固态电子论-第四章习题参考解答
导带电 子浓度 由本征 激发决 定
p0
(cm-3)
杂质全部电离，价带空穴浓度等 于受主杂质浓度
随温度 增加，本 征激发载 流子浓度 越来越大
NA
低 温 弱 电 离 区
中 间 电 离 区
饱和区
过 渡 区
高 温 区
0
200
400
600
T(K)
导带底附近电子状态密度，
dZ V 23/ 2 2/3 2 1/3 3/ 2 1/ 2 gc ( E ) s ( m m ) ( E E ) t l c dE 2 2 3
V (2mdn )3/ 2 1/ 2 ( E E ) c 2 2 3
mdn s2/3 (ml mt2 )1/3
E EF k0T
泡利不相容原理的限制作用可以忽略不计（在
E 附近，存在大量的没有被粒子填充的
空状态，当少量粒子填充这些状态时，发生泡利不相容的几率很小），由费米统计分布 给出的几率值与波费米统计分布退化为玻尔兹曼统计分布给出的几率值非常接近。
E EF 1 exp k0T E EF 1 exp k0T E A exp k T 0
等能面 E ~ E dE 的体积，
d
d 2 dE 3 (8mt2 ml )1/ 2 ( E Ec )1/ 2 dE dE
导带底附近电子状态数，
dZ 2s
s4
V
2
3
2 2 1/2 1/2 (8 m m ) ( E E ) dE t l c 3
-- 鍺导带4个等效极值
F EF n T
F ——半导体电子系统自由能
n ——半导体电子浓度
半导体的费米能级是半导体电子填充量子态能量水平高低的一个标尺。
对于本征半导体，费米能级位于禁带中央附近。在绝对零度下，费米能级以下填满了
电子，费米能级以上没有被电子填充。在绝对零度以上，费米能级以下的价带顶附近的 少部分电子被激发到导带，费米能级基本不变。
第6题 必须通过掺施主杂质补偿受主杂质，才能将原来掺受主杂质浓度 N A 1016 cm3 的该P型半导体变成N型半导体。
根据，
n0 ND N A Nc e
Ec EF k0T
费米能级位于导带底下面0.2eV处的导带电子浓度为，
n0 N c e
Ec EF k0T
2.8 10 e
n 0 3 3/2
h
2.8 1019 cm3
19 1017 cm3、 10 cm3 费米能级分别为， 当 ND 1015 cm3、 ，
Nc Ec EF k0T ln ND Nc Ec EF k0T ln ND N Ec EF k0T ln c ND
室温下的本征载流子浓度，
ni N c N
1/ 2
e
Eg 2 k0T 18 1/ 2
1.04 10 6.0 10
19
e
0.67 20.026
1.9 1013 cm3
第13题 题中给出的掺杂浓度为非简并杂质浓度。 500K温度下，杂质全部电离，本征激发载流子数量超过杂质电离的贡献。
Ei EF p0 ni exp k T 0
（1）
（2）
对于P型半导体，空穴是多子，电子是少子，
p0 n0
由（1）、（2）公式得出，P型半导体的费米能级在禁带中央以下，N型半导体的费
米能级在禁带中央能级以上。
第8题
100h2 Ec 2 8mn L
导带
h 2
Ec
1000 3L3
第9题
费米分布函数，
f (E)
1 E EF 1 exp kT 0
E EF 1.5k0T , f ( E) 18.2%
E EF 4k0T , f ( E) 1.8%
E EF 10k0T , f ( E) 0.045%
波尔兹曼分布函数，
E EF f B E exp k T 0
E EF 1.5k0T , f B ( E) 22.3%
E EF 4k0T , f B ( E) 1.83%
E EF 10k0T , f B ( E) 0.045 %
n0 p0 ni 3.2 1015 cm 3
ni N c N
1/ 2
e
Eg 2 k0T 0.67
23
1.04 10 6.0 10
