和的过程。
六、题目实战演练1. 高考数列选择题：通过对历年高考数学试卷中关于数列的选择题进行分类整理，帮助同学们熟悉数列的考点和解题思路。
2025年高考数学二轮复习模块1数列专题-特技大招1-特殊值秒解数列选填【含解析】
2025年高考数学二轮复习模块1数列专题-特技大招1-特殊值秒解数列选填大招总结当数列的选择填空题中只有一个条件时,在不违背题意的条件下,我们可以直接利用特殊值,令其公差为0或者公比为1,即令数列为常数列,每一项设为x ,只需5秒搞定一道题.题目本身难度其实也不大,但用此方法更快.注意:一定检验是否符合题意,题目中如果出现公差不为0或者公比不为1,则慎用此法.另外,如果问题是求取值范围,则此方法失效.如果问题是求固定值,则可放心使用,详细用法,我们通过例题讲解.典型例题例1.设等差数列{}n a 前n 项和为n S ,若972S =,则249a a a ++=（）A.12B.18C.24D.36解方法1：等差数列{}n a 前n 项和为n S ，()199597292a a S a +===,58a ∴=.故24915312324a a a a d a ++=+==,故选C.方法2:令每一项为x ，972S =,即972x =，8x =，249324a a a x ++==,故选C.例2.在等差数列{}n a 中,912162a a =+,则数列{}n a 的前11项和11S =（）A.24B.48C.66D.132解方法1：数列{}n a 为等差数列,设其公差为d ，912162a a =+,()11181162a d a d ∴+=++，1512a d ∴+=,即612a =.∴数列{}n a 的前11项和111211S a a a =+++()()()111210576611132a a a a a a a a =+++++++==.故选D.方法2：令每一项为x ，912162a a =+，162x x =+，12x =，1111132S x ==,故选D.已知数列{}n a 是等差数列,且1472a a a π++=,则()35tan a a +的值为()A.3B.C.D.33-方法1:数列{}n a 是等差数列,且1472a a a π++=,147432a a a a π∴++==，423a π∴=，()()3544tan tan 2tantan 33a a a ππ∴+====,故选C.方法2:令每一项为x ，14732a a a x π++==，23x π=,()()354tan tan 2tantan 33a a x ππ∴+====,故选C.例4.已知数列{}n a 是等差数列,n S 是数列{}n a 的前n 项和,269S a +=,则5S 的值为（）A.10B.15C.30D.3解方法1:设等差数列{}n a 的公差为d ，269S a +=，1369a d ∴+=,化为:1323a d a +==,则()155355152a a S a +===.故选B.方法2:令每一项为x ，2629S a x x +=+=，3x =，515S =,故选B.例5.已知{}n a 为等差数列,且6154a a +=,若数列{}n a 的前m 项的和为40,则正整数m 的值为()A.10B.20C.30D.40解方法1:由题意可得,()()120206152010402a a S a a +==+=,所以20m =.故选B.方法2:令每一项为x ，61524a a x +==，2x =，240m S m ==,所以20m =.故选B.例6.已知数列{}n a 为正项等比数列,且13355724a a a a a a ++=,则24a a +=（）A.1B.2C.3D.4方法1：数列{}n a 为正项等比数列,且13355724a a a a a a ++=,数列{}n a 为正项等比数列,262a a ∴+=.故选B.()222133557226626224a a a a a a a a a a a a ∴++=++=+=,方法2:令每一项为x ,则222133557224a a a a a a x x x ++=++=， 1.x =2622a a x +==,故选B.例7.已知等比数列{}n a 的各项圴为正数,且39a =,则313233log log log a a a +++3435log log a a +=（）A.52B.53C.10D.15方法1：()553138333415312345333log log log log log log log log 910a a a a a a a a a a a ++++====,故选C.方法2:不妨令数列为常数项,每一项n 39a a ==，3132333435log log log log log 2a a a a a ++++=+222210+++=,故选C.例8.已知等比数列{}n a 的各项均为正数,且212227log log log a a a +++=7，则2635a a a a +=（）A.16B.14C.8D.4解方法1:等比数列{}n a 的各项均为正数,且212227log log log 7a a a +++=，(212log a a ⋅)77a =，71272a a a ∴⋅=，7742a ∴=，42a ∴=，22635428a a a a a ∴+==,故选C.方法2:令每一项为x ,则2122272log log log 7log 7a a a x ++==，2x =，222635a a a a x x +=+=8,故选C.例9.已知{}n a 为等差数列,公差2d =，24618a a a ++=,则57a a +=（）A.8B.12C.16D.20解方法1:根据题意知,4262a a a =+，57424a a a d +=+，24618a a a ++=，4318a ∴=，4 6.a ∴=∴57424264220a a a d +=+=⨯+⨯=.