2016年高考数学总复习第三章三角函数与解三角形练习理

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高考数学(理)总复习：解三角形(解析版)

高考数学（理）总复习：解三角形题型一利用正、余弦定理解三角形【题型要点解析】关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．【例1】△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2，(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .【解析】 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π，sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0，解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎪⎭⎫ ⎝⎛+17151 ＝4.所以b ＝2.题组训练一利用正、余弦定理解三角形1．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝2，S △ABC＝2，则b 的值为( )A.3B.322 C ．2 2D ．2 3【解析】 ∵在锐角△ABC 中，sin A ＝223，S △ABC ＝2，∴cos A ＝1－sin 2A ＝13，12bc sin A ＝12bc ·223＝2，∴bc ＝3①，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴(b ＋c )2＝a 2＋2bc (1＋cos A )＝4＋6×⎪⎭⎫⎝⎛+311＝12， ∴b ＋c ＝23②.由①②得b ＝c ＝3，故选A. 【答案】 A2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1.若C ＝2π3，则ab＝________.【解析】 ∵sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1，∴sin A sin B ＋sin B sin C ＝2sin 2B . 由正弦定理可得ab ＋bc ＝2b 2，即a ＋c ＝2b ，∴c ＝2b －a ，∵C ＝2π3，由余弦定理可得(2b －a )2＝a 2＋b 2－2ab cos 2π3，可得5a ＝3b ，∴a b ＝35. 【答案】 353．已知△ABC 是斜三角形，内角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c .若c sin A ＝3a cos C .(1)求角C ；(2)若c ＝21，且sin C ＋sin(B －A )＝5sin 2A ，求△ABC 的面积．【解析】 (1)根据a sin A ＝c sin C，可得c sin A ＝a sin C ，又∵c sin A ＝3a cos C ，∴a sin C ＝3a cos C ， ∴sin C ＝3cos C ，∴tan C ＝sin Ccos C ＝3，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)∵sin C ＋sin(B －A )＝5sin 2A ，sin C ＝sin (A ＋B )， ∴sin (A ＋B )＋sin (B －A )＝5sin 2A ， ∴2sin B cos A ＝2×5sin A cos A . ∵△ABC 为斜三角形， ∴cos A ≠0，∴sin B ＝5sin A . 由正弦定理可知b ＝5a ，① ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴21＝a 2＋b 2－2ab ×12＝a 2＋b 2－ab ，②由①②解得a ＝1，b ＝5，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1×5×32＝534.题型二正、余弦定理的实际应用【题型要点解析】应用解三角形知识解决实际问题一般分为下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．【例2】某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE ，其中三角形区域ABE 为生活区，四边形区域BCDE 为教学区，AB ，BC ，CD ，DE ，EA ，BE .为学校的主要道路(不考虑宽度)．∠BCD ＝∠CDE ＝2π3，∠BAE ＝π3，DE ＝3BC ＝3CD ＝910km.(1)求道路BE 的长度；(2)求生活区△ABE 面积的最大值．【解析】 (1)如图，连接BD ，在△BCD 中，BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠BCD ＝27100，∴BD ＝3310km.∵BC ＝CD ，∴∠CDB ＝∠CBD ＝π－2π32＝π6，又∠CDE ＝2π3，∴∠BDE ＝π2.∴在Rt △BDE 中， BE ＝BD 2＋DE 2＝335(km)．故道路BE 的长度为335km.(2)设∠ABE ＝α，∵∠BAE ＝π3，∴∠AEB ＝2π3－α.在△ABE 中，易得AB sin ∠AEB ＝BE sin ∠BAE ＝335sinπ3＝65，∴AB ＝65sin ⎪⎭⎫⎝⎛-απ32，AE ＝65sin α.∴S △ABE ＝12AB ·AE sin π3＝9325sin ⎪⎭⎫⎝⎛-απ32·sin α ＝9325⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-4162sin 21πα≤9325⎪⎭⎫ ⎝⎛+4121 ＝273100(km 2)． ∵0<α<2π3，∴－π6<2α－π6<7π6.∴当2α－π6＝π2，即α＝π3时，S △ABE 取得最大值，最大值为273100km 2，故生活区△ABE面积的最大值为273100km 2题组训练二正、余弦定理的实际应用1．如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A ，B 两点处进行测量，在点A 处测得塔顶C 在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B 处测得塔顶C 在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A ，B 两点相距130 m ，则塔的高度CD ＝________m.【解析】设CD ＝h ，则AD ＝h3，BD ＝3h ，在△ADB 中，∠ADB ＝180°－20°－40°＝120°，∴由余弦定理AB 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos 120°，可得1302＝3h 2＋h 23－2×3h ×h 3×⎪⎭⎫⎝⎛-21，解得h ＝1039，故塔的高度为1039 m.【答案】 10392．如图，在第一条海防警戒线上的点A ，B ，C 处各有一个水声监测点，B ，C 两点到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A ，C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值；(2)求P 到海防警戒线AC 的距离．【解析】 (1)依题意，有P A ＝PC ＝x ， PB ＝x －1.5×8＝x －12. 在△P AB 中，AB ＝20， cos ∠P AB ＝P A 2＋AB 2－PB 22P A ·AB＝x 2＋202－(x －12)22x ·20＝3x ＋325x ，同理，在△P AC 中，AC ＝50，cos ∠P AC ＝P A 2＋AC 2－PC 22P A ·AC ＝x 2＋502－x 22x ·50＝25x .∵cos ∠P AB ＝cos ∠P AC ， ∴3x ＋325x ＝25x，解得x ＝31. (2）作PD ⊥AC 于点D ，在△ADP 中，由cos ∠P AD ＝2531，得sin ∠P AD ＝1－cos 2∠P AD ＝42131， ∴PD ＝P A sin ∠P AD ＝31×42131＝421.故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为421千米．题型三三角函数与解三角形问题【题型要点】解三角形与三角函数的综合题，其中，解决与三角恒等变换有关的问题，优先考虑角与角之间的关系；解决与三角形有关的问题，优先考虑正弦、余弦定理．【例3】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin A －sin C b ＝sin A －sin Ba ＋c .(Ⅰ)求C ；(Ⅱ)若cos A ＝17，求cos(2A －C )的值．【解析】 (Ⅰ)由sin A －sin C b ＝sin A －sin B a ＋c 及正弦定理得a －c b ＝a －ba ＋c ，∴a 2－c 2＝ab －b 2，整理得a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又0<C <π，所以C ＝π3.(Ⅱ)由cos A ＝17知A 为锐角，又sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以sin A ＝1－cos 2A ＝437，故cos2A＝2cos 2A －1＝－4749，sin2A ＝2sin A cos A ＝2×437×17＝8349，所以cos(2A －C )＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πA ＝cos2A cos π3＋sin2A sin π3＝－4749×12＋8349×32＝－2398.题组训练三三角函数与解三角形问题已知函数f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx ＋cos 2x . (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，已知f (A )＝32，a ＝2，B ＝π3，求△ABC 的面积．【解析】 (1)f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx ＋cos 2x ＝sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6＋cos 2x＝32sin 2x ＋32cos 2x ＝3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 2cos 232sin 21 ＝3sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx . 令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π⇒－5π12＋k π≤x ＋π3≤π12＋k π，k ∈Z .f (x )的单调递增区间为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 12,125，k ∈Z .(2)由f (A )＝32，sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πA ＝12，又0<A <2π3，π3<2A ＋π3<5π3，因为2A ＋π3＝5π6，解得：A ＝π4.由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b ＝6，又由A ＝π4，B ＝π3可得：sin C ＝6＋24.故S △ABC ＝12ab sin C ＝3＋32.题型四转化与化归思想在解三角形中的应用【题型要点】利用正弦、余弦定理解三角形的模型示意图如下：【例4】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b .(1)求证：a ，b ，c 成等差数列；(2)若∠B ＝60°，b ＝4，求△ABC 的面积．