多目标规划_0526
* 有效解的集合 Re a, b
*
设 x* R ，如果不存在 x R 使得 F x F x 成立，则称 x 为多目标规划问题的
*
*
弱有效解。多目标规划问题的弱有效解的全体记作 Rwe ，弱有效解的含义是：在所有 的可行解中找不到比它严格好的可行解。当 n 1, p 2 时弱有效解的直观几何意义
多目标规划的解集
有效解与弱有效解
设 x* R ， 如果不存在 x R 使得 F x F x* 成立， 则称 x 为多目标规划问题的有
*
效解。多目标规划问题的有效解的全体记作 Re ，有效解的含义是：在所有的可行解 中找不到比它好的可行解，当 n 1, p 2 时有效解的直观几何意义如图 (a)所示，其
多目标规划问题的典型实例
例1 木梁设计问题
用直径为 1（单位长）的圆木制成截面为矩形的梁。为使重量最轻面强度最大， 问截面的宽和高应取何尺寸？ 假设矩形截面的宽和高分别为 x1 和 x2 ，那么根据几何知识可得：
2 x12 x2 1
且此时木梁的截面面积为 x x 。同时根据材料力学的知识，木梁的强度取决于截面矩
多目标规划问题的典型实例
例2 工厂采购问题
某工厂需要采购某种生产原料，该原料市场上有 A 和 B 两种，单价分别为 2 元/kg 和 1.5 元/kg。现要求所花的总费用不超过 300 元，购得的原料总重量不少于 120kg，其中 A 原料不得少于 60kg。间如何确定最佳采购方案，花最少的钱，采 购最多数量的原料。 设 A、B 两种原料分别采购 x1 、 x2 kg，那么总的花费为： f1 x 2x1 1.5x2 购得的原料总量为： f2 x x1 x2 那么我们求解的目标即是使得花最少的钱买最多的原料，即最小化 f x 的同时
1
极大化 f x 。
2
多目标规划问题的典型实例
同时要满足所花的总费用不得超过 300 元，原料的总重量不得少于 120kg，A 原料 不得少于 60kg，于是得到约束条件如下：
x1 x2 120
2x1 1.5x2 300
x1 60
又考虑到购买的数量必须要满足非负的条件，由于对 x 已经有相应的约束条件，故只
多目标规划问题的数学模型
上述问题可以归结为标准形式：
V-min F x gi x 0 (i 1, 2,..., m) s.t. hi x 0 (i 1, 2,..., l )
其中： x x1
x2
xn ； F x f1 x
关系，既无大于等于关系，也无小于等于关系。 例如我们首先直观的看一个多目标规划的图解实例。假设问题的目标为求函数
f1 和 f 2 的极小值如图所示。 就方案 A1 和 A2 来说， 有：f1 A1 f1 A2 且 f2 A1 f2 A2 ，
故无法确定优劣。而对于方案 A2 和 A3 而言，有： f1 A2 f1 A3 且 f2 A2 f2 A3 ；所 以显然 A2 比 A3 好。 对于方案 A1 和 A2 ，由于无法确定其优劣， 而且又没有比它们更好的其他方案，所 以它们就被称之为多目标规划问题的有效解 （或者非劣解） ，其余方案都称为劣解。所有 非劣解构成的集合称为非劣解集。
多目标规划问题的发展
多目标规划法（Goal Programming，简称GP）也是最优化理论和方法中的一个 重要分支，它是在线性规划的基础上，为解决多目标决策问题而发展起来的一 种数学方法。其概念和数学模型是由A.Charnes和W.W.Cooper在1961年提出的， 经过Ijiri,Sang.M.Lee等人的改进，并逐步发展和成熟，它在经济管理与规划、 人力资源管理、政府管理、大型工程的最优化等重要问题上都有广泛的应用。
* * 如图(b)所示， Rwe a, b ， Re c, d
*
f x
f x
f1 x f 2 x
f1 x
f2 x
* Re a, b
O
a
a
b
x
O
a
c
b
d
b
x
多目标规划的解集
解集之间的关系
p * i
* R ，则 R Ri (1) 若 i 1 i 1 * ab
多目标规划问题的典型实例
假设该厂每周生产三种产品的小时数分别为 x1 , x2 , x3 ，则我们根据各种产品的单位 利润得到其总利润 f1 x 为：
f1 x 500x1 400x2 600x3
根据各个产品的生产效率，可得生产 A1、A2 和 A3 的生产数量分别为：
qA1 20x1, qA2 25x2 , qA3 15x3
qA1 20x1 700; qA2 25x2 800; qA3 15x3 500
同时考虑到生产时间的非负性，总结得到该问题的数学模型为：
max min s.t.
