54-5 奈奎斯特稳定性判据分析
54奈奎斯特稳定判据解析
j?1
Im S平面
?? ??
Байду номын сангаас
?
Re
??
Im
?
F(s)
? (s)
F(s)平面 Re
当S 平面上动点 s从s1经过某曲线 CS到达s2，映射到 F(s)平面上也将是一段
曲线CF ，该曲线完全由 F(s)表达式和 s平面上的曲线 CS决定。若只考虑动点 s
从s1到达s2相角的变化量，则有
?? F (s) ? ? F (s2 ) ? ? F (s1)
于是，映射到 F(s)平面上，当变点 F(s)沿CF 绕行一周后的幅角变化也应等于 0°。这表 明，围线CF此时不包围原点。
s平面
A BC
? ?H
?2 ?1 a
1
2
D
3
bG F E
CS顺时针
?
2
1.5
F (s)平面
G 1
0.5 0
E D
F
H
C
-0.5
B
-1 A
-1.5
-2 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
函数F(s)是复变量s的单值函数， s可以在整个 s平面上变化，对于其 上的每一点，除有限 (n) 个极点外，函数 F(s)都有唯一的一个值与之对应。
s平面上的点与 F(s)平面上的点有对应关系
F (s) ? K (s ? z1)(s ? z2 ) (s ? zm ) (s ? p1 )(s ? p2 ) (s ? pn )
s平面
F(s)平面
F(s) 的零点
原点
F(s) 的极点
无限远点
s平面上的其他点
原点外的有限点
注意，虽然函数 F(s)从s平面到F(s)平面的映射是一一对应的，然而逆过
奈奎斯特稳定性判据
时，可应用对数频率特性稳定性判据，判定系统的 稳定性。基于Bode图和基于Nyquist图的两种稳定性 判据是一致的，只是坐标系不同而已。 负反馈闭环系统，位于右半s平面极点的个数为
(3)
二、对数频率特性稳定性判据
式中：P —开环传递函数位于右半s平面极点的个 数；
—N 相 频特性曲线正穿越次数。在 L() 0 对应的频率范围内， 自下(而) 上穿越 (2k线1的)次18数0 ，其中自下而上起 始于或终止于该线的次数，折半计算； N —相频特性曲线负穿越次数。在 L() 0 对应的频率范围内， (自 )上而下穿越 (2k1)线18的0次数，其中自上而下起 始于或终止于该线的次数，折半计算；
【2 开环对数频率曲线(Bode图)的绘制】
1 思路：将复杂的 G(s)H(s)分解为典型环节的串联
G (s) G 1 (s)G 2 (s)G 3 (s).G .k .(s.)..
L ( () ) 2 G l( G 0 g j(j )H ) ( H j(j ) ) G 2 1 l G 0 g G 1 2 2 l G 0 g G 2k 2lG 0 g k
Z —闭环传递函数，位于右半s平面极点的 个数，即特征方程位于右半s平面根的 个数。
一、奈奎斯特稳定性判据
【3 奈奎斯特稳定性判据】
由式（1）可知：系统渐近稳定的充分必要条件是 (2)
由式（1）还可知：渐近稳定的必要条件是 N ；N 发散不稳定的充分条件是 N 。N 当开环频率特性通过[GH]平面上点时，且当曲线 在点 (1, 左j0)右作微小移动时，会使系统由渐近 稳定变成发散不稳定，或会使系统由发散不稳定 变成渐近稳定，系统称为临界稳定。
三、例题详解
【解答】 首先将各点的坐标改写成
第4讲 5.5奈奎斯特稳定判据
N =Z −P
N < 0,逆时针旋转
N > 0,顺时针旋转
2012-1-6
第五章 频率响应
7
二、奈氏稳定判据
K1 ( S + z / 1 )( S + z / 2 )⋯( S + z / m ) G(S ) H (S ) = ( S + p1 )( S + p2 )⋯( S + pn )
令F ( S ) = 1 + G ( S ) H ( S ) = 0
取下图所示的 奈氏途径,C 2 部分在GH平台上的映 射曲线为 一半径无穷大的 半圆，它与 奈氏曲线G(jω)H( jω)相连接后为 下图所示：
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第五章 频率响应
14
例4
K GH = 2 ，K > 0，T > 0 S (1 + TS )
K
解 : G ( jω ) =
ω 2 1 + T 2ω 2
2012-1-6 第五章 频率响应 4
2）围线Cs的顺时针方向围绕F（S）的一个极点 围线Cs的顺时针方向围绕F Cs的顺时针方向围绕
结论:围线Cs以顺时针方向围绕F(S)的一个极点,则其在F(S)平面 结论:围线Cs以顺时针方向围绕F(S)的一个极点,则其在F(S)平面 Cs以顺时针方向围绕F(S)的一个极点 F(S) 上的映射曲线C 亦按逆时针方向围绕F(S) F(S)平面的坐标原点旋转一 上的映射曲线CF亦按逆时针方向围绕F(S)平面的坐标原点旋转一 周.
