高考学案：对数与对数函数

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高考数学一轮复习 2.8 对数与对数函数教案

2.8 对数与对数函数●知识梳理 1.对数（1）对数的定义：如果a b=N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b .（2）指数式与对数式的关系：a b=N ⇔log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）. 两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质:①log a （MN ）=log a M +log a N .②log aN M=log a M －log a N . ③log a M n=n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1）④对数换底公式：log b N =bNa a log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）.2.对数函数（1）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）. （2）对数函数的图象底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R . ③过点（1，0），即当x =1时，y =0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数. ●点击双基1.（2005年春季北京，2）函数f （x ）=|log 2x |的图象是解析：f （x ）=⎩⎨⎧<<-≥.10,log ,1,log 22x x x x答案：A2.（2004年春季北京）若f －1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －1（x ）的值域为___________________.解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域.由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________.解析：由0≤log 21（3－x ）≤1⇒log 211≤log 21（3－x ）≤log 2121⇒21≤3－x ≤1⇒2≤x ≤25.答案：［2，25］ 4.若log x 7y =z ，则x 、y 、z 之间满足 A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x解析：由log x 7y =z ⇒x z=7y ⇒x 7z=y ，即y =x 7z.答案：B5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则 A.a ＜b ＜c B.a ＜c ＜b C.b ＜a ＜c D.c ＜a ＜b 解析：∵1＜m ＜n ，∴0＜log n m ＜1.∴log n （log n m ）＜0. 答案：D ●典例剖析【例1】已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x则f （2+log 23）的值为A.31B.61C.121D.241剖析：∵3＜2+log 23＜4，3+log 23＞4，∴f （2+log 23）=f （3+log 23）=（21）3+log 23=241.答案：D【例2】求函数y ＝log 2｜x ｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间. 解：∵｜x ｜＞0，∴函数的定义域是｛x ｜x ∈R 且x ≠0｝.显然y ＝log 2｜x ｜是偶函数，它的图象关于y 轴对称.又知当x ＞0时，y ＝log 2｜x ｜⇔y ＝log 2x .故可画出y ＝log 2｜x ｜的图象如下图.由图象易见，其递减区间是（－∞，0），递增区间是（0，＋∞）.评述：研究函数的性质时，利用图象更直观.深化拓展已知y =log 21［a 2x+2（ab ）x －b 2x +1］（a 、b ∈R +），如何求使y 为负值的x 的取值范围?提示：要使y ＜0，必须a 2x +2（ab ）x －b 2x +1＞1，即a 2x +2（ab ）x －b 2x＞0. ∵b 2x＞0，∴（b a ）2x +2（b a ）x－1＞0. ∴（b a ）x ＞2－1或（b a ）x＜－2－1（舍去）.再分b a ＞1，b a =1，ba＜1三种情况进行讨论.答案：a ＞b ＞0时，x ＞log ba （2－1）；a =b ＞0时，x ∈R ；0＜a ＜b 时，x ＜log ba （2－1）.【例3】已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间.解：∵真数3－（x －1）2≤3，∴log 31［3－（x －1）2］≥log 313=－1，即f （x ）的值域是［－1，+∞）.又3－（x －1）2＞0，得1－3＜x ＜1+3，∴x ∈（1－3，1］时，3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；x ∈［1，1+3）时，f （x ）单调递增.特别提示讨论复合函数的单调性要注意定义域.●闯关训练夯实基础1.（2004年天津，5）若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于A.42 B.22 C.41 D.21 解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a .∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=－32.∴a =42.答案：A2.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于A. 21B.－21C.2D.－2解析：y =log 2|ax －1|=log 2|a （x －a 1）|，对称轴为x =a 1，由a 1=－2得a =－21.答案：B评述：此题还可用特殊值法解决，如利用f （0）=f （－4），可得0=log 2|－4a －1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=－1.∵a ≠0，∴a =－21.3.（2004年湖南，理3）设f －1（x ）是f （x ）=log 2（x +1）的反函数，若［1+ f－1（a ）］［1+ f －1（b ）］=8，则f （a +b ）的值为A.1B.2C.3D.log 23解析：∵f －1（x ）=2x －1，∴［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=2a ·2b =2a +b .由已知2a +b=8，∴a +b =3.答案：C4.（2004年春季上海）方程lg x +lg （x +3）=1的解x =___________________.解析：由lg x +lg （x +3）=1，得x （x +3）=10，x 2+3x －10=0. ∴x =－5或x =2. ∵x ＞0，∴x =2. 答案：25.已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围.解：∵a ＞0且a ≠1，∴t =3－ax 为减函数.依题意a ＞1，又t =3－ax 在［0，2］上应有t ＞0，∴3－2a ＞0.∴a ＜23.故1＜a ＜23. 6.设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小.解：f （x ）、g （x ）的公共定义域为（－1，1）. |f （x ）|－|g （x ）|=|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|.（1）当0＜x ＜1时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=－lg （1－x 2）＞0；（2）当x =0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=0；（3）当－1＜x ＜0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=lg （1－x 2）＜0.综上所述，当0＜x ＜1时，|f （x ）|＞|g （x ）|；当x =0时，|f （x ）|=|g （x ）|；当－1＜x ＜0时，|f （x ）|＜|g （x ）|.培养能力7.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，由此可排除A 、D.又由x →+∞时，f （x ）·g （x ）→－∞，可排除B. 答案：C8.若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ，∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b .由已知有log 22a －log 2a +b =b ，∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2.又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.故f （x ）=x 2－x +2，从而f （log 2x ）=log 22x －log 2x +2=（log 2x －21）2+47. ∴当log 2x =21即x =2时，f （log 2x ）有最小值47. （2）由题意⎪⎩⎪⎨⎧<+->+-2)2(log 22log log 22222x x x x ⇒⎩⎨⎧<<-<<>⇒21102x x x 或0＜x ＜1. 探究创新9.（2004年苏州市模拟题）已知函数f （x ）=3x+k （k 为常数），A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点.（1）求实数k 的值及函数f －1（x ）的解析式；（2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数y =g （x ）的图象，若2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，试求实数m 的取值范围.解：（1）∵A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点，∴B （2，－2k ）是函数y =f （x ）上的点.∴－2k =32+k .∴k =－3.∴f （x ）=3x －3.∴y = f －1（x ）=log 3（x +3）（x ＞－3）.（2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数y =g （x ）=log 3x （x ＞0），要使2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，即使2log 3（x +m ）－log 3x ≥1恒成立，所以有x +x m +2m ≥3在x ＞0时恒成立，只要（x +x m+2m ）min ≥3. 又x +x m ≥2m （当且仅当x =x m ，即x =m 时等号成立），∴（x +xm+2m ）min =4m ，即4m ≥3.∴m ≥169.●思悟小结1.对数的底数和真数应满足的条件是求解对数问题时必须予以特别重视的.2.比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型.在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较.3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用.●教师下载中心教学点睛1.本小节的重点是对数函数图象和性质的运用.由于对数函数与指数函数互为反函数，所以它们有许多类似的性质，掌握对数函数的性质时，与掌握指数函数的性质一样，也要结合图象理解和记忆.2.由于在对数式中真数必须大于0，底数必须大于零且不等于1，因此有关对数的问题已成了高考的热点内容.希望在讲解有关的例题时，要强化这方面的意识.拓展题例【例1】求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg 3)2(2--x x .又∵3)2(2--x x ＝3442-+-x x x ＝31)3(2)3(2-+-+-x x x ＝（x －3）＋31-x ＋2≥4，∴当x ＝4时，y min ＝lg4.【例2】（2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f （x 1）+f （x 2）］＜f （221x x +）成立的函数是A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x解析：由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 21为“上凸”的函数. 答案：A。

高三数学第一轮复习对数与对数函数教案文

对数与对数函数一、知识梳理：（阅读教材必修1第62页—第76页）1、对数与对数的运算性质（1）、一般地，如果 (a>0,且) 那么数x叫做以a为底的对数，记做x= ,其中a叫做对数的底，叫做对数的真数。

（2）、以10为底的对数叫做常用对数，并把记为lgN, 以e为底的对数称为自然对数，并把记为lnN.（3）、根据对数的定义，可以得到对数与指数和关系：（4）、零和负数没有对数； =1； =0；=N（5）、对数的运算性质：如果，M>0,N>0 ，那么=+==n（n）换底公式：=对数恒等式：=N2、对数函数与对数函数的性质（1）、一般地，我们把函数f(x)=)叫做对函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+。

（2）、对数函数的图象及性质图象的性质：①定义域②值域③单调性④奇偶性⑤周期性⑥特殊点⑦特殊线图象分a1 与a<1两种情况。

3、反函数：对数函数f(x)=)与指数函数f(x)=)互为反函数。

原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域。

互为反函数的图象在同一坐标系关于直线y=x 对称。

【关于反函数注意大纲的要求】二、题型探究探究一：对数的运算例1：（15年安徽文科）=-+-1)21(2lg 225lg 。

【答案】-1 【解析】试题分析：原式＝12122lg 5lg 2lg 22lg 5lg -=-=-+=-+- 考点：对数运算.例2：【2014辽宁高考】已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>例3：【2015高考浙江】若4log 3a =，则22a a-+= ．【答案】334.【考点定位】对数的计算探究二：对数函数及其性质例4：【2014江西高考】函数)ln()(2x x x f -=的定义域为（）A.)1,0(B. ]1,0[C. ),1()0,(+∞-∞D. ),1[]0,(+∞-∞例5：下列关系中，成立的是（A ）、lo>> (B) >> lo (C) lo> > (D) lo>探究三、应用对数函数的单调性解方程、不等式问题例7：【15年天津文科】已知定义在R 上的函数||()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（）(A) b c a << (B) b c a << (C) b a c << (D) b c a << 【答案】B 【解析】试题分析：由()f x 为偶函数得0m =,所以2,4,0a b c ===,故选B. 考点：1.函数奇偶性；2.对数运算.例8：【2014陕西高考】已知,lg ,24a x a==则x =________.三、方法提升：1、处理对数函数问题时要特别注意函数的定义域问题，尤其在大题中【最后的导数题】，一定要首先考虑函数的定义域，然后在定义域中研究问题，以避免忘记定义域出现错误；2、在2015年高考小题中，考察主要是针对对数的大小比较、指数与对数的关系，中档难度。

学案4：4.4.1　对数函数的概念~4.4.2　对数函数的图象和性质(一)

