第3章 雅可比矩阵和动力学分析
机器人雅可比矩阵
两自由度机器人
对于一个两自由度的机器人，其 雅可比矩阵是一个2x2矩阵，其 中包含了机器人的两个关节角度 和两个关节速度之间的线性关系
。
矩阵形式
雅可比矩阵的矩阵形式为：J = [[a, b], [c, d]]，其中a、b、c、d 是机器人关节角度和关节速度之
间的线性关系系数。
计算方法
对于两自由度机器人，可以通过 已知的关节角度和关节速度，以 及机器人运动学方程，计算得到
解析机器人模型
计算偏导数
雅可比矩阵描述了机器人末端与控制输入 之间的关系，通过直接计算机器人关节变 量对末端位置和姿态的偏导数得到。
根据机器人的几何模型和关节类型，解析 机器人的运动学模型，得到末端位置和姿 态与关节变量的关系。
利用解析得到的运动学模型，计算机器人 末端位置和姿态对关节变量的偏导数，得 到雅可比矩阵的元素。
参数优化
调整雅可比矩阵的参数
通过对雅可比矩阵的参数进行调整，如增加或减少矩阵的行 或列，能够优化矩阵的计算过程，提高计算效率。
优化迭代算法的参数
对于使用迭代算法计算雅可比矩阵的情形，通过调整迭代算 法的参数，如增加迭代次数、改变收敛准则等，能够提高计 算精度和速度。
控制策略改进
引入新的控制策略
针对具体应用场景，引入新的控制策略，如采用模糊控制、神经网络等，能够更好地解决机器人控制问题，进而 改进雅可比矩阵的计算效果。
计算方法
对于四自由度机器人，可以通过 已知的关节角度和关节速度，以 及机器人运动学方程，计算得到 雅可比矩阵。
05
雅可比矩阵的优化与改进
优化算法选择
选用高效算法
对于雅可比矩阵的计算，选用高效的算法能够显著提升计算速度和精度，例如采 用数值差分法、有限元法等。
简述机器人雅可比矩阵的概念
简述机器人雅可比矩阵的概念机器人雅可比矩阵是机器人控制理论中的一个重要概念，它描述了机器人末端执行器在关节空间和笛卡尔空间中的运动学关系。
本文将从机器人运动学的基本概念入手，介绍雅可比矩阵的定义、性质和应用，以及在机器人控制中的重要作用。
一、机器人运动学基本概念机器人运动学是研究机器人运动规律和运动参数的学科，它是机器人控制理论的重要组成部分。
机器人运动学主要分为正运动学和逆运动学两个部分。
正运动学是指通过机器人关节角度计算机器人末端执行器的位置和姿态，即把关节空间的运动状态转换为笛卡尔空间的运动状态。
逆运动学则是指通过机器人末端执行器的位置和姿态计算机器人关节角度，即把笛卡尔空间的运动状态转换为关节空间的运动状态。
正逆运动学是机器人控制中的基本问题，也是机器人实际应用中必须解决的问题。
机器人运动学中的基本概念包括机器人坐标系、机器人关节角度、机器人末端执行器的位置和姿态等。
机器人坐标系是机器人运动学中的一个基本概念，它是描述机器人运动状态的基础。
机器人坐标系可以分为基座坐标系和工具坐标系两种类型。
基座坐标系是机器人的固定参考系，通常与机器人底座相对应。
工具坐标系则是机器人末端执行器的参考系，通常与机器人末端执行器的位置和姿态相对应。
机器人关节角度是机器人运动学中的另一个基本概念，它是描述机器人关节运动状态的参数。
机器人关节角度通常用关节角度向量表示，例如q=[q1, q2, ..., qn]T，其中n是机器人关节数量。
机器人关节角度向量是机器人控制中的重要参数，它可以用来控制机器人的关节运动状态。
机器人末端执行器的位置和姿态是机器人运动学中的另一个基本概念，它是描述机器人末端执行器运动状态的参数。
机器人末端执行器的位置通常用位置向量表示，例如p=[x, y, z]T，其中x、y、z 是机器人末端执行器在笛卡尔空间中的位置坐标。
