2017-2018学年四川省遂宁市射洪中学高二上学期数学期中试卷带解析(理科)

2017-2018学年四川省遂宁市射洪中学高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求）1．（5分）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）A．B．C．D．2．（5分）下列命题正确的是（）A．经过三点确定一个平面B．经过一条直线和一个点确定一个平面C．四边形确定一个平面D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面3．（5分）如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的（）A．B．C．D．4．（5分）已知直线a、b、c及平面α，保证a∥b的条件是（）A．a⊥α，b∥α B．a⊥c，b⊥c C．a⊥α，b⊥α D．a，b与α成等角5．（5分）已平面α和任意一条直线l，总能在平面α内找到一条直线，使之与直线l（）A．平行B．相交C．异面D．垂直6．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（）A．B．C．D．7．（5分）空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB、BC、CD、AD各边的中点，四边形EFGH是矩形，则异面直线AC与BD所成的角（）A．90°B．60°C．45°D．30°8．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A 1B1C1中，底面△是等边三角形，且AB=，AA1=，则二面角A1﹣BC﹣A的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°9．（5分）已知点A（1，3）、B（﹣2，﹣1），若过点P（2，1）的直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．k≥B．k≤﹣2 C．k或k≤﹣2 D．﹣2≤k≤10．（5分）A是二面角α﹣l﹣β的面α内一点，AB⊥平面β于点B，AB=，A 到l的距离为2，则二面角α﹣l﹣β的平面角大小为（）A．30°B．60°C．60°或120°D．30°或150°11．（5分）点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB=BC=2，AC=2，若四面体ABCD体积的最大值为，则该球的表面积为（）A．B．8πC．9πD．12π12．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A．[，1]B．[，1]C．[，]D．[，1]二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知一条直线经过点P（﹣2，），Q（﹣1，0），直线PQ倾斜角．14．（5分）长方体的一个顶点上的三条棱分别是3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积为．15．（5分）如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为．16．（5分）已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：①若l垂直于α内两条相交直线，则l⊥α；②若l平行于α，则l平行于α内所有的直线；③若m⊂α，l⊂β且l⊥m，则α⊥β；④若l⊂β且l⊥α，则α⊥β；⑤若m⊂α，l⊂β且α∥β，则l∥m．其中正确命题的序号是．三.解答题（本小题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）过点M（﹣2，m），N（m，4）的直线的斜率等于1，求m的值．（2）已知平行四边形ABCD，其中A（1，1），B（3，0），C（5，2）．求D点坐标．18．（12分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、CD和SC的中点．求证：（1）直线EG∥平面BDD 1B1；（2）平面EFG∥平面BDD1B1．19．（12分）如图所示，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．（1）求证：平面MOC⊥平面VAB；（2）求三棱锥V﹣ABC的体积．20．（12分）四棱锥P﹣ABCD的四条侧棱长相等，底面ABCD为正方形，M为PB的中点．（1）求证：PD∥平面ACM；（2）若PA=AB，求异面直线PD与DM所成角的正弦值．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，且DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD=CD=1，，（Ⅰ）证明PA∥平面BDE；（Ⅱ）证明AC⊥平面PBD；（Ⅲ）求直线BC与平面PBD所成的角的正切值．22．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1B=B1A=AB=BC，∠B1BC=90°，D 为AC的中点，AB⊥B1D．（Ⅰ）求证：平面ABB1A1⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线B1D与平面ACC1A1所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角B﹣B1D﹣C的余弦值．2017-2018学年四川省遂宁市射洪中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求）1．（5分）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）A．B．C．D．【解答】解：被截去的四棱锥的三条可见棱中，在两条为长方体的两条对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面（长方形）的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有D符合．故选：D．2．（5分）下列命题正确的是（）A．经过三点确定一个平面B．经过一条直线和一个点确定一个平面C．四边形确定一个平面D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面【解答】解：A、根据公理2知，必须是不共线的三点确定一个平面，故A不对；B、根据一条直线和直线外的一点确定一个平面知，故B不对；C、比如空间四边形则不是平面图形，故C不对；D、两两相交且不共点的三条直线，则三个交点不共线，故它们确定一个平面，由公理1知三条直线都在此平面内，故D正确．故选：D．3．（5分）如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的（）A．B．C．D．【解答】解：设直观图中与x′轴和y′轴的交点分别为A′和B′，根据斜二测画法的规则在直角坐标系中先做出对应的A和B点，再由平行与x′轴的线在原图中平行于x轴，且长度不变，作出原图如图所示，可知是图C．