量子跃迁
量子跃迁
Cnk (t) e−iEn t/ |ψn ⟩
Cnk (t) = ⟨ψn |ψ (t)⟩
我们增加k 的指标是为了表明扰动之前是处在|ψk ⟩这个本征态上，出现跃迁是从Ek 这个能级上跃迁出来 的。 按照统计诠释，t时刻测量力学量F ，得到Fn 的几率应该为 Pnk (t) = |Cnk (t)| = |⟨ψn |ψ (t)⟩|
) ′ ′ eiωmk t ∂Hmk (t′ ) ′ + dt |m⟩ e−iEm t/ = δmk − ωmk ωmk ∂t′ −∞ m ) ( ′ ∑ e−iEm t/ ∫ t ∂H ′ (t′ ) ∑ ′ Hmk ′ ′ mk |m⟩ e−iEk t/ − eiωmk t dt′ |m⟩ = |k ⟩ + ′ Ek − Em Ek − Em −∞ ∂t m m ∑ ( t) ∫
t > t0 t < t0
ˆ 0 ，在某个时刻开始加上一个扰 也就是说，在无外界相互作用的时候，体系Hamiltonian 为不含时的H ˆ ′ (t)。 动H ˆ 0 本征态|ψk ⟩上， t < t0 时是定态问题，系统处于H ˆ 0 |ψn ⟩ = En |ψn ⟩ H |ψk (t)⟩ = e−iEk t/ |ψk ⟩ (t < t0 )
t iωmk t′ ′ Hmk ′ ′
∫
(1) Cmk
(t)
当t < 0，H 有加上微扰，量子态随时间的演化只是一个非定 态的不含时问题，各成分保持不变。从另一个角度也可以理解为跃迁出去多少，从所有别的态跃迁回来 也是多少。 当0 < t < T ， Cmk (t) = −
(1) ′ eiωmk t Hmk ( t) + ωmk
∫
曾谨言《量子力学教程》(第3版)配套题库【课后习题-量子跃迁】
第11章量子跃迁11.1 荷电q的离子在平衡位置附近作小振动（简谐振动），受到光照射而发生跃迁，设照射光的能量密度为ρ（w），波长较长．求：（a）跃迁选择定则；（b）设离子原来处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的概率．解：（a）具有电荷为q的离子，在波长较长的光的照射下，从n→n'的跃迁速率为而根据谐振子波函数的递推关系（见习题2.7）可知跃迁选择定则为（b）设初态为谐振子基态（n＝0），利用可求出而每秒钟跃迁到第一激发态的概率为11.2 氢原子处于基态，受到脉冲电场的作用．试用微扰论计算它跃迁到各激发态的概率以及仍然处于基态的概率（取E0沿z轴方向来计算）．【解答与分析见《量子力学习题精选与剖析》[上]，10.2题，l0.3题】10.2 氢原子处于基态，受到脉冲电场作用，为常数．试用微扰论计算电子跃迁到各激发态的概率以及仍停留在基态的概率．解：自由氢原子的Hamilton量记为H0，能级记为E n，能量本征态记为代表nlm 三个量子数），满足本征方程如以电场方向作为Z轴，微扰作用势可以表示成在电场作用过程中，波函数满足Schr6dinger方程初始条件为令初始条件（5）亦即以式（6）代入式（4），但微扰项（这是微扰论的实质性要点!）即得以左乘上式两端，并对全空间积分，即得再对t积分，由即得因此t＞0时（即脉冲电场作用后）电子已经跃迁到态的概率为根据选择定则终态量子数必须是即电子只跃迁到各np态（z＝1），而且磁量子数m＝0．跃迁到各激发态的概率总和为其中a o为Bohr半径．代入式（9）即得电场作用后电子仍留在基态的概率为10.3 氢原子处于基态，受到脉冲电场作用，为常数．求作用后（t ＞0）发现氢原子仍处于基态的概率（精确解）．解：基态是球对称的，所求概率显然和电场方向无关，也和自旋无关．