4.4.1对数函数的概念~4.4.2对数函数的图象和性质(一)学习目标核心素养1.理解对数函数的概念，会求对数函数的定义域．(重点、难点)2．能画出具体对数函数的图象，并能根据对数函数的图象说明对数函数的性质．(重点)1.通过学习对数函数的图象，培养直观想象素养．2．借助对数函数的定义域的求解，培养数学运算的素养.新知初探1．对数函数的概念函数y＝(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是．思考1：函数y＝2log3x，y＝log3(2x)是对数函数吗？2．对数函数的图象及性质a的范围0<a<1a>1图象定义域(0，＋∞)值域R性质定点，即x＝时，y＝单调性在(0，＋∞)上是在(0，＋∞)上是思考2：对数函数的“上升”或“下降”与谁有关？3．反函数指数函数(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数．初试身手1．函数y＝log a x的图象如图所示，则实数a的可能取值为()A ．5 B.15 C.1e D.122．若对数函数过点(4,2)，则其解析式为________． 3．函数f (x )＝log 2(x ＋1)的定义域为________．合作探究类型1 对数函数的概念及应用例1 (1)下列给出的函数：①y ＝log 5x ＋1； ②y ＝log a x 2(a >0，且a ≠1)；③y ＝log (3－1)x ；④y ＝13log 3x ；⑤y ＝log x 3(x >0，且x ≠1)；⑥y ＝log 2πx .其中是对数函数的为( )A ．③④⑤B ．②④⑥C ．①③⑤⑥D ．③⑥(2)若函数y ＝log (2a －1)x ＋(a 2－5a ＋4)是对数函数，则a ＝________. (3)已知对数函数的图象过点(16,4)，则f ⎝⎛⎭⎫12＝__________. 规律方法判断一个函数是对数函数的方法跟踪训练1．若函数f (x )＝(a 2＋a －5)log a x 是对数函数，则a ＝________. 类型2 对数函数的定义域例2 求下列函数的定义域： (1)f (x )＝1log 12x ＋1； (2)f (x )＝12－x＋ln(x ＋1)； (3)f (x )＝log (2x －1)(－4x ＋8)．规律方法求对数型函数的定义域时应遵循的原则(1)分母不能为0.(2)根指数为偶数时，被开方数非负.(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.提醒：定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.跟踪训练2．求下列函数的定义域：(1)f(x)＝lg(x－2)＋1x－3；(2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x)．类型3 对数函数的图象问题探究问题1．如图，曲线C1，C2，C3，C4分别对应y＝log a1x，y＝log a2x，y＝log a3x，y＝log a4x的图象，你能指出a1，a2，a3，a4以及1的大小关系吗？2．函数y＝a x与y＝log a x(a>0且a≠1)的图象有何特点？例3(1)当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝log a x的图象为()(2)已知f(x)＝log a|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．母题探究1．把本例(1)的条件“a>1”去掉，函数“y＝log a x”改为“y＝log a(－x)”，则函数y＝a－x与y＝log a(－x)的图象可能是()log2(x＋1)＋2，试作出其图象．2．把本例(2)改为f(x)＝||函数图象的变换规律(1)一般地，函数y＝f(x±a)＋b(a，b为实数)的图象是由函数y＝f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.一般地，y＝f(|x－a|)的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象在f(x)≥0的部分相同，在f(x)<0的部分关于x轴对称.课堂小结1．判断一个函数是不是对数函数关键是分析所给函数是否具有y＝log a x(a>0且a≠1)这种形式．2．在对数函数y ＝log a x 中，底数a 对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质．3．涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析.当堂达标1．思考辨析(1)对数函数的定义域为R .( )(2)函数y ＝log a (x ＋2)恒过定点(－1,0)．( ) (3)对数函数的图象一定在y 轴右侧．( ) (4)函数y ＝log 2x 与y ＝x 2互为反函数．( ) 2．下列函数是对数函数的是( ) A ．y ＝2＋log 3xB ．y ＝log a (2a )(a >0，且a ≠1)C ．y ＝log a x 2(a >0，且a ≠1)D ．y ＝ln x3．函数f (x )＝lg x ＋lg(5－3x )的定义域是( ) A.⎣⎡⎭⎫0，53 B.⎣⎡⎦⎤0，53 C.⎣⎡⎭⎫1，53 D.⎣⎡⎦⎤1，53 4．已知f (x )＝log 3x . (1)作出这个函数的图象；(2)若f (a )<f (2)，利用图象求a 的取值范围．参考答案新知初探1．log a x x (0，＋∞)思考1：提示：不是，其不符合对数函数的形式． 2．(1,0) 1 0 减函数增函数思考2：提示：底数a 与1的关系决定了对数函数的升降．当a >1时，对数函数的图象“上升”；当0<a <1时，对数函数的图象“下降”． 3．y ＝a x初试身手1．【答案】A【解析】由图可知，a >1，故选A. 2．【答案】f (x )＝log 2x【解析】设对数函数的解析式为f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)．由f (4)＝2得log a 4＝2，∴a ＝2，即f (x )＝log 2x .3．【答案】(－1，＋∞)【解析】由x ＋1>0得x >－1，故f (x )的定义域为(－1，＋∞)．合作探究类型1 对数函数的概念及应用例1 【答案】(1)D (2)4 (3)－1【解析】(1)由对数函数定义知，③⑥是对数函数，故选D. (2)因为函数y ＝log (2a －1)x ＋(a 2－5a ＋4)是对数函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1>0，2a －1≠1，a 2－5a ＋4＝0，解得a ＝4.(3)设对数函数为f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，由f (16)＝4可知log a 16＝4，∴a ＝2， ∴f (x )＝log 2x ， ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝log 212＝－1. 跟踪训练 1．【答案】2【解析】由a 2＋a －5＝1得a ＝－3或a ＝2. 又a >0且a ≠1，所以a ＝2. 类型2 对数函数的定义域例2 解：(1)要使函数f (x )有意义，则log 12x ＋1>0，即log 12x >－1，解得0<x <2，即函数f (x )的定义域为(0,2)．(2)函数式若有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，2－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x <2，解得－1<x <2，故函数的定义域为(－1,2)． (3)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋8>0，2x －1>0，2x －1≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x >12，x ≠1.故函数y ＝log (2x －1)(－4x ＋8)的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2，且x ≠1. 跟踪训练2．解：(1)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，x －3≠0，解得x >2且x ≠3，所以函数定义域为(2,3)∪(3，＋∞)． (2)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧16－4x >0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0或0<x <4，所以函数定义域为(－1,0)∪(0,4)．类型3 对数函数的图象问题探究问题1．提示：作直线y ＝1，它与各曲线C 1，C 2，C 3，C 4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有a 4>a 3>1>a 2>a 1>0. 2．提示：两函数的图象关于直线y ＝x 对称．例3 (1)【答案】C【解析】∵a >1，∴0<1a <1，∴y ＝a －x 是减函数，y ＝log a x 是增函数，故选C.(2)解：∵f (x )＝log a |x |，∴f (－5)＝log a 5＝1，即a ＝5， ∴f (x )＝log 5|x |，∴f (x )是偶函数，其图象如图所示．母题探究1．【答案】C【解析】∵在y ＝log a (－x )中，－x ＞0，∴x ＜0， ∴图象只能在y 轴的左侧，故排除A ，D ；当a ＞1时，y ＝log a (－x )是减函数，y ＝a －x ＝⎝⎛⎭⎫1a x是减函数，故排除B ；当0＜a ＜1时，y ＝log a (－x )是增函数，y ＝a －x ＝⎝⎛⎭⎫1a x是增函数，∴C 满足条件，故选C.] 2．解：第一步：作y ＝log 2x 的图象，如图(1)所示．(1) (2)第二步：将y ＝log 2x 的图象沿x 轴向左平移1个单位长度，得y ＝log 2(x ＋1)的图象，如图(2)所示．第三步：将y ＝log 2(x ＋1)的图象在x 轴下方的部分作关于x 轴的对称变换，得y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图(3)所示．第四步：将y ＝|log 2(x ＋1)|的图象沿y 轴向上平移2个单位长度，即得到所求的函数图象，如图(4)所示．(3) (4) 1．【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．【答案】D【解析】结合对数函数的形式y ＝log a x (a >0且a ≠1)可知D 正确． 3．【答案】C【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧lg x ≥0，5－3x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x <53，即1≤x <53.4．解：(1)作出函数y＝log3x的图象如图所示．(2)令f(x)＝f(2)，即log3x＝log32，解得x＝2.由图象知：当0<a<2时，恒有f(a)<f(2)．所以所求a的取值范围为0<a<2.。

