高一数学平面与平面垂直1- 中小学ppt课件
高一数学教学课件人教A版必修二 平面与平面垂直的性质

二、怎样证线线垂直:
1.利用平面几何中的定理:半圆上的圆周角是
直角、勾股定理的逆定理……
2.利用平移:a⊥b,b∥ca⊥c;
3.利用线面垂直定义:a⊥α,bαa⊥b;
4.利用三垂线定理或其逆定理(以后学);
……
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2.面面垂直的判定定理:
一个平面过另一个平
面的垂线,则这两个平面 垂直。
a
a a
探究
A1 A
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面面垂直的性质
D1
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α
F
B1
D
C1
D
E
B
C
β
如果α⊥β
(1) α里的直线都和β垂直吗?
规律小结
一、怎样证线线平行:
1.利用平面几何中的定理:三角形(或
梯形)的中位线与底边平行、平行四边形的 对边平行、利用比例、…… 2.利用公理4; 3.利用线面平行的性质定理; 4.利用面面平行的性质定理; 5.利用线面垂直的性质定理;
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例 , a , a , 判断a与 位置关系 α 解:设 l
在α内作直线b⊥l
b l a β l b b 又a a // b a // b bl
在γ内过A点作直线 a ⊥n, 在γ内过A点作直线 b⊥m,
l β α
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a γ
m b A
n
高一数学人教A版必修2232平面与平面垂直的判定.ppt

[知识拓展](1)二面角的平面角的大小是由二面角的两个面 的位置唯一确定的,与选择棱上的点的位置无关.
(2)平面角的两边分别在二面角的两个面内,且两边都与 二面角的棱垂直,这个角所确定的平面与棱垂直.
第二章 2.3 2.3.2
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角A-BC-A1的平面 角是( )
第二章 2.3 2.3.2
已知Rt△ABC中,AB=AC=1,AD是斜边BC上的高,以 AD为折痕将△ABD折起,使∠BDC成直角.
求证:(1)平面ABD⊥平面BDC,平面ACD⊥平面BDC; (2)∠BAC=60°.
第二章 2.3 2.3.2
[证明] (1)如图(1),∵AD⊥BC,
第二章 2.3 2.3.2
∴BC= 2BD= 2× 22=1. ∴AB=AC=BC.∴∠BAC=60°.
第二章 2.3 2.3.2
建模应用之路
第二章 2.3 2.3.2
命题方向 二面角的实际应用 [例3] 如图:一山坡的坡面与水平面成30°的二面角, 坡面上有一直道AB,它和坡脚的水平线成30°的角,沿这山 路行走20m后升高了多少米?
[答案] D
第二章 2.3 2.3.2
7.如图,△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三 角形,且AD=BD=CD,∠BAC=60°,则直线AD⊥平面 BDC ;直线BD⊥平面ADC;直线CD⊥平面ABD .
[答案] BDC ADC ABD
第二章 2.3 2.3.2
新课引入
第二章 2.3 2.3.2
命题方向 面面垂直的判定 [例2] 如图所示,已知△ABC中,∠ABC=90°,P为△ ABC所在平面外一点,PA=PB=PC.求证平面PAC⊥平面 ABC.
2.3.2.2平面与平面垂直的判定定理

C是圆周上不同于A、B的任意一点,
求证:平面PAC⊥平面PBC.
P
证明: 设⊙O所在平面为
∵
PA , BC ∴ PA BC
又∵ AB为圆的直径 ∴ AC BC
∵ PA AC A
C
A
O
B
PA 面PAC, AC 面PAC
∵ BC 面PBC ∴ 面PAC 面PBC
“线面垂直,则面面垂直”
课堂作业
P74 习题2.3 B组 1
练习:
1.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为a的
正方形,侧棱 PD a, PA PC 2a:平面PAC⊥平面PBD;
(3)求证:∠PCD为二面角P-BC-D的平面角.
2. 如图,四棱锥P-ABCD的底面为矩形, PA⊥底面ABCD,PA=AD,M为AB的中点, 求证:平面PMC⊥平面PCD.
C β α A B D
E
则∠ABE是二面角-CD-的平面角,
而AB⊥BE,故-CD-是直二面角. ∴⊥ .