故选D.方法2:此题为反例,题干中明确说了公差2d =,所以不能用特殊值的方法,令公差为0,故不能用大招.例10.在等比数列{}n a 中,若3212a a a =+,则2538a a a 的值为()A.12或1-B.12-或1C.2或1-D.12解方法1:根据题意,设等比数列{}n a 的公比为q ,若3212a a a =+,则220q q --=,解可得2q =或1-,若2q =,则22851273811112a a q a a a q a q q ===,若1q =-,则2285127381111a a q a a a q a q q ===-,故2538a a a 的值为12或1-,故选A .方法2:此题为反例,若令每一项为x ,则3212a a a =+变为2x x x =+，0x =,等比数列中0n a ≠,故不能用大招.例11.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，226598225a a a a ++=，则113a a 的最大值是()A.25B.254C.5D.25解方法1：等比数列{}n a 的各项都为正数,()2222265986688682225a a a a a a a a a a ∴++=++=+=，6a ∴85a +=，268113682524a a a a a a +⎛⎫∴==⎪⎝⎭,当且仅当6852a a ==时取等号,113a a ∴的最大值是254.故选B.方法2:此题为反例，题目问的是“最大值”，而不是定值，故不能用特殊值这种大招.例12.已知数列{}{},n n a b 满足n 2n b =log a ，n N +∈,其中{}n b 是等差数列,1020112a a =,则122020b b b +++=________.解方法1:数列{}{},n n a b 满足2log n n b a =，n N +∈,其中{}n b 是等差数列,2bn n a ∴=是等比数列,1020112a a =，122020212222020log log log b b b a a a ∴+++=+++()2122020log a a a =⨯⨯⨯=方法2:令数列{}n a 每一项为x ,则21020112a a x ==，n a x ==，21log 2n n b a ==，1220201202010102b b b +++=⨯=.自我检测1.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ,若23109a a a ++=,则9S =（）A.27B.18C.9D.3【解析】方法1:设公差为d ,则13129a d +=，1543a d a ∴+==，95927S a ∴==,故选A.方法2:令每一项为x ,则23109a a a x x x ++=++=，3x =，927S =.故选A.2.在等差数列{}n a 中,18153120a a a ++=,则9102a a -的值为()A.20B.22C.24D.8-【解析】方法1：在等差数列{}n a 中,18153120a a a ++=，85120a ∴=，824a ∴=，910182724a a a d a -=+==.故选C.方法2:令每一项为x ，181535120a a a x ++==，24x =,故选C.3.等差数列{}n a 中,若81126a a =+,则19a a +等于()A.54C.10D.6【解析】方法1:设等差数列{}n a 的公差为d ，等差数列{}n a 中,81126a a =+，()1127610a d a d ∴+=++,解得146a d +=.191182612a a a a d ∴+=++=⨯=.故选B.方法2:令每一项为x ,81126a a =+,26x x =+,6x =,19212a a x +==,故选B.4.已知数列{}n a 是等差数列,且23451a a a a +++=,则16a a +=()A.14B.12D.2【解析】方法1：数列{}n a 是等差数列,且23451a a a a +++=，()23451621a a a a a a ∴+++=+=，解得16a a +12=.故选B.方法2:令每一项为x ，234541a a a a x +++==，14x =，16122a a x +==,故选B.5.已知数列{}n a 是等差数列,且31120a a +=,则11152a a -=（）A.10B.9C.8D.7【解析】方法1:数列{}n a 是等差数列,且31120a a +=,则1121020a d a d +++=,即1610a d +=,则11152a a -=11122014610a d a d a d +--=+=,故选A.方法2:令每一项为x ，311220a a x +==，10x =，则11152210a a x x x -=-==,故选A.6.在等差数列{}n a 中,3456a a a ++=,则()17 a a +=A.2B.3C.4D.5【解析】方法1:由等差数列的性质,得345436a a a a ++==,解得42a =，17424a a a ∴+==,故选C.方法2:令每一项为x ，34536a a a x ++==，2x =,则1724a a x +==,故选C.7.等差数列{}n a 中,5101530a a a ++=,则22162a a -的值为()A.10-B.20-C.10D.20【解析】方法1:设等差数列{}n a 的公差为d ，5101530a a a ++=，10330a ∴=，1010a ∴=，221610212a a a d ∴-=+()10102610a d a -+=-=-,故选A.