19
18 1/ 2
e e
2 1.3810 0.67 20.043
500 /(1.61019 )
2.8 1019 0.026 ln 15 10 2.8 1019 0.026 ln 17 10 2.8 1019 0.026 ln 19 10
0.27eV 0.15eV 0.026eV
第10题
砷化镓的导带电子有效状态密度，
2 m k T 2
n 0 3/2
Nc
h3
2 0.068 9.1 10 1.38 10 2 6.62 10
31 34 3
23
300
3/2
6.46 1077 2 4.45 1023 / m3 4.45 1017 / cm3 100 2.90 10
f (E)
第3题 本征半导体或者掺杂浓度比较低的非简并半导体，其费米能级 EF 一般位于禁带中，离 导带底或价带顶都比较远。当电子占据导带（或空穴占据价带）中的能级
E 时，一般都
满足 E EF k0T ，可以由玻尔兹曼统计分布代替费米统计分布来描述导带电子或价 带空穴的统计分布。
第4题 费米能级 EF 是在一定温度下，半导体电子系统增加或减少一个电子所产生的系统自 由能的变化量。
2 2 2 k3 k2 2 k1 E ( k ) Ec 2 mt ml 2 2 k3 k12 k2 1 2mt E Ec 2mt E Ec 2ml E Ec 2 2 2
旋转椭球体积，
4 4 abc 3 (8mt2 ml )1/ 2 ( E Ec )3/ 2 3 3
--导带底电子状态密度有效质量
第12题 题中给出的掺杂浓度为非简并杂质浓度。 室温下，杂质全部电离，本征激发载流子数量对导带电子浓度和 价带空穴浓度的贡献忽略不计，于是得到导带电子浓度，
n0 N A N D 5 1015 2 109 5 1015 cm 3
第2题 费米统计分布规律与玻尔兹曼统计分布规律的主要差别 费米统计分布考虑粒子系统服从泡利不相容原理（即粒子不能具有相同的状态）， 玻尔兹曼统计分布不考虑泡利不相容原理的作用。 费米统计分布规律与玻尔兹曼统计分布规律的形式差别 费米统计分布 对于服从泡利不相容原理的粒子系统，温度为 T 的热平衡状态下，粒子占据能级 E 的几率： k0 -- 玻尔兹曼常数 1
f E
e E EF / k0T 1
EF
-- 费米能级（系统化学势）
玻尔兹曼统计分布 对于不服从泡利不相容原理的粒子系统，温度为 级 E 的几率：
T 的热平衡状态下，粒子占据能
f B E Ae
E k0T
A -- 常数
费米统计分布规律退化为玻尔兹曼统计分布规律的情形 若粒子占据的能量 E 远离 EF 费米能级时，
Ec
导带底附近 dE 中的电子状态数，
3/ 2 (2mn ) 1/ 2 dZ 4 V ( E E ) dE c 3 h
半导体单位体积导带底附近 dE 中的电子状态数，
3/ 2 (2mn ) dZ 1/ 2 4 ( E E ) dE c 3 V h
100h2 半导体单位体积中，Ec ~ Ec 的电子状态数， 2 8mn L
1.04 1019 6.0 10
18 1/ 2
7.9 1018 4.1 104 3.2 1015 cm3
第14题
300K下，N型硅半导体费米能级，
ND EF Ec k0T ln N c
Nc 2 m k T 2
第11题 锗半导体的导带结构：
i j k 导带底波矢 k0 a
导带底附近等能面是长轴在<111>方向的8个旋转
椭球面，椭球中心在布里渊区表面，1/2椭球在第一 布里渊区内，第一布里渊区共4个等价椭球。
(111)
[100] 椭球长轴
k3
椭球短轴
k1
k0
k2
导带底附近电子能带，
对于掺施主杂质的半导体，绝对零度下，费米能级位于杂质能级和导带底之间1/2的
位置。随着温度增加，杂质由部分电离到全部电离、本征激发由忽略不计到占主要影响 ，对于的半导体的费米能级不断向禁带中央能级趋近。 对于掺受主杂质的半导体可以类型讨论。
