【优化指导】高中数学(基础预习+课堂探究+达标训练)2.4.2 计算函数零点的二分法导学案湘教版必修1

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人教新课标高中数学B版必修1《2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法》学案

求函数零点近似解的一种计算方法——二分法第一部分学生预习学海导航【预习要点】1.理解变号零点的概念。

2.用二分法求函数零点的步骤及原理。

【预习要求】1.了解二分法的产生过程，掌握二分法求方程近似解的过程和方法。

2.根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解。

学习探究【知识再现】1.函数零点的概念2.函数零点的性质【概念探究】阅读课本72页完成下列问题。

1.一个函数)(x f y =，在区间[]b a ,上至少有一个零点的条件是异号，即＜0，即存在一点),(0b a x ∈使，这样的零点常称作。

有时曲线通过零点时不变号，这样的零点称作。

2.能否说出变号零点与不变号零点的区别与联系？阅读课本73页完成下列问题。

3.求函数变号零点的近似值的一种计算方法是，其定义是：已知函数)(x f y =定义在区间D 上，求它在D 上的一个变号零点0x 的近似值x ，使它与零点的误差，即使得。

4.用二分法求函数零点的一般步骤是什么？5.到什么时候循环计算停止？6.二分法求函数的零点的近似值适合于怎样的零点？【例题解析】不看课本能否完成例题的解析例求函数22)(23--+=x x x x f 的一个正实数零点1.根据问题思考一下二分法的初始区间的选择有什么样的标准？3.完成课后练习A 第2题，练习B 第1题，习题 2－4A 第7题。

【拓展提高】一段串联电路有64个元件，先发现因其中某个元件损坏而使电路不通，怎样才能尽快地查出损坏的电路元件？第二部分教师讲解【检查反馈】1.二分法的一般算法，比较抽象，学生不易理解。

可以先结合例题引导学生探究，然后再讲一般理论，这样便于学生理解。

2.用二分法求零点的近似解的步骤中体现分类讨论的思想。

3.引导学生用计算器或数学软件完成题目，体验二分法中的算法思想。

4.题目涉及的函数的图象是连读的，零点是变号零点。

【巩固提高】1.二分法求函数零点近似解。

（1）用二分法求函数3)(3-=x x f 的一个正零点（精确到0.01） 2.生活中的二分法（2）在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，总是一条100m 长的线路，每隔10m 有根电线杆。

