奥数专题裂项法含答案
小学奥数教程-分数裂项计算 (含答案)
教师版
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【考点】分数裂项
【难度】2 星
【题型】计算
【解析】 1 + 1 + 1 + + 1 = 1 × (1 − 1 + 1 − 1 + … + 1 − 1 ）= 50
1×3 3×5 5× 7
99 ×101 2 3 3 5
99 101 101
【答案】 50 101
【巩固】 计算：
【考点】分数裂项
【难度】3 星
【题型】计算
【解析】原式 =1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 = 1 2 5 5 7 7 11 11 16 16 22 22 29 29 2
【答案】 1 2
【例 4】 计算： (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ) ×128 = 8 24 48 80 120 168 224 288
【答案】12
【巩固】 251 + 251 + 251 + + 251 + 251
4 × 8 8 ×12 12 ×16
2000 × 2004 2004 × 2008
【考点】分数裂项
【难度】2 星
【题型】计算
【关键词】台湾，小学数学竞赛，初赛
【解析】 原式
=251 16
×
1 1×
2
+
2
1 ×
裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是 x(x 为任意自然数)的，但是只要将 x 提取出来即可转化为分子都是 1 的运算。
小学奥数专题--分数裂项
答案
变式训练2计算：
解析：原式＝ ＋ ＋…+ + +…+
＝ ( － )＋ ( － )
＝ ＋ ＝ ＋
＝
答案
变式训练3
解析：原式
答案
变式训练4
解析： ＝ ＝ － ＝ －
＝ ＝ － ＝ －
＝ ＝ － ＝ － ……
＝ ＝ －
＝ －
原式
答案
例9
解析：原式
答案
变式训练1
解析：原式
答案
例10计算： ．
解析：如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2的等差数列(该数列的第 个数恰好为 的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算．
观察可知 ， ，……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以
所以原式 ．
（法二）
上面的方法是最直观的转化方法，但不是唯一的转化方法．由于分子成等差数列，而等差数列的通项公式为 ，其中 为公差．如果能把分子变成这样的形式，再将 与 分开，每一项都变成两个分数，接下来就可以裂项了．
，
所以原式 ．
（法三）
解析：原式
答案
例19 计算：
解析：
所以原式
答案
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
2、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
（1） （2）
裂和型运算与裂差型运算的对比：
奥数：1-2-1分数裂项
教学目标本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为 观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分 运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分， 列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的 前提，是能力的体现，对学生要求较高。
目加归 知识点拨分数裂项将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法•裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的 观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂 的计算，一般都是中间部分消去的过程， 这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
（1）对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 丄形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a ：：：b ，a =<b那么有代=亡（a 4）（2）对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即:11 1 1 i[ ] n (n 1) (n 2) 2 n (n 1) (n 1)(n 2)11 1n (n 1) (n 2) (n 3) ~3[n (n 1) (n 2)裂差型裂项的三大关键特征:（1） 分子全部相同，最简单形式为都是 1的，复杂形式可为都是 x （x 为任意自然数）的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2） 分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻 2个分母上的因数“首尾相接”（3） 分母上几个因数间的差是一个定值。
