对称变换和对称矩阵
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高等代数 第8章线性变换 8.6 欧式空间的正交变换和对称变换
存在一个角ψ使
b = cosψ，d = sinψ
将a, b, c, d代入（4）的第三个等式得 Cosφcosψ + sinφsinψ = 0 或 cos(φ+ψ) = 0
最后等式表明，φ －ψ是π/ 2的一个奇数倍. 由此 得
cos sin , sin cos
所以
cos sin U sin cos
2 ( x1, x2 , x3 ) ( x1 x3 , x2 2 x3 , x1 2 x2 x3 );
3 ( x1, x2 , x3 ) ( x2 , x1, x3 )
对称变换和对称矩阵之间的关系
定理8.4.2 设σ是n维欧氏空间V的一个对称变换， 如果σ关于一个标准正交基的矩阵是对称矩阵，那 么σ是一个对称变换. 证
1 , 2 ,, n
正交变换的定义
定义1 欧氏空间V的一个线性变换σ叫做一个 正交变换，如果对于任意 V 都有 | ( ) || |
例1 在 V2 里,把每一向量旋转一个角的 线性变换是 V2 的一个正交变换. 例2 令H是空间 V3 里过原点的一个平面.对于 每一向量 V3 ，令对于H的镜面反射 与它对应. : 是 V3 的一个正交变换.
1 0 0 0 1 0 0 0 1
以上两个矩阵都是正交矩阵.
V2 .V3 的正交变换的类型
设σ是 V2的一个正交变换，σ关于 V的一个规范正 2 交基 1 , 的矩阵是 2 a b U c d 那么U 是一个正交矩阵. 于是
y, , , 的矩 1 设σ关于V的一个规范正交基 2 n
( ),
xi ( i ),
b = cosψ，d = sinψ
将a, b, c, d代入（4）的第三个等式得 Cosφcosψ + sinφsinψ = 0 或 cos(φ+ψ) = 0
最后等式表明，φ －ψ是π/ 2的一个奇数倍. 由此 得
cos sin , sin cos
所以
cos sin U sin cos
2 ( x1, x2 , x3 ) ( x1 x3 , x2 2 x3 , x1 2 x2 x3 );
3 ( x1, x2 , x3 ) ( x2 , x1, x3 )
对称变换和对称矩阵之间的关系
定理8.4.2 设σ是n维欧氏空间V的一个对称变换， 如果σ关于一个标准正交基的矩阵是对称矩阵，那 么σ是一个对称变换. 证
1 , 2 ,, n
正交变换的定义
定义1 欧氏空间V的一个线性变换σ叫做一个 正交变换，如果对于任意 V 都有 | ( ) || |
例1 在 V2 里,把每一向量旋转一个角的 线性变换是 V2 的一个正交变换. 例2 令H是空间 V3 里过原点的一个平面.对于 每一向量 V3 ，令对于H的镜面反射 与它对应. : 是 V3 的一个正交变换.
1 0 0 0 1 0 0 0 1
以上两个矩阵都是正交矩阵.
V2 .V3 的正交变换的类型
设σ是 V2的一个正交变换，σ关于 V的一个规范正 2 交基 1 , 的矩阵是 2 a b U c d 那么U 是一个正交矩阵. 于是
y, , , 的矩 1 设σ关于V的一个规范正交基 2 n
( ),
xi ( i ),
高等代数课件 第八章
由此得 | | , x12 x22 xn2 （5）
( ,) (x1 y1)2 (xn yn )2 （6）
2．标准正交基的性质
设 {1,2} 是 V2 的一个基，但不一定是
正交基。从这个基出发，只要能得出 V2 的一个
正交基 {1, 2}, 问题就解决了,因为将 1和2
再分别除以它们的长度，就得到一个规范正交
注意：（7）和（8）在欧氏空间的不等式（6） 里被统一起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹不 等式.
三、向量的正交
定义4 欧氏空间的两个向量ξ与η说是正交的,
如果 , 0
定理8.1.2 在一个欧氏空间里，如果向量ξ
与1,2,,r 中每一个正交，那么ξ与 1,2,,r
的任意一个线性组合也正交.
2 a1 2 a1 0,
因而 2 0,
这就得到 V2 的一个正交基 {1, 2}.
