向量及向量加减法教学文案
《向量的加法》教案完美版
《向量的加法》教案完美版第一章：向量的概念回顾1.1 向量的定义：向量是有大小和方向的量，通常用箭头表示。
1.2 向量的表示方法：在坐标系中，向量可以用有序数对表示，即(x, y)。
1.3 向量的模：向量的模是指向量的大小，可以用|v|表示，计算公式为|v| = √(x^2 + y^2)。
第二章：向量的加法运算2.1 向量加法的定义：两个向量a和b的加法运算，记作a + b，结果是一个新的向量，其大小等于a和b大小的和，方向等于a和b方向的矢量和。
2.2 向量加法的表示方法：在坐标系中，向量加法可以通过将两个向量的坐标分别相加得到结果向量的坐标。
2.3 向量加法的性质：向量加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。
第三章：向量加法的几何解释3.1 向量加法的几何图形：在坐标系中，向量加法可以通过将两个向量的箭头首尾相接，得到结果向量的箭头。
3.2 平行向量的加法：当两个向量平行时，它们的加法运算结果是它们的模的和（或差，取决于它们的方向是否相同）。
3.3 非平行向量的加法：当两个向量不平行时，它们的加法运算结果是一个新的向量，其大小和方向由平行四边形法则确定。
第四章：向量加法的应用4.1 力的合成：在物理学中，向量加法可以用来计算两个力的合力，即力的合成。
4.2 位移的计算：在物理学中，向量加法可以用来计算物体的位移，即起点到终点的位移向量。
4.3 速度和加速度的合成：在物理学中，向量加法可以用来计算物体的速度和加速度的合成。
第五章：向量加法的练习题第六章：向量加法在坐标系中的运算规则6.1 直角坐标系：在直角坐标系中，向量的加法可以通过对应坐标轴上的坐标值进行运算。
6.2 斜坐标系：在斜坐标系中，向量的加法需要考虑角度和半径的变化。
6.3 空间坐标系：在空间坐标系中，向量的加法涉及到三个坐标轴的运算规则。
第七章：向量加法在实际问题中的应用7.1 力学问题：在力学中，向量加法可以用来计算物体所受多力的合力。
题目：向量的加法和减法说课稿
题目：向量的加法和减法说课稿向量的加法和减法说课稿一、课程背景和目标本节课的主题是向量的加法和减法。
通过本课，学生将研究如何进行向量的加法与减法运算，并能够应用这些知识解决与向量相关的实际问题。
二、教学内容与方法1. 教学内容本节课的教学内容主要包括以下几个方面：- 向量的定义和表示方式- 向量的加法和减法的运算规则- 向量加法和减法的几何意义- 向量运算在实际问题中的应用2. 教学方法为了达到有效的教学效果，本课采用以下教学方法：- 讲授与演示结合，通过示例向学生介绍向量的定义和表示方式、向量加法和减法的运算规则等基本概念。
- 给予学生练机会，通过练题让学生巩固所学的知识。
- 强调实际应用，通过实际问题的分析和解决，帮助学生理解向量运算在现实生活中的应用场景。
三、教学流程第一步：引入通过引入一些生活中的例子，引起学生对向量的认知和兴趣。
第二步：向量的定义和表示方式- 通过图示介绍向量的定义和表示方式。
- 向学生解释向量的方向、大小等概念。
第三步：向量的加法和减法的运算规则- 通过示例演示向量的加法和减法的运算过程。
- 引导学生总结加法和减法的运算规则。
第四步：向量加法和减法的几何意义- 通过图示解释向量加法和减法的几何意义。
- 帮助学生理解向量加法和减法的结果在平面坐标系中的表示。
第五步：实际问题的应用- 选取一些简单的实际问题，引导学生运用向量的加法和减法解决问题。
- 提醒学生分析问题，找到解决问题的关键步骤。
第六步：总结与拓展- 总结本节课的教学内容和研究要点。
- 提供一些拓展性问题，激发学生对向量的进一步思考和研究热情。
四、教学资源- 平面坐标系示意图- 向量加法和减法的示例图片- 练题和答案五、教学评估通过教学过程中的参与情况、学生练题的完成情况以及对实际问题的解决能力等多个方面进行评估。
六、课后作业布置练题，要求学生运用所学的向量加法和减法解决问题，并编写课后总结报告。
以上是本节课《向量的加法和减法》的说课稿，希望通过本节课的教学，能够帮助学生深入理解和掌握向量的加法和减法运算，提高他们的问题解决能力和空间思维能力。
平面向量的加法、减法运算教学案 (2)
平面向量的加法、减法运算一、教学目标1.理解向量加法的概念及向量加法的几何意义．2.理解向量的加法交换律和结合律，并能运用它们进行向量计算．3.掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会作已知两向量的和向量．4.掌握向量减法的定义，理解相反向量的概念，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义． 二、教学重点1.理解向量加法的概念及向量加法的几何意义．2.理解向量的加法交换律和结合律，并能运用它们进行向量计算．3.掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会作已知两向量的和向量4.掌握向量减法的定义，理解相反向量的概念，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义 三、教学难点1.掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会作已知两向量的和向量．2.掌握向量减法的定义，理解相反向量的概念，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义． 四、教学过程 知识提炼1．向量加法的概念(1)定义：求两个向量和的运算． (2)符号表示：若AB →＝a ，BC →＝b ，则a ＋b ＝AB →＋BC →＝_______．下图1.(3)几何表示：已知非零向量a ，b 在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量AC →叫做a 与b 的和，记作a ＋b ，如下图1. 2．平行四边形法则(1)已知两个不共线向量a ，b ，作AB →＝a ，AD →＝b ，则A 、B 、D 三点不共线，以AB 和AD 为邻边作▱ABCD .则对角线上的向量______＝a ＋b ，如上图2，这种作两个向量和的方法叫做两个向量加法的平行四边形法则．AC →AC →(2)规定：a ＋0＝0＋a ＝a .提示： 两个向量的和仍是一个向量． 3．向量加法的运算律(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ．(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． 4．