以方向作z 轴，电场对原子的作用能可以表示成以H0表示自由氢原子的Hamilton量，则电场作用过程中总Hamilton量为电子的波函数满足Schr6dinger方程初始条件为为了便于用初等方法求解式（3），我们采取的下列表示形式：的图形如下图所示．注意图11-1式（5）显然也给出同样的结果．利用式（5）．，可以将式（1）等价地表示成下面将在相互作用表象中求解方程（3），即令代入式（3），并用算符左乘之，得到其中一般来说，H'和H0不对易，但因H'仅在因此一H'，代入式（8）即得再利用式（1'），即得初始条件（4）等价于方程（11）满足初始条件的解显然是代入式（7），即得这是方程（3）的精确解．t＞0时（电场作用以后）发现电子仍处于基态的概率为计算中利用了公式利用基态波函数的具体形式容易算出a o为Bohr半径．将上式代入式（15），即得所求概率为这正是上题用微扰论求得的结果，为跃迁到各激发态的概率总和．11.3 考虑一个二能级体系，Hamilton量H0表示为（能量表象）设t＝0时刻体系处于基态，后受到微扰H'作用（α，β，γ为实数）求t时刻体系跃迁到激发态的概率．【解答与分析见《量子力学习题精选与剖析》[上]，10.4题】10.4 有一个二能级体系，Hamilton量记为H0，能级和能量本征态记为E1，。
量子跃迁讲解
量子跃迁讲解
科普部分：
首先，咱们先说说虚实数。
现在假设一个量子，它的变化可以有许多种，它没变化的时候是量子态1，变化后它可以是量子态2、量子态3、量子态4...等无数种情况，但是他变换后就只能是一直情况了，也就是说量子态1变化后只能是量子态2、量子态3、量子态4....中的其中一个，这就是虚实数的概念。
量子跃迁的概念无非也是这样，爱因斯坦等人认为在量子态1和变化后的量子态1（量子态3、量子态4...中的其中一个）这个变化是有过程的，是跳跃式的，即这个过程就为量子跃迁。
正文部分：
量子跃迁变化之前被称为为“初态”，发生后被称为“未态”。
微观状态下，电子有一个最低能量，在这个能量中，不考虑特殊的核反应下，电子可以处于稳定状态。
如果电子能量增加，电子就可以吸收某些特定的能量。
电子所吸收的就是不同能级之间的能量差，最低的能级称为基态，其他统称为激发态。
量子跃迁具有概率性。
每个原子停留在激发态的时间不尽相同，但是据研究发现，大部分某种原子它的激发态时间平均为τ，激发态的时间的倒数也就是τ分之一就是跃迁速率。
两个量子态之间跃迁要遵循一定的规律，这种规律用量子数的改变表示出来就叫做叫做选择定则。
原子的量子离散能级与跃迁概率的计算
原子的量子离散能级与跃迁概率的计算从原子的结构来看，其是由原子核与电子云组成，其中原子核包括了质子与中子，而电子云则是由电子构成。
在原子的结构中，电子会在特定的能级上运动，而这些能级是离散的，也就是说，电子只能在这些特定的能级上运动，而不能在中间或者其他的能级上。
这种能级的离散性与原子内部电子的能量量子化密切相关。
在原子结构中，电子的运动状态与其所处能量的大小和方向有关，具体而言，就是关于构成令其处于电场力场的电场强度和方向、磁场力场的磁感应强度和方向，原子核的形状和位置等多个方面进行了综合考虑。
当这些因素组合起来，电子就会沉淀到一些特定的能量水平上，就构成了量子离散能级。
对于原子内部的电子来说，量子离散能级决定了其能量的大小和方向，同时也会决定电子能否从一个能级跃迁到另外一个能级。
在原子结构中，由于电子运动的惯性，其是不可能完全停留在某一个能级上的，除非原子被加热或者受到外界的刺激，电子才会跃迁到另外一个能级。
而这种跃迁的概率与原子内部量子电动力学过程非常相关。
在计算原子的跃迁概率时，其实可以采用一些基础的数学公式，如费米黄金法则和爱因斯坦余辉系数法则等。
其中，费米黄金法则主要是用于计算原子过渡概率，对于原子的平均寿命有一定的预测作用。