3．标准正交基的存在性
定理8.2.2（正交化方法) 设 {1,2 ,,n}
是欧氏空间V的一组线性无关的向量, 那么可以求
出V 的一个正交组 {1, 2,, n}, 使得 k 可以由 1,2,,k 线性表示，k = 1,2,…,m.
由于1,2,,k 线性无关，得 k 0,
又因为假定了 1, 2 ,, k1 两两正交，所以
k ,i
k ,i
k ,i i , i
i , i 0, i 1,2,, k 1
这样，1, 2,, k 也满足定理的要求。
定理8.2.3 任意n(n >0)维欧氏空间一定有正交
基，因而有标准正交基.
例4 在欧氏空间 R3中对基
4) 当 0 时, , 0 这里 ,, 是V的任意向量，a是任意实数，那么
, 叫做向量ξ与η的内积，而V叫做对于 这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）.
( ,) (x1 y1)2 (xn yn )2 （6）
2．标准正交基的性质
设 {1,2} 是 V2 的一个基，但不一定是
正交基。从这个基出发，只要能得出 V2 的一个
正交基 {1, 2}, 问题就解决了,因为将 1和2
再分别除以它们的长度，就得到一个规范正交
注意：（7）和（8）在欧氏空间的不等式（6） 里被统一起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹不 等式.
三、向量的正交
定义4 欧氏空间的两个向量ξ与η说是正交的,
如果 , 0
定理8.1.2 在一个欧氏空间里，如果向量ξ
与1,2,,r 中每一个正交，那么ξ与 1,2,,r
的任意一个线性组合也正交.
2 a1 2 a1 0,
因而 2 0,
这就得到 V2 的一个正交基 {1, 2}.
3．标准正交基的存在性
定理8.2.2（正交化方法) 设 {1,2 ,,n}
是欧氏空间V的一组线性无关的向量, 那么可以求
出V 的一个正交组 {1, 2,, n}, 使得 k 可以由 1,2,,k 线性表示，k = 1,2,…,m.
由于1,2,,k 线性无关，得 k 0,
又因为假定了 1, 2 ,, k1 两两正交，所以
k ,i
k ,i
k ,i i , i
i , i 0, i 1,2,, k 1
这样，1, 2,, k 也满足定理的要求。
定理8.2.3 任意n(n >0)维欧氏空间一定有正交
基，因而有标准正交基.
例4 在欧氏空间 R3中对基
4) 当 0 时, , 0 这里 ,, 是V的任意向量，a是任意实数，那么
, 叫做向量ξ与η的内积，而V叫做对于 这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）.
对称变换和对称矩阵.
由复数共轭的性质及 A A得
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( A ) ( A ) A A A
T T T
T
T
T
T
(C1 ,C2
CCn )
所以
A ( C1 , C 2
c1 c2 Cn ) = (C1 ,C 2 cn
n } y
前页 后页 返回
于是
( ) {1 , 2 n } A ( ) {1 , 2 n } AY
其中 A ， AY 分别是 ( ) ， ( ) 关于标准正交 基{1 , 2
n }的坐标列向量，因此
( ), ( A)T Y T ATY
c1 c2 Cn ) cn
c1 c1 c2 c2 又因为 A 即 A = cn cn
前页 后页 返回
所以
(C1 ,C 2
c1 c2 Cn ) A =(C1 ,C 2 cn c1 c2 Cn ) cn
a ji aki k , j ( i ), j i , ( j )
i , akj k aij
k 1
n
前页 后页 返回
因此，A 是对称矩阵.
充分性 设 关于V 的标准正交基{1 , 2 矩阵是 A= ( aij ) 是实对称矩阵，即
3 ( x1 , x2 , x3 ) ( x2 , x1 , x3 )
3、对称变换与对称矩阵的关系
定理 7.5.1
n 维欧氏空间V 中的线性变换 是对
称变换的充分必要条件是： 关于任意一个正交基 的矩阵是实对称矩阵 .