故选：C．4．（5分）已知直线a、b、c及平面α，保证a∥b的条件是（）A．a⊥α，b∥α B．a⊥c，b⊥c C．a⊥α，b⊥α D．a，b与α成等角【解答】解：由直线a、b、c及平面α，知：在A中，a⊥α，b∥α，则a⊥b，故A错误；在B中，a⊥c，b⊥c，则a与b相交、平行或异面，故B错误；在C中，a⊥α，b⊥α，由线面垂直的性质定理得a∥b，故C正确；在D中，a，b与α成等角，则a与b相交、平行或异面，故D错误．故选：C．5．（5分）已平面α和任意一条直线l，总能在平面α内找到一条直线，使之与直线l（）A．平行B．相交C．异面D．垂直【解答】解：当直线l∥α时，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直，当直线l⊂α时，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直，当直线l与平面α相交时，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直．∴平面α和任意一条直线l，总能在平面α内找到一条直线，使之与直线垂直．故选：D．6．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（）A．B．C．D．【解答】解：因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，侧面B1BCC1，经过球的球心，球的直径是其对角线的长，因为AB=3，AC=4，BC=5，BC1=，所以球的半径为：．故选：C．7．（5分）空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB、BC、CD、AD各边的中点，四边形EFGH是矩形，则异面直线AC与BD所成的角（）A．90°B．60°C．45°D．30°【解答】解：∵空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB、BC、CD、AD各边的中点，∴EF∥AC，EH∥BD，∴∠FEG是异面直线AC与BD所成的角（或所成角的补角），∵四边形EFGH是矩形，∴∠FEG=90°，∴异面直线AC与BD所成的角为90°．故选：A．8．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△是等边三角形，且AB=，AA1=，则二面角A1﹣BC﹣A的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：如图，取BC中点D，连接AD，A1D，∵△ABC为正三角形，则AD⊥BC，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴A1A⊥平面ABC，则A1A⊥BC，又A1A∩AD=A，∴BC⊥平面A1AD，则A1D⊥BC，∴∠A1DA为二面角A1﹣BC﹣A的平面角，在等边三角形ABC中，由AB=，可得，又AA1=，∴∠A1DA=45°．即二面角A1﹣BC﹣A的大小为45°．故选：B．9．（5分）已知点A（1，3）、B（﹣2，﹣1），若过点P（2，1）的直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．k≥B．k≤﹣2 C．k或k≤﹣2 D．﹣2≤k≤【解答】解：点A（1，3）、B（﹣2，﹣1），若过点P（2，1）的直线l与线段AB相交，∴k AP==﹣2，k BP==，∴直线l的斜率﹣2≤k≤故选：D．10．（5分）A是二面角α﹣l﹣β的面α内一点，AB⊥平面β于点B，AB=，A到l的距离为2，则二面角α﹣l﹣β的平面角大小为（）A．30°B．60°C．60°或120°D．30°或150°【解答】解：由题意可知A是二面角α﹣l﹣β的面α内一点，AB⊥平面β于点B，AB=，A到l的距离为2，如图：AO⊥l于O，因为AB⊥平面β于点B，连结OB，所以∠AOB是二面角α﹣l﹣β的平面角，或补角，所以sin∠AOB=，∴∠AOB=60°或120°．故选：C．11．（5分）点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB=BC=2，AC=2，若四面体ABCD体积的最大值为，则该球的表面积为（）A．B．8πC．9πD．12π【解答】解：根据题意知，△ABC是一个直角三角形，其面积为2．其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q，不变，高最大时体积最大，四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S△ABC×DQ=，所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为×S△ABCS△ABC=AC•BQ==2．即××DQ=，∴DQ=2，如图．设球心为O，半径为R，则在直角△AQO中，OA2=AQ2+OQ2，即R2=（）2+（2﹣R）2，∴R=则这个球的表面积为：S=4π（）2=9π；故选：C．12．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A．[，1]B．[，1]C．[，]D．[，1]【解答】解：由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪．不妨取AB=2．在Rt△AOA1中，==．sin∠C1OA1=sin（π﹣2∠AOA1）=sin2∠AOA1=2sin∠AOA1cos∠AOA1=，=1．∴sinα的取值范围是．故选：B．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知一条直线经过点P（﹣2，），Q（﹣1，0），直线PQ倾斜角120°．【解答】解：设直线PQ的倾斜角为θ，则tanθ==﹣，θ∈[0°，180°）．∴θ=120°．故答案为：120°．14．（5分）长方体的一个顶点上的三条棱分别是3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积为50π．【解答】解：设球的半径为R，由题意，球的直径即为长方体的体对角线的长，则（2R）2=32+42+52=50，∴R=．∴S=4π×R2=50π．球故答案为：50π．15．（5分）如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为60°．【解答】解：∵四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，∴AB、AD、AQ两两垂直，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AQ为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=1，则A（0，0，0），P（0，1，1），B（1，0，0），D（0，1，0），=（0，1，1），=（﹣1，1，0），设异面直线AP与BD所成的角为θ，则cosθ===，∴θ=60°．∴异面直线AP与BD所成的角为60°．故答案为：60°．16．