高中数学二章函数2.4函数与方程2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法二分法

2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法—二分法整体设计教学分析求方程的解是常见的数学问题，这之前我们学过解一元一次、一元二次方程，但有些方程求精确解较难．本节从另一个角度来求方程的近似解，这是一种崭新的思维方式，在现实生活中也有着广泛的应用．用二分法求方程近似解的特点是：运算量大，且重复相同的步骤，因此适合用计算器或计算机进行运算．在教学过程中要让学生体会到人类在方程求解中的不断进步．三维目标1．让学生学会用二分法求方程的近似解，知道二分法是科学的数学方法．2．了解用二分法求方程的近似解特点，学会用计算器或计算机求方程的近似解，初步了解算法思想．3．回忆解方程的历史，了解人类解方程的进步历程，激发学习的热情和学习的兴趣．重点难点教学重点：用二分法求方程的近似解．教学难点：二分法．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)师：(手拿一款手机)如果让你来猜这件商品的价格，你如何猜？生1：先初步估算一个价格，如果高了再每隔10元降低报价．生2：这样太慢了，先初步估算一个价格，如果高了每隔100元降低报价．如果低了，每隔50元上升报价；如果再高了，每隔20元降低报价；如果低了，每隔10元上升报价……生3：先初步估算一个价格，如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的一半；如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；如果低了，就把刚刚报出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价……师：在现实生活中我们也常常利用这种方法．譬如，一天，我们华庄校区与锡南校区的线路出了故障(相距大约3 500米)．电工是怎样检测的呢？是按照生1那样每隔10米或者按照生2那样每隔100米来检测，还是按照生3那样来检测呢？生：(齐答)按照生3那样来检测．师：生3的回答，我们可以用一个动态过程来展示一下(展示多媒体课件，区间逼近法)．思路2.(事例导入)有12个小球，质量均匀，只有一个球是比别的球重，你用天平称几次可以找出这个球，要求次数越少越好．(让同学们自由发言，找出最好的办法)解：第一次，两端各放六个球，低的那一端一定有重球．第二次，两端各放三个球，低的那一端一定有重球．第三次，两端各放一个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球．其实这就是一种二分法的思想，那什么叫二分法呢？推进新课新知探究提出问题①解方程2x －16＝0.②解方程x 2－x －2＝0.③解方程x 3－2x 2－x ＋2＝0.④解方程x 2－2x 2－3x ＋2＝0.⑤我们知道，函数f x ＝lnx ＋2x －6在区间2，3内有零点.进一步的问题是，如何找出这个零点的近似值？⑥“取中点”后，怎样判断所在零点的区间？ ⑦什么叫二分法？⑧试求函数f x ＝lnx ＋2x －6在区间2，3内零点的近似值.⑨总结用二分法求函数零点近似值的步骤.,⑩思考用二分法求函数零点近似值的特点. 讨论结果： ①x＝8.②x＝－1，x ＝2.③x＝－1，x ＝1，x ＝2 ④x＝－2，x ＝2，x ＝1，x ＝2.⑤如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值．为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围．〔“取中点”，一般地，我们把x ＝a ＋b 2称为区间(a ，b)的中点〕⑥比如取区间(2,3)的中点2.5，用计算器算得f(2.5)＜0，因为f(2.5)·f(3)＜0，所以零点在区间(2.5,3)内．⑦对于在区间[a ，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y ＝f(x)，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值．像这样每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．⑧因为函数f(x)＝lnx ＋2x －6，用计算器或计算机作出函数f(x)＝lnx ＋2x －6的对应值表． x 1 2 3 4 5 6 789f(x)－4－1.306 91.098 63.386 35.609 47.791 89.945 9 12.079 4 14.197 2由表可知，f(2)＜0，f(3)＞0，则f(2)·f(3)＜0，这说明f(x)在区间(2,3)内有零点x 0，取区间(2,3)的中点x 1＝2.5，用计算器算得f(2.5)≈－0.084，因为f(2.5)·f(3)＜0，所以x 0∈(2.5,3)．