高考数学一轮复习专题09 对数与对数函数教学案文-人教版高三全册数学教学案

专题09 对数与对数函数1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，12的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．1．对数的概念一般地，对于指数式a b＝N ，我们把“以a 为底N 的对数b ”记作log a N ，即b ＝log a N (a >0，且a ≠1)．其中，数a 叫做对数的底数，N 叫做真数，读作“b 等于以a 为底N 的对数”．2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )；④log am M n＝n mlog a M . (2)对数的性质①a log a N ＝__N __；②log a a N＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .3．对数函数的图象与性质a >1 0<a <1图象性质(1)定义域：(0，＋∞) (2)值域：R(3)过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0(4)当x >1时，y >0当0<x <1时，y <0(5)当x >1时，y <0 当0<x <1时，y >0 (6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．高频考点一对数式的运算例1、(1)设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于( )A.10 B ．10 C ．20 D ．100(2)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝________．【答案】 (1)A (2)－20【方法规律】(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．(3)a b＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．【变式探究】 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥4，f （x ＋1），x <4，则f (2＋log 23)的值为( )A ．24B ．16C ．12D ．8(2) lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________．【解析】 (1)因为3<2＋log 23<4，所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝23＋log 23＝8×2log 23＝24.(2)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝lg 5＋lg 2－2＝lg 10－2＝－1. 【答案】 (1)A (2)－1高频考点二对数函数的图象及应用例2、(1)若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值X 围是________．由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝log 2x 只有一个交点．【答案】 (1)B (2)a >1【方法规律】(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．【变式探究】 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )(2)当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2)当a >1时，不符合题意，舍去．所以实数a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1. 【答案】 (1)C (2)B高频考点三对数函数的性质及应用例3、(2016·全国Ⅰ卷)若a >b >0，0<c <1，则( ) A ．log a c <log b c B ．log c a <log c b C ．a c<bcD ．c a >c b【解析】由y ＝x c与y ＝c x的单调性知，C 、D 不正确． ∵y ＝log c x 是减函数，得log c a <log c b ，B 正确．log a c ＝lg c lg a ，log b c ＝lg clg b ，∵0＜c ＜1，∴lg c ＜0.而a ＞b ＞0，∴lg a ＞lg b ，但不能确定lg a ，lg b 的正负，∴log a c 与log b c 的大小不能确定．【答案】 B【方法规律】(1)确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行． (2)如果需将函数【解析】式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误．(3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．【变式探究】已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，某某数a 的取值X 围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．(2)t (x )＝3－ax ，∵a >0， ∴函数t (x )为减函数．∵f (x )在区间[1，2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1，2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a（3－a ）＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1. 高频考点四和对数函数有关的复合函数例4、已知函数f(x)＝loga(3－ax)．(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，某某数a 的取值X 围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．(2)t(x)＝3－ax ，∵a>0，∴函数t(x)为减函数． ∵f(x)在区间[1,2]上为减函数，∴y＝logat 为增函数，∴a>1，x∈[1,2]时，t(x)最小值为3－2a ，f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a>0，loga 3－a ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a<32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 【感悟提升】在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．【变式探究】(1)设a ＝log32，b ＝log52，c ＝log23，则( ) A ．a>c>b B ．b>c>a C ．c>b>aD ．c>a>b(2)若f(x)＝lg(x2－2ax ＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值X 围为( ) A ．[1,2) B ．[1,2] C ．[1，＋∞) D ．[2，＋∞) (3)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x ，x>0，log 12－x ，x<0，若f(a)>f(－a)，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1) 【答案】 (1)D (2)A (3)C⎩⎪⎨⎪⎧g 1>0，a≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a>0，a≥1，解得1≤a<2，即a∈[1,2)，故选A. (3)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a>0，log2a>log 12a 或⎩⎪⎨⎪⎧a<0，log 12－a >log2－a ，解得a>1或－1<a<0.高频考点五、比较指数式、对数式的大小例5、(1)设a ＝，b ＝0.30.5，c ＝log0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c<b<a B ．a<b<c C ．b<a<cD ．a<c<b(2)设a ＝log2π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则( ) A ．a>b>c B ．b>a>c C ．a>c>bD ．c>b>a(3)已知324log 0.3log 3.4log 3.6155()5a b c ＝，＝，＝，则( )A ．a>b>cB ．b>a>cC ．a>c>bD ．c>a>b由图象知：log23.4>log3103>log43.6.方法二 ∵log3103>log33＝1，且103<3.4，∴log3103<log33.4<log23.4.∵log43.6<log44＝1，log3103>1，∴log43.6<log3103.∴log23.4>log3103>log43.6.由于y ＝5x 为增函数，∴52log 3.4>310log 35>54log 3.6.即52log 3.4>3log 0.31()5>54log 3.6，故a>c>b.【答案】 (1)C (2)C (3)C【感悟提升】(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.【2016·某某卷】已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝________，b ＝________．【答案】 4 2【2015高考某某，理7】已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为( ) （A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a << 【答案】C【解析】因为函数()21x mf x -=-为偶函数，所以0m =，即()21xf x =-，所以221log log 330.521(log 3)log 2121312,3a f f ⎛⎫===-=-=-= ⎪⎝⎭()()2log 502log 5214,2(0)210b f c f m f ==-====-=所以c a b <<，故选C.【2015高考某某，理12】若4log 3a =，则22aa-+=．【答案】334. 【解析】∵3log 4=a ，∴3234=⇒=aa，∴33431322=+=+-aa . （2014·某某卷）已知实数x ，y 满足a x ＜a y(0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1＞1y 2＋1B. ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1) C. sin x ＞sin y D. x 3＞y 3【答案】D（2014·某某卷）函数f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞) C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D. ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 【答案】C【解析】根据题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，（log 2）2－1＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ＞2或x ＜12.故选C. （2014·某某卷）若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图11所示，则下列函数图像正确的是( )图11A BC D 【答案】B【解析】由函数y ＝log a x 的图像过点(3，1)，得a ＝3.选项A 中的函数为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，则其函数图像不正确；选项B 中的函数为y ＝x 3，则其函数图像正确；选项C 中的函数为y ＝(－x )3，则其函数图像不正确；选项D 中的函数为y ＝log 3(－x )，则其函数图像不正确．（2014·某某卷）若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________．【答案】50（2014·某某卷）已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则()A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a 【答案】C【解析】因为0<a ＝2－13<1，b ＝log 213<0，c ＝log 1213>log 1212＝1，所以c >a >b .（2014·某某卷）函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2) 【答案】D【解析】要使f (x )单调递增，需有⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4>0，x <0，解得x <－2.（2014·某某卷）在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x >0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )A BC D 【答案】D（2014·某某卷）函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________．【答案】－14【解析】f (x )＝log 2x ·log2(2x )＝12log 2x ·2log 2(2x )＝log 2x ·(1＋log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14，所以当x ＝22时，函数f (x )取得最小值－14. （2013·某某卷）已知一元二次不等式f(x)<0的解集为x⎪⎪⎪ )x<－1或x>12，则f(10x)>0的解集为( )A ．{x|x<－1或x>－lg 2}B ．{x|－1<x<－lg 2}C ．{x|x>－lg 2}D ．{x|x<－lg 2} 【答案】D【解析】根据已知可得不等式f(x)>0的解是－1<x<12，故－1<10x <12，解得x<－lg 2.（2013·某某卷）定义“正对数”：ln ＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0<x<1，ln x ，x≥1.现有四个命题：①若a>0，b>0，则ln ＋(a b )＝bln ＋a ； ②若a>0，b>0，则ln ＋(ab)＝ln ＋a ＋ln ＋b ；③若a>0，b>0，则ln ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ≥ln ＋a －ln ＋b ；④若a>0，b>0，则ln ＋(a ＋b)≤ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2. 其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号) 【答案】①③④④中，若0<a ＋b<1，左边＝ln ＋()a ＋b ＝0，右边＝ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2＝ln 2>0，左边≤右边；若a ＋b≥1，ln＋()a ＋b －ln 2＝ln ()a ＋b －ln 2＝lna ＋b2，又∵a ＋b 2≤a 或a ＋b 2≤b，a ，b 至少有1个大于1，∴ln a ＋b 2≤ln a 或ln a ＋b 2≤ln b，即有ln＋()a ＋b －ln 2＝ln ()a ＋b －ln 2＝lna ＋b 2≤ln ＋a ＋ln ＋b ，∴④正确．（2013·新课标全国卷Ⅱ] 设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞c ＞b D ．a ＞b ＞c 【答案】D【解析】a －b ＝log 36－log 510＝(1＋log 32)－(1＋log 52)＝log 32－log 52>0， b －c ＝log 510－log 714＝(1＋log 52)－(1＋log 72)＝log 52－log 72>0，所以a>b>c ，选D.（2013·某某卷）已知x ，y 为正实数，则( ) A ．2lg x ＋lg y＝2lg x＋2lg yB ．2lg(x ＋y)＝2lg x·2lg yC ．2lg x·lg y ＝2lg x ＋2lg y D ．2lg(xy)＝2lg x·2lg y【答案】D【解析】∵lg(xy)＝lg x ＋lg y ，∴2lg(xy)＝2lg x ＋lg y＝2lgx 2lgy，故选择D.1．设a ，b 为正实数，则“a >b >1”是“log 2a >log 2b >0”的( ) A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】 A2．已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＝b <c B ．a ＝b >cC ．a b >c【解析】因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23>1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c＝log 32<log 33＝1. 【答案】 B3．若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )【解析】由题意y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过(3，1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，显然图象错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图象可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符．故选B. 【答案】 B4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x ＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312的值是( )A ．5B ．3C ．－1 D.72【解析】由题意可知f (1)＝log 21＝0，f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2，f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312＝3－log 312＋1＝3log 32＋1＝2＋1＝3，所以f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝5. 【答案】 A5．知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( ) A ．(a －1)(b －1)<0 B ．(a －1)(a －b )>0 C ．(b －1)(b －a )<0D ．(b －1)(b －a )>0【答案】 D7．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ∈(－∞，0]时，f (x )为减函数，若a ＝f (20.3)，b ＝f (log 124)，c ＝f (log 25)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >b >aC ．c >a >bD ．a >c >b【解析】函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ∈(－∞，0]时，f (x )为减函数， ∴f (x )在[0，＋∞)为增函数，∵b ＝f (log 124)＝f (－2)＝f (2)，1<20.3<2<log 25，∴c >b >a . 【答案】 B8．已知函数f (x )＝ln x1－x，若f (a )＋f (b )＝0，且0＜a ＜b ＜1，则ab 的取值X 围是________．【解析】由题意可知ln a 1－a ＋ln b1－b ＝0，即ln ⎝⎛⎭⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b ＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14，又0＜a ＜b ＜1，∴0＜a ＜12，故0＜－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14＜14.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，149．设f (x )＝log ⎝⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值X 围是________．【答案】 (－1，0)10．设函数f (x )满足f (x )＝1＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 2x ，则f (2)＝________．【解析】由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·log 22，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，则f (x )＝1＋12·l og 2x ，故f (2)＝1＋12·log 22＝32. 【答案】 3211．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值．解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)， ∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得－1＜x ＜3，∴函数f (x )的定义域为(－1，3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1，1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1，3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 12．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.所以不等式f (x 2－1)>－2转化为f (|x 2－1|)>f (4)．又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5，即不等式的解集为(－5，5)．13．设x ∈[2，8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2)＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a x ＋322－18.当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32.又∵x ∈[2，8]，∴a ∈(0，1)． ∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得．若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 2＋322－18＝1，则a ＝2－13，此时f (x )取得最小值时，x ＝(2－13)－32＝2∉[2，8]，舍去．若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 8＋322－18＝1，则a ＝12，此时f (x )取得最小值时，x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32＝22∈[2，8]，符合题意，∴a ＝12.。