机器人末端执行器的姿态通常用姿态矩阵或欧拉角表示，例如R=[r11, r12, r13; r21, r22, r23; r31, r32, r33]，其中r11、r12、r13、r21、r22、r23、r31、r32、r33是姿态矩阵的元素。
机器人运动学雅可比矩阵
05 雅可比矩阵的优化与改进
雅可比矩阵的稳定性分析
稳定性分析的重要性
在机器人运动控制中，雅可比矩阵的稳定性对机器人的运动性能 和动态响应具有重要影响。
稳定性判据
通过分析雅可比矩阵的特征值和特征向量，可以确定机器人的运动 稳定性，并为其运动控制提供依据。
通常使用齐次变换矩阵来表示机器人的位姿，该矩阵包含 了平移和旋转信息，能够完整地描述机器人在空间中的位 置和方向。
坐标系与变换
01
坐标系是用来描述物体在空间中位置和姿态的参照框架。
02
在机器人学中，通常使用固连于机器人基座的坐标系作为全局 参考坐标系，以及固连于机器人末端执行器的坐标系作为局部
参考坐标系。
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雅可比矩阵的物理意义
雅可比矩阵描述了机械臂末端执行器 的位置和姿态随关节变量变化的规律， 是机械臂运动学分析中的重要概念。
通过雅可比矩阵，可以分析机械臂的 可达工作空间、奇异性、运动速度和 加速度等运动学性能。
雅可比矩阵的计算方法
雅可比矩阵可以通过正向运动学和逆 向运动学两种方法计算得到。
在计算雅可比矩阵时，需要使用到线 性代数、微分方程等数学工具。
正向运动学是根据关节变量求解末端 执行器在参考坐标系中的位置和姿态； 逆向运动学是根据末端执行器的位置 和姿态求解关节变量。
04 雅可比矩阵在机器人运动 学中的应用
机器人的关节与连杆
关节
机器人的每个关节都有一个自由 度，决定了机器人的运动方式。 常见的关节类型包括旋转关节和 移动关节。
连杆
雅可比矩阵
雅可比(Jacobian)矩阵2008-12-05 11:29在向量微积分中，雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵，其行列式称为雅可比行列式。
还有，在代数几何中，代数曲线的雅可比量表示雅可比簇：伴随该曲线的一个群簇，曲线可以嵌入其中。
它们全部都以数学家卡尔·雅可比命名；雅可比矩阵雅可比矩阵的重要性在于它体现了一个可微方程与给出点的最优线性逼近。
因此，雅可比矩阵类似于多元函数的导数。
假设F:Rn→Rm 是一个从欧式n维空间转换到欧式m维空间的函数。
这个函数由m个实函数组成: y1(x1,...,xn), ..., ym(x1,...,xn). 这些函数的偏导数(如果存在)可以组成一个m行n列的矩阵，这就是所谓的雅可比矩阵：此矩阵表示为：，或者这个矩阵的第i行是由梯度函数的转置y i(i=1,...,m)表示的如果p是Rn中的一点，F在p点可微分，那么在这一点的导数由J F(p)给出(这是求该点导数最简便的方法)。
在此情况下，由F(p)描述的线性算子即接近点p的F的最优线性逼近，x逼近与p例子由球坐标系到直角坐标系的转化由F函数给出:R × [0,π] × [0,2π] → R3此坐标变换的雅可比矩阵是R4的f函数:其雅可比矩阵为:此例子说明雅可比矩阵不一定为方矩阵。
在动态系统中考虑形为x' = F(x)的动态系统，F : R n→ R n。
如果F(x0) = 0，那么x0是一个驻点。
系统接近驻点时的表现通常可以从JF(x0)的特征值来决定。
雅可比行列式如果m = n，那么F是从n维空间到n维空间的函数，且它的雅可比矩阵是一个方块矩阵。
于是我们可以取它的行列式，称为雅可比行列式。