方法2:令每一项为x ，51015330a a a x ++==，10x =,则22162210a a x x x -=-=-=-,故选A.8.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若152a a +=,则5S =()A.5B.7C.9D.11【解析】方法1:因为数列{}n a 为等差数列,设其公差为d ,前n 项和为n S ,则()2121n n S n a -=-.所以535S a =,又152a a +=,所以31a =,所以5355S a ==,故选A.方法2:令每一项为x ，1522a a x +==，1x =,则555S x ==,故选A .9.已知数列{}n a 是等差数列,57918a a a ++=,则其前13项的和是()A.45B.56C.65D.78【解析】方法1：在等差数列{}n a 中,57918a a a ++=，5797318a a a a ∴++==,解得76a =，∴该数列的前13项之和:()1311371313136782S a a a =⨯+==⨯=,故选D.方法2:令每一项为x ，579318a a a x ++==，6x =,则131378S x ==,故选D.10.公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =,则5a =（）A.4B.2C.1D.8【解析】方法1：公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数,且31116a a =，210112216a a ∴⋅⋅⋅=,且10a >,解得1412a =，4541212a ∴=⋅=.故选C .方法2:题目中提到公比为2,所以不能用大招.11.已知各项均为正数的等比数列{}n a ,若543264328a a a a +--=,则7696a a +的最小值为（）A.12C.24D.32【解析】方法1:由题意知等比数列{}n a 中0n a >,则公比0q >,因为543264328a a a a +--=,所以432111164328a q a q a q a q ⋅+⋅-⋅-⋅=,即()432164328a q q q q +--=,所以()()2132218a q q q +-=,所以1(3a q q 282)21q +=-,所以()654476111224824969633232121a a a q a q q a q q q q q q+=⋅+⋅=⋅+=⋅=--,设x =21q,则0x >，22242121(1)1y x x x q q =-=-=-- ,所以2421q q -取最大值1时,7696a a +取到最小值24.故选C.方法2:此题为反例,题目问的是“最小值”,而不是定值,故不能用特殊值这种大招.12.已知正项等比数列{}n a ,满足21232527log log log log 4a a a a +++=,则(226log ) a a +的最小值为（）A.1B.2D.4【解析】由对数的运算性质可得,()2123252721357log log log log log 4a a a a a a a a +++==，135716a a a a ∴=，由等比数列的性质可知,413574a a a a a =且40a >，42a ∴=，()226224log log log 22a a a ∴+= ，故(22log a )6a +的最小值为2，故选B.方法2:此题为反例,题目问的是“最小值”,而不是定值,故不能用特殊值这种大招.13.在等差数列{}n a 中，已知3810a a +=，则573a a +=__________.【解析】方法1:由等差数列的性质得:()()()()5755756563832222220a a a a a a a a a a a +=++=+=+=+=,故答案为:20.方法2:令每一项为x ，3810a a +=，5x =，57320a a +=,故答案为:20.14.等比数列{}n a 的各项均为正数,且1516a a =,则2122232425log log log log log a a a a a ++++=__________.【解析】方法1：等比数列{}n a 的各项均为正数,且1516a a =，2122232425log log log log log a a a a a ∴++++=()521252log log 410a a a ⨯⨯⨯==.故答案为:10.方法2:令每一项为x ，1516a a =，4x =，2122232425log log log log log 10a a a a a ++++=,故答案为:10.15.在前n 项和为n S 的等差数列{}n a 中,若()()1536932a a a a a ++++18=,则8__________.S =【解析】解:方法1:由等差数列的性质有366618a a +=,有363a a +=,则()()1883684122a a S a a +==+=.故答案为:12.方法2:令每一项为x ，()()()()153********a a a a a x x x x x ++++=++++=，1218x =，32x =，所以83812.2S =⨯=。
高考数学 艺体生文化课 第七章 数列测试课件.pptx
4.(2009新课标卷)等比数列{an}的前n项和为Sn,且4a1,2a2,a3
成等差数列.若a1=1,则S4= ( )
A.7
B.8
C.15
D.16
【答案】 C
【解析】 Q 4a1, 2a2 , a3成等差数列,4a1 a3 4a2 ,即4a1 a1q2 4a1q, q2 4q 4 0,q 2.又a1 1, S4 15, 选C.