学案对数函数2

对数函数【学习目标】（1）通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．（2）知道对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数（a ＞0，且a ≠1）．（3）收集、阅读对数概念的形成与发展的历史资料，撰写小论文，论述对数发明的过程以及对数对简化运算的作用．【学习重难点】对数的概念与对数函数．【学习过程】【第1课时】一、自主学习知识点一：对数函数的概念函数y ＝log a x （a ＞0，且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，＋∞）．状元随笔形如y ＝2log 2x ，y ＝log 2x3都不是对数函数，可称其为对数型函数． a ＞1 0＜a ＜1状元随笔底数a 与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a ＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a ＜1时，对数函数的图象“下降”．知识点三：反函数一般地，指数函数y ＝a x （a ＞0，且a ≠1）与对数函数y ＝log a x （a ＞0，且a ≠1）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换．教材解难： 1．教材P 130思考根据指数与对数的关系，由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫125730x（x ≥0）得到x ＝log y （0＜y ≤1）．如图，过y 轴正半轴上任意一点（0，y 0）（0＜y 0≤1）作x 轴的平行线，与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫125730x（x ≥0）的图象有且只有一个交点（x0，y 0）．这就说明，对于任意一个y ∈（0，1]，通过对应关系x ＝log y ，在[0，＋∞）上都有唯一确定的数x 和它对应，所以x 也是y 的函数．也就是说，函数x ＝logy ，y ∈（0，1]刻画了时间x 随碳14含量y 的衰减而变化的规律．2．教材P 132思考利用换底公式，可以得到y ＝log 12x ＝－log 2x ．因为点（x ，y ）与点（x ，－y ）关于x 轴对称，所以y ＝log 2x 图象上任意一点P （x ，y ）关于x 轴的对称点P 1（x ，－y ）都在y ＝log 12x 的图象上，反之亦然．由此可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称．根据这种对称性，就可以利用y ＝log 2x 的图象画出y ＝log 12x 的图象．3．教材P 138思考一般地，虽然对数函数y ＝log a x （a ＞1）与一次函数y ＝kx （k ＞0）在区间（0，＋∞）上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着x 的增大，一次函数y ＝kx （k ＞0）保持固定的增长速度，而对数函数y ＝log a x （a ＞1）的增长速度越来越慢．不论a 的值比k 的值大多少，在一定范围内，log a x 可能会大于kx ，但由于log a x 的增长慢于kx 的增长，因此总会存在一个x 0，当x ＞x 0时，恒有log a x ＜kx ．4．4．1对数函数的概念基础自测：1．下列函数中是对数函数的是（） A ．y ＝log 14xB ．y ＝log 14（x ＋1）C ．y ＝2log 14xD ．y ＝log 14x ＋1解析：形如y ＝log a x （a ＞0，且a ≠1）的函数才是对数函数，只有A 是对数函数．答案：A2．函数y ＝x ln （1－x ）的定义域为（） A ．（0，1） B ．[0，1） C ．（0，1] D ．[0，1]解析：由题意，得⎩⎨⎧x ≥0，1－x ＞0，解得0≤x ＜1；故函数y ＝x ln （1－x ）的定义域为[0，1）．答案：B3．函数y＝log a（x－1）（0＜a＜1）的图象大致是（）解析：∵0＜a＜1，∴y＝log a x在（0，＋∞）上单调递减，故A，B可能正确；又函数y＝log a（x－1）的图象是由y＝log a x的图象向右平移一个单位得到，故A正确．答案：A4．若f（x）＝log2x，x∈[2，3]，则函数f（x）的值域为________．解析：因为f（x）＝log2x在[2，3]上是单调递增的，所以log22≤log2x≤log23，即1≤log2x≤log23．答案：[1，log23]二、素养提升题型一：对数函数的概念例1：下列函数中，哪些是对数函数？（1）y＝log a x（a＞0，且a≠1）；（2）y＝log2x＋2；（3）y＝8log2（x＋1）；（4）y＝log x6（x＞0，且x≠1）；（5）y＝log6x．解析：（1）中真数不是自变量x，不是对数函数．（2）中对数式后加2，所以不是对数函数．（3）中真数为x＋1，不是x，系数不为1，故不是对数函数．（4）中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数．（5）中底数是6，真数为x，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数．用对数函数的概念例如y＝log a x（a＞0且a≠1）来判断．方法归纳：判断一个函数是对数函数的方法跟踪训练1：若函数f （x ）＝（a 2－a ＋1）log （a ＋1）x 是对数函数，则实数a ＝________．解析：由a 2－a ＋1＝1，解得a ＝0或a ＝1．又底数a ＋1＞0，且a ＋1≠1，所以a ＝1．答案：1对数函数y ＝log a x 系数为1．题型二：求函数的定义域（教材P 130例1）例2：求下列函数的定义域：（1）y ＝log 3x 2；（2）y ＝log a （4－x ）（a ＞0，且a ≠1）．解析：（1）因为x 2＞0，即x ≠0，所以函数y ＝log 3x 2的定义域是{x |x ≠0}．（2）因为4－x ＞0，即x ＜4，所以函数y ＝log a （4－x ）的定义域是{x |x ＜4}．真数大于0．教材反思：求定义域有两种题型，一种是已知函数解析式求定义域，常规为：分母不为0；0的零次幂与负指数次幂无意义；偶次根式被开方式（数）非负；对数的真数大于0，底数大于0且不等于1．另一种是抽象函数的定义域问题．同时应注意求函数定义域的解题步骤．跟踪训练2：求下列函数的定义域：（1）y ＝lg （x ＋1）＋3x 21－x ；（2）y ＝log （x －2）（5－x ）．解析：（1）要使函数有意义，需⎩⎨⎧ x ＋1＞0，1－x ＞0，即⎩⎨⎧x ＞－1，x ＜1.∴－1＜x ＜1，∴函数的定义域为（－1，1）．（2）要使函数有意义，需⎩⎨⎧5－x ＞0，x －2＞0，x －2≠1，∴⎩⎨⎧x ＜5，x ＞2，x ≠3.∴定义域为（2，3）∪（3，5）．真数大于0，偶次根式被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解．题型三：对数函数的图象问题例3：（1）函数y ＝x ＋a 与y ＝log a x 的图象只可能是下图中的（）（2）已知函数y ＝log a （x ＋3）－1（a ＞0，a ≠1）的图象恒过定点A ，若点A 也在函数f （x ）＝3x ＋b 的图象上，则f （log 32）＝________．（3）如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x ，y ＝log d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系为________．解析：（1）A 中，由y ＝x ＋a 的图象知a ＞1，而y ＝log a x 为减函数，A 错；B 中，0＜a ＜1，而y ＝log a x 为增函数，B 错；C 中，0＜a ＜1，且y ＝log a x 为减函数，所以C 对；D 中，a ＜0，而y ＝log a x 无意义，也不对．（2）依题意可知定点A （－2，－1），f （－2）＝3－2＋b ＝－1，b ＝－109，故f （x ）＝3x －109，f （log 32）＝33log 2－109＝2－109＝89．（3）由题干图可知函数y ＝log a x ，y ＝log b x 的底数a ＞1，b ＞1，函数y ＝log c x ，y ＝log d x 的底数0＜c ＜1，0＜d ＜1．过点（0，1）作平行于x 轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c ，d ，a ，b ，显然b ＞a ＞1＞d ＞c ．答案：（1）C（2）89（3）b ＞a ＞1＞d ＞c状元随笔（1）由函数y ＝x ＋a 的图象判断出a 的范围．（2）依据log a 1＝0，a 0＝1，求定点坐标．（3）沿直线y ＝1自左向右看，对数函数的底数由小变大．方法归纳：解决对数函数图象的问题时要注意：（1）明确对数函数图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x 趋近于0时，函数图象会越来越靠近y 轴，但永远不会与y 轴相交．（2）建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a 的取值范围是a ＞1，还是0＜a ＜1．（3）牢记特殊点．对数函数y ＝log a x （a ＞0，且a ≠1）的图象经过点：（1，0），（a ，1）和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1．跟踪训练3：（1）如图所示，曲线是对数函数y ＝log a x （a ＞0，且a ≠1）的图象，已知a 取3，43，35，110，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次为（）A ．3，43，35，110B ．3，43，110，35C ．43，3，35，110D ．43，3，110，35（2）函数y ＝log a |x |＋1（0＜a ＜1）的图象大致为（）解析：（1）方法一：作直线y ＝1与四条曲线交于四点，由y ＝log a x ＝1，得x ＝a （即交点的横坐标等于底数），所以横坐标小的底数小，所以C 1，C 2，C 3，C 4对应的a 值分别为3，43，35，110，故选A ．方法二：由对数函数的图象在第一象限内符合底大图右的规律，所以底数a 由大到小依次为C 1，C 2，C 3，C 4，即3，43，35，110．故选A ．增函数底数a ＞1，减函数底数0＜a ＜1．（2）函数为偶函数，在（0，＋∞）上为减函数，（－∞，0）上为增函数，故可排除选项B ，C ，又x ＝±1时y ＝1，故选A ．先去绝对值，再利用单调性判断．答案：（1）A （2）A 三、学业达标（一）选择题1．下列函数是对数函数的是（） A ．y ＝2＋log 3xB ．y ＝log a （2a ）（a ＞0，且a ≠1）C ．y ＝log a x 2（a ＞0，且a ≠1）D ．y ＝ln x解析：判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y ＝log a x ”的形式，A ，B ，C 全错，D 正确．答案：D2．若某对数函数的图象过点（4，2），则该对数函数的解析式为（） A ．y ＝log 2xB ．y ＝2log 4xC ．y ＝log 2x 或y ＝2log 4xD ．不确定解析：由对数函数的概念可设该函数的解析式为y ＝log a x （a ＞0，且a ≠1，x ＞0），则2＝log a 4即a 2＝4得a ＝2．故所求解析式为y ＝log 2x ．答案：A3．设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln （1－x ）的定义域为B ，则A ∩B ＝（） A ．（1，2） B ．（1，2] C ．（－2，1） D ．[－2，1）解析：由题意可知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x ＜1}，故A ∩B ＝{x |－2≤x ＜1}．答案：D4．已知a ＞0，且a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a （－x ）的图象只能是下图中的（）解析：由函数y ＝log a （－x ）有意义，知x ＜0，所以对数函数的图象应在y 轴左侧，可排除A ，C ．又当a ＞1时，y ＝a x 为增函数，所以图象B 适合．答案：B （二）填空题5．若f （x ）＝log a x ＋（a 2－4a －5）是对数函数，则a ＝________．解析：由对数函数的定义可知 ⎩⎨⎧a 2－4a －5＝0a ＞0a ≠1，∴a ＝5．答案：56．已知函数f （x ）＝log 3x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫95＋f （15）＝________．解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫95＋f （15）＝log 395＋log 315＝log 327＝3．答案：37．函数f（x）＝log a（2x－3）（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则P点的坐标是________．解析：令2x－3＝1，解得x＝2，且f（2）＝log a1＝0恒成立，所以函数f（x）的图象恒过定点P（2，0）．答案：（2，0）（三）解答题8．求下列函数的定义域：（1）y＝log3（1－x）；（2）y＝1log2x；（3）y＝log711－3x．解析：（1）由1－x＞0，得x＜1，∴函数y＝log3（1－x）的定义域为（－∞，1）．（2）由log2x≠0，得x＞0且x≠1．∴函数y＝1log2x的定义域为{x|x＞0且x≠1}．（3）由11－3x＞0，得x＜1 3．∴函数y＝log711－3x的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13．9．已知f（x）＝log3x．（1）作出这个函数的图象；（2）若f（a）＜f（2），利用图象求a的取值范围．解析：（1）作出函数y＝log3x的图象如图所示（2）令f（x）＝f（2），即log3x＝log32，解得x＝2．由图象知，当0＜a＜2时，恒有f（a）＜f（2）．∴所求a的取值范围为0＜a＜2．尖子生题库：10．已知函数y＝log2x的图象，如何得到y＝log2（x＋1）的图象？y＝log2（x＋1）的定义域与值域是多少？与x 轴的交点是什么？解析：y ＝log 2x ――――――→左移1个单位y ＝log 2（x ＋1），如图．定义域为（－1，＋∞），值域为R ，与x 轴的交点是（0，0）．【第二学时】一、素养提升题型一：比较大小（教材P 133例3）例1：比较下列各题中两个值的大小：（1）log 23.4，log 28.5；（2）log 0．31.8，log 0．32.7；（3）log a 5.1，log a 5.9（a ＞0，且a ≠1）．解析：（1）log 23.4和log 28.5可看作函数y ＝log 2x 的两个函数值．因为底数2＞1，对数函数y ＝log 2x 是增函数，且3.4＜8.5，所以log 23.4＜log 28.5．（2）log 0．31.8和log 0．32.7可看作函数y ＝log 0．3x 的两个函数值．因为底数0.3＜1，对数函数y ＝log 0．3x 是减函数，且1.8＜2.7，所以log 0．31.8＞log 0．32.7．（3）log a 5.1和log a 5.9可看作函数y ＝log a x 的两个函数值．对数函数的单调性取决于底数a 是大于1还是小于1，因此需要对底数a 进行讨论．当a ＞1时，因为函数y ＝log a x 是增函数，且5.1＜5.9，所以log a 5.1＜log a 5.9；当0＜a ＜1时，因为函数y ＝log a x 是减函数，且5.1＜5.9，所以log a 5.1＞log a 5.9．构造对数函数，利用函数单调性比较大小．教材反思比较对数值大小时常用的三种方法跟踪训练1：（1）设a ＝log 2π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则（）A ．a ＞b ＞cB．b＞a＞cC．a＞c＞bD．c＞b＞a（2）比较下列各组值的大小：①log230.5，log230.6．②log1.51.6，log1.51.4．③log0.57，log0.67．④log3π，log20.8．解析：（1）a＝log2π＞1，b＝log12π＜0，c＝π－2∈（0，1），所以a＞c＞b．（2）①因为函数y＝log23x是减函数，且0.5＜0.6，所以log230.5＞log230.6．②因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.6＞1.4，所以log1.51.6＞log1.51.4．③因为0＞log70.6＞log70.5，所以1log70.6＜1log70.5，即log0.67＜log0.57．④因为log3π＞log31＝0，log20.8＜log21＝0，所以log3π＞log20.8．答案：（1）C（2）①log230.5＞log230.6．②log1.51.6＞log1.51.4．③log0.67＜log0.57．④log3π＞log20.8．状元随笔（1）选择中间量0和1，比较大小．（2）①②③利用对数函数的单调性比较大小．④用中间量0比较大小．题型二：解对数不等式例2：（1）已知log0.72x＜log0．7（x－1），则x的取值范围为________；（2）已知log a（x－1）≥log a（3－x）（a＞0，且a≠1），求x的取值范围．解析：（1）∵函数y＝log0.7x在（0，＋∞）上为减函数，∴由log 0.72x ＜log 0.7（x －1）得⎩⎨⎧2x ＞0，x －1＞0，2x ＞x －1，解得x ＞1，即x 的取值范围是（1，＋∞）．（2）log a （x －1）≥log a （3－x ），当a ＞1时，有⎩⎨⎧x －1＞0，3－x ＞0，x －1≥3－x ，解得2≤x ＜3．当0＜a ＜1时，有⎩⎨⎧x －1＞0，3－x ＞0，x －1≤3－x ，解得1＜x ≤2．综上可得，当a ＞1时，不等式log a （x －1）≥log a （3－x ）中x 的取值范围为[2，3）；当0＜a ＜1时，不等式log a （x －1）≥log a （3－x ）（a ＞0且a ≠1）中x 的取值范围是（1，2]．答案：（1）（1，＋∞）（2）答案见解析状元随笔（1）利用函数y ＝log 0．7x 的单调性求解．（2）分a ＞1和0＜a ＜1两种情况讨论，解不等式．方法归纳：两类对数不等式的解法：（1）形如log a f （x ）＜log a g （x ）的不等式． ①当0＜a ＜1时，可转化为f （x ）＞g （x ）＞0； ②当a ＞1时，可转化为0＜f （x ）＜g （x ）．（2）形如log a f （x ）＜b 的不等式可变形为log a f （x ）＜b ＝log a a b ． ①当0＜a ＜1时，可转化为f （x ）＞a b ； ②当a ＞1时，可转化为0＜f （x ）＜a b ．跟踪训练2：（1）满足不等式log 3x ＜1的x 的取值集合为________；（2）根据下列各式，确定实数a 的取值范围： ①log 1．5（2a ）＞log 1．5（a －1）； ②log 0．5（a ＋1）＞log 0．5（3－a ）．解析：（1）因为log 3x ＜1＝log 33，所以x 满足的条件为⎩⎨⎧x ＞0，log 3x ＜log 33，即0＜x ＜3．所以x 的取值集合为{x |0＜x ＜3}．（2）①函数y ＝log 1．5x 在（0，＋∞）上是增函数．因为log 1．5（2a ）＞log 1.5（a －1），所以⎩⎨⎧2a ＞a －1，a －1＞0，解得a ＞1，即实数a 的取值范围是a ＞1．②函数y ＝log 0.5x 在（0，＋∞）上是减函数，因为log .0.5（a ＋1）＞log 0.5（3－a ），所以⎩⎨⎧a ＋1＞0，3－a ＞0，a ＋1＜3－a ，解得－1＜a ＜1．即实数a 的取值范围是－1＜a ＜1．答案：（1）{x |0＜x ＜3}（2）①（1，＋∞）；②（－1，1）状元随笔（1）log 33＝1．（2）由对数函数的单调性求解．题型三：对数函数性质的综合应用例3：已知函数f （x ）＝log a （1＋x ）＋log a （3－x ）（a ＞0且a ≠1）．（1）求函数f （x ）的定义域；（2）若函数f （x ）的最小值为－2，求实数a 的值．解析：（1）由题意得⎩⎨⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，解得－1＜x ＜3，所以函数f （x ）的定义域为（－1，3）．（2）因为f （x ）＝log a [（1＋x ）（3－x ）] ＝log a （－x 2＋2x ＋3）＝log a [－（x －1）2＋4]，若0＜a ＜1，则当x ＝1时，f （x ）有最小值log a 4，所以log a 4＝－2，a －2＝4，又0＜a ＜1，所以a ＝12．若a ＞1，则当x ＝1时，f （x ）有最大值log a 4，f （x ）无最小值．综上可知，a ＝12．真数大于0．分0＜a＜1，a＞1两类讨论．方法归纳：1．解答y＝log a f（x）型或y＝f（log a x）型函数需注意的问题①要注意变量的取值范围．例如，f（x）＝log2x，g（x）＝x2＋x，则f（g（x））＝log2（x2＋x）中需要g（x）＞0；g（f（x））＝（log2x）2＋log2x中需要x＞0．②判断y＝log a f（x）型或y＝f（log a x）型函数的奇偶性，首先要注意函数中变量的范围，再利用奇偶性定义判断．2．形如y＝log a f（x）的函数的单调性判断首先要确保f（x）＞0，当a＞1时，y＝log a f（x）的单调性在f（x）＞0的前提下与y＝f（x）的单调性一致．当0＜a＜1时，y＝log a f（x）的单调性在f（x）＞0的前提下与y＝f（x）的单调性相反．跟踪训练3已知函数f（x）＝log2（1＋x2）．求证：（1）函数f（x）是偶函数；（2）函数f（x）在区间（0，＋∞）上是增函数．证明：（1）函数f（x）的定义域是R，f（－x）＝log2[1＋（－x）2]＝log2（1＋x2）＝f（x），所以函数f（x）是偶函数．（2）设0＜x1＜x2，则f（x1）－f（x2）＝log2（1＋x21）－log2（1＋x22）＝log21＋x21 1＋x22，由于0＜x1＜x2，则0＜x21＜x22，则0＜1＋x21＜1＋x22，所以0＜1＋x211＋x22＜1．又函数y＝log2x在（0，＋∞）上是增函数，所以log21＋x211＋x22＜0．所以f（x1）＜f（x2）．所以函数f（x）在区间（0，＋∞）上是增函数．（1）函数是偶函数，f（－x）＝f（x）．（2）用定义法证明函数是增函数．题型四：几类函数模型的增长差异例4：（1）下列函数中，增长速度最快的是（）A．y＝2018xB．y＝x2018C．y＝log2018xD．y＝2018x则关于x呈指数型函数变化的变量是________．解析：（1）比较幂函数、指数函数与对数函数、一次函数可知，指数函数增长速度最快．（2）以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象（图略），可知变量y2关于x呈指数型函数变化．答案：（1）A（2）y2状元随笔（1）由题意，指数函数增长速度最快．（2）观察变量y1，y2，y3，y4的变化情况→找出增长速度最快的变量→该变量关于x呈指数型函数变化跟踪训练4：分析指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x在区间[1，＋∞）上的增长情况．解析：指数函数y＝2x，当x由x1＝1增加到x2＝3时，x2－x1＝2，y2－y1＝23－21＝6；对数函数y＝log2x，当x由x1＝1增加到x2＝3时，x2－x1＝2，而y2－y1＝log23－log21≈1．5850．由此可知，在区间[1，＋∞）上，指数函数y＝2x随着x的增长函数值的增长速度快，而对数函数y＝log2x的增长速度缓慢．状元随笔在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝2x 和y ＝log 2x 的图象，从图象上可观察出函数的增长变化情况．如图：二、学业达标（一）选择题1．设a ＝log 0.50.9，b ＝log 1.10.9，c ＝1.10.9，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．b ＜c ＜a D ．a ＜c ＜b解析：因为0＝log 0.51＜a ＝log 0.50.9＜log 0.50.5＝1， b ＝log 1.10.9＜log 1.11＝0，c ＝1.10.9＞1.10＝1，所以b ＜a ＜c ，故选B ．答案：B2．y 1＝2x ，y 2＝x 2，y 3＝log 2x ，当2＜x ＜4时，有（） A ．y 1＞y 2＞y 3 B ．y 2＞y 1＞y 3 C ．y 1＞y 3＞y 2 D ．y 2＞y 3＞y 1解析：在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象（图略），在区间（2，4）内，从上到下图象依次对应的函数为y 2＝x 2，y 1＝2x ，y 3＝log 2x ，故y 2＞y 1＞y 3．答案：B3．若log a 34＜1（a ＞0，且a ≠1），则实数a 的取值范围是（）A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪（1，＋∞）C ．（1，＋∞）D ．（0，1）解析：当a ＞1时，log a 34＜0＜1，成立．当0＜a ＜1时，y ＝log a x 为减函数．由log a 34＜1＝log a a ，得0＜a ＜34．综上所述，0＜a ＜34或a ＞1．答案：B4．函数y ＝log 0．4（－x 2＋3x ＋4）的值域是（） A ．（0，2] B ．[－2，＋∞） C ．（－∞，－2] D ．[2，＋∞）解析：－x 2＋3x ＋4＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋254≤254，又－x 2＋3x ＋4＞0，则0＜－x 2＋3x ＋4≤254，函数y ＝log 0．4x 为（0，＋∞）上的减函数，则y ＝log 0．4（－x 2＋3x ＋4）≥log 0．4254＝－2，函数的值域为[－2，＋∞）．答案：B （二）填空题5．函数f （x ）＝log a x （a ＞0，且a ≠1）在[2，3]上的最大值为1，则a ＝________．解析：当a ＞1时，f （x ）的最大值是f （3）＝1，则log a 3＝1，∴a ＝3＞1．∴a ＝3符合题意．当0＜a ＜1时，f （x ）的最大值是f （2）＝1．则log a 2＝1，∴a ＝2＞1．∴a ＝2不合题意，综上知a ＝3．答案：36．已知函数f （x ）＝log 2a －x1＋x 为奇函数，则实数a 的值为________．解析：由奇函数得f （x ）＝－f （－x ）， log 2a －x 1＋x ＝－log 2a ＋x 1－x，a －x 1＋x ＝1－x a ＋x ，a 2＝1，因为a ≠－1，所以a ＝1．答案：17．如果函数f （x ）＝（3－a ）x 与g （x ）＝log a x 的增减性相同，则实数a 的取值范围是________．解析：若f （x ），g （x ）均为增函数，则⎩⎨⎧3－a ＞1，a ＞1，则1＜a ＜2；若f （x ），g （x ）均为减函数，则⎩⎨⎧0＜3－a ＜1，0＜a ＜1，无解．答案：（1，2）（三）解答题8．比较下列各组对数值的大小：（1）log 151.6与log 152.9；（2）log 21.7与log 23.5；（3）log 123与log 153；（4）log 130.3与log 20.8．解析：（1）∵y ＝log 15x 在（0，＋∞）上单调递减，1.6＜2.9，∴log 151.6＞log 152.9．（2）∵y ＝log 2x 在（0，＋∞）上单调递增，而1.7＜3.5， ∴log 21.7＜log 23.5．（3）借助y ＝log 12x 及y ＝log 15x 的图象，如图所示．在（1，＋∞）上，前者在后者的下方， ∴log 123＜log 153．（4）由对数函数性质知，log 130.3＞0，log 20.8＜0，∴log 130.3＞log 20.8．9．已知log a （2a ＋3）＜log a 3a ，求a 的取值范围．解析：（1）当a ＞1时，原不等式等价于⎩⎨⎧ a ＞1，2a ＋3＜3a ，2a ＋3＞0，解得a ＞3．（2）当0＜a ＜1时，原不等式等价于⎩⎨⎧0＜a ＜1，2a ＋3＞3a ，3a ＞0，解得0＜a ＜1．综上所述，a 的范围是（0，1）∪（3，＋∞）．尖子生题库：10．已知a ＞0且a ≠1，f （log a x ）＝a a 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ．（1）求f （x ）；（2）判断f （x ）的单调性和奇偶性；（3）对于f （x ），当x ∈（－1，1）时，有f （1－m ）＋f （1－2m ）＜0，求m 的取值范围．解析：（1）令t ＝log a x （t ∈R ），则x ＝a t ，且f （t ）＝a a 2－1⎝⎛⎭⎪⎫a t －1a t ，所以f （x ）＝aa 2－1（a x －a －x ）（x ∈R ）；（2）因为f （－x ）＝a a 2－1（a －x －a x ）＝－f （x ），且x ∈R ，所以f （x ）为奇函数．当a ＞1时，a x －a －x 为增函数，并且注意到a a 2－1＞0，所以这时f （x ）为增函数；当0＜a ＜1时，类似可证f （x ）为增函数．所以f （x ）在R 上为增函数；（3）因为f （1－m ）＋f （1－2m ）＜0，且f （x ）为奇函数，所以f （1－m ）＜f （2m －1）．因为f （x ）在（－1，1）上为增函数，所以⎩⎨⎧ －1＜1－m ＜1，－1＜2m －1＜1，1－m ＜2m －1.解之，得23＜m ＜1．即m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1．小课堂：如何培养自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