在某个给定点的雅可比行列式提供了F在接近该点时的表现的重要信息。
例如，如果连续可微函数F在p点的雅可比行列式不是零，那么它在该点具有反函数。
这称为反函数定理。
更进一步，如果p点的雅可比行列式是正数，则F在p 点的取向不变；如果是负数，则F的取向相反。
机器人雅可比矩阵
根据机器人运动状态和任务需求，动态调整雅可比矩阵的维度， 以适应不同情况下的计算需求。
雅可比矩阵的奇异性问题
1 2
奇异值分解
利用奇异值分解（SVD）等技术处理雅可比矩阵 的奇异性问题，提高矩阵的稳定性和可靠性。
冗余自由度
合理配置机器人的冗余自由度，避免产生奇异位 姿，提高机器人的运动能力和灵活性。
。
逆向运动学
03
已知机器人在笛卡尔空间中的位姿，求解关节空间的运动变量
，进而得到雅可比矩阵。
03
雅可比矩阵的应用
机器人的运动学正解与逆解
01
02
03
运动学正解
通过给定的关节角度，计 算机器人末端执行器的位 置和姿态。
运动学逆解
已知末端执行器的位置和 姿态，反推出各关节角度 。
求解方法
通过几何学和线性代数的 方法，建立机器人运动学 模型，并使用数值计算方 法求解正解和逆解。
3
动态调整
根据机器人运动状态和任务需求，动态调整雅可 比矩阵的结构，以避免奇异性问题。
雅可比矩阵的实时计算优化
并行计算
采用并行计算技术，将雅可比矩阵的计算任务分解为多个子任务， 提高计算效率。
预计算和缓存
对雅可比矩阵进行预计算和缓存，减少实时计算量，提高计算速度 。
自适应算法
采用自适应算法优化雅可比矩阵的计算过程，根据机器人运动状态和 任务需求动态调整计算参数，提高计算精度和响应速度。
力矩控制
通过调节施加在机器人关节上的力矩，实现对机器人运动的精确控 制。
控制方法
基于反馈的力/力矩控制方法，如PID控制器、模糊控制器等。
04
雅可比矩阵的优化与改进
雅可比矩阵的降维处理
第03章 机器人的运动学和动力学
教案首页课程名称农业机器人任课教师李玉柱第3章机器人运动学和动力学计划学时 3教学目的和要求：1.概述，齐次坐标与动系位姿矩阵，了解平移和旋转的齐次变换；2.机器人的运动学方程的建立与求解*；3.机器人的动力学*重点：1.机器人操作机运动学方程的建立及求解；2.工业机器人运动学方程3.机器人动力学难点：1. 机器人动力学方程及雅可比矩阵基本原理思考题：1.简述齐次坐标与动系位姿矩阵基本原理。
2.连杆参数及连杆坐标系如何建立？3.机器人动力学方程及雅可比矩阵基本原理是什么？第3章机器人运动学和动力学教学主要内容：3.2 齐次坐标与动系位姿矩阵3.3 齐次变换3.4 机器操作机运动学方程的建立与求解3.5 机器人运动学方程3.6 机器人动力学本章将主要讨论机器人运动学和动力学基本问题。
先后引入了齐次坐标与动系位姿矩阵、齐次变换，通过对机器人的位姿分析，介绍了机器人运动学方程；在此基础上有对机器人运动学方程进行了较为深入的探讨。
3.1 概述机器人，尤其是关节型机器人最有代表性。
关节型机器人实质上是由一系列关节连接而成的空间连杆开式链机构，要研究关节型机器人，必须对运动学和动力学知识有一个基本的了解。
分析机器人连杆的位置和姿态与关节角之间的关系，理论称为运动学，而研究机器人运动和受力之间的关系的理论则是动力学。
3.2 齐次坐标与动系位姿矩阵3.2.1 点的位置描述在关节型机器人的位姿控制中，首先要精确描述各连杆的位置。
为此，先定义一个固定的坐标系，其原点为机器人处于初始状态的正下方地面上的那个点，如图3-1（a）所示。
记该坐标系为世界坐标系。
