七年级数学思维拓展训练
(完整word)七年级数学思维拓展训练校本教材
七年级上数学思维拓展训练第一章兴趣数学七桥问题（一笔画问题）18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，那里有七座桥。
如图1所示：河中的小岛A与河的左岸B、右岸C各有两座桥相连结，河中两支流间的陆地D与A、B、C各有一座桥相连结。
当时哥尼斯堡的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题。
七桥问题引起了著名数学家欧拉（1707—1783）的关注。
他把具体七桥布局化归为图所示的简单图形，于是，七桥问题就变成一个一笔画问题：怎样才能从A、B、C、D中的某一点出发，一笔画出这个简单图形（即笔不离开纸，而且a、b、c、d、e、f、g各条线只画一次不准重复），并且最后返回起点？欧拉经过研究得出的结论是：图是不能一笔画出的图形。
这就是说，七桥问题是无解的。
这个结论是如何产生呢？如果我们从某点出发，一笔画出了某个图形，到某一点终止，那么除起点和终点外，画笔每经过一个点一次，总有画进该点的一条线和画出该点的一条线，因此就有两条线与该点相连结。
如果画笔经过一个n次，那么就有2n条线与该点相连结。
因此，这个图形中除起点与终点外的各点，都与偶数条线相连。
如果起点和终点重合，那么这个点也与偶数条线相连；如果起点和终点是不同的两个点，那么这两个点部是与奇数条线相连的点。
综上所述，一笔画出的图形中的各点或者都是与偶数条线相连的点，或者其中只有两个点与奇数条线相连。
图2中的A点与5条线相连结，B、C、D各点各与3条线相连结，图中有4个与奇数条线相连的点，所以不论是否要求起点与终点重合，都不能一笔画出这个图形。
欧拉定理：如果一个图是连通的并且奇顶点的个数等于0或2，那么它可以一笔画出；否则它不可以一笔画出。
一笔画：■⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。
画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
■⒉凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。
七年级数学思维训练
顺序；第二步是进行新课。在新课的教学过程中可分两步走：第一步是进行同 级运算的练习；第二步是进行不同级运算的练习。在讲完运算顺序后可出示一 些同级运算的题目让学生练习；接着出示一些不同级运算的题目让学生练习； 最后出示一些容易
发生错误的题目让学生练习。通过以上练习使学生比较顺利地完成由旧知识向 新知识的转化。
五、存在的不足和今后努力的方 向
本学期我虽然很努力但仍有不足之处：一是教学方法不够灵活多样；二是对学 困生的辅导不够及时；三是对学困生的转化工作做得还不够扎实。在今后的工 作中我将继续努力探索适合学生的教学方法提高学生的学习水平并不断完善自 己的教学方法提高
自己的教学水平。同时也要加强对自己学困生的辅导并做好辅导记录争取不让 一个学生掉队！
七年级数学思维训练
目录
01 一、要善于调动学生 思维的积极性
03
三、要善于培养学生 思维的灵活性
02
二、要善于抓住学生 思维的转折点
04 参考内容
一、要善于调动学生思维的积极 性
根据七年级学生年龄、认知、心理等特点，正确组织教学活动，调动学生思维 的积极性、主动性是七年级搞好数学思维训练的前提条件之一。调动学生思维 积极性的常用方法有：
3、群体互动，促进思维。
课堂教学中师生、生生之间的互动活动是搞好数学思维训练的重要形式之一。 由于七年级学生好动、好奇、好胜心强等特点，可采用分组讨论、说悄悄话、 你问我答等多种形式组织教学，使课堂气氛轻松愉快，学生思维积极活跃。例 如：人教版七年级
上册“有理数的乘方”一节，在讲完乘方的概念后，为了使学生理解乘方的意 义，可让学生4人一组进行讨论：“你能不能举出几个具体的例子说明a2表示 什么意思？”这时课堂气氛十分活跃，每个学生都积极思考、互相讨论。待学 生举出很多实例后，教
七年级数学思维拓展训练
七年级数学思维拓展训练（2）————有理数及其运算班级 姓名说明：本练习供学有余力的同学课外拓展选用，不作必做要求，相关解答到群文件下载。