注意:两个平面垂直的判定定理,不仅是判定两个
平面互相垂直的依据,而且是找出垂直于一个平面的 另一个平面的依据. 如:建筑工人在砌墙时,常用一端系有铅锤的线来检 查所砌的墙面是否和水平面垂直,实际上,就是依据 这个原理.
P
F
E
D A M B
C
3. 如图,已知 PA 矩形ABCD所在平面,M、N 分别是AB、PC的中点 MN CD; (1)求证: (2)若PDA 45 ,求证:平面AMN 面PCD
P E N A
D
C
M
B
4.在四面体ABCD中,已知AC⊥BD, ∠BAC=∠CAD=45°,∠BAD=60°, 求证:平面ABC⊥平面ACD.
2022-2023学年高一数学:空间中直线、平面的垂直课件

(方法 2)分别以 DA,DC,DD1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间
直角坐标系.
1
则 D1(0,0,1),M 1,1, 2 ,
1
B1(1,1,1),E 1, 2 ,0 ,
F
1
2
,1,0 ,
于是1 = 1,1,-
1
2
,
1
1
2
2
1
1 = 0,- ,-1 , 1 = - ,0,-1 ,
(逻辑推理)
3.能用向量方法证明空间中直线、平面的垂直关系.(逻辑推理)
知识回顾
1.空间中点、直线和平面的向量表示
(1)点→点+位置向量 OP
(2)线→点+方向向量 ①OP =OA t a ②OP =OA t AB
(3)平面→点+法向量 {P | a AP =0}
2.空间中直线、平面的平行
直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直;二是直接求解两个平面的法向量,由两个法向量
垂直,得面面垂直.
2.向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系,恰当建系或用基向量
表示后,只需经过向量运算就可得到要证明的结果,思路方法“公式化”,降低了思维难度.
跟踪训练
练一练
2.如图,在五面体ABCDEF中,FA⊥平面ABCD,
2 ·1 = 0,
1
则
⇒
-22 + 2 = 0,
2 · = 0
2
令 z2=4,得 x2=1,y2=-1.∴n2=(1,-1,4).
∵n1·n2=1×1+1×(-1)+0×4=0,
∴n1⊥n2,∴平面 AEC1⊥平面 AA1C1C.
8.6.3第1课时平面与平面垂直的判定定理课件高一下学期数学人教A版

探究新知
观察 建筑工人在砌墙时,常用铅锤来检测所砌的墙面与水平 面是否垂直.如果系有铅锤的细线紧贴墙面,工人师傅就认为 墙面垂直于水平面,否则他就认为墙面不垂直于水平面.你能 明白这种方法的道理吗?
No
Image
猜想: 如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线,
那么这两个平面互相垂直.
探究新知
已知:AB , AB (图1) 求证:
受此启发,你认为应该怎样刻画二面角的大小呢?
β
α
以二面角的棱上任意一点为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱 的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
探究新知
二面角的平面角说明:
(1)角的顶点在棱上;
B
(2)角的两边分别在两个面内;
β
(3)角的边都垂直于二面角的棱。
lO
A α
A
A
l
O
B
O B
猜想: 如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线,
那么这两个平面互相垂直.
探究新知
5.平面与平面垂直的判定定理
如果一个平面过另一个平面的一条垂线,那么这 两个平面垂直.
a a
简记:线面垂直
a
面面垂直
例题讲解
例1:已知:如图, 正方体ABCD-A'B'C'D'. 求证:平面A′BD⊥平面ACC'A'.
使G1,G2,G3三点重合,重合后记为G- SEF,则四面体S-EFG中
必有( ).
A.SG⊥△EFG所在平面
S
G3
B.SD⊥△EFG所在平面 F
C.GF⊥△SEF所在平面
D
D.GD⊥△SEF所在平面 G1
平面与平面垂直 (第2课时)平面与平面垂直的性质(课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)

A
C
B
从本节的讨论可以看到,由直线与直线垂直可以判定直线与平面垂直;由直 线与平面垂直的定义可以得到直线与直线垂直;由直线与平面垂直可以判定 平面与平面垂直;而由平面与平面垂直的性质可以得到直线与平面垂直.这 进一步揭示了直线、平面之间的位置关系可以相互转化.
判定 直线与直线垂直
判定 直线与平面垂直
P
A
C
D
O
B
6. 如图, 在正方体ABCD ABCD中, 平面ABCD与正方体的各个面 所在的平面所成的二面角大小分别是多少?