常见的裂和型运算主要有以下两种形式:“裂差”型运算1 n (n 1) (n 2)1n (n 1) (n 2) (n 3)形式的，我们有:_____ 1 ____(n 1) (n 2) (n 3)]“裂和”型运算:(1)a b = a b J 1 ( 2)a2 b2 _ a2 a xb axb a：<b b a axb a>:b裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的” 同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
小学奥数--分数裂项-精选练习例题-含答案解析(附知识点拨及考点)
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
，本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-⨯- 、(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
$知识点拨教学目标分数裂项计算二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
(完整版)裂项相消法求和附答案
裂项相消法利用列项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面剩两项，再就是通项公式列项后，有时需要调整前面的系数，使列项前后等式两边保持相等。
（1）若是{a n }等差数列，则)11.(1111++-=n n n n a a d a a ,)11.(21122n ++-=n n n a a d a a（2）11111+-=+n n n n ）（ （3）)11(1)(1kn n k k n n +-=+（4）)121121(2112)121+--=+-n n n n ）（（（5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n（6）n n n n -+=++111（7）)(11n k n kkn n -+=++ 1.已知数列的前n 项和为， ．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n 项和为．[解析] (1) ……………①时, ……………②①②得:即……………………………………3分在①中令, 有, 即，……………………………………5分故对2.已知{a n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S n，S4=2S2+8．（Ⅰ）求公差d的值；（Ⅰ）若a1=1，设T n是数列{}的前n项和，求使不等式T n≥对所有的nⅠN*恒成立的最大正整数m的值；[解析]（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，Ⅰ S4=2S2+8，即4a1+6d=2(2a1+d) +8，化简得：4d=8，解得d=2．……………………………………………………………………4分（Ⅰ）由a1=1，d=2，得a n=2n-1，…………………………………………5分Ⅰ =．…………………………………………6分Ⅰ T n===≥，…………………………………………8分又Ⅰ 不等式T n≥对所有的nⅠN*恒成立，Ⅰ ≥，…………………………………………10分化简得：m2-5m-6≤0，解得：-1≤m≤6．Ⅰ m的最大正整数值为6．……………………………………………………12分3.)已知各项均不相同的等差数列{a n}的前四项和S4=14,且a1,a3,a7成等比数列.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅰ)设T n为数列的前n项和,求T2 012的值.[答案] (Ⅰ)设公差为d,由已知得(3分)解得d=1或d=0(舍去),Ⅰa1=2. (5分)故a n=n+1. (6分)(Ⅰ)==-,(8分)ⅠT n=-+-+…+-=-=. (10分)ⅠT2 012=. (12分)4.)已知数列{a n}是等差数列,-=8n+4,设数列{|a n|}的前n项和为S n,数列的前n项和为T n.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求证:≤T n<1.[答案] (1)设等差数列{a n}的公差为d,则a n=a1+(n-1)d. (2分)Ⅰ-=8n+4,Ⅰ(a n+1+a n)(a n+1-a n)=d(2a1-d+2nd)=8n+4.当n=1时,d(2a1+d)=12;当n=2时,d(2a1+3d)=20.解方程组得或(4分)经检验知,a n=2n或a n=-2n都满足要求.Ⅰa n=2n或a n=-2n. (6分)(2)证明:由(1)知:a n=2n或a n=-2n.Ⅰ|a n|=2n.ⅠS n=n(n+1). (8分)Ⅰ==-.ⅠT n=1-+-+…+-=1-. (10分)Ⅰ≤T n<1. (12分)5.已知等差数列{a n}的公差为2,前n项和为S n,且S1,S2,S4成等比数列. (Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅰ)令b n=(-1)n-1,求数列{b n}的前n项和T n.[答案] 查看解析[解析] (Ⅰ)因为S1=a1,S2=2a1+×2=2a1+2,S4=4a1+×2=4a1+12,由题意得(2a1+2)2=a1(4a1+12),解得a1=1,所以a n=2n-1.(Ⅰ)b n=(-1)n-1=(-1)n-1=(-1)n-1.当n为偶数时,T n=-+…+-=1-=.