一、精心选一选1．若a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，则a b cd +-的值 ( )A ．0B ．1C ．-1D ．22.算式22222222+++可化为（ ）A.42B. 82C. 28D. 1623.若0a <,a a +的值是（ ）A. 2aB. 0C. -2aD. a 4.若41x +表示一个整数，则整数x 可取值共有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个5.有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则下列结论错误的是（ ）A.0a b +<B.0ab <C.b a ->D.0a b -<6.如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ,且210d a -=，那么数轴的原点应是（ ）A. A 点B. B 点C. C 点D. D 点二.细心填一填7.a 是最大的负整数，b 是绝对值最小的有理数，则200820092007b a +=___________ 8.有理数a 等于它的倒数，有理数b 等于它的相反数，则20142013ab +=________ 9.将3(0.2)-，31.2和31.5-按从小到大的顺序排列起来 .10.四个互不相等的整数a 、b 、c 、d 满足9abcd =，那么a b c d +++的值为_______11.若0ab >，0bc <,则ac ____0（填“>”或“<”）12.在算式1﹣|﹣2□3|中的□里，填入运算符号 ，使得算式的值最小（在符号+，﹣，×，÷中选择一个）.三．耐心算一算13.计算:（1）11413()302365÷+-- （2）111112481664+++++14. 1111212=-⨯ 1112323=-⨯ 1113434=-⨯ (1) 145=⨯ 120032004=⨯ (2) 用含n 的式子表示你发现的规律(3) 依照上述方法计算：111113355720032005++++⨯⨯⨯⨯(4) 依照上述方法计算：1111144771020022005++++⨯⨯⨯⨯15．设三个互不相等的有理数，既可表示为1，a b +，a 的形式，又可表示为0，b a ，b 的形式，求a 、b 的值.16．如果有理数a 、b 、c 满足0a b c ++>，0abc <，当a b c x a b c =++时, 试求931920x +的值．。
七年级上数学思维拓展训练二：有理数与数轴的数形结合
a 例 3：三个互不相等的有理数，既可以表示为 1、a＋b、a 的形式，又可以表示为 0、 、b 的 b 形式，求 a2015－b2014 的值。（★字母表示数，有理数的运算）
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2014 年秋季
七年级（上）数学思维拓展训练
例 4：① 如图所示，在数轴上，点 A、B、C、D 所对应的数分别为 a、b、c、d，请比较大小： a＋c 离为 b＋d。 （★利用数轴比较数的大小） ② 在数轴上，点 A 到原点的距离为 3，点 B 到原点的距离为 5，那么 A、B 两点间的距 ；（★数轴上两点间的距离） ③ 在数轴上，点 A、B 分别表示－3.2 和 2.8，则线段 AB 的中点所表示的数是 （★数形结合，数轴上两点间的距离） 。
二、思维训练
例 1：① 将下列各数填入相应的集合内： （★有理数的定义和分类、常见的无理数） ·· 1 3 1，－3.5，2.1 4 5，2 ，0，－2，2014，3.1415，2π，－ ，1.21211211121111…，－100 3 2 正有理数集合：﹛ 无理数集合：﹛ ﹜
▪
﹜ 分数集合：﹛ 非负整数集合：﹛ ；0.243＝
例 8：在数轴上，找出所有的整数点 P，使得它到点 100 和点－100 的距离之差大于 20，距离 之和等于 200，求满足该条件的所有整数点的个数以及它们的和。 （★数轴问题）
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2014 年秋季
七年级（上）数学思维拓展训练
例9：利用数轴，比较有理数 a 与
1 的大小。 （★数形结合，分类讨论） a
5 9 17 33 65 129 13 例 5：① 计算： 2 4 8 16 32 64
1 1 ② 是否存在这样的两个数，它们的积与它们的和相等。如： 1 1 ，请再 2 2 另外写出三组这样的两个数。 （★有理数的特殊运算）
