第十三章动荷与交变应力
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材料力学13章 动荷载
左图中图b杆的抗冲击能 力，远低于图a杆。运用 到工程实际问题中，下 面右图中，图a所示的螺 栓抗冲击能力，低于图b 或者图c，即是说，不适 宜采用图a螺栓，适宜于 采用图b或者图c的形式。
3.选用弹性模量较低的材料 弹性模量较低的材料，可以增大静位移。但须注意强度问 题。
13-4 循环应力下构件的疲劳强度
1.特征： 1）强度降低：破坏时的名义应力值往 往低于材料在静载作用下的屈服应力； 2）多次循环：构件在交变应力作用下
发生破坏需要经历一定数量的应力 循环； 3）脆性断裂：构件在破坏前没有明显 的塑性变形预兆，即使韧性材料， 也将呈现“突然”的脆性断裂；
4）断口特征：金属材料的疲劳断裂断口上，有明显的光滑区 域与颗粒区域。
一、静荷载与动荷载 实验结果表明，材料在动载荷下的弹性性能基本上与静
载荷下的相同，因此，只要应力不超过比例极限，胡克定律 仍适用于动载荷下的应力、应变的计算、弹性模续也与静载 荷下的数值相同。 二、动载荷类型
根据构件的加速度的性质，动载荷问题可分为三类：
1.一般加速度运动（包括移动加速与转动加速）构件问题。此时不 会引起材料力学性能的改变，该类问题的处理方法是动静法。
水平冲击图示： 重物以一定的速度，沿水平方向冲击弹 性系统。当重物与弹性系统接触后，系统的最大水平位移 如下图所示。
冲击物： 动能改变：Ek=Qv2/2g
势能改变： Ep=0
被冲击物： 应变能改变：
V
1 2
Fd
d
能量方程 动荷因数
1 2
Q2
g
1 2
Qd d
Kd
d s
2
gs
第13章 动荷载
13.1 概述
3.选用弹性模量较低的材料 弹性模量较低的材料，可以增大静位移。但须注意强度问 题。
13-4 循环应力下构件的疲劳强度
1.特征： 1）强度降低：破坏时的名义应力值往 往低于材料在静载作用下的屈服应力； 2）多次循环：构件在交变应力作用下
发生破坏需要经历一定数量的应力 循环； 3）脆性断裂：构件在破坏前没有明显 的塑性变形预兆，即使韧性材料， 也将呈现“突然”的脆性断裂；
4）断口特征：金属材料的疲劳断裂断口上，有明显的光滑区 域与颗粒区域。
一、静荷载与动荷载 实验结果表明，材料在动载荷下的弹性性能基本上与静
载荷下的相同，因此，只要应力不超过比例极限，胡克定律 仍适用于动载荷下的应力、应变的计算、弹性模续也与静载 荷下的数值相同。 二、动载荷类型
根据构件的加速度的性质，动载荷问题可分为三类：
1.一般加速度运动（包括移动加速与转动加速）构件问题。此时不 会引起材料力学性能的改变，该类问题的处理方法是动静法。
水平冲击图示： 重物以一定的速度，沿水平方向冲击弹 性系统。当重物与弹性系统接触后，系统的最大水平位移 如下图所示。
冲击物： 动能改变：Ek=Qv2/2g
势能改变： Ep=0
被冲击物： 应变能改变：
V
1 2
Fd
d
能量方程 动荷因数
1 2
Q2
g
1 2
Qd d
Kd
d s
2
gs
第13章 动荷载
13.1 概述
动应力
.
st
Fd =kd P
P
§13.4 冲击应力与变形的计算
五、水平冲击问题的动荷系数
v g st
2
2 d
.
v
P
水平冲击时的动荷系数
l
1 d v kd g st st
由此可见： 在冲击问题中，增大静变形 可以减小动荷系数，从而减小冲
d
.
P v=0
d
.
st
.
Fd =kd P
D A D A 2 v qd g 2 g 2
v
. .
t D O
. .
