“线性代数”复习
线性代数复习要点
线性代数复习要点线性代数是数学中的一个分支，其研究对象包括向量空间、线性变换、矩阵、线性方程组等。
线性代数广泛应用于各个领域，如物理学、计算机科学、工程学等。
下面是线性代数复习的要点：1.向量和向量空间-向量是指具有大小和方向的量，用箭头表示。
-向量空间是指由一组向量生成的集合，满足加法和数乘运算的封闭性。
-基是一个向量空间中独立且能够生成该向量空间的向量组。
-向量组的线性组合是指对向量组中的向量进行加法和数乘运算的结果。
-向量组的生成子空间是指向量组的所有线性组合所形成的空间。
2.矩阵和线性变换-矩阵是一个按照矩形排列的数。
矩阵的大小由行数和列数确定。
-矩阵的加法和数乘运算定义为对应元素的运算。
-矩阵的转置是指行变为列，列变为行的操作。
-矩阵的乘法是指矩阵的行与列的对应元素相乘后求和的运算。
-线性变换是指将一个向量空间映射到另一个向量空间的变换，保持线性关系。
3.行列式和特征值特征向量-行列式是一个与矩阵相关的数，用于描述矩阵的性质。
-二阶和三阶矩阵的行列式可以通过对应元素相乘后求和的方式计算。
-行列式的值为0表示矩阵不可逆，即不存在逆矩阵。
-特征值是指矩阵对一些向量进行线性变换后，仍然与原向量方向相同的结果。
-特征向量是指通过线性变换后，与其特征值对应的向量。
4.线性方程组的求解-线性方程组是一组线性方程的集合，其中未知量的次数等于方程的个数。
-列向量和矩阵可以表示线性方程组的系数和常数项。
-线性方程组的解可以通过高斯消元法、矩阵的逆等方法进行求解。
-高斯消元法是将方程组化为行阶梯形式，再通过回代求解。
-线性方程组的解可以有唯一解、无解或者无穷多解。
5.特殊矩阵和矩阵的分解-单位矩阵是指主对角线上的元素为1，其余元素为0的矩阵。
-零矩阵是指所有元素均为0的矩阵。
-对角矩阵是指主对角线以外的元素均为0的矩阵。
-逆矩阵是指一个矩阵与其逆矩阵相乘得到单位矩阵。
-矩阵的分解包括LU分解、QR分解、特征值分解等。
线性代数复习要点
2
2、初等变换的性质 (1) 对调变换使得行列式的值反号； (2) 倍乘变换只是放大或缩小行列式的值； (3) 倍加变换不改变行列式的值． 3、加法原理：若行列式的某一行（或列）的元都是两数之和，则此行列式等于两个行列式的和． 4、乘积法则：对任何 n 阶矩阵 A 和 B ，均有 | AB | | Α | | B | ． 5、转置运算不改变行列式的值． 三、行列式的计算 1、典型方法：三角化方法、降阶法、归纳法、递推法、分拆法、升阶法． 2、设 A 为 n 阶矩阵， k 为任意数，则 kA k A ．
1 * * 1 * T T *
4、 ( A ) ( A ) , ( A ) ( A ) , ( A ) ( A ) ．
T 1
AT A 5、 B
T
， T B B
1
A T A
T
BT ；
A1 A 当 A, B 可逆时，有 B
一、行列式的概念
n 阶行列式 A 或 det A 是 n 阶矩阵 A [aij ] 按下述运算法则得到的一个算式： 当 n 1 时， A a11 a11 ； 当 n 2 时，
A a11 A11 a12 A12
这里 A1 j (1)
三、分块矩阵的求逆公式 当 A, B 可逆时，有
， 1 B B
A 1 A
1
B 1 ．
A 1 A C 0 B 0
四、重要结论
1
A1 A1CB 1 A 0 ， 1 1 B 1 C B B CA
(5) rank
A 0 0 rankA rankB ， rank 0 B B
线性代数重点复习(16页)
齐次线性方程组给出系数矩阵，
1
非齐次线性方程组给出增广矩阵 。
对矩阵进行初等行变换得到行最
2
简形。
3
把行最简形矩阵写回线性方程 组的形式。
4
给出方程组的通解。
若线性方程组的系数带有未知数，需分各种情况讨论，灵活处理。
相似矩阵与二次型 05 Guidance for Final Exams at XXX University in 2025 2025
交向量组，由此便可得到相应的正交变换矩阵和相似对
角矩阵。
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线性代数复习重点
第一章 行列式 01 Guidance for Final Exams at XXX University in 2025 2025
容易出选择填空题的内容：
(1)求逆序数； (2)含某个因子的项（注意正负号）； (3)与余子式或代数余子式相关的内容； (4)已知 |A| 求某个与A相关的行列式。。
第三章 向量空间 03 Guidance for Final Exams at XXX University in 2025 2025
向量空间
本章提到的的性质和定理较多，需要灵活运用。
容易出选择填空题的内容： 二 (1)向量的加法、数乘和内积运算； (2)线性相关和线性无关的定义，以及它们与向量组秩的关系（线性无关意
容易出大题的内容：行列式的计算。 其中，若已知行列式的阶数和每个元素的数值， 则问题很简单，但要注意，对于2阶和3阶行列式， 可用划斜线的方式（对角线法则）来计算。而对于4 阶或更高阶的行列式，不能采用对角线法则计算， 此时必须利用行列式的性质将其化为上三角行列式 从而得出结果，或者当某一行（列）非零元很少时， 运用展开定理将该行（列）展开从而得到经过降阶 的行列式计算。 对于n阶行列式的情形或者行列式元素中出现未 知数，求解的难度较大，需要灵活的结合运用行列 式的性质和展开定理。一般来说，考试中都会出课 本中已有的例题、习题，或者非常相似的题目。
线性代数--总复习
可见, 当λ=-4/5时, R(A)=2, R(A|b)=3, 方程组无解. 当λ≠-4/5, 且λ≠-1时 R(A)=R(A|b)=3, 方程组有唯一解.