当n为奇数时,T n=-+…-+++=1+=.所以T n=6. 已知点的图象上一点，等比数列的首项为，且前项和(Ⅰ) 求数列和的通项公式；(Ⅰ) 若数列的前项和为，问的最小正整数是多少？[解析]解：(Ⅰ) 因为，所以，所以，，，又数列是等比数列，所以，所以，又公比，所以，因为，又，所以，所以，所以数列构成一个首项为1，公差为1的等差数列，，所以，当时，，所以. （6分）(Ⅰ) 由(Ⅰ) 得，（10分）由得，满足的最小正整数为72. （12分）7. 在数列，中，，，且成等差数列，成等比数列（）.（Ⅰ）求，，及，，，由此归纳出，的通项公式，并证明你的结论；（Ⅰ）证明：.[解析] （Ⅰ）由条件得，由此可得.猜测. （4分）用数学归纳法证明：①当时，由上可得结论成立.②假设当时，结论成立，即，那么当时，.所以当时，结论也成立.由①②，可知对一切正整数都成立. （7分）（Ⅰ）因为.当时，由（Ⅰ）知.所以.综上所述，原不等式成立. (12分）8.已知数列的前项和是，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅰ）设，，求使成立的最小的正整数的值．[解析] （1）当时，，由，……………………1分当时，Ⅰ是以为首项，为公比的等比数列．……………………4分故…………………6分（2）由（1）知，………………8分，故使成立的最小的正整数的值.………………12分9. 己知各项均不相等的等差数列{a n}的前四项和S4=14，且a1，a3，a7成等比数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）设T n为数列的前n项和，若T n≤¨对恒成立，求实数的最小值．[解析] 122.（Ⅰ）设公差为d. 由已知得……………………………3分解得，所以………………………………6分（Ⅰ），………………………………9分对恒成立，即对恒成立又Ⅰ的最小值为……………………………………………………………12分10. 已知数列前项和为，首项为，且，，成等差数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（II）数列满足，求证：，[解析] （Ⅰ）成等差数列, Ⅰ，，当时，,两式相减得：.所以数列是首项为，公比为2的等比数列，.（6分）(Ⅰ) ，（8分），.（12分）11.等差数列{a n}各项均为正整数, a1=3, 前n项和为S n, 等比数列{b n}中, b1=1, 且b2S2=64, {}是公比为64的等比数列.(Ⅰ) 求a n与b n;(Ⅰ) 证明:++…+<.[答案] (Ⅰ) 设{a n}的公差为d, {b n}的公比为q, 则d为正整数,a n=3+(n-1) d,b n=q n-1.依题意有①由(6+d) q=64知q为正有理数, 又由q=知, d为6的因子1, 2, 3, 6之一, 解①得d=2, q=8. 故a n=3+2(n-1) =2n+1, b n=8n-1.(Ⅰ) 证明:S n=3+5+…+(2n+1) =n(n+2) ,所以++…+=+++…+==<.12. 等比数列{a n}的各项均为正数, 且2a1+3a2=1, =9a2a6.(Ⅰ) 求数列{a n}的通项公式;(Ⅰ) 设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n, 求数列的前n项和.[答案] (Ⅰ) 设数列{a n}的公比为q. 由=9a2a6得=9, 所以q2=.因为条件可知q>0, 故q=.由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1, 所以a1=.故数列{a n}的通项公式为a n=.(Ⅰ) b n=log3a1+log3a2+…+log3a n=-(1+2+…+n)=-,故=-=-2,++…+=-2++…+=-.所以数列的前n项和为-.13.等差数列{a n}的各项均为正数,a1=3,其前n项和为S n,{b n}为等比数列,b1=1,且b2S2=16,b3S3=60.(Ⅰ)求a n和b n;(Ⅰ)求++…+.[答案] (Ⅰ)设{a n}的公差为d,且d为正数,{b n}的公比为q,a n=3+(n-1)d,b n=q n-1,依题意有b2S2=q·(6+d)=16,b3S3=q2·(9+3d)=60,(2分)解得d=2,q=2.(4分)故a n=3+2(n-1)=2n+1,b n=2n-1.(6分)(Ⅰ)S n=3+5+…+(2n+1)=n(n+2),(8分)所以++…+=+++…+=(10分)==-.(12分)14.设数列{a n}的前n项和S n满足:S n=na n-2n(n-1). 等比数列{b n}的前n项和为T n,公比为a1,且T5=T3+2b5.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设数列的前n项和为M n,求证:≤M n<.[答案](1)ⅠT5=T3+2b5,Ⅰb4+b5=2b5,即(a1-1)b4=0,又b4≠0,Ⅰa1=1. n≥2时,a n=S n-S n-1=na n-(n-1)a n-1-4(n-1),即(n-1)a n-(n-1)a n-1=4(n-1).Ⅰn-1≥1,Ⅰa n-a n-1=4(n≥2),Ⅰ数列{a n}是以1为首项,4为公差的等差数列,Ⅰa n=4n-3. (6分)(2)证明:Ⅰ==·,(8分)ⅠM n=++…+==<,(10分)又易知M n单调递增,故M n≥M1=.综上所述,≤M n<. (12分)。
奥数专题 裂项法 含答案