极限转速
2 [ ] g D
第十三章 动应力
§13.3
强迫振动时的应力计算
一、振动时的运动微分方程及其解 二、振动时的动荷系数
§13.3 强迫振动时的动应力计算
一、振动时的运动微分方程及其解
d kd st
d kd st
Fd kd P
d kd st
可见：解决冲击问题的关键是确定冲击动荷系数
§13.4 冲击应力与变形的计算
三、自由落体冲击问题的动荷系数
对于弹性系统：落体 + 杆件，根据能量守恒原理
V Ud
由于
1 1 d 1 1 d2 d P d P U d Fd d (kd P ) 2 2 st 2 2 st V P(h d )
g
于是
B c
§13.3 强迫振动时的动应力计算
二、振动时的动荷系数
最大动挠度：
d max st B
最小动挠度：
d min st B
假设：振动时材料服从胡克定律
st
Fd =kd P
P
§13.4 冲击应力与变形的计算
五、水平冲击问题的动荷系数
v g st
2
2 d
.
v
P
水平冲击时的动荷系数
l
1 d v kd g st st
由此可见： 在冲击问题中，增大静变形 可以减小动荷系数，从而减小冲
d
.
P v=0
d
.
st
.
Fd =kd P
D A D A 2 v qd g 2 g 2
v
. .
t D O
. .
极限转速
2 [ ] g D
第十三章 动应力
§13.3
强迫振动时的应力计算
一、振动时的运动微分方程及其解 二、振动时的动荷系数
§13.3 强迫振动时的动应力计算
一、振动时的运动微分方程及其解
d kd st
d kd st
Fd kd P
d kd st
可见：解决冲击问题的关键是确定冲击动荷系数
§13.4 冲击应力与变形的计算
三、自由落体冲击问题的动荷系数
对于弹性系统：落体 + 杆件，根据能量守恒原理
V Ud
由于
1 1 d 1 1 d2 d P d P U d Fd d (kd P ) 2 2 st 2 2 st V P(h d )
g
于是
B c
§13.3 强迫振动时的动应力计算
二、振动时的动荷系数
最大动挠度：
d max st B
最小动挠度：
d min st B
假设：振动时材料服从胡克定律
第十三章动荷载(讲稿)
第十五章动荷载一、教学目标和教学内容1、教学目标通过本章学习，唤起学生对动荷载问题的注意。
让学生知道动荷载问题的两个方面，目前应当掌握在较简单的工程问题中，动荷载引起杆件的应力、应变和位移的计算。
对于材料在动荷载下的力学行为，以后根据工作的需要再进一步补充学习。
让学生掌握动荷载问题的基本知识，如杆件作等加速运动时的应力计算，作等速旋转圆盘的应力分析，简单的自由落体冲击和水平冲击，以及循环应力问题的有关概念。
能够深刻认识动荷系数概念，并能够熟练地进行杆件作等加速运动时的应力计算，作等速旋转圆盘的应力分析，完成简单的自由落体冲击和水平冲击的计算。
2、教学内容介绍杆件作等加速运动拉伸、压缩及弯曲时的应力计算。
介绍等角速度旋转的动荷应力计算。
讲解简单冲击时，能量守恒的基本方程，分别导出自由落体冲击和水平冲击时的动荷系数公式，及杆件经受冲击时的应力计算公式。
二、重点难点重点：建立三类动荷载概念。
掌握杆件作等加速运动时的应力计算。
作等速旋转圆盘的应力分析。
简单的自由落体冲击和水平冲击问题的计算难点：对动静法和动荷系数的理解。
对于动荷载问题与静荷载问题的联系与区别。
在简单冲击问题中，被冲击杆件冲击点的相应静荷位移的理解和计算，特别是水平冲击时的静荷位移的理解和计算。
三、教学方式采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。
四、建议学时3学时五、实施学时六、讲课提纲(一)概念（动荷载的概念）1、静荷载：作用在构件上的荷载由零开始，逐渐（平缓、慢慢）地增长到最终值，以致在加载过程中，构件各点的加速度很小，可以不计；荷载加到最终值保持不变或变动的不显著的荷载，称之为静荷载。
2、动荷载：如果构件本身处于加速度运动状态（高层、超高层建筑施工时起吊重物；这些建筑物中运行的电梯—惯性力问题）；或者静止的构件承受处于运动状态的物体作用（落锤打桩，锤头猛烈冲击砼桩顶—冲击问题）；地震波引起建筑物晃动(构件在振动状态下工作—振动问题)；机械零件在周期性变化的荷载下工作(交变应力疲劳问题)，则构件受到荷载就是动荷载。