向量的减法(1)相反向量：与a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量，记作－a ． (2)定义：a －b ＝a ＋(－b )，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量． (3)几何意义：以A 为起点，作向量AB →＝a ，AD →＝b ，则DB →＝a －b ，如图3所示，即a －b 可表示从b 的终点指向a 的终点的向量．1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两向量相加，就是将它们的模相加．( )(2)两向量首尾相连，和向量由第一个向量的始点指向第二个向量的终点．( ) (3)向量a －b 当它们起点重合时可以看作从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量．( )(4)向量加法的运算律同样适用于向量的减法运算．( )答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2．下列等式错误的是( )A ．a ＋0＝aB ．a ＋b ＝b ＋aC ．a ＋(b ＋c )＝(a ＋b )＋c D.AB →＋BA →＝2AB →3．若非零向量a ，b 互为相反向量，则下列说法错误的是( )A ．a ∥bB ．a ≠bC ．|a |≠|b |D ．b ＝－a4. 在△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，则a ＋b ＋c ＝________． 5．在△ABC 中，|AB →|＝|BC →|＝|CA →|＝2，则|AB →－AC →|的值为________． 类型1 向量的加法及其几何意义例1、如下图所示，已知向量a ，b ，c ，求作和向量a ＋b ＋c .归纳1．向量与向量的和仍为向量，其大小和方向与原来的向量有关．2．当两个向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则是一致的；当两个向量共线时，三角形法则适用，而平行四边形法则就不适用了．3．(1)向量加法的三角形法则可以推广到多边形法则，即n 个首尾相连的向量的和所对应的向量就是从第一个向量的起点指向第n 个向量的终点的向量． (2)在△ABC 中，AB →＋BC →＋CA →＝0.变式训练、如图所示，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，O 是AC 与BD 的交点，则OA →＋BC →＋AB →＝( ) A.CD → B ．－CO → C.DA → D.CO → 类型2 向量的加法运算 例2、化简下列各式：(1)BC →＋AB →； (2)DB →＋CD →＋BC →； (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →. 归纳向量运算中化简的两种方法1、代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“自始至终，首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量． 2．几何法：通过作图，根据“三角形法则”或“平行四边形法则”化简． 变式训练、 如图所示，E ，F ，G ，H 分别是梯形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，化简下列各式：(1)DG →＋EA →＋CB →； (2)EG →＋CG →＋DA →＋EB →. 类型3 向量的减法及其几何意义例3、如下图所示，已知向量a ，b ，c 求作向量a －b －c .归纳1．向量的减法的实质是向量加法的逆运算，两个向量的差仍是向量，利用相反向量可以把减法转化为加法．2．利用向量减法的几何意义可求两向量的差，即利用三角形法则来求． 变式训练 在△ABC 中，D 是BC 的中点，设AB →＝c ，AC →＝b ，BD →＝a ；AD →＝d ，则d －a ＝________，d ＋a ＝________． 类型4 向量的减法运算 例4、 化简下列各式：(1)(AB →＋MB →)＋(－OB →－MO →)； (2)AB →－AD →－DC →. 归纳向量减法运算的常用方法1．可以通过相反向量，把向量减法的运算转化为加法运算．2．运用向量减法的三角形法则，此时要注意两个向量要有共同的起点． 3．引入点O ，逆用向量减法的三角形法则，将各向量起点统一变式训练、(1)在平行四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝c ，BD →＝d ，则下列等式中不正确的是( )A ．a ＋b ＝cB ．a －b ＝dC ．b －a ＝dD ．c －a ＝b (2)在四边形ABCD 中，AB →－DC →－CB →＝________． 五、课题练习： 六、课堂小结1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则．2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．3．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－AB →＝BA →就可以把减法转化为加法，即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，如：a －b ＝a ＋(－b )．4．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆． 七、教学后记平面向量的加法、减法运算一、学习目标1.理解向量加法的概念及向量加法的几何意义．2.理解向量的加法交换律和结合律，并能运用它们进行向量计算．3.掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会作已知两向量的和向量．4.掌握向量减法的定义，理解相反向量的概念，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义． 二、学习过程 知识提炼1．向量加法的概念(1)定义：求 和的运算． (2)符号表示：若AB →＝a ，BC →＝b ，则a ＋b ＝AB →＋BC →＝_______．下图1.(3)几何表示：已知非零向量a ，b 在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量AC →叫做a 与b 的和，记作 ，如下图1. 