平面ABCD与平面ABB平面ADDA, 平面BCCB所成的二面角均为90
D A
C B
D A
C B
位置关系.
解:在内作垂直于与 交线的直线b.
,b .
又a ,a / / b 又a , b ,a // . 即直线a与平面 平行.
b
a
图8.6-32
环节五:课堂练习,巩固运用
例10 如图,已知PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC, 求证: BC⊥平面PAB.
分析:要证明BC⊥平面PAB,需证明BC垂直于平面PAB内的两条相交直 线.由已知条件易得BC⊥PA.再利用平面PAB⊥平面PBC,过点A作PB的垂
P a
bc
a
bc
P
图8.6-31
环节四:辨析理解,深化概念
对于两个平面互相垂直的性质,我们探究了一个平面内的直线与另一个平面
的特殊位置关系如果直线不在两个平面内,或者把直线换成平面,你又能得
到哪些结论?
下面的例子就是其中的一些结果.
例9 如图8.6 32,已知平面 平面 , 直线a , a , 判断a与的
(1)过平面外一点,有且只有一条直线与这个平面垂直.
8.6.3平面与平面垂直(第一课时)课件高一下学期数学人教A版

类似结论也可以在长方体中发现.如图,在长方体ABCDA'B'C'D'中,平面ADD'A'经过平面ABCD的一条垂线AA',此时, 平面ADD'A'垂直于平面ABCD.
新课引入 探究新知识
平面与平面垂直的判定定理:
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那 么这两个平面互相垂直.
B A
O
思考2:在二面角的平面角的定义中O点是在棱上任取的,那么∠AOB的大小与点O在棱上的位置有 关系吗?
新课引入 探究新知识
思考3 二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二 面角是多少度.
平面角是直角的二面角叫做直 二面角.
二面角的大小α的取值 范围是0°≤α≤180°.
线面角
新课引入 探究新知识
像研究直线与平面垂直一样,我们首先应给出平面与平面垂直的定义,那么,该 如何定义呢?不妨回顾一下直线与平面垂直、直线与直线垂直的定义过程. 在定义直线与平面垂直时,我们利用了直线与直线的垂直.所以,直线与直线垂直是研 究直线、平面垂直问题的基础.
在平面几何中,我们先定义了角的概念,利用角刻画两条相交直线的位置关系, 进而研究直线与直线互相垂直这种特殊情况,类似地,我们需要先引进二面角的概念, 用以刻画两个相交平面的位置关系,进而研究两个平面互相垂直.
新课引入 探究新知识
二面角
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角 的棱,这两个半平面叫做二面角的面.
记法:
①棱为AB,面为α、β的二面角记作二面角α-AB-β. ②也可在α、β内(棱以外的半平面部分)分别取点P、 Q,将这个二面 角记作二面角P-AB-Q.
高一数学 直线与平面垂直的性质课件

b
l
Ⅱ.概括结论
l bl
该命题正确吗? b b b 简述为: b
面面垂直 线面垂直
Ⅲ.知识应用
练习1:判断正误。
已知平面α⊥平面β,α∩
β=l下列命题
(1)平面α内的任意一条直线必垂直于平面β ( ×)
(2)垂直于交线l的直线必垂直于平面β ( ×)
3、线线、线面、面面之间的关系的转化是解 决空间图形问题的重要思想方法。
D1 B1
C1
A1
D
C
A
B
AA1 平面AC AA1 // CC1 CC1 平面AC
直线和平面垂直的性质定理:
垂直于同一个平面的两条直线平行.
已知:a⊥α, b⊥α 求证:a∥b.
分析: 证明线线平行有哪些方法? 此处该如何证明? 直接证明如果困难该怎么办? 证明: 假定b与a不平行 我们可以考虑从反面入手,看看如果 a、b不平行 设b∩ α =O,b′是经过点O与直线a平行的直线, 会有什么矛盾?这种方法在数学上叫什么法? ∵ a∥b′,a⊥α , 你知道用反证法证明命题的一般步骤吗? ∴b′⊥ α. 经过同一点O的两条直线b,b′都垂直于平面α 是不 可能的. 否定结论→推出矛盾→肯定结论 因此,a∥b.
