小学奥数整数裂项
小学奥数裂项公式汇总资料
裂项运算常用公式一、分数“裂差”型运算(1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即b a ⨯1形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a ＜b ，那么有: )11(11b a a b b a --=⨯(2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有：⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+-+⨯=+⨯+⨯)2()1(1)1(121)2()1(1n n n n n n n⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+⨯+-+⨯+⨯=+⨯+⨯+⨯)3()2()1(1)2()1(131)3()2()1(1n n n n n n n n n n二、分数“裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） a b b a b b a a b a b a 11+=⨯+⨯=⨯+（2）a bb ab a b b a a b a b a +=⨯+⨯=⨯+2222裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，“先裂再碎，掐头去尾”分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
裂和：抵消，或 凑整三、整数裂项基本公式(1))1()1(31)1(......433221+-=⨯-++⨯+⨯+⨯n n n n n(2) )1()1)(2(41)1()2(......543432321+--=⨯-⨯-++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n n n n n (3) )1()1(31)2)(1(31)1(+--++=+n n n n n n n n n n n n +=+2)1((4) )2)(1()1(41)3)(2)(1(41)2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n(5) !)!1(!n n n n -+=⨯裂项求和部分基本公式1.求和： 1)1(1......541431321211+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：1111)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n n n n n S n2.求和：12)12)(12(1971751531311+=+-++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：12)1211(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21+=+-=+--++-+-+-=n n n n n S n3.求和：13)13)(23(11071741411+=+-++⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：)131231(31)10171(31)7141(31)411(31+--++-+-+-=n n S n 13)1311(31+=+-=n n n4.求和：)2111211(31)2(1641531421311+-+-+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n 证：)1111(21)6141(21)5131(21)4121(21)311(21+--++-+-+-+-=n n S n )2111211(31)211(21+-+--+=+-+n n n n5.求和：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=)2)(1(12121)2)(1(1543143213211n n n n n S n 证：因为])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n ， ])2)(1(121[21])2)(1(1)1(1[21)431321(21)321211(21++-=++-+++⨯-⨯+⨯-⨯=∴n n n n n n S n特殊数列求和公式2)1(321+=++n n n 212311321n n n n =++++-++-++++ ）（）（2127531n n =-++++）（6)12)(1(21222++=+++n n n n 3)14(3)12)(12(1253122222-⨯=-+=-++++n n n n n n ）（ ()()412121222333+=++=+++n n n n平方差公式 ))((22b a b a b a -+=-完全平方和（/差）公式 2222)(b ab a b a +±=±。
(完整版)整数裂项.docx
整数裂项整数裂 基本公式(1) 1 2 2 3 3 4 ... (n1) n1 1) n ( n1) (n3(2) 1 2 3 2 3 4 34 5 ... (n2) (n 1) n1 ( n 2)( n 1)n(n 1)4【例 1 】 1 2 2 3 3 4 L49 50=_________【考点】整数裂 【 度】 3 星【 型】 算【解析】是整数的裂 。
裂 思想是：瞻前 后，相互抵消。
