导数在经济中的应用

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• 例3 某工厂生产某产品，固定成本为 20000元，每生产一单位产品，成本增加100 元。 • 已知总收益R是年产量Q的函数
• 问每年生产多少产品时，总利最大？此时 总利润是多少？
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4、函数的相关变化率----函数的弹性
• 前面所谈的函数改变量与函数变化率是绝对改变 量与绝对变化率，但是从实践中可看到，仅仅研究此 是不够的。
应改变的真值应为
。但当x改变的
•“单位”很小时，或 x 的“一个单位”与
•值相对来比很小时，则有
•
•当
时，标志着 由 减少一个单
位
•
• 这说明 在点
处，当 产生一个
单位的改变时， 近似改变 个单位。在
应用问题中解释边际函数值的具体意义时我
们略去“近似”二字
•
• 例1函数
，在点
处的
边际函数值
，它表示当
时,
改变一个单位， （近似）改变20个单位。
•
• 例2 设某产品成本函数C= C(Q) (C为总成
本，Q为产量），其变化率
称为边
际成本。
称为当产量达到 时的边际
成本 。
• 西方经济学家对它的解释是：当产 量达到 时，生产 前最后一个单位产 品所增添的成本。
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2、成本 • 某产品的总成本是指生产一定数量的产 品所需的全部经济资源投入（劳力、原料、 设备等）的价格或费用总额。它由固定成本 与可变成本组成。
• 例2 例1中的商品，当产量Q为多少时 ，平均成本最小？
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3、收益
• 总收益是生产者出售一定量产品所得到 的全部收入。 • 平均收益是生产者出售一定量的产品， 平均每单位产品所得到的收入。即单位商品的 售价。
•边际收益为总收益的变化率。
•
•总收益，平均收益，边际收益均为产量的函数 • 设P为商品价格，Q为商品量，R为总收益， • 为边际收益。则有
的 边际函数
• 例 若已知需求函数为 •则边际需求函数为
• 当P=4时，
称为P=4时的边际需求，
它的经济含义表示：当价格P=4时，价格上涨（或下
跌）1个单位时，需求将减少（或增加）4个单位。
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•（2）供给函数 • “供给”指在一定条价格条件下，生产者愿意出 售并且有可供出售的商品量。
• 供给也是由多种因素决定的，这里略去价格以 外的其它因素，只讨论供给与价格的关系。
• 比如，商品a每单位价格10元，涨价1元；商品 b每单位价格是1000元，也涨价1元，两种商品价格 的绝对改变量都是1元，但各自与其原价相比，两 者涨价的百分比却有很大的不同，商品a涨了10% ，而商品b涨了0.1%。因此有必要研究函数的相对 改变量与相对变化率。
•
• 定义4.5 设函数
在点
•函数的相对改变量 自
• L(Q)取得最大值的必要条件为：
•
，即
• 于是可取得最大利润的必要条件是：边际收 益等于边际成本。
•
• L(Q)取得最大值的充分条件为：
•
即
• 于是可取得最大利润的充分条件是：边际 收益的变化率小于边际成本的变化率。
•
• 例2 已知某产品的需求函数为P=10-Q/5 ，成本函数为C=50+2Q,求产量为多少时总利 润L最大？并验证是否符合最大利润原则。 •
烈程度或灵敏度。
•
•
表示在点 处，当x产生1%的改变时
，f(x)近似改变
%。在应用问题中解释弹
性的具体意义时，我们也略去“近似”二字。
•注意： 两点间的弹性是有方向性的，因为“相对性” 是对初始值而言的。
•
•例1 求函数 •例2 求函数
在
处的弹性。
的弹性函数 及
•例3 求幂函数
（ 为常数）的弹性函数
•设P表示商品价格,Q表示供给量,那么有 •(P为自变量,Q为因变量)称为供给函 数.
•
• 一般说来,商品价格低，生产者不愿意生产，供给
少；商品价格高，供给多。因此一般供给函数为单调
• 平均成本是生产一定量产品，平均每 单位产品的成本。
• 边际成本是总成本的变化率，即总成本函 数的导数
•
• 设 C为总成本, 为固定成本, 为可变 •成本， 为平均成本， 为边际成本，Q为 产 •量，则有
•总成本函数
•平均成本函数
•边际成本函数
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•例1 已知某产品的成本函数为
• 求：当Q=10时的总成本、平均成本及边际 成本。
导数在经济中的应用
2020年5月30日星期六
•1、边际函数
• 设函数 为边际函数。
可导，导函数
•
称为 在
•内的平均变化率，它表示在
•的平均变化速度。
•
•
也称 内
• 在点
处的导数
称为 在点
•
处的变化率，也称为 在点
处
的边际函数值。它表示 在点
处的变化
速度。
•
• 在点 处， 从 改变一个单位， 相
•
•设P表示商品价格，Q表示需求量，那么有 •Q=f(P) (P为自变量， Q为因变量) 称为需求函 数
• 一般说来，商品价格低，需求大；商品价高， 需求小。因此需求函数Q=f(P) 是单调减少函数。
• 因Q=f(P) 单调减少，所以有反函数 •，也称为需求函数。
•
•用D来表示需求曲线
•
• 需求函数 称为边际需求。
。 •（该函数称为不变弹性函数）
•
5、需求函数与供给函数
•（1）需求函数 • “需求”指在一定价格条件下，消费者愿意购买 并且有支付能力购买的商品量。
• 消费者对某种商品的需求是多种因素决定的,商品 的价格是影响需求的一个主要因素,但还有许多其他因 素,如消费者收入的增减,其它代用品的价格等都会影响 需求。我们现在不考虑价格以外的其它因素（把其它 因素对需求的影响看作不变的），只研究需求与价格 的关系。
处可导， ，与
•变量的相对改变量
之比
，称为函数
•从
到
•率，或称为两点间的弹性。
两点间的相对变化
•
•当
时，
的极限称为
在
• 处的相对变化率，也就是相对导数，或称弹性 。
•记作
，或
•即
=
•
•对一般的x，若f(x)可导，则有
•是x的函数，称为f(x)的弹性函数。
•函数f(x)在点x的弹性
反映随x的变化
f(x)变化幅度的大小，也就是f(x)对x变化反应的强
•需求函数 P=P(Q) •总收益函数 R=R(Q) •平均收益函数 •边际收益函数
•
•需求与收益的关系有：
•
• 总收益与平均收益 的关系为： •总收益与边际收益的关系为：
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• 例1 设某产品的价格与销售量的关系 为P=10 -Q/5，求销售量为30时的总收益、平 均收益与边际收益。
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•下面讨论最大利润原则： • 设总利润为L，则 L=L(Q)=R(Q)-C(Q)