f1 x 500 x1 400 x2 600 x3 f 2 x 0.48 x1 0.65 x2 0.42 x3 x1 x2 x3 40 0.48 x1 0.65 x2 0.42 x3 20 20 x1 700 25 x2 800 15 x3 500 x1 , x2 , x3 0
f x
f1 x
f x
f 2 x f1 x
f2 x
* Rab a, b
O
x* a
x
O
a b b
x
多目标规划问题的的绝对最优解一般情况下是不存在的。 事实上， 如果把多目标 规划中的每个目标函数看成是单目标规划问题的目标函数，即我们分别考虑 p 个单 目标规划问题： min fi x , x R, i 1,2,..., n ，那么这 p 个单目标规划问题的公共最优 解才是多目标规划问题的的绝对最优解。如果这 p 个单目标规划问题没有公共的最 优解，则多目标规划问题就没有绝对最优解。
多目标规划问题的典型实例
例3 生产计划问题
某工厂生产 A1、 A2 和 A3 三种产品以满足市场的需要， 该厂每周生产的时间为 40h， 且规定每周的能耗都不得超过 20t 标准煤，其数据表如表 8-1 所示。现在的问题时， 每周生产三种产品各多少小时，才能使得该厂的利润最多，而能源消耗最少？ 产品生产销售数据表 产品 生产效率 （m/h） A1 A2 A3 20 25 15 利润 （元/m） 500 400 600 最大销量 （m/周） 700 800 500 能耗 （t/1000m） 24 26 28
故在生产过程中产生的能耗可以表达为：
f 2 x 24 103 20 x1 26 103 25 x2 28 103 15 x3 0.48 x1 0.65 x2 0.42 x3
那么根据最优化问题的目标，我们需要使得才利润最多且能耗最少，即在极大化
f1 x 的同时极小化 f2 x 。
多目标规划的象集
考虑多目标规划问题：
V-min F x (8-3) s.t. g x 0 ( i 1, 2,..., m ) i
则其可行域为： 则根据上述模型， 我们任意给定一个可行解 x R ， 则其对应的目标函数值 F x 是一个 p 维的向量。即有 x R Rn ， F x [ f1 x
多目标规划问题域线性规划和非线性规划问题的主要区别就在于， 它所追求的 目标不止一个，而是多个。
多目标规划问题的数学模型
目标规范化
由于许多实际问题中，各个目标的量纲一般都是不同的，所以有必要将每个目标 事先进行规范化，例如，对第 j 个带量纲的目标 Fj x ，我们可令：
f j x
1 2
x x ，故若要使得重量最轻，实际上目标即为横截面积最小，又要强度最大，故目 量1 6
2 1 2
标为截面矩量最大，于是容易列出如下数学模型：
min max
f1 x x1 x2 1 2 x1 x2 6 2 x12 x2 1 f2 x x1 , x2 0
其中：
Fj x Fj
Fj min Fj x
xR
R x | gi x 0, i 1,2,..., m; hi x 0, i 1,2,..., l
这样 f j x 就是规范化的目标了，在以后的叙述中，不妨假设多目标规划问题中 的目标均已规范化。
1
需添加对 x 的非负约束即可。
2
综合以上分析，得到最优化数学模型如下：
min f1 x 2 x1 1.5 x2 max f 2 x x1 x2 x1 x2 120 2 x1 1.5 x2 300 x1 60 x2 0
O
f2 A5 A4 A1 A3 A2 f1 A6 A7
多目标规划的解集
绝对最优解
* * 设 x* R ，如果对于 x R 均有 F x F x ，则称 x 为多目标规划问题的绝对最
*
优解。多目标规划问题的绝对最优解的全体可以记为行比较的。下图为当 n 1, p 2 时绝对最优解的示意图。
p
* * (2) Re Rwe R
* * (3) Ri Rwe (i 1, 2,..., p)
* * (4) Rab Re
* * R R ， Ri* Re Rab (5) 若 R ，则 i 1 i 1
* ab
p
* i
* we
p
* * (6) 若 F x 中每个 fi x 都是严格凸函数， R 是凸集，则 Re Rwe
*
设 x* R ，如果不存在 x R 使得 F x F x 成立，则称 x 为多目标规划问题的
*
*