2．平行四边形法则(1)已知两个不共线向量a ，b ，作AB →＝a ，AD →＝b ，则A 、B 、D 三点不共线，以AB 和AD 为邻边作▱ABCD .则对角线上的向量______＝a ＋b ，如上图2，这种作两个向量和的方法叫做两个向量加法的平行四边形法则． (2)规定：a ＋0＝0＋a ＝a .提示： 两个向量的和仍是一个向量． 3．向量加法的运算律(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ．(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． 4．向量的减法(1)相反向量：与a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量，记作－a ． (2)定义：a －b ＝a ＋(－b )，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量． (3)几何意义：以A 为起点，作向量AB →＝a ，AD →＝b ，则DB →＝a －b ，如图3所示，即a －b 可表示从b 的终点指向a 的终点的向量．1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两向量相加，就是将它们的模相加．( )(2)两向量首尾相连，和向量由第一个向量的始点指向第二个向量的终点．( )(3)向量a －b 当它们起点重合时可以看作从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量．( )(4)向量加法的运算律同样适用于向量的减法运算．( ) 2．下列等式错误的是( )A ．a ＋0＝aB ．a ＋b ＝b ＋aC ．a ＋(b ＋c )＝(a ＋b )＋c D.AB →＋BA →＝2AB →3．若非零向量a ，b 互为相反向量，则下列说法错误的是( )A ．a ∥bB ．a ≠bC ．|a |≠|b |D ．b ＝－a4. 在△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，则a ＋b ＋c ＝________．5．在△ABC 中，|AB →|＝|BC →|＝|CA →|＝2，则|AB →－AC →|的值为________． 类型1 向量的加法及其几何意义例1、如下图所示，已知向量a ，b ，c ，求作和向量a ＋b ＋c .归纳1．向量与向量的和仍为向量，其大小和方向与原来的向量有关． 2．当两个向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则是一致的；当两个向量共线时，三角形法则适用，而平行四边形法则就不适用了． (2)在△ABC 中，AB →＋BC →＋CA →＝0.变式训练、如图所示，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，O 是AC 与BD 的交点，则OA →＋BC →＋AB →＝( ) A.CD → B ．－CO → C.DA → D.CO → 类型2 向量的加法运算 例2、化简下列各式：(1)BC →＋AB →； (2)DB →＋CD →＋BC →； (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →. 归纳向量运算中化简的两种方法1、代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“自始至终，首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量． 2．几何法：通过作图，根据“三角形法则”或“平行四边形法则”化简． 变式训练、 如图所示，E ，F ，G ，H 分别是梯形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，化简下列各式：(1)DG →＋EA →＋CB →； (2)EG →＋CG →＋DA →＋EB →.类型3 向量的减法及其几何意义例3、如下图所示，已知向量a ，b ，c 求作向量a －b －c . 归纳1．向量的减法的实质是向量加法的逆运算，两个向量的差仍是向量，利用相反向量可以把减法转化为加法．2．利用向量减法的几何意义可求两向量的差，即利用三角形法则来求． 变式训练 在△ABC 中，D 是BC 的中点，设AB →＝c ，AC →＝b ，BD →＝a ；AD →＝d ，则d －a ＝________，d ＋a ＝________． 类型4 向量的减法运算 例4、 化简下列各式：(1)(AB →＋MB →)＋(－OB →－MO →)； (2)AB →－AD →－DC →. 归纳向量减法运算的常用方法1．可以通过相反向量，把向量减法的运算转化为加法运算．2．运用向量减法的三角形法则，此时要注意两个向量要有共同的起点． 变式训练、(1)在平行四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝c ，BD →＝d ，则下列等式中不正确的是( )A ．a ＋b ＝cB ．a －b ＝dC ．b －a ＝dD ．c －a ＝b (2)在四边形ABCD 中，AB →－DC →－CB →＝________． 五、课题练习： 六、课堂小结1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则．2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－AB →＝BA →就可以把减法转化为加法，即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，如：a －b ＝a ＋(－b )．4．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆． 七、教学后记。
高中数学向量的加法教案
高中数学向量的加法教案教学目标：1. 理解向量的概念，掌握向量的性质和运算法则。
2. 掌握向量的加法法则和减法法则。
3. 能够通过例题熟练运用向量的加法和减法。
教学重点：1. 向量的加法法则和减法法则的理解与应用。
2. 解题方法的掌握与灵活运用。
教学难点：1. 多个向量的加法和减法。
2. 向量的坐标表示和分解。
教学准备：1. 教学课件、教学板书。
2. 向量的范例题目和练习题。
3. 制作向量的几何图形展示。
教学过程：一、引入：通过一个生活中的例子引出向量的概念，引导学生了解向量的意义和性质。
