概率论与数理统计实验2抛硬币实验的随机模拟实验报告
概率论与数理统计 张天德版 第2章 课件 例题
例1 从1～10这10个数字中随机取出5个数字， X 表示取出的5个数字中的最大值. 试求X 的 分布列
解: X 的取值为5，6，7，8，9，10. 并且
P
X k
C4 k 1
C150
k 5， 6， ， 10
即 X 的分布列为
X 5 6 7 8 9 10
X0
1
2
3
4
5
P1 3 1 4 3 4
16 16 16 16 16 16
则
P X 2 P X 0 P X 1 P X 2
1 31 16 16 16
5 16
例3（续）
P X 3 P X 4 P X 5
34 16 16
7 16
P 0.5 X 3 P X 1 P X 2
X
a1 a2 an
pk
1 1 1 nn n
其中 (ai a j ), (i j) ,则称 X 服从等可能分布.
实例 抛掷骰子并记出现的点数为随机变量 X,
则有 X 1 2 3 4 5 6
pk
1 1 11 6 6 66
11 66
3. 几何分布
若随机变量 X 的分布律为
X 12 k pk p qp q k1 p
一、离散型随机变量的分布律 定义1
若随机变量 X 所有可能的取值为有限个或可 列无穷多个，则称X为离散型随机变量。否则称 为非离散型随机变量。
注： 为了描述随机变量 X ，我们不仅需要 知道随机变量X的取值，而且还应知道X取每个 值的概率.
例
从中任取3 个球
取到的白球数X是一个随机变量
X可能取的值是0,1,2
X
1, 0,
概率论与数理统计
⋅
1 非负性 2 规范性
P(A) ≥ 0 P(S)= 1
3 可列可加性 若事件 A1 , A2 ,… 两两互不相容，则有 两两互不相容，
P(A U A UL = P(A ) + P(A ) +L ) 1 2 1 2
三、概率的性质
质 性 1 P(∅) =0
质 , 性 2 若 1 , A2 ,L An 是 两 不 容 件 两 互 相 事 ,则 A
40 频率的稳定性 抛硬币试验， 抛硬币试验，n=500时 时 nH 251 249 256 253
nA f n ( A) = n
251 246 244 0.488
fn(H) 0.502 0.498 0.512 0.506 0.502 0.492
实验者 德•摩根 摩根 蒲 丰
n 2048 4040
注：相同试验由于试验目的不同，其样本空间可能 相同试验由于试验目的不同， 不同. 不同.
E2：将一枚硬币抛掷三次，观察每次正、反面出现 将一枚硬币抛掷三次，观察每次正、
的情况. 的情况. S={ HHH ,HHT ,HTH ,THH, HTT , THT ,TTH ,TTT }
E3：将一枚硬币抛掷三次，观察正面出现的次数. 将一枚硬币抛掷三次，观察正面出现的次数. S={ 0, 1, 2, 3 }
请回答: 请回答: 2. 随机现象有没有规律可言? 随机现象有没有规律可言? 有！
例如： 例如： 1.抛硬币，一次试验不知道正面和反面，
抛很多次，正面和反面一样多。 2.学习好和学习差的学生的考试成绩。
在一定条件下对随机现象进行大量 在一定条件下对随机现象进行大量 观测会发现某种规律性. 观测会发现某种规律性
二、概率的定义
大创项目总结报告大全(5篇)
大创项目总结报告大全(5篇)大创项目总结报告篇一（一）研究背景历史上著名的统计学家蒲丰（buffon）和皮尔逊（pearson）曾进行过大量抛硬币的试验，其结果如下表所示: 总次数出现正面次数出现正面的频率德-摩根 2048 1061 0.5181 蒲丰 4040 2048 0.5069 皮尔逊12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 可见出现正面的频率总是在0.5附近摆动。
并且随着试验次数的增加，它会逐渐稳定于0.5这个数字。
人们发现在做大量重复随机实验时，随着次数的增加，事件的频率就会在一个固定数的附件摆动，有一定的稳定性。
a.h.柯尔莫哥洛夫在1933年给出了概率的公理化定义。
每个中小学生都对扔硬币实验很感兴趣，有亲手尝试的欲望。
但由于实验的枯燥费时，亲手实验的愿望一直没有实现。
自从20世纪90年代美国率先开始数学实验以来，数学实验改变了人们传统的数学思维方式，数学是可以借助计算机去探索和发现的。