当λ=-1时, 有
1 −1 −2 1 1 −1 0 3 ( A | b) → 0 0 1 1 → 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0
第三章 向量 线性关系 秩
1. 理解n维向量的概念以及向量的线性运算; 2. 理解向量组的线性组合与线性表示的概念; 3. 理解向量组线性相关, 线性无关的定义, 了解并会用 向量组线性相关, 线性无关的有关性质及判别法; 4. 理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念, 会求向量组的极大无关组和秩，理解向量组等价的概念; 5. 理解矩阵秩的概念及与向量组秩的关系及其计算．
0 2/3 0 B = 6 0 3/ 4 0 0 0 6/ 7
−1
0 3 0 0 1/ 3 0 = 0 2 0 0 1/ 4 0 0 0 1/ 7 0 0 1
49页：10, 11, 12, 18
第六章 矩阵的特征值与特征向量
1. 了解矩阵的特征值和特征向量的概念及其求法; 2. 了解矩阵的特征值和特征向量的性质; 3. 了解相似矩阵的概念及性质; 4. 掌握将(实对称)矩阵(正交)相似对角化的方法.
第七章 二次型
1. 掌握二次型及其矩阵表示, 了解二次型秩的概念, 了解合同变换与合同矩阵的概念, 了解二次型的标准形和 规范形的概念以及惯性定理; 2. 掌握用正交变换化二次型为标准形的方法, 会用 配方法化二次型为标准形; 3. 理解正定二次型和正定矩阵的概念, 掌握其判别法.
线性代数复习
线性代数复习一、行列式1、概念：余子式，代数余子式（对方阵而言）2、重要性质：|k A|=k n|A|（A为n阶矩阵）；行列式的倍加行（列）变换其值不变；3、克拉默法则：※方程组Ax=B，x j=D j/D（D是系数矩阵行列式，D j是常数项替换系数矩阵第j列后得到的矩阵的行列式）二、矩阵1、概念：系数矩阵、增广矩阵、单位矩阵（I、E）、对角矩阵、上（下）三角矩阵、转置矩阵、（反）对称矩阵、伴随矩阵、逆矩阵2、重要性质：(k A)-1=k-1A-1|A-1|=|A|-1(A*)*=|A|n-2A A*A=|A|E矩阵的初等变换：初等矩阵前乘为行变换；后乘为列变换。
初等倍乘矩阵E i(c)，表示将A的第i行（列）乘c。
初等倍加矩阵E ij(c)，表示将A的第i行（列）乘c加至第j行（列）。
初等对换矩阵E ij表示将A的第i和第j行互换。
A可逆，（A,E）--------对A,E同时做同样的初等行变换--------（E,A-1）3、分块矩阵求行列式A 0 其中A，B为方阵。
|Q|=|A||B|。
0 B0 A 其中A，B为m，n阶方阵。
|Q|=(-1)mn|A||B|。
B 0A B |Q|=|A||D-CA-1B|。
C D三、线性方程组1、概念：线性相关（线性无关）、秩、极大线性无关组、自由未知量2、重要性质：①判断多个向量间的线性相关关系：系数k i不全为零，∑k i a i=0（定义）向量组有一部分向量线性相关，则整个向量组也线性相关。
各向量组成的矩阵A=(a T1,a T2,…,a T n)的行列式为0。
向量组b1,b2,…,b t能被a1,a2,…,a s线性表示且t>s，则b1,b2,…,b t线性相关。
②a4能否被a1,a2,a3（或更多向量）向量组线性表示？(a T1,a T2,a T3)(x1,x2,x3)T= a T4，有解即能线性表示，解即为对应各向量系数。
③矩阵的秩矩阵A m*n的秩等于行秩、等于列秩、恒不大于min{m,n}。
线性代数期末复习知识点参考
行列式1. 行列式的性质性质1 行列式与它的转置行列式相等T D D =.性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号.推论1 如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式的值为零.性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式.如111213111213212223212223313233313233a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a = 推论2 如果行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式的值为零．性质4 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和.如111213111213111213212122222323212223212223313233313233313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''''''+++=+ 性质5 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变.如111213111213212223212223313233311132123313a a a a a a a a a a a a a a a a ka a ka a ka =+++例1 已知，那么（ ）A.-24B.-12C.-6D.12 答案 B解析2. 余子式与代数余子式在n 阶行列式中，把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素ij a 的余子式，记作ij M ，i jij ij A (1)M +=-叫做元素ij a 的代数余子式．3. 