正交矩阵对称矩阵
其中，1 的个数 k 称为 A 的正惯性指数、-1 的个数 r-k 称为负正惯性指数， 它们是由矩阵 A 唯一确定的， r 是矩阵 A 的秩，2k-r 称为 A 的符号差。
几何意义： ϕ ( x ) = x T Ax 定义了 n 维向量空间上的一个二次齐次函数， 定理 1 说明存在一个满秩线性变换 y = P −1 x ，使得二次齐次函数在新的坐 标基下有下述规范形
（2）
θ 为参数。
至于 sin θ = 0 时，A 必为下述四种情况之一：
1 0 − 1 0 1 0 −1 0 0 1 ， 0 − 1 ， 0 − 1 ， 0 1 Nhomakorabea
前两种情况，可归为（2）中的第一个矩阵（ θ =0，Pi） ；后两种情况可归为 。总之，2 阶正交阵可以表示为（2）的 （2）中的第二个矩阵（ θ =0，Pi） 形状。
如果实矩阵 A 满足 AT=A，则称 A 是对称矩阵。
I 合同、二次曲面的射影与仿射分类
(I.1) 合同
若存在可逆矩阵 P 使得 PTAP=B，则称 A，B 为两个合同矩阵。
定理 1：对称矩阵 A 必合同于对角阵，即存在可逆矩阵 P 使得
PTAP=diag(1,1,…,1,-1,…,-1,0,…,0)。
虚椭球面（虚曲面） 椭球面或双叶双曲面或椭圆抛物面 单叶双曲面或双叶抛物面 虚锥面 实锥面或柱面 一对虚平面（虚曲面） 一对实平面 二个重合的平面
x12 = 0
二次曲线的射影分类：
A 的秩 3 3 2 2 1
符号差 方 程 虚曲线 圆锥曲线 一对虚曲线 一对实直线 重合直线 曲 面
3 1 2 0 1
前者表示旋转，后者表示关于 s 轴的反射变换，如图所示：
欧几里德空间知识点总结
1, 0,
i j, i j,
3、 运算性质 ①正交矩阵之积/幂为正交矩阵 ②正交矩阵的转置/逆为正交矩阵 ③正交矩阵的伴随矩阵为正交矩阵
例1、 P193-194习题1、2、3、4、11
例2、证明上三角的正交矩阵必为对角矩阵，且 对角线上元素为1或－1。
(利用A1 AT 及AT A I )
4、设 为欧氏空间V上的一个对称变换，则在V 中必存在一组标准正交基使得 在这组基下的矩
阵的对角矩阵。
例1、P199习题1、2、3、
例2、设 AT A R33 , A的特征值为1，－1, 0 对应1，－1的特征向量依次为
1 1,2,2 , 2 2,1,2
求A。 (类似P198例3、P199习题4)
例3、（1）设A为一个 n阶实矩阵且 A 0 ，证明 A可以分解成 A QR，其中 Q 是正交阵，
t11 t12 L t1n
R
0 M
t22 M
L O
t2n M
（R称为正线上三角）
0 0 L tnn
为上三角阵，且 tii 0,i 1,2,L , n ，并证明这个分 解是唯一的。 （P188习题7）
PT AP P1AP diag(1,2,L ,n ). 4) 1,2 ,L ,正n为定A的的全充部要特条征件值是.A的特征根全大于
AT A Rnn 0.
•求解步骤 (i) 求出A的所有不同的特征r 值：1,2 ,L ,r R,
其重数 n1, n2 ,L , nr必满足 ni n ;
i 1
2,
则 是第二类正交交换(称之为镜面反射) （P194习题6）
例1、P194习题5、6、8、
例2、证明第二类正交变换必有特征值－1。
（利用正交变换与正交矩阵的对应关系）
数学中的对称性与变换的性质与应用
电磁波：对称性在电磁波的传播和散射中的应用
相对论：对称性与时空结构的关系
对称性与化学分子的关系
对称性在化学分子中具有重要应用，可以预测分子的性质和行为。
对称性可以用于描述化学反应的过程和机制，帮助理解反应机理。
对称性在化学合成中具有指导作用，可以预测化合物的合成路线和产物结构。
对称性在化学分析中也有应用，可以通过对称性分析确定化合物的晶体结构和分子结构。
拉普拉斯变换：将时域函数转换为复平面上的函数，用于求解微分方程、控制系统等领域
Z变换：将离散信号转换为连续信号，用于数字信号处理、离散控制系统等领域
小波变换：用于多尺度分析、信号处理和图像压缩等领域