5.(2007新课标卷,文)已知a,b,c,d成等比数列,且曲线y=x2-
2x+3的顶点是(b,c),则ad等于 ( )
A.3
B.2
C.1
D.-2
【答案】 B 【解析】 y x2 2x 3的顶点为(1, 2), a,b, c, d成等比数列, 所以bc ad 2,选B.
6.(2014年6月湖北省襄阳市普通高中调研测试)等差数列{an} 的公差d<0,且a2a4=12,a2+a4=8,则数列{an}的通项公式是
(2)当d>1时,记cnab=nn ,求数列{cn}的前n项和Tn.
(2)由d
1, 得 : an
2n
1, bn
2n1.所以cn
2n 1 2n1
,
所以Tn
1 20
3 21
5 22
7 23
2n 1① 2n1
两边都乘以 1 2
得到
1 2 Tn
1 21
3 22
5 23
7 24
2n 1② 2n
①
②得到
1 2
等比数列,则{an}的前n项和Sn= ( )
A.n(n 1) B.n(n 1) C. n(n 1) 2
D. n(n 1) 2
【答案】 A
2022艺术生高考数学专题讲义：考点30 数列的通项
考点三十数列的通项知识突围合抱之木,生于毫末1．数列{a n}的前n项和S nS n=a1+a2+a3+…+a n2．数列的通项a n与前n项和S n的关系a n= S1 (n=1)S n-S n－1(n≥2)3．根据a n与a n+1(或a n与a n-1)的递推关系求通项公式(1)若已知数列的首项a1(或某一项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项a n。
与它的前一项a n-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么该公式就叫作这个数列的递推公式．递推公式也是给出数列的一种方(2)数列的第n项a n与项数n之间的函数关系可以用一个公式a n=f(n)来表示，那么a n就是数列的通项公式注：①并非所有的数列都有通项公式。
②有的数列可能有不同形式的通项公式。
③数列的通项是一种特殊的函数关系式。
④注意区别数列的通项公式和递推公式几种常见的数列的通项公式的求法。
题型突围纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行.一．公式法例1.等差数列a n是递减数列，且a2⋅a3⋅a4=48，a2+a3+a4=12，则数列的通项公式是（）A.a n=2n-12B.a n=2n+4C.a n=-2n+12D.a n=-2n+10方法总结当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。
【题型练1-1】(2015福建)等差数列a n中，a2=4，a4+a7=15．(Ⅰ)求数列a n的通项公式；(Ⅱ)设b n=2a n-2+n，求b1+b2+b3+⋅⋅⋅+b10的值．【题型练1-2】(2015北京)已知等差数列{a n}满足a1+a2=10，a4-a3=2．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)设等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a7．问：b6与数列{a n}的第几项相等？【题型练1-3】(2018全国卷Ⅲ)等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．(1)求{a n}的通项公式；(2)记S n为{a n}的前n项和．若S m=63，求m．【题型练1-4】(2017新课标Ⅰ)记S n为等比数列{a n}的前n项和，已知S2=2，S3=-6．(1)求{a n}的通项公式；(2)求S n，并判断S n+1，S n，S n+2是否成等差数列。
高考数学数列专题
高考数学数列专题在高考数学中，数列是一个重要的知识点，也是许多同学感到头疼的部分。
但其实，只要掌握了正确的方法和思路，数列问题并不难攻克。
数列，简单来说，就是按照一定规律排列的一组数。
它可以是有限个数组成的，称为有限数列；也可以有无穷多个数，称为无穷数列。
我们先来看看等差数列。
等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列。
这个常数就叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示。
比如说，数列 2，4，6，8，10就是一个公差为 2 的等差数列。
在等差数列中，通项公式是非常重要的，它可以帮助我们快速求出数列中的任意一项。
通项公式为：an ＝ a1 ＋（n 1)d ，其中 an 表示第 n 项，a1 表示首项，n 表示项数，d 表示公差。
等差数列的前 n 项和公式也很关键，它是：Sn ＝ n(a1 ＋ an) ／ 2 或者 Sn ＝ na1 ＋ n(n 1)d ／ 2 。
这两个公式在解题时可以根据具体情况灵活选择。
接下来是等比数列。
等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的数列，这个常数叫做公比，通常用字母 q 表示（q ≠ 0）。
例如，数列 2，4，8，16，32就是一个公比为 2 的等比数列。
等比数列的通项公式为：an ＝ a1 × q^（n 1) 。
等比数列的前 n 项和公式则分为两种情况。
当 q ＝ 1 时，Sn ＝ na1 ；当q ≠ 1 时，Sn ＝ a1(1 q^n) ／（1 q) 。
在解决数列问题时，通常需要我们根据已知条件求出数列的通项公式或者前 n 项和。
这就需要我们灵活运用数列的性质和公式，通过观察、分析题目中的数据，找到规律。
比如，给出数列的前几项，让我们判断它是等差数列还是等比数列，并求出通项公式。