同理，可得表(下表)与图象(如下图)．区间中点的值中点函数近似值(2,3) 2.5 －0.084 (2.5,3) 2.75 0.512 (2.5,2.75) 2.625 0.215 (2.5,2.625) 2.562 5 0.066 (2.5,2.562 5) 2.531 25 －0.009 (2.531 25,2.562 5)2.546 8750.029(2.531 25,2.546 875) 2.539 062 5 0.010 (2.531 25,2.539 062 5)2.535 156 250.001由于(2,3) (2.5,3) (2.5,2.75)，所以零点所在的范围确实越来越小了．如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小(见上表)．这样，在一定的精确度下，我们可以在有限次重复相同步骤后，将所得的零点所在区间内的任意一点作为函数零点的近似值．特别地，可以将区间端点作为函数零点的近似值．例如，当精确度为0.01时，由于|2.539 062 5－2.531 25|＝0.007 812 5＜0.01，所以，我们可以将x ＝2.531 25作为函数f(x)＝lnx ＋2x －6零点的近似值．⑨用二分法求函数零点的一般步骤如下：第一步在D 内取一个闭区间[a 0，b 0] D ，使f(a 0)与f(b 0)异号，即f(a 0)·f(b 0)＜0.零点位于区间[a 0，b 0]中．第二步取区间[a 0，b 0]的中点(如下图)，则此中点对应的坐标为x 0＝a 0＋12(b 0－a 0)＝12(a 0＋b 0)．计算f(x 0)和f(a 0)，并判断：(1)如果f(x 0)＝0，则x 0就是f(x)的零点，计算终止；(2)如果f(a 0)·f(x 0)＜0，则零点位于区间[a 0，x 0]中，令a 1＝a 0，b 1＝x 0； (3)如果f(a 0)·f(x 0)＞0，则零点位于区间[x 0，b 0]中，令a 1＝x 0，b 1＝b 0. 第三步取区间[a 1，b 1]的中点，则此中点对应的坐标为x 1＝a 1＋12(b 1－a 1)＝12(a 1＋b 1)．计算f(x 1)和f(a 1)，并判断：(1)如果f(x 1)＝0，则x 1就是f(x)的零点，计算终止；(2)如果f(a 1)·f(x 1)＜0，则零点位于区间[a 1，x 1]上，令a 2＝a 1，b 2＝x 1； (3)如果f(a 1)·f(x 1)＞0，则零点位于区间[x 1，b 1]上，令a 2＝x 1，b 2＝b 1. ……继续实施上述步骤，直到区间[a n ，b n ]，函数的零点总位于区间[a n ，b n ]上，当a n 和b n按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y ＝f(x)的近似零点，计算终止．这时函数y ＝f(x)的近似零点满足给定的精确度．⑩由函数的零点与相应方程的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算．应用示例思路1例1求函数f(x)＝x 3＋x 2－2x －2的一个正实数零点(精确到0.1)．解：由于f(1)＝－2＜0，f(2)＝6＞0，可以确定区间[1,2]作为计算的初始区间．用二法逐步计算，列表如下：端点或中点横坐标计算端点或中点的函数值定区间 a 0＝1，b 0＝2 f(1)＝－2，f(2)＝6 [1,2] x 0＝(1＋2)/2＝1.5 f(x 0)＝0.625＞0 [1,1.5] x 1＝(1＋1.5)/2＝1.25 f(x 1)＝－0.984＜0 [1.25,1.5] x 2＝(1.25＋1.5)/2＝1.375 f(x 2)＝－0.260＜0 [1.375,1.5] x 3＝(1.375＋1.5)/2＝1.437f(x 3)＝0.162＞0[1.375,1.437 5]1.4，因此1.4就是所求函数的一个正实数零点的近似值．函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的图象如下图．实际上还可用二分法继续算下去，进而得到这个零点精确度更高的近似值．点评：以上求函数零点的二分法，对函数图象是连续不间断的一类函数的零点都有效．如果一种计算方法对某一类问题(不是个别问题)都有效，计算可以一步一步地进行，每一步都能得到唯一的结果，我们常把这一类问题的求解过程叫做解决这一类问题的一种算法．算法是刻板的、机械的，有时要进行大量的重复计算，算法的优点是一种通法，只要按部就班地去做，总会算出结果．算法更大的优点是，它可以让计算机来实现．例如，我们可以编写程序，快速地求出一个函数的零点．有兴趣的同学，可以在“Scilab”界面上调用二分法程序，对上例进行计算，求出精确度更高的近似值．