S ＝ 12 23 34 L 49 501×2×3＝ 1×2×32×3×3＝ 2×3×（ 4－ 1）＝ 2×3×4－ 1×2×3 3×4×3＝ 3×4×（ 5－ 2）＝ 3×4×5－ 2× 3× 4⋯⋯49×50×3＝ 49×50×（ 51－ 48） =49 ×50×51－ 48×49×50 3S ＝ 1×2×3＋ 2×3×3＋ 3×4×3＋ ⋯＋ 49×50×3＝ 49×50×51 S ＝ 49×50×51÷3＝ 41650【答案】 41650【巩固】 1 2 2 3 3 44 5 5 6 6 77 8 8 9 9 10 ________【考点】整数裂【 度】 3 星【 型】 算【解析】本 数 少，可以直接将每一 乘 都 算出来再 算它 的和，但是 于 数 多的情况 然不能 行 算． 于 数 多的情况，可以 行如下 形：n n 1 n 2n 1 n n 111n 1 n n 1 ， n n 13n n 1 n 233所以原式1 12 31 2 3 4 1 1 2 3L1 9 10 11 18 9 1033 333 110 11 33093另解：由于 n n 1 n 2 n ，所以原式12 1 22 2 L92 91222 L921 2L 91 9 10 19 1 9 1033062 1采用此种方法也可以得到1 2 2 3 Lnn11 n2 一 ．n n3【答案】 330【例 2 】 1 44 77 10 L49 52 =_________【考点】整数裂【 度】 3 星【 型】 算【解析】S ＝ 1 4 4 7 7 10 L 49 521×4×9＝ 1×4×7＋ 1×4×24×7×9＝ 4×7×（ 10－ 1）＝ 4×7×10－ 1×4×77×10×9＝ 7×10×（ 13－4）＝ 7×10×13－ 4×7×10⋯⋯⋯⋯.49×52×9＝ 49×52×（ 55－ 46）＝ 49×52×55－ 46×49×529S＝ 49×52×55＋ 1×4×2S=（ 49×52×55＋ 1×4×2）÷9＝15572【答案】 15572【例 3 】 1 2 3 2 3 4 3 4 5 L 9 10 11【考点】整数裂【度】 3 星【型】算【解析】 n n1n21n1n2n311 n n1n2 ，所以，n n44原式11 2 3 41 2 3 4 511 2 3 4L19 10 11 1218 9 10 11 444441910111229704从中可以看出，1232343 4 5L n n11n 2 n 3 n 2n n 14【答案】 2970【例 4 】算：1 3 5357L171921．【考点】整数裂【度】 3 星【型】算【解析】可以行整数裂．357 3 5 7 9 1 3 5 7 ，8579 5 7 9 11 3 5 7 9 ，817192117 19 21 23 15 17 19 21 ，8所以原式135********L1719212315171921 88135171921231357171921231358819503也可适用公式．原式 3 2 3 3 2 5 2 5 5 2 L19 2 19 19 2 3222 3 5222 5 L19222193353L 193 4 3 5 L 19133353L 193 4 1 3 5 L 19 3而 133353L 193132333L 203234363L20312022128110211219900，441 3 5 L 19 102100 ，所以原式19900 4 100 3 19503．【答案】19503【巩固】算：1 2 3 4 3 4 5 6 5 6 7 8 L 97 98 99 100【考点】整数裂【度】 3 星【型】算【解析】一般的整数裂各之都是的，本中各之是断开的，此可以将中缺少的上，再行算．原式 A ，再 B2345456767 89L96979899 ，A B 1 234 2 3453456L97989910019798991001011901009880 ，5在知道 A 与 B 的和了，如果能再求出 A 与 B 的差，那么 A 、 B 的就都可以求出来了．A B12342345345645 6 7567 8L9798 99 1004(123345567... 979899)42(221)4(421)6(621)L98(9821)4(2 34363L983 )4(246L98)48149250 241100494801020042所以， A1901009880480102002974510040 ．【答案】 974510040【例 5 】2004 2003 20032002 2002200120012000L 2 1【考点】整数裂【度】 3 星【型】算【解析】原式2003220012L32122135L20012003212003100222008008其中也可以直接根据公式 1 357L2n 1 n2得出1 35L200120032 1002【答案】2008008【例 6 】 1 1!22!33!L20082008!【考点】整数裂【度】 4 星【型】算【解析】察 22!221(31)213!2! ，3 3!3321(41)32 14!3! ，⋯⋯20082008!20082008 2007L 2 1，(20091)20082007L212009!2008!可，原式1!(2!1!)(3!2!)L(2009!2008!)2009!【答案】 2009!【例 7 】计算：123456L991002345L98 99【考点】整数裂项【难度】 5 星【题型】计算【解析】设原式 =BAA B 122334L98999910011230122 3 412 3 L99 100 101 98 99 100 3【答案】199 100 1013333003B A 1 2 3 2 L 99 2 50 100 5000 B 333300 50003383A 333300 5000328333833283。
小学奥数专题-整数裂项
整数裂项基本公式 (1) 122334...(1)n n ⨯+⨯+⨯++-⨯1(1)(1)3n n n =-⨯⨯+ (2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯-⨯=--+【例 1】 1223344950⨯+⨯+⨯++⨯=_________【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 这是整数的裂项。
裂项思想是:瞻前顾后，相互抵消。