近十年来，国内外已有不少的数学实验教材和一些好的数学实验范例，但是这需要一定的计算机编程能力，如mathematica编程,matlab编程等，才能实现人机对话，因此数学实验只能在具有一定数学知识和较高计算机编程能力的特定人群中使用，不能“飞入寻常巷陌家”。
计算机仿真技术是以多门学科和理论为基础，以计算机及其相应的软件为工具，通过虚拟实验来分析和解决实际问题的综合性技术。
计算机模拟(simulation)早期被称为蒙特卡罗方法，是一种利用随机实验解决随机问题的方法。
估算圆周率的物理实验。
现在，计算机仿真技术已经广泛应用于机械制造、航空航天、交通运输、船舶工程、经济管理、工程建设、军事仿真和医疗卫生等领域。
（二）研究目的研发《单机版投硬币计算机模拟实验系统》，光盘储存，携带方便，能在pc机上实验，并给出统计数据，用以说明：实验总次数越多，就越能说明概率的统计定义的合理性。
概率论与数理统计ch1-2
试验二：掷色子
设A=“出现1点”
P(A) 1 0.16& 6
试验次数 10 100 1000 5000 10000 20000 50000
A出现的频数 2 15 153 850 1719 3381 8204
摩根法则：
A B A B ； AB A B
★用简单事件的运算来表示复杂事件！
CH1 随机事件及其概率
§1.2 事件的概率
研究随机试验，仅仅知道所有可能结果是不 够的，还需要了解各种结果出现的可能性大小。
概率就是描述事件A发生可能性大小的一个量。
本节给出概率的四种定义：
一、概率的统计定义
二、概率的古典定义★
概率的古典定义仅适用于具有下述特点的试验模型： (1) 试验中所有基本事件的总数是有限的； —有限性 (2) 每次试验中，各基本事件的发生是等可能的。 —等可能性
——古典概型(等可能性模型)
定义： 如果古典概型中，所有基本事件的总数为n，而
A所包含的基本事件数为m，则事件A发生的 概率为：
公理1(非负性)：0 P(A) 1； 公理2(规范性)： P() 1；
公理3(可列可加性)： 对于两两互斥的事件列A1, A2,L , An,L ，有 P( A1 A2 L An L ) P( A1) P( A2) L P( An ) L 概率则是称非P负(A的)为、事规件范A的的、概可率列。可加的集函数。
m1 m2 m1 m2
fn(A+B)= fn(A) +fn(B)
m1 m2 m1 m2
n
nn
数学实验_第四章概率论与数理统计
>> n=40; >> p=1-nchoosek(365,n)*factorial(n)/365^n 运行结果： p= 0.8912
2．某接待站在某一周曾接待过 12 次来访，已知所有这 12 次接待 都是在周二和周四进行的， 问是否可以推断接待时间是有规定的？ >> p=2^12/7^12 %接待时间没有规定时， 访问都发生在周二和周四 的概率 运行结果： p= 2.9593e-007 此概率很小，由实际推断原理知接待时间是有规定的。
概率概念的要旨是在 17 世纪中叶法国数学家帕斯卡与 费马的讨论中才比较明确。他们在往来的信函中讨论" 合理分配赌注问题"， 在概率问题早期的研究中， 逐步建 立了事件、概率和随机变量等重要概念以及它们的基本 性质。后来由于许多社会问题和工程技术问题，如：人 口统计、保险理论、天文观测、误差理论、产品检验和 质量控制等， 这些问题的提出， 均促进了概率论的发展。
实验一
排列数与组合数的计算
【实验目的】 1．掌握排列数和组合数的计算方法 2．会用 Matlab 计算排列数和组合数 【实验要求】 1．掌握 Matlab 计算阶乘的命令 factorial 和双阶乘的命令 prod 2．掌握 Matlab 计算组合数的命令 nchoosek 和求所有组合的命令 combntns
EXCEL演示大数定律
EXCEL演示大数定律1 引言大数定律又称大数法则、大数率，它是概率论与数理统计学的基本定律之一。
通俗地说，这个定律就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件发生的频率趋于一个稳定值，这个稳定值就是随机事件发生的概率。