而在爱因斯坦余辉系数法则中，可以根据原子发射的光子数与注入原子的总粒子总数之比，来计算原子发射的相对强度。
在实际中，由于原子内部结构比较复杂，而且所受到各种力场的影响也比较复杂，因此计算原子的量子离散能级和跃迁概率也是比较复杂的。
在现代物理学和计算机技术的支持下，目前已经出现了一些常见的计算方法和技术，以帮助我们更有效地计算原子的量子离散能级和跃迁概率。
例如，量子化学、量子力学和计算机模拟等领域已经对原子结构和性质进行了详细的研究。
利用这些技术，人们能够从原子结构的基础方程开始，透彻地分析原子内部的电荷分布、电子云形态、能量分布等，进而准确计算原子的量子离散能级，以及跃迁概率。
曾谨言 量子力学第一卷 习题答案解析11第十一章
根据谐振子的无微扰能量本征函数来计算这矩阵元
xk/k =
∫
∞
−∞
) ψ k( 0 ' dx
（3）
( 0) 式中ψ k ( x) =
a π k!2
k
H k (ax ) ， a =
µω ℏ
~446~
要展开（3）式，可以利用谐振子定态波函数的递推公式：
xψ k( 0 ) =
1 k ( 0) { ψ + α 2 k −1
~448~
−
a2 ( k ' + k )πx a cos }0 (k ' − k ) 2 π 2 a
'
4k 'ka ( −1) k + k − 1 = ⋅ π 2 (k ' 2 − k 2 ) 2
(3)
从最后一式知道，要使矩阵元 x k ' k ≠ 0 ， k ' + k 必需要是奇数。但这个规律也可以用别种 方式叙述，当 k ' + k 是奇数时
∫ dϕ
ϕ =0
=
e
32πa 4 27 *5 ae 35
⋅ห้องสมุดไป่ตู้4!⋅(
π − 2a 5 1 ) ⋅ ( − cos 3 θ ) 2π 3 3 0
（11）
=
将三种值分别代入（7） ，得 C211,100 = 0, C21−1,100 = 0
C210 ,100 =
2 7⋅ 5 ⋅a i 35 ℏ[(ω k ' − ω k ) + ] τ
Wk 'k =
2 4π 2 q 2 x ρ (ω k ' k ) ' kk 3ℏ 2 2
' 64a 2 q 2 k' k 2 = ⋅ ⋅ [( −1) k + k − 1] 2 ⋅ ρ (ω k ' k ) 2 2 2 3π ℏ ( k ' − k 2 ) 4
量子跃迁的三种形式
量子跃迁的三种形式
量子跃迁是量子力学中重要的现象之一，它描述的是一个量子系统由一个能级向另一个能级的跃迁。
根据跃迁的方式不同，可将量子跃迁分为三种形式：
1. 自发跃迁：自发跃迁是指一个量子系统在没有外界干扰的情况下，由高能级向低能级跃迁的过程。
在这个过程中，量子系统会发出一个光子，能量等于能级差值。
自发跃迁是量子力学中最简单的一种现象，也是实验中最容易观测到的一种跃迁形式。
2. 受激跃迁：受激跃迁是指一个量子系统在外界干扰下，由低能级向高能级跃迁的过程。
这种干扰可以是光子、电磁波、粒子束等，只要它们的能量等于能级差值即可。
在受激跃迁中，输入的能量被转化为一个光子，能量等于能级差值。
受激跃迁是激光等技术的基础，也是量子光学领域中的重要现象。
3. 自发受激跃迁：自发受激跃迁是指一个量子系统在外界干扰下，由高能级向低能级跃迁，并且在这个过程中发射一个光子，同时另一个光子被输入到系统中，使得系统从低能级向高能级跃迁。
这种跃迁形式在量子光学中有广泛的应用，如拉曼散射、共振荧光等。
总之，量子跃迁是量子力学中重要的现象，它的三种形式分别是自发跃迁、受激跃迁和自发受激跃迁。
这些现象不仅在理论上有很重要的意义，还有广泛的应用价值。
- 1 -。
量子跃迁
量子跃迁所谓的量子跃迁就是微观状态发生跳跃式变化的过程。