高三数学一轮复习学案：对数与对数函数

高三数学一轮复习学案：对数与对数函数一、考试要求： 1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数。

（2）理解对数函数的概念，了解对数函数的单调性。

（3）知道指数函数x a y =与对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 互为反函数二、知识梳理：1.对数的概念：如果)1,0(≠>=a a N a b ，那么幂指数b 叫做以a 为底数的对数，记作 _____________，其中a 叫做底数，N 叫做____________.2.积、商、幂、方根的对数（N M ,都是正数，,0>a 且)0,1≠≠n a（1）=⨯)(log N M a __________（2）=MN alog ___________（3）=n a M log ________ 3.对数的换底公式及对数的恒等式（供选用）（1）=N a a log _____（对数恒等式）（2）=n a a log ______ 3）a N N b b a log log log =（换底公式）（4）a b b a log 1log =（5）n a a N N n log log =1、设c b a ,,均为正数，且a a 21log 2=，b b 21log 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛，c c2log 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛.则（） A.c b a << B. a b c << C. b a c << D. c a b <<2、设1a >，函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为12，则a = A ．2 C ．．43、已知函数2sin1()log (65)f x x x =-+在(,)a +∞上是减函数,则实数a 的取值范围( )A. （5，+∞）B. （3，+∞）C. （-∞，3）D. [5,)+∞4、已知函数)1(),2lg()(≥-=x b x f x 的值域是[),0+∞则（）A.1≤bB.1<bC.1≥bD.1=b5、55ln ,33ln ,22ln ===c b a 则（） A. c b a << B.a b c << C.b a c << D.c a b <<6、（08重庆）已知1249a =(a>0) ，则23log a = . 7、已知函数)3(x f y =的定义域是][2,1，则函数)(log 2x f y =的定义域是8、函数)43(log )(231--=x x x f 的单调增区间是_________9、已知函数]1)1()1lg[()(22+++-=x a x a x f （1）若)(x f 得定义域为),(+∞-∞，求实数a 的取值范围；（2）若)(x f 的值域为),(+∞-∞，求实数a 的取值范围。