比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，但当我们上抛硬币的次数足够多，达到上万次甚至几百万次以后，我们就会发现，硬币每一面向上的次数约占总次数的二分之一。
所以，我们说抛硬币这一事件中，正面和反面出现的概率都是0.5，而掷骰子事件中每个面出现的概率都是1/6。
要见证大数定律，就要作大量实验。
而上万次的实验太费时费力了。
为了在教学中，让学生更深刻地认识大数定律，我们可利用EXCEL作直观的虚拟实验演示。
以下，由易到难介绍几种演示大数定理的方法。
2、运用EXCEL函数演示大数定律要模拟随机现象，就要产生随机分布的随机数。
EXCEL的RAND()函数就能产生0～1之间(大于等于0且小于1)的随机数。
假设，实验中观察的随机事件发生概率是P，那么可用RAND()产生的小于P值的随机数代表事件发生，而RAND()产生的大于或等于P值的随机数就代表事件没发生。
下面开始具体的模拟演示。
设数字1代表事件发生，数字0代表事件没发生。
打开EXCEL（本文使用的是EXCEL2003），新建工作簿。
在新工作表Sheet1的A1单元格内输入文字：“随机事件结果”，B1输入：“随机事件发生频率”，C1中输入：“事件概率P值”。
C2中为P值输入一个具体数值，如0.3。
A2中输入公式：=IF(RAND()<C2,1 ,0)，回车后得到1或0。
这里运用了IF()函数，如果RAND()产生的随机数小于C2中的概率值，A2中值为1，这代表概率为P＝C2的随机事件发生了。
否则A2中值为0，这代表概率为P＝C2的随机事件发没发生。
我们完成了一次随机实验。
要重复实验，只需选中A2单元格，用填充柄将A2内容向下拖拉复制即可。
概率论与数理统计MATLAB上机实验报告
《概率论与数理统计》MATLAB上机实验实验报告一、实验目的1、熟悉matlab的操作。
了解用matlab解决概率相关问题的方法。
2、增强动手能力，通过完成实验内容增强自己动手能力。
二、实验内容1、列出常见分布的概率密度及分布函数的命令，并操作。
概率密度函数分布函数(累积分布函数) 正态分布normpdf(x,mu,sigma) cd f(‘Normal’,x, mu,sigma);均匀分布（连续）unifpdf(x,a,b) cdf(‘Uniform’,x,a,b);均匀分布（离散）unidpdf(x,n) cdf(‘Discrete Uniform’,x,n);指数分布exppdf(x,a) cdf(‘Exponential’,x,a);几何分布geopdf(x,p) cdf(‘Geometric’,x,p);二项分布binopdf(x,n,p) cdf(‘Binomial’,x,n,p);泊松分布poisspdf(x,n) cdf(‘Poisson’,x,n);2、掷硬币150次，其中正面出现的概率为0.5，这150次中正面出现的次数记为X(1) 试计算X=45的概率和X≤45 的概率；(2) 绘制分布函数图形和概率分布律图形。
答:(1)P(x=45)=pd =3.0945e-07P(x<=45)=cd =5.2943e-07(2)3、用Matlab软件生成服从二项分布的随机数，并验证泊松定理。
用matlab依次生成(n=300,p=0.5),(n=3000,p=0.05),(n=30000,p=0.005)的二项分布随机数，以及参数λ=150的泊松分布，并作出图线如下。
由此可以见得，随着n的增大，二项分布与泊松分布的概率密度函数几乎重合。
因此当n足够大时，可以认为泊松分布与二项分布一致。
4、 设22221),(y x e y x f +−=π是一个二维随机变量的联合概率密度函数，画出这一函数的联合概率密度图像。
抛硬币试验1
抛硬币试验“抛”出了什么
此题设计目的是使学生理解随机抛掷一枚硬币时“出现正面和出现反面的可能性是相同的”，从而说明在比赛前用抛硬币的方法来决定谁先开球对比赛双方都是公平的。
问题的关键是：怎样才能让学生明白“出现正面和出现反面的可能性是相同的”即“它们的可能性都是1/2”呢？
问了几个同事，大家都说“一看就知道，硬币只有两面，抛一次不是正面就是反面，出现正面和反面的可能性都是1/2”。
我也是这样想的。
不过，“一看就知道”的东西，为什么历史上那么多著名的数学家还要通过做成千上万次的试验来证明呢？这里面究竟隐藏着什么？
