5.LU分解解析
lu分解的充要条件及证明 -回复
lu分解的充要条件及证明-回复题目：LU分解的充要条件及证明引言：LU分解是线性代数中常用的一种矩阵分解方法，它将一个方阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积。
在实际问题的求解中，LU 分解有着广泛的应用，如线性方程组的求解、矩阵求逆等。
本文将从充要条件的角度出发，对LU分解进行详细的论述和证明。
一、LU分解的定义和基本概念LU分解是将一个n×n矩阵A分解为两个矩阵L和U相乘的形式，其中L 是一个下三角矩阵，U是一个上三角矩阵。
即，A=LU。
其中，下三角矩阵L的对角线元素均为1。
下面将给出LU分解的充要条件及证明。
二、充要条件的论述为了得到LU分解的充要条件，我们需要明确以下两个问题：1. 矩阵A是否存在LU分解？2. 如果存在LU分解，那么L和U的形式是否是唯一的？以下，我们将对上述两个问题进行逐步讨论。
2.1 矩阵A的非奇异性首先，我们需要确定矩阵A是否为非奇异矩阵。
如果A不是奇异矩阵，即A ≠0，则存在A的逆矩阵A^-1。
为了证明矩阵A的非奇异性是LU分解的充要条件，我们需要证明如果A是奇异矩阵，那么不存在LU分解。
证明思路：假设A是奇异矩阵，存在一个非零向量x使得Ax=0。
我们令L和U分别为A的LU分解矩阵，则有A=LU。
将其代入Ax=0可以得到LUx=0。
由于L和U都是三角矩阵，LUx=0意味着L(Ux)=0。
根据矩阵乘法的性质，我们可以推出Ux=0。
然而，对于非零向量x，如果Ux=0，则矩阵U的第一行必然存在一个为非零的元素，否则U为奇异矩阵，与U是上三角矩阵的定义相矛盾。
因此，我们可以得出结论：如果存在一个非零向量x使得Ax=0，那么矩阵U不能是上三角矩阵。
因此，如果A是奇异矩阵，则不存在LU分解。
综上所述，矩阵A的非奇异性是存在LU分解的充要条件。
2.2 L和U的唯一性接下来，我们研究如果A存在LU分解，L和U的形式是否是唯一的。
对于一个给定的矩阵A，其LU分解为A=LU。
矩阵的lu分解计算量
矩阵的LU分解是一种将一个矩阵分解为一个下三角矩阵（L）和一个上三角矩阵（U）的乘积的方法。
LU分解是线性代数中一种重要的矩阵分解方法，它在求解线性方程组、计算行列式、计算矩阵的逆等方面都有广泛的应用。
对于一个$n \times n$的矩阵A，其LU分解的计算量主要取决于以下几个因素：
1. 存储量：LU分解需要存储原始矩阵A、下三角矩阵L和上三角矩阵U，因此需要额外的$3n^2$个浮点数存储空间。
2. 计算量：LU分解需要进行一系列的矩阵乘法和行交换操作，因此计算量相对较大。
具体来说，LU分解的计算量主要包括以下几部分：
* 计算L矩阵：需要执行$n(n+1)/2$次乘法操作，其中$n$是矩阵的阶数。
* 计算U矩阵：需要执行$n^3/6$次乘法操作，其中$n$是矩阵的阶数。
* 行交换操作：需要执行$n-1$次行交换操作，其中$n$是矩阵的阶数。
因此，LU分解的计算量大约为$O(n^3)$，其中$n$是矩阵的阶数。
在实际应用中，为了提高计算效率，通常会采用一些优化算法和并行计算技术来加速LU分解的计算过程。
LU分解
若第k 1步的分解已完成, 在进行第k 步分解时, 为避免出现小的ukk 作除数, 计算Si aik limumk
m 1 k 1
(ukk S k ), 选
取行号ik , 使得 Sik max Si .
k i n
若ik k , 则对调A的第k行与第ik 行,再 求ukj ( j k , , n)和lik (i k 1, , n).
