数学高考题分类不等式(2017年提分必看)
全国高考试卷分类解析不等式专题
8、不等式（2017卷3）5.设,x y 满足约束条件3260,0,0,x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩则z x y =-的取值范围是（）A. []3,0-B.[]3,2-C.[]0,2 D []0,3（2017卷2）7.设x 、y 满足约束条件2+330233030x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是A . -15 B .-9 C . 1 D 9（2017卷1）7．设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．3（2016卷3）（13）设x ，y 满足约束条件210,210,1,x y x y x -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩则z =2x +3y –5的最小值为______.（2016卷2）14.若x ，y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则z =x -2y 的最小值为__________.（2016卷1）（16）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时,生产一件产品A 的利润为2100元,生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为元.（2015卷1）若x ,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩,则z =3x +y 的最大值为．（2015卷1）已知函数1222,1()log (1),1x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩，且()3f a =-，则(6)f a -=（） （A ）74-（B ）54-（C ）34-（D ）14- （2015卷2）若x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧+=≤+-≥--≤-+的最大值为则y x z y x y x y x 2,012,012,05。
2017高考数学试题分类汇编-不等式(含文科理科及详细解析)
2017年高考数学试题分类汇编：不等式2 2 x 0 y 0x y1（2017北京文）已知，，且x+ y=1，则的取值范围是__________．【考点】3W：二次函数的性质．51 ：函数的性质及应用．49 ：综合法；【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；【分析】利用已知条件转化所求表达式，通过二次函数的性质求解即可．【解答】解：x≥0，y≥0，且x+y=1，则x2+y2=x2+（1﹣x）2=2x2﹣2x+1，x∈[ 0，1] ，f（x）=2x则令2﹣为：x= ，开口向上，2x+1，x∈[ 0，1] ，函数的对称轴所以函数的最小值为：f（）= = ．2+1=1．最大值为：f（1）=2﹣则x2+y2 的取值范围是：[ ，1] ．故答案为：[ ，1] ．．力【点评】本题考查二次函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能42（2017 浙江）已知 a R，函数 f (x) | x a | a 在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取x___________．值范围是【考点】3H：函数的最值及其几何意义．51 ：函数的性质及应用．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；5式可知2a﹣a|+ a≤ 5 且a≤5，进而解绝对值不等【分析】通过转化可知| x+﹣≤x+ ≤5，进而计算可得结论．【解答】解：由题可知| x+﹣a，所以a≤5，a| ≤5﹣a|+ a≤5，即| x+﹣a| ≤5﹣a，又因为| x+﹣a，a≤5﹣5≤x+﹣所以a﹣5≤x+ ≤5，所以2a﹣又因为1≤x≤4，4≤x+ ≤5，所以2a﹣5≤4，解得a≤，故答案为：（﹣∞，] ．意解【点评】本题考查函数的最值，考查绝对值函数，考查转化与化归思想，注题．题方法的积累，属于中档3（2017 新课标Ⅲ文数）[选修4—5：不等式选讲]（10 分）已知函数 f (x) =│x +1│–x│–2│.（1）求不等式 f (x) ≥1的解集；（2）若不等式 f (x) ≥x2–x +m的解集非空，求实数m 的取值范围.【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【专题】32 ：分类讨论；33 ：函数思想；4C ：分类法；4R：转化法；51 ：；5T ：不等式．