行列式按行（列）展开法则定理1 行列式的值等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即1122i i i i in in D a A a A a A =+++或 1122j j j j nj nj D a A a A a A =+++()1,2,,;1,2i n j n ==定理2 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即12120,j j i i jn i n a A a A a A +++=或,11220.j j j j nj nj a A a A a A i j +++=≠()1,2,,;1,2i n j n ==例.设3阶矩阵()ij A a =的行列式12A =,ij A 为ij a 的代数余子式.那么313132323333a A a A a A ++=___12____; 213122322333a A a A a A ++=___0___.4. 行列式的计算（1）二阶行列式1112112212212122a a a a a a a a =- （3）对角行列式1212n nλλλλλλ=，n(m 1)21212n n(1)λλλλλλ-=-（4）三角行列式1111121n 2122222n 1122nn n1n2nnnna a a a a a a a a a a a a a a ==（5）消元法：利用行列式的性质，将行列式化成三角行列式，从而求出行列式的值.（6）降阶法：利用行列式的性质，化某行（列）(一般选择有0元素的行或列)只有一个非零元素，再按该行（列）展开，通过降低行列式的阶数求出行列式的值.（7）加边法：行列式每行（列）所有元素的和相等，将各行（列）元素加到第一列（行），再提出公因式，进而求出行列式的值.例：思路：将有0的第三行化为只有一个非0元素a 33=1，按该行展开,D=a 33A 33,不用忘记a 33。
线性代数复习
三、向量 1、定义： α = ( a1 , a 2 ,L a n ) 、
2、运算及运算律：α 、
(行、列、零、负 向量 行 向量)
±β
kα α T β = [α , β ]
3、线性关系：组合、相关、无关。 、 组合、相关、无关。
4、相关性的判别： 、
1) 定义 与数线性组合为零向量时，系数不全为零。 与数线性组合为零向量时，系数不全为零。 向量个数 2) 构成矩阵 A = (α 1α 2 Lα s ) r ( A) < s (向量个数 ) 3) 个数 维数时 个数=维数时
A −1 =
(AB = BA = E)
A ≠0
a
−1
二阶(三阶 二阶 三阶) 三阶
1 * A A
r
1 = a
A* = ( Aij )T
三阶,三阶以上 三阶 三阶以上 ( A, E ) → L → ( E , A−1 )
5、矩阵的秩： 、 定义： A中不为 0 的子式的最高阶数 定义： 中不为 求法： 求法： 求各阶子式的值 初等变换化为标准形D， 中数 中数1的个数 初等变换化为标准形 ，D中数 的个数 初等变换化为阶梯形B， 中非零行的行数 初等变换化为阶梯形 ，B中非零行的行数 6、分块矩阵的运算规律与技巧： 、 分块三角阵，分块对角阵 分块三角阵，
n
i
= A
对角化的充要条件： 有 对角化的充要条件：A有n 个线性无关的特征向量 熟练掌握：求可逆阵 ，使方阵对角化的方法。 熟练掌握：求可逆阵P，使方阵对角化的方法。
3、实对称阵A 必能找到正交矩阵 使UTAU＝Λ 、实对称阵 必能找到正交矩阵U,使 ＝ 掌握求此正交阵的方法。 掌握求此正交阵的方法。 向量的正交化和单位化
线性代数复习
例1
a x L x x a L x Dn = , Dn = M M M x x L a
a1 + b a2
M L an + bn
a1 − a1 a2 − a2 Dn+1 = O O an − an 1 1 L 1 1
0 a12 L a1n a b 0 L a2n a O , D = − a12 Dn = (n为奇数) n M M M O b − a1n − a2n L 0 a b
阶方阵， 维列向量， 例1 设A是n阶方阵，x 是n维列向量，若存在一正整数 是 阶方阵 维列向量 k使得 Ak-1x≠0，Akx=0，证明 向量组 Ax, …,Ak-1x 向量组x, ≠ ， ， 使得 线性无关. 线性无关 是三阶方阵， 的两个互异特征值， 例2 设A是三阶方阵，λ1,λ2是A的两个互异特征值，x1 是三阶方阵 的两个互异特征值 是对应的特征向量， 与x2是对应的特征向量，又Ax3= x2+ λ2 x3, 证明向量组 x1, x2, x3线性无关。 线性无关。 例3 设向量空间 V={(x1,x2,…xn)|x1-2x2=0, x2+x3-x4=0, x1-x2+x3-x4=0}, 则dimV=_______ 例4 设A,B分别是 ×n与n×p 矩阵，且AB=0，证明 分别是m 与 矩阵， ， 分别是 rankA+rankB≤n ≤
设矩阵A,B 都是 阶方阵，证明：若 都是n阶方阵 证明： 阶方阵， 例5 设矩阵 rankA+rankB<n, 则Ax=0与Bx=0必有公共非零解。 必有公共非零解。 与 必有公共非零解 若方阵A,B满足 A-B=AB， 例6 若方阵 满足 证明: 不是 的特征值（ 不是B的特征值 可逆） 证明 1不是 的特征值（B-E可逆）； 可逆 正交矩阵的实特征值只能是正负1. 例7 正交矩阵的实特征值只能是正负