【解析】 (1)证明：a cos 2C 2＋c cos 2A2＝a ·1＋cos C 2＋c ·1＋cos A 2＝32b ，即a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝3b . ①由正弦定理得：sin A ＋sin A cos C ＋sin C ＋cos A sin C ＝3sin B ， ② 即sin A ＋sin C ＋sin(A ＋C )＝3sin B ， ∴sin A ＋sin C ＝2sinB.由正弦定理得，a ＋c ＝2b ， ③ 故a ，b ，c 成等差数列．(2)由∠B ＝60°，b ＝4及余弦定理得： 42＝a 2＋c 2－2ac cos 60°，∴(a ＋c )2－3ac ＝16，又由(1)知a ＋c ＝2b ，代入上式得4b 2－3ac ＝16. 又b ＝4，所以ac ＝16， ④∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12ac sin 60°＝4 3.题组训练四转化与化归思想在解三角形中的应用如图，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7.(1)求cos ∠CAD 的值；(2)若cos ∠BAD ＝－714，sin ∠CBA ＝216，求BC 的长．【解析】 (1)在△ADC 中，由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝7＋1－427＝277. (2)设∠BAC ＝α，则α＝∠BAD －∠CAD . 因为cos ∠CAD ＝277，cos ∠BAD ＝－714，所以sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝217，sin ∠BAD ＝1－cos 2∠BAD ＝32114. 于是sin ∠BAC ＝sin (∠BAD －∠CAD )＝sin ∠BAD cos ∠CAD －cos ∠BAD ·sin ∠CAD ＝32114×277－⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1417×217＝32. 在△ABC 中，由正弦定理得，BC ＝AC ·sin ∠BACsin ∠CBA＝7×32216＝3. 【专题训练】一、选择题1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b 2＝a 2＋bc ，A ＝π6，则内角C 等于( )A.π6 B.π4 C.3π4D.π4或3π4【解析】在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即a 2－b 2＝c 2－2bc cos A ，由已知，得a 2－b 2＝－bc ，则c 2－2bc cos π6＝－bc ，即c ＝(3－1)b ，由正弦定理，得sin C＝(3－1)sin B ＝(3－1)sin ⎪⎭⎫⎝⎛-C 65π，化简，得sin C －cos C ＝0，解得C ＝π4，故选B.【答案】 B2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝2，c ＝22，且C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A.3＋1B.3－1 C ．4 D ．2【解析】法一由余弦定理可得(22)2＝22＋a 2－2×2×a cos π4，即a 2－22a －4＝0，解得a ＝2＋6或a ＝2－6(舍去)，△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×2×(2＋6)sin π4＝12×2×22×(6＋2)＝3＋1，选A.法二由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得sin B ＝b sin C c ＝12，又c >b ，且B ∈(0，π)，所以B ＝π6，所以A ＝7π12，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×22sin 7π12＝12×2×22×6＋24＝3＋1.【答案】 A3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( )A.34B.43C ．－43D ．－34【解析】因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，则结合面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ，即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4，sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2C sin 2C ＋cos 2C ＝4，所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4，解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)，故选C.【答案】 C4．如图，在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A 等于( )A.223B.24 C.64D.63【解析】依题意得：BD ＝AD ＝DE sin A ＝22sin A ，∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝2∠A .在△BCD 中， BC sin ∠BDC ＝BD sin C ，则4sin 2A ＝22sin A ×23＝423sin A ，即42sin A cos A ＝423sin A，由此解得cos A ＝64，选C.【答案】 C5．如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A ，B 两点间的距离为60 m ，则该建筑物的高度为( )A ．(30＋303) mB ．(30＋153) mC ．(15＋303) mD ．(15＋153) m【解析】设建筑物高度为h ，则h tan 30°－h tan 45°＝60，即(3－1)h ＝60，所以建筑物的高度为h ＝(30＋303)m.【答案】 A6．在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0，则三角形ABC 中最小角的正弦值等于( )A.45B.34C.35D.74【解析】 ∵20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0，∴20a (AC →－AB →)＋15bCA →＋12cAB →＝0， ∴(20a －15b )AC →＋(12c －20a )AB →＝0.∵AC →与AB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧20a －15b ＝0，12c －20a ＝0⇒⎩⎨⎧b ＝43a ，c ＝53a ，∴三角形ABC 中最小角为角A ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a22bc ＝169a 2＋259a 2－a 22×43×53a 2＝45，∴sin A ＝35，故选C. 【答案】 C 二、填空题7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，c ＝3，当ab 取得最大值时，S △ABC ＝________.【解析】因为(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，a 2＋b 2－c 2＝－ab ，所以cos C ＝－12，所以sinC ＝32，由余弦定理得(3)2＝a 2＋b 2＋ab ≥3ab ，即ab ≤1，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．所以S △ABC ＝34. 【答案】348．已知△ABC 中，AB ＝1，sin A ＋sin B ＝2sin C ，S △ABC ＝316sin C ，则cos C ＝________. 【解析】 ∵sin A ＋sin B ＝2sin C ，由正弦定理可得a ＋b ＝2c .∵S △ABC ＝316sin C ，∴12ab sin C ＝316sin C ，sin C ≠0，化为ab ＝38.由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab－2ab cos C ，∴1＝(2)2－2×38(1＋cos C )，解得cos C ＝13.【答案】139．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )·sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．【解析】由正弦定理得(2＋b )(a －b )＝(c －b )c ，即(a ＋b )·(a －b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3，又b 2＋c 2－a 2＝bc ≥2bc －4，即bc ≤4，故S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×32＝3，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立，则△ABC 面积的最大值为 3. 【答案】310．如图，△ABC 中，AB ＝4，BC ＝2，∠ABC ＝∠D ＝60°，若△ADC 是锐角三角形，则DA ＋DC 的取值范围是________．【解析】在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝12，即AC ＝2 3.设∠ACD ＝θ(30°<θ<90°)，则在△ADC 中，由正弦定理得23sin 60°＝DA sin θ＝DCsin (120°－θ)，则DA ＋DC ＝4[sin θ＋sin(120°－θ)]＝4⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+θθcos 23sin 23＝43sin(θ＋30°)，而60°<θ＋30°<120°，43sin 60°<DA ＋DC ≤43sin 90°，即6<DA ＋DC ≤4 3.【答案】 (6,43] 三、解答题11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35. (1)求b 和sin A 的值；(2)求sin ⎪⎭⎫⎝⎛+42πA 的值．【解析】 (1)在△ABC 中，因为a >b ，故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知及余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，所以b ＝13.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝31313.所以b 的值为13，sin A 的值为31313.(2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－513.故sin ⎪⎭⎫⎝⎛+42πA ＝sin 2A cos π4＋cos 2A sin π4＝7226. 12．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝π3，AD ∶AB ＝2∶3，BD ＝7，AB ⊥BC .(1)求sin ∠ABD 的值；(2)若∠BCD ＝2π3，求CD 的长．【解析】(1)∵AD ∶AB ＝2∶3，∴可设AD ＝2k ，AB ＝3k .又BD ＝7，∠DAB ＝π3，∴由余弦定理，得(7)2＝(3k )2＋(2k )2－2×3k ×2k cos π3，解得k ＝1，∴AD ＝2，AB ＝3，sin ∠ABD ＝AD sin ∠DABBD＝2×327＝217.(2)∵AB ⊥BC ，∴cos ∠DBC ＝sin ∠ABD ＝217，∴sin ∠DBC ＝277，∴BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠DBC，∴CD＝7×27732＝433.。