第5题 设该半导体只掺一种受主杂质，杂质浓度为 N A ，随着温度变化，P型半导体价带 空穴浓度的变化情况如下图所示，
砷化镓的价带空穴有效状态密度，
N 2
2 mp k0T
h
3
3/ 2
2
2 0.5 9.11031 0.026 1.6 1019 6.62 1034
3
பைடு நூலகம்
固体物理习题解答
第十一章固体中的元激发什么是元激发，举出三种元激发，并加以简要说明，以及所满足的统计特性元激发：能量靠近基态的低激发态与其他激发态相比，情况比较简单，这种低激发态可以看出是独立的基本激发单元的集合，这些基本激发单元称为元激发（准离子）。
分为集体激发的准离子和单粒子激发的准粒子。
声子：晶体中原子振动的简正坐标是一系列格波，格波表示原子的一种集体运动，每个格波的能量取值是量子化的，体系的激发态可以看成是一些独立基本激发单元的集合，激发单元就是声子。
声子是玻色型准粒子。
磁振子：铁磁材料在T=0K时基态的原子磁矩完全平行排列，基态附近的低激发态相应于少数自旋取向的反转，由于原子之间的相互耦合，自选反转不会局限在个别原子上，而是在晶体内传播形成自选波，自选波表示自旋系统的集体激发，能量是量子化的，体系激发态可以表示成一些独立基本激发单元的集合，即磁振子。
遵循玻色统计。
金属中电子和空穴：系统激发态可以看成电子能量和空穴能量之和。
电子和空穴都是单粒子元激发。
金属中电子系统的激发态可以看成是电子、空穴准粒子的集合。
半导体中电子空穴对：半导体中电子从价带激发到导带形成电子空穴对。
费米型元激发。
激子：电子和空穴之间由于库伦作用形成激子。
玻色型元激发。
极化激元：离子晶体长光学波与光学波形成的耦合振动模，其元激发称为极化激元。
在相互作用电子系统中可能存在玻色元激发吗？举一例说明等离激元：电子气相对于正电背景的等离子体振荡，振荡的能量是量子化的，元激发即等离激元。
玻色型元激发。
第十二章晶体中的缺陷和扩散分析说明小角晶界的角度和位错间距关系，写出表达式。
相互有小角度倾斜的两部分晶体之间的小角晶界可以看成是一系列刃位错排列而成，D=b/θ，D是小角晶界位错相隔的距离，θ是两部分倾角，b是原子间距。
简述晶体中位错种类及位错方向和滑移方向的关系，哪种位错对体生长有重要影响。
刃位错：位错方向与晶体局部滑移方向垂直。
螺位错：位错方向与晶体局部位移方向平行。
固体物理期末复习题目及答案
09级微电子学专业《固体物理》期末考复习题目至诚学院 信息工程系 微电子学专业姓名：陈长彬 学号:3第一章晶体结构IX 把等体积的硬球堆成下列结构，求球可能占据的最大体积和总体积之比。
（1）简立方（2）体心立方（3）面心立方（4）金刚石解：（IX 简立方，晶胞内含有一个原子∏=1,原子球半径为R,立方晶格的顶点原子球相切，立方边长a=2R, 体积为（2/?）5 ,4 4mR' -J ΓR'V（2町（2）、体心立方晶胞内含有2个原子n=2,原子球半径为R,晶胞边长为"立方晶格的体对角线原子球相切,（3）、面心立方晶胞内含有4个原子24,晶胞的面对角线原子球相切，面对角线长度为4个原子半径，立方∖R √2（4）.金刚石在单位晶格中含有8个原子，碳原子最近邻长度2R 为体对角线;长，体对角线为8R = √L4解：对于体心立方，原胞基欠为:■ Zl . —* —* «3 = γ（* + 丿 一 &）对丁•体心立方原胞体枳为：Q = ^∙（^×ξ）所以=r 0∙52体对角线长为4个原子半径，所以Q =体边长为可所以G=4 √Σ4 、 4x-χR' /T=—一 =—ΛB = 0.7464 I 4 1 n∙-JΓR S×-πR /rK 33√3Vi R ）2.证明面心立方和体心立方互为倒格子。
16 " = 034n -πR 3V龙= 0.68根据倒格子旱矢定义，并将体心原胞旱矢代入计灯之，町得:将计算所得到的倒格了•呈矢与外心立方的原胞呈欠相比 较，可知面心立方的倒格子是体心立方。