B
解题反思
1、面面垂直的性质定理给我们提供了一 种证明线面垂直的方法 2、本题充分地体现了面面垂直与 线面 垂直之间的相互转化关系。
面面垂直
性质定理 判定定理
线面垂直
1、平面与平面垂直的性质定理:
l b bl
b
2、证明线面垂直的两种方法: 线线垂直→线面垂直;面面垂直→线面垂直
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负队得0分 比赛结果 各队得分恰好是四个连续自然数 问 输给一名的队的总分是多少?(要求说明理由)11.有两条绳子 他们的长度相等 但粗细不同 如果从两条的一端点燃 细绳子40分钟可以燃尽 而粗绳子120分钟才燃尽 一次 把两条的一端同时点燃用χ 2,6和12这四个数组成比例 χ不可能是( ) A 1 B 3 C 43 100本第十二册小学数学教书的厚度最接近( ) A 7毫米 B 7厘米 C 7分米 D 7米4 下列图形中 对称轴条数最多的是( ) 三 应用题 1 一个长方体木箱 体积是324立方分米0.036 = 2 求未知数 (4分) ∶∶3 简便计算 (4)4.75-+6.25-4 请细心计算(9分 每题3分) 90.72÷7.2-5.3×2.04 19÷[(+)÷] ÷(-)×(-)5 列出方程或算式 并计算出结果 (6分)(1) 与的积加上4除的商 和是多少? (2) 一个数的50%比24的多6解决问题 (25分)1 水果店有桔子72千克 桔子是香蕉的 香蕉有多少千克?2 图书馆有科技书400本 比故事书少 故事书有多少本?3 一列火车从甲地开往乙地 已经行了全程的 距离乙地还有245千米 甲乙两地之间的距离是多少千米?4 养殖场有鸡360只乙舰开出1小时后 甲舰才开出 再经过4小时两舰相遇 两个港口相距多少千米?(7)张明家原来每月用水28吨 使用节水龙头后 原来一年用的水 现在可以多用2个月 现在每个月用水多少吨?(8)有一桶油 已经用去了全部的2/5 桶里还剩48千克教学重点能按给定的比例尺求相应的实际距离或图上距离 教学难点感知不同领域数学内容的内在联系 增强用数和图形描述现实问题的意识和能力 设计理念 本课时主要是学生在对比例尺含义理解的基础上 进一步体会比例尺的运用分米)(1)你选择的材料是( )号 (2)你选择的材料制成水桶的容积是多少升?7 一种儿童玩具——陀螺(如下图) 上面是圆柱体 下面是圆锥体 经过测试 只有当圆柱直径3厘米高4厘米 圆锥的高是圆柱高的时 才能旋转时稳又快如果从甲仓库运走1/5 这时甲仓剩下的货物就是乙仓的2/3 两仓库原存货物甲仓是( )乙仓是( ) 10.张老师给小朋友分糖果 每个小朋友分6粒则最后多4粒 每个小朋友分8粒则最后少10粒 有( )个小朋友 ( )粒糖果 11.某工地有工人950人小学数学十一册期末检测卷一 当回 小法官 仔细判一判 对的在括号里 √ 错的打 × 4分1 比的前项和后项都乘以或除以一个数 比值不变 ( )2 加工一个零件 师傅要8分钟徒弟要10分钟 徒弟比师傅的工效慢20% ( )3 4米增加它的后 再减少 结果还是4米18是( )的1倍 ( )比18多15% 11 甲数是甲 乙两数和的 甲数比乙数少 二判断题 (6分)1 分母是100的分数就是百分数 ( ) 2 已知X×=1 那么X和Y互为倒数 ( )3 4米增加它的后 再减少 结果还是4米 ( )4 圆内最长的线段是直径 ( ) 5这幅图的比例尺是_________________;在这幅地图上量得北京到上海的距离是4.2厘米 北京到上海的实际距离是_________千米 4 把4米长的绳子平均分成7段 每段是全长的________ 每段长_________米 5 5时= 时 分 1500毫升= 升6把它分解质因数是( ) (9)一项工程 甲单独做要6小时完成 乙单独做要9小时完成 甲乙合做2小时 完成了这项工程的( ) 余下的由甲单独做 还要( )小时完成 (10)一串数按1 1 2 2 3 3 4 4 5 5,…… 从左面第一个数起 第35个数是()发现油箱里的油还剩下 请你帮他算一算 如果中途不加油 他能驾车到达乙城吗?6.