设S ＝1223344950⨯+⨯+⨯++⨯1×2×3＝1×2×32×3×3＝2×3×（4－1）＝2×3×4－1×2×33×4×3＝3×4×（5－2）＝3×4×5－2×3×4……49×50×3＝49×50×（51－48）=49×50×51－48×49×503S ＝1×2×3＋2×3×3＋3×4×3＋…＋49×50×3＝49×50×51S ＝49×50×51÷3＝41650【答案】41650【巩固】1223344556677889910⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=________ 【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 本题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较多的情况显然不能这样进行计算．对于项数较多的情况，可以进行如下变形:()()()()()()()()()12111111211333n n n n n n n n n n n n n n ++--++==++--+， 所以原式1111112323412391011891033333⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1910113303=⨯⨯⨯= 另解:由于()21n n n n +=+，所以原式()()()222112299=++++++()()222129129=+++++++119101991062=⨯⨯⨯+⨯⨯330= 采用此种方法也可以得到()()()112231123n n n n n ⨯+⨯++⨯+=++这一结论． 【答案】330【例 2】 14477104952⨯+⨯+⨯++⨯=_________【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 设S ＝14477104952⨯+⨯+⨯++⨯ 例题精讲 知识点拨整数裂项1×4×9＝1×4×7＋1×4×24×7×9＝4×7×（10－1）＝4×7×10－1×4×77×10×9＝7×10×（13－4）＝7×10×13－4×7×10………….49×52×9＝49×52×（55－46）＝49×52×55－46×49×529S ＝49×52×55＋1×4×2S =（49×52×55＋1×4×2）÷9＝15572【答案】15572【例 3】 12323434591011⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯=【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 ()()()()()()()()111212311244n n n n n n n n n n n ++=+++--++，所以， 原式11111123423451234910111289101144444⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭191011124=⨯⨯⨯⨯2970= 从中还可以看出，()()()()()1123234345121234n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯+⨯+=+++ 【答案】2970【例 4】 计算:135357171921⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯= ．【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 可以进行整数裂项．357913573578⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=， 5791135795798⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=， 17192123151719211719218⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=， 所以原式35791357171921231517192113588⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯+++1719212313571358⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯+171921231358⨯⨯⨯+⨯⨯=19503= 也可适用公式．原式()()()()()()323325255219219192=-⨯⨯++-⨯⨯+++-⨯⨯+()()()22222232352519219=-⨯+-⨯++-⨯ ()()333351943519=+++-⨯+++()()3333135194135193=++++-⨯+++++而()()333333333333135191232024620++++=++++-++++ 22221120218101144=⨯⨯-⨯⨯⨯19900=， 21351910100++++==，所以原式1990041003=-⨯+19503=．【答案】19503【巩固】 计算:101622162228707682768288⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯ 【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 可进行整数裂项: 原式1016222841016221622283410162228=2424⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭707682886470768276828894707682882424⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1016222841016221622283410162228=24242424⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-+-++ 7076828864707682768288947076828824242424⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-+- 768288944101622=2424⨯⨯⨯⨯⨯⨯- 768288944101622=24⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ =2147376【答案】2147376【巩固】 计算:123434565678979899100⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯=【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 一般的整数裂项各项之间都是连续的，本题中各项之间是断开的，为此可以将中间缺少的项补上，再进行计算．