湍流力学课件二
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流体力学 湍流
uuy,v0 ,ppx
• 满足方程：
1 dp d2u 0 dx dy2
• 假定流动受到小扰动，即：
ux, y,t uyux, y,t vx, y,t vx, y,t px, y,t px px, y,t
• 带“ ′”的物理量称为脉动量。
• 代入原始方程，并去掉平均量，得脉动方程：
u x
临界雷诺数： Rec = 13800 层湍 （上）
（金属圆管） Rec = 2320 湍层 （下）
对于非圆截面管道： R e v d H
式中：
dH
4A S
—— 水力直径
式中：S —— 湿周，即过流断面的周界长度。
用下临界雷诺数判别流态（对于光滑金属管）：
当 Re < Rec = 2320 层流
当 Re > 2320
四、涡
普遍认为，湍流运动是由各种尺度的涡叠 加而成的，这些涡的大小具有明显的上下限。上 限主要由装置决定，下限则取决于粘性。同时， 涡还是湍流流动中能量的传递方式。
五、湍流运动与分子运动论比较
项目
1. 基元素 2. 基元素性质 3. 基元素数目 4. 特征长度 5. 基元素速率 6. 运动性质
AdxUFdt
由于：
dxU FAUUAU 2
dt
其中ρAU即为动量。应力为单位面积上的 受力。
当D=0.1m，U=10m/s，得：F=800kg.
应力和应变率张量
Du Dt
Fb
P
其中Fb为质量力，P为内力张量。
P τ p u I 2 S p2 3 u I
p为压力，各向同性，λ为体膨胀粘性系数 ，根据Stokes假设， λ=-2μ/3。
Dt
令速度 uuivjwk，可将方程展开：
• 满足方程：
1 dp d2u 0 dx dy2
• 假定流动受到小扰动，即：
ux, y,t uyux, y,t vx, y,t vx, y,t px, y,t px px, y,t
• 带“ ′”的物理量称为脉动量。
• 代入原始方程，并去掉平均量，得脉动方程：
u x
临界雷诺数： Rec = 13800 层湍 （上）
（金属圆管） Rec = 2320 湍层 （下）
对于非圆截面管道： R e v d H
式中：
dH
4A S
—— 水力直径
式中：S —— 湿周，即过流断面的周界长度。
用下临界雷诺数判别流态（对于光滑金属管）：
当 Re < Rec = 2320 层流
当 Re > 2320
四、涡
普遍认为，湍流运动是由各种尺度的涡叠 加而成的，这些涡的大小具有明显的上下限。上 限主要由装置决定，下限则取决于粘性。同时， 涡还是湍流流动中能量的传递方式。
五、湍流运动与分子运动论比较
项目
1. 基元素 2. 基元素性质 3. 基元素数目 4. 特征长度 5. 基元素速率 6. 运动性质
AdxUFdt
由于：
dxU FAUUAU 2
dt
其中ρAU即为动量。应力为单位面积上的 受力。
当D=0.1m，U=10m/s，得：F=800kg.