在选定的直角坐标系{A}中，空间任一点P的位置可以用3×1的位置向量A P表示，其左上标表示选定的坐标系{A}，此时有A P=XYZ P P P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦式中：P X、P Y、P Z—点P在坐标系{A}中的三个位置坐标分量，如图3-1（b）。
3.2.2 齐次坐标将一个n维空间的点用n+1维坐标表示，则该n+1维坐标即为n维坐标的齐次坐标．．．．。
机器人动力学 雅克比-概念解析以及定义
机器人动力学雅克比-概述说明以及解释1.引言1.1 概述机器人动力学是研究机器人运动过程中的力学和动力学特性的学科，主要涉及机器人的姿态、速度、加速度、力和力矩等相关物理量。
机器人动力学一直以来都是机器人领域的关键问题之一，对于机器人的运动控制和路径规划具有重要的指导意义。
雅克比矩阵是机器人动力学中一项关键的工具，用于描述机器人多自由度系统中各关节之间的运动传递关系。
通过雅克比矩阵，我们可以计算出机器人末端执行器在给定关节角速度下的线速度和角速度，从而实现对机器人运动的精确控制。
机器人动力学的研究在实际应用中有着广泛的意义。
首先，深入理解机器人的动力学特性可以帮助我们设计出更加高效、灵活的机器人控制算法，从而提升机器人的运动精度和速度。
其次，机器人动力学的研究还可以为机器人路径规划、障碍物避障等问题提供重要的理论支持和指导。
此外，随着机器人应用领域的拓展，如医疗、教育、家庭服务等，机器人动力学的研究也将在未来发挥更加重要的作用。
总结起来，机器人动力学是研究机器人运动特性的学科，雅克比矩阵则是机器人动力学中的重要工具。
通过研究和应用机器人动力学，我们可以实现对机器人运动的精确控制，提升机器人的运动效率和准确性，并且为机器人的应用和发展打下坚实的基础。
未来，机器人动力学的研究将随着机器人技术的不断发展而不断探索新的方向，并为更广泛的机器人应用提供理论支持和指导。
1.2 文章结构文章结构部分的内容应当包括对整篇文章的组织和章节安排进行介绍。
可以按照以下方式编写文章结构的内容：2. 文章结构本文共分为以下几个部分：引言、正文和结论。
2.1 引言部分将对机器人动力学的概念进行概述，介绍机器人动力学的背景和意义。
在此部分还将阐述本文的目的和结构。
2.2 正文部分将重点讨论雅克比矩阵的概念和应用。
首先，将介绍雅克比矩阵的定义和性质，以及其在机器人动力学中的重要作用。
接着，将探讨雅克比矩阵在路径规划、运动控制和力学分析等方面的应用。
雅可比矩阵
Dt 0
J11 J 21 v J 31 w J 41 J 51 J 61
教材例题2.1：逆雅可比矩阵的示例： 例2.1 如图2.2所示的二自由度机械手，手部沿固定坐标系X0轴正 向以1.0 m/s的速度移动，杆长l1=l2=0.5 m。设在某瞬时θ1=30°， θ2=60°，求相应瞬时的关节速度。
解 由式(2.6)知，二自由度机械手速度雅可比为
因此，逆雅可比为
2.1.3 机器人雅可比讨论 机器人的奇异形位分为两类： (1) 边界奇异形位：当机器人臂全部伸展开或全部折 回时，使手部处于机器人工作空间的边界上或边界附 近，出现逆雅可比奇异，机器人运动受到物理结构的 约束。这时相应的机器人形位叫做边界奇异形位。 (2) 内部奇异形位：两个或两个以上关节轴线重合时， 机器人各关节运动相互抵消，不产生操作运动。这时 相应的机器人形位叫做内部奇异形位。
对力雅可比矩阵的补充说明：
虚功方程力雅可比分析：
2.2.3 机器人静力计算
机器人操作臂静力计算可分为两类问题： (1) 已知外界环境对机器人手部的作用力F，(即手部端点力 F-F′)，利用式(2.20)求相应的满足静力平衡条件的关节驱动力 矩τ。 (2) 已知关节驱动力矩τ，确定机器人手部对外界环境的作用 力或负载的 质量。 第二类问题是第一类问题的逆解。逆解的关系式为