1 1
4
1
1
L, L1为单位下三角矩阵 L1L1为单位下三角
1
LU 分解的基本思想 : 若矩阵A可写成两个矩阵相乘的形式 : A LU , 其中L为单位下三角阵,U 为上三角阵.则线性 方程组AX b ( LU ) X b L(UX ) b LY b 若令UX Y , 则AX b UX Y 即首先求解向量Y , 使得LY b , 再求解UX Y , 从而达到求解AX b的目的.
(i n 1, n 2, b分为两步 来实现, 且每一步都相对比求解AX b 简单直观. LU 分解有: 直接LU 分解法 列主元LU 分解法
7
note :
设A(1) LU , 即 a12 a1n 1 u11 u12 u1n l a22 a2 n 1 u u 22 2n 21 an 2 ann unn ln1 ln 2 1 u1 j a1 j ( j 1, 2, , n) l ai1 (i 2,3, , n) i1 u11 k 1 (k 2, , n) ukj akj lkmumj ( j k , k 1, , n) Doolittle分解公式 m 1 k 1 aik limumk m 1 l ( j k 1, k 2,, n) ik ukk 8 a11 a 21 an1
lu分解算法
lu分解算法
LU分解算法是一种将一个非奇异矩阵分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的方法，它可以用于解线性方程组以及求矩阵的逆等计算中。
具体的LU分解算法如下：
输入：一个n×n的非奇异矩阵A
输出：下三角矩阵L和上三角矩阵U
1. 初始化一个n×n的下三角矩阵L和一个n×n的上三角矩阵U，使它们的所有对角元素为1。
2. 对于矩阵A的第一行，将其作为矩阵U的第一行。
3. 对于矩阵A的第一列，将其除以矩阵U的第一个元素得到矩阵L的第一列。
4. 对于矩阵A的剩余行，以及对应的列，进行如下操作：
- 计算当前元素的值，即A(i, j)减去矩阵L的第i行与矩阵U的第j列的内积。
- 如果i小于等于j，将计算得到的值赋给矩阵U的第i行第j列元素。
- 如果i大于j，将计算得到的值除以矩阵U的第j列第j个元素，然后赋给矩阵L的第i行第j列元素。
5. 返回矩阵L和矩阵U作为结果。
通过LU分解算法，可以将解线性方程组的计算转化为简单的矩阵乘法和求解步骤。
此外，通过求解LU分解后的矩阵，还可以求矩阵的逆和行列式等相关计算。
稀疏矩阵 lu分解
稀疏矩阵 lu分解稀疏矩阵LU分解稀疏矩阵LU分解是一种用于解决稀疏矩阵线性方程组的方法。
稀疏矩阵是指矩阵中绝大多数元素为零的矩阵。
在实际应用中，稀疏矩阵的出现是很常见的，比如图像处理、网络分析等领域。
LU分解是将一个矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积的过程。
在稀疏矩阵的情况下，传统的高斯消元法可能会导致大量的计算浪费，因此稀疏矩阵LU分解成为一种更高效的方法。
稀疏矩阵LU分解的基本思想是通过选取适当的行交换和列交换来减小矩阵的非零元素个数，使得原矩阵中的非零元素位于LU分解后上三角或下三角矩阵的主对角线上。
在LU分解过程中，需要注意保持矩阵乘积不变，即A = LU。
以下是稀疏矩阵LU分解的具体步骤：1. 初始化：设置L为单位下三角矩阵，U为原矩阵A的副本。
2. 确定主元：选择A中列主元最大的行作为主元所在的行。
3. 行交换：将主元所在行与第一行交换，并更新L和U的元素。
4. 列交换：将主元所在列与第一列交换，并更新L和U的元素。
5. 更新矩阵：通过高斯消元法将第一列的非零元素置为零，并更新L和U的元素。
6. 迭代：对剩余的子矩阵重复上述步骤，直到得到完整的LU分解。
稀疏矩阵LU分解的核心优势在于减小计算量和存储空间的需求。