动荷载交变应力
(7)
由此解得d 的两个根，并取其中大于st 的一个，得
Δd (1
1
2h Δst
) Δst
(8)
A
CP
B
(c)
Δst
于是得动荷因数 Kd 为
Kd 1
1 2h Δst
(9)
Δd Kd Δst
(10)
若梁的两端支承在两个刚度相同的弹簧上，则梁在冲
击点沿冲击方向的静位移为
Δst
Pl 3 48 EI
P 2k
例题： 匀加速起吊一根杆件（图a），杆的长度为l，
横截面面积为A,材料的密度为，加速度为a。试求距
杆下端为 x 的横截面上的动应力d 。
解：取距下端为x的一段杆为
FRd
x
分离体，作用于这段杆上的重力
沿杆轴均匀分布，其集度为Ag
，惯性力也沿杆轴均匀分布，其
l x
a
FNd
m
m
m
m
q Ag Aa
集度为Aa ，指向与a 指向相
3. 疲劳破坏是突然发生的，构件破坏前无明显的塑性 变形，不易为人们察觉。
因此，处于交变应力下的构件应进行疲劳强度校核。
§12.2 构件有加速度时动应力计算
计算采用动静法
在构件运动的某一时刻，将分布惯性力加在 构件上，使原来作用在构件上的外力和惯性力 假想地组成平衡力系，然后按静荷作用下的问 题来处理。
则冲击物减少的势能为
Ep P(h Δd )
(b)
而冲击物的初速与终速均为零，故
Ek 0
(c)
杆内应变能
Vεd
EA 2l
Δd2
(d)
将(b)(c)(d)代入(a)得
P(h
动载荷与交变应力
则 Fd K d Fst
Fd Fst 钢索中的动应力为 d K d K d st A A
st 为静载荷下钢索中的静应力
此时的强度条 件为
Fst m m
A
Fd
m m x
A
A
g a
d K d st [ ]
结论
x
G
G
G a g
只要将静载荷下的应力、变形，乘以动荷 因数Kd即得动载荷下的应力与变形。
例：一重量为 P的重物由高度为 h 的位置自由下落，与 一块和直杆AB 相连的平板发生冲击。杆的横截面面积 为A。求杆中的冲击应力。
解:重物是冲击物， 杆 AB（包括圆盘） 是被冲击物。
冲击物减少的势能：
A
A
P
B
V P(h d )
动能无变化：T 0
B
d
假使Δd为冲击发生后重物与平 板一起下降的最大位移, Pd为 重物与平板之间的相互作用力
惯性力：大小等于质点的质量 m 与加速度 a 的乘积， 方向与 a 的方向相反。
FIR ma
构件上除外加载荷外，再在构件的各点上加上 惯性力，则可按求静载荷应力和变形的方法， 求得构件的动应力和动变形。
例1：一起重机钢索以加速度 a 提升一重为 G 的物体，设钢索的横截面面积为 A ，钢索单位 体积的重量为 ，求距钢索下端为 x 处的 m-m A 截面上的应力。 Fst a g m m 解: 钢索的重力集度为 : A 物体的惯性力为:
（1） 不计冲击物的变形，且冲击物与被冲击物接触 后无反弹，成为一个运动系统。
（2）被冲击物的质量很小可略去不计，材料服 从胡克定律。
（3） 过程中只有势能、动能与应变能的转化， 略去其它能量的损失。
第13章 动应力
e
C
T1
D
B
FS
P1
(1
a g
)
60.4kN
FS
P1
FS+P2
T
C
B
P1 P1 a g
T1 J 0e
1 2
P2 g
D 2
2
2a D
0.612kN•m
T2
FS
D 2
36.24kN•m
a
M
1 4
(
FS
P2
)l
16.1kN•
m
r3
M 2 T 2 [ ] d 160mm
W
§13-3 强迫振动时的应力计算
2
(2
R
l
)l
55.8MPa
§13-2 考虑惯性力时构件的动应力计算
例13-2 图示卷扬机起吊重物P1=40kN以等加速度a=5m/s2上升，鼓轮 重P2=4kN，直径D=1.2m，安装在轴中点C；轴长l=1m，材料许用应
力[ ]=100MPa，试按最大切应力准则设计轴的直径。
A
T T1 T2 36.85kN•m A
.y.
Fcsinwt
§13-3 强迫振动时的应力计算
2．系统参数
1)固有频率w0：w0
g
st
Kg P
2)阻尼系数n：n
gc 2P
3．振动体的微分方程
y..