这时候，我们可以先计算相邻两项的差值或者比值，看是否为常数。
如果差值是常数，那就是等差数列；如果比值是常数，那就是等比数列。
再比如，已知等差数列的首项、公差和项数，求前n 项和。
高考数学艺体生百日突围专题数列的通项与求和(综合篇含答案)
【高考备考艺体生文化课精选好题突围系列】专题三 数列的通项与求和数列的通项【背一背根底知识】：假设数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的关系可以用一个式子表示出来，记作()n a f n =，称作该数列的通项公式.2．等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-()m a n m d =+-． 3．等比数列的通项公式：11n n m n m a a q a q --== 4.等差数列性质：假设n S 是公差为d 的等差数列{n a }的前n 项和，那么 ①()n m a a n m d =+-；②假设*,,,m n p q N m n p q ∈+=+且，那么m n p q a a a a +=+； ③232,,,n n n n n S S S S S --仍是等差数列；5.等比数列性质：假设n S 是公差为d 的等比数列{n a }的前n 项和，那么 ①n m n m a a q -=；②假设*,,,m n p q N m n p q ∈+=+且，那么m n p q a a a a = ③232,,,n n n n n S S S S S --仍是等差数列〔其中1q ≠-或n 不是偶数〕； 【讲一讲根本技能】 1. 必备技能：〔1〕等差数列的断定：①定义法；②等差中项法；③通项公式法；④前n 项和公式法；作解答题时只能用前两种方法〔2〕等比数列的断定：①定义法；②等比中项法；③通项公式法；④前n 项和公式法；作解答题时只能用前两种方法〔3〕数列通项公式求法：①观察法：对数列前几项或求出数列前几项求通项公式问题，常用观察法，通过观察数列前几项特征，找出各项共同构成的规律，横向看各项的关系构造，纵向看各项与项数n 的关系时，分解所给数列的前几项，观察这几项的分解式中，哪些部分是变化的，哪些部分是不变化的，变化部分与序号的关系，，归纳出n a 的通项公式，再用数学归纳法证明.②累加法：对于可转化为)(1n f a a n n +=+形式数列的通项公式问题，化为1()n n a a f n +-=，通过累加得n a =112211()()()n n n n a a a a a a a ----+-++-+=1(1)(2)(1)f n f n f a -+-+++，求出数列的通项公式，注意相加等式的个数③累积法：对于可转化为1()n n a a f n +=形式数列的通项公式问题，化为1()n na f n a +=，通过累积得n a =121121n n n n a a a a a a a ---⨯⨯⨯⨯ =1(1)(2)(1)f n f n f a -⨯-⨯⨯⨯，求出数列的通项公式，注意相乘等式的个数④构造法：对于化为1()n n a pa f n +=+〔其中p 是常数〕型，常用待定系数法将其化为1(1)[()]n n a Af n p a Af n +++=+，由等比数列定义知{()n a Af n +}是公比为p 的等比数列，由等比数列的通项公式先求出()n a Af n +通项公式，再求出n a 的通项公式.⑤利用前n 项和n S 与第n 项n a 关系求通项 对递推公式为nS 与n a 的关系式(或()n n S f a =)，利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n nn n a =1n n S S --成立的条件是n ≥2，求n a 时不要漏掉n =1即n a =1S 的情况，当1a =1S 适宜n a =1n n S S --时，n a =1n n S S --；当1a =1S 不适宜n a =1n n S S --时，用分段函数表示.2. 典型例题例1 在数列{}n a 中，11,a =()11,2.1n n n a a n a --=≥+(1)求数列{n a }的通项公式； (2)求数列{2n n a a +}的前n 项和n S .【分析】〔1〕递推式，要求通项公式，我们应该把进展变形，看能否构成等差〔比〕数列，由111n n n a a a --=+得1111111n n n n a a a a ---+==+，从而新数列1{}na 是等差数列，通项可求；〔2〕根据〔1〕求出2n n a a +=1(2)n n +=111()22n n -+，利用拆项消去法即可求出该数列的前n 项和. 【解析】〔1〕由于()11,21n n n a a n a --=≥+，那么11111111111n n n n n n a a a a a a ----+==+⇔-=，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1公差1的等差数列，那么1n n a =，所以n a =()1,n N n *∈.例2例3 在数列{}n a 中，n n a n na 21+=+，且21=a . (1)求数列{n a }的通项公式； (2)求数列{2n n a a +}的前n 项和n S 【分析】〔1〕由n n a n n a 21+=+得+12n n a na n =+，即111n n a n a n --=+，故2113a a =，3224a a =， , 111n n a n a n --=+,用累乘法得12(1)n a a n n =+，故4(1)n a n n =+；〔2〕根据〔1〕求出n a =4(1)n n +=114()1n n -+，利用拆项消去法即可求出该数列的前n 项和. 