七年级数学思维训练(共10套)5(2)
七年级数学思维训练（共10套）（第一套）班级______________ 姓名_____________一、选择题：1．a 为任意自然数，包括a 在内的三个连续的自然数，可以表示为 （ ）A ．a －2，a －1，aB ．a －3，a －2，a －1C ．a ，a ＋1，a ＋2D ．不同于A 、B 、C 的形式二、计算题：（动动脑筋，可能会有简便的解题方法！）1．____________________56875=⨯2．____________2006200420022000...12108642=+-+-+-+-+-3．__________________8567785667855678=+++4．()()__________888...6428002...888488868888=++++-++++5．______________125.01712517125625.05.0171251753=⨯-⨯+⨯+ 6．______________12346123451234512345=÷ 7．_________________31313131=-+-8．_______________99163135115131=++++9．_____________20042004...200432004220041=++++10．_____________90197218561742163015201412136121=++++++++ 三、应用与创新：1．有一高楼，每上一层需要3分钟，每下一层需要1分30秒。
小贤于下午6时15分开始从最底层不断地向上走，到了最顶层后便立即往下走，中途没有停留，他在7时36分返回最底层。
这座高楼共有多少层？2．回答下列各题：（1）用1、2、3、4、5、6、7、8可组成多少个没有重复数字的五位数？（2）在15个连续自然数中最多有多少个质数？最少有多少个质数？（3）以下是一个数列，第一项是1，第二项是4，以后每一项是前两项相乘的积。
初中数学思维拓展题训练及答案
初中数学思维拓展题训练及答案一、选择题1、若一次函数y=kx+1与两坐标轴围成的三角形面积为3，则k 为（C ） A 、16 B 、-16 C 、±16 D 、±132、若11m n -=3，2322m mn nm mn n+---的值是（B ） A 、1.5 B 、35 C 、-2 D 、-753、判断下列真命题有（C ）①任意两个全等三角形可拼成平行四边形②两条对角线垂直且相等的四边形是正方形③四边形ABCD ，AB=BC=CD ，∠A=90°，那么它是正方形④在同一平面内，两条线段不相交就会平行⑤有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形 A 、②③ B 、①②④ C 、①⑤ D 、②③④4、如图，矩形ABCD 中,已知AB=5,AD=12,P 是AD 上的动点,PE ⊥AC ，E,PF ⊥BD 于F,则PE+PF=（B ） A 、5 B 、6013 C 、245 D 、55125、在直角坐标系中，已知两点A （-8，3）、B （-4，5）以及动点C （0，n ）、D(m,0)，则当四边形ABCD 的周长最小时，比值为 mn（B ）A 、-23B 、-32C 、-34D 、34二、填空题6、当x= 负数 时，||3x x -与3x x-互为倒数。
9、已知x 2-3x+1=0，求（x-1x ）2= 57、一个人要翻过两座山到另外一个村庄，途中的道路不是上山就是下山，已知他上山的速度为v ，下山的速度为v ′，单程的路程为s ．则这个人往返这个村庄的平均速度为 (2vv v v '+')8、将点A （4，0）绕着原点O 顺时针方向旋转30°角到对应点A '，则点A '的坐标是 (23,2)9、菱形ABCD 的一条对角线长为6，边AB 的长是方程(X-3)(X-4)=0的解，则菱形ABCD 的周长为 1610、△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 是△ABC 的中线，△CDB 内以CD 为边的等腰直角三角形周长是 （222AB +或122AB +）11235...11231511211321④③②①11. 