小学 奥数裂项法(含答案)

奥数裂项法
同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母分数后再计算。

（一）阅读思考
例如，这里分母3、4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积，把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式：
即
或
下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。

【典型例题】
例1. 计算：
分析与解答：
上面12个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这一来问题解起来就十分方便了。

像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。

例2. 计算：
公式的变式
当分别取1，2，3，……，100时，就有
例3. 设符号（）、< >代表不同的自然数，问算式中这两个符号所代表的数的数的积是多少？
分析与解：减法是加法的逆运算，就变成，与前面提到的等式相联系，便可找到一组解，即
另外一种方法
设都是自然数，且，当时，利用上面的变加为减的想法，得算式。

这里是个单位分数，所以一定大于零，假定，则，代入上式得，即。

又因为是自然数，所以一定能整除，即是的约数，有个就有个，这一来我们便得到一个比更广泛的等式，即当，，是的约数时，一定有，即
上面指出当，，是的约数时，一定有，这里
，36共有1，2，3，4，6，9，12，18，36九个约数。

当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
故（）和< >所代表的两数和分别为49，32，27，25。

【模拟试题】
二.尝试体验：
1. 计算：
2. 计算：
3. 已知是互不相等的自然数，当时，求。

【试题答案】
1. 计算：
2. 计算：
3. 已知是互不相等的自然数，当时，求。

的值为：75，81，96，121，147，200，361。

因为18的约数有1，2，3，6，9，18，共6个，所以有
还有别的解法。

裂项法（二）
前一节我们已经讲过，利用等式，采用“裂项法”能很快求出
这类问题的结果来，把这一等式略加推广便得到另一等式：，现利用这一等式来解一些分数的计算问题。

【典型例题】
例1.
分析与解：此题如按异分母加法法则来求和，计算量太大，下面用裂项法试一试。

下面我们用，现在给、一些具体的值，看看有什么结果。

当时，有
当时，有
当时，有
……
当时，有
当时，有
上面这998个等式左边的分数，其分母分别与题目中各加数的分母一样，只是分子是2不是1，但是很容易将题目中各数的分子变为2，例如
，……，这样采用裂项法也能较快求出结果来。

因为，……，，所以
例2.
因为
所以
同样可得
一般地，因为
这里是任意一个自然数。

利用这一等式，采用裂项法便能较快地求出例2的结果。

例3. 计算：
分析与解：
而
即
连续使用上面两个等式，便可求出结果来。

【模拟试题】（答题时间：15分钟）
二. 尝试体验
1. 求和：
2. 求和：
3. 求和：
【试题答案】
1. 求和：
2. 求和：
3. 求和：
1。