【解析】〔1〕∵n n a n n a 21+=+，∴+12n n a na n =+， ∴121121n n n n n a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅122142143(1)n n n n n n --=⋅⋅⋅⋅⋅=++. 〔2〕因为n a =4(1)n n +=114()1n n -+， 所以n S =11111114(1)4()4()4()223341n n -+-+-++-+=41n n +.例 3 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且)(22*N n a S n n ∈-=，数列{}n b 中，11b ，121n n n b b b +=+．〔*n N ∈〕〔1〕求数列{}n a ,{}n b 的通项n a 和n b 〔2〕设nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【分析】〔1〕由22n n S a =-，可得当n ≥2时，1122n n S a --=-，两式相减可得12n n a a -=，从而可知数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，故可得2n a n =；根据121nn n b b b +=+，两边取倒数，可得数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，2为公差的等差数列，从而可求{}n b 的通项；〔2〕()212n nn na c nb ==-⋅，所以数列{}n c 的前n 项和n T 利用错位相减法可求数列{}n c 的前n 项和.【解析】【练一练趁热打铁】{}n a 中，其前n 项和n S 满足：11=S ，1221--=n n S n n S (n ≥2).求数列{a n }的通项公式.【答案】2(1)n a n n =+．【解析】2.设数列{}n a 满足211233333n n n a a a a -++++=…，n ∈*N ． (1) 求数列{}n a 的通项公式； (2)数列{}3log n n a a +的前n 项和n T . 【答案】〔1〕13n n a =；〔2〕nT =11(1)(1)232n n n +--．【解析】〔1〕由题意，2n ≥时，22123113333n n n a a a a ---++++=，∴1113333n n n n a --=-=，13n n a =，又113a =适宜上式，∴13n n a =，*n N ∈． 〔2〕由〔1〕3log n na a +=13nn -，所以n T =211112333n n -+-++-=211112333n n +++----=11(1)(1)331213n n n -+--=11(1)(1)232n n n +--. 数列的求和【背一背根底知识】1. 数列{}n a 的前n 项和为12n n S a a a =+++．2．等差数列{}n a 的前n 和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-=+=． 3．等比差数列{}n a 的前n 和公式：1111,1,1(1),1,111n n n na q na q S a a q a q q q q q ==⎧⎧⎪⎪==--⎨⎨≠≠⎪⎪--⎩⎩，【讲一讲根本技能】 1.必备技能：(1)分组转化法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，假设将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并． (2)错位相减法这是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列． (3)倒序相加法这是在推导等差数列前n 项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时假设有公式可提，并且剩余项的和易于求得，那么这样的数列可用倒序相加法求和． (4)裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或n 项的差，通过相加过程中的互相抵消，最后只剩下有限项的和．这种方法，适用于求通项为1a n a n ＋1的数列的前n 项和，其中{a n }假设为等差数列，那么1a n a n ＋1＝1d ⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1.常见的拆项公式： ①1n n ＋1＝1n －1n ＋1； ②1nn ＋k＝1k (1n －1n ＋k )； ③12n －12n ＋1＝12(12n －1－12n ＋1)； ④1n ＋n ＋k ＝1k(n ＋k －n )．例1数列{}n a 满足11a ＝，1()(1)1n n na n a n n ＋＝＋＋＋，*n ∈N ．〔1〕证明：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； 〔2〕设3n n n b a ={}n b 的前n 项和n S ．【分析】〔1〕将等式两边同时除以(1)n n +即可使问题得证；〔2〕先由〔1〕得出n b 的表达式，再用错位相减法即可求解． 【解析】例2正项数列{n a }，{n b }满足：，{n b }是等差数列，且对任意正整数n ，都有成等比数列．〔1〕求数列{n b }的通项公式；〔2〕求n S ＝12111na a a +++． 【分析】〔1〕因为成等比数列，所以，由得，解得：，所以公差 ，数列的通项公式为；〔2〕由知，，所以，采用裂项相消的方法，即可求出．