如图，边长为6的菱形ABCD 中，∠DAB=60°，AE=BE ，F 是AC•上一动点，EF+BF 的最小值为 (33) 12、如图，边长为3的正方形ABCD 顺时针旋转30°，得上图，交DE 于D ’,阴影部分面积是 (933-)13、如图，已知四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ， 且∠AOD ＝90°，若BC ＝2AD ，AB ＝12，CD ＝9，四边形ABCD 的周长是 (215+)14、有这样一组数：1，1，2，3，5…，现以这组数据的数作为正方形边长的长度构造如下正方形；再分别从左到右取2个、3个、4个、5个正方形拼成如下矩形记为①、②、③、④.第⑩个矩形周长是 46615、如图，在直线y=-33x+1与x 轴、y 轴交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC ，∠BAC=90°，第二象限内有一点P （a,12 ）,且△ABP 的面积与△ABC 的面积相等，则a= (342-+) 三、解答题16、如图，已知矩形ABCD ，延长CB 到E ，使CE=CA ，连结AE 并取中点F ，连结AE 并取中点F ，连结BF 、DF ，求证BF ⊥DF 。
七年级(下)数学思维拓展训练试题附答案
图4 七（下）数学思维拓展训练时间：45分钟 分值：100分一、选择题（每小题5分，共25分）1.若n 为正整数，且x 2n =3，则(3x 3n )2－4(x 2)2n 的值为( ) （A ）207 （B ）36 （C ）45 （D ）217 2．一个长方形的长是2x 厘米，宽比长的一半少4厘米，若将长方形的长和宽都增加3厘米，则该长方形的面积增加为（ ）(A)9 （B ）2x 2+x －3 （C ）－7x －3 （D ）9x －3 3．若(x-5)·A= x 2+x+B ，则（ ）（A ）A=x+6，B=－30 （B ）A=x －6，B=30 （C ）A=x+4，B=－20 （D ）A=x －4，B=204.已知6141319,27,81===c b a ，则a ，b ，c 大小关系是（ ）（A ）a>c>b （B ）a>b>c （C ）a<b<c （D ）b>c>a5.如图1，直线MN//PQ ，OA ⊥OB ，∠BOQ=30︒.若以点O 为旋转中心，将射线OA 顺时针旋转60︒后，这时图中30︒的角的个数是 （ ）(A) 4个 (B) 3个 (C) 2个 (D) 1个二、填空题（每小题5分，共25分）6.用如图2所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为a+b 的正方形，需要B 类卡片_______张.7.如图3，AB ∥CD ，M 、N 分别在AB ，CD 上，P 为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3= ︒.8.如图4，一把矩形直尺沿直线断开并错位，点E 、D 、B 、F 在同一条直线上，若∠ADE ＝125︒, 则∠DBC= ︒.9.三个同学对问题“若方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩，求方程组111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 ． 10. 数学家发明了一个魔术盒，当任意数对()b a ,进入其中时，会得到一个新的数：图1O N M A B P Qa b图2 3 2 C P D 1B N A M 图3()()21--b a .现将数对()1,m 放入其中得到数n ，再将数对()m n ,放入其中后，如果最后得到的数是 .（结果要化简） 三、解答题（每小题10分，共50分）11.计算：(1+2+3+…+2013)(2+3+4+…+2012)－(1+2+3+…+2012) (2+3+4+…+2013)．12.图5是按一定规律排列的方程组集合和它解的集合的对应关系图，若方程组集合中的方程组自左至右依次记作方程组1、方程组2、方程组3、……方程组n ． （1）将方程组1的解填入图中；（2）请依据方程组和它的解变化的规律，将方程组n 和它的解直接填入集合图中； （3）若方程组⎩⎨⎧-=+1my x y x 的解是⎨⎧=10x ，求m 的值，并判断该方程组是否符合（2）中的规律？13.如图6，已知两组直线分别互相平行． （1）若∠1=115º，求∠2，∠3的度数；（2）题（1）中隐含着一个规律，请你根据（1）的结果进行归纳，试用文字表述出来； （3）利用（2）中的结论解答：如果两个角的两边分别平行，其中一个角是另一个角的2倍，求这两个角的大小．