本套书的一个重要特点是，引导同学们认识算法思想的重要性，并希望同学们在学习前人算法的基础上，去寻求解决各类问题的算法．在思路2例1求方程2x3＋3x－3＝0的一个实数解(精确到0.01)．解：考察函数f(x)＝2x3＋3x－3，从一个两端函数值反号的区间开始，应用二分法逐步缩小方程实数解所在区间．经试算，f(0)＝－3＜0，f(2)＝19＞0，所以函数f(x)＝2x3＋3x－3在[0,2]内存在零点，即方程2x3＋3x－3＝0在[0,2]内有解．取[0,2]的中点1，经计算，f(1)＝2＞0，又f(0)＜0，所以方程2x3＋3x－3＝0在[0,1]内有解．3至此，可以看出，区间[0.742 187 5,0.744 140 625]内的所有值，若精确到0.01，都是0.74.所以0.74是方程2x3＋3x－3＝0精确到0.01的实数解．点评：利用二分法求方程近似解的步骤：①确定函数f(x)的零点所在区间(a，b)，通常令b－a＝1；②利用二分法求近似解.，发现x1∈(2,2.5)(如上图)，这样可以进一步缩小，先画出函数图象的简图，如上图．＝2＞0，x2－2x－1＝0有一解，记为x1.，因为f(2.5)＝0.25＞0，所以2＜x＜2.5.知能训练1．函数f(x)＝x3－2x2－x＋2的零点个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3答案：D2．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真币完全相同的假币(重量轻一点)，现在只有一台天平，请问：应用二分法的思想，最多称__________次就可以发现这枚假币？解析：将26枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币在轻的那13枚金币里面；将这13枚金币拿出1枚，将剩下的12枚平均分成两份，放在天平上，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在轻的那6枚金币里面；将这6枚平均分成两份，放在天平上，则假币一定在轻的那3枚金币里面；将这3枚金币任拿出2枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚就是假币，若不平衡，则轻的那一枚就是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．答案：43．求方程x 3－3x －1＝0的一个正的近似解(精确到0.1)．解：设f(x)＝x 3－3x －1，设x 1为函数的零点，即方程x 3－3x －1＝0的解．作出函数f(x)＝x 3－3x －1的图象如下图．因为f(1)＝－3＜0，f(2)＝1＞0，所以在区间(1,2)内方程x 3－3x －1＝0有一个解，记为x 1.取1与2的平均数1.5，因为f(1.5)＝－2.125＜0，所以1.5＜x 1＜2.再取2与1.5的平均数1.75，因为f(1.75)＝－0.890 625＜0，所以1.75＜x 1＜2. 如此继续下去，得f(1)＜0，f(2)＞0 ⇒x 1∈(1,2)， f(1.5)＜0，f(2)＞0 ⇒x 1∈(1.5,2)， f(1.75)＜0，f(2)＞0 ⇒x 1∈(1.75,2)， f(1.875)＜0，f(2)＞0 ⇒x 1∈(1.875,2)，f(1.875)＜0，f(1.937 5)＞0 ⇒x 1∈(1.875,1.937 5)，因为区间[1.875,1.937 5]内的所有值，如精确到0.1都是1.9，所以1.9是方程x 3－3x －1的实数解．拓展提升从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为多少？(此例既体现了二分法的应用价值，也有利于发展学生的应用意识) 答案：至少需要检查接点的个数为4. 课堂小结①掌握用二分法求方程的近似解，及二分法的其他应用． ②思想方法：函数方程思想、数形结合思想．作业课本习题2—4 A 7.设计感想 “猜价格”的游戏深受人们的喜欢，它是二分法的具体应用，用它引入拉近了数学与生活的距离．二分法是科学的数学方法，它在求方程的近似解和现实生活中都有着广泛的应用．本节设计紧紧围绕这两个中心展开，充分借助现代教学手段，用多种角度处理问题，使学生充分体会数学思想方法的科学性与完美性．备课资料基本初等函数的零点个数结合基本初等函数的图象得：①正比例函数y ＝kx(k≠0)仅有一个零点0； ②反比例函数y ＝kx (k≠0)没有零点；③一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)仅有一个零点；④二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，当Δ＞0时，二次函数有两个零点－b ±Δ2a ；当Δ＝0时，二次函数仅有一个零点－b2a；当Δ＜0时，二次函数无零点．。