【解析】〔1〕∵对任意正整数n ，都有成等比数列，且数列{n a }，{n b }均为正项数列， ∴n a ＝〔n∈N *〕．由a 1＝3，a 2＝6得又{b n }为等差数列，即有b 1＋b 3＝2b 2，解得b 1＝，b 2＝，∴数列{b n }是首项为，公差为的等差数列．∴数列{b n }的通项公式为n b ＝〔n∈N *〕．〔2〕由〔1〕得，对任意n∈N *，＝(1)(2)2n n ++，从而有，∴例3数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=+-. 〔1〕求{}n a 的通项公式；〔2〕设{}n a 的前n 项和为n T ，求n T .【分析】〔1〕由题知112()n n a n a n +++=+，所以{n a n +}是首项为2公比为2，利用等比数列的通项公式即可求得数列{n a n +}的通项公式，从而即可求得数列{}n a 的通项公式．〔2〕 采用分组求和法求和． 【解析】【练一练趁热打铁】1. 设数列{}n a 满足211233333n n n a a a a -++++=…，n ∈*N ． (1)求数列{}n a 的通项；〔2〕设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【答案】〔1〕13n na =；〔2〕1213344n n n S +-=⋅+． 【解析】2. 设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：()12--=n n na S n n ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，公比为1a ，且3352b T T +=． 〔1〕求数列{}n a 的通项公式； 〔2〕设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和为n M ，求证：4151<≤n M ．【答案】〔1〕4-3n a n =；〔2〕见解析． 【解析】3. {}n a 是各项均为正数的等比数列，31a +是2a 与4a 的等差中项且212n n n a a a ++=+． 〔Ⅰ〕求{}n a 的通项公式； 〔Ⅱ〕设2(1)n n na b a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】〔Ⅰ〕12n n a -=；〔Ⅱ〕1122+12n n n --+． 【解析】〔20*5=100分〕1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ，公差30,15,d S ≠=1341,,a a a 成等比数列． 〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕设2n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】〔Ⅰ〕21n a n =+；〔Ⅱ〕 22 4.n n T n +=+-【解析】〔Ⅰ〕依题意，1211132315,2(3)(12).a d a d a a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩ ,解得13,2.a d =⎧⎨=⎩ 因此1(1)32(1)21n a a n d n n =+-=+-=+，即21n a n =+． 〔Ⅱ〕依题意，1212212+=+⨯==+n n n n a b ． 12n n T b b b =+++231(21)(21)(21)n +=++++++ =23122 (2)n n +++++4(12)12n n -=+-22 4.n n +=+- 2. 设数列{}n a 的前项n 和为n S ，假设对于任意的正整数n 都有22n n S a n =-．〔1〕设2n n b a =+，求证：数列{}n b 是等比数列， 〔2〕求数列{}n na 的前n 项和n T ．【答案】〔1〕详见解析〔2〕2(1)24+(1)n n T n n n +=-++【解析】由①—②得：2341212+12+12++122n n n T n ++'-=⨯⨯⨯⨯-⨯22242n n n T n ++'-=--⨯2(1)24n n T n +'=-+由123n T n ''=++++可得(1)2n n n T +⋅''= +n n T T '=2n T ''=2(1)24+(1)n n n n +-++3. 数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且),(2)1(*N n a a S n n n ∈+= 〔1〕求证：数列{}n a 是等差数列；〔2〕设,,121n n nn b b b T S b +⋅⋅⋅++==求.n T 【答案】〔1〕详见解析；〔2〕21n n + 【解析】4. 数列{}n a 满足11=a ，*++∈=-N n n a a na n n n ,11． 〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕设nnn a b 2=，数列{}n b 的前n 项和n T ，求n T ． 【答案】〔1〕)(1*∈=N n na n ；〔2〕22)1(1+⋅-=+n n n T ． 【解析】5. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()21n n S a n N *=-∈． 〔1〕求数列{}n a 的通项公式； 〔2〕设+1131,log 1n n n n nb b bc a n n ==++{}n c 的前n 项和n T ．【答案】〔1〕()1=3n n a n N *∈；〔2〕11n -+ 【解析】〔1〕当1n =时，由21n n S a =-，得：11=.3a由21n n S a =- ① ()-1-1212n n S a n =-≥ ② 上面两式相减，得：()11=23n n a a n -≥所以数列{}n a 是以首项为13，公比为13的等比数列，得：()1=3n n a n N *∈。