二、向量的定义与表示：1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的量。
2. 向量的表示：以有向线段表示，常表示为AB（→），A和B分别为向量的起点和终点。
3. 向量的性质：平移、长度和方向都相同的向量相等。
三、向量的加法法则：1. 平行四边形法则：两个向量相加，结果向量的始点为第一个向量的始点，终点为第二个向量的终点，即C = A + B。
2. 共点法则：两个向量相加，结果向量为他们的和向量，即C = A + B。
四、向量的减法法则：向量的减法等价于加上对应向量的相反向量，即A - B = A + (-B)。
五、例题练习：1. 讲解范例题目，带领学生理解向量的加法和减法法则。
2. 练习学生独立解题，加深对向量运算的掌握和应用。
六、课堂小结：复习向量的加法和减法法则，梳理思路和方法。
七、作业布置：布置相关的练习题，巩固所学知识。
教学反思：通过向量的加法教学，让学生掌握向量的基本运算法则，提高学生的运算能力和解题思维。
扩充应用向量知识，拓展学生的问题解决能力。
中职数学教案：向量的加法运算(全2课时)
中等专业学校2024-2025-1教案教学内容通情况发现成昆之间的高速公路严重拥堵，只好改变出行路线，先驾车到重庆，再从重庆到成都.小张自驾旅程中的位移情况如图所示，其中，点A 、B、C分别代表昆明、重庆和成都三地.试问，小张从点A经点B到达点C接连两次位移，AB、BC的结果，与原计划从点A直接到达点C的位移AC有什么关系？三、探索新知可以看出，这两种方式的位移结果是一样的，都是从昆明到成都.因此我们可以把位移AC看作两次位移AB与BC的和.=AB a，=BC b，得到一个新的向量AC，称向量AC为向量a与向量b的和，记作a+b .一般地，对于平面内给定的两个不平行的非零向量a、b，在平面上任取一点A，依次做=AB a，教学内容=BC b，得到一个△ABC，称向量AC为向量a与向量b的和,也称为向量a与向量b的和向量，记作a+b，如图所示. 即a+b=AC=AB+BC.求两个向量的和的运算称为向量的加法.上述把两个非零向量表示成有向线段并借助于三角形作出其和向量的方法，称为向量加法的三角形法则.当非零向量平行时，在平面上任取一点A，依次作规定：a+b=0+a=a；a+(−a)=0 . 由上面的分析可知，表示各个向量的有向线段首尾相接，由起点指向终点的有向线段表示的向量就是这些向量的和向量，这是向量加法的几何意义，如图所示 .四、典型例题例1 如图所示，在⏥ABCD中，用向量AB、AD表示向量AC.解根据向量加法的三角形法则可知，AC=AB+BC.1. 如图所示，已知向量a、b、c,则板书设计教后札记中等专业学校2024-2025-1教案编号：备课组别数学组课程名称向量的加法运算所在年级主备教师授课教师授课系部人授课班级授课日期课题 2.2.1向量的加法运算（第二课时）教学目标通过学习，理解向量的加法、减法、数乘运算及其几何意义；能按要求作出两个向量的和向量、差向量；会判定两个非零向量是否平行；逐步提升直观想象、数学运算和数学抽象等核心素养.重点向量加法的运算、减法、数乘运算及其几何意义．难点向量减法法则．教法讲授法教学设备一体机教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容前面，我们利用双曲线的标准方程获得了双曲线的几何性质，是否可以利用抛物线的标准方程研究抛物线的几何性质呢？下面以抛物线的标准方程y²=2px为例，研究抛物线的几何性质.1.范围在方程y²=2px中，由p>0，y²≥0，可知x≥0. 这表明，抛物线在y轴的右侧，如图所示. 当x的值增大时，y²的值也随着教学内容又因为⏥ABCD中，AD=BC，所以AC=AB+AD.五、探索新知一般地,给定两个非零向量AB与AD，以线段AB和AD为邻边作⏥ABCD，则向量AC就是向量AB与AD的和，这种作两个向量的和向量的方法称为向量加法的平行四边形法则．可以验证，向量的加法满足以下运算律：a+b=b+a；(交换律)a+(b+c)= a+(b+c) .(结合律)六、典型例题例2 已知向量a、b，如图(1)所示，试分别用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作向量a+b.解(1)运用三角形法则.如图(2)所示，在平面内任取一点O，作=OA a，=AB b，则=OB a+b；(2)运用平行四边形法则.如图(3)所示,在平面内任取一点O，作=OA a，=OB b，以OA、OB为邻边作⏥ABCD，连接OC，则=OC OA OB=a+b.例3一艘渡轮要从南岸到北岸,它在静水中速度的大小为12km/h，方向正北. 若水流速度的大小为 12km/h，方向正东，求渡轮实际航行的速度.解如图所示，AC表示船在静水中的速度, AB为水流速度. 以AB、AC为邻边作⏥ABCD，由向量加法的平行四边形法则可知，AD是船的实际航行速度.在RtΔABC中，教学内容因此, 船实际航行的速度大小是13km/h,方向为北偏东22°37’.七、巩固练习练习2.2.1如图所示，分别求作下列情形下的向量a+b2. 如图所示，已知向量a、b、c,则教学内容3.化简.4.某同学从A地向东走2km到达B地,又向北走2km到达C地.试求该同学的位移AC的大小和方向.八、布置作业1.书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》；2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾；3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.板书设计教后札记。
(完整版)向量及其运算教学设计
(完整版)向量及其运算教学设计向量及其运算教学设计一、引言本教学设计旨在介绍向量及其运算的基本概念和方法，帮助学生掌握向量的加法、减法、数量乘法和点乘法等运算规则。
通过实际例子和练，培养学生的向量思维和运算能力。
二、教学内容1. 向量的定义：向量的概念、符号表示、方向和大小。
2. 向量的运算：向量的加法、减法、数量乘法和点乘法。
三、教学目标1. 理解向量的定义和基本性质。
2. 掌握向量的加法、减法和数量乘法的运算规则。
3. 理解向量的点乘法及其几何意义。
4. 运用向量运算解决实际问题。
四、教学方法1. 讲述法：通过讲解向量的定义和运算规则，引导学生理解概念和方法。
2. 示例法：通过具体的例子和图示，展示向量的运算和几何意义。
3. 演练法：设计练题，让学生通过实际计算和推理，巩固向量的运算技巧。
五、教学步骤1. 引入向量的概念和符号表示，让学生了解向量的基本特征和表示方法。
2. 介绍向量的加法和减法运算规则，通过图示和实际计算展示运算过程和结果。