高中新课程数学(新课标人教B版)必修一2.4.2《求函数零点近似解的一种计算方法——二分法》课件2

指出：用配方法可求得方程x2-2x-1=0的解，但此法不能运用于解另外两个方程.
问题2．不解方程，如何求方程x2-2x-1=0的
一个正的近似解（精确到0.1）?
画出y=x2-2x-1的图象(如图)
y y=x2-2x-1
由图可知：方程x2-2x-1=0
x
的一个根x1在区间(2,3)内， -1 0 1 2 3 另一个根x2在区间(-1,0)内．
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/29
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谢谢欣赏！
2019/8/29
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16法求其零点的是（C）yy
y
y
x
x
x
x
0
0
0
0
问题5:根据练习2，请思考利用二分法求函数零点的条件是什么？
1. 函数y=f (x)在[a,b]上连续不断． 2. y=f (x)满足 f (a) ·f (b)<0，则在(a,b)内必有零点.
回顾反思(理解数学)
思考题
从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查几个接点？
2．“二分”解所在的区间，即取区间(a, b)
的中点x a b
1
2
3．计算f (x1)：
(1)若f (x1)＝； 0，则x0＝x1；
(2)若f (a)•f(x1)＜； 0，则令b＝x1 (此时x0∈(a, x1));
(3)若f (a)•f(x1)＜0，则令a＝x1 (此时x0∈(x1,b)).
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北京市房山区房山中学高中数学 2.4.2求函数零点近似解

"北京市房山区房山中学高中数学 2.4.2求函数零点近似解的一种
计算方法—二分法教学提纲北师大版必修1 "
一、学习目标：
1、理解用二分法求函数零点的原理.
2、学会借助计算器或数学软件用二分法求函数的零点，求方程的近似解，体验二分法中的算法思想.
二、认知与探索：
回忆你会解的方程的类型有哪些？
问题1.不用求根公式和配方法，试确定210x x --=正根的大致范围.
问题2.你能把这个范围进一步缩小吗？
二分法求函数零点的原理：
用二分法求函数零点的一般步骤：
思考：是否所有的零点都可以用二分法来近似求出？
典型例题：
例1、求函数32
()22f x x x x =+--的一个正实数零点（精确到0.1）.
三、课堂练习：
课本74P 练习A.
四、课堂小结：
五、课后作业：
课本75P 习题2-4 A.7
习题2-4 B.2。

高中数学第二章函数2.4函数与方程2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法_二分法导学案新人教B版必