函数的性质及应用【分析】（1）由于f（x）=| x+1| ﹣| x﹣2| = ，解不等式f（x）≥ 1 可分﹣1≤x≤ 2 与x＞2 两类讨论即可解得不等式f（x）≥ 1 的解集；（2）依题意可得m≤[ f（x）﹣x2+x] max，设g（x）=f（x）﹣x2+x，分x≤1、﹣1＜x＜2、x≥ 2 三类讨论，可求得g（x）max= ，从而可得m 的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=| x+1| ﹣| x﹣2| = ，f（x）≥1，∴当﹣1≤x≤ 2 时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；当x＞2 时，3≥ 1 恒成立，故x＞2；综上，不等式f（x）≥ 1 的解集为{x| x≥1} ．（2）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m 成立，即m≤[ f（x）﹣x2+x] max，设g（x）=f（x）﹣x2+x．由（1）知，g（x）= ，当x≤﹣1时，g（x）=﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x= ＞﹣1，∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5；当﹣1＜x＜2 时，g（x）=﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x= ∈（﹣1，2），∴g（x）≤g（）=﹣+﹣1= ；当x≥ 2 时，g（x）=﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x= ＜2，∴g（x）≤g（2）=﹣4+2+3=1；综上，g（x）max= ，∴m 的取值范围为（﹣∞，] ．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题．4（2017 新课标Ⅲ理数）．[选修4- 5：不等式选讲]（10 分）已知函数f（x）=│x+1│–x│–2│．（1）求不等式f（x）≥1的解集；2（2）若不等式f（x）≥x–x +m 的解集非空，求m 的取值范围．解：（1）当x 1时f x x 1 x 23 1无解f (x) x 1 (x 2)当 1 x 2时2x 12x 1 1∴1 x 2 x 1f (x) x 1 ( x 2) 3当x 2时 3 1 综上所述f (x) 1的解集为[1, ) .x 2（2）原式等价于存在x R，使 2f (x) x x m成立，即2[ f (x) x x] mmax设 2g( x) f (x) x x2x x 3 , x 1由（1）知 2g( x) x 3x 1 , 1 x 2当x 1时，2x x 3 , x 22g( x) x x 35（2017 新课标Ⅱ文）[选修4-5 ：不等式选讲]（10 分）已知 3 3a 0,b 0,a b 2.证明：（1） 5 5(a b)( a b ) 4；（2）a b 2 .【解析】（1）5 56 5 5 6a b a b a ab a b b23 3 3 34 4a b 2a b ab a b4 2 2ab a b24（2）因为3 3 2 2 3a b a 3a b 3ab b2 3ab a+b2 33 a+b 3 a+b2+ a+b 24 4所以3a+b 8 ，因此a+b≤ 2.6（2017 新课标Ⅱ理）[选修4—5：不等式选讲]（10 分）已知 3 3a 0,b 0,a b 2．证明：（1） 5 5(a b)(a b ) 4；（2）a b 2．【解析】（1）5 56 5 5 6 a ba b a ab a b b23 3 3 34 4a b 2a b ab a b4 2 2ab a b24（2）因为3 3 2 2 3a b a 3a b 3ab b2 3ab a+b2 3 3 a+b3 a+b2+ a+b 24 4所以3a+b 8 ，因此a+b≤ 2.7（2017 新课标Ⅰ文数）[选修4—5：不等式选讲]（10 分）2+ax+4，g(x)= │x+1│+x│–1│.已知函数f（x）=–x（1）当a=1 时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；围.（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求 a 的取值范解：（1）当a 1时，不等式 f (x) g(x) 等价于 2 | 1| | 1| 4 0x x x x .①当x 1时，①式化为x2 3x 4 0，无解；当 1 x 1时，①式化为x2 x 2 0 ，从而 1 x 1；当x 1时，①式化为x2 x 4 0，从而1 1 17x .2所以 f (x) g( x) 的解集为1 17 { x| 1 x } .2（2）当x [ 1,1] 时，g (x) 2 .所以 f (x) g( x) 的解集包含[ 1,1]，等价于当x [ 1,1] 时 f (x) 2 .又 f (x) 在[ 1,1] 的最小值必为 f ( 1) 与 f (1) 之一，所以 f ( 1) 2 且 f (1) 2 ，得1 a 1 .所以a的取值范围为[ 1,1].x y z8（2017 新课标Ⅰ理数）设x、y、z 为正数，且 2 3 5，则A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3 y<5z<2x D．3y<2x<5z 【考点】72：不等式比较大小．