lim G ( S ) H ( S ) = lim s →0 ρ →0 K
ρν
e − jνθ
1)ν = 1，C 2 部分在GH平面上的映 射曲线为一半径无穷大 的半圆。
奈奎斯特稳定判据及应用
奈奎斯特稳定判据及应用奈奎斯特稳定判据是一种用于分析线性时不变系统稳定性的常用方法。
该方法的基本思想是通过对系统的频率响应进行分析，判断系统的稳定性。
下面我将详细介绍奈奎斯特稳定判据及其应用。
奈奎斯特稳定判据是由德国数学家埃尔温·奈奎斯特（Ernst Siegfried H Stabilization）在20世纪20年代提出的。
该判据基于系统的开环频率响应曲线和频率扰动的关系，通过分析系统的极点和奈奎斯特曲线的特性来判断系统的稳定性。
在分析一个系统的稳定性时，首先需要了解系统的传递函数。
传递函数是描述系统输入和输出之间关系的数学模型，通常表示为H(s)，其中s是复频率。
传递函数中的极点（也称为极值）是指使传递函数无穷大的复频率值。
对于线性时不变系统，只有当所有的极点都位于s平面的左半平面时，系统才是稳定的。
根据奈奎斯特稳定判据，一个线性时不变系统是稳定的，当且仅当奈奎斯特曲线上的点环绕虚轴的次数等于系统极点位于虚轴右侧的个数。
这可以通过两个主要步骤来实现。
首先，我们需要绘制系统的开环频率响应曲线。
开环频率响应曲线是指系统传递函数H(s)的模量和幅角随频率变化的曲线。
我们可以通过画出传递函数的特定频率响应曲线来获得。
其次，我们需要绘制奈奎斯特曲线。
奈奎斯特曲线是通过将开环频率响应曲线绕过s 轴上方的点连接而得到的曲线。
具体来说，奈奎斯特曲线的性质如下：- 如果系统的开环频率响应曲线没有通过-1+j0（虚轴上的-1点），则奈奎斯特曲线将通过-1+j0；- 如果系统的开环频率响应曲线通过-1+j0，但未环绕虚轴上的任何点，则奈奎斯特曲线将通过-1+j0；- 如果系统开环频率响应曲线经过-1+j0，并绕过了虚轴上的n 个点，则奈奎斯特曲线将通过-1+j0并绕过虚轴上的n 个点。
通过绘制奈奎斯特曲线，我们可以根据它的形状和特性判断系统的稳定性。
奈奎斯特稳定判据的应用广泛，尤其在控制系统设计和分析方面。
控制工程基础 (第12讲) 第五章 乃魁斯特(Nyquist)稳定性判据 PPT课件
如果在s平面上曲线包围k个零点和k个极点(k=0,1,2…)，
即包围的零点数与极点数相同，则在 F(s) 平面上，
相应的封闭曲线不包围 F(s) 平面上的原点。
上述讨论是映射定理的图解说明，奈奎斯特稳 定判据正是建立在映射定理的基础上。
相角（幅角）定理：
如果闭合曲线 s 以顺时针方向为正方向，在 s 平
在右半s平面内的零点数和极点数联系起来的判据。这 种方法无须求出闭环极点，得到广泛应用。
奈奎斯特稳定判据是建立在复变函数理论中的图形映 射基础上的 。
相角（幅角）定理：
如果闭合曲线 S 以顺时针方向为正方向，在[S]平
面上包围了Fs 的 Z 个零点和 P 个极点，但不经过
任何一个零点和极点，那么，对应的映射曲线 F 也以
奈魁斯特稳定判据是利用开环频率特性判别闭环系统的稳 定性。不仅能判断系统的绝对稳定性，而且可根据相对稳定的 概念，讨论闭环系统的瞬态性能，指出改善系统性能的途径。 它从代数判据脱颖而出，故可以说是一种几何判据。
06-7-20
控制系统系统的稳定性分析
2
奈魁斯特稳定判据无需求取闭环系统的特征根，而是利用
F(s) 的轨迹将逆时针方向包围 F(s)平面上原点两次
06-7-20
控制系统系统的稳定性分析
9
s平面
B3
2
1
A0
-1
-2
F -3 -3
-2
-1
j
Im
C
2
1.5
F (s)平面
1 B1
0.5
D
E1
0 C1
F1 -0.5
-1
A
-1.5
D1
奈奎斯特判据