弱有效解。多目标规划问题的弱有效解的全体记作 Rwe ，弱有效解的含义是：在所有 的可行解中找不到比它严格好的可行解。当 n 1, p 2 时弱有效解的直观几何意义
多目标规划的解集
有效解与弱有效解
设 x* R ， 如果不存在 x R 使得 F x F x* 成立， 则称 x 为多目标规划问题的有
*
效解。多目标规划问题的有效解的全体记作 Re ，有效解的含义是：在所有的可行解 中找不到比它好的可行解，当 n 1, p 2 时有效解的直观几何意义如图 (a)所示，其
多目标规划问题的典型实例
例1 木梁设计问题
用直径为 1（单位长）的圆木制成截面为矩形的梁。为使重量最轻面强度最大， 问截面的宽和高应取何尺寸？ 假设矩形截面的宽和高分别为 x1 和 x2 ，那么根据几何知识可得：
2 x12 x2 1
且此时木梁的截面面积为 x x 。同时根据材料力学的知识，木梁的强度取决于截面矩
多目标规划问题的典型实例
例2 工厂采购问题
某工厂需要采购某种生产原料，该原料市场上有 A 和 B 两种，单价分别为 2 元/kg 和 1.5 元/kg。现要求所花的总费用不超过 300 元，购得的原料总重量不少于 120kg，其中 A 原料不得少于 60kg。间如何确定最佳采购方案，花最少的钱，采 购最多数量的原料。 设 A、B 两种原料分别采购 x1 、 x2 kg，那么总的花费为： f1 x 2x1 1.5x2 购得的原料总量为： f2 x x1 x2 那么我们求解的目标即是使得花最少的钱买最多的原料，即最小化 f x 的同时
1
极大化 f x 。
2
多目标规划问题的典型实例
同时要满足所花的总费用不得超过 300 元，原料的总重量不得少于 120kg，A 原料 不得少于 60kg，于是得到约束条件如下：
x1 x2 120
2x1 1.5x2 300
x1 60
又考虑到购买的数量必须要满足非负的条件，由于对 x 已经有相应的约束条件，故只
多目标规划问题的数学模型
上述问题可以归结为标准形式：
V-min F x gi x 0 (i 1, 2,..., m) s.t. hi x 0 (i 1, 2,..., l )
其中： x x1
x2
xn ； F x f1 x
关系，既无大于等于关系，也无小于等于关系。 例如我们首先直观的看一个多目标规划的图解实例。假设问题的目标为求函数
f1 和 f 2 的极小值如图所示。 就方案 A1 和 A2 来说， 有：f1 A1 f1 A2 且 f2 A1 f2 A2 ，
故无法确定优劣。而对于方案 A2 和 A3 而言，有： f1 A2 f1 A3 且 f2 A2 f2 A3 ；所 以显然 A2 比 A3 好。 对于方案 A1 和 A2 ，由于无法确定其优劣， 而且又没有比它们更好的其他方案，所 以它们就被称之为多目标规划问题的有效解 （或者非劣解） ，其余方案都称为劣解。所有 非劣解构成的集合称为非劣解集。
多目标规划问题的发展
多目标规划法（Goal Programming，简称GP）也是最优化理论和方法中的一个 重要分支，它是在线性规划的基础上，为解决多目标决策问题而发展起来的一 种数学方法。其概念和数学模型是由A.Charnes和W.W.Cooper在1961年提出的， 经过Ijiri,Sang.M.Lee等人的改进，并逐步发展和成熟，它在经济管理与规划、 人力资源管理、政府管理、大型工程的最优化等重要问题上都有广泛的应用。
* * 如图(b)所示， Rwe a, b ， Re c, d
*
f x
f x
f1 x f 2 x
f1 x
f2 x
* Re a, b
O
a
a
b
x
O
a
c
b
d
b
x
多目标规划的解集
解集之间的关系
p * i
* R ，则 R Ri (1) 若 i 1 i 1 * ab
多目标规划问题的典型实例
假设该厂每周生产三种产品的小时数分别为 x1 , x2 , x3 ，则我们根据各种产品的单位 利润得到其总利润 f1 x 为：
f1 x 500x1 400x2 600x3
根据各个产品的生产效率，可得生产 A1、A2 和 A3 的生产数量分别为：
qA1 20x1, qA2 25x2 , qA3 15x3
qA1 20x1 700; qA2 25x2 800; qA3 15x3 500
同时考虑到生产时间的非负性，总结得到该问题的数学模型为：
max min s.t.