2n
y.
w
2 0
y
FPc gsinwt
4．小阻尼情况下(n< w0)，方程通解为
y Ae nt sin(
w
2 0
n2
t
)
Bsin(w
t
材料力学2--动荷载、交变应力
解：①受力分析如图: FNd
惯性力：
FNd man 2 Rm 2 LG / g
②强度条件
O
L
FNd / A
2GL A ( g )
FNd
12.3 构件受冲击时动应力计算
计算采用能量守恒定律 冲击物在冲击过程中减少的动能 Ek 和势能Ep 等于被冲击构件所增加的应变能 Vd ，即
2 d
解出 d 的两个根，取其中大于 st 的那个根，即得
2h Δd Δst (1 1 ) Δst
2h 引用记号 K d (1 1 ) Δst
则
Δd Kd Δst
将上式两边乘以 E/l 后得
d Kd st
(1)
注意：当 h0 时，相当于P 骤加在杆件上，这时
对于铝合金等有色金属，其S-N曲线没有明显的
水平部分，一般规定 N0 5 106 ~ 107 时对应的 max 称
N 为条件疲劳极限，用 表示。 1
0
对低碳钢，其 其弯曲疲劳极限 拉压疲劳极限
b 400 ~ 500MPa
( -1 ) b 170 ~ 220MPa ( -1 ) t 120 ~ 160MPa
r < 0 ：拉压循环 ； r > 0 ：拉拉循环 或压压循环。
(2)应力幅 (3)平均应力 m
max min
1 m ( max min ) 2
一个非对称循环应力可以看作是在一个平均应力 m 上叠加一个应力幅为 的对称循环应力组合构成。
疲劳极限 将若干根尺寸、材质相同的标准试样，在疲劳试验 机上依次进行r = -1的常幅疲劳试验。各试样加载应 力幅 均不同，因此疲劳破坏所经历的应力循环次 数N各不相同。 以 为纵坐标，以N为横坐标（通常为对数坐标）， 便可绘出该材料的应力—寿命曲线即S-N曲线如图（以 40Cr钢为例） 注：由于在r =-1时， max = /2，故 S-N曲线纵坐标 也可以采用 max 。
惯性力：
FNd man 2 Rm 2 LG / g
②强度条件
O
L
FNd / A
2GL A ( g )
FNd
12.3 构件受冲击时动应力计算
计算采用能量守恒定律 冲击物在冲击过程中减少的动能 Ek 和势能Ep 等于被冲击构件所增加的应变能 Vd ，即
2 d
解出 d 的两个根，取其中大于 st 的那个根，即得
2h Δd Δst (1 1 ) Δst
2h 引用记号 K d (1 1 ) Δst
则
Δd Kd Δst
将上式两边乘以 E/l 后得
d Kd st
(1)
注意：当 h0 时，相当于P 骤加在杆件上，这时
对于铝合金等有色金属，其S-N曲线没有明显的
水平部分，一般规定 N0 5 106 ~ 107 时对应的 max 称
N 为条件疲劳极限，用 表示。 1
0
对低碳钢，其 其弯曲疲劳极限 拉压疲劳极限
b 400 ~ 500MPa
( -1 ) b 170 ~ 220MPa ( -1 ) t 120 ~ 160MPa
r < 0 ：拉压循环 ； r > 0 ：拉拉循环 或压压循环。
(2)应力幅 (3)平均应力 m
max min
1 m ( max min ) 2
一个非对称循环应力可以看作是在一个平均应力 m 上叠加一个应力幅为 的对称循环应力组合构成。
疲劳极限 将若干根尺寸、材质相同的标准试样，在疲劳试验 机上依次进行r = -1的常幅疲劳试验。各试样加载应 力幅 均不同，因此疲劳破坏所经历的应力循环次 数N各不相同。 以 为纵坐标，以N为横坐标（通常为对数坐标）， 便可绘出该材料的应力—寿命曲线即S-N曲线如图（以 40Cr钢为例） 注：由于在r =-1时， max = /2，故 S-N曲线纵坐标 也可以采用 max 。
动荷载及交变应力
193第二十五章 动荷载及交变应力一、 内容提要使构件内各点产生加速度的载荷称动载荷。
构件在动载荷作用下产生的应力称为动荷应力。
若以 、和 分别表示动载荷、动荷应力、动荷变形， 、 和 分别表示静载荷、静应力和静变形，则有动荷系数1. 构件以等加速度运动时的动荷应力这类问题可应用达朗伯原理把惯性力作为静载荷处理，按静力平衡求解内力。