高考数学总复习第三章第七节正弦定理和余弦定理课件理

sinA＋30°＋ 3≤3 3. 答案：(1)B (2)3 3
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变式探究 (tànjiū)
1．(1)△ABC的内角(nèi jiǎo)A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝，
b＝，B＝120°，2则a等于 6
()
A.
B．2
C.
D.
6
3
2
(2)在△ABC中，已知a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，且a
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解析：(1)由余弦定理及已知条件得，a2＋2ba2b－4＝12，即 a2 ＋b2－ab＝4，
又因为△ABC 的面积等于 3，所以12absin C＝ 3，得 ab＝ 4.
联立方程组aa2b＋＝b42，－ab＝4，解得 a＝2，b＝2.
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(2)由题意得 sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sin A cos A，
解析：(1)由ccooss
故选 D.
(2)由正弦定理得sina A＝sinb B⇒sin
B＝bsian A＝4
3sin 4
30°＝
23，
∵0°<B<180°，
∴B＝60°或 120°.故选 D.
答案：(1)D (2)D
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考点(kǎo 用余弦定理(yú xián dìnɡ lǐ)求边、角 diǎn)二
【例2】 (1)(2012·湖北卷)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C＝________.
设△ABC的三边(sān biān)为a，b，c，对应的三个角为A，B，
C.
A＋B＋C ＝ π
1．三内角的关系：a_＋__b__>__c，__b__＋__c__>_a. ，c ＋ a > b，

高考数学复习第3章三角函数与解三角形第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式

考向 3 证明
例 4：求证：tatannαα－·ssininαα＝tatannαα＋·ssininαα.
证明：方法一，右边＝ tan
tan2α－sin2α α－sin α·tan αsin
α
＝tantaαn－2α－sintaαn2·αtacnosα2sαin
α＝tan
tan2α1－cos2α α－sin α·tan αsin
10°cos 10° 1－cos210°.
解：原式＝ csoisn1100°°－－|scions1100°°|2＝
|sin cos
10°－cos 10°－sin
10°|＝cos 10° cos
10°－sin 10°－sin
1100°°＝1.
【规律方法】化简三角函数式应看清式子的结构特征并作有目的的变形,注意“1”的代换、乘法公式、切化弦等变形技巧, 对于有平方根的式子,去掉根号的同时加绝对值号再化简.
答案：C
【规律方法】已知sin α,cos α,tan α三个三角函数值中的一个,就可以求另外两个.但在利用平方关系开方时,符号的选择要看α属于哪个象限,这是易出错的地方,应引起重视.而当角α的象限不确定时,则需分象限讨论,不要遗漏终边在坐标轴上的情况.
考向 2 化简
例
3：化简：cos11－0°2－sin
考点 2 同角三角函数基本关系式考向 1 三角函数求值例 2：(1)(2019 年新课标Ⅱ)已知 α∈0，π2，2sin 2α＝cos 2α ＋1，则 sin α＝( )
1
5
A.5
B. 5
3 C. 3
25 D. 5
解析：2sin 2α＝cos 2α＋1,即4sin αcos α＝2cos2α, 则 2sin α＝cos α, 联立2sisnin2αα＋＝ccoos2sαα＝，1 ，得 sin α＝± 55，又 α∈0，π2，∴sin α＝ 55. 答案：B

【精编】高考数学一轮总复习第3章三角函数解三角形3.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用模拟演练课件理-精

π6＋π4＝tan

ωx＋

π6，∴π4
－π6ω＋
kπ＝
π 6
(k∈
Z)，∴ω
＝6k＋12(k∈Z)．又∵ω>0∴ωmin＝12.故选 D.
3．[2017·西安模拟]已知函数

f(x)＝cosωx＋
π3(ω>0)的最
小正周期为 π，则该函数的图象(
)
A．关于点π3，0对称 B．关于直线 x＝π4对称
9．如图所示，某地夏天 8～14 时用电量变化曲线近似满足函数式 y＝Asin(ωx＋φ)＋b，φ∈(0，π)
(1)求这期间的最大用电量及最小用电量； (2)写出这段曲线的函数解析式．
解 (1)由图象，知这期间的最大用电量为 50 万千瓦时，最小用电量为 30 万千瓦时．
(2)A＝12(50－30)＝10，b＝12(50＋30)＝40， T＝2ωπ＝2×(14－8)＝12，所以 ω＝π6，所以 y＝10sinπ6x＋φ＋40. 把 x＝8，y＝30 代入上式，得 φ＝π6. 所以所求解析式为 y＝10sinπ6x＋π6＋40，x∈[8,14]．
2．若将函数

y＝tanωx＋
π4(ω>0)的图象向右平移π6个单
位长度后，与函数
y＝tan

ωx＋

π6的图象重合，则
ω
的最小
值为(
)
A．16
B．14
C．13
D．12
解析
y＝tan

ωx＋

π4向右平移π6个单位长度，可得：y＝

tanωx－
C．关于点π4，0对称 D．关于直线 x＝π3对称
解析 ω＝2，函数 f(x)的对称轴满足 2x＋π3＝kπ(k∈Z)，解得 x＝k2π－π6(k∈Z)，当 k＝1 时，x＝π3，选 D.

高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3.5.2两角和差及倍角公式的应用理

cos(
x) x)
sin
2(
4
x)
4
1 1 sin 2 2 x来自22 2cos( x )
4 sin( x )
sin
2( 4
x)
4
1 cos22x 2 sin( 2x )
1 2
cos
2x.
2
答案: 1 c o s 2 x 2
4.(2016·武汉模拟)若 1tan 20 1 5 ，则 1tan2
1tan
co s 2
=
.
【解析】因为1 ta =n 2015, 1 tan
所以 c o s 1 2 ta n 2 1 c o s s in 2 2 1 c o s 2 2 s in s c in o s 2
( c o s s in ) 2 c o s s in 1 ta n 2 0 1 5 . ( c o s s in ) ( c o s s in )c o s s in 1 ta n
【规范解答】(1)方法一:(从“角”入手,倍角→单角)
原式=sin2α·sin2β+cos2α·cos2β- ·(21 cos2α-
1)·(2cos2β-1)
2
=sin2α·sin2β+cos2α·cos2β- (4cos2α·cos2β
1
-2cos2α-2cos2β+1)
2
=sin2α·sin2β-cos2α·cos2β+cos2α+cos2β- 1 2
sin[()]sin sin sin
【规律方法】 1.三角恒等变换的化简、求值问题的求解策略 (1)对于和、差式子,见到平方要降幂、消项、逆用公式等. (2)对于分式,通分后分子分母化简时尽量出现约分的式子,或逆用公式.