或写成
根据虚位移原理，机器人处于平衡状态的充分必要条件是对任意 符合几何约束的虚位移有δW=0，并注意到虚位移δq和δX之间符合 杆件的几何约束条件。利用式δX=Jδq，将式(2.18)写成
动力学分析基础--雅克比矩阵
动力学分析基础——雅可比矩阵代码编写,资料整理——ZH1110动力学仿真计算归结为对典型的常微分方程组的初值问题。
在解上述的初值问题时，除了应用常微分方程初值问题的数值积分外，还将用到求解线性代数方程组的数值方法,所以首先我们必须先研究这两个常用的计算机算法,已便于后面的计算.高斯消去法求解线性代数方程组(直接法,即消去法)，已在线性代数课程中有详细的讨论，在此给出些说明以及具体的算法描述。
大致可以分为以下两步。
1．将系数矩阵经过一系列的初等行变换（归一化）在变换过程中，采用原地工作，即经变换后的元素仍放在原来的位置上。
2.消去。
它的作用是将主对角线以下的均消成0，而其它元素与向量中的元素也应作相应的变换最后，进行回代依次解出如:我们要解如下方程组：初等行变换:回代得到结果:龙格-库塔算法求解常微分方程用欧拉算法、改进欧拉算法以及经典龙格-库塔算法对常微分方程的初值问题进行数值求解算法。
动力学仿真计算最后会出现一加速度，速度，坐标的两阶微分方程组，其积分需要这种计算方法。
一、 使用欧拉算法及其改进算法（梯形算法）进行求解所谓的微分方程数值求解，就是求问题的解y(x)在一系列点上的值y(xi)的近似值yi。
欧拉(Euler)算法是其实现的依据是用向前差商来近似代替导数。
对于常微分方程：dy/dx=f(x,y)，x∈[a,b]y(a)=y0可以将区间[a,b]分成n段，那么方程在第xI点有y'(xI)=f(xI,y(xI))，再用向前差商近似代替导数则为：(y(xI+1)-y (xI))/h= f(xI,y(xI))，因此可以根据xI点和yI点的数值计算出yI+1来.由此可以看出，常微分方程数值解法的基本出发点就是计算离散化点。
yI+1= yI+h*f(xI ,yI)下面就举一个简单的常微分方程y'=x-y+1,x∈[0,0.5]y(0)=1 （人工计算后的解析式为:y(x)=x+e-x）'欧拉算法Private Sub Euler()For x = 0 To 0.5 Step 0.1y(i + 1) = y(i) + 0.1 * (x - y(i) + 1)List1.AddItem y(i)i = i + 1NextEnd Sub由于方程曲线是内凹的所以无论如何减少步距,得到的结果都小于真实值，有必要采取措施来抑制、减少误差，尽量使结果精确。
第3章 工业机器人静力学和动力学分析
注：1）2008年春季讲课用；2）带下划线的黑体字为板书内容；3）公式及带波浪线的部分为必讲内容第3章工业机器人静力学及动力学分析3.1 引言在第2章中，我们只讨论了工业机器人的位移关系，还未涉及到力、速度、加速度。
由理论力学的知识我们知道，动力学研究的是物体的运动和受力之间的关系。
要对工业机器人进行合理的设计和性能分析，在使用中实现动态性能良好的实时控制，就需要对工业机器人的动力学进行分析。
在本章中，我们将介绍工业机器人在实际作业中遇到的静力学和动力学问题，为以后“工业机器人控制”等章的学习打下一个基础。
在后面的叙述中，我们所说的力或力矩都是“广义的”，包括力和力矩。
工业机器人作业时，在工业机器人和环境之间存在着相互作用力。
外界对手部（或末端操作器）的作用力将导致各关节产生相应的作用力。
假定工业机器人各关节“锁住”，关节的“锁定用”力和外界环境施加给手部的作用力取得静力学平衡。
