2013高考数学专题十：三角函数(3)

2013高考数学专题十：三角函数（3）【一】正弦定理余弦定理【考题回放】1．设,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边，则()2a b b c =+是2A B =的（ c ）（A ）充分条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而充分条件 （D ）既不充分又不必要条件 2．在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan=+，给出以下四个论断： ① 1cot tan =⋅B A ② 2sin sin 0≤+<B A ③ 1cos sin 22=+B A ④ C B A 222sin cos cos =+其中正确的是（ B ）（A ）①③ （B ）②④ （C ）①④ （D ）②③ 3．在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，则2tan 2tan 32tan 2tan CA C A ++的值为__________3.4．如果111ABC ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则（） A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111ABC ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111ABC ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111ABC ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形5．己知A 、C 是锐角△ABC 的两个内角，且tanA, tanC 是方程x 2-3px+1-p ＝0 (p≠0，且p ∈R)，的两个实根，则tan(A+C)=_______，tanA,tanC 的取值范围分别是___ _ 和__ ___，p 的取值范围是__________3；(0，3)；(0，3)；［32，1)6（2011高考）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．己知sin csin sin sin ,a A C C b B +=（Ⅰ）求B ； （Ⅱ）若075,2,A b a c ==求与【二】考点透视本专题主要考查正弦定理和余弦定理． 1.正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===.2.余弦定理2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.3.面积定理（1）111222a b c Sah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. （2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.4.三角形内角和定理在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+ 222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+.5.三角形的内切圆半径r=cb a S ABC ++∆2；三角形的外接圆直径2R=;sin sin sin Cc B b A a ==【热点透析】三角形中的三角函数关系是历年高考的重点内容之一，本节主要帮助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧 学生需要掌握的能力：(1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形； (2)熟练地进行边角和已知关系式的等价转化；(3)能熟练运用三角形基础知识，正(余)弦定理及面积公式与三角函数公式配合，通过等价转化或构建方程解答三角形的综合问题，注意隐含条件的挖掘【三】突破重难点【范例1】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c, b=acosC,且△ABC 的最大边长为12，最小角的正弦值为31。

（1） 判断△ABC 的形状； （2） 求△ABC 的面积。

解析（1） b=acosC ，∴由正弦定理，得sinB=sinAcosC, （#）B=)(C A +-π, ∴sinB=sin(A+C),从而（#）式变为sin(A+C)= sinAcosC ，∴cosAsinC=0,又A ，C ),0(π∈∴cosA=0，A=2π，∴△ABC 是直角三角形。