应力和应变率张量
Du Dt
Fb
P
其中Fb为质量力，P为内力张量。
P τ p u I 2 S p2 3 u I
p为压力，各向同性，λ为体膨胀粘性系数 ，根据Stokes假设， λ=-2μ/3。
Dt
令速度 uuivjwk，可将方程展开：
流体力学PPT演示文稿
第四十三页，共59页。
作用在平面上的流体静压力1
均质平板形心
x C
1 A
xdA
A
y C
1 A
ydA
A
A 对 x 轴的惯性矩
Ix
y2dA
A
惯性矩移轴定理
Ix Ixc yC2A
x
X
dA
y
(xc , yc)
Y
Ixc为A对通过形心并与x 轴平行的轴的惯性矩
第四十四页，共59页。
作用在平面上的流体静压力2
fx 2x fy 2 y
fz g
-a gf
第三十九页，共59页。
等角速转动液体的平衡3
代入方程
2x 1 p 0 x
2 y 1 p 0 y
g 1 p 0 z
第四十页，共59页。
等角速转动液体的平衡4
等压面
第四十一页，共59页。
z 2 r2 C
2g
一族旋转抛物面 自由面
压p = －2.74104Pa，h = 500mm，h1 = 200mm， h2 = 250mm，h3 = 150mm，求容器A上部的表压
第三十三页，共59页。
差压计
第三十四页，共59页。
p A p B 2 g2 h3 g3 h1 g1h
倾斜式测压计（微压计）
通常用来测量气体压强
p A m2g lsin1g h 1
第九页，共59页。
流体静压强的特性3
流体静压强的方向垂直于
作用面，并指向流体内部
静止流体任意点处静压强的大小与其作 用面方位无关，只是作用点位置的函数
第十页，共59页。
2.2 流体平衡的微分方程式
质量力
fxyz
表面力
作用在平面上的流体静压力1
均质平板形心
x C
1 A
xdA
A
y C
1 A
ydA
A
A 对 x 轴的惯性矩
Ix
y2dA
A
惯性矩移轴定理
Ix Ixc yC2A
x
X
dA
y
(xc , yc)
Y
Ixc为A对通过形心并与x 轴平行的轴的惯性矩
第四十四页，共59页。
作用在平面上的流体静压力2
fx 2x fy 2 y
fz g
-a gf
第三十九页，共59页。
等角速转动液体的平衡3
代入方程
2x 1 p 0 x
2 y 1 p 0 y
g 1 p 0 z
第四十页，共59页。
等角速转动液体的平衡4
等压面
第四十一页，共59页。
z 2 r2 C
2g
一族旋转抛物面 自由面
压p = －2.74104Pa，h = 500mm，h1 = 200mm， h2 = 250mm，h3 = 150mm，求容器A上部的表压
第三十三页，共59页。
差压计
第三十四页，共59页。
p A p B 2 g2 h3 g3 h1 g1h
倾斜式测压计（微压计）
通常用来测量气体压强
p A m2g lsin1g h 1
第九页，共59页。
流体静压强的特性3
流体静压强的方向垂直于
作用面，并指向流体内部
静止流体任意点处静压强的大小与其作 用面方位无关，只是作用点位置的函数
第十页，共59页。
2.2 流体平衡的微分方程式
质量力
fxyz
表面力
第二章 光在湍流大气中传输的理论概述
2.1 大气折射率在光学频率范围内，对流层（高度<17km）中的地球大气的空气折射率表示如下：n=1+77.6（1+7.52×10-3λ-2）（p/T）×10-6 （2.1）式中，p是以mbar为单位的大气气压，T是热力学温度，λ是以μm为单位的光波波长，由于地面上温度对n1（r）的贡献＜1%，故（2.1）式中忽略了与水汽压相关的项，当然这一项对水上传播光路是不可忽略的。
2. 2 大气湍流描述自然界中的流体运动存在着二种不同的形式：一种是层流，看上去平顺、清晰，没有掺混现象；另一种是湍流，看上去毫无规则，显得杂乱无章。
例如，如果流体以一定的速度流过一个管子，我们可以用带颜色的染料对它进行观察，在流体速度低的时候，流线光滑面清晰，流体处于层流状态；不断增加流体速度，当流速达到一定值时，流线就不再是光滑的了，整个流体开始作不规则的随机运动，流体处于湍流状态。