2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法【预习要点及要求】1．理解变号零点的概念。

2．用二分法求函数零点的步骤及原理。

3．了解二分法的产生过程，掌握二分法求方程近似解的过程和方法。

4．根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解。

【知识再现】1.函数零点的概念2.函数零点的性质【概念探究】阅读课本72页完成下列问题。

1．一个函数)(xfy=，在区间[]b a,上至少有一个零点的条件是异号，即＜0，即存在一点),(bax∈使，这样的零点常称作。

有时曲线通过零点时不变号，这样的零点称作。

2．能否说出变号零点与不变号零点的区别与联系？阅读课本73页完成下列问题。

3．求函数变号零点的近似值的一种计算方法是，其定义是：已知函数)(xfy=定义在区间D上，求它在D上的一个变号零点0x的近似值x，使它与零点的误差，即使得。

4．用二分法求函数零点的一般步骤是什么？5．二分法求函数的零点的近似值适合于怎样的零点？【例题解析】例１：求32近似值（精确到０．０１）例２：求方程33235=+--xxx的无理根（精确到０．０１）参考答案：例1解：设ｘ＝32，则3x＝２，即3x－２＝０，令ｆ（ｘ）＝3x－２，则函数ｆ（ｘ）零点的近似值就是得近似值，以下用二分法求其零点．由于ｆ（１）＝－１＜０，ｆ（２）＝６＞０，故可以取区间［１，２］为计算的初始区间．用二分法逐次计算．列表如下：由上表的计算可知，区间［１．２５７８１，１．２６１７１］的左右端点按照精确度要求的近似值都是１．２６，因此１．２６可以作为所求的近似值．评析：学会用二分法求近似值的主要步骤．例2解：由于)3)(1(3332235--=+--xxxxx所以原方程的两个有理根为１，－１，而其无理根是方程x3－３＝０的根，令ｇ（ｘ）＝x3－３，用二分法求出ｇ（ｘ）的近似零点为１．４４评析：通过因式分解容易看出无理根为方程x 3－３＝０的根，所以令ｇ（ｘ）＝x3－３，只需求出ｇ（ｘ）的零点即可．【达标检测】1.方程04223=-+-g x x x 在区间[]4,2-上的根必定属于区间（） A.)1,2(-B.)4,25(C.)4,1(πD.)25,47(2.若函数)(x f 的图象是连续不间断的，且0)4()2()1(,0)0(<⋅⋅>f f f f ，则下列命题正确的是（）A.函数)(x f 在区间[]1,0内有零点B.函数)(x f 在区间[]2,1内有零点C.函数)(x f 在区间[]2,0内有零点D.函数)(x f 在区间[]4,0内有零点3.函数x y =与1+=x y 图象交点横坐标的大致区间为（）A.)0,1(-B.)1,0(C.)2,1(D.)3,2(4.下图4个函数的图象的零点不能用二分法求近似值的是5.写出两个至少含有方程01223=--+x x x 一个根的单位长度为1的区间或。

函数零点的题型归纳与解题技巧

函数零点的题型归纳与解题技巧函数零点是指函数取值为零的点，即f(x)=0的解。

在高中数学、大学数学以及各类数学竞赛中，函数零点常见的题型有很多种，这里我们将从题型归纳与解题技巧两方面进行探讨。

一、题型归纳1. 求解一元函数零点：例如求解f(x) = x^3-2x^2-x+2=0的零点。

2. 求解二元函数零点：例如求解f(x,y) = x^2+y^2-1=0的零点。

3. 求解多项式方程零点：例如求解f(x) = x^3-x^2+2x-2=0的零点。

4. 求解参数方程零点：例如求解x(t) = t^2-t+2，y(t) =t^3-t^2+2t-2，求解当f(x,y)=0时对应的参数t。

5. 利用零点求解函数的性质：例如已知f(x)的零点及其性质，求解f'(x)或f''(x)的零点。

6. 证明存在或不存在零点：例如证明函数f(x)在区间(a,b)上存在唯一零点。

二、解题技巧1. 分类讨论：对于不同的函数类型，采用不同的方法求解零点。

例如线性函数、二次函数、三次函数、对数函数等，都有相应的求解方法。

2. 利用代数方法：通过代数运算，将原方程转化为容易求解的方程。

例如将原方程化为因式分解的形式，利用韦达定理等。

3. 利用几何方法：将方程与几何图形进行关联，求解图形的相交点即为零点。

例如将方程与直线、圆、椭圆、抛物线等几何图形关联起来。

4. 利用数学分析方法：利用微积分知识，如导数、二分法、牛顿法等，求解零点。

例如，求解f'(x)=0的零点，可以找到函数的拐点；二分法则多用于求解逼近零点。

5. 利用数值方法：通过计算机进行数值逼近求解零点。

例如求解非线性方程组零点时，可以采用牛顿法、拟牛顿法等。

6. 利用泰勒展开：对于非常复杂的函数，可以考虑将其在某一点附近进行泰勒展开，将高次函数近似为低次函数（如线性、二次），再求解零点。

7. 利用解析几何方法：通过解析几何知识，求解平面或空间上的几何问题。

高中数学第二章函数2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法_二分法练习新人教B版必修1.doc