f1 x 500 x1 400 x2 600 x3 f 2 x 0.48 x1 0.65 x2 0.42 x3 x1 x2 x3 40 0.48 x1 0.65 x2 0.42 x3 20 20 x1 700 25 x2 800 15 x3 500 x1 , x2 , x3 0
f x
f1 x
f x
f 2 x f1 x
f2 x
* Rab a, b
O
x* a
x
O
a b b
x
多目标规划问题的的绝对最优解一般情况下是不存在的。 事实上， 如果把多目标 规划中的每个目标函数看成是单目标规划问题的目标函数，即我们分别考虑 p 个单 目标规划问题： min fi x , x R, i 1,2,..., n ，那么这 p 个单目标规划问题的公共最优 解才是多目标规划问题的的绝对最优解。如果这 p 个单目标规划问题没有公共的最 优解，则多目标规划问题就没有绝对最优解。
多目标规划问题的典型实例
例3 生产计划问题
某工厂生产 A1、 A2 和 A3 三种产品以满足市场的需要， 该厂每周生产的时间为 40h， 且规定每周的能耗都不得超过 20t 标准煤，其数据表如表 8-1 所示。现在的问题时， 每周生产三种产品各多少小时，才能使得该厂的利润最多，而能源消耗最少？ 产品生产销售数据表 产品 生产效率 （m/h） A1 A2 A3 20 25 15 利润 （元/m） 500 400 600 最大销量 （m/周） 700 800 500 能耗 （t/1000m） 24 26 28
故在生产过程中产生的能耗可以表达为：
f 2 x 24 103 20 x1 26 103 25 x2 28 103 15 x3 0.48 x1 0.65 x2 0.42 x3
那么根据最优化问题的目标，我们需要使得才利润最多且能耗最少，即在极大化
f1 x 的同时极小化 f2 x 。
多目标规划的象集
考虑多目标规划问题：
V-min F x (8-3) s.t. g x 0 ( i 1, 2,..., m ) i
则其可行域为： 则根据上述模型， 我们任意给定一个可行解 x R ， 则其对应的目标函数值 F x 是一个 p 维的向量。即有 x R Rn ， F x [ f1 x
多目标规划问题域线性规划和非线性规划问题的主要区别就在于， 它所追求的 目标不止一个，而是多个。
多目标规划问题的数学模型
目标规范化
由于许多实际问题中，各个目标的量纲一般都是不同的，所以有必要将每个目标 事先进行规范化，例如，对第 j 个带量纲的目标 Fj x ，我们可令：
f j x
1 2
x x ，故若要使得重量最轻，实际上目标即为横截面积最小，又要强度最大，故目 量1 6
2 1 2
标为截面矩量最大，于是容易列出如下数学模型：
min max
f1 x x1 x2 1 2 x1 x2 6 2 x12 x2 1 f2 x x1 , x2 0
其中：
Fj x Fj
Fj min Fj x
xR
R x | gi x 0, i 1,2,..., m; hi x 0, i 1,2,..., l
这样 f j x 就是规范化的目标了，在以后的叙述中，不妨假设多目标规划问题中 的目标均已规范化。
1
需添加对 x 的非负约束即可。
2
综合以上分析，得到最优化数学模型如下：
min f1 x 2 x1 1.5 x2 max f 2 x x1 x2 x1 x2 120 2 x1 1.5 x2 300 x1 60 x2 0
O
f2 A5 A4 A1 A3 A2 f1 A6 A7
多目标规划的解集
绝对最优解
* * 设 x* R ，如果对于 x R 均有 F x F x ，则称 x 为多目标规划问题的绝对最
*
优解。多目标规划问题的绝对最优解的全体可以记为行比较的。下图为当 n 1, p 2 时绝对最优解的示意图。
p
* * (2) Re Rwe R
* * (3) Ri Rwe (i 1, 2,..., p)
* * (4) Rab Re
* * R R ， Ri* Re Rab (5) 若 R ，则 i 1 i 1
* ab
p
* i
* we
p
* * (6) 若 F x 中每个 fi x 都是严格凸函数， R 是凸集，则 Re Rwe
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多目标规划实例
多目标规划实例简介多目标规划是一种决策方法，它可以帮助人们在多个目标之间做出权衡和平衡。
在实际问题中，通常会有多个相互关联的目标需要同时考虑，而单目标规划无法满足这种需求。
多目标规划通过建立多个目标函数和约束条件之间的优化问题，从中寻找一个解集，该解集包含了一系列近似最优的解，这些解通常被称为 Pareto 最优解。
在本文中，我们将介绍一个实际的多目标规划问题，并使用 Markdown 文本格式展示其模型、目标函数和约束条件。
实例描述假设我们是一家电子产品制造公司，我们要生产两种类型的电子产品：手机和平板电脑。
我们有两个主要的目标：最大化销售额和最小化生产成本。