动荷系数2. 承受冲击载荷时构件内的动荷应力忽略冲击过程中的能量损失,根据机械能守恒定律,刚体冲击物在冲击过程中所减少的动能T 和位能V ,应等于受冲击物体的弹性变形能,即自由落体垂直冲击水平冲击3. 疲劳应力：随时间作周期性变化的应力。
正应力—时间曲线d P d σd ∆j P j σj ∆jd jd jd d P P K ∆∆===σσga K d +=1d U V T =+jd H K ∆++=211jd g vK ∆=2mσ194 基本参量 循环种类应力最大值 对称循环 应力最小值 脉动循环平均应力 静应力循环 应力幅循环特征4. 疲劳破坏：金属材料在交变应力作用下的破坏。
有以下特点：(1) 交变应力的破坏应力值一般低于静载荷作用下的强度极限值, 但经历时间长。
(2) 无论是脆性还是塑性材料，交变应力作用下均表现为脆性断裂,无明显塑性变形，断口表面可明显区分为光滑区与粗糙区两部分。
(3) 疲劳过程一般分三个阶段：裂纹萌生、裂纹扩展、扩展到临界尺寸瞬时断裂。
二、 基本要求1. 掌握匀加速直线运动杆件和匀速转动圆环的应力和强度计算方法。
2. 理解自由落体冲击应力和变形公式的推导过程和假设条件,熟练掌握受该冲击作用的动应力和动变形的计算方法。
3. 了解提高构件抗冲击能力的主要措施。
4. 了解疲劳破坏的机理和特点,掌握交变应力的应力幅度、平均应力和循环特性的概念和计算方法。
三、 典型例题分析例1 图1 直杆的横截面积为A ，长 ，重量为G ，放置在无摩擦的水平面上，设试用动静法求杆内动荷应力沿杆长的分布规律。
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max min 57.05MPa
例 图示一焊接箱形钢梁，在跨中受到Fmin=10KN ， Fmax= 100KN 的常幅交变荷载作用，属第4类构件。欲使此梁在服役 期内，能经受N=2×106次交变荷载作用， 试校核其疲劳强度。 F
8.15 8.15
2
o
求
（a）
C N
1
N——交变应力循环次数。 C、——参数，查表。 在应力循环中，不出现拉应力的部位，可不作疲劳计算。
例 图示一焊接箱形钢梁，在跨中受到Fmin=10KN ， Fmax= 100KN 的常幅交变荷载作用，属第4类构件。欲使此梁在服役 期内，能经受N=2×106次交变荷载作用， 试校核其疲劳强度。 F
§13-1 概
动荷载——指随时间作显著 变化的荷载或着作加速运动 构件的惯性力。 交变应力——构件内随时间作 周期性交替变化的应力。
述
F
d
F
a
l
a
Fa
M图
疲劳破坏——构件长期在交变应力作用下，即使 最大工作应力远低于材料的屈服极限，却往往会 发生骤然断裂。这种破坏就叫疲劳破坏。
构件作匀加速直线平动和匀速转动时的应力
构件受冲击时的应力和变形
交变应力和疲劳破坏
§13-2 构件作匀加速直线平动 和匀速转动时的应力
一、构件作匀加速直线平动时的应力
一桥式起重机，以匀加速度a起吊重为W的物体。若钢索横 截面积为A，密度为，试分析钢索横截面上的动应力。 x
l 2
l 2
x
FNd q + qd
a
W
d kd st
40 mm
2 2
10
55 mm
10
a
试件Байду номын сангаас
b
k
W A
Nm / m2 ,
J / m2
αK 越大，材料的抗冲击能力越好。
§13-4 交变应力和疲劳破坏
交变应力—构件内随时间作周期性交替变化的应力。
FH
W
最小位移位置
静平衡位置
最大位移位置
应力随时间变化 的曲线——应力谱
O
t
2
F
d
对称循环特征下的 疲劳极限 σ-1 是衡量材 料疲劳强度的一个基本 指标。
max
疲劳试验装置
（ 1） 弯
O
N1
N0
N
§13-6 钢结构构件的疲劳计算
当N 105，对常幅疲劳： [ ]
焊接部位： max min
非焊接部位： max 0.7 min
C EA — —被冲击构件的刚度系 数。 l
2
冲前
d 2st d 2st h 0
2h d 1 1 st kd st st
Fd kdW
d kd st
2h kd 1 1 st
——竖向冲击动荷因数
1、当h = 0 时， kd = 2。表明构件的动应力和动变形都是静荷 载作用下的两倍。这种荷载——突加荷载。 2、当h △st 时，动荷因数近似为kd = 3、当冲击物体自由下落、h=v2/2g ，