方程组图514.下面是某同学对多项式（x2－4x+2）（x2－4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2－4x=y．原式=(y+2) (y +6)+4 ①=y2+8y+16 ②=( y+4)2 ③=(x2－4x+4)2 ④回答下列问题：（1）该同学②到③运用了因式分解的_______.（A）提取公因式（B）平方差公式（C）两数和的完全平方公式（D）两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？________（填“彻底”或“不彻底”）；若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________．（3）请模仿以上方法对多项式（x2－2x）（x2－2x+2）+1进行因式分解．15．如下几个图形是五角星和它的变形．（1）图7中是一个五角星，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= º．（2）图7中的点A向下移到BE上时，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化？如图8，说明你的结论的正确性．（3）把图8中的点C向上移到BD上时，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠ACE +∠D+∠E）有参考答案 1~5.ADABA6.27.3608.559. 510x y =⎧⎨=⎩ 10. －m 2+2m11.设1+2+3+…+2012=a ，2+3+4+…+2012=b ，则a= b+1．(1+2+3+…+2013)(2+3+4+…+2012)－(1+2+3+…+2012) (2+3+4+…+2013)= (a+2013)b －a(b+2013)=ab+2013b －ab －2013a=2013b －2013a=2013b －2013(b+1)= 2013b －2013 b －2013=－2013．12.（1）直接消元可求出⎩⎨⎧==01y x ；（2）观察第一个方程都是x+y=1，第二个方程x 前面的系数都是1，而y 前面的系数应是－n ，常数项应是n 2，这样第二个方程应是x －ny= n 2，所以第n 个方程组为⎩⎨⎧=-=+21n ny x y x ．其解的规律是x 从1开始依次增1，y 从0开始依次减1，这样第n 个方程组的解为⎩⎨⎧-==n y n x 1；（3）把⎩⎨⎧-==9y 10x 代入方程x －my=16，得m=32．显然不符合(2)中的规律．13.（1）因为两组直线分别互相平行，所以由平行线的性质可得∠2=∠1=115º，∠3+∠2=180º，则∠3=180º－115º=65º；（2）如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补；（3）设其中的一个角为xº，则另一个角为2xº．因为xº+2xº=180º，所以x=60º．故这两个角分别为60º和120º． 14.（1）C（2）不彻底，( x －2)4（3）设x 2－2x=y ．原式=y (y +2)+1= y 2+2y+1=( y+1)2=(x 2－2x+1)2=( x －1)4 ． 15．（1）180º．（2）无变化．因为∠BAC=∠C+∠E ，∠EAD=∠B+∠D ，所以∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠BAC+∠CAD+∠EAD=180º．（3）无变化．因为∠ACB=∠CAD+∠D ，∠ECD=∠B+∠E ，所以∠CAD+∠B+∠ACE +∠D+∠E=∠ACB+∠ACE+∠ECD=180º．。
初中数学思维拓展训练
初中数学思维拓展训练数学是研究数量、结构、变化和空间等概念的一门学科。
它不仅是一门基础学科，也是一门应用广泛的学科。
在中学阶段，数学思维的培养尤为重要，它能够帮助学生提高逻辑思维能力、解决问题的能力，以及创新思维的能力。
主要学习内容初中数学的学习内容主要包括：有理数、整式、分式、方程、不等式、函数、几何等。
每个部分都有其独特的特点和难点，需要学生进行深入的学习和理解。