变换在几何学中的应用：刚体变换、仿射变换等
投影变换：将三维图形投影到二维平面上，包括正投影、斜投影和透视投影等。
对称性在几何学中的其他应用：除了对称空间和对称流形外，对称性在几何学中还有许多其他应用，如对称函数、对称群等。这些应用在数学和物理学等领域有广泛的应用。
对称性在数学中的重要性：对称性是数学中的重要概念之一，它在数学各个分支中都有广泛的应用。通过对称性的研究，可以深入了解数学对象和数学结构的基本性质和特点，为数学的发展和应用提供重要的理论支持和实践指导。
对称性在分析学中的应用：对称函数、对称级数等
对称函数：具有对称性质的函数，如正弦函数、余弦函数等
对称积分：利用对称性简化积分的计算，如奇偶函数积分性质等
对称微分：利用对称性简化微分方程的求解，如对称变换求解微分方程等
对称级数：具有对称性质的级数，如正项级数、交错级数等
对称性在几何学中的应用：对称空间、对称流形等
常见的变换包括平移、旋转、缩放、镜像反射等，这些变换在几何、代数和微积分等领域有着广泛的应用。
对称矩阵与对称变换的性质与应用
对称矩阵与对称变换的性质与应用对称矩阵是线性代数中的一个重要概念，它具有一些独特的性质和广泛的应用。
本文将深入探讨对称矩阵的性质以及对称变换的应用。
一、对称矩阵的定义和基本性质对称矩阵是一种特殊的方阵，它满足矩阵的主对角线元素对称，并且对称位置上的元素相等。
设A=(aij)是一个n阶矩阵，若对任意i与j都有aij=aji，则A为对称矩阵。
对称矩阵具有以下基本性质：1. 对称矩阵的主对角线元素一定是实数。
2. 若A和B都是对称矩阵，则A+B和kA(k为常数)也是对称矩阵。
3. 对称矩阵的转置仍为对称矩阵。
4. 对称矩阵一定是方阵。
二、对称矩阵的特征与特征向量对称矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念。
对于任意一个n阶对称矩阵A，都存在n个实数特征值和n个线性无关的实特征向量。
对称矩阵的特性可用于解决许多实际问题。
例如，在电力系统中，可以使用对称矩阵的特征值和特征向量来分析系统的稳定性和动态响应。
三、对称变换的定义和性质对称变换是指对向量空间中的向量进行一种操作，使其经过变换后，保持与原来的向量之间的某种关系。
对称变换具有保持长度不变和保持角度不变的性质。
设T为一个线性变换，对于向量V，若T(V)=V，则称T为对称变换。
对于平面上的向量，对称变换通常是针对某个中心进行的轴对称变换。
四、对称变换的应用对称变换在几何学和物理学中有广泛的应用。
1. 几何学中的对称变换：对称变换可以用于描述图形的对称性质。
例如，平移、旋转和镜像等都是对称变换的特例，这些变换被广泛应用于艺术、建筑设计等领域。
2. 物理学中的对称性：对称变换在现代物理学中具有重要的地位。
例如，守恒定律即是由对称性所决定的，粒子物理学中的对称性研究对于揭示基本粒子的性质具有重要作用。
总结：对称矩阵和对称变换是线性代数中的重要概念，它们具有独特的性质和广泛的应用。
通过对对称矩阵的研究，我们可以深入理解矩阵的运算规律和特征性质；而对称变换则能够帮助我们研究和描述几何图形的对称性质以及物理系统的对称性。
对称矩阵与对称变换.
◆ ｎ维欧氏空间的一个对称变换 属于不同特征根的特征向量彼此 正交
从而 1 , 2 ,, n 线性相关的结论，即
•σ（α1），…，σ（αn）线性 相关 (σ单射) → α1，…，αn 线性相关
•所以同构映射不仅保持线性相关， 而且保持线性无关，也就是说，同构 映射保持线性相关性。 •一般线性映射只保持线性相关。 •反例：零映射。
,
是实数.
用类似的方法可以证明 : * 正交基的特征根的模为 1, 即 1; * 实反对称矩阵的特征根 或为零, 或为纯虚数, 即 0,
◆ 对称变换σ满足：任意α， β ∈V, (σ(α),β)=(α,σ(β)) ◆ σ是对称变换,V1是σ-不变子空间, 则V1⊥也是σ-不变子空间
1 1 P AP 1 3
思考题
• 正交矩阵的特征值是否全是实数? • 用特征值给出二次型为正定二次型 的充分必要条件.