囚此可以说，曲心立方和体心立方互为倒格子。
3、证明：倒格子原胞体积为y∙ = E≤~,其中VC 为正格子原胞的体积。
对F 面心'工方•原胞皋欠为：金=斗 G + F) S 7=^(k+i)N=斗(7 + j)/ & ■将计只所得到的倒格子堆矢与Ifll 心立方廉胞肚矢相同， 可知体也立方的倒格子妊而心立方。
固体物理第章固体电子论 参考答案
第四章 固体电子论 参考答案1. 导出二维自由电子气的能态密度。
解：二维情形，自由电子的能量是：2πL x x k n =，2πL y y k n =在/k =h 到d k k +区间： 那么：2d ()d Z Sg E E =其中：22()πm g E =h2. 若二维电子气的面密度为n s ，证明它的化学势为：解：由前一题已经求得能态密度：电子气体的化学势μ由下式决定： ()()222E-/E-/001d ()d πe 1e 1B B k T k T L m E N g E L E μμ∞∞==++⎰⎰h 令()/B E k T x μ-≡，并注意到：2s N n L=那么可以求出μ：证毕。
3. He 3是费米子，液体He 3在绝对零度附近的密度为0.081 g ／cm 3。
计算它的费米能E F 和费米温度T F 。
解：He 3的数密度：其中m 是单个He 3粒子的质量。
可得：代入数据，可以算得： E F ＝6.8x 10-16 erg = 4.3x 10-4eV.则：F F E T k =＝4.97 K.4.已知银的密度为310.5/g cm ，当温度从绝对零度升到室温（300K ）时，银金属中电子的费米能变化多少？解：银的原子量为108，密度为310.5/g cm ，如果1个银原子贡献一个自由电子，1摩尔物质包含有6.022x 1023个原子，则单位体积内银的自由电子数为在T=0K 时，费米能量为代如相关数据得2/3272227302812(6.6310)()3 5.910()29.110()8 3.148.8710() 5.54()F erg s cm E g erg eV -----⎛⎫⨯⋅⨯⨯= ⎪⨯⨯⨯⎝⎭≈⨯≈ 在≠T 0K 时，费米能量所以，当温度从绝对零度升到室温（300K ）时, 费米能变化为代如相关数据得可见，温度改变时，费米能量的改变是微不足道的。
5. 已知锂的密度为30.534/g cm ，德拜温度为370K ，试求（1）室温（300K ）下电子的摩尔比热；（2）在什么温度下，锂的电子比热等于其晶格比热？解：（1）金属中每个电子在常温下贡献的比热 2'0()2B V B F k T C k E π= （1） 式中0FE 为绝对零度下的费米能： 202/33()28F h n E m π= （2）锂的密度30.534/g cm ，原子量6.94，每立方厘米锂包含的摩尔数为0.534/6.94，1摩尔物质中包含 6.022x 1023个原子，每个锂贡献一个电子，则每立方厘米中的电子数已知将数据代入（2）得在室温（300K ）下，0.026B k T eV =，由（1）式可以求得电子的摩尔比热代入相关数据得（2）电子比热只在低温下才是重要的。
固体物理CH4-习题解答
第四章习题试解1. 一维单原子晶格,在简谐近似下,考虑每一原子与其余所有原子都有作用,求格波的色散关系.解：设原子质量为m ,周期为a ,第n 个原子偏离平衡位置的位移为μn ,第n-k 与n+k 个原子偏离平衡位置的位移分别为μn-k ,μn+k ,其与第n 个原子间的弹性恢复力系数为β-k ,βk .n-k n-1 n n+1 n+k显然：k k ββ-=第n 个原子受n-k 和n+k 原子的合力为：第n 个原子受所有原子的合力为：振动的运动学方程可写为：代入振动的格波形式的解()i qna t nq Ae ωμ-= 有2()[()][()]()()(2)i qna t i q n k a t i q n k a t i qna t k km i Ae Ae Ae Ae ωωωωωβ-+----=+-∑色散关系即为2.