自从1883 年Reynolds 做了著名的湍流实验以来，以Monin-Obukhov 提出的相似理论、Deardorff 提出的大涡模拟、美国Kansas 州观测实验等为代表，大气湍流的研究已经取得了很大的进展和丰硕的成果，并在天气、气候研究和工程实际中获得成功地应用。
湍流对大气中声、光和其它电磁波的传播具有极为重要的影响，例如湍流风速、温度和湿度的脉动都会引起声音散射和减弱，大气小尺度光折射率的起伏(称为光学湍流)，会严重影响光的传播和光学成像的质量等等。
长期以来，以Tatarskii 的工作为代表，声光电传播的湍流效应大都是按照Kolmogorov 的均匀、平稳和各向同性假设处理的，而实际的湍流经常不满足这些假设，要建立更加完善的波动传播模型就必须考虑湍流的各向异性、以及间歇性的影响。
2. 3 折射率湍流模型在湍流大气中，折射率在不同地点、不同时刻都是变化的。
一方面，我们还不可能对这些变化作出预测；另一方面，即使已知这些变化，要对所有时刻、所有地点的值作出描述实际上也是不可能的。
2018-第2章 海洋的湍流特性
vv 1 p ν2v ρ
Re UL
雷诺数是无量纲数，表示惯性力与粘性力的相对强度。
海水粘性系数ν在0ºC的值为1.79×10-6 m2/s. 湍流临界值 ~ 2.3×103-5.0×104(管内流)到 106(边界层)。
海洋湍流是海洋流动不稳定的一个重要现象。实验发现，当 稳定的层流（laminar）流动速度超过某个值的时候，层 流突然变成混乱运动，没有任何先兆，没有任何规律， 没有任何理论能够解释，流体失去其稳定性。
' j
ui x j
b'w'
如果右端大于零，表明湍流将维持和发展，否则将衰减或 消失。将湍流发生的条件改写为
2
ui'u
' j
ui x j
b'w'
Kv
ui xi
KB
g
0
z
第2章 海洋的湍流特性ZJP
2
ui'u
' j
ui x j
层化对湍流的影响
没有层化时，作用在海面上的作用是可以一直向下传递 的，使湍流运动扩展到整个海域，而且整个海域都是处 于耗散状态。
所谓层化，就是密度在垂直方向的不均匀，在静力稳定 的条件下，海水上部的密度小于下面的密度。存在层化 时，湍流在搅动过程中，不论是将较重的水体微团移动 到较轻的水体、还是把较轻的水体微团移动到较重的水 体，都要抵抗重力/浮力作功，因而一方面削弱湍流具有 的动能，另一方面改变海洋的浮力状况。
第2章 海洋的湍流特性ZJP
搅动和卷挟
搅动和卷挟是湍流发展的主要形式。
搅动（stirring）
湍流模型讲解培训ppt课件
s the Rayleigh humber
is the Prandtl numddies
L
O Flux ofenergy
Energy Cascade Richardson (1922)
Dissipation of energy
Dissipating eddies
3/4 L8=L/Re
计算方法总览
雷诺时均N-S模型(RANS) 解总体均值(或者时间均值)纳维一斯托克斯方程 在 RANS方法中，所有湍流尺度都进行模拟
在工业流动计算中使用得最为广泛 大涡模拟 (LES)
解算空间平均 N-S 方程，大涡直接求解，比网格尺度小的涡通过模 型得到 计算消耗小于DNS, 但是对于大多数的实际应用来说占用计算资源还 是太大了
Instantaneous
component
Resolved
Scale
Subgrid Scale
修正 N-S 方程
Filter,△
过滤NS 方程中的湍流涡频谱： 通过网格尺寸筛选
比网格尺寸小的涡被忽略，用subgrid scale(SGS)建模 较大尺度涡用数值方法直接求解NS 方程
大涡模拟(LES) ■ LES 非常成功的应用于RANS 模型不能满足要求的高端应用 ■ 对N-S方程在物理空间进行过滤，大涡直接求解，小涡各向同性模拟 方法 亚网格尺度(SGS) 湍流模型
(2) 雷诺应力模型(通过雷诺应力输运方程)
RSM 对复杂的3D湍流流动更有效，但是模型更加复杂，
算强度更大，比涡粘模型更难收敛
计算湍流粘性
基于量纲分析， μr能够由湍流时间尺度(或速度尺度)和空间尺 度来决定
湍流动能 [L²/T²]
k=uu,/2
流体力学湍流PPT精选文档
7. 边界影响
8. 驰豫时间 9. 分布函数
分子运动论
分子 稳定，现成
湍流运动