2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法【选题明细表】1.用二分法求如图所示函数f(x)的零点时,不可能求出的零点是( C )(A)x1 (B)x2 (C)x3 (D)x4解析:由题图知x1,x2,x4是变号零点,可用二分法求出,x3不是变号零点,不能用二分法求出.2.若函数f(x)的图象在R上连续不断,且满足f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,则下列说法正确的是( C )(A)f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上一定没有零点(B)f(x)在区间(0,1)上一定没有零点,在区间(1,2)上一定有零点(C)f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上可能有零点(D)f(x)在区间(0,1)上可能有零点,在区间(1,2)上一定有零点解析:根据零点存在性定理,由于f(0)·f(1)<0,f(1)·f(2)>0,所以f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上无法确定,可能有,也可能没有,如图所示.故选C.3.函数f(x)=x3-2x2+3x-6在区间[-2,4]上的零点必定属于( D )(A)[-2,1] (B)[2.5,4](C)[1,1.75] (D)[1.75,2.5]解析:因为f(-2)=-28<0,f(4)=38>0,f(1)=-4<0,f(2.5)=4.625>0, f(1.75)=-1.515625<0. 所以f(x)在[-2,4]上的零点必定属于[1.75,2.5].故选D.4.在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时,现在已经将一根锁定在区间(1,2)内,则下一步可断定该根所在的区间为( D )(A)(1.4,2) (B)(1.1,4)(C)(1,) (D)(,2)解析:设f(x)=x3-2x-1,则f(1)=-2<0,f(2)=23-2×2-1>0,F()=()3-2×-1=-<0,所以f()·f(2)<0,所以该根应在区间(,2)内.故选D.5.(2018·河南中原名校联考)函数y=x3与y=x+3图象交点的横坐标所在的区间是( A )(A)[1,2] (B)[0,1](C)[-1,0] (D)[2,3]解析:设f(x)=x3-x-3,当x=1时,y=-3,当x=2时,y=3,f(1)f(2)<0,所以函数的零点必在区间[1,2],故选A.2(A)(-3,-1)和(2,4) (B)(-3,-1)和(-1,1)(C)(-1,1)和(1,2) (D)(-∞,-3)和(4,+∞)解析:因为f(-3)·f(-1)<0,f(2)·f(4)<0.故选A.7.若函数y=f(x)在区间(-2,2)上的图象是连续的,且方程f(x)=0在(-2,2)上仅有一实根0,则f(-1)·f(1)的值( D )(A)大于0 (B)小于0(C)等于0 (D)无法判断解析:如图,根据连续函数零点的性质,若f(-1)·f(1)<0,则f(x)在(-1,1)内必有零点,即方程f(x)=0在(-1,1)内有实根;反之,若方程f(x)=0在(-2,2)内有实根,不一定有f(-1)·f(1)<0,也可能有f(-1)·f(1)>0.故选D.8.下面是函数f(x)在区间[1,2]上的一些点的函数值.由此可判断:方程f(x)=0在[1,2]上解的个数( A )(A)至少5个(B)5个(C)至多5个 (D)4个解析:由所给的函数值的表格可以看出,在x=1.25与x=1.375这两个数对应的函数值的符号不同,即f(1.25)·f(1.375)<0,所以函数的一个零点在(1.25,1.375)上,同理:函数的一个零点在(1.375,1.406 5)上,函数的一个零点在(1.406 5,1.438)上,函数的一个零点在(1.5,1.61)上,函数的一个零点在(1.61,1.875)上.故函数至少有5个零点,即方程f(x)=0在[1,2]上至少有5个解.解析:令F(x)=f(x)-g(x),因为F(-1)=f(-1)-g(-1)=-0.677-(-0.530)<0,F(0)=f(0)-g(0)=3.011-3.451<0,F(1)=f(1)-g(1)=5.432-4.890>0,于是F(0)·F(1)<0,故使f(x)=g(x)有实数解的区间是(0,1),又因为F(2)>0,F(3)>0,故只有区间(0,1).答案:(0,1)10.(2018·广西四校期中联考)已知函数f(x)=x3-x2+1.(1)证明方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解;(2)请使用二分法,取区间的中点二次,指出方程f(x)=0,x∈[0,2]的实数解x0在哪个较小的区间内.(1)证明:因为f(0)=1>0,f(2)=-<0,所以f(0)·f(2)=-<0,函数f(x)=x3-x2+1是连续函数,由函数的零点存在性定理可得方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解.(2)解:取x1=(0+2)=1,得f(1)=>0,由此可得f(1)·f(2)=-<0,下一个有解区间为(1,2),再x2=(1+2)=,得f()=-<0,由f(1)·f()=-<0,则下一个有解区间为(1,),综合上述所求实数解x0在较小区间(1,)内.11.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.(1)a>b>c,且f(1)=0,试证明:f(x)必有两个零点;(2)设x1,x2∈R,x1<x2,且f(x1)≠f(x2),若方程f(x)=[f(x1)+f(x2)]有两个不等实根,试证明必有一个实根属于区间(x1,x2).证明:(1)因为f(1)=0,所以a+b+c=0.又因为a>b>c,所以a>0,c<0,即ac<0.所以Δ=b2-4ac≥-4ac>0.所以方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根,所以f(x)必有两个零点.(2)令g(x)=f(x)-[f(x1)+f(x2)],则g(x1)=f(x1)-[f(x1)+f(x2)]=[f(x1)-f(x2)].g(x2)=f(x2)-[f(x1)+f(x2)]=[f(x2)-f(x1)].因为g(x1)g(x2)=-[f(x1)-f(x2)]2,且f(x1)≠f(x2),所以g(x1)g(x2)<0.所以g(x)=0在(x1,x2)内必有一实根.所以方程f(x)=[f(x1)+f(x2)]必有一实根属于区间(x1,x2).。