高考数学复习第3章三角函数解三角形3.2同角三角函数的基本关系及诱导公式习题文市赛课公开课一等奖省名

所以 A＝π4，B＝π6，所以 C＝π－(A＋B)＝71π2.
当
cosA＝－
22时，cosB＝－
3 2.
又 A，B 是三角形的内角，所以 A＝34π，B＝56π，不符
合题意．综上，C＝71π2.
24/29
三、解答题
15
．
已
知
－
π 2
<α<0
，
且
函
数
f(α) ＝ cos 32π＋α －
sinα· 11＋－ccoossαα－1.
(1)化简 f(α)；
(2)若 f(α)＝51，求 sinα·cosα 和 sinα－cosα 的值．
25/29
解
(1)f(α) ＝ sinα － sinα·பைடு நூலகம்
1＋cosα2 1－cos2α
－
1
＝
sinα
＋
sinα·1＋sincoαsα－1＝sinα＋cosα.
(2)由 f(α)＝sinα＋cosα＝15，平方可得 sin2α＋2sinα·cosα
7/29
5. 1－s2insi4n01°0°c1o＋s1c0o°s＋80s°in10°的值为(
)
1
2
A.2 B. 2 C. 2 D. 3
解析 1－s2insi4n01°0°c1o＋s1c0o°s＋80s°in10°＝
2 cos1s0in°4－0°si·n120c°o＋s4s0i°n10°＝ 2cossi1n08°0°＝ 22.故选 B.
21/29
13．已知1－sincoxsx＝－13，则1＋sincoxsx的值是___－__3___．解析 ∵sin2x＋cos2x＝1， ∴sin2x＝1－cos2x，即1－sincoxsx＝1＋sincoxsx， ∵1－sincoxsx＝－13，∴1＋sincoxsx＝1－sincoxsx＝－3.

高考数学第三章三角函数、解三角形 25 正弦定理和余弦定理的应用课时作业

课时作业25 正弦定理和余弦定理的应用一、选择题1．已知△ABC 的面积为32，AC ＝3，∠B ＝π3，则△ABC 的周长等于( ) A ．3＋ 3 B ．3 3 C ．2＋ 3D.332解析：设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则由三角形的面积公式和余弦定理得，b ＝3，12ac ·32＝32，所以ac ＝2，又3＝a 2＋c 2－2ac ·12，所以3＝(a ＋c )2－3ac ，解得a ＋c ＝3，所以△ABC 的周长为3＋ 3.答案：A2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )A.32B.22C.12 D ．－12解析：由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 24ab ≥12.即cos C 的最小值为12，故选C.答案：C3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B 的值为( )A.14 B.34 C.24D.23解析：因为sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，所以sin 2B ＝sin A sinC ，由正弦定理得b2＝ac ，又c ＝2a ，故cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34. 答案：B4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( ) A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定解析：据题意由余弦定理可得a 2＋b 2－2ab cos120°＝c 2＝(2a )2，化简整理得a 2＝b 2＋ab ，变形得a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )＝ab >0，故有a －b >0，即a >b .答案：A5．在△ABC 中，若sin(A －B )＝1＋2cos(B ＋C )sin(A ＋C )，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形B ．不含60°的等腰三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形解析：∵sin(A －B )＝1＋2cos(B ＋C )sin(A ＋C )＝1－2cos A sin B ，∴sin A cos B －cos A sin B ＝1－2cos A sin B ，∴sin A cos B ＋cos A sin B ＝1，即sin(A ＋B )＝1，则有A ＋B ＝π2，故三角形为直角三角形．答案：D6．(2016·云南一检)已知△ABC 的内角A ，B ，C 对的边分别为a ，b ，c ，sin A ＋2sin B ＝2sin C ，b ＝3，当内角C 最大时，△ABC 的面积等于( )A.9＋334 B.6＋324 C.326－24D.36－324解析：根据正弦定理及sin A ＋2sin B ＝2sin C ，得a ＋2b ＝2c ，c ＝a ＋322，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9－a 2＋62a ＋1846a＝a 8＋34a －24≥2a8·34a －24＝6－24，当且仅当a 8＝34a ，即a ＝6时，等号成立．此时sin C ＝6＋24，S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×3×6＋24＝9＋334. 答案：A 二、填空题7．在△ABC 中，若AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积为________．解析：如图所示，由正弦定理，得sin C ＝c ·sin B b ＝32. 而c>b ，∴C ＝60°或C ＝120°. ∴A ＝90°或A ＝30°. ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝32或34.答案：34或328．已知以2，3，x 为边长的三角形不是钝角三角形，则x 的取值范围是________．解析：因为2<3，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧22＋x 2≥32，22＋32≥x 2，即5≤x 2≤13，又因为x >0，所以5≤x ≤13. 答案：[5，13]9．若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．解析：由sin A ＋2sin B ＝2sin C ，结合正弦定理得a ＋2b ＝2c .由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－（a ＋2b ）242ab＝34a 2＋12b 2－2ab 22ab ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫34a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2－2ab 22ab＝6－24，故6－24≤cos C <1，故cos C 的最小值为6－24. 答案：6－24三、解答题10．(2015·山东卷)设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由题意知f (x )＝sin2x 2－1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝sin2x 2－1－sin2x 2＝sin2x －12. 由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )；单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )． (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立．因此12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34. 11．已知△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(sin B ，1－cos B )与向量n ＝(2，0)的夹角θ的余弦值为12.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，求a ＋c 的取值范围．解：(1)∵m ＝(sin B ，1－cos B )，n ＝(2，0)， ∴m ·n ＝2sin B ，|m |＝sin 2B ＋（1－cos B ）2＝2－2cos B ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin B 2.∵0<B <π，∴0<B 2<π2.∴sin B2>0.∴|m |＝2sin B2. 又∵|n |＝2， ∴cos θ＝m ·n |m |·|n |＝2sin B 4sinB 2＝cos B 2＝12.∴B 2＝π3，∴B ＝23π. (2)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 23π＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac ≥(a ＋c )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝34(a ＋c )2，当且仅当a ＝c 时，取等号． ∴(a ＋c )2≤4，即a ＋c ≤2.又a ＋c >b ＝3，∴a ＋c ∈(3，2]．1．(2016·石家庄市一模)已知平面图形ABCD 为凸四边形(凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线，其余各边均在此直线的同侧)，且AB ＝2，BC ＝4，CD ＝5，DA ＝3，则四边形ABCD 面积S 的最大值为( )A.30 B ．230 C ．430D ．630解析：根据题意，连接BD ，则S ＝12×2×3×sin A ＋12×4×5×sin C ＝3sin A ＋10sin C .根据余弦定理得，BD 2＝13－12cos A ＝41－40cos C ，得10cos C －3cos A ＝7，两边同时平方得100cos 2C ＋9cos 2A －60cos C cos A ＝49，得100sin 2C ＋9sin 2A ＝60－60cos C cos A ，而S 2＝(3sin A ＋10sin C )2＝100sin 2C ＋9sin 2A ＋60sin C sin A ＝60－60cos A cos C ＋60sin C sin A ＝60－60cos(C ＋A )≤120，所以S ≤230，故选B.答案：B2．(2016·哈尔滨模拟)在△ABC 中，若AB ―→·AC ―→＝7，|AB ―→－AC ―→|＝6，则△ABC 面积的最大值为( )A ．24B ．16C ．12D ．8 3解析：由题意可知AB ＝c ，AC ＝b ，所以b ·c cos A ＝7，所以cos A ＝7bc，|AB ―→－AC ―→|＝6，所以b 2＋c 2＝50≥2bc ，所以bc ≤25.因为S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc 1－cos 2A ＝12bc 1－49b 2c 2＝12b 2c 2－49≤12625－49＝12. 答案：C3．(2015·全国卷Ⅱ)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．(1)求sin B sin C ；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长．解：(1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD .S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC .由正弦定理可得sin B sin C ＝AC AB ＝12.(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC 及DC ＝22，所以BD ＝ 2.在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC .故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6. 由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1.4．(2015·湖南卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A ，且B 为钝角．(1)证明：B －A ＝π2；(2)求sin A ＋sin C 的取值范围．解：(1)由a ＝b tan A 及正弦定理，得sin A cos A ＝a b ＝sin Asin B，所以sin B ＝cos A ，即sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A . 又B 为钝角，因此π2＋A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，故B ＝π2＋A ，即B －A ＝π2.(2)由(1)知，C ＝π－(A ＋B )＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π2＝π2－2A >0，所以A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4.于是sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2A ＝sin A ＋cos2A ＝－2sin 2A ＋sin A ＋1 ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98.因为0<A <π4，所以0<sin A <22，因此22<－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98≤98.由此可知sin A ＋sin C 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤22，98.。