由于微观粒子的状态常常是分立的，所以从一个状态到另一个状态的变化常常是跳跃式的。
量子跃迁发生之前的状态称为初态，跃迁发生之后的状态称为末态。
例如，原子在光的照射下从高能态放出一个光子而跃迁到低能态就是一种量子跃迁过程，称为原子的“受激辐射”。
在外界作用下，任何一种量子力学体系状态发生跳跃式变化的过程。
原子在光的照射下从高(低)能级跳到低（高）能级，就是一种典型的量子跃迁过程，通常称为能级跃迁。
在原子状态发生跃迁的同时，将放出（吸收）一个光子，其能量hv等于跃迁前后两状态的能量差。
这是能量守恒定律在基元过程中的具体表现。
即使不受光的照射，处于激发状态的原子在电磁场真空（电磁场中一个光子也没有的状态）的作用下仍能跃迁到较低能级，同时放出一个光子，这称为自发跃迁或自发辐射。
量子跃迁发生之前的状态称为初态，跃迁发生之后的状态称为末态。
例如，原子在光的照射下从高能态放出一个光子而跃迁到低能态就是一种量子跃迁过程，称为原子的“受激辐射”。
反之，在光照下原子从低能态吸收一个光子而跃迁到高能态，则称为“吸收”过程。
在这些过程中放出或吸收的光子的能量等于原子的初态和末态两个能级之差，这是能量守恒定律在微观现象中的体现。
不受到光的照射，处于激发态的原子也可能自动跃迁到低能态，同时放出一个光子，此过程称为“自发辐射”。
此外在原子核和基本粒子现象中也存在许多量子跃迁现象，如原子核和基本粒子的衰变过程、聚变过程和裂变过程等。
量子跃迁过程的重要特征是它的概率性。
例如在自发跃迁过程中，若初态时有许多原子处于某一激发态，则跃迁过程的概率性表明人们无法预言其中某个原子自发跃迁到基态的确切时刻。
或许有些原子跃迁发生得早些，而有些发生得迟些。
所以每个原子停留在激发态的时间（称为激发态寿命）并不相同。
但是对于大量某种原子来说，每一激发态寿命的平均值τ是一定的，可以通过实验测定，也可通过量子理论算出。
高等量子力学-理论方法-量子跃迁理论 ppt课件
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11
2. 一阶常微扰
（1）含时 Hamilton 量
设 H’ 在 0 t t1 这段时间之内不为零，但与时间无关，
即： 0
t0
Hˆ
Hˆ
(r)
0
0 t t1 t t1
（2）一级微扰近似 am(1)
H’mk 与 t 无关 (0 t t1)
am(1)(t )
an (t )n
n
i t n
an (t )n Hˆ (t )
n
an (t )n
i
n
d dt
an
(t
)
n
i
n
an (t
)
t
n
i t
n
Hˆ 0n
相 an(t )Hˆ 0n an(t )Hˆ (t)n
n
m* Hˆ (t )nd
i n
d dt
an(t ) mn
n
an (t )
* m
Hˆ
(
t
)
ne
i[
m
n
]t
/
d
d
i dt am (t) n
an(t )Hˆ m neimn t
其中
Hˆ
m n
* m
Hˆ
(t
)
nd
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4
含时微扰理论
i Hˆ (t ) t
Hˆ 0 n n n
i t
n
Hˆ 0n
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am(1) (t )
Fmk i
t [e it e it ]e imk t dt
0
Fmk t [ei[mk ]t ei[mk ]t ]dt i 0
Fmk i
e i[mk ]t
i[mk ]
e i[mk ]t t
i[mk ]
0
Fmk
ei[mk ]t 1 ei[mk ]t 1
第二项起 主要作用
第一项起 主要作用