某市有一项工程举行公开招标 有甲 乙 丙三家公司参加竞标 三家公司的竞标条件如下 公司名称 单独完成工程所需天数 每天工资(万元) 甲 10 5.6 乙 15 3.8 丙 30那么最后余下20块.问学生共有多少人?砖有多少块?79. 甲 乙两车分别从A B两地同时相向而行 已知甲车速度与乙车速度之比为4 3 C地在A B之间 甲 乙两车到达C地的时间分别是上午8点和下午3点 问甲 乙两车相遇是什么时间?80. 一次棋赛 记分方法是十进制计数法是世界各国常用的一种记数方法 特点是相邻两个单位之间的进率都是十 10个较低的单位等于1个相邻的较高单位 常说 满十进一 这种以 十 为基数的进位制 叫做十进制加法把两个数合并成一个数的运算 叫做加法 其中两个数都叫 加数一个长方体游泳池 长50米 宽40米 放满之后可以盛水6000立方米 这个游泳池的深是( ) 它的占地面积是( ) 5 开学了 六(1)班同学每人发到a本练习本 已知男生有25人 女生有23人 全班共发到练习本( )本 男生比女生多发到( )本 6宽4厘米的长方形纸剪一个最大的圆 这个圆的面积占这张纸面积的( )% 12.甲 乙 丙三种糖果每千克的价格分别是9元,7.5元,7元.现把甲种糖果5千克,乙种糖果4千克,丙种糖果3千克混合在一起,那么用10元可买_____千克这种混合糖果 13这幅图所表示的实际距离大于图上距离 4 选择 1 如果某图纸所用的比例尺小于1 那么这幅图所表示的图上距离( )实际距离 A.小于 B.大于 C.等于2 学校操场长100米宽60米 在练习本上画图 选用( )作比例尺较合适 A.1︰20 B.1︰2000C.1︰2003前20天已铺设了2 8千米 照这样计算 剩下的4 2千米 还要多少天才能铺完?(用比例解)2 一项工程 甲独做要10小时 乙独做要15小时 现在甲乙合做 多少小时可以完成?3 一种药水上把药粉和水按照1 100的比配成的 要配制这种药水4040千克底面半径和高 ( )(4) 4X—5Y=0 (X Y不等于0) X和Y ( )17 比的前项增加10% 要使比值不变 后项应乘1.1 ( )18 5名工人5小时加工了5个零件 则1名工人1小时加工1个零件 ( )19 在一个数的末尾添上两个0 原数就扩大100倍 ( )20)个这样的分数单位就和最小的质数相等 40 从甲城到乙城 货车要行5小时 客车要行6小时 货车的速度与客车的速度的比是( ) 货车的速度比客车的速度快( )% 41 甲数是乙数的60% 甲数比乙数少( )% 乙数比甲数多( / ) 42 一个数除以2 3都卖出了10个 甲店是九折优惠 而乙店是买10个免费送一个 问哪家店卖得便宜?6 一次有100人参加的考试中 老师出了5道题目 没有人做对4道题 各题解答正确的人数是 一题60人 二题62人 三题71人 四题65人 五题74人(1)限坐40人的大客车 每人票价5元 如满坐票价可打八折;(2)限坐10人的面包车每人票价6元 如满坐票价可按75%优惠 请你根据以上信息为六年级师生设计一种最省钱的租车方案 并算出总租金 (5分)椅子的价钱是多少元?(用不同的知识解答)10 枫叶服装厂接到生产一批衬衫的任务 前5天生产600件 完成了任务的40% 照这样计算 完成这项任务一共需要多少天?(用不同的知识解答)综合训练(一)1 一座大楼 计划投资120万元 实际投资节约了10%……… …………( )4 直线比射线长 ……………………………………………………( )5 如果一个三角形的底与一个平行四边形的底相等 高也相等 那么 三角形的面积是平行四边形面积的一半 ………………………( )五 如下图 (单位 厘米)中 平行四边形的面积是84平方厘米两堆煤一样多 原来乙堆比甲堆少( ) ① ② ③ 四 应用题 (一)只列式不计算 (4分×4=16分)1 操场上男生有120人 女生比男生多 女生有多少人?2 果园里有梨树300棵 比苹果树少 苹果树有多少棵?3 食堂十月份用煤4.5吨 十一月份比十月份节约这个长方体的表面积是()平方厘米 体积是()立方厘米 7.