高考数学复习第3章三角函数解三角形第7节正弦定理和余弦定理

挖掘 3 正、余弦定理混合应用/互动探究 [例 3] 已知△ABC 满足 sin2A＋sin Asin B＋sin2B＝sin2C，则角 C 的大小是 ________．
[解析] 因为 sin2A＋sin Asin B＋sin2B＝sin2C，所以 a2＋ab＋b2＝c2，即 a2＋b2－
c2＝－ab，故 cos C＝a2＋2ba2b－c2＝－12(0＜C＜π)，所以 C＝23π.
由正弦定理sinb B＝sinc C，得 b＝712×sin 45°＝57. 10
[答案] C
(2)已知锐角△ABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 B＝2A，则asibn A 的取值范围是( )
A．( 63， 23)
B．( 43， 23)
C．(12，
3 2)
D．( 63，12)
A．4 3
B．2 3
C. 3 答案：B
D．
3 2
2．(基础点：正、余弦定理)在△ABC 中，若 sin2A＋sin2B<sin2C，则△ABC 的形
状是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不能确定
答案：C
3．(基础点：正弦定理)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 bsin A ＋acos B＝0，则 B＝________．解析：∵bsin A＋acos B＝0，∴sina A＝－cbos B.由正弦定理，得－cos B＝sin B， ∴tan B＝－1.又 B∈(0，π)，∴B＝34π. 答案：34π
4．(基础点：余弦定理与面积)若△ABC 中，A＝π6，b2＋c2－a2＝8，则△ABC 的面积为________．答案：2 3 3