记原式为A ，再设23454567678996979899B =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯，则123423453456979899100A B +=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯197989910010119010098805=⨯⨯⨯⨯⨯=， 现在知道A 与B 的和了，如果能再求出A 与B 的差，那么A 、B 的值就都可以求出来了．12342345345645675678979899100A B -=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯4(123345567...979899)=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯222242(21)4(41)6(61)98(981)⎡⎤=⨯⨯-+⨯-+⨯-++⨯-⎣⎦33334(24698)4(24698)=⨯++++-⨯++++221148495041004942=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯48010200= 所以，()1901009880480102002974510040A =+÷=．【答案】974510040【例 5】 2004200320032002200220012001200021⨯-⨯+⨯-⨯++⨯【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式20032200123212=⨯+⨯++⨯+⨯()213520012003=⨯+++++()21200310022=⨯+⨯÷2008008=其中也可以直接根据公式()2135721n n +++++-=得出2135200120031002+++++=【答案】2008008【例 6】 11!22!33!20082008!⨯+⨯+⨯++⨯=【考点】整数裂项 【难度】4星 【题型】计算【解析】 观察发现22!221(31)213!2!⨯=⨯⨯=-⨯⨯=-，33!3321(41)3214!3!⨯=⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯=-，……20082008!20082008200721(20091)20082007212009!2008!⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯⨯⨯=-， 可见，原式1!(2!1!)(3!2!)(2009!2008!)=+-+-++- 2009!=【答案】2009!【例 7】 计算:1234569910023459899⨯+⨯+⨯++⨯=⨯+⨯++⨯ 【考点】整数裂项 【难度】5星 【题型】计算【解析】 设原式=B A122334989999100A B +=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯()()()11230122341239910010198991003=⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯++⨯⨯-⨯⨯⎡⎤⎣⎦1991001013333003=⨯⨯⨯= 1232992501005000B A -=⨯+⨯++⨯=⨯=3333005000338333330050003283B A +==- 【答案】33833283。
整数裂项方法及技巧小学
整数裂项方法及技巧小学
1. 整数裂项法
整数裂项法是一种解决复杂问题的方法，它从整数中抽取出最大因子进行分解，以求出复杂问题的最简形式。
例如：
12= 2 x 2 x 3 (最大因子为 2, 3)
24= 2 x 2 x 2 x 3(最大因子为 2, 3 )
整数裂项法在解决复杂计算的问题时，可以用来简化计算，有着重要的作用。
2、整数裂项法的特点
(1)整数裂项法能根据整数的不同特征，从中抽取出合理的数字，并从中分解出大因子；
(2)整数裂项法能够快速简化复杂问题，用最少的参数求出结果；
(3)整数裂项法不仅可以用于运算，而且可以用于实验法、反演法等基础理论也能得到充分的利用。
3、整数裂项法的技巧
(1)要做好整数裂项方法的前期准备，可以先了解其核心的因子，这将有助于快速的结果算出；
(2)整数裂项方法运算时要按照顺序，从高位先开始算起，以准确把握最终的结果；
(3)要熟悉整数裂项方法中常见的技巧，例如常见的模、溢算法等，以有效的解决复杂问题；
(4)要正确使用整数裂项方法，结合实际情况灵活运用，以及熟练掌握及时认识出一些简易问题，这将有利于加快算法的速度。
小学奥数教程整数裂项.教师版 全国通用
整数裂项根本公式 (1) 122334...(1)n n ⨯+⨯+⨯++-⨯1(1)(1)3n n n =-⨯⨯+ (2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯-⨯=--+ 【例 1】 1223344950⨯+⨯+⨯++⨯=_________【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 这是整数的裂项。
裂项思想是：瞻前顾后，互相抵消。