我们需要找到一个生产计划，使得销售额最大化同时生产成本最小化。
模型我们假设我们可以生产的手机数量为 x，平板电脑数量为 y。
我们使用以下模型描述我们的多目标规划问题：•目标函数 1：最大化销售额–销售额 = 销售价格 × 销售数量–销售价格：手机价格为 P1，平板电脑价格为 P2–销售数量：手机数量为 x，平板电脑数量为 y•目标函数 2：最小化生产成本–生产成本 = 生产成本1 + 生产成本2–生产成本1：生产一个手机的成本为C1–生产成本2：生产一个平板电脑的成本为 C2•约束条件–生产产能限制：手机数量加平板电脑数量不能超过产能上限 N–非负约束：手机数量和平板电脑数量不能为负数目标函数和约束条件根据上述模型，我们可以得到以下目标函数和约束条件。
目标函数 1：最大化销售额Maximize: P1 * x + P2 * y目标函数 2：最小化生产成本Minimize: C1 * x + C2 * y约束条件x + y <= Nx >= 0y >= 0结论多目标规划是一种强大的决策方法，可以帮助我们在多个目标之间做出权衡和平衡。
在本文中，我们介绍了一个实际的多目标规划问题，以及该问题的模型、目标函数和约束条件。
多目标规划建模-数学建模
对于上述模型的三个目标，工厂 确定利润最大为主要目标。另两 个目标则通过预测预先给定的希 望达到的目标值转化为约束条件。 经研究，工厂认为总产值至少应 达到20000个单位，而污染控制 在90个单位以下，即
f 2 ( X ) 400 x1 600 x2 20000 f 3 ( X ) 3x1 2 x2 90
400 x1 600 x 2 20000 3 x 2 x 90 2 1 9 x1 4 x 2 240 4 x1 5 x 2 200 3 x1 10 x 2 300 x1 , x 2 0
由主要目标法化为单目标问题 max f1 ( X ) 70 x1 120 x 2 用单纯形法求得其最优解为
x1 12.5, x 2 26.25, f1 ( x) 4025, f 2 ( x) 20750, f 3 ( x) 90
（5）线性加权和目标规划
optF ( X ) ( f1 ( X ), f 2 ( X ),...., f p ( X )) T s.t. g i ( X ) 0 hj (X ) 0
X ( x1 , x2 ,...., xn ) 为决策变量
如对于求极大(max)型，其各种解定义如下：
绝对最优解：若对于任意的X，都有F（X*）≥F(X) 有效解：若不存在X，使得F（X*） ≤ F(X) 弱有效解：若不存在X，使得F（X*)<F(X)
2、多目标优选问题的模型结构 可用效用函数来表示。设方案的效用是目标属性 的函数：
多目标规划问题的求解
化多目标问题为单目标问题的方法大致可分为两类,
一类是转化为一个单目标问题,另一类是转化为多个 单目标问题,关键是如何转化. 下面,我们介绍几种主要的转化方法:主要目标
多目标规划应用实例
02
投资者需要在满足一定风险承 受能力的前提下，最大化投资 组合的预期收益，同时考虑市 场波动、政策风险等因素。
03
投资决策问题需要考虑多个目 标之间的权衡和折中，以实现 整体最优。
目标函数
收益最大化
投资者希望获得尽可能高的投资回报率，通 常以预期收益率作为目标函数。
风险最小化
投资者希望将投资风险降至最低，通常以方 差或标准差作为目标函数。
城市发展需满足环境保护的相关法律法规和标准。
3
3. 资源利用约束
城市发展需遵循资源利用的可持续性原则。
求解方法与结果分析
• 多目标规划问题通常采用权重法、目标规 划法、遗传算法等求解方法进行求解。通 过对不同方案进行比较和评估，可以得出 最优解或满意解。在城市规划与交通管理 中，多目标规划的应用可以帮助决策者全 面考虑各种因素，制定出更加科学、合理 的城市规划方案，提高城市运行效率，促 进城市的可持续发展。
多目标规划能够为决策者提供一个 系统的方法来权衡和比较不同目标 之间的优劣，从而提高决策的科学 性和合理性。
折衷与平衡
多目标规划可以帮助决策者在多个 目标之间找到一个相对最优的折衷 方案，实现不同目标之间的平衡发 展。
多目标规划的方法与步骤
方法
多目标规划常用的方法包括层次分析 法、多属性决策分析、数据包络分析 等。
问题描述
目标函数
• 目标函数包括两个部分：最小化生产成本 和运输成本。生产成本由各个工厂的生产 费用决定，运输成本则取决于各个工厂之 间的运输距离和运输量。
约束条件
• 约束条件包括：各个工厂的生产能力限制、市场需求量限制以及产品种类限制等。这些约束条件确保了生产计 划的可实施性和有效性。
第二章 多目标规划
* pa * ab * i * wp i 1 i 1 p p * i
§2
多目标规划模型及其解的概念
Tianjin University
多目标规划——解的关系 例1 下图中，R1*=｛x1｝，R2*=｛x2｝，
R
* pa
R
f
* wp
x1 , x2