v2 kd 1 1 g st
2h st
例：同样的两根钢梁，受重为P的重物冲击，其中一梁支于刚性
Pl3 P st 5.08 103 m 48EI 2k
Pl3 st 8.27 105 m 48EI
kd 1 1
2h kd 1 1 35.8 st
2h 5.55 st
d kd st 13.5MPa
d kd st 87MPa
火 车 轮 轴 的 疲 劳 断 口 颗粒状区域
一般金属材料的 疲劳断口，都有明显 的光滑区域和颗粒状 区域。
光滑区域
传动轴的疲劳失效
弹簧的疲劳失效
疲劳 源
§13-5 交变应力的特征和疲劳极限
应力每重复变化一次——一个应力循环。
应力重复的次数——循环次数N。
材料发生疲劳破坏所经历的循环次数——疲劳寿命。 应力循环中最小应力与最大应力之比 ——交变应力的循环特征 r。
d
W
v
a
st
A
A
A
l
Fd
W
（a）
（b）
（c）
水平冲击动荷因数：
kd
v2 g st
Fd kdW
d kd st
d kd st
△st——将冲击物的重量W 作为静载，
水平作用于被冲击构件冲击点处，构件 在冲击点沿水平方向的静变形。
三、冲击韧度 冲击韧度是衡量材料抗冲击能力的力学指标
应力循环
min r max
最大应力和最小应力的平均值 ——平均应力 m。 应力变化的幅度
max
o
min
t
——应力幅 a。
应力谱
例：图示圆轴直径为d，轴不旋转，载荷F大小不变，仅其作用点 的位置沿跨中截面的圆周作连续移动（F方向始终指向圆心）。 试求跨中截面A点的max ，min ，循环特征r和应力幅a。
F
l/2 l/2
8Fl min 3 d 8Fl a 3 d
t
F
z
A y
Fl r cost A 4 Iz
解答： max
8Fl 3 d
r 1
当σmax 减小到某一限值时，虽经“无限多次” 应力循环，材料仍不发生疲劳破坏，这个应力限 值——材料的持久极限（疲劳极限）σr 。
d v 2
强度条件
O
M
; l ; A
§13-3 构件受冲击时的应力和变形
当运动着的物体作用到静止的物体上时，在相互接触的极短 时间内，运动物体的速度急剧下降为零；从而使静止的物体受到 很大的作用力，这种现象——冲击。 W
冲击中的运动物体——冲击物。 静止的物体——被冲击构件。
一、竖向冲击
2h kd 1 1 st
W
——竖向冲击动荷因数 v d
h
st
是将冲击物重量W 以静载方
式作用在被冲构件的冲击点处，在构件冲击点 处沿冲击方向所产生的静变形。
l
EA
Fd kdW
d kd st
d kd st
关于kd的讨论：
2h kd 1 1 st
例：图示结构中两杆件均为Q235钢，AB杆横截面为边长100mm 的正方形， BC杆横截面为直径为20mm的圆截面，杆长均为
1m。重物重为FW。 a. 当重物由高度h处自由下落冲击梁B处，试求kd （不考虑BC的 稳定性问题）； FW b. 使BC杆轴力达到临界力时的高度h。 h B A
C
二、水平冲击
8.15 8.15
解：由σmax，σmin→ ，查表得C，
β→ [ ]，再校核强度。
（a）
1o 求。
18
190 10 10
I z 72.81 10 m
6
4
z 175
18 a
y （b）
min Mmin ymax I z 6.34MPa
max Mmax ymax I z 63.39MPa 当Fmax 100kN：
h
v=0
冲后
v
l
冲前
假设：
（1）冲击物为刚体，且不反弹；
（2）忽略被冲击构件的质量； （3）冲击过程中被冲击构件的材料仍服从虎克定律。
EA
（4）不考察冲击过程中次要的能量耗散（如声能、热能等）。
一、竖向冲击
T V V
Wh W d 1 Fd d 2
W
h 冲后
v d l
EA
W EA d Fd d C d st l
F
3
d
i
1
y
a
l
a
4
（a）
（c）
Fa
应力循环
max
O
M图
（b）
t
min
（d）
由于材料的不均匀性，或有杂质等缺陷，构件在受载后，这 些部位将产生应力集中；在交变应力反复作用下，这些部位产生 细微裂纹，并不断扩展形成宏观裂纹，导致构件的有效截面逐渐 减小，当截面削弱到一定程度时，构件沿此截面突然断裂。 疲劳源