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2.4.2 计算函数零点的二分法
根)的近似值.
用二分法求函数零点的一般步骤
已知函数y ＝f (x )定义在区间D 上，求它在D 上的一个零点x 0的近似值x ，使它与零点的误差不超过正数ε，即使得|x －x 0|≤ε.用二分法求函数零点的一般步骤如下：
(1)在D 内取一个闭区间[a 0，b 0]⊆D ，使f (a 0)与f (b 0)异号，即f (a 0)·f (b 0)＜0，零点位于区间[a 0，b 0]中．
(2)取区间[a 0，b 0]的中点，则此中点对应的坐标为x 0＝a 0＋b 02
. 计算f (x 0)和f (a 0)．并判断：
①如果f (x 0)＝0，则x 0就是f (x )的零点，计算终止；
②如果f (a 0)·f (x 0)＜0，则零点位于区间[a 0，x 0]中，令a 1＝a 0，b 1＝x 0；
③如果f (a 0)·f (x 0)＞0，则零点位于区间[x 0，b 0]中，令a 1＝x 0，b 1＝b 0.
(3)对区间[a 1，b 1]，按(2)中的方法，可以得到区间[a 2，b 2]，且它的长度是区间[a 1，b 1]长度的一半．
如此反复地二分下去，可以得到一系列有限区间[a 0，b 0]，[a 1，b 1]，[a 2，b 2]，[a 3，b 3]，…，其中每个区间的长度都是它前一个区间长度的一半．
继续实施上述步骤，直到区间[a n ，b n ]，函数的零点总位于区间[a n ，b n ]上，当|a n －b n |＜
2ε时，区间[a n ，b n ]的中点x n ＝12
(a n ＋b n )就是函数y ＝f (
x
)的近似零点，计算终止．这时函数y
＝f (x )的近似零点满足给定的精确度．
预习交流1
二分法的实质是什么？
提示：二分法的实质就是通过不断选取区间的中点，将区间一分为二，逐次逼近，从而获得零点近似值．
预习交流2
所有的函数零点都可以用二分法求解吗？
提示：不一定．必须满足在区间[a ，b ]上连续不断，且f (a )·f (b )＜0这样条件的函数才能用二分法求得零点的近似值．
预习交流3
用二分法求函数零点的近似值时，结果唯一吗？
提示：求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同．精确度要求越高，零点近似值所在的区间长度越小，计算过程越长．二分法求函数零点的近似值一般需借助计算器计算．
一、对二分法的理解
已知函数f (x )＝ln x ＋2x －6.
(1)在区间(2,3)内有零点，此时f (2)·f (3)__________0；
(2)在区间(2.5,3)内__________零点，此时f(2.5)·f(3)__________0；
(3)在区间(2.5,2.75)内__________零点，此时f(2.5)·f(2.75)__________0；
(4)还会在区间__________内有零点，此时f(2.5)·f(__________)＜0.
思路分析：按照二分法的原理及步骤，逐一计算判断．
答案：(1)＜0 (2)有＜0 (3)有＜0
(4)(2.5,2.625) 2.625
解析：(1)f(2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2＜0，f(3)＝ln 3＋6－6＝ln 3＞0.
于是f(2)·f(3)＜0；
(2)由于f(2.5)＝ln 2.5＋5－6＝ln 2.5－1＜0，而f(3)＞0，
因此f(2.5)·f(3)＜0，所以在区间(2.5,3)内有零点；
(3)由于f(2.75)＝ln 2.75＋5.5－6＝ln 2.75－0.5＞0，
所以f(2.5)·f(2.75)＜0.故在区间(2.5,2.75)内有零点．
(4)取区间(2.5,2.75)的中点2.625，由于f(2.625)＝ln 2.625－0.75＞0，
所以f(2.5)·f(2.625)＜0，因此还会在区间(2.5，2.625)内有零点．
已知函数y＝f(x)在区间[3.1,3.2]上有零点，现用二分法求该零点的近似值，要求误差不超过0.002，即ε＝0.002，则取中点次数最小值为__________．
答案：5
解析：b0－a0＝0.1，b1－a1＝0.05，b2－a2＝0.025，b3－a3＝0.012 5，b4－a4＝0.006 25，b5－a5＝0.003 125＜0.002×2，因此最少取5次中点．
1．准确理解“二分法”的含义．二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
2．“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号，才能应用“二分法”求函数零点．
二、利用二分法求函数零点的近似值
求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个正数零点．(误差不超过0.02，即ε＝0.02)
思路分析：由于要求的是函数的一个正数零点，因此可考虑首先确定一个包含正数的区间，如f(0)＝－6＜0，f(1)＝－6＜0，f(2)＝4＞0，故可以取区间[1,2]为计算的初始区间(当然[0,2]也可以)．用二分法求零点．
解：由于f(1)＝－6＜0，f(2)＝4＞0，可取区间[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐
由于 1.75－1.718 75＝0.031 25＜2ε，计算停止，取x＝
1.75
2
＝1.734
375≈1.734为函数零点的近似值．
用二分法求函数f(x)＝x3－3的一个正零点．(误差不超过0.005)
解：由于f(1)＝－2＜0，f(2)＝5＞0，因此可取[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐
取x ＝1.445 312 5＋1.437 52
≈1.441为函数零点的近似值．
1．用二分法求函数零点的近似值，首先要选好选准计算的初始区间，这
个区间既要符合条件，又要尽量使其长度小，其次要依据给定的精确度及时检验计算中得到的区间是否满足这一精确度，以决定是停止计算还是继续计算．
2．求函数零点的近似值时，由于所选取的起始区间不同，最后得到的结果可以不同，但它们都是符合所给定的精确度的．
1．下面关于二分法的叙述，正确的是( )．
A ．用二分法可求所有函数零点的近似值
B ．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
C ．二分法无规律可循，无法在计算机上完成
D ．只有在求函数零点时才用二分法
答案：B
2．下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )．
答案：B
解析：B 项中在x 0这个零点左、右两侧函数值不改变符号，不能用二分法求零点．
3．在区间(0,1)上有零点的一个函数为( )．
A ．f (x )＝x 3
B ．f (x )＝x 3＋2x －2
C ．f (x )＝x
D ．y ＝x 2＋1
答案：B
解析：在B 项中，f (0)＝－2＜0，f (1)＝1＞0，f (0)·f (1)＜0，所以函数f (x )＝x 3＋2x
－2在(0,1)上有零点．
4．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间(2,3)内的实根，取区间中点为x 0＝2.5，那么下
一个有根的区间是__________．
答案：(2,2.5)
解析：由于f (2)＝8－4－5＜0，f (3)＝27－6－5＞0，f (2.5)＝2.53－5－5＞0，
因此f (2)·f (2.5)＜0，故下一个有根区间是(2,2.5)．
5．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋2x －1的零点时，第一次经计算有f (0)＜0，f (0.5)＞0，
可得其中一个零点x 0∈________，第二次计算________．
答案：(0,0.5) f (0.25)。