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“线性代数”复习题一． 选择题1. 如果行列式D =333231232221131211a a a a a a a a a , 则133323331232223211312131252525a a a a a a a a a a a a ---= ( ).A. -5DB. -2DC. -10DD. 3D2. 已知矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1123A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1211B 则=+B A 2( )A. -11B. 13C. -5D. 73.已知行列式31121=D ，11322-=D 则=-212D D ( )A. . 15B. -15C. -25D. 254.设A是三阶矩阵A 的行列式，A 中3个列向量以A 1，A 2，A 3表示，即321,,A A A A = ， 则A等于( )A. 123,,A A AB.321,,A A A ---C.133221,,A A A A A A +++ D.321211,,A A A A A A +++5.设A 为3×3矩阵，A为A 的行列式，把A 按列分块为=A (A 1，A 2，A 3)，其中A j )3,2,1(=j 是A 的第j 列， 则1213,3,2A A A A -等于( ) A.A 3 B.A 3- C.A6 D.A2-6. 行列式4000300320321321等于( )。
A.27 B. 108 C. 108-D.7.设行列式4321630211113510-=D 中的元素j i a 的代数余子式为ji A )4,3,2,1,(=j i则下列各式中不正确．．．的是( ) A. 044434241=+++A A A A B. D A A A A =+++24232221432C.D A A A A =+++44434241432 D.D A A A A =+++242322218. 设A 、B 是n 阶方阵, 下列关系正确的是( )。
A . 22))((B A B A B A -=+- B.BA BA AB ==C.2222)(B AB A B A ++=+D.O AB =且O A ≠则必有O B =9. 设A 、B 都是n 阶可逆方阵, 则有（ ）。
A.B A B A T T T =)(B.A B B A T T T =)(C.111)(---=B A AB D. 111)(---=AB B A10.设A 是n 阶方阵,A 为A 的行列式，λ为非零常数， 则下列等式（ ）不成立。
A.T A A = B.T n A A λλ= C.A A λλ=D.111)(--=AA nλλ11. 设A 、B 、Ｃ是n 阶方阵, 则下列关系 ( )不正确．．．。
A. ()BC A C AB =)(B. ()B A C C B A -+=--C.C B C A C B A T T T +=+)(D.O AB =且O A ≠则必有O B =12. 设A 、B 都是n 阶可逆方阵, λ为非零常数， 则有（ ）。
A.B A AB T T T =)( B. 1111)(---=A B AB λλC.T T A B B A 11)(--= D. TT T A B AB λλ1)(=13.设A 是n 阶可逆方阵,λ为非零常数，E 为单位阵， 则下列等式（ ）成立。
A.*A A A = B. A A λλ=C.E A AA =*D.111)(--=AA λλ14.设B A ,为两个n 阶方阵，O A ≠且O B A =，则一定有( )成立。
A. O B =B.0=A 或0=BC.O BA =D.222)(B A B A +=+15.设B A ,为n 阶方阵，则下列结论中成立的是( )。
A. O A O AB ≠⇔≠且O B ≠B.0=A ⇔O A = C.⇔=0AB 0=A 或0=BD.⇔=E A 1=A16.设A 为n 阶方阵，且A 是可逆矩阵，则下列不正确．．．的是( ) A.0≠A B.秩(A ) =n C. A 为非奇矩阵D.A 为奇矩阵17.若由AC AB=必能推出C B =，其中 C B A ,,均为n 阶方阵，则A 应满足的条件是( )A.0≠A B.0≠A C.O A =D.0=A18. 设矩阵A=()n m ij a ⨯,)(A r 表示矩阵的秩，那么下列( )不一定．．．成立。
A.)()(T A r A r =B.},min{)(0n m A r ≤≤C.},m i n {)(n m A r = D. 当Ａ为阶梯形矩阵时有)(A r 个非零行19. n 元线性方程组A X = b 的增广矩阵为A ，则当（ ）时，方程组有无穷多个解。
Ａ.n A r =)(Ｂ.n A r =)(Ｃ.n A r A r <=)()(Ｄ.n A r A r ==)()(20.设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是( )A.133221,,αααααα+++ B.321211,,αααααα+++C.133221,,αααααα---D.1332212,2,αααααα+++21.设向量(),1,0,1k T=α(),0,2,02=T α(),2,0,13=Tα已知向量组321,,ααα线性无关，则k 满足 ( )A. 2=kB.21=k C.2≠k D.21≠k 22.设A 是n m ⨯矩阵，若( )，则齐次线性方程组0=AX 有非零解A.n m <B.n m >C. n A =)(秩D. mA =)(秩23.设A 是n m ⨯矩阵，0=AX 是非齐次线性方程组b AX =所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是( )A. 若0=AX 仅有零解，则b AX =有惟一解 B. 若b AX =有无穷多解，则0=AX 仅有零解C. 若0=AX有非零解，则b AX =有无穷多解 D. 若b AX =有无穷多解，则0=AX 有非零解二．简答题1.设A 为三阶方阵，A 为A 的行列式，且2=A ，求行列式AA2.设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且4=A ，求*21A 。