（2） △ABC 的最大边长为12，由（1）知斜边a =12，又 △ABC 最小角的正弦值为31，∴Rt △ABC 的最短直角边为1231⨯=4，另一条直角边为28 ∴S △ABC =28421⨯⨯=162【点晴】此题主要考查三角函数变换及正弦定理的应用.用正弦定理化边为角，再以角为突破口，判断出△ABC 的形状，最后由已知条件求出三条边，从而求面积.【文】在△ABC 中，若tanA ︰tanB ＝22b a:，试判断△ABC 的形状．解析 由同角三角函数关系及正弦定理可推得∵A 、B 为三角形的内角，∴sinA≠0，sinB≠0．∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝2π． 所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．【点晴】三角形分类是按边或角进行的，所以判定三角形形状时一般要把条件转化为边之间关系或角之间关系式，从而得到诸如a 2＋b 2＝c 2， a 2＋b 2>c 2（锐角三角形），a 2＋b 2＜c 2（钝角三角形）或sin(A －B)＝0，sinA ＝sinB ，sinC ＝1或cosC ＝0等一些等式，进而判定其形状，但在选择转化为边或是角的关系上，要进行探索．【范例2】ABC ∆中，内角A .B .C 的对边分别为a .b .c ，已知a .b .c 成等比数列，且Bcos 4=（1）求C A cot cot +的值；（2）若23=⋅BCBA ，求c a +的值 解析（1）由B cos 43=得47sin =B ，由ac b =2得C A B sin sin sin 2=，()B C A C A A C A C C C A A C A 2sin sin sin sin sin cos cos sin sin cos sin cos cot cot +=+=+=+ 774sin 1sin sin 2===BB B（2）由23=⋅BC BA 得：23cos =⋅B ac ，因B c o s 43=，所以：2=ac ，即：2=b 由余弦定理B ac c a b cos 2222⋅-+=得5cos 2222=⋅+=+B ac b c a于是：()9452222=+=++=+ac c a c a 故c a +=【点晴】 以三角形为载体，以三角变换为核心，结合正弦定理和余弦定理综合考查逻辑分析和计算推理能力是高考命题的一个重要方向，因此要特别关注三角函数在解斜三角形中的灵活应用.【文】在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，272cos 2sin 42=-+A C B . (1)求角A 的度数；(2)若a =3，b +c =3，求b 和c 的值.解析27(1)4s i n c o s 2180,:22B CA ABC +-=++=︒由及得 22272[1cos()]2cos 1,4(1cos )4cos 5214cos 4cos 10,cos ,20180,60B C A A A A A A A A -+-+=+-=-+=∴=︒<<︒∴=︒即22222222(2):cos 211cos ()3.2223123: 2 :.221b c a A bcb c a A b c a bc bc b c b b a b c bc bc c c +-=+-=∴=∴+-=+===⎧⎧⎧+==⎨⎨⎨===⎩⎩⎩由余弦定理得代入上式得由得或 【点睛】正弦定理和余弦定理在解斜三角形中应用比较广泛.【范例3】已知△ABC 的周长为6，,,BC CA AB成等比数列，求（1）△ABC 的面积S 的最大值；（2）BA BC的取值范围．解析 设,,BC CA AB依次为a ，b ，c ，则a+b+c=6，b²=ac ．在△ABC 中得2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=, 故有03B π<≤．又6,22a c bb +-=≤=从而02b <≤．（１）22111sin sin 2sin 2223S ac B b B π==≤⋅⋅=max S ．（２）22222()2cos 22a cb ac ac b BA BC ac B +-+--===222(6)3(3)272b b b --==-++． 02,b <≤ 218B AB C ∴≤<． 【点睛】 三角与向量结合是高考命题的一个亮点.问题当中的字母比较多，这就需要我们采用消元的思想，想办法化多为少，消去一些中介的元素，保留适当的主变元．主变元是解答问题的基本元素，有效的控制和利用对调整解题思路是十分有益处的．【变式】在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c, △ABC 的外接圆半径R=3，且满足BCA B C sin sin sin 2cos cos -=. (1) 求角B 和边b 的大小；(2) 求△ABC 的面积的最大值。

解析 (1) 由BCA B C sin sin sin 2cos cos -=整理得sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB ∴sin(B+C)= 2sinAcosB ∴sinA =2sinAcosB ∴cosB=21 ∴B=3π∵ b=2RsinB ∴b=3(2)∵ABC ∇S =)32sin(sin 33sin sin 3sin 212A A C A R B ac -==π⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=21)62sin(233πA ∴当A=3π时, ABC ∇S 的最大值是439 ．【点睛】三角函数的最值问题在三角形中的应用【点晴】 运用解三角形的知识解决实际问题时，关键是把题设条件转化为三角形中的已知元素，然后解三角形求之．★★★自我提升1．在直角三角形中，两锐角为A 和B ，则sinA·sinB( B ) （A ）.有最大值21和最小值 （B ）.有最大值21但无最小值（C ）.既无最大值也无最小值 （D ）.有最大值1但无最小值2．已知非零向量AB 与AC 满足().0ABAC BC AB AC +=且1..2AB AC AB AC = 则ABC ∆为（ D ）（A ）等边三角形 （B ）直角三角形（C ）等腰非等边三角形 （D ）三边均不相等的三角形3．△ABC 中，3sinA+4cosB=6，3cosA+4sinB=1，则∠C 的大小是 （ A ）（A ）6π （B ）56π （C ）6π或56π（D ）3π或23π4.一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为( A ) (A)arccos215- (B)arcsin 215- (C)arccos 251- (D)arcsin 251- 5. 已知a +1，a +2，a +3是钝角三角形的三边，则a 的取值范围是 . （0，2）6．已知定义在R 上的偶函数)(x f y =在区间),0[+∞上单调递增,若,0)21(=fABC ∆的内角A 满足,0)(cos <A f ,则A 的取值范围是 ___ ]2,3(ππ),32(ππ7．数列{a n }中，首项a 1＝2，前n 项和为S n ，且*14(38)8(3,)n n tS t S t t n N +-+=<-∈. （1）判断数列{a n }是否为等比数列，并证明你的结论？（2）若对每个正整数n ，以a n ，a n+1，a n+2为边长都能构成三角形，求t 的取值范围。