涡
大小不一，不稳定，求解 后得到
常数
变数
平均自由程，只随温度压力的改 变而改变，与边界无关
只随温度变化，不是空间位置的 函数
混和长度，随边界形状改 变而改变
脉动速度随时间空间变化 很大
随机运动
有时规律，有时随机
不影响 短，无记忆
uuy,v0 ,ppx
• 满足方程：
1
dp dx
d2u dy2
0
24
• 假定流动受到小扰动，即：
ux, y,t uyux, y,t vx, y,t vx, y,t px, y,t px px, y,t
• 带“ ′”的物理量称为脉动量。
• 代入原始方程，并去掉平均量，得脉动方程：
u
v
0
x y
43
写成向量形式的方程：
u t guupgτ
展开：
ut uxu
uv
y
uw
z
pxx
x x
xy
y
xz
z
vt
vu
x
vv
y
vzw
pyx
y x
yy
y
yz
z
wt wxu
wv
y
ww
z
pzx
z x
zy
y
zz
z
44
• 逐项平均，并注意到：
uiuj uiuj uiuj uiuj
xj
xj
xj
xj
27
当β2<0，扰动随时间衰减，流动稳定。反 之则不稳定。 β2=0称为中性稳定。
8. 驰豫时间 9. 分布函数
分子运动论
分子 稳定，现成
湍流运动
涡
大小不一，不稳定，求解 后得到
常数
变数
平均自由程，只随温度压力的改 变而改变，与边界无关
只随温度变化，不是空间位置的 函数
混和长度，随边界形状改 变而改变
脉动速度随时间空间变化 很大
随机运动
有时规律，有时随机
不影响 短，无记忆
uuy,v0 ,ppx
• 满足方程：
1
dp dx
d2u dy2
0
24
• 假定流动受到小扰动，即：
ux, y,t uyux, y,t vx, y,t vx, y,t px, y,t px px, y,t
• 带“ ′”的物理量称为脉动量。
• 代入原始方程，并去掉平均量，得脉动方程：
u
v
0
x y
43
写成向量形式的方程：
u t guupgτ
展开：
ut uxu
uv
y
uw
z
pxx
x x
xy
y
xz
z
vt
vu
x
vv
y
vzw
pyx
y x
yy
y
yz
z
wt wxu
wv
y
ww
z
pzx
z x
zy
y
zz
z
44
• 逐项平均，并注意到：
uiuj uiuj uiuj uiuj
xj
xj
xj
xj
27
当β2<0，扰动随时间衰减，流动稳定。反 之则不稳定。 β2=0称为中性稳定。
流体力学课件 ppt
流体阻力计算
利用流体动力学方程，可以计算 流体在管道中流动时的阻力，为 管道设计提供依据。
管道优化设计
通过分析流体动力学方程，可以 对管道设计进行优化，提高流体 输送效率，减少能量损失。
流体动力学方程在流体机械中的应用
泵和压缩机性能分析
流体动力学方程用于分析泵和压缩机的性能 ，预测其流量、扬程、功率等参数，为机械 设计和优化提供依据。
适用于不可压缩的流体。
方程意义
描述了流体压强与密度、重力加速度和深度之间的 关系。
Part
03
流体动力学基础
流体运动的基本概念
01
02
03
流体
流体是气体和液体的总称 ，具有流动性和不可压缩 性。
流场
流场是指流体在其中运动 的区域，可以用空间坐标 和时间描述。
流线
流线是表示流体运动方向 的曲线，在同一时间内， 流线上各点的速度矢量相 等。
能量损失的形式
流体流动的能量损失可以分为沿程损失和局部损失两种形式。沿程损失是指流体在流动过程中克服摩擦阻力而损 失的能量，局部损失是指流体在通过管道或槽道的局部障碍物时损失的能量。
Part
05
流体动力学方程的应用
流体动力学方程在管道流动中的应用
稳态流动和非稳态
流动
流体动力学方程在管道流动中可 用于描述稳态流动和非稳态流动 ，包括流速、压力、密度等参数 的变化规律。
变化的流动。
流体动力学基本方程
1 2
质量守恒方程
表示流体质量随时间变化的规律，即质量守恒原 理。
动量守恒方程
表示流体动量随时间变化的规律，即牛顿第二定 律。
3
能量守恒方程
表示流体能量随时间变化的规律，即热力学第一 定律。
湍流力学讲义chapter 2
u1 (ξ 2 )u1 (ξ 2 + r ) = u1 (ξ 2 − r )u1 (ξ 2 )