奥数专题——裂项法一同学们知道：在计算分数加减法时,两个分母不同的分数相加减,要先通分化成同分母分数后再计算;一阅读思考例如1314112-=,这里分母3、4是相邻的两个自然数,公分母正好是它们的乘积,把这个例题推广到一般情况,就有一个很有用的等式：即11111 n n n n-+=+()或11111 n n n n ()+=-+下面利用这个等式,巧妙地计算一些分数求和的问题; 典型例题例1. 计算：119851986119861987119871988119941995⨯+⨯+⨯++⨯……分析与解答：上面12个式子的右面相加时,很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0,这一来问题解起来就十分方便了;像这样在计算分数的加、减时,先将其中的一些分数做适当的拆分,使得其中一部分分数可以相互抵消,从而使计算简化的方法,我们称为裂项法;例2. 计算：1111211231123100 +++++++++++……公式的变式当n分别取1,2,3,……,100时,就有例3. 设符号 、< >代表不同的自然数,问算式1611=+<>()中这两个符号所代表的数的数的积是多少 分析与解：减法是加法的逆运算,1611=+<>()就变成1611-=<>(),与前面提到的等式11111nn n n -+=+()相联系,便可找到一组解,即1617142=+ 另外一种方法设n x y 、、都是自然数,且x y ≠,当111n x y=+时,利用上面的变加为减的想法,得算式x n nx y-=1; 这里1y是个单位分数,所以x n -一定大于零,假定x n t -=>0,则x n t =+,代入上式得t n n t y()+=1,即y n t n =+2; 又因为y 是自然数,所以t 一定能整除n 2,即t 是n 2的约数,有n 个t 就有n 个y ,这一来我们便得到一个比11111n n n n -+=+()更广泛的等式,即当x n t =+,y n t n =+2,t 是n 2的约数时,一定有111n x y=+,即上面指出当x n t =+,y n t n =+2,t 是n 2的约数时,一定有111n x y =+,这里n n ==6362,,36共有1,2,3,4,6,9,12,18,36九个约数;当t =1时,x =7,y =42 当t =2时,x =8,y =24 当t =3时,x =9,y =18当t=4时,x=10,y=15当t=6时,x=12,y=10当t=9时,x=15,y=10当t=12时,x=18,y=9当t=18时,x=24,y=8当t=36时,x=42,y=7故和< >所代表的两数和分别为49,32,27,25; 模拟试题答题时间：20分钟二.尝试体验：1. 计算：2. 计算：131611011512112813614515516617819111051120 +++++++++++++3. 已知x y、是互不相等的自然数,当11811=+x y时,求x y+;试题答案1. 计算：2. 计算：131611011512112813614515516617819111051120 +++++++++++++3. 已知x y、是互不相等的自然数,当11811=+x y时,求x y+;x y+的值为：75,81,96,121,147,200,361;因为18的约数有1,2,3,6,9,18,共6个,所以有118111811136136 =+⨯+=+()还有别的解法;。
六年级奥数,裂项求和,带答案
1.计算：（ ）。
A.B.C.D.答案：A解析：2.（ ）。
A.B.C.D.答案：C 解析：3.计算：=（ ）。
A.B.C.D.答案：C解析：原式=。
4.计算（ ）。
A.B.+421+561+721+901+1101=132112142437271132131+421+561+721+901+11011321=−61+71−7181+⋅⋅⋅+−101+111−111121=−61121=121+3×51+5×71+7×91⋯+=2011×201312013750201377520133354026335+3×51+5×71+7×91⋯+2011×20131=×−+−+⋯+−21(315151712011120131)=×−21(3120131)=2013335+3×41+4×51+5×61⋯++9×10110×111334332338111−31=111338+61+101+401=8818827551813答案：D解析：5.（ ）。
A.B.C.D.答案：A 解析：原式。
6.解⽅程：，。
A.B.C.D.答案：A 解析：解：7.算式的计算结果是（ ）。
A.B.C.答案：B解析：原式+61+101+401881=+2×31+2×51+5×818×111=−21+31×31−+−+−(2151518181111)=−21+31223=3310−+−+×(2093011421356157217)120−÷31=41424315311632=+−−++−−++×(41515161617171818191)120−=34=312642−=35x +244x +3127x =空类2123445x +2−34x +3=7()()20x +8−12x +9=7()()20x +8−12x −9=78x =8x =1++++×(2161121201301)2016167016801690=++++×(1×212×313×414×515×61)2016=1−×(61)20168.算式：=（ ）。
六年级下册奥数讲义 - 分数裂项巧求和 全国通用(含答案)
六年级奥数讲义：分数裂项巧求和教学目标：理解和掌握分数裂项巧求和的解题思路和方法，正确解答较复杂的相关的求和问题。
教学重点：熟练掌握常用的分数裂项求和的方法。