f1(x) f2(x)
0
x1 Rpa*
§3 多目标规划的解法
定理6 问题 ( p ) min h[ F ( X )]
X R
Tianjin University
若h( F )为定义在E p上的严格单调函数， X 为规划
的最优解，则 X R* pa。 证：用反证法。若 X R* pa，则存在Y R，有F (Y ) F ( X )， 由h( F )的严格单调性，有 h[ F (Y )] <h[ F ( X )] 这与 X 为问题( p )的最优解矛盾，故 X R* pa。 定理7 若h( F )为定义在E p上的单调函数， X 为规划问题 ( p ) min h[ F ( X )]
n
§2
多目标规划模型及其解的概念
Tianjin University
目标函数：何为最佳的经济效益？ （1）收益最大：
n
max f 1 ( x1 , , x n ) bi x i
i 1 n
（2）投资最少：
min f 2 ( x1 , , x n ) a i x i
i 1
多目标0-1规划问题
§2
多目标规划模型及其解的概念
Tianjin University
二、多目标规划的模型
决策变量：x1 , , x n 目标函数：min f 1 ( x1 , , x n ) …
§2
多目标规划模型及其解的概念
Tianjin University
多目标规划——解的关系 例1 下图中，R1*=｛x1｝，R2*=｛x2｝，
R
* pa
R
f
* wp
x1 , x2
f1(x) f2(x)
0
x1 Rpa*
§3 多目标规划的解法
定理6 问题 ( p ) min h[ F ( X )]
X R
Tianjin University
若h( F )为定义在E p上的严格单调函数， X 为规划
的最优解，则 X R* pa。 证：用反证法。若 X R* pa，则存在Y R，有F (Y ) F ( X )， 由h( F )的严格单调性，有 h[ F (Y )] <h[ F ( X )] 这与 X 为问题( p )的最优解矛盾，故 X R* pa。 定理7 若h( F )为定义在E p上的单调函数， X 为规划问题 ( p ) min h[ F ( X )]
n
§2
多目标规划模型及其解的概念
Tianjin University
目标函数：何为最佳的经济效益？ （1）收益最大：
n
max f 1 ( x1 , , x n ) bi x i
i 1 n
（2）投资最少：
min f 2 ( x1 , , x n ) a i x i
i 1
多目标0-1规划问题
§2
多目标规划模型及其解的概念
Tianjin University
二、多目标规划的模型
决策变量：x1 , , x n 目标函数：min f 1 ( x1 , , x n ) …
《多目标规划实例》课件
PART 02
多目标规划的基本概念
REPORTING
目标函数
01
目标函数是用来衡量规划方案效果的数学表达式， 通常表示为决策变量的函数。
02
在多目标规划中，目标函数可能不止一个，每个目 标函数代表一个需要优化的目标。
03
目标函数的值可以是最大化或最小化的，具体取决 于问题的要求。
约束条件
01 约束条件是限制决策变量取值范围的规则或条件 。
混合智能算法
结合人工智能、机器学习等先进技术，开发混合智能算法，提高多 目标规划的自动化和智能化水平。
扩展应用领域
多目标规划的应用领域将进一步扩大，涵盖经济、工程、环境、社 会等更多领域，为解决实际问题提供更多思路和方法。
如何更好地应用多目标规划解决实际问题
强化理论支撑
深入研究多目标规划的基本理论，提高其理论水平和科学性，为实际应用提供更有力的理论支撑。
总结词
资源分配问题是一个多目标规划的经典问题，旨在合理分配有限资源以达到多 个目标最优。
详细描述
资源分配问题通常涉及多个相互冲突的目标，如最大化效益、最小化成本、确 保资源公平分配等。通过多目标规划方法，可以找到一种权衡方案，使得各个 目标在不同程度上得到优化。
实例二：生产计划问题
总结词
生产计划问题是多目标规划在制造业中的实际应用，旨在平衡生产成本、交货期和产品质量等多个目 标。
解释
在多目标规划中，决策者需要权衡多 个目标之间的利益关系，并找到一个 平衡点，使得所有目标都能得到相对 最优的解。
多目标规划的重要性
解决现实问题
多目标规划能够解决许多现实问题， 如资源分配、项目评估等，这些问题 通常涉及到多个相互冲突的目标。
多目标规划的基本概念
REPORTING
目标函数
01
目标函数是用来衡量规划方案效果的数学表达式， 通常表示为决策变量的函数。
02
在多目标规划中，目标函数可能不止一个，每个目 标函数代表一个需要优化的目标。
03
目标函数的值可以是最大化或最小化的，具体取决 于问题的要求。
约束条件
01 约束条件是限制决策变量取值范围的规则或条件 。
混合智能算法
结合人工智能、机器学习等先进技术，开发混合智能算法，提高多 目标规划的自动化和智能化水平。