通过行交换和列交换，可以将稀疏矩阵的非零元素移动到主对角线上，使得后续的高斯消元过程更加高效。
此外，LU分解可以将复杂的线性方程组问题转化为更简单的求解过程，提高了解决问题的效率。
总结起来，稀疏矩阵LU分解是一种高效解决稀疏矩阵线性方程组的方法。
通过确定主元、行交换和列交换的方式，可以降低计算复杂度和存储空间的需求。
稀疏矩阵LU分解在各种应用领域中都有重要的意义，可以加快问题求解的速度和效率。
数值分析5LU分解法
数值分析5LU分解法LU分解法是一种常用的数值分析方法，用于解线性方程组。
本文将详细介绍LU分解法的原理、算法步骤、优缺点以及应用领域，以期能够全面地掌握这一方法。
一、LU分解法原理LU分解法是将一个方程组的系数矩阵A分解为两个矩阵L和U的乘积的形式，其中L是下三角矩阵，U是上三角矩阵，通过分解可以简化方程组的求解过程。
LU分解法的基本思想是将原始方程组Ax=b分解为Ly=b和Ux=y两个方程组，其中L和U是通过A分解得到的矩阵。
二、算法步骤1.首先，将系数矩阵A分解为两个矩阵L和U。
L是下三角矩阵，主对角线元素均为1，而U是上三角矩阵。
2.然后，将原始方程组Ax=b转化为Ly=b，求解y的值。
3.最后，将解y代入Ux=y，求解x的值，即可得到方程组的解。
三、算法优缺点1.优点：LU分解法将原始方程组的系数矩阵分解为两个形式简单的矩阵，简化了方程组的求解过程。
对于重复使用系数矩阵A的情况，只需要进行一次LU分解，然后根据新的b值求解新方程组，提高了计算效率。
2.缺点：LU分解法需要进行矩阵分解计算，计算量较大，因此对于规模较大的方程组计算效率较低。
此外，当系数矩阵A存在奇异性或病态时，LU分解法可能会失败。
四、应用领域LU分解法在科学计算领域有着广泛的应用，特别是在求解线性方程组方面。
例如，在工程领域中，常需要通过数值方法求解复杂的结构力学问题，此时可以使用LU分解法求解由有限元方法离散得到的大规模线性方程组。
另外，LU分解法还可以用于解非线性方程组、求逆矩阵、计算矩阵的行列式等。
总结：LU分解法是一种常用的数值分析方法，用于求解线性方程组。
通过将系数矩阵A分解为两个矩阵L和U的乘积形式，可以简化方程组的求解过程。
LU分解法的优点是提高了方程组的求解效率，适用于重复使用系数矩阵A的情况。
然而，LU分解法也存在一定的缺点，如计算量较大、对奇异性和病态问题的处理较为困难。
LU分解法在科学计算领域有着广泛的应用，可以用于求解工程问题中的大规模线性方程组，解非线性方程组，求逆矩阵等。
列主元的lu分解
列主元的lu分解
列主元LU分解定理是指对$n$阶可逆方阵$A$，存在置换矩阵$P$、单位下三角矩阵$L$与上三角矩阵$U$，使得$PA=LU$。
列主元LU分解定理的定义针对的是本身不满足$LU$分解定理的条件，但是可以经过初等变换使其满足条件的矩阵。
在实际应用中，该定理的应用可以使矩阵的计算得到简化，从而提高计算效率。
具体来说，列主元LU分解的方法是首先选择矩阵的第一列中绝对值最大的元素作为主元，然后将其所在行的其他元素都置为0，再通过相应的初等行变换将矩阵转换为上三角矩阵和下三角矩阵。
这样的分解方式可以有效地减少计算量和误差，同时也可以提高计算的稳定性和准确性。
在实际应用中，列主元LU分解定理被广泛应用于数值计算、线性方程组求解等领域。
它为矩阵的高效计算提供了重要的理论基础和方法支持。
5.LU分解ppt课件
2
内容:LU分解. 关键词: 1.LU分解 :将系数矩阵A转变成等价两个矩 阵L和U的乘积 ,其中L和U分别是下三角和 上三角矩阵 ,而且要求U的对角元素都是1. 2.紧凑格式:由于可以把L和U两个矩阵压缩 到一个数组中,而且还可以存储在原来的系 数矩阵A的数组中.这种LU分解常被称为紧 凑格式.