教学难点：能够根据具体条件选用合适的方法解答相关问题。
【专题解析】细心观察、善于总结的同学，在学习中可能发现了这样一个有趣的现象：如果分数的分子是自然数1，分母是相邻两个自然数的乘积，那么这个分数可以写成两个分数差的形式。
写成的两个分数的分子是自然数1，分母分别是相邻的两个自然数。
（这种方法称为“裂项法” ） 如：211⨯＝11—21；321⨯＝21—31；431⨯＝31—41；541⨯＝41—51；…… 我们可以利用分数的这一性质，使看似复杂的题目简单化。
【精讲精练】例1．计算：211⨯+321⨯+431⨯+…+49481⨯+50491⨯ 分析与解：这道题如果按照常规方法先通分再求和，计算起来很繁杂，甚至难以做到。
但是如果巧妙地对算式变形，就可以使繁杂的计算简便。
211⨯+321⨯+431⨯+…+49481⨯+50491⨯ ＝（11—21）+（21—31）+（31—41）+…+（481—491）+（491—501） ＝11—21+21—31+31—41+…+481—491+491—501 （去掉括号） ＝11—501 （中间的数都是相同的分数一减一加的形式，结果为0） ＝5049 【举一反三训练1】计算：（1）211⨯+321⨯+431⨯+…+19181⨯+20191⨯（2）14×5 +15×6 +16×7 +…+ 139×40（3）11×2 +12×3 +13×4 +…+ 199×100例2．计算： 61+121+201+…+24501 分析与解：上面这道题中的每个分数的分子都是1，但分母并不是两个相邻自然数的乘积，该怎么办呢？仔细观察这些分数的分母就会发现：6＝2×3 , 12＝3×4 , 20＝4×5 ，…，2450＝49×50。
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奥数专题一一裂项法（一）
同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化 成同分母分数后再计算。
（一）阅读思考
例如3 1 £，这里分母3、4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的
乘积，把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式：
或—1
1
—
n(n 1) n
n 1
F 面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。
分析与解答:
上面12个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变 为0,这一来问题解起来就十分方便了。
像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其 中一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。
例2.计算：1
—
1
… —
1 1
2 1 2 3
1 2 3 (100)
公式的变式
当n 分别取1, 2, 3,……，100时，就有
例3.设符号（ ）、< > 代表不同的自然数，问算式 - —
中这
两个符号所代表的数的数的积是多少?
即1
丄
n n 1 1
n(n 1)
【典型例题】
例1.计算:
1 1
1985 1986
1986 1987
1 1987 1988
1 1994 1995
分析与解：减法是加法的逆运算，£ 1
~)
—，与
前面提到的等式1—1
n n 1 n(n 石相联系, 便可找到一组解，即
1
42
另外一种方法
设n、x、y都是自然数，且y，当1 1 1
丄1-时，利用上面的变加为减的想n x y
法，得算式以丄。
nx y
这里-是个单位分数，所以
y
n 一定大于零，假定 x n t 0，则x nt，
代入上式得」1，即y
n(n t) y
又因为y是自然数，所以t 一定能整除n2，即t是n2的约数, 有n个t就有n个
y，这一来我们便得到一个比盘更广泛的等式, 即当x nt，
2
y丨n，七是n2的约数时, 定有-
n
上面指出当x n t是n2的约数时，一定有-，这里
y
2
,n
36，36共有1, 2, 3
当t 1
时，
x 7 , y 42
当t 2
时,
x 8, y 24
当t 3
时,
x 9, y 18
当t 4
时, x
10
,
y 15
当t 6
时, x
12
,
y 10
当t 9
时, x
15
,
y 10
n 6 ，4，6，9，12，18，36 九个约数。
当t 12 时，x 18，y 9 当t 18 时，x 24，y 8 当t 36 时，x 42，y 7
故（）和＜>所
代
弋表的两数和分别为49，32，27，25。
【模拟试题】（答题时间：20分钟）二.尝试体验：
1.计算：
2 计算.111111111111 1
算: 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105 3.已知x、y是互不相等的自然数，当 -1-时，求x y。
18 x y
1 120
【试题答案】
1.计算:
3.已知x 、y 是互不相等的自然数，当丄丄丄时，求x y
18 x y
x y 的值为：75，81，96，121，147，200，361 因为18
的约数有X 2, 3, 6, 9, 18
，共6
个,所以有
还有别的解法
2. 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105 120
1 1 1 1
18 (1 1) 36 36
计算:。