支座上，另一梁支于刚度系数k=105N/m的弹性支座上。已知l=3m, h=0.05m, P=1kN, I=3.410-5 m4, Wz=3.09 10-4m3 , E= 200 Gpa。 试求二者的最大冲击应力。
P P
A
h
h B
C
l/2
l/2
A
l/2
C
l/2
B
解：
st
Pl 2.43MPa 4Wz
强度条件：
a
W
d max kd st max
a kd 1 g
动荷因数
W a g
二、匀速转动的构件
一匀速转动的飞轮， 材料密度为，轮缘横截 面积为A，试分析轮缘上 的动应力。
D
FNd
AD 2 2
4
2
y qd
Av
x FNd
FNd
其中：v为圆环中线上各点的线速度。
查表 C＝2.181012 ， 3
18
190 10 10
C / N
1
103 .0MPa
18 a
y （b）
z 175
显然 ，满足疲劳强度要求。
例 图示一焊接箱形钢梁，在跨中受到Fmin=10KN ， Fmax= 100KN 的常幅交变荷载作用，属第4类构件。欲使此梁在服役 期内，能经受N=2×106次交变荷载作用， 试校核其疲劳强度。 F
8.15 8.15
2
o
求
（a）
C N
1
N——交变应力循环次数。 C、——参数，查表。 在应力循环中，不出现拉应力的部位，可不作疲劳计算。
例 图示一焊接箱形钢梁，在跨中受到Fmin=10KN ， Fmax= 100KN 的常幅交变荷载作用，属第4类构件。欲使此梁在服役 期内，能经受N=2×106次交变荷载作用， 试校核其疲劳强度。 F
§13-1 概
动荷载——指随时间作显著 变化的荷载或着作加速运动 构件的惯性力。 交变应力——构件内随时间作 周期性交替变化的应力。
述
F
d
F
a
l
a
Fa
M图
疲劳破坏——构件长期在交变应力作用下，即使 最大工作应力远低于材料的屈服极限，却往往会 发生骤然断裂。这种破坏就叫疲劳破坏。
构件作匀加速直线平动和匀速转动时的应力
构件受冲击时的应力和变形
交变应力和疲劳破坏
§13-2 构件作匀加速直线平动 和匀速转动时的应力
一、构件作匀加速直线平动时的应力
一桥式起重机，以匀加速度a起吊重为W的物体。若钢索横 截面积为A，密度为，试分析钢索横截面上的动应力。 x
l 2
l 2
x
FNd q + qd
a
W
d kd st
40 mm
2 2
10
55 mm
10
a
试件Байду номын сангаас
b
k
W A
Nm / m2 ,
J / m2
αK 越大，材料的抗冲击能力越好。
§13-4 交变应力和疲劳破坏
交变应力—构件内随时间作周期性交替变化的应力。
FH
W
最小位移位置
静平衡位置
最大位移位置
应力随时间变化 的曲线——应力谱
O
t
2
F
d
对称循环特征下的 疲劳极限 σ-1 是衡量材 料疲劳强度的一个基本 指标。
max
疲劳试验装置
（ 1） 弯
O
N1
N0
N
§13-6 钢结构构件的疲劳计算
当N 105，对常幅疲劳： [ ]
焊接部位： max min
非焊接部位： max 0.7 min
C EA — —被冲击构件的刚度系 数。 l
2
冲前
d 2st d 2st h 0
2h d 1 1 st kd st st
Fd kdW
d kd st
2h kd 1 1 st
——竖向冲击动荷因数
1、当h = 0 时， kd = 2。表明构件的动应力和动变形都是静荷 载作用下的两倍。这种荷载——突加荷载。 2、当h △st 时，动荷因数近似为kd = 3、当冲击物体自由下落、h=v2/2g ，
v2 kd 1 1 g st
2h st
例：同样的两根钢梁，受重为P的重物冲击，其中一梁支于刚性
Pl3 P st 5.08 103 m 48EI 2k
Pl3 st 8.27 105 m 48EI
kd 1 1
2h kd 1 1 35.8 st
2h 5.55 st
d kd st 13.5MPa
d kd st 87MPa
火 车 轮 轴 的 疲 劳 断 口 颗粒状区域
一般金属材料的 疲劳断口，都有明显 的光滑区域和颗粒状 区域。
光滑区域
传动轴的疲劳失效
弹簧的疲劳失效
疲劳 源
§13-5 交变应力的特征和疲劳极限
应力每重复变化一次——一个应力循环。
应力重复的次数——循环次数N。
材料发生疲劳破坏所经历的循环次数——疲劳寿命。 应力循环中最小应力与最大应力之比 ——交变应力的循环特征 r。