a1 b1 , 1 c1 a1
ai bi ai i1
(i 2,3, , n)
i ci (bi i i1 )
(i 2, , n)
15
实现A的Crout分解后
求解
Ax d
当A LU时，可由 Ly d及Ux y解出
从而得之对角方程组的 计算公式
1
c1 a1
i
bi
ci
a i i 1
9
特殊方程组的解法
1.追赶法 2.LDLT分解法
10
1.追赶法
追赶法与稀疏线性方程组
追赶法仍然保持LU分解特性,它是一种特殊的LU分解。 充分利用了系数矩阵的特点，而且使之分解更简单,得 到对三对角线性方程组的快速解法。
因三对角矩阵的非零元素呈“带状”， 我们也因此将它叫做带状矩阵。
11
三对角线性方程组：
i
( B )即根据矩阵乘法及相等
定义，有：
b1 a1 , c1 a11 ; ai i , bi i i1 ai (i 2, , n)
ci ai i (i 2, , n 1)
由比较系数所得关系式 推得计算ai ,i , i 的计算公式
14
追赶法计算公式
i ai
(i 1,2, , n 1)
li1=ai1 / u11
i=2,3,…,n
lii 1
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2. LDLT分解法
实际问题中，当求解方程组的系数矩阵是对称矩阵时， 则用下面介绍的LDLT 分解法可以简化程序设计并减 少计算量. 从定理可知,当矩阵A的各阶顺序主子式不为零时,A 有唯一的Doolittle分解A=LU.此时,当然有,所以矩阵U 的对角线元素uii 0,(i=1,2,,n),将矩阵U的每行依此提 出uii
LU分解法的基本思想
内容:LU分解.
关键词: 1.LU分解 :将系数矩阵A转变成等价两个矩 阵L和U的乘积 ,其中L和U分别是下三角和 上三角矩阵 ,而且要求U的对角元素都是1. 2.紧凑格式:由于可以把L和U两个矩阵压缩 到一个数组中,而且还可以存储在原来的系 数矩阵A的数组中.这种LU分解常被称为紧 凑格式.
（3）[A]阵的存储空间可利用，节省存储。
特殊方程组的解法
1.追赶法 2.LDLT分解法
1.追赶法
追赶法与稀疏线性方程组
追赶法仍然保持LU分解特性,它是一种特殊的LU分解。 充分利用了系数矩阵的特点，而且使之分解更简单,得 到对三对角线性方程组的快速解法。
因三对角矩阵的非零元素呈“带状”， 我们也因此将它叫做带状矩阵。
k 1
d k akk
定理3：若对称矩阵A各阶顺序主子式不为零时, 则 A可以唯一分解为A= LDLT ，这里
1
l21 1
L l31
l32
1
ln1 ln2 lnn1 1
d1
d2
,D
d n
LT为L的转置矩阵。 当A有LDLT分解时，利用矩阵运算法则及相等原理
q2 2
p3
1
n 1
pn 1
qn
q1 b1
pk qk 1
a
，
k
qk
pk k 1
bk， k 1
ck 1
(k 2,3,, n)
于是得计算
L的元素
p
i
及U的qi
和
的计算公式，为：
i
q1 b1
pk a k qk 1
分解。A=LU，则L是下带宽为p的单位下三角矩阵，U是上带 宽为q的上三角矩阵。
阵Doolittle分解形式
b1
c1
a 2
b2
c2
1
p
2
a n1
bn 1
c n 1
an bn
由矩阵乘法及相等定义 ，有：
q1 1
1
易得计算ljk及dk的公式为
k 1
d k akk l 2 kmd m m 1 k 1
l
j
k
(a jk
m1
l jmlkmdm ) / dk
k=1,2,,n; j=k+1,k+2,,n
为减少乘法次数，引入辅助量 ujk= ljkdk,则上面公式可写成
组Ax
d
，只需增加
2
3n
2次乘除法运算。追赶法
的特殊求解过程，节省
计算时
间和存贮空间，但是因 为追赶法来源于 Gauss消元法，因此也存在 Gauss消元法
的缺点，即当 qk 0时不能进行。
下面举实例用追赶法来解三对角方程组。
2 x1 x2
x1
2x2
x2 2x3 x4
k 1
k 1
k 1
n
i
i 1
a ji
l jk uki
l jk uki
l jk
uki
l ji
uii