（5分）已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：①若l垂直于α内两条相交直线，则l⊥α；②若l平行于α，则l平行于α内所有的直线；③若m⊂α，l⊂β且l⊥m，则α⊥β；④若l⊂β且l⊥α，则α⊥β；⑤若m⊂α，l⊂β且α∥β，则l∥m．其中正确命题的序号是①④．【解答】解：若l垂直于a内的两条相交直线，则l⊥α，故①正确，若l∥α，则l行于α内的大部分直线，还与一部分直线是异面关系，故②不正确，若m⊂α，l⊂β，且l⊥m，则α⊥β或平行或斜交，故③不正确，若l⊂β，且l⊥α，则α⊥β；这是面面垂直的判定定理，故④正确若m⊂α，l⊂β且α∥β，则m∥l或异面，故⑤不正确，总上可知有1个命题正确，故选B．故正确命题的序号是①④．三.解答题（本小题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）过点M（﹣2，m），N（m，4）的直线的斜率等于1，求m的值．（2）已知平行四边形ABCD，其中A（1，1），B（3，0），C（5，2）．求D点坐标．【解答】解：（1）由题意可得：=1，解得m=1．（2）由平行四边形的性质可得：，可得=+=（1，1）+（5，2）﹣（3，0）=（3，3）．∴D（3，3）．18．（12分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、CD和SC的中点．求证：（1）直线EG∥平面BDD1B1；（2）平面EFG∥平面BDD1B1．【解答】证明：（1）如图，连结SB，∵E、G分别是BC、SC的中点，∴EG∥SB，又SB⊂平面BDD1B1，EG不包含于平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1．（2）如图，连结SD，∵F，G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD，又SD⊂平面BDD1B1，FG不包含于平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1，又直线EG∥平面BDD 1B1，且直线EG⊂平面EFG，直线FG⊂平面EFG，EG∩FG=G，∴平面EFG∥平面BDD1B1．19．（12分）如图所示，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．（1）求证：平面MOC⊥平面VAB；（2）求三棱锥V﹣ABC的体积．【解答】证明：（1）∵AC=BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB，又∵平面VAB⊥平面ABC，平面ABC∩平面VAB=AB，且OC⊂平面ABC，∴OC⊥平面VAB，∵OC⊂平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB；解：（2）等腰直角三角形ACB中，AC=BC=，∴AB=2，OC=1，∴等边三角形VAB的边长为2，S=，△VAB又∵OC⊥平面VAB，=V C﹣VAB=××1=．∴三棱锥V﹣ABC的体积V V﹣ABC20．（12分）四棱锥P﹣ABCD的四条侧棱长相等，底面ABCD为正方形，M为PB的中点．（1）求证：PD∥平面ACM；（2）若PA=AB，求异面直线PD与DM所成角的正弦值．【解答】证明：（1）连接OM，正方形ABCD中，OB=OD，又M为PB中点，∴PD∥OM，∵OM⊂平面ACM，PD不在平面ACM内，∴PD∥平面ACM．…（4分）解：（2）由（1）知，异面直线PD与CM所成的角，即OM与CM所成的角，即∠OMC，令PA=AB=2，则，，又PC=PB=PA=2=BC，∴△PBC为正三角形，，在△OMC中，由OM2+OC2=MC2，∴OM⊥OC，∴．故异面直线PD与DM所成角的正弦值为．…（12分）21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，且DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD=CD=1，，（Ⅰ）证明PA∥平面BDE；（Ⅱ）证明AC⊥平面PBD；（Ⅲ）求直线BC与平面PBD所成的角的正切值．【解答】解：（1）证明：设AC∩BD=H，连接EH，在△ADC中，因为AD=CD，且DB平分∠ADC，所以H为AC的中点，又有题设，E为PC的中点，故EH∥PA，又HE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，所以PA∥平面BDE（2）证明：因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC由（1）知，BD⊥AC，PD∩BD=D，故AC⊥平面PBD（3）由AC⊥平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影，所以∠CBH为直线与平面PBD所成的角．由AD⊥CD，AD=CD=1，DB=2，可得DH=CH=在Rt△BHC中，tan∠CBH=，所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为．22．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A 1B1C1中，B1B=B1A=AB=BC，∠B1BC=90°，D 为AC的中点，AB⊥B1D．（Ⅰ）求证：平面ABB1A1⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线B1D与平面ACC1A1所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角B﹣B1D﹣C的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取AB中点为O，连接OD，OB1．因为B1B=B1A，所以OB1⊥AB．又AB⊥B1D，OB1∩B1D=B1，所以AB⊥平面B1OD，因为OD⊂平面B1OD，所以AB⊥OD．…（2分）由已知，BC⊥BB1，又OD∥BC，所以OD⊥BB1，因为AB∩BB1=B，所以OD⊥平面ABB1A1．又OD⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABB1A1．…（4分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，OB，OD，OB1两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的方向，为单位长度1，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．由题设知，D（0，1，0），A（﹣1，0，0），C（1，2，0），．则，，．设平面ACC1A1的法向量为=（x，y，z），则，，即x+y=0，，可取=．…（6分）设直线B1D与平面ACC1A1所成角为θ，故．…（7分）（Ⅲ）解：由题设知B（1，0，0），可取平面BB1D的法向量=，…（8分）平面B1DC的法向量=，…（9分）故cos＜，＞=，…（11分）所以二面角B﹣B1D﹣C的余弦值为．…（12分）。