3. 讲解向量的数量乘法，引导学生理解数量乘法的几何意义和运算规则。
4. 介绍向量的点乘法，解释其几何意义和应用，通过例题演示点乘法的计算过程。
5. 设计练题，让学生巩固向量的运算技巧和应用能力。
6. 总结本节课的教学内容和要点，强调学生练的重要性。
六、教学评估1. 针对学生的课堂参与和问题解答进行评估，了解他们对向量及其运算的理解和掌握程度。
2. 批改练题，评估学生对向量运算的技巧运用和应用能力。
3. 综合评估学生的研究成果，提供个别辅导和指导。
七、教学资源1. 板书：向量的定义、运算规则和示例。
2. PowerPoint演示：图示和实例展示。
3. 练题和答案：巩固学生的运算技巧和理解能力。
八、教学延伸1. 引导学生进一步探究向量的叉乘法和向量的投影等内容。
2. 提供更多实际问题和应用案例，让学生将向量运算与实际问题结合起来。
以上是《向量及其运算教学设计》的完整内容。
向量的加法与减法优质课教案
向量的加法与减法课题：教案目的：⑴掌握向量加法的定义⑵会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量⑶掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算. 教案重点：用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量教案难点：向量的加法和减法的定义的理解授课类型：新授课1课时课时安排：教具：多媒体、实物投影仪教案过程：一、复习引入：向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量1.ｂａ、①用有向线段表示；②用字母等表示；2.向量的表示方法：AB；③用有向线段的起点与终点字母：ABAB|④向量的大小――长度称为向量的模，记作|.3.零向量、单位向量概念：00的向量叫零向量，记作①长度为0的方向是任意的零向量、单位向量的定义都是只限制大.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.小，不确定方向平行向量定义：4.①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；ｃｂｃａａｂ. 平行，记作∥②我们规定0与任一向量平行.向量∥、、 5.相等向量定义：. 长度相等且方向相同的向量叫相等向量ｂａａｂ 1（）向量＝与；相等，记作（2）零向量与零向量相等；来表示，并（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段. 且与有向线段的起点无关．．．．．．．．．． 6.共线向量与平行向量关系：. 平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（1. 2（）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系 7.对向量概念的理解AB：起的字母是有顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个要素向量.二个要素点、方向、长度；既有大小又有方向的量，我们叫做向量，有：大小、方向.不能比较大小；实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘；与起点无关：两个要素向量与有向线段的区别：向量是自由向量，只有大小和方向三个只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向1 / 8，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段要素二、讲解新课：1求两个向量和的运算，叫做向量的加法．向量的加法：三角形法则几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的课本中采用了平行四边形法则（对于两个向量共线不适应））（“首尾相接，首尾连”和三角形法则来定义，这种定义，对两向量共线时同样适用，当向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的a b ACbAB?aBC?A叫做、，则向量在平面内任取一点如图，已知向量，，作a bab?AC?a?b?AB?BC，即与的和，记作CCbaa+bBa+bBDaabb三角形法则平行四边形法则A(1)A特殊情况：aa bbba?ba?BAA CC B)3()2(a a?0?a?0?a对于零向量与任一向量，有）两相向量的和仍是一个向量；1探究：（bbabaaba与。
《向量加法运算及其几何意义》教案全面版
《向量加法运算及其几何意义》教案全面版第一章：向量的概念1.1 向量的定义介绍向量的定义，即有大小和方向的量。
通过实际例子解释向量的概念。
1.2 向量的表示介绍向量的表示方法，包括字母表示和箭头表示。
解释向量的大小和方向的表示方式。
第二章：向量的基本运算2.1 向量的加法介绍向量加法的定义和规则。
通过实际例子解释向量加法的运算方法。
2.2 向量的减法介绍向量减法的定义和规则。
通过实际例子解释向量减法的运算方法。
第三章：向量的数乘运算3.1 向量的数乘定义介绍向量的数乘运算，即向量与实数的乘积。
解释向量数乘的结果向量的意义。
3.2 向量的数乘运算规则介绍向量的数乘运算规则，包括标量与向量的乘积以及向量与向量的乘积。
通过实际例子解释向量数乘的运算方法。
第四章：向量的几何意义4.1 向量加法的几何意义介绍向量加法的几何意义，即两个向量相加的结果向量表示起点到终点的位移。
通过图形和实际例子解释向量加法的几何意义。
4.2 向量数乘的几何意义介绍向量数乘的几何意义，即标量与向量相乘的结果向量表示向量的伸缩和平移。
通过图形和实际例子解释向量数乘的几何意义。
第五章：向量加法的平行四边形法则5.1 平行四边形法则的定义介绍平行四边形法则的定义，即两个向量相加的结果向量可以用它们构成的平行四边形的对角线表示。
通过图形和实际例子解释平行四边形法则。
5.2 平行四边形法则的应用介绍平行四边形法则的应用，即通过已知向量的加法来求解未知向量。
通过实际例子解释平行四边形法则在解题中的应用。
第六章：向量减法的平行四边形法则6.1 平行四边形法则在向量减法中的应用解释向量减法可以看作是向量加法的特殊情况，即加上一个向量的相反向量。
通过图形和实际例子说明如何使用平行四边形法则进行向量减法。
6.2 平行四边形法则的扩展探讨当第三个向量不在第一和第二个向量所构成的平行四边形内时，如何使用平行四边形法则进行运算。