d
W
v
a
st
A
A
A
l
Fd
W
（a）
（b）
（c）
水平冲击动荷因数：
kd
v2 g st
Fd kdW
d kd st
d kd st
△st——将冲击物的重量W 作为静载，
水平作用于被冲击构件冲击点处，构件 在冲击点沿水平方向的静变形。
三、冲击韧度 冲击韧度是衡量材料抗冲击能力的力学指标
应力循环
min r max
最大应力和最小应力的平均值 ——平均应力 m。 应力变化的幅度
max
o
min
t
——应力幅 a。
应力谱
例：图示圆轴直径为d，轴不旋转，载荷F大小不变，仅其作用点 的位置沿跨中截面的圆周作连续移动（F方向始终指向圆心）。 试求跨中截面A点的max ，min ，循环特征r和应力幅a。
F
l/2 l/2
8Fl min 3 d 8Fl a 3 d
t
F
z
A y
Fl r cost A 4 Iz
解答： max
8Fl 3 d
r 1
当σmax 减小到某一限值时，虽经“无限多次” 应力循环，材料仍不发生疲劳破坏，这个应力限 值——材料的持久极限（疲劳极限）σr 。
d v 2
强度条件
O
M
; l ; A
§13-3 构件受冲击时的应力和变形
当运动着的物体作用到静止的物体上时，在相互接触的极短 时间内，运动物体的速度急剧下降为零；从而使静止的物体受到 很大的作用力，这种现象——冲击。 W
冲击中的运动物体——冲击物。 静止的物体——被冲击构件。
一、竖向冲击
2h kd 1 1 st
W
——竖向冲击动荷因数 v d
h
st
是将冲击物重量W 以静载方
式作用在被冲构件的冲击点处，在构件冲击点 处沿冲击方向所产生的静变形。
l
EA
Fd kdW
d kd st
d kd st
关于kd的讨论：
2h kd 1 1 st
例：图示结构中两杆件均为Q235钢，AB杆横截面为边长100mm 的正方形， BC杆横截面为直径为20mm的圆截面，杆长均为
1m。重物重为FW。 a. 当重物由高度h处自由下落冲击梁B处，试求kd （不考虑BC的 稳定性问题）； FW b. 使BC杆轴力达到临界力时的高度h。 h B A
C
二、水平冲击
8.15 8.15
解：由σmax，σmin→ ，查表得C，
β→ [ ]，再校核强度。
（a）
1o 求。
18
190 10 10
I z 72.81 10 m
6
4
z 175
18 a
y （b）
min Mmin ymax I z 6.34MPa
max Mmax ymax I z 63.39MPa 当Fmax 100kN：
h
v=0
冲后
v
l
冲前
假设：
（1）冲击物为刚体，且不反弹；
（2）忽略被冲击构件的质量； （3）冲击过程中被冲击构件的材料仍服从虎克定律。
EA
（4）不考察冲击过程中次要的能量耗散（如声能、热能等）。
一、竖向冲击
T V V
Wh W d 1 Fd d 2
W
h 冲后
v d l
EA
W EA d Fd d C d st l
F
3
d
i
1
y
a
l
a
4
（a）
（c）
Fa
应力循环
max
O
M图
（b）
t
min
（d）
由于材料的不均匀性，或有杂质等缺陷，构件在受载后，这 些部位将产生应力集中；在交变应力反复作用下，这些部位产生 细微裂纹，并不断扩展形成宏观裂纹，导致构件的有效截面逐渐 减小，当截面削弱到一定程度时，构件沿此截面突然断裂。 疲劳源
支座上，另一梁支于刚度系数k=105N/m的弹性支座上。已知l=3m, h=0.05m, P=1kN, I=3.410-5 m4, Wz=3.09 10-4m3 , E= 200 Gpa。 试求二者的最大冲击应力。
P P
A
h
h B
C
l/2
l/2
A
l/2
C
l/2
B
解：
st
Pl 2.43MPa 4Wz
强度条件：
a
W
d max kd st max
a kd 1 g
动荷因数
W a g
二、匀速转动的构件
一匀速转动的飞轮， 材料密度为，轮缘横截 面积为A，试分析轮缘上 的动应力。
D
FNd
AD 2 2
4
2
y qd
Av
x FNd
FNd
其中：v为圆环中线上各点的线速度。
查表 C＝2.181012 ， 3
18
190 10 10
C / N
1
103 .0MPa
18 a
y （b）
z 175
显然 ，满足疲劳强度要求。