扩展应用领域
多目标规划的应用领域将进一步扩大，涵盖经济、工程、环境、社 会等更多领域，为解决实际问题提供更多思路和方法。
如何更好地应用多目标规划解决实际问题
强化理论支撑
深入研究多目标规划的基本理论，提高其理论水平和科学性，为实际应用提供更有力的理论支撑。
总结词
资源分配问题是一个多目标规划的经典问题，旨在合理分配有限资源以达到多 个目标最优。
详细描述
资源分配问题通常涉及多个相互冲突的目标，如最大化效益、最小化成本、确 保资源公平分配等。通过多目标规划方法，可以找到一种权衡方案，使得各个 目标在不同程度上得到优化。
实例二：生产计划问题
总结词
生产计划问题是多目标规划在制造业中的实际应用，旨在平衡生产成本、交货期和产品质量等多个目 标。
解释
在多目标规划中，决策者需要权衡多 个目标之间的利益关系，并找到一个 平衡点，使得所有目标都能得到相对 最优的解。
多目标规划的重要性
解决现实问题
多目标规划能够解决许多现实问题， 如资源分配、项目评估等，这些问题 通常涉及到多个相互冲突的目标。
多目标规划
这是具有两个目标的非线性规划问题。
由以上实例可见，多目标最优化模型与单目标
最优化模型的区别主要是目标多于一个。在这些目 标中，有的是追求极大化，有的是追求极小化，而 极大化与极小化是可以相互转化的。因此，我们不 难将多目标最优化模型统一成一般形式：
决策变量：x1，……，xn 目标函数：minf1(x1，……，xn)
甲级糖数量最大。
那么这种先在第1优先层次极小化总花费， 然后在此基础上再在第2优先层次同等的极大化 糖的总数量和甲级糖的问题，就是所谓分层多目 标最优化问题。可将其目标函数表示为：
L-min{P1[f1(X)]，P2[f2(X)，f3(X)]} 其中P1，P2是优先层次的记号，L-min表示 按优先层次序进行极小化。 下面，我们来看一个建立分层多目标最优化 模型的例子
……………… minfp(x1，……，xn)
若记X= (x1，……，xn)，V-min表示对向量F(X)=[f1(X)， ……，fp(X)]T中的各目标函数f1(X)，……，fp(X)同等的进行 极小化。R={X|gi(X)≥0，i=1，……，m}表示约束集。
则模型一般式也可简记为
这里(VMP)为向量数学规划(Vector Mathematical Programming)的简写。
多目标决策方法是现代管理科学的重要内容，也是系统
分析的基本工具。按照决策变量是连续的还是离散的，多目 标决策可以分为多目标规划决策(Multiple Objective Decision Making)和多准则决策(Multiple Attribute Decision Making)两大类，前者是以数学规划的形式呈现的决策问题， 后者则是已知各个方案及它产生的结局向量，由此选择最优 方案的决策。
多目标规划(运筹学
环境与资源管理
资源利用
多目标规划可用于资源利用优化，以最 大化资源利用效率、最小化资源浪费为 目标，同时考虑环境保护、可持续发展 等因素。
VS
环境污染控制
多目标规划可以应用于环境污染控制，以 最小化污染排放、最大化环境质量为目标 ，同时考虑经济成本、技术可行性等因素 。
城市规划与交通管理
城市布局
发展更高级的建模语言和工具， 以简化多目标规划问题的描述和 求解过程。
求解算法
02
03
混合整数规划
研究更高效的求解算法，以处理 大规模、高维度的多目标规划问 题。
研究如何将连续变量和离散变量 有效地结合在多目标规划问题中， 以解决更广泛的优化问题。
数据驱动的多目标优化
数据驱动决策
利用大数据和机器学习技术，从大量数据中提取有用的信息，以 支持多目标决策过程。
案例二：投资组合优化
总结词
投资组合优化是多目标规划在金融领域的应 用，旨在实现投资组合的风险和回报之间的 最佳平衡。
详细描述
在投资组合优化中，投资者需要权衡风险和 回报两个目标。多目标规划方法可以帮助投 资者找到一个最优的投资组合，该组合在给 定风险水平下能够获得最大的回报，或者在 给定回报水平下能够实现最小的风险。通过 考虑多个目标，多目标规划可以帮助投资者 避免过度依赖单一目标而导致的潜在风险。
在多目标规划中，约束条件可能包括资源限制、时间限制、技术限制等，需要综合考虑各种因素来制 定合理的约束条件。
决策变量
决策变量是规划方案中需要确定的参 数，其取值范围和类型根据问题的实 际情况而定。
在多目标规划中，决策变量可能包括 投资规模、生产能力、产品种类等， 需要合理选择和定义决策变量，以便 更好地描述问题。
多目标规划ppt
多目标规划问题的典型实例
例1 木梁设计问题
用直径为 1（单位长）的圆木制成截面为矩形的梁。为使重量最轻面强度最大， 问截面的宽和高应取何尺寸？ 假设矩形截面的宽和高分别为 x1 和 x2 ，那么根据几何知识可得：
2 x12 + x2 = 1
且此时木梁的截面面积为 x x 。同时根据材料力规划的解集
绝对最优解