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第三章三角函数与解三角形第1讲弧度制与任意角的三角函数1．tan 25π6的值为( )A ．－33 B.33C. 3 D ．－ 32．已知cos θ²tan θ<0，那么角θ是( ) A ．第一或第二象限角 B ．第二或第三象限角 C ．第三或第四象限角 D ．第一或第四象限角3．已知角α终边上一点P (－4a,3a )(a <0)，则sin α的值为( ) A.35 B ．－35 C.45 D ．－454．若角α的终边经过点P (1，m )，且tan α＝－2，则sin α＝( )A.55 B ．－55C.2 55 D ．－2 555．已知点P ⎝⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.π4B.3π4C.5π4D.7π46．(2014年新课标Ⅰ)若tan α>0，则( ) A ．sin α>0 B ．cos α>0 C ．sin2α>0 D ．cos2α>07．已知两角α，β之差为1°，其和为1弧度，则α，β的大小分别为( ) A.π90和π180B ．28°和27°C ．0.505和0.495 D.180＋π360和180－π3608．(2013年广东肇庆二模)若角α的终边上有一点P (－4，a )，且sin α²cos α＝1225，则a ＝( )A ．3B ．±3 C.163或3 D ．－163或－39．(2013年广东惠州二模)集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )A B C D10．判断下列各式的符号：(1)tan125°²sin278°；(2)cos7π12tan23π12sin11π12.11．(1)已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形圆心角的弧度数；(2)已知扇形的周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式1．(2013年河北石家庄二模)tan(－1410°)的值为( )A.33 B ．－33C. 3 D ．－ 32．(2013年湖北黄冈一模)sin2013°的值属于区间( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 3．下列关系式中，正确的是( ) A ．sin11°<cos10°<sin168° B ．sin168°<sin11°<cos10° C ．sin11°<sin168°<cos10° D ．sin168°<cos10°<sin11°4．已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则sin2α＝( )A ．－1B ．－22C.22D ．1 5．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为( )A ．0 B.34C ．1 D.546．(2013年四川资阳一模)下列不等式成立的是( )A ．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π8>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6B ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π10>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π5C ．sin π18>sin π10D ．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π4>cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5 7．已知α是第三象限角，sin α＝－13，则tan α＝________.8．(2013年四川)设sin2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan2α的值是________．9．已知tan α＝2，求：(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α； (2)4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α.10．(2013年广东揭阳一模)已知函数f (x )＝1－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4cos x.(1)求函数f (x )的定义域；(2)设α是第四象限角，且tan α＝－43，求f (α)的值．第3讲三角函数的图象与性质1．(2014年陕西)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的最小正周期是( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π 2．(2013年北京丰台二模)下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x ＝π12对称的是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2(x ∈R )，下列结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数4．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )A.π4B.π3C.π2D.3π45．函数y ＝|tan x |cos x ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x <3π2，且x ≠π2的图象是( )A BC D6．(2013年广东肇庆二模)已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6 [A >0，ω>0，x ∈(－∞，＋∞)]的最小正周期为2，且f (0)＝3，则函数f (3)＝( )A ．－ 3 B. 3 C ．－2 D ．27．(2014年江苏)已知函数y ＝cos x 与函数y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ＝________.8．(2014年大纲)函数y ＝cos2x ＋2sin x 的最大值为________．9．在下列函数中：①y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3；②y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6；③y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6；④y＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3；⑤y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －73π.关于直线x ＝5π6对称的函数是________(填序号)．10．(2014年北京)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图象如图X331. (1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．图X33111．是否存在实数a ，使得函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值；若不存在，试说明理由．第4讲函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象1．(2014年四川)为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上的所有点( )A ．向左平行移动1个单位长度B ．向右平行移动1个单位长度C ．向左平行移动π个单位长度D ．向右平行移动π个单位长度2．(2013年广东珠海一模)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象可由函数y ＝sin2x 的图象( ) A ．向左平移π8个单位长度而得到B ．向右平移π8个单位长度而得到C ．向左平移π4个单位长度而得到D ．向右平移π4个单位长度而得到3．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图X341，则( )图X341A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π4，φ＝5π44．(2013年广东东莞一模)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的图象的两相邻对称轴之间的距离为π2，要得到y ＝f (x )的图象，只须把函数y＝sin ωx 的图象( )A ．向右平移π3个单位B ．向右平移π6个单位C ．向左平移π3个单位D ．向左平移π6个单位5．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象，则φ＝( )A.π6B.5π6C.7π6D.11π66．(2013年广东肇庆一模)已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6[A >0，ω>0，x ∈(－∞，＋∞)]的最小正周期为π，且f (0)＝3，则函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最小值是( ) A ．－ 6 B ．－2 3 C ．－3 D ．2 37．(2013年江西)设f (x )＝3sin3x ＋cos3x ，若对任意实数x 都有|f (x )|≤a ，则实数a 的取值范围是________．8．(2013年北京西城一模)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，a .当a ＝π3时，f (x )的值域是__________；若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则a 的取值范围是__________．9．(2015年广东广州一模)已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6 (A >0，ω>0)的图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x 0,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋π2，－2. (1)求函数f (x )的解析式；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋π4的值．10．(2013年安徽)设函数f (x )＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(1)求f (x )的最小值，并求使f (x )取得最小值的x 的集合；(2)不画图，说明函数y ＝f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变化得到．第5讲两角和与差及二倍角的三角函数公式1．(河南豫南九校2015届质检)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则sin2x ＝( )A.325B.725C.925D.18252．(2013年新课标Ⅱ)已知sin2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A.16 B.13 C.12 D.233．设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两个根，则tan(α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．34．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为( )A.103B.53C.23D ．－2 5．(2013年广东广州一模)已知函数f (x )＝2sin2x ，为了得到函数g (x )＝sin2x ＋cos2x 的图象，只要将函数f (x )＝2sin2x 的图象( )A ．向右平移π4个单位长度B ．向左平移π4个单位长度C ．向右平移π8个单位长度D ．向左平移π8个单位长度6．若cos x cos y ＋sin x sin y ＝13，则cos(2x －2y )＝________.7．(2014年新课标Ⅱ)函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________．8．(2014年山东)函数y ＝32sin2x ＋cos 2x 的最小正周期为________．9．(2014年江苏)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值； (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值．10．(2014年福建)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )．(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．第6讲简单的三角恒等变换1．(2013年江西)若sin α2＝33，则cos α＝( )A ．－23B ．－13C.13D.232．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α＝( )A.22 B.33C. 2D. 33．(2014年浙江)为了得到函数y ＝sin3x ＋cos3x 的图象，可以将函数y ＝2cos3x 的图象( )A ．向右平移π12个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π12个单位长度D ．向左平移π4个单位长度4．已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( )A ．－1B ．－22C.22D ．1 5.sin47°－sin17°cos30°cos17°＝( )A ．－32 B ．－12C.12D.326．(2013年湖北)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π67．函数y ＝2sin x －cos x 的最大值为________．8．(2013年江西)函数y ＝sin2x ＋2 3sin 2x 的最小正周期T 为________．9．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin4α的值．第7讲正弦定理和余弦定理1．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．不能确定2．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，a ＝2，b ＝3，则sin Asin A ＋C＝( )A.23B.32 C ．－23 D ．－323．