利用导数解决函数单调性教案

利用导数判断函数的单调性
教学目标：1、理解导数与函数的单调性的关系,并应用函数的单调性与导数的关
系求单调区间，掌握用导数研究函数单调性的方法。

2、能由导数信息作出函数的大致图象，提高学生运用导数解决函数
问题的能力.
3、能解决含参数函数的单调性问题；能利用导数、函数的单调性转
证三次不等式
4、培养学生的观察、比较、分析、概括的能力，数形结合思想、转
化思想、函数思想、分类讨论的数学思想。

教学重点：理解函数的单调性与其导数的关系，会利用导数研究函数的单调性。

教学难点：构造函数，证明三次不等式；探求含参数函数的单调性的问题。

教学方法：启发式、探究式
教学用具：多媒体
教学思路与设计：
我们已复习了函数，函数是中学数学中的核心问题，正确认识函数的性质是运用函数处理问题的基本要求。

导数是研究函数图像和性质的重要工具，利用导数来研究函数的单调性比定义法、图像法更简便，是导数几何意义在研究曲线变化规律时地一个重要应用，对研究函数的最值问题，具有良好的承上启下的作用。

学生已掌握了函数的单调性的基本概念，判断方法、导数的概念，以及导数的计算，为综合应用导数与函数单调性作好充分的准备。

作为复习课首先明确考纲的要求：了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。

自从导数进入高中数学以来，函数导数是核心内容，函数的单调性是基础点，运用不等式、导数等工具研究函数是交汇点，有关函数导数问题一直是考查的热点，相对高考题所处的位置而言，不太难，我们的学生能够接受，通过认真复习，培养学生掌握一定的分析问题和解决问题的能力，激发学生独立思考和创新的意识。

相信我们的学生是能充分掌握好这一部分内容的。

教学过程
（一）、引入
1、我们已经复习了函数，学习了函数的单调性，什么是函数的单调性？
2、讨论函数2x y =的单调性。

﹝学生活动﹞独立思考，认真解题，通过比较分析得出：判断三次的或三次以上的或图像很难画出的函数单调性问题时，应考虑导数法。

4、用导数法判断函数的单调性
用函数的导数判断函数单调性的法则：
33?y x x =-
设函数y =f (x )在区间(a,b )内可导，
（1）如果在区间(a ，b )内，0)(/>x f ，则 f (x )在此区间是增函数，(a ，b )为
f (x )的单调增区间；
（2）如果在区间(a ，b )内，0)(/<x f ，则f (x )在此区间是减函数，(a ，b )为f (x )
的单调减区间。

（二）．题型示例
1、讨论函数x x y 33-=的单调性。

﹝分析与解答﹞判断三次函数的函数的单调性，适合用求导法。

函数y =f (x )的导函数0)(/>x f 的解集为区间是函数的增区间；0)(/<x f 的解集为区间是函数的减区间。

利用导数、一元二次不等式解决函数问题。

变式：当1>x 时，求证： 233->-x x
﹝分析与解答﹞通过上题的求解及图像的观察，自然想到运用函数的单调性来处理，借助于导数工具，确定不等式所联系着的具体函数，构造函数，用函数思想处理问题。

构造函数x x x f 3)(3-=，由上题知：该函数在区间（1，+∞）单调递增，依函数单调性定义有：当1>x 时，f (x ))1(f >，而2)1(-=f ，从而得证。

或构造函数233+-=x x y 。

学生分组进行变式编题。

2、设)('x f 是函数f (x )的导函数，y =)('x f 的图象如右图所示，
（Ⅰ）写出函数y=f(x)的单调区间
（Ⅱ）y=f(x)的图像最有可能的是( )
（A ） （B ）
(C) (D)
﹝分析与解答﹞函数的单调性由该函数的导函数的正负决定：在某区间函数的导函数0)(/>x f ，则该函数在此区间单调递增；在某区间函数的导函数0)(/<x f ，则该函数在此区间单调递减。

根据导函数图像知：在区间（-∞，0）和（1，+∞）内，0)(/>x f ；在区间（0，2）内，0)(/<x f 。

故在区间
（-∞，0）和（1，+∞）内，函数y=f(x)单调递增，在区间（0，2）内，函数y=f(x)单调递减。

选择 (C)。

3、设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠.
（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切，求,a b 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间。

【分析与解答】（Ⅰ）求,a b 两个值，通常需要寻找与,a b 有关的两个等式。

由题意知曲线()y f x =和与直线8y =的交点为(2,())f x ，且切点处的斜率为0。

（Ⅱ）含参数不等式，对参数的讨论是解决这类问题的难点，找准方向和切入点。

本题主要考查倒数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．
（Ⅰ）()'233f x x a =-,
∵曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切，
∴()()()'203404,24.86828
f a a b a b f ⎧=-=⎧=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=-+==⎪⎩⎪⎩⎩ （Ⅱ）∵()()()'230f x x a a =-≠,
当0a <时：()'0f x >，函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增，
当0a >时：当(,x a a ∈-时，()'0f x <，函数()f x 单调递减， 当)
,x a ∈+∞时，()'0f x >，函数()f x 单调递增，
（三）、学生练习
1、若在区间（,a b ）内有0)(/>x f 且0)(≥a f ，则在（,a b ）内有（ ）
A ．0)(>x f B.0)(<x f C.0)(=x f D.不能确定
【分析】由函数单调性定义知在（,a b ）内有)()(a f x f > ，选A 。

2、讨论函数a x x x x f +++-=933)(23的单调区间。

【分析】用求导法，结合一元二次不等式求得函数在（-∞，-1）内单调递减，在（-1，3）内单调递增，在（3，+∞）内单调递减。

3、讨论函数)0(762)(23≠+-=a ax x x f 的单调减区间。

【分析】用导数法求函数的单调减区间。

由0)2(6126)(2/=-=-=a x x ax x x f 得a x x 2,0==，从a 2与0的大小关系入手求0)2(6126)(2/<-=-=a x x ax x x f 的解：当0>a 时，函数的减区间为)2,0(a ；当0=a 时，函数无减区间；当0<a 时，函数的减区间为（)0,2a 。

（四）、本节课小结：
请同学们谈谈这节课的收获，从基础知识、数学思想等方面。

（五）作业：
1、讨论下列函数的单调区间
(1)613823-+-=x x x y （2）x e x y 2=
2、已知导函数)(/x f 的下列信息：
当041/><<）（
时，x f x ； 当014/<<>）（
时，或x f x x ： 当0)(,14/===x f x x 时或
试画出函数y=f(x)图象的大致形状。

3、
已知函数3、（2008年北京文科高考17）
已知函数32
()3(0),()()2f x x ax bx c b g x f x =+++≠=-且是奇函数.
（Ⅰ）求a ,c 的值；
（Ⅱ）求函数f (x )的单调区间.
4、已知函数d cx bx x x f +++=23)(的图像过点P （0，2），且在点))1(,1(--f M 处的切线方程为076=+-y x 。

（Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式；
（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调区间。

是奇函数.
（Ⅰ）求a ,c 的值；
（Ⅱ）求函数f (x )的单调区间.
4、已知函数d cx bx x x f +++=23)(的图像过点P （0，2），且在点))1(,1(--f M 处的切线方程为076=+-y x 。

（Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式；
（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调区间。

5、（选做题）（2007年北京文科）
（六）、板书设计：课题：利用导数判断函数的单调性
求导法判断函数单调性的法则 例题分析及解答过程
（七）教学后记：。