• 作业:P396~16、17、18、19、20ຫໍສະໝຸດ •对称变换与对称矩阵的关系：
设n维欧氏空间中的线性变换A在任意标准正交 基下的矩阵为A，则A是对称矩阵的充分必要条 件是A为实对称矩阵. 对任意对称矩阵A，必有n阶正交矩阵T，使得
T
1
AT T AT
是对角矩阵
结论：任意一个实二次型都可以经过正交变换 可化成标准形。
◆ 实对称矩阵的特征根都是实数
• 结合二次型理论我们得到利用正交变换 化二次型为标准形方法 • Theorem 8 :任意一个实二次型都可以经 过正交变换,变成标准形,且平方项的系数 恰好是二次型矩阵的特征值.
Ex . 用正交变换化二次型 f 2 x1 x 2 2 x1 x 3 2 x1 x 4 2 x 2 x 3 2 x 2 x 4 2 x 3 x 4 型为标准形, 并写出正交变换矩阵 .
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练习：设 0 1 1 - 1 ，求一个正交
A
1
1 -1
0 -1 1
-1 0 1
1
1 0
矩阵U ，使得 UAU 是对角矩阵。
第八章小结
一、欧氏空间 1、内积的定义，会根据所给的内积
判断是否作成欧氏空间。 2、欧氏空间 Rn 的内积法则。 3、欧氏空间内积的性质（5条）。 4、长度、夹角、正交、距离的定义。 5、定理8.1.1—8.1.2及证明。
对称变换和对称矩阵
定义1：设是欧氏空间V的一个线 性变换。如果 ， V ，有
（）， ，（） ， 则称 是一个对称变换。
欲证 是对称变换，即证： （1） 是线性变换； （2）， V，有 （）， ，（） 。
定义2：设A是数域F上的 n阶矩阵，
如果 A,则 称A A是一个对称矩阵。
定理8.4.1：设是 n 维欧氏空间V
齐次线性方程组 的一个基础解系；
x1 0
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M
xn
0
（3）将这个基实行正交单位化，作 为矩阵 U的列向量，则 U即为所求。
例1、设 4 2 2 ，求一个正
A 2 4 2
2
2
4
交矩阵阵 U ，使得 UAU具有对角形式
例2、已知 A 为正交矩阵。证明： A* 也是正交矩阵。
二、正交基
1、正交组、规范正交组、正交基 、 规范正交基的联系与区别。
2、会求一个基的规范正交基和会证 明规范正交基。
3、正交矩阵、同构的定义。 4、定理8.2.1—8.2.7及部分证明。
三、正交变换 1、正交变换的定义及4条基本性质。 2、会用定义和基本性质证明正交变
换。
四、对称变换和对称矩阵 1、对称变换和对称矩阵的定义。
定理8.4.1+8.4.2：n 维欧氏空间V的
一个线性变换是对称变换的充要条件 是关于V的任意一个规范正交基的矩 阵是实对称矩阵。
定理8.4.3：实对称矩阵的特征根都 是实数。
定理8.4.4：n维欧氏空间V的一个对
称变换 的属于不同的本征值的本征 向量彼此正交。
定理8.4.5：设是 n 维欧氏空间V
23、、定会理求一8.4个.1—n8阶.4实.6及对部称分矩证阵明A 。的正
交矩阵 U，使得 UAU 是对角矩阵。
的正一 交基个，对使称得变换 关，于则该存基在的V的矩一阵个是规对范 角矩阵。
定理8.4.6：设A是 n 阶实对称 矩阵，那么存在一个 n 阶正交矩阵 ，
使得U 是对U角AU矩阵。
求正交矩阵 U的步骤：
（1）求出所给实对称矩阵A的特征
值 1，2， ，r；
（2）对于每一个 i(i 1,2, ，,r )求出
的一个对称变换。{1，2， ，n } 是 V 的任意一个规范正交基。 关于这个基 的矩阵A （aij）nn ,则A是一个对称矩阵。
定理8.4.1 ：n 维欧氏空间V的对
称变换关于任意一个规范正交基的矩 阵是一个实对称矩阵。
定理8.4.2：设是n 维欧氏空间V的
一个线性变换。如果 关于V的任意一 个规范正交基的矩阵是对称矩阵，则 是一个对称变换。