【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用；59 ：不等式的解法及应用．【分析】x、y、z 为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x= ，y= ，z= ．可得3y= ，2x= ，5z= ．根据= = ，＞= ．即可得出大小关系．x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x= ，y= ，z= ．另解：x、y、z 为正数，令2= = ＞1，可得2x＞3y，同理可得5z＞2x．【解答】解：x、y、z 为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x= ，y= ，z= ．∴3y= ，2x= ，5z= ．∵= = ，＞= ．∴＞lg ＞＞0．∴3y＜2x＜5z．另解：x、y、z 为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．x= ，y= ，z= ．则∴= = ＞1，可得2x＞3y，= = ＞1．可得5z＞2x．综上可得：5z＞2x＞3y．解法三：对k 取特殊值，也可以比较出大小关系．故选：D．【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质理，考查了推能力与计算能力，属于中档题．9（2017 新课标Ⅰ理数）．[选修4—5：不等式选讲]（10 分）2+ax+4，g(x)= │x+1│+x│–1│.已知函数f（x）=–x（1）当a=1 时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；围.（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求 a 的取值范【解析】（1）当a 1时，不等式 f (x) g( x) 等价于 2 | 1| | 1| 4 0x x x x . ①4 4 4 1a b10（2017 天津文）若a，b R，ab 0 ，则ab 的最小值为.【考点】7F：基本不等式．【专题】34 ：方程思想；4R：转化法；5T ：不等式．【分析】【方法一】两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件是什么．【方法二】将拆成+ ，利用柯西不等式求出最小值．【解答】解：【解法一】a，b∈R，ab＞0，∴≥==4ab+ ≥ 2 =4，当且仅当，即，即a= ，b= 或a=﹣，b=﹣时取“=；”∴上式的最小值为4．【解法二】a，b∈R，ab＞0，∴= + + + ≥ 4 =4，当且仅当，即，即a= ，b= 或a=﹣，b=﹣时取“=；”∴上式的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，是中档题．4 4 4 1a b11（2017 天津理）若a,b R，ab 0 ，则ab 的最小值为___________.【答案】 4【解析】4 4 4 1 4 2 2 1a b a bab ab4 ，当且仅当 a 2b 1时取等号x y12（2017 山东文）若直线1(a＞0，b＞0) 过点（1,2）,则2a+b 的最小值为.a b【答案】8（7）（2017 山东理）若a b 0 ，且ab 1 ，则下列不等式成立的是1 ba log ab （A） 2ab 2blog（B） 2a2a b a1b1（C）a log2 a bb ba2log（D） 2a b a1bba2【答案】 Bb【解析】 a 1,0 b 1, 1,log 2 (a b) log 2 2 ab 1,a21a 1 1b a a b a a b2 log ( )2b b，所以选 B.x13（2017 江苏）某公司一年购买某种货物600 吨，每次购买吨，运费为 6 万元/次，一年4x x 的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是▲．【解析】总费用600 9004x 6 4(x ) 4 2 900 240x x，当且仅当x900x，即x 30 时等号成立.14(2017 年江苏卷)［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10 分）a b c d a2 b2 4,c2 d 2 16, ac bd ≤8., , ,已知为实数，且证明：【解析】由柯西不等式可得 2 2 2 2 2(a b )(c d ) (ac bd) ，即 2(ac bd) 4 16 64，故ac bd 8 .15（2017 北京理）能够说明“设a，b，c 是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c 的值依次为______________________________ ．【考点】FC：反证法．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；5L ：简易逻辑．【分析】设a，b，c 是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，则若a＞b ＞c，则a+b≤c”是真命题，举例即可，本题答案不唯一【解答】解：设a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，a，b，c 是任意实数．