设S ＝1223344950⨯+⨯+⨯++⨯1×2×3＝1×2×32×3×3＝2×3×〔4－1〕＝2×3×4－1×2×33×4×3＝3×4×〔5－2〕＝3×4×5－2×3×4……49×50×3＝49×50×〔51－48〕=49×50×51－48×49×503S ＝1×2×3＋2×3×3＋3×4×3＋…＋49×50×3＝49×50×51S ＝49×50×51÷3＝41650【答案】41650【巩固】1223344556677889910⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=________ 【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 此题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较多的情况显然不能这样进展计算．对于项数较多的情况，可以进展如下变形：所以原式1111112323412391011891033333⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭另解：由于()21n n n n +=+，所以原式()()()222112299=++++++采用此种方法也可以得到()()()112231123n n n n n ⨯+⨯++⨯+=++这一结论． 【答案】330【例 2】 14477104952⨯+⨯+⨯++⨯=_________【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 设S ＝14477104952⨯+⨯+⨯++⨯ 1×4×9＝1×4×7＋1×4×24×7×9＝4×7×〔10－1〕＝4×7×10－1×4×7 7×10×9＝7×10×〔13－4〕＝7×10×13－4×7×10例题精讲知识点拨整数裂项49×52×9＝49×52×〔55－46〕＝49×52×55－46×49×529S ＝49×52×55＋1×4×2S =〔49×52×55＋1×4×2〕÷9＝15572【答案】15572【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 ()()()()()()()()111212311244n n n n n n n n n n n ++=+++--++，所以， 原式11111123423451234910111289101144444⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭从中还可以看出，()()()()()1123234345121234n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯+⨯+=+++ 【答案】2970【例 3】 计算：135357171921⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯= ．【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 可以进展整数裂项．所以原式35791357171921231517192113588⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯+++1719212313571358⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯+171921231358⨯⨯⨯+⨯⨯=19503= 也可适用公式．原式()()()()()()323325255219219192=-⨯⨯++-⨯⨯+++-⨯⨯+ 而()()333333333333135191232024620++++=++++-++++ 21351910100++++==，所以原式1990041003=-⨯+19503=．【答案】19503【巩固】 计算：101622162228707682768288⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯ 【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 可进展整数裂项：原式1016222841016221622283410162228=2424⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】2147376【巩固】 计算：123434565678979899100⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯=【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 一般的整数裂项各项之间都是连续的，此题中各项之间是断开的，为此可以将中间缺少的项补上，再进展计算．记原式为A ，再设23454567678996979899B =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯， 那么123423453456979899100A B +=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯如今知道A 与B 的和了，假如能再求出A 与B 的差，那么A 、B 的值就都可以求出来了．所以，()1901009880480102002974510040A =+÷=．【答案】974510040【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式20032200123212=⨯+⨯++⨯+⨯ 其中也可以直接根据公式()2135721n n +++++-=得出【答案】2008008【考点】整数裂项 【难度】4星 【题型】计算【解析】 观察发现22!221(31)213!2!⨯=⨯⨯=-⨯⨯=-，可见，原式1!(2!1!)(3!2!)(2009!2008!)=+-+-++- 2009!= 【答案】2009! 【例 4】 计算：1234569910023459899⨯+⨯+⨯++⨯=⨯+⨯++⨯ 【考点】整数裂项 【难度】5星 【题型】计算 【解析】 设原式=B A122334989999100A B +=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯ ()()()11230122341239910010198991003=⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯++⨯⨯-⨯⨯⎡⎤⎣⎦1991001013333003=⨯⨯⨯= 1232992501005000B A -=⨯+⨯++⨯=⨯=3333005000338333330050003283B A +==- 【答案】33833283。
小学奥数-整数裂项
小学奥数--整数裂项对于较长的复杂算式，单单靠一般的运算顺序和计算方法是很难求出结果的。
如果算式中每一项的排列都是有规律的，那么我们就要利用这个规律进行巧算和简算。