高三数学一轮复习精品教案1：2.5对数与对数函数教学设计

2.5对数与对数函数1．对数的定义如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 2．对数的性质与运算及换底公式 (1)对数的性质(a >0且a ≠1)：①log a 1＝0；②log a a ＝1；③a log a N ＝N . (2)对数的换底公式基本公式：log a b ＝log c blog c a (a ，c 均大于0且不等于1，b >0)．(3)对数的运算法则：如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ， ②log a MN ＝log a M －log a N ，③log a M n ＝n log a M (n ∈R )． 3．对数函数的图像与性质4．反函数指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y ＝x 对称．1．在运算性质log a M n ＝n log a M 中，易忽视M >0. 2．解决与对数函数有关的问题时易漏两点： (1)函数的定义域； (2)对数底数的取值范围．『试一试』1．(2013·苏中三市、连云港、淮安二调)“M >N ”是“log 2M >log 2N ”成立的____________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)．『解析』当M ，N 为负数时，不能得到log 2M >log 2N ，而根据函数y ＝log 2x 的单调性可知，当log 2M >log 2N 时，可得M >N . 『答案』必要不充分2．(2014·常州期末)函数f (x )＝log 2(4－x 2)的值域为________．『解析』因为4－x 2∈(0,4』，所以log 2(4－x 2)∈(－∞，2』，故原函数的值域为(－∞，2』．『答案』(－∞，2』1．对数值的大小比较的基本方法(1)化同底后利用函数的单调性；(2)作差或作商法； (3)利用中间量(0或1)；(4)化同真数后利用图像比较． 2．明确对数函数图像的基本点 (1)当a >1时，对数函数的图像“上升”；当0<a <1时，对数函数的图像“下降”．(2)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图像只在第一、四象限．『练一练』1．函数y ＝log a (3x －2)(a >0，a ≠1)的图像经过定点A ，则A 点坐标是________．『答案』(1,0)2．(2013·全国卷Ⅱ改编)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则a ，b ，c 的大小关系为________．『解析』易知log 23>1，log 32，log 52∈(0,1)．在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝log 3 x 与y ＝log 5 x 的图像，观察可知log 32>log 52.所以c >a >b .比较a ，b 的其他解法：log 32>log 33＝12，log 52<log 55＝12，得a >b ；0<log 23<log 25，所以1log 23>1log 25，结合换底公式即得log 32>log 5 2.『答案』c >a >b计算下列各题： (1)lg 37＋lg 70－lg 3－lg 32－lg 9＋1；(2)12lg 3249－43lg 8＋lg 245 『解析』(1)原式＝lg 37×703－lg 32－2lg 3＋1＝lg 10－lg 3－12＝1－|lg 3－1|＝lg3.(2)12lg 3249－43lg 8＋lg 245 ＝12×(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(lg 5＋2lg 7) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋12lg 5＋lg 7 ＝12lg 2＋12lg 5＝12lg(2×5)＝12. 『备课札记』『类题通法』对数运算的一般思路(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．『典例』 (1)(2014·南通期末)如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝log22x ，y ＝x 12，y ＝⎝⎛⎭⎫22x 的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为________． (2)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是________．『解析』 (1)由条件得，点A 在函数y ＝log22x 的图像上，从而由2＝log 22x 得x A ＝12.而点B 在函数y ＝x 12上，从而2＝x 12，解得x B ＝4.于是点C 的横坐标为4.又点C 在函数y ＝⎝⎛⎭⎫22x上，从而y C ＝14，于是点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，14. (2)构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数在⎝⎛⎦⎤0，12上的图像，可知，f ⎝⎛⎭⎫12<g ⎝⎛⎭⎫12，即2<log a 12，则a >22，所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫22，1.『答案』 (1)⎝⎛⎭⎫12，14 (2)⎝⎛⎭⎫22，1 『备课札记』『解析』设f 1(x )＝(x －1)2，f 2(x )＝log a x ，要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝(x －1)2在(1,2)上的图像在f 2(x )＝log a x 图像的下方即可．当0<a <1时，显然不成立；当a >1时，如图，要使x ∈(1,2)时f 1(x )＝(x －1)2的图像在f 2(x )＝log a x 的图像下方，只需f 1(2)≤f 2(2)，即(2－1)2≤log a 2，又即log a 2≥1.所以1<a ≤2，即实数a 的取值范围是(1,2』．『答案』(1,2』『类题通法』应用对数型函数的图像可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．『针对训练』已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ， 0<x ≤10，⎪⎪⎪⎪－12x ＋6， x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是________．『解析』令－12x ＋6＝0，得x ＝12.因为a ，b ，c 互不相等，令a <b <c ，作出f (x )的图像，如图所示．令f (a )＝f (b )＝f (c )＝t ，则根据图像可得1<a <10，b ＋c ＝2×12＝24，故a ＋b ＋c ∈(25,34)．『答案』(25,34)『典例』已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．『解析』 (1)∵f (1)＝1，∴log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1，这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．由－x 2＋2x ＋3>0得－1<x <3，函数f (x )的定义域为(－1，3)．令g (x )＝－x 2＋2x ＋3，则g (x )在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减．又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)． (2)假设存在实数a 使f (x )的最小值为0，则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此应有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，3a －1a ＝1，解得a ＝12.故存在实数a ＝12使f (x )的最小值为0.『备课札记』『类题通法』求复合函数y ＝f (g (x ))的单调区间的步骤(1)确定定义域；(2)将复合函数分解成基本初等函数y ＝f (u )，u ＝g (x )； (3)分别确定这两个函数的单调区间；(4)若这两个函数同增或同减，则y ＝f (g (x ))为增函数，若一增一减，则y ＝f (g (x ))为减函数，即“同增异减”．『针对训练』已知f (x )＝log a (a x －1)(a >0且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域； (2)判断函数f (x )的单调性．『解析』(1)由a x －1>0得a x >1，当a >1时，x >0；当0<a <1时，x <0.∴当a >1时，f (x )的定义域为(0，＋∞)；当0<a <1时，f (x )的定义域为(－∞，0)． (2)当a >1时，设0<x 1<x 2，则1<ax 1<ax 2，故0<ax 1－1<ax 2－1， ∴log a (ax 1－1)<log a (ax 2－1)． ∴f (x 1)<f (x 2)．故当a >1时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数．类似地，当0<a <1时，f (x )在(－∞，0)上为增函数．『课堂练通考点』1．(2014·深圳第一次调研)设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝log 3(1＋x )，则f (－2)＝________.『解析』由题意得，f (－2)＝－f (2)＝－log 3(1＋2)＝－1. 『答案』－12．(2013·广东高考改编)函数y ＝lg x ＋1x －1的定义域是________．『解析』由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＞0，x －1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－1，x ≠1，『答案』(－1,1)∪(1，＋∞)3．(2013·苏北四市二调)已知函数f (x )＝a log 2x －b log 3x ＋2，若f ⎝⎛⎭⎫12 014＝4，则f (2 014)的值为________．『解析』令g (x )＝f (x )－2＝a log 2x －b log 3x ，可得g (x )满足g ⎝⎛⎭⎫1x ＝－g (x )．所以由g ⎝⎛⎭⎫12 014＝f ⎝⎛⎭⎫12 014－2＝2，得g (2 014)＝－2，所以f (2 014)＝0. 『答案』04．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是________．『解析』f (x )≤2⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤1，21－x ≤2，或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，1－log 2x ≤2，⇔0≤x ≤1或x >1.『答案』『0，＋∞)5．(2014·南京模拟)若log 2a 1＋a 21＋a <0，则a 的取值范围是________．『解析』当2a >1时，∵log 2a 1＋a 21＋a <0＝log 2a 1，∴1＋a 21＋a <1.∵1＋a >0，∴1＋a 2<1＋a ， ∴a 2－a <0，∴0<a <1，∴12<a <1.当0<2a <1时，∵log 2a 1＋a 21＋a <0＝log 2a 1，∴1＋a 21＋a>1. ∵1＋a >0，∴1＋a 2>1＋a .∴a 2－a >0，∴a <0或a >1，此时不合题意．综上所述，a ∈⎝⎛⎭⎫12，1. 『答案』⎝⎛⎭⎫12，16．(2013·北京高考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x <1的值域为________．『解析』当x ≥1时，log 12x ≤0，当x <1时，0<2x <2，故值域为(0,2)∪(－∞，0』＝(－∞，2)．『答案』(－∞，2)。

第04讲对数与对数函数(含对数型糖水不等式的应用)(学生版) 备战2025年高考数学一轮复习学案

第04讲对数与对数函数（含对数型糖水不等式的应用）（8类核心考点精讲精练）1. 5年真题考点分布2. 命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的命题常考内容，设题多为函数性质或函数模型，难度中等，分值为5-6分【备考策略】1.理解对数的概念和运算性质，熟练指对互化，能用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数2.了解对数函数的概念，能画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点3.熟练掌握对数函数x y a log =0(>a 且)1≠a 与指数函数x a y =0(>a 且)1≠a 的图象关系【命题预测】本节内容通常会考查指对幂的大小比较、对数的运算性质、对数的函数模型等，需要重点备考复习1.对数的运算（1）对数的定义如果，那么把叫做以为底，的对数，记作N x a log =，其中叫做对数的底数，叫做真数（2）对数的分类一般对数：底数为，，记为N a log 常用对数：底数为10，记为，即：xx lg log 10=自然对数：底数为e （e ≈2.71828…），记为，即：x x e ln log =（3）对数的性质与运算法则①两个基本对数：①01log =a ，②1log =a a ②对数恒等式：①N a N a =log ，②N a Na =log 。

③换底公式：aba b a b b c c a ln ln lg lg log log log ===；推广1：对数的倒数式ab b a log 1log =1log log =⋅⇒a b b a 推广2：d d c b a c b a c b a c b a log log log log 1log log log =⇒=。