取 r 的导数
∴ u1 (ξ 2 ) ∴ u12 ⎡ ⎢
∂u1 (ξ 2 + r ) ∂u (ξ − r ) =− 1 2 u1 (ξ 2 ) ∂ (ξ 2 + r ) ∂ (ξ 2 − r )
∂g( r ) ⎤ ⎡ ∂u ⎤ ⎡ ∂u ⎤ = ⎢u1 1 ⎥ = − ⎢ 1 u1 ⎥ = 0 ⎥ ⎣ ∂r ⎦ r =0 ⎣ ∂r ⎦ r =0 ⎣ ∂r ⎦ r =0
2
⎡ ∂ 2u ⎤ ⎡ ∂2 g ⎤ ∂u1 ⎤ ∴ u ⎢ 2 ⎥ = ⎢u1 21 ⎥ = − ⎡ ⎢ ⎣ ∂r ⎥ ⎦ ⎣ ∂r ⎦ r =0 ⎣ ∂r ⎦ r =0
2 1
r =0
将 g (r ) 在 r = 0 附近进行 Taylor 级数展开，
g (r ) = 1 +
1 2 ⎡ ∂2 g ⎤ 1 ⎡ ∂4 g ⎤ r ⎢ 2 ⎥ + r4 ⎢ 4 ⎥ +L 2! ⎣ ∂r ⎦ r =0 4! ⎣ ∂r ⎦ r =0
r →0
∴ g(0)=1 （2） g( r ) ≤ 1 ， f ( r ) ≤ 1 证明：由于 [u1 ( ξ 2 ) ± u1 ( ξ 2 + r )]2 ≥ 0 ，对于均匀流场有
2u12 ± 2u1 ( ξ 2 + r )u1 ( ξ 2 ) ≥ 0
∴ − 1 ≤ g( r ) ≤ 1 ， g( r ) ≤ 1 （3）g(r)= g(-r)，对称性 证明：由于流场为均匀，因此将A、B两点坐标均减小r，由ξ2→ ξ2-r，ξ2+r→ξ2，相关系数应保持不变，这时相应于g(r)中r变为负 值，即g(r)= g(-r)，这说明g(r)是r的偶函数。
取 r 的导数
∴ u1 (ξ 2 ) ∴ u12 ⎡ ⎢
∂u1 (ξ 2 + r ) ∂u (ξ − r ) =− 1 2 u1 (ξ 2 ) ∂ (ξ 2 + r ) ∂ (ξ 2 − r )
∂g( r ) ⎤ ⎡ ∂u ⎤ ⎡ ∂u ⎤ = ⎢u1 1 ⎥ = − ⎢ 1 u1 ⎥ = 0 ⎥ ⎣ ∂r ⎦ r =0 ⎣ ∂r ⎦ r =0 ⎣ ∂r ⎦ r =0
2
⎡ ∂ 2u ⎤ ⎡ ∂2 g ⎤ ∂u1 ⎤ ∴ u ⎢ 2 ⎥ = ⎢u1 21 ⎥ = − ⎡ ⎢ ⎣ ∂r ⎥ ⎦ ⎣ ∂r ⎦ r =0 ⎣ ∂r ⎦ r =0
2 1
r =0
将 g (r ) 在 r = 0 附近进行 Taylor 级数展开，
g (r ) = 1 +
1 2 ⎡ ∂2 g ⎤ 1 ⎡ ∂4 g ⎤ r ⎢ 2 ⎥ + r4 ⎢ 4 ⎥ +L 2! ⎣ ∂r ⎦ r =0 4! ⎣ ∂r ⎦ r =0
r →0
∴ g(0)=1 （2） g( r ) ≤ 1 ， f ( r ) ≤ 1 证明：由于 [u1 ( ξ 2 ) ± u1 ( ξ 2 + r )]2 ≥ 0 ，对于均匀流场有
2u12 ± 2u1 ( ξ 2 + r )u1 ( ξ 2 ) ≥ 0
∴ − 1 ≤ g( r ) ≤ 1 ， g( r ) ≤ 1 （3）g(r)= g(-r)，对称性 证明：由于流场为均匀，因此将A、B两点坐标均减小r，由ξ2→ ξ2-r，ξ2+r→ξ2，相关系数应保持不变，这时相应于g(r)中r变为负 值，即g(r)= g(-r)，这说明g(r)是r的偶函数。
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哈尔滨工业大学燃烧工程研究所
纵向和横向相关函数的形状讨论
对涡的形式，很难给出准确的分布曲线， 从均匀性出发，
u2 ( 2 )u2 ( 2 r ) u2 ( 2 r )u2 ( 2 )
u2 ( 2 r ) u2 ( 2 r ) u2 ( 2 ) u2 ( 2 ) ( 2 r ) ( 2 r )
哈尔滨工业大学燃烧工程研究所
同样可得到积分时间尺度
可以理解为保持湍流行为中最大时间尺度一种 度量
TE E ( )d
0
在均匀湍流场内有一常数平均速度<U1>，假
定 U1 u1 ，则在流场内一固定空间点上所观 测到u1(t) 随时间变化情况，可以近似的看成是 由在沿着过此点的x1方向的直线上分布的速度 空间变化，设想被冻结起来，以平均速度 <U1>移过此点形成——Taylor冻结流假设。
2 4 2