5.4 频域稳定判据5.4.1 奈奎斯特稳定判据闭环控制系统稳定的充要条件是：闭环特征方程的根均具有负的实部，或者说，全部闭环极点都位于左半s 平面。
第3章中介绍的劳斯稳定判据，是利用闭环特征方程的系数来判断闭环系统的稳定性。
这里要介绍的频域稳定判据则是利用系统的开环频率特性)(ωj G 来判断闭环系统的稳定性。
频域稳定判据是奈奎斯特于1932年提出的，它是频率分析法的重要内容。
利用奈奎斯特稳定判据，不但可以判断系统是否稳定（绝对稳定性），也可以确定系统的稳定程度（相对稳定性），还可以用于分析系统的动态性能以及指出改善系统性能指标的途径。
因此，奈奎斯特稳定判据是一种重要而实用的稳定性判据，工程上应用十分广泛。
1．辅助函数对于图5-33所示的控制系统结构图，其开环传递函数为)()()()()(0s N s M s H s G s G == （5-59）相应的闭环传递函数为 )()()()()(1)()(1)()(000s M s N s G s N s N s G s G s G s +=+=+=Φ （5-60） 式中，为开环传递函数的分子多项式，阶；为开环传递函数的分母多项式，阶，。
由式(5-59)、式(5-60)可见，)(s M m )(s N n m n ≥)()(s M s N +和分别为闭环和开环特征多项式。
现以两者之比构成辅助函数)(s N ()()()1()()M s N s F s G s N s +==+ （5-61） 实际系统传递函数分母阶数n 总是大于或等于分子阶数，因此辅助函数的分子、分母同阶，即其零点数与极点数相等。
设)(s G m 1z −，2z −，…，n z −和1p −，，…，分别为其零、极点，则辅助函数可表示为2p −n p −)(F s )())(()())(()(2121n n p s p s p s z s z s z s s F ++++++=L L（5-62）综上所述可知，辅助函数具有以下特点：)(s F （1）辅助函数是闭环特征多项式与开环特征多项式之比，其零点和极点分别为闭环极点和开环极点。
论述劳斯稳定判据和奈奎斯特稳定判据的使用方法
论述劳斯稳定判据和奈奎斯特稳定判据的使用方法劳斯稳定判据和奈奎斯特稳定判据是控制系统理论中常用的两种判断系统稳定性的方法。
劳斯稳定判据适用于以传递函数形式表示的线性时不变（LTI）系统。
对于一个系统的传递函数为G(s)，劳斯稳定判据要求先求出传递函数的特征方程，然后利用特征方程的劳斯阵列进行判断。
具体步骤如下：1. 将传递函数G(s)表达为特征方程的形式，即分子为0。
2. 将特征方程的所有系数按照从高次到低次的次序排列，构成劳斯阵列。
3. 从劳斯阵列的第一行开始，按照以下规则计算每一行的元素：- 第一行的元素为特征方程的系数。
- 第一列的元素为0。
- 每一行的元素为前两行对应位置的元素积减去后一行对应位置的元素积，再除以前一行的对角元素。
4. 查看劳斯阵列的最后一行，如果最后一行的元素全部大于0，则系统是稳定的；否则，系统是不稳定的。
奈奎斯特稳定判据适用于连续时间和离散时间系统，可以通过绘制奈奎斯特曲线的方法来判断系统的稳定性。
对于一个连续时间系统的传递函数G(s)，可以通过以下步骤使用奈奎斯特稳定判据：1. 将传递函数G(s)表达为标准形式，即将分子和分母分别写成多项式的形式。
2. 将标准形式的分子和分母的系数分别表示为多项式的系数向量aN 和aD。
3. 根据aN 和aD 的系数向量，计算系统的开环传输函数的频率响应G(jω)，其中j是虚数单位。
根据频率响应，可以得到系统的频率响应曲线。
4. 根据频率响应曲线，绘制奈奎斯特曲线。
奈奎斯特曲线可以通过将频率ω变化为复平面的轨迹来得到。
5. 根据奈奎斯特曲线的特征来判断系统的稳定性：- 曲线的终点在左半平面内，则系统是稳定的。