聚乙烯链…—CH ＝CH —CH ＝CH…的伸张振动,可以采用一维双原子链模型来描述,原胞两原子质量均为M,但每个原子与左右邻原子的力常熟分别为β1和β2,原子链的周期为a .证明振动频率为证：如图,任意两个A 原子〔或B 原子〕之间的距离为a,设双键距离b 2,单键距离b 1 …—CH ＝CH —CH ＝CH —CH ＝CH —CH ＝CH —CH ＝CH …2n-2 2n-1 2n 2n+1 2n+2 AB Ab2 b1只考虑近邻作用的A,B 两原子的运动方程为A ：222121221()()n n n n n M μβμμβμμ+-=---B ： 21122212212()()n n n n n M μβμμβμμ++++=---将格波解()2i qna t n Ae ωμ-= 和2[()]21i q na b t n Be ωμ+-+= 代入以上运动方程,有 化简得：1221212()()0iqb iqb M A e e B ββωββ-+--+=同理：1221212()()0iqb iqb e e A M B ββββω--+++-=化为以A 、B 为未知数的线性齐次方程组,它的有解条件是从而得到3.求一维单原子链的振动模式密度g<ω>,若格波的色散可以忽略,其g<ω>具有什么形式,比较这两者的g<ω>曲线.解：一维情况q 空间的密度约化为L/2π,L=Na 为单原子链的长度,其中a 为原子间距,N 为原子数目.则在dq 间隔内的振动模式数目为2L dq π.dω频率间隔内的振动模式数目为 等式右边的因子2来源于ω〔q 〕具有中心反演对称,q ﹥0和q ﹤0区间是完全等价的.从而有 对于一维单原子链,只计入最近邻原子之间的相互作用时,有其中ωm 为最大频率.代入g <ω>得考虑ω=cq 〔德拜近似〕由q →0〔德拜近似下〕, 有111()222m m q qa qa a q ωωω==⋅=⋅ 即12m c a ω=⋅ 则有：12m d a dq ωω=⋅ 121()12m m NaN g a ωππωω==⋅ 〔常数〕考虑ω=ω0〔爱因斯坦近似〕显然有()000g ωωωωω∞=⎧=⎨≠⎩ 4.金刚石〔碳原子量为12〕的杨氏模量为1012N·m -2,密度ρ=3.5g·cm -3.试估算它的德拜温度ΘD =？ 解：德拜温度D D B k ωΘ=223231()4()(2)2j V V g c c c ωωπωππ==, 2233()2V g c ωωπ== 近似看作弹性介质时,1/2410/C m s ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭杨氏模量密度 每摩尔原子数目为N=6.02×1023,摩尔质量m=12g,则摩尔体积代入,得ωm =57.97×1013最后得 ΘD =4427K5.试用德拜模型求晶体中各声频支格波的零点振动能. 解：根据量子理论,各简谐振动的零点能为12ω 德拜近似下2233()2V g C ωωπ= 总零点能为034232301()2331444m m m E g d VV d C C ωωωωωωωωππ===⎰⎰ 由自由度确定的21/3[6()]m NC V ωπ=代回上式中6.一根直径为3mm 的人造蓝宝石晶体的热导率,在30K 的温度达到一个锐的极大值,试估计此极大值.〔蓝宝石在T ﹤﹤ΘD =1000K 时,c V =10-1T 3J·m -3·K -1〕解：m D B k ωΘ=→ωm =1.31×1014λ与晶格常数10-10m 近似时约为2.09×103,近似作为平均声速代入 热导率35.643103c l υκυ==⨯ 7.Na 和Cl 的原子量分别为23和37.