am (1) (t )
Fmk
it
e i 2mk t 1
2 mk
(III) 当ω≠ ±ωmk 时，两项都不随时间增大
总 之 ， 仅 当 ω =±ωmk = ±(εm –εk)/ 或εm =εk ± ω时，出现明显跃迁。这就是说，仅 当外界微扰含有频率ωmk时，体系才能从φk态跃迁到 φm态，这时体系吸收或发射的能量是 ωmk 。这说明 我们讨论的跃迁是一种共振现象。
因此我们只需讨论 ω≈ ± ωmk 的情况 即可。
（3）跃迁几率
当 ω=ωm k 时， 略去第一项，则
am(1)
Fmk
e i[mk ]t
mk
1
此式与常微扰情况的表达式类似，只需作代换：H 'mk→ Fmk , ωmk → ωmk-ω，常微扰的结果就可直接引用，于是得简谐微 扰情况下的跃迁几率为：
d
m
(
m
)
2
| Hm k
|2
( m
k )
2
| H m k
|2
( m )
（三）简谐微扰
（1）Hamilton 量
t=0 时加入一个简谐 振动的微小扰动：
Hˆ
(t
)
0
Aˆ
cos
t
t0 t 0
F 是与 t无关 只与 r 有关的算符
为便于讨论，将上 式改写成如下形式
Hˆ (t )
0
Fˆ
[e
it
eit ]
[an(0) 2an(1) 3an(2) ]Hˆ m neimn t
n
(4)解这组方程，我们可得到关于 an 的各级近似解，近而得到波函 数 的近似解。实际上，大多数 情况下，只求一级近似就足够了。
da
(0) m
dt
0
零级近似波函数 am(0)不随时 间变化，它由未微扰时体系 所处的初始状态所决定。
（二）含时微扰理论 假定 H0
的本征
i Hˆ (t ) t
函数 n 满足：
Hˆ 0 n n n
i t
n
Hˆ 0n
H0 的定态波函数可以写为： n =n exp[-iεnt / ] 满足左边含时 S - 方程：
代 入
定态波函数 n 构成正交完备系，整 个体系的波函数 可按 n 展开：
2
| Fmk |2 ( m k )
4. 将式中角标 m, k 对调并注意到 F 的厄密性，即得 体系 由 m 态到 k 态的跃迁几率：
mk
2
| Fkm
|2
( k
m
)
2
| Fmk
|2
([ m
k
])
2
| Fmk
|2
( m
k
)
km
即
体系由 Φm → Φk 的跃迁几率
等于
由 Φk → Φm 的跃迁几率。
（1）引进一个参量，用 H’ 代替 H’（在最后结果中再令 = 1）；
（2）将 an(t) 展开成下列幂级数； an an(0) an(1) 2an(2)
（3）代入上式并按幂次分类；
i
dam(0)
dam(1)
2
dam(2)
dt
dt
dt
n
[an(0) an(1) 2an(2) ]Hˆ m neimn t
* m
Hˆ
(t
)
ne
i[
m
n
]t
/
d
d
i dt am (t ) n
an (t )Hˆ m neimn t
该式是通过展开式
an (t )n
改写而成的
n
Schrodinger方程的另一种形式。仍是严格的。
其中
Hˆ
m n
* m
Hˆ
(t
)
nd
mn
1 [
m
n]
微扰矩阵元
Bohr 频率
求解方法同定态微扰中使用的方法：
Hm k 1 eimk t i i mk
t H m k e imk t 1 H m k e imk t 1
0
mk
mk
H m k eimk t / 2 eimk t / 2 eimk t / 2 mk
H m k
mk
2i e i mk
t
/
2
sin(
1 2
mk
t
)
（3）跃迁几率和跃迁速率
Wkm | am(1)(t) |2
Hm k
mk
2
2ieimk
t
/
2
sin(
1 2
mk
t
)
4|
Hm k