哈尔滨工业大学燃烧工程研究所
2
2
曲线原点可得密切抛物线方程为
2 E ( ) 1 2 E
其中
1 u1 1 2E 2 2 2 E 2u1 t 2 t t 0 1
2
，τ E为一个时间尺度。
表示了脉动速度脉动u1(t)最快变化的时间尺度 的代表，从耗散角度讲，它是指小涡生存时间， 因为与Taylor微尺度之间密切联系，称为欧拉 耗散涡时间尺度。它不仅与流场内湍流结构有 关，且与主流速度对该点输运特性有关。
当r→0时，K-H方程变为
2 d u 2 2 u (t ) 10 2 dt g 3
或
2 d 3 u 2 u ( t ) 15 2 dt 2 g
哈尔滨工业大学燃烧工程研究所
4、对于Richardson-Kolmogorov能量级联的观 点，在高雷诺数条件下，能量将通过惯性作用 机制从大尺度旋涡向小尺度旋涡传递，其尺度 （r >> η）,因此能量传递的机制由k项完成。
哈尔滨工业大学燃烧工程研究所
从K-H方程中更多结果： 1、Loitsyanskii 积分 对K-H方程两面乘以r4，并从0积分至R,得四阶 积分矩
Loitsyanskii将R→∞同时假设f和k随着r下降 的充分快，得到Loitsyanskii积分
d R 2 4 3 4 2 4 u r f (r , t )dr u R k ( R, t ) 2 u R f ( R, t ) dt 0
两点纵向f(r)和横向相关系数g(r)
对于各向同性流场，在 r e1r 2 2 R11 / u f (r , t ) u1 x e1r , t u1 x , t / u1 2 2 R22 / u g (r , t ) u2 x e1r , t u2 x , t / u2
哈尔滨工业大学燃烧工程研究所
2.1 两点相关（Two-point Correlation）
单点相关函数
对于各向同性湍流，两点相关表示为
Rij (r , t ) ui x r , t u j x , t
在原点 r=0
Rij (0, t ) ui u j
哈尔滨工业大学燃烧工程研究所
第二章 各向同性湍流
均匀湍流—如果任意n点空间几何构形在空间坐标
系平移后，脉动速度任意n阶统计相关函数不变 （或任意n点联合概率密度不变），则称湍流流场 均匀。 各向同性湍流—如果任意n点空间几何构形在空间 坐标系平移、转动和对称后，脉动速度任意n阶统 计相关函数不变（或任意n点联合概率密度不变）， 则湍流流场各向同性。 各向同性湍流首先是均匀的，同时统计特性与方 向无关，只能在无界流场中才能存在。
2 3 3 k (r , t ) S111 (e1r , t ) / u u1 ( x , t ) u1 ( x e1r , t ) / u
且在 r→0处，k (r, t ) k III r 3 / 3!k V r 5 / 5!... 带入即可得到各向同性K-H动力学方程
E ( )
u1 (t )u1 (t ) u12
由流场均匀性，同前面讨论纵向相关系数相似， 可以证明在t=0 附近，欧拉时间相关系数可表 示为
u1 u1 E ( ) 1 2 2 ... 2 2u1 t t 0 4!u1 t t 0
哈尔滨工业大学燃烧工程研究所
研究各向同性湍流的意义
各向同性湍流具有湍流质量、能量输运的基本
属性，这些性质对一般湍流研究十分重要。
虽然严格意义上各向同性湍流并不存在，但远
离地面大气以及远离海面、海岸和海底的湍流 可近似为各向同性。
Kolmogrov (1941) ，G. I. Taylor (1935) ，Von Karman 和Howarth(1938) 主要开展了研究。
dp(0)/dr= df(0)/dr, d2p(0)/dr2= d2f(0)/dr2
1 p(r ) 1 f (0)r 2 1 r 2 2f 2
哈尔滨工业大学燃烧工程研究所
λf
哈尔滨工业大学燃烧工程研究所
• Taylor给出在各向同性湍流中，利用λg可
以给出湍流耗散率的表达式，并且认为这 一尺度可以用于描述湍流场内耗散结构尺 度的大小，称为Taylor 微尺度。 2 15 ( u x ) 由耗散率的表达式 得 1 1
哈尔滨工业大学燃烧工程研究所
故 r U1
f (r ) u1 ( x1 )u1 x1 r u