氯化钠立方晶胞边长为0.56nm,在[100]方向可以看做是一组平行的离子链.离子间距d=0.28nm.NaCl 晶体的杨氏模量为5×1010N·m -2,如果全反射的光频率与q=0的光频模频率相等,求对应的光波波长.解：当q=0时,光频支频率为杨氏模量10510a β=⨯,且90.2810a -=⨯m故201.7910β=⨯,再同两原子质量一同代入频率式则波长02c πλω==1.53×10-14m8.立方晶体有三个弹性模量C 11,C 12和C 44.铝的C 11=10.82×1010N·m -2,C 44=2.85×1010N·m -2,铝沿[100]方向传播的弹性波纵波速度l υ=,横波速度t υ=,Al 的密度ρ=2.70×103kg·m -3.求德拜模型中铝的振动模式密度g<ω>.解：由题条件知36.3310l υ=⨯,33.2510t υ=⨯若所考虑的晶体体积为V,则。
固体物理金属电子论作业答案
E48 1040 F m 2 105V m 1 9.25 1017 m 1.6 1019 C
Cl+离子位移：
l
Eeff
q
3.29 1040 F m 2 105V m 1 2.06 1016 m 1.6 1019 C
2m 2 9.1110 kg
8.711019 J 5.44eV
EF 0 8.7110 19 J TF 63116 K 23 k B 1.38 10 J / K
2）费米波矢
k F 3 n
2
1/ 3
(3 3.142 5.86 1022 cm3 )1/ 3 1.20 108 cm1
•传统硅基集成电路的栅介电材料和互连介质材料均为SiO2，但随集成度的提高， 需要提高栅介电的介电常数，而互连介质的介电常数最好能降低。根据克劳修斯莫索提关系，请试给出你认为可行的技术措施。 答：根据克劳修斯-莫索提关系，介电常数与原子密度和原子极化率有关。 提高介电常数：掺N(致密度或极化率提高）或采用其它氧化物（ZrO2、HfO2等） 降低介电常数：掺F（利用F离子强束缚电子特性降低极化率）或制备多空SiO2或 采用有机材料。
3） 费米速度
0 2 EF k F 1.05 10 34 J s vF 1.20 1010 m 1 m m 9.1110 31 kg
1.38 106 m / s 1.38 108 cm / s
3.用a3代表每个原子占据的体积，若金属中的自由电子气体在温 度为0K时能级被填充到kF0=(62)1/3/a，试计算每个原子的价电子 数目？并导出电子气在温度0K时的费米能的表达式？ 解：假设价电子数位Z，则电子浓度为： n
固体物理吴代鸣第四章习题答案
23
1300
1 . 79 10
8
二者差约
Байду номын сангаас
3 个量级。
4 2 试求产生 热容的贡献。
解：产生
n 个肖脱基缺陷后晶体体
积的变化以及对晶体
n 个肖脱基缺陷就意味着
有 n 个原子从晶体内移动 N 个增加到 N n 个，
到表面上，这样，晶格
的格点就由原来的
令原来的晶体体积为
V 0，那么每个原子所占的
4－ 1铜的空位形成能约为 试估计接近熔点（ 两者的数量级。
1 . 26 eV ，间隙原子的形成能约
为 4 eV ，
1300 K ）时空位和间隙原子的
浓度，并比较
解：对于空位，主要由
u k BT
肖脱基缺陷引起，
n 空 Ne
空位浓度
n空 N
u k BT
e
e
1 . 26 1 . 6 10 1 . 38 10
体积为
V0 N
，
后来的体积
n V V0 n V0 1 N N V0
体积变化为
V V0
V0 N
n
能量变化为 nu ，
产生 n 个肖脱基缺陷，晶体的
而 CV
E T V
CV
n E nu u T T V T V
23
19
1300
1 . 32 10
5
对于间隙原子，由夫伦