3.如果⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++022003z y x z ky z y x 有非零解， 求k 的取值？ 4.已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1332+ 3 X =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-4601，求X ？5.已知X ⎪⎪⎭⎫⎝⎛3001= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2332，求X ？ 6.已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A ，*A 、1-A 分别为A 的伴随矩阵和逆矩阵，求*A ，1-A 。
7.已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110020001A ，1-A 为A 的逆矩阵，求1-A 。
8.已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=231102A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1121B ，T A 为A 的转置矩阵，求B AA T2-。
9.已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=313102A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=113021B ，求TAB )(。
10.已知矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=132043100021A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=110B ，1)(--=T BB A C ，求矩阵C 11.已知A 为n m ⨯矩阵，A 为线性方程组b AX =的增广矩阵，当 时，b AX =线性方程组有唯一解；当 时，b AX =线性方程组有无穷多解。
12.设()b A 初等行变换⎝⎛--000031001021⎪⎪⎪⎭⎫-720k ， 问当k 取何时时，线性方程组b AX =有解，并求其通解？三．计算行列式1.243352123 2.2164729541732152----- 3.32142143143243214.101a b a a a b b a a a b a 5.yy x x -+-+1111111111111111 6.n2222223222222222221四．求逆矩阵1.⎪⎪⎭⎫⎝⎛4253 2.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛3431223213.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2854211224.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2152327300210011五．判别线性方程组是否有解，若有解，请求其通解。
1.⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=+-+322212432143214321x x x x x x x x x x x x2.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=++-=++-=+++65433765641343234321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x六．解矩阵方程1.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21114231X 2.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛21114231X3.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022011430120001X 4.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛620222151300020001X七．求向量组的一个极大线性无关组，并用极大线性无关组表示其他向量。
1.()3,2,2,11-=α，()7,8,3,12=α，()0,2,1,23-=α，()1,2,0,14=α2.()1,3,1,21-=α，()0,2,1,32-=α，()2,4,3,13-=α，()1,1,3,44-=α八．求矩阵的特征值和特征向量：1.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2010340112.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-124222421。