艺术生高三文科数学复习讲义第12讲-数列
第12讲 数列【基础知识】1、等差数列与等比数列：11()(1)22n n a a n n na d ⎪⎪⎨-=1(1a ()ma n m da m a a a a q p n +=++=+时，pq 时，2、n a 与n S 的关系：1121(1)(2)n n n nn S n S a a a a S S n -=⎧=++⋯⇔=⎨-≥⎩【基础训练】1、（2013·重庆高考文科）若2、a 、b 、c 、9成等差数列，则c a -= ．2、（2013·北京高考文科）若等比数列{a n }满足a 2＋a 4=20，a 3＋a 5=40，则公比q = ；前n 项和S n = .3（2013·广东高考文科）设数列{}n a 是首项为1，公比为2-的等比数列，则1234||||a a a a +++= 4、（2013·四川高考文科）在等比数列{}n a 中，212a a -=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，求数列{}n a 的首项、公比及前n 项和。
【典例分析】1．（2013·安徽高考文科）设S n 为等差数列｛a n ｝的前n 项和，837=4,2S a a ，则a 9=（ ）A.-6B.-4C.-2D.2 2．（2013·新课标Ⅰ高考文科）设首项为1，公比为23的等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，则（ ）A.12-=n n a SB. 23-=n n a SC. n n a S 34-=D. n n a S 23-=3．（2013·全国卷高考文科）已知数列{}n a 满足{}12430,,103n n n a a a a ++==-则的前项和等于（ ）A.()-10-61-3B.()-1011-39C.()-1031-3D.()-1031+34．（2013·湖南高考文科·Ｔ19）设n S 为数列{n a }的前项和，已知01≠a ，2n n S S a a ⋅=-11，∈n N *(Ⅰ)求1a ，2a ，并求数列｛n a ｝的通项公式；(Ⅱ) 求数列｛n na ｝的前n 项和。
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《数列》专题
2017年（ ）月（ ）日 班级 姓名 等差通项公式：
等差前n 项和公式：
【2015高考新课标1，文7】已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ）
（A ） 172 （B ）192
（C ）10 （D ）12 【2014高考重庆文第2题】在等差数列{}n a 中,1352,10a a a =+=，则7a =（ ）
.5A .8B .10C .14D
【2015新课标2文5】设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =（ ）
A ．5
B ．7
C ．9
D ．11
【2016高考新课标2文数】等差数列{n a }中，34574,6a a a a +=+=.
（Ⅰ）求{n a }的通项公式；
【2014年.浙江卷.文19】（本小题满分14分）
已知等差数列{}n a 的公差0d >，设{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，2336S S ⋅=
（1）求d 及n S ；
等比通项公式：
等比前n 项和公式：
【2015新课标2文9】已知等比数列{}n a 满足114a =,()35
441a a a =-,则2a =（ ） A.2 B.1 1C.2 1D.8
【2016高考天津文数】(本小题满分13分)
已知{}n a 是等比数列，前n 项和为()n S n N ∈*，且
6123112,63S a a a -==. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式；
【2015高考浙江，文10】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零．若2a ，3a ，7a 成等比数列，且1221a a +=，则1a = ，d = ．
【2014全国2，文5】等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ）
A. (1)n n +
B. (1)n n -
C. (1)2n n +
D. (1)2
n n - 【2014天津，文5】设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和，若，，，421S S S 成等比数列，则1a =（ ）
A.2
B.-2
C.21 D .12
- 【2014山东.文19】 （本小题满分12分）
在等差数列{}n a 中，已知公差2d
=，2a 是1a 与4a 的等比中项.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
【2016高考北京文数】（本小题13分）
已知}{n a 是等差数列，}{n b 是等比数列，且32=b ，93=b ，11b a =，414b a =.
（1）求}{n a 的通项公式；。