1 u 2 k BT
克尔缺陷引起：
u 2 k BT
n 间 ( NN ) 2 e
'
固体物理第四章作业答案
x
na
b
x
na
i 2 n x
b e a dx
Байду номын сангаас
2V0 a
cos
n
2 b a
• 按照近自由电子模型，第一布里渊区边界的能隙
Eg 2 V1
Eg
2 V1
2 2V0 a
cos b
a
4V0 a
cos 2b
a
•
第一布里渊区
a
k
a
， k 的个数为：
• （2）试讨论分别同A、B两种材料组成的一维超晶格量子 阱的能带变化。*(如下图)
ECA A
B
EVA
8a a
ECB
EVB
克朗尼格-朋奈模型 (基泰尔，固体物理导论，P119)
克朗尼格-朋奈模型得到结果：
超晶格得到结果与克朗尼格-朋奈模型类似，但是不同的是上 图中每段红色的能带都会分裂成八条子能带。
r
eik r u k
r
uk r uk r Rl
知
2
u k
r
2
由此可知，电子密度分布具有周期性。
• 思考题
（1）对有限尺寸晶体（如量子点，量子线或量子井），你 认为其晶体能带相对于理想晶体会有什么变化？
周期性边界条件破坏，边界效应开始变得明显能带不再是准 连续的。
第四章作业
1. (1)能带论的结论是什么?
(2)这个结论是考虑了晶体内部电子运动受到了什么作用后得 出的?
(3)以一维晶体为例, 如果作自由电子近似,把上述作用看作是 微扰, 应用非简并微扰理论得出电子的能量与k的关系是:
固体物理答案第四章1
化简为习惯的表示式
E0
3 5
EF0
4.8 对于单位面积的样品，二维电子气的状态密度为g 4m
h2
试求二维电子气的比热。
解： 设g(E)为单位体积样品的状态密度，当系统由0K加热直至 温度T时， 它的总能量
ET
4m
Ef (E)g(E)dE
0
h2
2m
Ef (E)dE
0
h2
E 2 f (E) dE
k 空间中，状态密度等于V，计入自旋，在波矢 k ~ k dk
的球壳内的状态数为 2V 4k 2dk ， 由此得到，费密球内
电子的总能量
E0
k kF
h2k 2 2m
2V
4k 2dk
式中 kF 是费密球半径。当V比较大时，波矢 k 在 k 空间的
分布非常密集，可以看作准连续，上式的求和可用积分代替，
L 因而在波矢空间每个状态的代表点占有面积为
2π
2
。
L
在k
~
k
dk 面积元
dk
dk x dk y
中含有的状态数为
L 2π
2
dk 。
每个波矢状态可容纳自旋相反的两个电子，则在面积元 dk 中
容纳电子数为
dz 2
L
2
dk
2
L
2 2 π kdk
2π
2π
又
E 2k2 2m
dE 2k dk m
所以E到E+dE之间的状态数
4π
L 2
2π
m 2
dE
L2m π 2
dE
（2）在E到E+dE内的电子数为dN
dN f Edz
固体物理第四章答案
y
b1+b2 b2 3 2 1 b1
2 a
-b1
2 a
-b2
x
-b1-b2
4.11设一维晶体晶格常数为a，系统的哈密顿量为 其中
H
2 d2
2m dx
2
V ( x),
V ( x) A ( x la)
l 1
N
若已知孤立原子的势和波函数为
Va A ( x la), a a e
J1 * [V ( x) Va ]a dx a
Na
* ( x na)[ A ( x na) A ( x na a )] a ( x na a )dx a
Na n 1
N
* ( x na)[ a
Na
n n1
1一维周期场中电子的波函数
满足 k ( x ) Bloch定理，若晶格常数为a的电子波函数为：
(a) k ( x) sin
x
a 3 x a
(b) k ( x) i cos (c) k ( x)
l
f ( x la)
试求电子在这些态的波失。
jka 解：根据Bloch定理 k ( x a) e k ( x) 可得：