- 曲线的终点与jω轴有交点，则系统是不稳定的。
- 曲线的终点在右半平面内，则系统的稳定性无法判断，需要进一步分析。
类似地，对于离散时间系统的传递函数G(z)，也可以按照类似的方法绘制奈奎斯特曲线来判断系统的稳定性。
奈奎斯特稳定判据
幅角原理：如果封闭曲线内有Z个F(s)的零点， P个
F(s)的极点 ，则s 沿封闭曲线s 顺时针方向转一圈时，在
F(s)平面上，曲线F(s)绕其原点逆时针转过的圈数。
+
5. 4 . 3 奈氏判据
（1）0型系统
0
s为包围虚轴和整个右半平面。
s平面s 映射 F(s)
解：① 由开环传递函数知 P = 1 。 ② 作系统的开环对数频率特性曲线。
() = 90 + arctanT2 (180 arctanT1 )
270
arctan
(T1 1
T2 ) 2T1 T2
当() = 180时，g =(1/T1T2)1/2 ，A(g)=kT2
③ 稳定性判别。 G(s)H(s)有一个积分环节N =1 ，故
开环极坐标图如图
j
01
19
k(0.1s 1) Gk (s) s(s 1)
=0
Im
增补线
1 0.1k
Re 0
(3) 稳定性判别: 因为是1型系统，需作增补线如图
当 0.1k < 1 ，k > 10时， R =1/2，z = p 2R = 0
闭环系统是稳定的。
20
5.4.4 伯德图上的稳定性判据
Im
() 1
(+)
0
由图可知，幅相曲线 不 包 围 (1 ， j0) 点 。 此 结
Re 果也可以根据 增加时幅
相曲线自下向上(幅角减 小)和自上向下(幅角增加) 穿越实轴区间(，1)的 次数决定。
R = N N
自实轴区间（，1）开始向下的穿越称为半次正穿越，自实轴
区间（，1）开始向上的穿越为半次负穿越。
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类似P186
奈奎斯特稳定性判据：当从-∞到+∞变化时，闭环系统的稳定性通过
其开环频率响应G(j)H(j)曲线包围（-1，j0）点来判断。
若P=0（即系统开环稳定）时，则闭环系统稳定充要条件是 G(j)H(j)曲线不包围（-1，j0）点。 若P≠0（即系统开环不稳定），则闭环系统稳定充要条件是G(j)H(j) 曲线按逆时针方向包围（-1，j0）点旋转P圈。
F(s)的零点数 (闭环极点) 由辐角 原理确定 F(s)位于右半平 面极点数 (开环不稳极点)
包围整个右半平面的曲线映射在F(s)平面上形状如何？
顺时针包围整个右半平面曲线：S从0jj∞（正虚轴）， 然后顺时针转过 到 -j∞（负虚轴）-j0。
F(s) 1 G(s)
S从0jj∞变化，F(s)|s=j=F(j)=1+G(j)将奈氏曲线偏移一个单位；
S从j∞-j∞变化时，G(j)=G(-j)=0，在F(j)=1点上; S从-j∞-j0变化，F(s)|s=-j=F(-j)=1+G(-j)，它与F(j)共轭。
p184
例1：G( j)
K ( jT1 1)( jT2 1)( jT3 1)
j∞ jω 0 -jω
F ( s) 1 G( s) H ( s)
i
n
(S P i ) K (S Z j )
j
m
(S P 1 )( S P 2 ) ( S P n)
， ， ， ( S Z1 )( S Z 2 ) ( S Z n ) (S P 1 )( S P 2 ) ( S P n)
S F(jω)
jω
G(jω)
G(-jω)
k
画出奈氏曲线如右图 由于F(s)=1+G(s),所以映射对其
-1 0
j∞ -j∞ G(jω)
原点的围绕等价于G(s)对G平面上的
（-1，j0）点的围绕，如图
-j∞