2 1
u1 (t )u1 t u
2 1
E ( )
积分长度
L11 f (r )dr U1
0
0
E ( )d U1 TE
湍流的Taylor微尺度与Eular耗散时间尺度之间 的关系
R22 R33 , Rij 0, i j
对于均匀湍流，即整个流场内，湍流平均统计 性质均匀，f(r)可以表示为对ξ2取平均，即空 间平均，则
1 u1 ( 2 )u1 ( 2 r ) 2 2
u ( )u (
2 1 2 1
2
2
r )d 2
15 u 2 / g2
• 但是这个旋涡并不是指场内最小的耗散涡，
主要因为u作为耗散涡的特征速度是不对 的。而耗散涡的特征尺度为Kolmogrove尺 度η 和 u η
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• Taylor 微尺度和Kolmogrove尺度的比较
定义大涡的长度尺度，L=k3/2/ε 得到湍流雷诺数
L11 (t ) f (r , t )dr
0
L22 (t ) g (r , t )dr
0
对于各向同性湍流，可得
1 L22 (t ) L11 (t ) 2
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欧拉时间相关系数。 考虑xj为常数（位置不变）脉动速度分量u1， 欧拉时间相关系数为两个不同时刻t与t+τ 脉 动速度分量之间关联无因次化
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同样的方法可得到纵向相关系数相应性质， 但一般两个相关系数不相等
1 1 2 f 2 2 f 2 r 1 2 r 0 2u1 u1 r r 0
2
对各向同性湍流
f 2g
得到密切抛物线函数p(r)，p(0)=f(0)，
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• 在均匀各向同性流场内，两种相关系数的
特点： （1）g(0)= f(0)=1 （2） g( r ) 1 f ( r ) 1 （3）g(r)= g(-r)，对称性 （4）f ( ) g( ) 0 因为相隔无穷远距离两点 的脉动速度完全不相关。
根据脉动速度的N-S方程
u j
ui u j 1 p 2u j t xi x j xi xi
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根据各向同性流场条件，带入N-S方程后产生 两点三速度相关函数 S ijk (r , t ) ui ( x , t )u j ( x , t )uk ( x r , t ) 可以证明，所有的两点三速度相关函数可以被 下面函数唯一表示，
1 2g
2
1 2 f 2 2 r
1 2E 2 t 2
1 U 1
2
U
1 E
1
2
2g U1 E
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2.2 Karman-Howarth 方程
Karman和Howarth在1938年从N-S方程得到了 f(r,t)的演化方程，Rij (r , x , t ) 时间导数可表示为
Re L k L
1 2
2 g L 10 Re L
g 10 2 3 L1 3
可见，在高雷诺数下，Taylor微尺度是介于 η和L之间的尺度。
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湍流的积分尺度 表征了两点存在相关性最大特性距离，它 是湍流中最大涡尺的代表。可分为纵向积 分长度，横向积分长度
2 u3 4 2 u 2 4 f (u f ) 4 r k 4 r t r r r r r
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从K-H方程中可得： 1、存在方程封闭的问题，方程中存在两个未 知数 f 和 k； 2、k 和 ν分别代表了惯性过程和粘性过程； 3、当 r→0时，可以证明 k=0，对于偶函数f=1,
Rij r , t ui ( x r , t )u j ( x , t ) t t