④积的对数：()N M MN a a a log log log +=；(01)xa N a a =>≠且x a N a N a 0,1a a >≠且lg N ln N⑤商的对数：N M NMa a alog log log -=；⑥幂的对数：❶b m b a ma log log =，❷b nb a a n log 1log =，❸b n mb a ma n log log =，❹mna ab b nm log log =2.对数函数（1）对数函数的定义及一般形式形如：()0,10log >≠>=x a a x y a 且的函数叫做对数函数（2）对数函数的图象和性质图象定义域：()∞+,0值域：R当1=x 时，0=y 即过定点()0,1当时，；当时，当时，；当时，性质在()∞+,0上为增函数（5）在()∞+,0上为减函数3.对数型糖水不等式(1) 设 n N +Î, 且 1n >, 则有 12log log (1)n n n n ++<+ (2) 设 1,0a b m >>>, 则有 log log ()a a m b b m +<+(3) 上式的倒数形式：设 1,0a b m >>>, 则有 log log ()b b ma a m +>+1．（2024·重庆·三模）已知2log 5,85ba ==，则ab =．1a >01a <<01x <<(,0)y Î-∞1x >(0,)y Î+∞1x >(,0)y Î-∞01x <<(0,)y Î+∞2．（2024·青海·模拟预测）若3log 5a =，56b =，则3log 2ab -=（）A ．1B ．－1C ．2D ．－23．（2024·四川·模拟预测）若实数m ，n ，t 满足57m n t ==且112m n+=，则t =（）A．B ．12CD1．（2024·河南郑州·三模）已知log 4log 4a b b a +=，则22a b 的值为．2．（2024·全国·高考真题）已知1a >且8115log log 42a a -=-，则=a ．3．（2024·辽宁丹东·一模）若23a=，35b =，54c =，则4log abc =（）A ．2-B ．12CD ．11．（2024·河南·三模）函数()f x = ）A ．(,0]-∞B ．(,1)-∞C ．[0,1)D ．[0,)+∞1．（2023·广东珠海·模拟预测）函数()lg(21)f x x =-的定义域是（）A ．1,2æö-∞ç÷èøB ．1,2æö+∞ç÷èøC ．1,2æù-∞çúèûD ．1,2éö+∞÷êëø2．（2024·青海海南·二模）函数()2lg 10()x f x x-=的定义域为（）A．(B．(,)-∞+∞U C．[D．(È1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数① y ＝log ax ；② y ＝log bx ；③ y ＝log cx ；④ y ＝log dx 的大致图象如图所示，则下列不等关系正确的是（）A ．a ＋c ＜b ＋aB ．a ＋d ＜b ＋cC ．b ＋c ＜a ＋dD ．b ＋d ＜a ＋c2．（2024·广东深圳·二模）已知0a >，且1a ≠，则函数1log a y x a æö=+ç÷èø的图象一定经过（）A ．一、二象限B ．一、三象限C ．二、四象限D ．三、四象限3．（2024·陕西渭南·二模）已知直线240mx ny +-=（0m >，0n >）过函数()log 12a y x =-+（0a >，且1a ≠）的定点T ，则26m n+的最小值为 .1．（2024高三·全国·专题练习）在同一平面直角坐标系中，函数y ＝1x a，y ＝log a （x ＋12）（a ＞0，且a ≠1）的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．2．（2024·全国·模拟预测）若函数()log 21(0a y x a =-+>，且1)a ≠的图象所过定点恰好在椭圆221(0,0)x y m n m n+=>>上，则m n +的最小值为 .1．（辽宁·高考真题）函数212log (56)y x x =-+的单调减区间为（）A ．52，æö+∞ç÷èøB ．(3)+∞，C ．52æö-∞ç÷èø，D ．()2-∞，2．（2024·江苏南通·模拟预测）已知函数()ln(2)f x ax =+在区间(1,2)上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．a<0B ．10a -£<C ．10a -<<D ．1a ³-3．（2024·全国·高考真题）已知函数22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ì---<=í++³î在R 上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．(,0]-∞B ．[1,0]-C ．[1,1]-D ．[0,)+∞4．（2024·北京·高考真题）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（）A ．12122log 22y y x x ++C ．12212log 2y y x x +<+D ．12212log 2y y x x +>+1．（23-24高三下·青海西宁·开学考试）已知函数()()2lg 1f x x ax =++在区间(),2-∞-上单调递减，则a 的取值范围为．2．（2022高三·全国·专题练习）函数()()215log 232f x x x =-++的单调递减区间为．3．（23-24高三上·甘肃白银·阶段练习）已知()()312,1log ,1a a x a x f x x x ì-+£=í>î是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围为．1．（山东·高考真题）函数2()log 31()xf x =+的值域为（）A ．(0,)+∞B ．[0,)+∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞2．（22-23高三上·河北·阶段练习）已知函数()()2lg 65f x ax x =-+的值域为R ，那么a 的取值范围是 .3．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）函数()[]212log 2,2,6y x x x =+-Î的最大值为 .1．（2024高三·全国·专题练习）函数()[]ln ,1,e f x x x x =+Î的值域为．2．（2023高一·全国·课后作业）函数()212log 617y x x =-+的值域是．3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数()()2log 14f x x x =££，则函数()()()221g x f x f x éù=++ëû的值域为．1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数)2()log f x x =-是奇函数，则=a.2．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）若函数()()(e e ln 1x x m n f x x -=-++（m ，n 为常数）在[]1,3上有最大值7，则函数()f x 在[]3,1--上（）A ．有最小值5-B ．有最大值5C ．有最大值6D ．有最小值7-3．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知函数()21log 1f x a b x æö=-+ç÷+èø，若函数()f x 的图象关于点()1,0对称，则log a b =（）A ．-3B ．-2C ．12-D ．13-1．（22-23高二下·江西上饶·阶段练习）已知函数())3ln3f x x x =--+，[2023,2023]x Î-的最大值为M ，最小值为m ，则M m += .2．（2024·宁夏银川·二模）若()1ln 1f x a b x++-=是奇函数，则b = ．1．（2024·天津·高考真题）若0.30.34.24.2 4.2log 0.2a b c -===，，，则a b c ，，的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b>>D ．b c a>>2．（2022·天津·高考真题）已知0.72a =，0.713b æö=ç÷èø，21log 3c =，则（）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b>>3．（2022·全国·高考真题）设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，则（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c<a<bD ．a c b<<4．（2021·全国·高考真题）设2ln1.01a =，ln1.02b =，1c =．则（）A ．a b c<<B ．b<c<aC ．b a c<<D ．c<a<b1．（2021·天津·高考真题）设0.3212log 0.3,log 0.4,0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <>B ．b c a >>C ．c b a>>D ．a c b>>4．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）设3log 4a =，0.8log 0.7b =，511.02c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c<<D ．c<a<b5．（2024·山西·二模）设202310121011a æö=ç÷èø，202510131012b æö=ç÷èø，则下列关系正确的是（）A ．2e a b <>B ．0a b >>C ．0b a >>D ．0b a>>1. 比较大小: 7log 4 与 9log 6？2．（2024·重庆·模拟预测）设2024log 2023a =，2023log 2022b =，0.2024log 0.2023c =，则（）A ．c<a<b B ．b<c<a C ．b a c<<D ．a b c<<一、单选题1．（2024·河北衡水·三模）已知集合{}()11,2,3,4,51lg 12A B x x ìü==-£-£íýîþ，，则A B =I （）A ．11510x x ìü££íýîþB ．{2,3,4}C ．{2,3}D ．11310x x ìü££íýîþ2．（2024·贵州贵阳·三模）已知()()40.34444,log ,log log a b a c a ===，则（）A ．a b c>>B ．a c b>>C ．b c a>>D ．c a b>>3．（2024·天津滨海新·三模）已知2log 0.42a =，0.4log 2b =，031log 0.4c =.，则（）A ．a b c>>B ．b a c>>C ．c a b>>D ．a c b>>4．（2024·江苏宿迁·三模）已知函数()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时，22()log 13f x x =-，则(f =（）A ．59B ．59-C ．49D ．49-5．（2024·河北沧州·模拟预测）直线4x =与函数()()12log (1),log a f x x a g x x =>=分别交于,A B 两点，且3AB =，则函数()()()h x f x g x =+的解析式为（）A ．()2log h x x =-B ．()4log h x x =-C ．()2log h x x=D ．()4log h x x=6．（2024·江苏盐城·模拟预测）函数cos y x =与lg y x =的图象的交点个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．67．（2024·四川成都·模拟预测）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(3)(1)f x f x +=-，且当(2,0)x Î-时，2()log (3)f x x =+，则(2021)(2024)f f -=（）A ．1B ．1-C ．21log 3-D ．21log 3--二、填空题8．（2024·湖北·模拟预测）若函数()()()2ln e R x f x a x x =--Î为偶函数，则=a.9．（2024·吉林·模拟预测）若函数()ln(1)f x ax =+在(1,2)上单调递减，则实数a 的取值范围为．10．（2024·四川成都·三模）函数()ln 2m x f x x -=+的图象过原点，且()()e e 2x x g x f x m l l --=++，若()6g a =，则()g a -=.一、单选题1．（2024·黑龙江·模拟预测）设函数()ln ||f x x a =-在区间(2,3)上单调递减，则a 的取值范围是（）A ．(,3]-∞B ．(,2]-∞C ．[2,)+∞D ．[3,)+∞2．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数()()()2e 1ln 2013mx f x m x+=->-是定义在区间(),a b 上的奇函数，则实数b 的取值范围是（）A ．(]0,9B ．(]0,3C ．20,3æùçúèûD ．10,3æùçúèû3．（2024·河北·三模）已知(),,1,a b c Î+∞，8ln ln10a a =，7ln ln11b b =，6ln ln12cc =，则下列大小关系正确的是（）A ．c b a>>B ．a b c>>C ．b c a>>D ．c a b>>4．（2024·广西贵港·模拟预测）已知函数41()log (41)2xf x x =+-，若(1)(21)-£+f a f a 成立，则实数a 的取值范围为（）A ．(,2]-∞-B ．(,2][0,)-∞-È+∞C ．4[2,]3-D ．4(,2][,)3-∞-+∞U 5．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知7ln 5a =，2cos 5b =，25c =，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b>>6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数()13,4443log (4)1,4a x x f x x x ì-£ïï-=íï->ïî是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是（）A ．()0,1B．(C．(D ．()1,37．（2024·河北衡水·模拟预测）设0,1a a >≠，若函数())23log 1a x a f x a x a æö-=+ç÷-èø是偶函数，则=a （）A ．12B ．32C ．2D ．38．（2024·湖北黄冈·二模）已知a b c d ,,,分别满足下列关系：1715161731615,log 16,log ,tan 162a b c d ====，则a b c d ,,,的大小关系为（）A ．a b c d<<>，且1³ab ，则下列关系式一定成立的为（）A ．()()b f a bf a =B ．()()()f ab f a f b =+C ．()()a f f a f b b æö³-ç÷èøD ．()()()ln2f a b f a f b +<++三、填空题10．（2024·陕西西安·模拟预测）函数1log 2x a y x a -=++（0a >且1a ≠）的图象恒过定点(),k b ，若m n b k +=-且0m >，0n >，则91m n +的最小值为．1．（2024·全国·高考真题）已知1a >且8115log log 42a a -=-，则=a ．2．（2024·全国·高考真题）设函数()()ln()f x x a xb =++，若()0f x ³，则22a b +的最小值为（）A ．18B ．14C ．12D ．13．（2023·北京·高考真题）已知函数2()4log x f x x =+，则12f æö=ç÷èø．4．（2023·全国·高考真题）（多选）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级020lgp p L p =´，其中常数()000p p >是听觉下限阈值，p 是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车1060~90混合动力汽车105060:电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为123,,p p p ，则（）．A ．12p p ³B ．2310p p >C ．30100p p =D ．12100p p £5．（2022·天津·高考真题）化简()()48392log 3log 3log 2log 2++的值为（）A ．1B ．2C ．4D ．66．（2022·浙江·高考真题）已知825,log 3a b ==，则34a b -=（）A ．25B ．5C ．259D ．537．（2022·全国·高考真题）若()1ln 1f x a b x ++-=是奇函数，则=a ，b = ．8．（2021·天津·高考真题）若2510a b ==，则11a b+=（）A ．1-B ．lg 7C ．1D ．7log 109．（2021·全国·高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 满足5lg LV =+．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（） 1.259»）A ．1.5B ．1.2C ．0.8D ．0.610．（2020·全国·高考真题）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（）A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b。

高三数学一轮复习-对数与对数函数1教案

浙江省衢州市高三数学一轮复习对数与对数函数1教案教材分析：对数函数放在指数函数之后学习，它是指数函数的反函数，与指数函数关系密切。

对数函数的性质是高考的热点，题型一般为选择题、填空题，属于中低档题。

主要考察利用对数函数的性质比较数值大小，求定义域、值域以及对数函数与相应指数函数的关系。

学情分析：对数函数是指数函数的反函数，在研究对数函数之前首先要掌握指数式与对数式的对应关系，在此基础上研究对数的相关性质。

由于对数是高一上学期学的，现在对于这些概念性的题肯定已经模糊，故在教学上以基本的概念、性质为主，为接下来对数函数性质的学习做铺垫。

教学目标：1.理解对数的概念，了解对数与指数的关系；2.理解和掌握对数的性质；3.掌握对数式与指数式的关系.教学重点：对数式与指数式的互化及对数的性质教学难点：推导对数性质。

教学过程：一、知识梳理：1、对数的概念一般地，若a x N(a 0,且a 1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x log a N a叫做对数的底数，N叫做真数.举例：如： 4 2 16,则2 log416，读作2是以4为底，16的对数.1 21 12，则log4 2，读作是以4为底2的对数.2 24提问：你们还能指出一些对数的例子吗？2、对数式与指数式的互化在对数的概念中，要注意：（1）底数的限制a＞0，且a≠１（2）a N log a N xx指数式对数式幂底数←a→对数底数指数←x→对数幂←N→真数说明：对数式log a N可看作一记号，表示底为a（a＞0，且a≠1），幂为N的指数表示x方程a N（a＞0，且a≠1）的解.也可以看作一种运算，即已知底为a（a＞0，且a≠1）幂为N ，求幂指数的运算.因此，对数式log a N 又可看幂运算的逆运算.例题：例1将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.（2）2 6 1 （3）(1) m（1）5=645 4 5.7364 3 （4）log 116 4 （5）log 10 0.01 2 （6）log e 10 2.3032注：（5）、（6）写法不规范，等到讲到常用对数和自然对数后，再向学生说明. （让学生自己完成，教师巡视指导）巩固练习：P 74 练习1、23．对数的性质：提问：因为a ＞0，a ≠1时，a x N x log aN则由１、a ２、a =a 0 =1 1 如何转化为对数式②负数和零有没有对数？③根据对数的定义，a log a N =？（以上三题由学生先独立思考，再个别提问解答）由以上的问题得到a 0 1, a 1a （a ＞0，且a ≠1）①②∵a ＞0，且a ≠1对任意的x 恒有a x N x log aN恒等式：a log a N =N4、两类对数①以10为底的对数称为常用对数，log 10 N 常记为lg N .②以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数，log e N 常记为ln N .以后解题时，在没有指出对数的底的情况下，都是指常用对数，如100的对数等于2，即lg100 2.说明：在例1中，log 10 0.01应改为lg 0.01,log e 10应改为ln10.二、例题讲解例2：求下列各式中x 的值（1）log 64 x 2 （2）log x 8 6 （3）lg100 x （4）lne2x3 分析：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.2 解：（1）x (64)3 (4 ) 3 4 2 23 )4 2 13(3 161 1 1 1（2） x6 8,所以(x 10010 2 （4）由lne 所以x 2 6 )6 (8)6 (2 )6 2 2 2 3 （3）10 x ,于是x 2 2 x,得xlne2,即e -x e 2三、课堂练习：1.将下列指数式与对数式互化，有x 的求出x 的值. 1151 27 （1）52 （2）log 4 x （3）3 x 2 （4）(1)x 64（5）lg0.0001 x （6）lne 5 x 4 2．求a log a blog b c log c N 的值(a,b,c R + ,且不等于1，N ＞0）. 四、归纳小结：对数的定义： a b N b log aN (a ＞0且a ≠1）1的对数是零，负数和零没有对数对数的性质log a a1 a ＞0且a ≠１a log a N N 五、课后作业：一．选择题1、下列各式值为0的是（）A 、1B 、log 3 3C 、(2 3) 0D 、log 2 | 1| 1 2、2 2 5 log的值是（B 、5 ）A 、-5 C 、 1 5 D 、- 1 53、若m=lg5-lg2,则10 5 m 的值是（C 、10）A 、 2 二、填空题B 、3 D 、1 1、lg1+lg0.1+lg0.01=2、log 15 5m,则log 15 3 13 3 5的值.log 三、计算3log 3 5板书设计课题：对数1.对数的概念x若a N(a 0,且a 1)，那么数x叫例题：做以a为底N的对数，记作x log a Na叫做对数的底数，N叫做真数2.对数式与指数式的互换底数的限制a＞0，且a≠１xa N log a N x指数式对数式幂底数←a→对数底数指数←x→对数幂←N→真数3．对数的性质课内练习1的对数是零，负数和零没有对数a＞0且a≠１log a 1alog Na Na。