通过图形和实际例子展示平行四边形法则的灵活应用。
向量的加法与减法(优质课教案)
课题：向量的加法与减法教案目的：⑴掌握向量加法的定义⑵会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量⑶掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算教案重点：用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量.教案难点：向量的加法和减法的定义的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教案过程：一、复习引入：1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示；③用有向线段的起点与终点字母：；④向量的大小――长度称为向量的模，记作||.3.零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作的方向是任意的②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.4.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.5.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．.6.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.7.对向量概念的理解的字母是有顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个要素：起点、方向、长度；既有大小又有方向的量，我们叫做向量，有二个要素：大小、方向.向量不能比较大小；实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘.向量与有向线段的区别：向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段 二、讲解新课：1．向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）课本中采用了三角形法则来定义，这种定义，对两向量共线时同样适用，当向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的如图，已知向量a 、b 在平面内任取一点A ，作a =，b =，则向量叫做a 与b 的和，记作b a +，即b a =+=+特殊情况：(1)BBAabba +ba +AABC C )2()3(对于零向量与任一向量a ，有a a a =+=+00 探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |。
数学教案向量的基本运算
数学教案向量的基本运算数学教案：向量的基本运算一、引言在数学中，向量是一个重要的概念，它可以用来描述物理空间中的位移、速度和力等物理量。
向量的基本运算包括加法、减法和数乘运算，它们在数学和物理学中有着广泛的应用。
本教案将从理论和实践两个方面，详细介绍向量的基本运算。
二、向量的表示与性质向量通常用有序数组表示，如(A1, A2, A3)。
向量的性质包括大小、方向和共线性。
大小由向量的模表示，方向由箭头指向确定，共线性由向量的比例关系决定。
三、向量的加法运算1. 向量的三要素及图解法：两个向量相加所得的和向量，大小等于两个向量大小之和，方向与第一个向量和第二个向量的连接方向相同。
2. 分量法：将向量分解为水平方向和垂直方向上的分量，然后分别对应相加。
3. 示例题：根据图示求两个向量的和向量。
四、向量的减法运算1. 向量的定义及图解法：两个向量相减所得的差向量，大小等于两个向量大小之差，方向与第一个向量和第二个向量的连接方向相反。
2. 分量法：将向量分解为水平方向和垂直方向上的分量，然后分别对应相减。
3. 示例题：根据图示求两个向量的差向量。
五、向量的数乘运算1. 向量的定义及图解法：一个向量乘以一个实数所得的向量，向量的大小等于实数与向量大小的乘积，方向与原向量相同(正数)或相反(负数)。
2. 分量法：将向量的分量分别乘以实数。
3. 示例题：根据图示求向量的数乘。
六、向量的基本运算的性质1. 加法和减法的性质：交换律、结合律、零向量和负向量。
2. 数乘的性质：分配律、加法的结合律、单位向量。
七、实际应用1. 位移向量：描述物体在空间中的位置变化。
2. 速度向量：描述物体在空间中的运动状态。
3. 力向量：描述物体受力及其方向。
八、小结通过本教案的学习，我们了解了向量的基本运算，包括加法、减法和数乘运算。
向量运算不仅在数学中有着广泛的应用，而且在物理学和工程学等领域也具有重要的意义。
在实际问题中，我们可以通过运用向量的基本运算来描述物体的位置、运动和受力等情况，提高问题解决的效率。
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学习目的：1.理解向量、零向量、单位向量、向量的模的意义；2.理解向量的几何表示，会用字母表示向量；3.了解平行向量、共线向量和相等向量的意义，并会判断向量间平行（共线）、相等的关系；4.通过对向量的学习，使学生对现实生活的向量和数量有一个清楚的认识，培养学生的唯物辩证思想和分析辨别能力.5．掌握向量的加法的定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量；6．掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算；7．明确相反向量的意义，掌握向量的减法，会作两个向量的差向量；8．在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有机结合，并能利用向量运算完成简单的几何证明；9．通过阐述向量的减法运算可以转化为向量加法运算及多个向量的加法运算可以转化成两个向量的加法运算，可以渗透化归的数学思想，使学生理解事物之间相互转化，相互联系的辨证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识．学习内容:向量这部分知识是新内容，但我们已经接触过了.同学们在物理的课程学习过矢量的概念，它与我们要学的向量是一致的（知识是相通的），即使在数学中，前一段我们学习三角函数线时讲过有向线段，实际上向量就是用有向线段表示的.学习难点:向量的加法运算一、向量的概念向量:既有大小又有方向的量.