工业机器人静力学就是分析手部上的作用力和各关节“锁定用”力之间的平衡关系，从而根据外界环境在手部上的作用力求出各关节的“锁定用”力，或者根据已知的关节驱动力求解出手部的输出力。
关节的驱动力和手部施加的力之间的关系是工业机器人操作臂力控制的基础，也是利用达朗贝尔原理解决工业机器人动力学问题的基础。
工业机器人动力学问题有两类：(1)动力学正问题——已知关节的驱动力，求工业机器人系统相应的运动参数，包括关节位移、速度和加速度。
(2)动力学逆问题——已知运动轨迹点上的关节位移、速度和加速度，求出相应的关节力矩。
研究工业机器人动力学的目的是多方面的。
动力学正问题对工业机器人运动仿真是非常有用的。
动力学逆问题对实现工业机器人实时控制是相当有用的。
利用动力学模型，实现最优控制，以期达到良好的动态性能和最优指标。
工业机器人动力学模型主要用于工业机器人的设计和离线编程。
在设计中需根据连杆质量、运动学和动力学参数，传动机构特征和负载大小进行动态仿真，对其性能进行分析，从而决定工业机器人的结构参数和传动方案，验算设计方案的合理性和可行性。
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速度分别为
，
手部瞬时速度为1 m/s。
三、雅可比矩阵的奇异性
——J矩阵的伴随阵
若
则
由此可见，当雅可比矩阵的行列式为0时，要使手爪 运动，关节速度将趋于无穷大。
当雅可比不是满秩矩阵时，形位，相应操作空间的点为奇异点。
机器人的奇异形位分为两类：
将J分块为：
矢量积法构造雅可比矩阵
对于移动关节i:
zi是i坐标系z轴单位矢量在基 系中的表示。
对于转动关节i:
手爪坐标原点在i系的位置矢量 手爪坐标原点的位置矢量在基系的表示
矢量运算
已知关节速度，求末杆速度
1、广义 关节速度
PUMA， 关节速度：
PUMA 末杆速度
x6
z0 z1 o2
z2 x3
z3 ③
x5 z5 ⑤ x4
o0 o1 x0 x1 x2
z4
Ⅱ②
Ⅲ o3
Ⅳ④
o4 Ⅴ o5
⑥Ⅵ
z6
Ⅰ 2、末杆速度的定义：o6
①
沿末杆坐标轴的速度矢量
绕末杆坐标轴的角速度矢量
3、计算公式：
雅可比矩阵
4、计算原理：速度叠加原理
关节速度对x的影响系数，传动比
关节1的速度对末杆速度的影响系数，传动比
二、基本公式
例1 如图示的二自由度机械手，手部沿固定坐标系 X0轴正向以1.0 m/s的速度移动，杆长l1=l2=0.5 m。 求当θ1=30°，θ2=60°时的关节速度。 解 由推导知，二自由度机械手速度雅可比为
二自由度机械手手爪沿X0方向运动示意图
逆雅可比为 且vX=1 m/s，vY=0，因此
在两关节的位置分别为θ1=30°,θ2= –60°
但找不到方位向量
的一般表达式。
空间机器人雅可比矩阵J确定：不能用直接微分 法，采用构造法。
四、雅可比矩阵的构造法
机器人关节速度向量定义为： 手爪在基系中的广义速度向量为：
n个关节机器人，J是6×n矩阵。
前三行称为位置雅可比矩阵，代表对手爪线速度 V 的 传递比；后三行称为方位矩阵，代表相应的关节速度 对手爪角速度ω的传递比。
第3章 雅可比矩阵和动 力学分析
2020年4月22日星期三
上一章讨论了刚体的位姿描述、齐次变换，机器 人各连杆间的位移关系，建立了机器人的运动学 方程，研究了运动学逆解，建立了操作空间与关 节空间的映射关系。
本章将在位移分析的基础上，进行速度分析，研 究操作空间速度与关节空间速度之间的线性映射 关系——雅可比矩阵(简称雅可比)。
雅可比矩阵不仅用来表示操作空间与关节空间之 间的速度线性映射关系，同时也用来表示两空间 之间力的传递关系。