高三数学高考考前复习：对数及对数函数教案

第三节对数及对数函数一、复习目标：1、理解和掌握对数的运算性质及对数函数的图像与性质。

2、综合运用对数函数的图像与性质解决问题。

二、重难点：重点：掌握对数的运算性质及对数函数的图像与性质。

难点：综合运用对数函数的图像与性质解决问题。

三、教学方法：讲练结合，探析归纳。

四、教学过程（一）、谈新课标要求及考纲要求和高考命题考查情况，促使学生积极参与。

学生阅读复资P19教师讲评，增强目标与参与意识。

（二）、知识梳理整合，方法定位。

（学生完成复资P18填空题，教师准对问题讲评）1、对数的概念如果b N a =（a ＞0，a≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log N b a = b N a =⇔log N b a =（a ＞0，a ≠1，N ＞0）。

2、对数的运算性质：()loglog log MN M N a a b =+。

()log log log M N M N a a b =-. log log n b b n a a =.（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1）。

3、对数换底公式：log N b log log N b aa =（a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）.4、对数函数的图像及性质：①函数log x y a =（a ＞0，a≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，图像如下②对数函数的性质：定义域：（0，+∞）；值域：R ；过点（1，0），即当x=1时，y=0. 当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数。

5、对数函数与指数函数的关系对数函数log a y x =与指数函数x y a =互为反函数，它们的图像关于直线y=x 对称.。

6、重难点问题探析：（1）、对数函数性质的拓展（Ⅰ）同底数的两个对数值)(log x f a 与)1,0)((log ≠>a a x g a 的大小比较若0)(,0)(,1>>>x g x f a ，则0)()()(log )(log >>⇔>x g x f x g x f a a若0)(,0)(,10>><<x g x f a ，则)()(0)(log )(log x g x f x g x f a a <<⇔< （Ⅱ）同真数的对数值大小关系如图对应关系为（1）x y a log =，（2）x y b log =，（3）x y c log =，（4）x y d log =则作直线1=y 得b a d c <<<<<10，即图象在x 轴上方的部分自左向右底数逐渐增大。

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对数与对数函数1．对数的概念一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中__a __叫做对数的底数，__N __叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (MN )＝loga M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )． (2)对数的性质 ①log a Na＝__N __；②log a a N ＝__N __(a >0，且a ≠1)．(3)对数的换底公式log a b ＝log c b log c a (a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0)．3．对数函数的图象与性质(1)(0，＋∞)4.反函数指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．知识拓展1．换底公式的两个重要结论 (1)log a b ＝1log b a；(2)log m n ab ＝n mlog ab . 其中a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，m ，n ∈R . 2．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0<c <d <1<a 0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( × )(2)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × ) (3)函数y ＝ln 1＋x 1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( √ )(4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限．( √ ) 题组二教材改编2．[P74T3]lg 427－23lg8＋lg 75＝________.答案 12解析原式＝lg 4＋12lg 2－lg 7－23lg 8＋lg 7＋12lg 5＝2lg 2＋12(lg 2＋lg 5)－2lg 2＝12.3．[P82A 组T6]已知a ＝132-，b ＝log 213，c ＝121log 3，则a ，b ，c 的大小关系为________．答案 c >a >b解析 ∵0<a <1，b <0，c ＝121log 3＝log 23>1. ∴c >a >b .4．[P74A 组T7]函数y ______．答案 ⎝⎛⎦⎤12，1解析由23log (21)x -≥0，得0<2x －1≤1.∴12<x ≤1. ∴函数y ⎝⎛⎦⎤12，1.题组三易错自纠5．已知b >0，log 5b ＝a ，lg b ＝c ,5d ＝10，则下列等式一定成立的是( ) A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝adD ．d ＝a ＋c答案 B6．已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A ．a >1，c >1B ．a >1,0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1,0<c <1答案 D解析由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0<a <1，∵图象与x 轴的交点在区间(0,1)之间，∴该函数的图象是由函数y ＝log a x 的图象向左平移不到1个单位后得到的，∴0<c <1.7．若log a 34<1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是____________________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞) 解析当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，∴0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，∴a >1.∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞)．题型一对数的运算1．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于( )A.10 B ．10 C ．20 D ．100答案 A解析由已知，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.解得m ＝10.2．计算：⎝⎛⎭⎫lg 14－lg 25÷12100-＝________. 答案－20 解析原式＝(lg 2－2－lg 52)×12100-＝lg ⎝⎛⎭⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.3．计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝________.答案 1 解析原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.思维升华对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．题型二对数函数的图象及应用典例 (1)若函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )答案 B解析由题意y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过(3,1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x ＝⎝⎛⎭⎫13x ，显然图象错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图象性质可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符，故选B.(2)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎫22，1C ．(1，2)D ．(2，2)答案 B解析由题意得，当0<a <1时，要使得4x <log a x ⎝⎛⎭⎫0<x ≤12，即当0<x ≤12时，函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方．又当x ＝12时，124＝2，即函数y ＝4x 的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2.把点⎝⎛⎭⎫12，2代入y ＝log a x ，得a ＝22.若函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，则需22<a <1(如图所示)．当a >1时，不符合题意，舍去．所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，1.引申探究若本例(2)变为方程4x ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为__________．解析若方程4x ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有解，则函数y ＝4x 和函数y ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有交点，由图象知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a 12≤2，解得0<a ≤22. 思维升华 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．跟踪训练 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )答案 C解析函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A ，B ；又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D.故选C.(2)(优质试题·衡水调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴上的截距．由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝log 2x 只有一个交点．题型三对数函数的性质及应用命题点1 对数函数的单调性典例 (1)若a >b >0,0<c <1，则( ) A ．log a c <log b c B ．log c a <log c b C ．a c c b答案 B解析当0<c <1时，y ＝log c x 是减函数， ∴log c a <log c b ，故选B.(2)(优质试题·江西九江七校联考)若函数f (x )＝log 2(x 2－ax －3a )在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，4)B ．(－4,4]C ．(－∞，－4)∪[－2，＋∞)D ．[－4,4) 答案 D解析由题意得x 2－ax －3a >0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y ＝x 2－ax －3a 在(－∞，－2]上单调递减，则a2≥－2且(－2)2－(－2)a －3a >0，解得实数a 的取值范围是[－4,4)，故选D.命题点2 和对数函数有关的复合函数典例已知函数f (x )＝log a (3－ax )(a >0且a ≠1)．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ，则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义，即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立． ∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a 的取值范围为(0,1)∪⎝⎛⎭⎫1，32. (2)假设存在这样的实数a .t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数． ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，f (x )的最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a (3－a )＝1，即⎩⎨⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 思维升华 (1)利用对数函数单调性时要注意真数必须为正，明确底数对单调性的影响． (2)解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据“同增异减”原则判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题．跟踪训练 (1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ) A ．a >c >b B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b答案 D解析 a ＝log 32<log 33＝1，b ＝log 52<log 55＝1. 又c ＝log 23>log 22＝1，所以c 最大．由1<log 23<log 25，得1log 23>1log 25，即a >b ，所以c >a >b .(2)已知函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫1－a2x 的定义域是(1，＋∞)，则实数a 的值为________．答案 2解析由题意，得不等式1－a 2x >0的解集是(1，＋∞)，由1－a2x >0，可得2x >a ，故x >log 2a ，由log 2a ＝1，得a ＝2.比较指数式、对数式的大小考点分析比较大小问题是每年高考的必考内容之一．(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.典例 (1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c log 0.30.3＝1，即c >1. 所以b <a <c . 答案 C(2)(优质试题·新乡二模)设a ＝60.4，b ＝log 0.40.5，c ＝log 80.4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a 1，b ＝log 0.40.5∈(0,1)，c ＝log 80.4<0，∴a >b >c .故选B.答案 B(3)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2，则下列关系中不可能成立的是( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <b <aD ．a <c <b解析由log a 2<log b 2<log c 2的大小关系，可知a ，b ，c 有如下四种可能：①1<c b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b解析易知y ＝f (x )是偶函数．当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫1x ＝|log 2x |，且当x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝log 2x 单调递增，又a ＝f (－3)＝f (3)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫14＝f (4)，所以b >a >c .答案 B1．设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则( )A ．b <a <cB ．c <a <bC ．c 2.∵c ＝0.83.1，∴0<c <1.即c <a <b ，故选B.2．(优质试题·孝义模拟)函数y ＝ln sin x (0<x <π)的大致图象是( )答案 C解析因为0<x <π，所以0<sin x ≤1，所以ln sin x ≤0，故选C.3．已知偶函数f (x )，当x ∈[0,2)时，f (x )＝2sin x ，当x ∈[2，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f ⎝⎛⎭⎫－π3＋f (4)等于( )A ．－3＋2B ．1C ．3 D.3＋2答案 D解析因为f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin π3＝3， f (4)＝log 24＝2，所以f ⎝⎛⎭⎫－π3＋f (4)＝3＋2，故选D. 4．(优质试题·北京)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是( )(参考数据：lg 3≈0.48) A ．1033 B ．1053 C ．1073 D ．1093答案 D解析由题意，lg M N ＝lg 33611080＝lg 3361－lg 1080 ＝361lg 3－80lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28.又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93，故与M N最接近的是1093. 5．(优质试题·江西红色七校二模)已知函数f (x )＝lne x e －x ，若f ⎝⎛⎭⎫e 2 013＋f ⎝⎛⎭⎫2e 2 013＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 012e 2 013＝503(a ＋b )，则a 2＋b 2的最小值为( )A ．6B ．8C ．9D ．12答案 B解析 ∵f (x )＋f (e －x )＝2，∴f ⎝⎛⎭⎫e 2 013＋f ⎝⎛⎭⎫2e 2 013＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 012e 2 013＝2 012， ∴503(a ＋b )＝2 012，∴a ＋b ＝4.∴a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝8，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．6．若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为( )A ．[1,2)B ．[1,2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 A解析令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上单调递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)，故选A.7．若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝________. 答案 433解析 ∵a ＝log 43＝22log 3＝12log 23＝log 23，∴2a ＋2－a ＝log 2log 2－＝3＋log 2＝3＋33＝433. 8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是__________．答案 [0，＋∞)解析当x ≤1时，由21－x ≤2，解得x ≥0，所以0≤x ≤1；当x >1时，1－log 2x ≤2，解得x ≥12，所以x >1. 综上可知x ≥0.9．(优质试题·南昌模拟)设实数a ，b 是关于x 的方程|lg x |＝c 的两个不同实数根，且a <b <10，则abc 的取值范围是________．答案 (0,1)解析由题意知，在(0,10)上，函数y ＝|lg x |的图象和直线y ＝c 有两个不同交点，∴ab ＝1,0<c <lg 10＝1，∴abc 的取值范围是(0,1)．10．函数f (x )＝log 2x ·()2x 的最小值为________．答案－14解析 f (x )＝log 2x ·()2x ＝12log 2x ·2log 2(2x )＝log 2x (1＋log 2x )．设t ＝log 2x (t ∈R )，则原函数可以化为y ＝t (t ＋1)＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－14(t ∈R )，故该函数的最小值为－14.故f (x )的最小值为－14. 11．已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫13，1解析当0<a <1时，函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上是减函数，所以log a ⎝⎛⎭⎫43－a >0，即0<43－a <1，又2×12－a >0，解得13<a <43，且a <1，故13<a <1；当a >1时，函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上是增函数，所以log a (1－a )>0，即1－a >1，且2×12－a >0，解得a <0，且a <1，此时无解．综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，1.12．(优质试题·长沙模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝12log x .(1)求函数f (x )的解析式；(2)解不等式f (x 2－1)>－2.。