通常用有向线段表示，其中A为起点，B为终点，显然表示不同的向量；有向线段的长度表示向量的大小，用| |表示，显然，既有向线段的起、终点决定向量的方向，有向线段的长度决定向量的大小.注意:向量的长度| |又称为向量的模；长度为0的向量叫做零向量，长度为1的向量叫做单位向量.方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任一向量平行.平行向量可通过平移到同一条直线上，因此平行向量也叫共线向量.长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.零向量与零向量相等，任意两个相等的非零向量可经过平移的过程重合在一起，既可用一个有向线段表示，而与起点无关.二、向量的加法1．向量加法的平行四边形法则平行四边形ABCD中，向量的和为.记作: .2．向量加法的三角形法则根据向量相等的定义有: ，既在ΔADC中，，首尾相连的两个向量的和是以第一个向量的起点指向第二个向量的终点.规定:零向量与向量的和等于.三、向量的减法向量与向量叫做相反向量.记作: .则，既用加法法则来解决减法问题.例题选讲第一阶梯[例1]判断下列命题的真假：①直角坐标系中坐标轴的非负轴都是向量；②两个向量平行是两个向量相等的必要条件；③向量与是共线向量，则、、、必在同一直线上；④向量与向量平行，则与的方向相同或相反；⑤四边形是平行四边形的充要条件是．分析：判断上述五个命题的真假性，需细心辨别才能识其真面目．解：①直角坐标系中坐标轴的非负半轴，虽有方向之别，但无大小之分，故命题是错误的．②由于两个向量相等，必知这两个向量的方向与长度均一致，故这两个向量一定平行，所以，此命题正确；③不正确．∵与共线，可以有与平行；④不正确．如果其中有一个是零向量，则其方向就不确定；⑤正确．此命题相当于平面几何中的命题：四边形是平行四边形的充要条件是有一组对边平行且相等．[例2]下列各量中是向量的有_______________.A、动能B、重量C、质量D、长度E、作用力与反作用力F、温度分析：用向量的两个基本要素作为判断的依据注意对物理量实际意义的认识.解:A，C，D，F只有大小，没有方向，而B和F既有大小又有方向，故为向量.[例3]命题“若，，则．”（）A．总成立B．当时成立C．当时成立D．当时成立分析：这里要作出正确选择，就是要探求题中命题成立的条件．∵零向量与其他任何非零向量都平行，∴当两非零向量、不平行而时，有，，但这时命题不成立，故不能选择A，也不能选择B与D，故只能选择C．答案：C第二阶梯[例1]如图1所示，已知向量，试求作和向量．分析：求作三个向量的和的问题，首先求作其中任两个向量的和，因为这两个向量的和仍为一个向量，然后再求这个向量与另一个向量的和．即先作，再作．解：如图2所示，首先在平面内任取一点，作向量，再作向量，则得向量，然后作向量，则向量即为所求．[例2]化简下列各式(1)； (2)．分析：化简含有向量的关系式一般有两种方法①是利用几何方法通过作图实现化简；②是利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序，有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量．解：(1)原式=(2)原式=．[例3]用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形．分析：要证明四边形是平行四边形只要证明某一组对边平行且相等．由相等向量的意义可知，只需证明其一组对边对应的向量是相等向量．(需首先将命题改造为数学符号语言)已知：如图3，ABCD是四边形，对角线AC与BD交于O，且AO=OC，DO=OB．求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：由已知得，，且A，D，B，C不在同一直线上，故四边形ABCD是平行四边形．第三阶梯例1．下列命题:（1）单位向量都相等；（2）若，则；（3）若ABCD为平行四边形，则；（4）若，则.其中真命题的个数是（）A、0B、1C、2D、3解:（1）不正确.单位向量的长度相等，但方向不一定相同；（2）不正确. 可能在同一条直线上；（3）不正确.平行四边形ABCD中，；（4）正确.满足等量的传递性.选B.例2．若O为正三角形ABC的中心，则向量是（）.A、有相同起点的向量B、平行向量C、模相等的向量D、相等的向量解:的起点不同，不平行也不相等.由正三角形的性质: .选C.例3．某人向东走3km，又向北走3km，求此人所走路程和位移.解:此人所走路程:|AB|+|BC|=6km.此人的位移:例4．求证对角线互相平分的平面四边形是平行四边形.已知: ，求证:ABCD为平行四边形.证明:由加法法则: ，∵，∴，即线段AB与DC平行且相等，∴ ABCD为平行四边形.例5．非零向量中，试比较的大小.解:（1）共线时，①时，②时，.（2）不共线时，，，∵即，综上：∴课外练习:1．若两个向量不相等，则这两个向量（）.A、不共线B、长度不相等C、不可能均为单位向量D、不可能均为零向量2．四边形RSPQ为菱形，则下列可用一条有向线段表示的两个向量是（）.A、B、C、D、3．“两个向量共线”是“这两个向量相等”的（）.A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件4．O是四边形ABCD对角线的交点，若，则四边形ABCD是（）.A、等腰梯形B、平行四边形C、菱形D、矩形5．若O是ΔABC内一点，，则O是ΔABC的（）.A、内心B、外心C、垂心D、重心6．ΔABC中，=（）.A、B、C、D、7．平行四边形ABCD中，E、F为AB，CD中点，图中7个向量中，与相等的向量是________；与相等的向量是______；与平行的向量是_______；与平行的向量是_____.8．已知:首尾相接的四个向量.求证: .S参考答案:1.D2.B3.B4.B5.D6.B7.8. 证明:∵，，∴.测试选择题1．已知向量 a=(3,m)的长度是5，则m的值为（）.A、4B、-4C、±4D、162．下面有四个命题：（1）向量的长度与向量的长度相等.（2）任何一个非零向量都可以平行移动.（3）所有的单位向量都相等.（4）两个有共同起点的相等向量，其终点必相同.其中真命题的个数是（）.A、4B、3C、2D、13．在下列命题中，正确的是（）.A、若| |>| |，则>B、| |=| |，则=C、若= ，则与共线D、若≠，则一定不与共线4．下列说法中错误的是（）.A、零向量是没有方向的B、零向量的长度为0C、零向量与任一向量平行D、零向量的方向是任意的5．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，则和相等的向量的个数是（）.A、1个B、2个C、3个D、4个答案与解析答案：1、C 2、B 3、C 4、A 5、B解析：1．