Na N Na n 1 N
* ( x na)[ A ( x na) A ( x na)]a ( x na)dx a * ( x na)[ A ( x na) ]a ( x na)dx a
Na n n
根据 函数的性质，上式的值为0。而积分
=-U 上面计算中取 kn (
2 2 , ) ，Brayy 反射出现的第一布里渊区的四个顶点处。能隙为 2U。
固体物理第4章 固体电子论 2011 参考答案
第四章 固体电子论 参考答案1. 导出二维自由电子气的能态密度。
解：二维情形，自由电子的能量是：22222()()22x y k E k k mm==+k2πLx xk n =，2πLy yk n =在/k =到d k k +区间：22222d 2d 2π(2π)2ππS Lm L Z kdk dE=⋅=⋅=k那么：2d ()d Z Sg E E=其中：22()πm g E =2. 若二维电子气的面密度为n s ，证明它的化学势为：2π()ln exp 1s B B n T k T m k T μ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦解：由前一题已经求得能态密度：22()πm g E =电子气体的化学势μ由下式决定：()()222E-/E-/01d ()d πe1e1B B k Tk TL mE N g E LE μμ∞∞==++⎰⎰令()/B E k Txμ-≡，并注意到：2s Nn L =()12/1d πB xB s k Tk T mn exμ-∞-=+⎰()2/d π1B x B xxk Tk Tm e ee μ∞-=+⎰2/lnπ1BxB xk Tk T m ee μ∞-=+()/2ln 1πB k TB k T m eμ=+那么可以求出μ：2π()ln exp 1s B B n T k T m k T μ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦证毕。
3. He 3是费米子，液体He 3在绝对零度附近的密度为0.081 g ／cm 3。
计算它的费米能E F 和费米温度T F 。
解：He 3的数密度：N N M N n V M VMmρρ==⋅=⋅=其中m 是单个He 3粒子的质量。
()1123233π3πF k n m ρ⎛⎫== ⎪⎝⎭可得：2222322/33π(3)22F E n mm m ρπ⎛⎫== ⎪⎝⎭代入数据，可以算得： E F ＝6.8x 10-16erg = 4.3x 10-4eV .则：FF E T k =＝4.97 K.4.已知银的密度为310.5/g cm ，当温度从绝对零度升到室温（300K ）时，银金属中电子的费米能变化多少？解：银的原子量为108，密度为310.5/g cm ，如果1个银原子贡献一个自由电子，1摩尔物质包含有6.022x 1023个原子，则单位体积内银的自由电子数为2232310.55.910()108/6.02210n cmmρ-===⨯⨯在T=0K 时，费米能量为202/3328FhnEm π=（）代如相关数据得2/3272227302812(6.6310)()3 5.910()29.110()8 3.148.8710() 5.54()Ferg s cmEg erg eV -----⎛⎫⨯⋅⨯⨯=⎪⨯⨯⨯⎝⎭≈⨯≈在≠T0K时，费米能量2020]12B F FFK TE E E π=[1-（）所以，当温度从绝对零度升到室温（300K ）时, 费米能变化为202012B F FFk TE E E π-=-（）代如相关数据得4F FE E -⨯⨯-⨯≈⨯≈2-162-12-163.14(1.3810300)=-128.8710-1.610(erg)-10（eV ）可见，温度改变时，费米能量的改变是微不足道的。