|2
sin2
(
1 2
mk
t
)
2mk 2
极限公式：
lim
sin2 (x) x2
( x)
则当t →∞ 时 上式右第二个分式有如下极限值：
lim t
sin
2
(
1 2
mk
1
所以
a1(1) (t )
e
(e i10t 1)
210
W01 a1(1) 2
2
e
(e i10t 1)
210
e 2 2
2 22102
(e i10t
1)(e i10t
1)
e 2 2
2
2 2
2
10
[2 (e i10t
e i10t )]
e 2 2
2 2
2
10
[1
cos(10t )]
[mk ]
[mk ]
（2）几点分析
ei[mk ]t 1
lim
mk
[mk ]
it
(I) 当ω = ωmk 时，微扰频率ω 与 Bohr 频率相等时，上式第二项 分子分母皆为零。求其极限得：
am(1) (t )
Fmk
ei 2mk t
2 mk
1
it
(II) 当ω = ωmk 时，同理有：
mk
1 i
t 0
Hm k eimk t dt
末态不等于初态时 mk = 0，则
am (t) am(1)(t)
所以体系在微扰作用下由初态 k 跃迁到末态m 的 几率在一级近似下为：
Wkm | am(1)(t ) |2
1 i
t 0
2
Hm k eimk t dt
（二）一阶常微扰
（1）含时 Hamilton 量
Wkm
| Fmk 2
|2
2t (mk
)
2t
2
| Fmk
ห้องสมุดไป่ตู้|2
(
1
[
m
k])
2t
|
Fmk
|2
( m
k
)
同理， 对于 ω = -ωm k 有：
Wkm
2t
| Fmk
|2
(m
k
)
二式合 记之：
Wkm
2t
| Fmk
|2
( m
k
)
（4）跃迁速率 或：
（5）讨论
km
Wkm t
2
| Fmk
|2 (m
在常微扰下，体系将跃迁到与初态能量相同的末态，也就是说 末态是与初态不同的状态，但能量是相同的。
2. 式中的δ(εm -εk) 反映了跃迁过程的能量守恒。 3. 黄金定则 设体系在εm附近dεm范围内的能态数目是ρ(εm) dεm，则 跃迁到εm附近一系列可能末态的跃迁速率为：
d m ( m )km
第七章 量子跃迁
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§1 含时微扰理论
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(一) 引言 （二）含时微扰理论
(一) 引言
上一章中，定态微扰理论讨论了分立能级的能量和波函 数的修正，所讨论的体系 Hamilton 算符不显含时间，因而求解 的是定态 Schrodinger 方程。
2
2 mk
t)
(
1 2
mk
)
2 ( m
k
)
2 ( m k )
于是：
Wkm
2t
|
Hm k
|2
( m
k )
跃迁速率：
km
Wkm t
2
| Hm k
|2 ( m
k)
（4）讨论
1.上式表明，对于常微扰，在作用时间相当长的情况下，跃迁 速率将与时间无关，且仅在能量εm ≈εk ，即在初态能量的小 范围内才有较显著的跃迁几率。
本章讨论的体系其 Hamilton 算符含有与时间有关的微扰， 即：
Hˆ (t) Hˆ 0 H(t)
因为 Hamilton 量与时间有关，所以体系波函数须由含时 Schrodinger 方程解出。但是精确求解这种问题通常是很困难的，而定态 微扰法在此又不适用，这就需要发展与时间有关的微扰理论。
含时微扰理论可以通过 H0 的定态波函数近似地求出微扰 存在情况下的波函数，从而可以计算无微扰体系在加入含时微扰 后，体系由一个量子态到另一个量子态的跃迁几率。
k
)