而裂项法就是一种行之有效的巧算和简算方法。
通常的做法是：把算式中的每一项裂变成两项的差，而且是每个裂变的后项（或前项）恰好与上个裂变的前项（或后项）相互抵消，从而达到“以短制长”的目的。
下面我们以整数裂项为例，谈谈裂项法的运用，并为整数裂项法编制一个易用易记的口诀。
后延减前伸差数除以N例1、计算1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋…＋98×99＋99×100分析：这个算式实际上可以看作是：等差数列1、2、3、4、5……98、99、100，先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。
算式的特点概括为：数列公差为1，因数个数为2。
1×2=（1×2×3-0×1×2）÷（1×3）2×3=（2×3×4-1×2×3）÷（1×3）3×4=（3×4×5-2×3×4）÷（1×3）4×5=（4×5×6-3×4×5）÷（1×3）……98×99=（98×99×100-97×98×99）÷（1×3）99×100=（99×100×101-98×99×100）÷（1×3）将以上算式的等号左边和右边分别累加，左边即为所求的算式，右边括号里面诸多项相互抵消，可以简化为（99×100×101-0×1×2）÷3。
整数裂项,小学奥数整数裂项公式方法讲解
整数裂项，小学奥数整数裂项公式方法讲解在小学奥数中有一些非常长的整数算式，仅仅用一般的运算法则满足不了计算要求，这时候我们要找式子中各乘式之间的规律，把各乘式裂项，前后抵消，从而简化计算。
规律和之前G老师讲过的分数裂项法十分类似。
先看一道整数裂项的经典例题：【例1】1x2+2x3+3x4+4x5+……98x99+99x100分析：题中计算式共有99个乘法式子相加，如果一个一个计算下来，恐怕一个下午就过去了，G老师告诉同学们，遇见这种复杂的计算式，一定是有规律的，数学重点考查的是思维。
能不能想办法把乘法式子换成两个数的差，再让其中一些项抵消掉，就像分数裂项的形式，最后只剩下头和尾呢？1x2=(1x2x3-0x1x2)÷3;2x3=(2x3x4-1x2x3)÷3;3x4=(3x4x5-2x3x4)÷3;……99x100=(99x100x101-98x99x100)÷3;规律是不是找着了？原式=(1x2x3-0x1x2+2x3x4-1x2x3+3x4x5-2x3x4+……+99x100x101-98x99x100)÷3=99x100x101÷3=333300整数裂项法就是将整数乘积化成两个乘积差的形式，这个差也不是随便乘一个数，而是要根据题目中各项数字公差来确定的。
比如在例1中，1x2和2x3这两项，1与2，2与3的的差都是1，我们就在1x2这一项乘以（2+1），再减去(1-1)x1x2；2x3这一项，也化成[2x3x(3+1)-(2-1)x2x3]……这样就刚好可以前后项互相抵消，然后再除以后延与前伸的差[(3+1)-(2-1)]。
整数裂项法应用：式中各项数字成等差数列，将各项后延一位，减去前伸一位，再除以后延与前伸的差。
【例2】1x3+3x5+5x7+……+95x97+97x99分析：算式中各个项中数字之差都是2，满足整数裂项条件，后延一位，减去前伸一位，再除以后延与前伸的差6。
整数裂项知识点
整数裂项知识点一、知识概述《整数裂项知识点》①基本定义：整数裂项呢，简单说就是把一个整数乘积形式的式子分解成几个式子相加减的形式。
比如说n×(n + 1)，可以裂项成n×(n + 1)= (n²+ n)等类似这样更方便运算或者找规律的形式。
②重要程度：在数学学科里，特别是小学奥数和中学数学数列、求和等问题里非常重要。
好多复杂的计算、找规律问题，用整数裂项就能很巧妙地解决，就像一把钥匙打开难题的锁。
③前置知识：得先掌握好基本的整数运算，像加、减、乘、除，还有简单的数列知识，比如等差数列这些。
要是这些都没学明白，整数裂项就有点难理解了。
④应用价值：实际中像算一堆有规律物品的总数。
打个比方，有一堆相同形状的积木，按照一定规律摆放，每一层的积木数量是个整数列，要算总数用整数裂项就可能轻松解决，在工程计算、经济计算中类似的有规律数量计算也会用到。
二、知识体系①知识图谱：在数学里，它是数列知识体系中的一部分，是为了更简便求解数列和或者一些与整数乘积相关运算的分支。
②关联知识：和数列、代数运算、数学归纳法等知识密切相关。
数列求和时可能用到整数裂项来简化式子；代数运算里它又属于一种特殊的式子变形技巧；数学归纳法有时候可以用来验证整数裂项的正确性。
③重难点分析：- 掌握难度：说实话，一开始挺难掌握的。
因为要学会找出规律来裂项，不是随便拆拆就行。
像有时候一个式子同时包含几种可能的裂项形式，要准确找到，有一定挑战性。
- 关键点：关键是要找到正确的裂项形式。
所以得对式子观察得特别仔细，看看每个数和整体式子的关系，然后根据式子的特点来裂项。
④考点分析：- 在考试中的重要性：在奥数竞赛和中学数学考试里，这可是个常考内容啊，特别是在和数列有关的大题中经常出现。
- 考查方式：一般是给个需要求和或者化简的式子，让你用整数裂项的方法进行计算或者化简。
有时候也会出在找规律的题型里，让你先找出裂项规律，再进行计算。
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小学奥数--整数裂项对于较长的复杂算式，单单靠一般的运算顺序和计算方法是很难求出结果的。
如果算式中每一项的排列都是有规律的，那么我们就要利用这个规律进行巧算和简算。
而裂项法就是一种行之有效的巧算和简算方法。
通常的做法是：把算式中的每一项裂变成两项的差，而且是每个裂变的后项（或前项）恰好与上个裂变的前项（或后项）相互抵消，从而达到“以短制长”的目的。
下面我们以整数裂项为例，谈谈裂项法的运用，并为整数裂项法编制一个易用易记的口诀。
后延减前伸差数除以N例1、计算1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋…＋98×99＋99×100分析：这个算式实际上可以看作是：等差数列1、2、3、4、5……98、99、100，先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。
算式的特点概括为：数列公差为1，因数个数为2。