(2015年广东深圳一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A ＝60°，a ＝3，b ＋c ＝3，则△ABC 的面积为( )A.34B.32 C.3 D ．24．(广西百所示范性中学2015届高三第一次大联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，则B ＝( )A.π4B.π3C.π6D.π2 5．(2013年湖南)在锐角三角形ABC 中，角A ，B 所对边的长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则A ＝( )A.π3B.π4C.π6D.π12 6．(2013年新课标Ⅰ)已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．57．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a ＝2，B ＝π6，c ＝2 3，则b ＝________.8．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则sin B＝________.9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若cos B cos C－sin B sin C＝1 2 .(1)求角A；(2)若a＝2 3，b＋c＝4，求△ABC的面积．10．(2014年安徽)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，△ABC的面积为2，求cos A与a的值．第8讲解三角形应用举例1．某人向正东方向走x km后，顺时针转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好 3 km，那么x＝( )A. 3 B．2 3 C．2 3或 3 D．32．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°的方向，灯塔B在观察站C的南偏东40°的方向，则灯塔A与灯塔B的距离为( ) A．a km B.2a km C．2a km D.3a km3．如图X381，一艘海轮从A处出发，以40海里/时的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )A ．10 2海里B ．10 3海里C ．20 2海里D ．20 3海里图X381 图X3824．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则此时的斜坡长为( )A ．1B ．2sin10°C ．2cos10° D．cos20°5．(2013年广东茂名二模)如图X382，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为( )A ．50 3 mB ．50 2 mC ．25 2 m D.25 22m6．(2014年广东)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 7．(2013年广东肇庆二模)某日，某渔政船在东海某海域巡航护渔，已知该船正以30(3－1)海里/时的速度向正北方向航行，该船在点A 处发现北偏东30°方向的海面上有一个小岛，继续航行20分钟到达点B ，此时发现该小岛在北偏东45°方向上．若该船向北继续航行，船与小岛的最短距离是( )A ．6海里B ．8海里C ．10海里D ．12海里8．如图X383，一缉私艇发现在方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)45°方向、距离15海里的海面上有一走私船正以25海里/时的速度沿方位角为105°的方向逃窜．若缉私艇的速度为35海里/时，缉私艇沿方位角为45°＋α的方向追去，若要在最短时间内追上该走私船．(1)求α的正弦值；(2)求缉私艇追上走私船所需的时间．图X3839．(2014年北京)如图X384，在△ABC 中，B ＝π3，AB ＝8，点D 在边BC 上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．图X384第三章三角函数与解三角形第1讲弧度制与任意角的三角函数1．B 2.C3．B 解析：∵a <0，∴r ＝－4a 2＋ 3a 2＝－5a ，∴sin α＝3a r ＝－35.故选B.4．D 解析：由三角函数的定义，得tan α＝m ＝－2，∴r ＝5，sin α＝－25＝－2 55.故选D.5．D 解析：由sin 3π4>0，cos 3π4<0知，角θ是第四象限的角．∵tan θ＝cos3π4sin3π4＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4.6．C 解析：tan α＝sin αcos α>0，而sin2α＝2sin αcos α>0.故选C.7．D 解析：由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝1，α－β＝π180，解得⎩⎪⎨⎪⎧α＝180＋π360，β＝180－π360.8．D 解析：因为角α的终边上有一点P (－4，a )，根据三角函数的定义知，sin α＝a 16＋a 2，cos α＝－416＋a2，所以sin α²cos α＝－4a 16＋a 2＝1225，即3a 2＋25a ＋48＝0.解得a ＝－3或a ＝－163.故选D.9．C 解析：分k ＝2m ，k ＝2m ＋1(m ∈Z )两种情况讨论可得结果． 10．解：(1)∵125°，278°角分别为第二、四象限角， ∴tan125°＜0，sin278°＜0. 因此tan125°²sin278°＞0.(2)∵π2＜7π12＜π，3π2<23π12<2π，π2<11π12<π，∴cos 7π12＜0，tan 23π12＜0，sin 11π12＞0.因此cos 7π12tan23π12sin11π12>0.11．解：设扇形半径为R ，圆心角为θ，所对的弧长为l . (1)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12θR 2＝4，θR ＋2R ＝10，∴2θ2－17θ＋8＝0，解得θ＝8或12.∵8>2π，舍去，∴θ＝12rad.(2)扇形的周长为40，即θR ＋2R ＝40， S ＝12lR ＝12θR 2＝14θR ²2R ≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫θR ＋2R 22＝100. 当且仅当θR ＝2R ，即R ＝10，θ＝2时，扇形面积取得最大值，最大值为100.第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式1．A 解析：tan(－1410°)＝tan(－180°³8＋30°)＝tan30°＝33.2．B 解析：sin2013°＝sin(5³360°＋213°)＝sin213°＝sin(180°＋33°)＝－sin33°<－12.故选B.3．C 解析：∵sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝cos(90°－80°)＝sin80°.由于正弦函数y ＝sin x 在区间[0°，90°]上为递增函数，因此sin11°<sin12°<sin80°，即sin11°<sin168°<cos10°.4．A 解析：∵sin α－cos α＝2，∴(sin α－cos α)2＝2.∴sin2α＝－1.故选A.5．B 解析：分子、分母同时除以cos α，得2tan α－1tan α＋2＝4－12＋2＝34.6．D 解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π4＝cos π4>0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5＝cos 3π5<0.故选D.7.24 解析：sin α＝－13，cos α＝－2 23，tan α＝12 2＝24. 8. 3 解析：sin2α＝2sin αcos α＝－sin α，cos α＝－12，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则α＝2π3，tan2α＝tan 4π3＝tan π3＝ 3.9．解：(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2³2－34³2－9＝－1.(2)4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝4³4－3³2－54＋1＝1. 10．解：(1)函数f (x )要有意义，需满足cos x ≠0，解得x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即函数f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z.(2)∵f (x )＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4cos x ＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin2x －22cos2x cos x ＝1＋cos2x －sin2xcos x＝2cos 2x －2sin x cos x cos x＝2(cos x －sin x )，由tan α＝－43，得sin α＝－43cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos 2α＝925.∵α是第四象限的角，∴cos α＝35，sin α＝－45.∴f (α)＝2(cos α－sin α)＝145.第3讲三角函数的图象与性质1．B 解析：由周期公式T ＝2πω，又ω＝2，所以函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的周期T ＝2π2＝π.故选B.2．C 解析：将x ＝π12代入选项A ，B ，C ，D 中，只有选项C 取得最大值y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2³π12＋π3＝sin π2＝1，所以关于直线x ＝π12对称，且T ＝2π2＝π.3．D 解析：由函数的f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x (x ∈R )，可得函数f (x )是偶函数．故选D.4．A 解析：由题设知，T ＝2³⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－π4＝2π，∴ω＝2πT ＝1.∴π4＋φ＝k π＋π2(k∈Z )．∴φ＝k π＋π4(k ∈Z )．∵0<φ<π，∴φ＝π4.故选A.5．C 解析：方法一：y ＝|sin x |²cos x|cos x |，分类讨论．方法二：y ＝|tan x |cos x 的符号与cos x 相同．故选C.6．A 解析：由f (0)＝A 2＝3，得A ＝2 3，ω＝2π2＝π⇒f (x )＝2 3sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6⇒f (3)＝2 3sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π＋π6＝－ 3. 7.π6 解析：依题意，得cos π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2³π3＋φ＝12，又φ∈[0，π)，则2π3＋φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π3.∴2π3＋φ＝5π6，φ＝π6. 8.32 解析：y ＝cos2x ＋2sin x ＝－2sin 2x ＋2sin x ＋1＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122＋32，所以当sin x＝12时，原函数取得最大值为32. 9．①⑤ 解析：∵y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π3＝4sin π2＝4，y 取最大值，∴x ＝5π6为它的一个对称轴．又∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－7π3＝－sin 3π2＝1，∴x ＝5π6是对称轴．10．解：(1)f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.由图象知，y 0＝f (x )max ＝3,2x 0＋π6＝π2＋2k π，解得x 0＝π6＋k π，k ∈Z ，取k ＝1，x 0＝76π.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，0，于是当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.11．解：y ＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －12a 2＋a 24＋58a －12，当0≤x ≤π2时，0≤cos x ≤1.令t ＝cos x ，则0≤t ≤1.∴y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12a 2＋a 24＋58a －12，0≤t ≤1. 若0≤a 2≤1，即0≤a ≤2，则当t ＝a 2，即cos x ＝a2时，y max ＝a 24＋58a －12＝1，解得a ＝32或a ＝－4(舍去)．若a2＜0，即a ＜0，则当t ＝0，即cos x ＝0时， y max ＝58a －12＝1，解得a ＝125(舍去)．若a2＞1，即a ＞2，则当t ＝1，即cos x ＝1时， y max ＝a ＋58a －32＝1，解得a ＝2013(舍去)．综上所述，存在a ＝32符合题意．第4讲函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象1．A 2.A3．C 解析：∵T 4＝3－1＝2，∴T ＝8，∴ω＝2πT ＝π4.令π4³1＋φ＝π2，得φ＝π4，∴故选C.4．D 解析：两相邻对称轴之间的距离为T 2＝π2，T ＝π，ω＝2，要得到f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需把f (x )＝sin2x 的图象向左平移π6个单位．5．D 解析：由函数y ＝sin x 向左平移φ个单位得到y ＝sin(x ＋φ)的图象．由条件知，函数y ＝sin(x ＋φ)可化为函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，比较个各选项，只有y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋11π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6.6．C 解析：A ＝2 3，ω＝2⇒f (x )＝2 3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由－π4≤x ≤π4⇒－π3≤2x＋π6≤2π3，得[f (x )]min ＝2 3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－3. 7．[2，＋∞) 解析：f (x )＝3sin3x ＋cos3x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6，|f (x )|max ＝2，∴a ≥2.8.