学习注意事项在学习数学的过程中，需要注意以下几点：1.注重基础：数学是一门循序渐进的学科，需要学生打好基础，才能进行更深入的学习。
2.多做练习：数学是一门需要通过大量练习来提高的学科，学生需要多做练习，才能掌握知识点。
3.培养逻辑思维：数学是一门逻辑性很强的学科，学生需要培养逻辑思维，才能更好地理解和应用数学知识。
主要学习方法和技巧方法一：理解概念在学习数学时，首先要理解概念。
理解概念需要从两个方面入手：一是理解概念的内涵，二是理解概念的外延。
理解概念的内涵，就是要理解概念的定义、性质、特点等；理解概念的外延，就是要了解概念的应用范围、相关知识点等。
方法二：多做练习多做练习是学习数学的重要方法。
通过多做练习，可以加深对知识点的理解，提高解题能力，培养逻辑思维。
在做练习时，需要注意以下几点：一是要注意时间管理，合理安排时间，提高效率；二是要注意错题整理，及时总结错误，避免重复犯错；三是要注意知识点梳理，及时复习巩固，提高记忆效果。
方法三：参与讨论参与讨论是学习数学的有效技巧。
通过参与讨论，可以与他人分享学习心得，互相启发，拓展思维。
在参与讨论时，需要注意以下几点：一是要积极发言，表达自己的观点，提高沟通能力；二是要虚心倾听，借鉴他人的经验，提高自己的学习能力；三是要注重团队协作，发挥集体智慧，提高解决问题的能力。
中考备考技巧1.制定学习计划：根据自己的实际情况，制定合理的学习计划，明确学习目标和进度。
2.分析历年中考题目：通过分析历年中考题目，了解中考题目的特点和趋势，有针对性地进行复习。
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C. C 点
D. D 点
二.细心填一填
7. a 是最大的负整数， b 是绝对值最小的有理数，则 a 2007 b 2009 =___________ 2008
8.有理数 a 等于它的倒数，有理数 b 等于它的相反数，则 a2014 b2013 =________
9.将 (0.2)3 ，1.23 和 1.53 按从小到大的顺序排列起来
七年级数学思维拓展训练（2）
————有理数及其运算
班级
姓名
说明：本练习供学有余力的同学课外拓展选用，不作必做要求，相关解答到群文件下载。
一、精心选一选
1．若 a 与 b 互为相反数，c 与 d 互为倒数，则 a b cd 的值 (
A．0
B．1
C．-1
2.算式 22 22 22 22 可化为（ ）
D. 6 个
）
b 1 0 a 1
A. a b 0
B. ab 0
C. b a
D. a b 0
6.如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距 1 个单位，点 A、B、C、D 对应的数分别是整数 a 、
b 、 c 、 d ,且 d 2a 10 ，那么数轴的原点应是（ ）
A. A 点
B. B 点
三．耐心算一算 13.计算:
（1） 1 (1 4 1 3) 30 2 3 6 5
（2） 1 1 1 1 1
2 4 8 16
64
14. 1 1 1 12 1 2
(1) 1 45
1 11 23 2 3
1 11 34 3 4
1
2003 2004
(2) 用含 n 的式子表示你发现的规律
.
10.四个互不相等的整数 a 、 b 、 c 、 d 满足 abcd 9 ，那么 a b c d 的值为_______
11.若 ab 0 ， bc 0 ,则 ac ____0（填“>”或“<”）
12.在算式 1﹣|﹣2□3|中的□里，填入运算符号 ÷中选择一个）.
，使得算式的值最小（在符号+，﹣，×，
) D．2
A. 24
B. 28
C. 82
D. 216
3.若 a 0 , a a 的值是（ ）
A. 2a
B. 0
C. -2a
4.若 4 表示一个整数，则整数 x 可取值共有（ ） x 1
A. 3 个
B. 4a 、 b 在数轴上的位置如图所示,则下列结论错误的是（
D. a
16．如果有理数 a、b、c 满足 a b c 0 ， abc 0 ，当 x a b c 时, abc
试求 93x 1920 的值．
(3) 依照上述方法计算： 1 1 1
1
13 35 57
2003 2005
(4) 依照上述方法计算： 1 1 1
1
1 4 4 7 7 10
2002 2005
15．设三个互不相等的有理数，既可表示为1 ， a b ， a 的形式，又可表示为 0 ， b ， b 的形式， a
求 a 、 b 的值.