* * 设 x* ∈ R ，如果对于 ∀x ∈ R 均有 F ( x ) ≤ F ( x ) ，则称 x 为多目标规划问题的绝对最
*
优解。多目标规划问题的绝对最优解的全体可以记为 Rab ，其含义为：该最优解与 任意一个可行解都是可以进行比较的。下图为当 n = 1, p = 2 时绝对最优解的示意图。
以显然 A2 比 A3 好。 对于方案 A1 和 A2 ，由于无法确定其优劣， 而且又没有比它们更好的其他方案，所 以它们就被称之为多目标规划问题的有效解 有效解 （或者非劣解） ，其余方案都称为劣解。所有 非劣解构成的集合称为非劣解集 非劣解集。 非劣解集
O
f2 A5 A4 A1 A3 A2 f1 A6 A7
x2 L xn ] ； F ( x ) = f1 ( x )
T
f2 ( x ) L
f p ( x ) , p ≥ 2
对向量形式的 p 个目标函数求最小，且目标函数 F ( x ) 和约束函数 gi ( x ) 、hi ( x ) 可以 是线性函数也可以是非线性函数。
令 R = {x | gi ( x ) ≤ 0, i = 1, 2,..., m} ，则称 R 为问题的可行域，V-min F ( x ) 指的是
多目标规划问题的典型实例
例2 工厂采购问题
某工厂需要采购某种生产原料，该原料市场上有 A 和 B 两种，单价分别为 2 元/kg 和 1.5 元/kg。现要求所花的总费用不超过 300 元，购得的原料总重量不少于 120kg，其中 A 原料不得少于 60kg。间如何确定最佳采购方案，花最少的钱，采 购最多数量的原料。 设 A、B 两种原料分别采购 x1 、 x2 kg，那么总的花费为： f1 ( x ) = 2 x1 + 1.5 x2 购得的原料总量为： f 2 ( x ) = x1 + x2 那么我们求解的目标即是使得花最少的钱买最多的原料，即最小化 f ( x ) 的同时
多目标规划及案例
• 以学分最多为目标， 不管课程多少。
最优解显然是选修所 有9门课程 。
多目标规划
• 在课程最少的前提下 以学分最多为目标。
课号
课名
学分
∗1 ∗
微积分
5
∗2 ∗
线性代数
4
∗ 3 ∗ 最优化方法
4
4
数据结构
3
5∗
应用统计
4
∗6
计算机模拟
3
∗ 7 ∗ 计算机编程
2
8
预测理论
2
∗9 ∗
数学实验
3
9
增加约束 ∑ xi = 6 ， i =1
A/(h/件)
22
12
B/(h/件)
40
16
C/(h/件)
05
15
赢利/(元/件) 200 300
问该企业应如何安排生产，使得在计划期内 总利润最大？
1. 线性规划建模
该例是一个线性规划问题，直接考虑它的线性规划模型
设甲、乙产品的产量分别为x1, x2,建立线性规划模型：
Max z = 200 x1 + 300 x 2 ;
s. t. 2x1 + 2x2 ≤12,
4x1 ≤16,
5x2 ≤15,
x1, x2 ≥ 0.
用Lindo或Lingo软件求解,得到最优
解
x1 = 3, x2 = 3, z* = 1500.
2. 目标规划建模
若在上例中，企业的经营目标不仅要考
Max
s. t.
z = 200 x 1 + 300 x 2 ;
⎪⎧min{d −}; ⎪⎩⎨200x1 + 300x2 + d − − d + = 1500.
多目标规划
该问题是一个线性多目标规划问题。如 果计划决策变量用 x1和 x 2 表示，它们分别代 表A、B产品每月的生产量（单位：t）； f1 ( x1 , x2 ) 表示生产A、B两种产品的总投资费 f 用（单位：元）； 2 ( x1 , x2 ) 表示生产A、B两种 产品获得的总利润（单位：元）。那么，该 多目标规划问题就是：求 x1和 x 2 ，使：
（6.2.1） 6.2.1） （6.2.2） 6.2.2）
ψ 是与各目标函数相关的效用函数的和函数。
在用效用函数作为规划目标时，需要确 定一组权值 λi 来反映原问题中各目标函数 在总体目标中的权重，即：
max ψ = ∑ λ iψ i
k
Φi ( x1 , x2 ,Lxn ) ≤ g i (i = 1,2,L, m)
i =1
式中，诸 λi 应满足： ∑ λi i =1 若采用向量与矩阵
k
=1
max ψ = λ T ψ
Φ(X ) ≤ G
二、罚款模型
规划决策者对每一个目标函数都能提出所期 望的值（或称满意值）； 通过比较实际值 f i 与期望值 f i ∗ 之间的偏差 来选择问题的解，其数学表达式如下：
min Z = ∑ ai ( f i − f i ∗ ) 2
第三节 多目标规划应用实例
一、生产计划问题 二、投资问题
一、生产计划问题
某企业拟生产A和B两种产品，其生产 投资费用分别为2100元/t和4800元/t。A、 B两种产品的利润分别为3600元/t和6500元 /t。A、B产品每月的最大生产能力分别为 5t和8t；市场对这两种产品总量的需求每 月不少于9t。试问该企业应该如何安排生 产计划，才能既能满足市场需求，又节约 投资，而且使生产利润达到最大?