k 1
k 1
k 1
得Doolittle分解公式
i 1
uij aij lik ukj
k 1
ji
i 1
l ji
(a ji
三对角线性方程组：
b1 x1 a2 x1
c1 x2 b2 x2
c2 x3 a x n1 n1
b x n1 n1 an xn1
b1
c1
a 2
b2
c2
对应的系数矩阵 A
a n1
d1 d2
c x n1 n d n1
u u … u 22
23
2n
…
u u n-1n
(n-1)n
unn U a1n
a2n
a3n
…
…
…
…
a a a … a n1
n2
n3
nn
第i个分量
u 1
j
u2 j
Li U j
li1,li2 ,li3,
lii 1 ,1,0, ,0
u
jj
aij
1
第j个分量
0
其中ai
,
i
,
时待定常数。比较
i
( B )即根据矩阵乘法及相等
定义，有：
b1 a1 , c1 a11 ; ai i , bi i i1 ai (i 2,, n)
ci ai i (i 2,, n 1)
由LU=A及对L和U的要求可以得到分解的计算公 式．根据下式(Doolittle分解)：
1 l21 1 l l 1 31 32
…
…
…
l l … l 1 n1 n2
nn-1
L
a a a … 11
12
13
a a a … 21
22
23
=
a a a … 31
32
33
u u u … u 11 12
13
1n
nn
(2n-1)
l l l … u n1 n2 n3
nn
(2) (4) (6)
(2n)
采用LU分解有如下特点： （1）LU分解与右端向量无关。先分解，后 回代。一般说来，分解的运算次数正比于n 3 回代求解正比与n。2 求 遇到多次回代时，分 解的工作不必重新做。这样节省计算时间。
（2）分解按步进行，前边分解得到的信息 为后边所用。
bn xn
dn
bn 1
c n 1
an bn
设有方程组Ax=d，其中A为三对角矩阵。 假设系数矩阵A满足条件：对A作Crout分解形式
为：
b1 c1 a2 b2 c2
1
2
2
1 1
1 2
则有U DU~,这里
u11
u22
D
unn
1
u12 u11
U~
1
u13 u11
u1n
u11
u23
u2n
u22
u22
1
un 1n
un 1n 1 1
由A=AT，得 (LDU~)T U~T DT LT U~T DLT LDU~ 由分解的唯一性有，U~T L 即，于是可得下面的结论。
an1
bn1
cn1
n1
n1
1
n1
an bn
n n
1
第i个分量
0
0
Li U j 0,0, i1 , i ,0,,0 j1 aij
假定我们能把矩阵A写成下列两个矩阵相乘的形式：A=LU 其中L为下三角矩阵，U为上三角矩阵。这样我们可以把 线性方程组 Ax=b写成
Ax=（LU)x=L( U x ) = b Ly=b
令 U x=y,则原线性方程组 Ax=b Ux=y
于是可首先求解向量y使 Ly=b 然后求解 Ux=y,从而求解线性方程组 Ax=b的目的.
由比较系数所得关系式 推得计算ai ,i , i 的计算公式
追赶法计算公式
i ai
(i 1,2,, n 1)
a1 b1 , 1 c1 a1
ai bi ai i1
(i 2,3,, n)
i ci (bi i i1 )
0
第j个分量
0
n
m axi, j
aij lik ukj
lik ukj
k 1
k 1
根据矩阵乘法及相等的定义,有
n
1
a1j
l1k ukj
l1k
ukj
l 11
u1 j
u1 j
k 1
k 1
j 1,2,, n
l jk uki ) / uii
k 1
ji
在计算机程序中常常用这种方法解线性代数方程组。
它的优点是存储量很省。L和U中的三角零元素都不 必存储，就是U的对角元素也因为都是1没有必要再 记录在程序中，这样只用一个n阶方阵就可以把L和 U贮存起来。即：下三角（包括对角元）存储L各元 素 而上三角存储U的元素。 再考察公式S会发现A中任一元素aij只在计算lij（j<=i） 和uij（j>i)中用到一次以后就不再出现了，因而完全 可以利用原始数组A的单元，一个个逐次贮存L或U中 的相应元素，即：