3.1 机器人速度雅可比与速度分析
一、机器人速度雅可比
可写成：Y＝F(X) 将其微分，得：
也可简写成：
雅可比矩阵 用J表示
二自由度平面关节型机器人 端点位置X、Y与关节θ1、θ2的关系为
即
z0 z1
z2 x3
o2
o0 o1 x0 x1 x2
Ⅱ②
Ⅲ o3
z3 ③
Ⅳ④
Ⅰ
x6 x5 z5 ⑤ x4
z4
o4 Ⅴ o5
⑥Ⅵ
o6
①
求z解6
已知
已知
1、原始公式（不推导）
(1)转动关节i： 系i只绕zi轴以角速度 转动
n自由度机器人J 阵
关节变量用广义关节变量q表示： q = [q1, q2, …, qn]T
当关节为转动关节时qi=θi； 当关节为移动关节时qi=di
关节空间的微小运动：
dq = [dq1，dq2, … , dqn]T 机器人末端在操作空间的位姿X表示，它是关节 变量的函数，X=X(q)，是一个6维列矢量。
当l1l2s2＝0时无解，机器人逆速度雅可比J-1奇异。 因l10，l20，所以，在2＝0或2＝180时，机器 人处于奇异形位。
机器人二臂完全伸直，或完全折回，两杆重合。
在奇异形位下，手部正好处在工作域的边界上， 该瞬时手部只能沿着一个方向(与臂垂直的方向) 运动，退化了一个自由度。
如果希望机器人手部在空间按规定的速度进行作 业，雅可比是满秩矩阵，可以计算出沿路径每一 瞬时相应的关节速度。
(1) 边界奇异形位：当机器人臂全部伸展开或全部折回时 ，手部处于机器人工作空间的边界上或边界附近，逆雅可 比奇异。相应的机器人形位叫做边界奇异形位。
(2) 内部奇异形位：两个或两个以上关节轴线重合时，机 器人各关节运动相互抵消，不产生操作运动。相应的机器 人形位叫做内部奇异形位。
当机器人处在奇异形位时会产生退化现象，丧失一个或更 多的自由度。这意味着在工作空间的某个方向上，不管怎 样选择机器人关节速度，手部也不可能实现移动。
dX = J(q) dq
J（q）：反映了关节空间微
小运动dq与手部作业空间微 小运动dX之间的关系。
J(q)
dX=[dX，dY，dZ， φX，φY，φZ]T
反映了操作空间的微小运动， 由机器人末端微小线位移和微 小角位移(微小转动)组成。
二、机器人速度分析
对dX = J dθ两边各除以dt得
或表示为
微分得
写成矩阵形式为
令 简写为： dX=J dθ
关节空间微小运 动dθ与手部作业 空间微小位移 dX的关系。
2R机器人的速度雅可比矩阵为： dX=J dθ
已知关节θ和角速度,可求出该机器人手部速度。 若J1，J2分别为雅可比的第1列矢量和第2列矢量，则:
右边第一项表示仅由第一个关节运动引起的端点速度； 右边第二项表示仅由第二个关节运动引起的端点速度； 总的端点速度为这两个速度矢量的合成。 因此，机器人速度雅可比的每一列表示其他关节不动而 某一关节运动产生的端点速度。
对空间机器人，J的行数为6。二维平面机器人， J的行数为3，列数则为机械手含有的关节数目。
平面运动机器人手的广义位置向量[x,y,φ]T容易 确定，且方位φ与角运动的形成顺序无关，可直
接采用微分法求J 。
对于空间机器人,根据机器人运动学方程，可以
获得直角坐标位置向量 [x,y,z]T 的显式方程，
式中：v为机器人末端在操作空间中的广义速度； 为机器人关节在关节空间中的关节速度；
J(q)为确定关节空间速度 与操作空间速度v之间关系的雅可比矩阵。
反之，假如给定工业机器人手部速度，可解出 相应的关节速度，即：
式中：J-1称为工业机器人逆速度雅可比。 当工业机器人手部在空间按规定的速度进行作 业，用上式可以计算出沿路径上每一瞬时相应 的关节速度。