答案：C. 因为|a| 所以2．答案：B. (1)对.因为与是指同一条线段，因此长度相等．(2)对．这是由相等向量推导出的结论．(3)错.因为单位向量只要求模长等于1，方向不作要求，因此不一定相等．(4)对．因为相等向量可以经过平移至完全重合．解决本题的关键是熟练掌握有关基础知识.3．答案：C. A错．因为向量有大小和方向两个要素．无法比较大小．B错．相等向量不仅要模长相等，方向也要相同．C对．相等向量方向一定相同，因此共线．D错．因为向量不相等，可能仅由于模长不等，方向仍可能是相同的，所以与有共线的可能．4．答案：A. 零向量是规定了模长为0的向量．零向量的方向没有规定，是任意的，可以看作和任一向量共线．零向量绝不是没有方向．5．答案：B. 根据向量相等的条件.向量重点难点了解向量可以根据需要自由平移的特点是今后运用向量方法解决问题的前提条件之一，也因此，平行向量也叫共线向量．要根据向量的有关概念从图形中找出相等的向量和共线的向量．因此，要加强训练观察一些常见图形．以下三个问题上常出现错误：一是用表示向量的有向线段的起点和终点的字母表示向量时，一定注意搞清字母顺序，起点在前，终点在后，例如与是大小相同，方向相反的两个向量，二是零向量的方向是任意的，而不是没有方向，因此有关零向量的方向问题一般要注意规定，例如命题：与共线，与共线，与共线，是错误的，因为零向量的方向是任意的，故与的方向没有任何关系，因此也无法判断是否共线，三是注意区别平行向量与平面几何中直线平行的概念，前者相当于两直线位置关系中的平行和重合两种情况，例如错误地认为平行向量不可能是共线向量，其实这两个概念是同一个概念.典型题目例1下列说法中正确的是（）.A．向量与向量共线，向量与向量共线，则向量与向量共线B、任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点C、向量与不共线，则与所在直线的夹角为锐角D、始点相同的两个非零向量不平行答案：A点评：向量共线即方向相同或相反，故非零向量间的共线关系是可以传递的．共线向量等同于平行向量，既可平行也可在同一直线上.而相等向量是共线的，故B中四点可能在同一直线上，向量不共线，仅指其所在直线不平行或不重合，夹角可能是直角，而选项D中向量是否共线与始点位置无关．例2 “两个向量共线”是“这两个向量方向相反”的( )条件A.充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要答案：B点评：向量共线即向量方向相同或相反，故后者推出前者，而反之不成立．例3下面有四个命题：(1)向量的模是一个正实数．(2)两个向量平行是两个向量相等的必要条件．(3)若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等．(4)温度含有零上温度和零下温度，所以温度是向量，其中真命题的个数为( )．A．0 B．1 C．2 D．3答案：B点评：只有(2)是正确的，因为两个向量平行只是指这两个向量在方向上是相同或相反的．方向相反则不可能是相等向量．即使方向相同，对于大小也没有要求，依然无法判定两个向量是否相等．而两个相等向量的方向一定相同，必是平行向量．(1)错在向量的模是表示向量的有向线段的长度，零向量的模为零．因此向量的模是一个非负实数．(3)错在两个单位向量互相平行，方向可能相同也可能相反，因此这两个向量不一定相等．(4)错在温度的零上零下也只是表示数量．向量既要有大小又要有方向．常见的向量有力、速度、位移、加速度等．正确解答本题的关键是把握住向量的两个要素，并从这两个要素人手区分其它有关概念．例4 一辆汽车从A点出发向西行驶了100公里到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200公里到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100公里到达D点．(1)作出向量、(2) 求| |.答案：(1)见图.(2)由题意，易知方向相反，故与共线，又，∴在四边形ABCD中，AB CD，四边形ABCD为平行四边形，∴，∴=200公里.点评：准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的大小确定向量的终点.例5 一个人从A点出发沿东北方向走了100米到达B点．后改变方向沿南偏东15°又走了100米到达C点，求此人从C点走回A点的位移．解：如图，根据题意知ΔABC为等边三角形，故∠a=15°，| |=100，∴此人从C点走回A点的位移，大小为100米，方向为西偏北15°．检测题1.在下列各命题中，为真命题的有（）（1）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量（2）温度有零上温度和零下温度．因此温度也是向量（3）方向为南偏西60°的向量与方向为北偏东60°的向量是共线向量（4）坐标平面上的x轴和y轴都是向量A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2.已知a、b、c是三个非零向量，则|a+b+c|=|a|+|b|+|c|的充要条件是（）A．a、b同方向 B．b、c同方向 C．a、c同方向 D．a、b、c同方向3.下列命题中，正确的是（）A． B．C． D．4．下列各命题中假命题的个数为（）①向量的长度与向量的长度相等．②向量与向量平行，则与的方向相同或相反．③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同．④两个有共同终点的向量，一定是共线向量．⑤向量与向量是共线向量，则点、、、必在同一条直线上．⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段A．2 B．3 C．4D．55．在下列各结论中，正确的结论为（）①两向量共线且模相等是这两个向量相等的必要不充分条件；②两向量平行且模相等是这两个向量相等的既不充分也不必要条件；③两向量方向相同且模相等是这两个向量相等的充分条件；④两向量方向相反且模不相等是这两个向量不相等的充分不必要条件．A．①、③ B．②、④ C．③、④ D．①、③、④6．判断下列命题真假（1）平行向量一定方向相同．（2）共线向量一定相等．（3）起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等的向量．（4）不相等的向量，则一定不平行．（5）非零向量的单位向量是．7.若三个向量a、b、c恰能首尾相接构成一个三角形，则＝。