1×2=（1×2×3-0×1×2）÷（1×3）2×3=（2×3×4-1×2×3）÷（1×3）3×4=（3×4×5-2×3×4）÷（1×3）4×5=（4×5×6-3×4×5）÷（1×3）……98×99=（98×99×100-97×98×99）÷（1×3）99×100=（99×100×101-98×99×100）÷（1×3）将以上算式的等号左边和右边分别累加，左边即为所求的算式，右边括号里面诸多项相互抵消，可以简化为（99×100×101-0×1×2）÷3。
解：1×2+2×3+3×4+4×5+……+98×99+99×100=（99×100×101-0×1×2）÷3=333300例2、计算3×5＋5×7＋7×9＋……＋97×99＋99×101分析：这个算式实际上也可以看作是：等差数列3、5、7、9……97、99、101，先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。
算式的特点概括为：数列公差为2，因数个数为2。
3×5=（3×5×7-1×3×5）÷（2×3）5×7=（5×7×9-3×5×7）÷（2×3）7×9=（7×9×11-5×7×9）÷（2×3）……97×99=（97×99×101-95×97×99）÷（2×3）99×101=（99×101×103-97×99×101）÷（2×3）将等号左右两边分别累加，左边即为所求算式，右边括号里面许多项可以相互抵消。
解：3×5+5×7+7×9+……+97×99+99×101=（99×101×103-1×3×5）÷（2×3）=1029882÷6=171647例3、计算1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋……＋96×97×98＋97×98×99分析：这个算式实际上可以看作是：等差数列1、2、3、4、5……98、99、100，先将所有的相邻三项分别相乘，再求所有乘积的和。
算式的特点概括为：数列公差为1，因数个数为3。
1×2×3=（1×2×3×4-0×1×2×3）÷（1×4）2×3×4=（2×3×4×5-1×2×3×4）÷（1×4）3×4×5=（3×4×5×6-2×3×4×5）÷（1×4）……96×97×98=（96×97×98×99-95×96×97×98）÷（1×4）97×98×99=（97×98×99×100-96×97×98×99）÷（1×4）右边累加，括号内相互抵消，整个结果为（97×98×99×100-0×1×2×3）÷（1×4）。
解：1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+96×97×98×+97×98×99=（97×98×99×100-0×1×2×3）÷（1×4）=23527350例4、计算10×16×22＋16×22×28＋……＋70×76×82＋76×82×88分析：算式的特点为：数列公差为6，因数个数为3。
解：10×16×22+16×22×28+……+70×76×82+76×82×88=（76×82×88×94-4×10×16×22）÷（6×4）=2147376通过以上例题，可以看出这类算式的特点是：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。
其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的差除以公差与因数个数加1的乘积。
将以上叙述可以概括一个口诀是：等差数列数，依次取几个。
所有积之和，裂项来求作。
后延减前伸，差数除以N。
N取什么值，两数相乘积。
公差要乘以，因个加上一。
需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加正。
对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。
此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。
例5、计算1×1+2×2+3×3+……+99×99+100×100分析：n×n=(n-1)×n+n解：1×1+2×2+3×3+……+99×99+100×100=1+（1×2+2）+（2×3+3）+……+（98×99+99）+（99×100+100）=（1×2+2×3+……+98×99+99×100）+（1+2+3+……+99+100）=99×100×101÷3+（1+100）×100÷2=333300+5050=338350例6、计算1×2+3×4+5×6+……+97×98+99×100分析：(n-1)×n=(n-2)×n+n解：1×2+3×4+5×6+7×8+……+97×98+99×100=2+（2×4+4）+（4×6+6）+（6×8+8）+……+（96×98+98）+（98×100+100）=（2×4+4×6+6×8+……+96×98+98×100）+（2+4+6+8+……+98+100）=98×100×102÷6+（2+100）×50÷2=169150例7、计算1×1×1+2×2×2+3×3×3+……+99×99×99+100×100×100分析：n×n×n=(n-1)×n×(n+1)+n解：1×1×1+2×2×2+3×3×3+……+99×99×99+100×100×100=1+（1×2×3+2）+（2×3×4+3）+……+（98×99×100+99）+（99×100×101+100）=（1×2×3+2×3×4+……+98×99×100+99×100×101）+（1+2+3+……+99+100）=99×100×101×102÷4+（1+100）×100÷2=25492400例8、计算1×3+2×4+3×5+4×6+……+98×100+99×101解：1×3+2×4+3×5+4×6+……+98×100+99×101=（1×3+3×5+……+99×101）+（2×4+4×6+……+98×100）=（99×101×103-1×3×5）÷6+1×3+98×100×102÷6=171650+166600=338250例9、计算1+（1+2）+（1+2+3）+......+（1+2+3+4+ (100)解：1+（1+2）+（1+2+3）+......+（1+2+3+4+ (100)=1×2÷2+2×3÷2+3×4÷2+……+100×101÷2=（1×2+2×3+3×4+……+100×101）÷2=（100×101×102÷3）÷2=171700将上面的口诀继续编写是：前延比零小，取负就是了。