在配套的《教师教学用书》第173页，有这样一段话：
掷一枚硬币时，既可能出现正面，也可以出现反面，预先作出确定的判断是不可能的，但如果硬币均匀，直观上会感到出现正面与出现反面的机会应该相等，即在大量重复试验中正面朝上的频率，应该接近50%。
为了验证这点，在概率论的发展历史上，曾有许多著名的数学家也做过这个实验。
难道说我们的判断靠的就是“直观”，是一种感觉？这种感觉对不对，还得靠“验证”？
可新的问题又来了，就算科学家做了成千上万次的试验不是也没有证明正面和反面的可能性都是1/2吗？何况，课堂上我们让孩子做得有限的数十，上百次试验。
说白了，做实验不但得不到结果，还会推翻最初的“直观”感觉。
问题越来越多，需要继续查资料：。
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《
实验名称
实验2：抛硬币实验的随机模拟
编号
姓名
班级
学号
同组人姓名
同组人学号
4.部分实验截图
四、实验中的问题、建议及体会（实验总结）
概率论与数理统计的研究对象都是随机事件，所以产生的数必须是随机数数，而且需要通过大量的实验数据才能统计出实验结果，所以随机数应尽量大一些，实实验数组也该多一些才能得到相对正确的答案。
实验成绩：
指导教师签字
批改日期
long double c,g,ave ;
for(i=0;i<a;i++)
{
m=rand();
n=m%2;
b+=n ;
}
f=a-b;
c=(double)a;
g=(double)b;
ave=g/c;
printf("\n 试验的总次数为 %ld \n 其中正面向上的次数为 %ld \n 反面向上的次数为 %ld \n 正面出现的频率为 %20.15f \n ",a,b,f,ave);
任课教师
指导教师
实验地点
课外
实验时间
一、实验目的
（1）了解均匀分布随机数的产生
（2）理解掌握随机模拟的方法.
（3）体会频率的稳定性.
二、实验内容及要求
1.实验背景
对于一枚均匀的硬币，每次投掷出现正面与反面的机会是均等的。于是我们可以用数字1代表出现的是正面，数字0代表出现的是反面。而可以利用计算机等可能的产生0和1这两个随机数。于是，计算机每次产生一个随机数0或1，代表一次投硬币实验。这样，就可以用计算机快速模拟大量投硬币实验的结果。
scanf("%d,&m"); //无用输入函数，只是为了让此程序直接可以在win7系统上以dos窗口运行
}
三、实验结果及分析
1.实验数据
投硬币实验
实验编号
实验次数
正面向上的次数
反面向上的次数
正面向上的频率
1
10
3
7
0.3
2
30
15
15
0.5
3
50
28
22
0.56
4
100
48
52
0.48
5
1000
507
2.投硬币实验编程源代码
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<stdlib.h>nsigned long int a ,i,m,b=0,n,f;
printf("请输入实验的次数a=: \n");
scanf("%ld",&a);
30000
15088
14912
0.502933333
14
50000
24124
25876
0.48248
15
100000
50145
49855
0.50145
16
200000
100208
99792
0.50104
17
500000
249955
250045
0.49991
18
1000000
500198
499802
0.500198
493
0.507
6
2000
1001
999
0.5005
7
4000
1997
2003
0.49925
8
5000
2505
2026
3974
0.50325
10
10000
4965
5035
0.4965
11
15000
7542
7458
0.5028
12
20000
9988
10012
0.4994
13
19
10000000
5000153
4999847
0.5000153
2.数据处理
实验编号
频率
3.数据分析
（1）对于每次实验，实验之前，实验的结果是不确定的；
（2）对于每次实验，正面向上的频率有时大于0.5，有时小于0.5，正面向上的频率并不是确定值；
（3）随着实验次数的增加，正面出现的频率逐渐趋近于0.5