所以，该封闭曲线就是包围S右半平面的封闭曲线在F(s)平面上的映射， 另外，该封闭曲线“包围F(s)的原点”=“包围G(j)平面的（-1，j0）点”。 幅角原理修改为：奈氏曲线当从-∞0∞变化，按顺时针方向包 围（-1，j0）点的圈数等于F(s)的零点数目Z与极点数目P之差，即N=Z-P。 在G(j)图中，曲线没有包围（-1，j0）点，N=0，可知F(s)的零、极 点在右半面上的个数相等。
《自动控制理论》
网址：
§5 频率响应法
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4 频率特性的基本概念 对数频率特性（Bode图） 幅相频率特性（Nyquist图） 用频率法辨识系统的数学模型
§5.5
§5.6
频域稳定判据（奈奎斯特）
相对稳定性分析
§5.7
频率性能指标与时域性能指标的关系
1/28
《自动控制理论》
网址：
§5.5 频域稳定判据
系统稳定的充要条件 — 全部闭环极点均具有负的实部 代数稳定判据 — Routh判据 由闭环特征多项式系数（不解根）判定系统稳定性 不能研究如何调整系统结构参数来改善系统稳定性及性能
Nyquist 判据 频域稳定判据 — 对数稳定判据
由开环频率特性直接判定闭环系统的稳定性 可研究如何调整系统结构参数改善系统稳定性及性能问题
2/28
1. 辐角原理
K (S +Z1 )(S +Z2 )(S Z n ) F (s) 1 G(s) H (s) (S +P 1 )( S +P 2 )( S +P n)
S j
F(s) U jV
S
Γ
s
j
F s1
Γ
F
Im
jω
F(s1)
σ
S2
F(s1)
σ
F(s2)
Re
S1代入F(S) 得F(S1)，S2代入F(S)得F(S2)；S沿Γs连续变化一周(不穿 过F(S)的极点)，则F(S)沿封闭曲线ΓF连续变化一周。
n n K ( S Z1 )( S Z 2 ) ( S Z n ) F ( s ) （S Z j） (S Pi） F (s) 1 G(s) H (s) (S P )( S P ) ( S P ) j 1 i 1 1 2 n
P183
曲线Γs包围一个F(s)的极点，当S1沿Γs顺时针连续变化一 周，因为Pi映射到F(s)上是在无穷远，因此ΓF逆时针绕F平面零
点一周，(S+Pi)的相角积累是-2π角度。
幅角原理：设F(s)除平面上的有限个奇点外，为单值解析
函数，若S平面上任选一条封闭曲线Cs以顺时针方向包围F(s)的 Z个零点和P个极点，且使它不通过F(s)的奇点，则其在F(s)平 面上的映射曲线CF将围绕着坐标原点旋转N周，其中N=Z-P。 当N>0，表示曲线CF以顺时针方向旋转；
当N<0，表示曲线CF以逆时针方向旋转。
P182 例子
《自动控制理论》
网址：
§5.5.2 奈奎斯特稳定判据
G( s) H ( s) ( S Z1 )( S Z 2 ) ( S Z m ) (S P 1 )( S P 2 ) ( S P n)
可见F(s)的零点就是闭环极点，F(s)的极点就是开环极点。
N ZP
Z N P
p184 6/28
奈奎斯特稳定性判据思路: 根据系统闭环特征根的位置可以判定系统的稳定性：
如果根平面的右半面有闭环根，则系统闭环不稳定(Z>0)；
如果根平面的右半面没有闭环根，则系统闭环稳定(Z=0)。
Z N P
S
j S1
S1+ziLeabharlann ImFzi
³ É Ó ä µ ½ Ô µ ã
σ
F(S1)
Re
zi
Γs包围一个F(s)的零点，当S1沿Γs顺时针连续变化一周，(S1+Zi)的相角 积累2π,或者说，ΓF顺时针绕F平面零点一周； 不包围F(s)零点，当S1沿Γs顺时针连续变化一周，(S1+Zi)不积累角度； Γs包围 Z个F(s)的零点，当S1沿Γs顺时针连续变化一周，(S1+Zi) 的相 角积累Z*(2π)，或者说，ΓF顺时针绕F平面零点Z圈。