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2 解析：当a ＝π3时，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1；若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，π2≤2a ＋π6≤7π6，π6≤a ≤π2.9．解：(1)由题意，可得A ＝2，T 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋π2－x 0＝π2.∴T ＝π.由2πω＝π，得ω＝2. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)∵ 点(x 0,2)是函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6在y 轴右侧的第一个最高点， ∴ 2x 0＋π6＝π2.∴ x 0＝π6.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π4 ＝sin π6cos π4＋cos π6sin π4＝12³22＋32³22 ＝2＋64. 10．解：(1)f (x )＝sin x ＋sin x cos π3＋cos x sin π3＝sin x ＋12sin x ＋32cos x＝32sin x ＋32cos x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.当sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－1时，f (x )min ＝－3，此时x ＋π6＝3π2＋2k π，∴x ＝4π3＋2k π(k ∈Z )．∴f (x )的最小值为－3，此时x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝4π3＋2k π，k ∈Z .(2)将函数y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，然后将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上的点的纵坐标变为原来的3倍，得f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.第5讲两角和与差及二倍角的三角函数公式1．B 解析：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝sin π4cos x －cos π4sin x ＝22³(cos x －sin x )＝35，两边平方，得12(1－2cos x ²sin x )＝925，1－sin2x ＝1825，sin2x ＝725.2．A 解析：∵sin2α＝23，∴cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12³⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝12(1－sin2α)＝12³⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝16. 3．A 解析：∵tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两个根，∴tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－2＝－3.故选A.4．A5．D 解析：g (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，将函数f (x )＝2sin2x 的图象向左平移π8个单位长度即可．6．－79 解析：∵cos(x －y )＝cos x cos y ＋sin x sin y ＝13，∴cos(2x －2y )＝2cos 2(x －y )－1＝29－1＝－79.7．1 解析：f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ－2cos x sin φ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)，最大值为1.8．π 解析：y ＝32sin2x ＋cos 2x ＝32sin2x ＋1＋cos2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12，其最小正周期为T ＝2π2＝π. 9．解：(1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－2 55.故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α ＝22³⎝ ⎛⎭⎪⎫－2 55＋22³55＝－1010. (2)由(1)，得sin2α＝2sin αcos α＝－45，cos2α＝2cos 2α－1＝35.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos2α＋sin 5π6sin2α ＝－32³35＋12³⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－3 3＋410.10．解：f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )＝2cos x sin x ＋2cos 2x＝sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4＝2³⎝⎛⎭⎪⎫－22⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－22＝2. (2)函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.若f (x )单调递增，则2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . 第6讲简单的三角恒等变换1．C 2．D 解析：sin 2α＋cos2α＝sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α＝14.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝12，sin α＝32.∴tan α＝ 3.3．A 解析：因为y ＝sin3x ＋cos3x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4，所以将函数y ＝2cos3x 的图象向右平移π12个单位长度，得函数y ＝2cos3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4.故选A. 4．A 解析：方法一：∵sin α－cos α＝2，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝ 2.∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝1.∵α∈(0，π)，∴α＝3π4.∴tan α＝－1.方法二：∵sin α－cos α＝2，∴(sin α－cos α)2＝2.∴sin2α＝－1.∵α∈(0，π)，∴2α∈(0,2π)，∴2α＝3π2.∴α＝3π4.∴tan α＝－1.故选A.5．C 解析：sin47°－sin17°cos30°cos17°＝sin 30°＋17° －sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°cos17°＝12.6．B 解析：y ＝3cos x ＋sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，m 的最小值是π6.7. 5 解析：y ＝2sin x －cos x ＝5sin(x ＋φ)，其中tan φ＝－12，∴最大值为 5.8．π 解析：y ＝sin2x ＋2 3sin 2x ＝sin2x ＋2 3³1－cos2x2＝sin2x －3cos2x ＋3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin2x －32cos2x ＋3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3，∴T ＝2π2＝π. 9．解：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13.∴sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13.∴cos2α＝13.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴2α∈(π，2π)． ∴sin2α＝－1－cos 22α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－2 23.∴sin4α＝2sin2αcos2α＝2³⎝⎛⎭⎪⎫－2 23³13＝－4 29.第7讲正弦定理和余弦定理1．A 解析：由正弦定理，得a 2＋b 2<c 2.由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0，所以C是钝角，故选A.2．B 解析：sin A sin A ＋C ＝sin A sin B ＝a b ＝23.故选A.3．B 4.B5．A 解析：由2a sin B ＝3b ，得2sin A sin B ＝3sin B ，sin A ＝32，A ＝π3或2π3(舍去)． 6．D 解析：23cos 2A ＋cos2A ＝25cos 2A －1＝0，cos A ＝15或cos A ＝－15(舍去)，a 2＝b2＋c 2－2bc cos A,49＝b 2＋36－12b ³15，5b 2－12b －65＝0，解得b ＝5或b ＝－135(舍去)．7．2 解析：由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4，∴b ＝2.8.154 解析：由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－2³1³2³14＝4，则c ＝2，即B ＝C ，故sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154.9．解：(1)∵cos B cos C －sin B sin C ＝12，即cos(B ＋C )＝12，∴B ＋C ＝60°.从而A ＝120°.(2)由余弦定理，得b 2＋c 2＋bc ＝a 2＝12，①又b ＋c ＝4，∴b 2＋c 2＋2bc ＝16.② 由①②，得bc ＝4，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12³4³32＝ 3.10．解：由三角形的面积公式，得 12bc sin A ＝12³3³1³sin A ＝ 2.∴sin A ＝2 23. ∵sin 2A ＋cos 2A ＝1，∴cos A ＝±1－sin 2A ＝±13.当cos A ＝13时，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝9＋1－2³3³1³13＝8，∴a ＝2 2；当cos A ＝－13时，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝9＋1＋2³3³1³13＝12，∴a ＝2 3.第8讲解三角形应用举例1．C 解析：如图D63，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝3，∠ABC ＝30°.由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ²BC ²cos∠ABC ，∴3＝x 2＋9－6x ²cos30°，解得x ＝3或23.图D63 图D642．D 解析：如图D64，依题意，得∠ACB ＝120°.由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ²BC cos120°＝a 2＋a 2－2a 2²⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a 2，∴AB ＝3a .故选D. 3．A 解析：在△ABC 中，∠BAC ＝50°－20°＝30°，∠ABC ＝40°＋65°＝105°，AB ＝40³0.5＝20(海里)，则∠ACB ＝45°.由正弦定理，得BC sin30°＝20sin45°，解得BC ＝10 2.故选A.4．C 解析：如图D65，BD ＝1，∠DBC ＝20°，∠DAC ＝10°.在△ABD 中，由正弦定理，得1sin10°＝ADsin160°.解得AD ＝2cos10°.图D65 图D665．B 解析：因为∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，所以∠ABC ＝30°.所以根据正弦定理可知，AC sin ∠ABC ＝AB sin ∠ACB ，即50sin30°＝ABsin45°，解得AB ＝50 2 m ．故选B.6．A 解析：由正弦定理，得a sin A ＝bsin B＝2R (其中R 为△ABC 外接圆的半径)，则a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，a ≤b ⇔2R sin A ≤2R sin B ⇔sin A ≤sin B ，因此“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的充要条件．故选A.7．C 解析：如图D66，∠DAC ＝30°，∠DBC ＝45°，AB ＝30(3－1)³13＝10³(3－1)，设CD ＝h ，则DA ＝3h ，DB ＝h .由AB ＝DA －DB ＝(3－1)h ＝10(3－1)，得h ＝10. 8．解：(1)设缉私艇追上走私船所需的时间为t 小时，则有|BC |＝25t ，|AB |＝35t ，且∠CAB ＝α，∠ACB ＝45°＋(180°－105°)＝120°，根据正弦定理，得|BC |sin α＝|AB |sin120°，即25t sin α＝35t 32.∴sin α＝5 314.(2)在△ABC 中，由余弦定理，得|AB |2＝|AC |2＋|BC |2－2|AC ||BC |cos ∠ACB ，即(35t )2＝152＋(25t )2－2³15³25t ³cos120°，即8t 2－5t －3＝0.解得t ＝1或t ＝－38(舍去)．答：缉私艇追上走私船需要1小时． 9．解：(1)在△ADC 中，∵cos ∠ADC ＝17，∴sin ∠ADC ＝4 37.∴sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠ABD ) ＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝4 37³12－17³32＝3 314.(2)在△ABD 中，由正弦定理，得BD ＝AB ³sin∠BADsin ∠ADB ＝8³3 3144 37＝3.在△ABC 中，由余弦定理，得 AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ³BC ³cos B＝82＋52－2³8³5³12＝49，∴AC ＝7.。