一个圆柱形水桶 桶的内直径是4分米 桶深5分米 现将47.1升水倒进桶里 水占水桶容积的()% 8.某车间有200人 某一天有10人缺勤 这天的出勤率是() 9.三年期国库券的年利率是2.4%他们第一次相遇后 甲的速度提高了20% 乙的速度提高了30% 这样 当甲到达B地时 乙离A地还有14千米 那么 A B两地的距离是多少千米?5 学校操场的400米跑道中套着300米的小跑道 大跑道与小跑道有200米路程相重填空题(1-13每题2分, 14-15每题 3分, 共 32分)1. 用一张边长是20厘米的正方形铁皮, 围成一个圆柱体, 这个圆柱体的侧面积是( ).2. 直圆柱的底面周长6.28分米, 高1分米, 它的侧面积是( )平方分米, 体积是( )立方分米.3.达标率 男生 女生 合计 3.育才学校,各年级人数如下 一年级189人, 二年级200人, 三年级201人, 四年级252人,五年级180人,六年级220人.根据各年级人数制成条形统计图.4.根据下面的统计图, 编制成一个统计表. 五爱小学各年级男 女生人数统计图六年级数学升学考试试题精选二一 填空题 1 找规律填数 1,2 4,7 11 ( )22,29 ( ) 46 2 一个偶数 各个数位上的数字之和是24 这个数最小是( )3 某商场购进篮球 排球和足球三种球 篮球占 排球占(χ为自然数) 足球有60只 三种球共有( )只基本价 收费 超过部分按 调节价 收费 某户居民今年3 4月份的用水量和水费如下表所示月份 用水量(立方米) 水费(元) 3 5 12.00 4 7.5 20.40 1请你算一算该市水费的 调节价 每立方米多少钱 2 若该户居民5月份用水量为8立方米 请你算一算减法的混合运算练习一【知识要点】分数除法和加 减法的混合运算 【课内检测】1 计算下面各题 能简便的用简便方法计算 2 列式计算 ①加上除以的商 和是多少?②除以与的和 商是多少?【课外训练】1 括号中可填写的整数有( ) ★2 有一个三位数仓库原有货物多少吨?7 甲乙二人共同完成242个机器零件 甲做一个零件要6分钟 乙做一个零件要5分钟 完成这批零件时 两人各做了多少个零件?附参考 一 填空题 1 ()(2 6004.8);2 (0.76)(68%);3 (990);4 ;5 (4a+3)(35);6圆柱体的体积是( ) ★★45.把一个周长是628厘米的圆平均分成四个扇形后 每个扇形的周长是( ) 面积是( ) ★★★46.用一根长16厘米的钢丝围成一个正方形 它的面积是( ) 围成一个长与宽的比是3∶1的长方形 它的面积是( )乙数是( ) 8 把5米长的绳子平均剪成8段 每段长是( ) 每段是全长的( ) 9603班今天有50人到校上课 有2人请假 603班今天的出勤率是( )% 10 一批零件 甲独做a天能完成 乙独做10天能完成 如果两人合作( )天完成任务;如果乙先做5天)5 东南方也可以说成南偏东或东偏南 ( )四 细心计算 (8+3+3+3+4=21分)1 X+60%X=48 X— X= 5 8=X 32 = 2 两个外项分别为24和5两个内项为X和15 求另一个内项 3 求下列圆柱体的表面积 (单位 厘米) 4 将下面的三角形绕AB边旋转一圈还能表示出数量增减变化的情况 如果当a不变时 ( ) A.b和c成正比例 B.b和c成反比例如果当b不变时 ( ) A.a和c成正比例 B.a和c成反比例解 B对(a不变)A对(b不变) 【解题关键和提示】A.x是y的倍数 B.y是x的约数C.x是y的约数( )9.乘积是1的两个数叫做互为倒数 ------------------------------ ( )三 选择题 (5分)1.比50的少3的数是多少?正确列式是------------------------- ( )①50×+3 ②(50+3)×它的体积和高成正比例 ( )三 选择 1 ( )数的倒数都比原数小 (1)真分数(2)假分数 (3)带分数2 一根钢管 第一次锯去1/8米 第二次据去1/8米 较长的一段是( )锯去的 (1)第一次(2)第二次(3)无法判断3 一个三角形有两个角的度数相等。