若a＞b＞c，则a+b≤c”是真命题，则若可设a，b，c 的值依次﹣1，﹣2，﹣3，（答案不唯一），故答案为：﹣1，﹣2，﹣3【点评】本题考查了命题的真假，举例说明即可，属于基础题．16.（2017?新课标Ⅲ文数）设x，y 满足约束条件则z=x﹣y 的取值范围是（）A．[ ﹣3，0] B．[ ﹣3，2] C．[ 0，2] D．[ 0，3]【考点】7C：简单线性规划．【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；35 ：转化思想；5T ：不等式．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的范围即可．【解答】解：x，y 满足约束条件的可行域如图：目标函数z=x﹣y，经过可行域的A，B时，目标函数取得最值，由解得A（0，3），由解得B（2，0），目标函数的最大值为：2，最小值为：﹣3，目标函数的取值范围：[ ﹣3，2] ．故选：B．【点评】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最优解以及可行域的作法是。
2017年高考数学(深化复习+命题热点提分)专题20不等式选讲理
I 专题20不等式选讲1.设f(x) = |2x - 1| - |x + 1|.(1)求f(x)<0 的解集；⑵当x< - 1时，f(x)>f(a)，求实数a的取值范围.1x - 2, x> 2，解：(1)f(x) = 1 其图像如图所示.1- 3x, - 1<x<2,-x+ 2, x<- 1,令f(x) = 0,解得X1 = 0, X2= 2,••• f(x)<0 的解集为{x|0<x<2}⑵如图，当x<- 1 时，f(x)>3，要使f(x)>f(a)，只需f(a) <3.当f(a) = 3 时，有一3a= 3 或a-2 = 3，即a =- 1 或a = 5，•—Ka<5.(1) 若函数f(x)的值不大于1，求x的取值范围；⑵若不等式f(x) - g(x) > 1的解集为R求m的取值范围.解：⑴由题意得x—3|<3^解得0<x<6>所以誥的取11范围是(2)f(x) —g(x)= x-3 + x+ 1 —因为对任青的实数Xj 有f{x) — g(x)= x— 3 十誥+ 1 — 6= 3 —x + x+ 1 —(3—x) + (x+ 1) —6=4 —6=所以有得叱一知即tn的取值范围是{一巧-3h3. 已知函数f(x) = |x| + |x - 3|.(1)求不等式f(x) W5的解集；(2)若函数f(x)的最小值为m 且正实数a, b, c满足a+ b + c = m 求证：2a+ 1 + 2b+ 1 +寸2c + 1 w 3 3.| - 2x + 3, x w 0,解：(1)f(x) = |x| + |x —3| = 3, 0<x<3,(2x - 3，x》3.当x<0 时，一2x + 3W5,得一1W x W0;当0<x<3 时，3<5,得0<x<3;当x>3 时，2x—3W 5,得3W x W 4.综上，不等式f(x) W5的解集为[—1, 4].(2)证明：由绝对值三角不等式，得f(x) = |x| + |x —3| > |x —(x —3)| = 3，故m= 3，即a+ b+ c= 3.根据柯西不等式，有(1 •2a+ 1 + 1 •2b+ 1 +1 •2c + 1) 2w(1 2+ 12+ 12)[( 2a+ 1)2+ (• 2b+ 1)2 + ( ,2c + 1)2]=3[2(a + b+ c) + 3] = 27.所以Q2a +1 +寸2b+ 1 +寸2c+ 1 w 3 Q3,当且仅当(1= . 1= . 1，即a = b = c= 1时取等v v7 Q2a+1 ^2b+1 ^2c +1号.4. (1)已知函数f(x) = |x —1| + |x + 3|，若f(x)为常函数，求函数f(x)的定义域；⑵若x, y, z€R, x2+ y2+ z2= 1,求m= + Q2y + Q5z 的最大值.若fU)为常函8L则其定义域为[-知1].| 由柯西不等式得(X'+y-+z-+ )■ & ++^z):f所臥迈x+迈丫+适Wb当且仅当铲沪左时取等号・因此m的最大值为3.5. 已知函数f(x) = |2x + 1| + |2x —3|.(1)求不等式f(x) W6的解集；⑵若关于x的不等式f(x)<|a —1|的解集非空，求实数a的取值范围.解：(1)原不等式等价于3厂 3 x>2, 2「1 3—"W x W 二， 或《2 2I (2x + 1) + ( 2x — 3)W6[(2x + 1) — ( 2x — 3)<6；< -1或(2—(2x + 1) — ( 2x — 3)< 6,3 1 3 1 解得 2<X W2 或一 2 W X W 2或—1W x<— 2故不等式的解集为{X| — 1W X W 2}.⑵•/f(x) = |2x + 1| + |2x — 3| >|(2x + 1) — (2x — 3)| = 4,••• |a — 1|>4，解此不等式得 a<— 3或a>5. 6.已知a , b 为正实数.14(1)若a + b = 2,求芹 + 1+^的最小值;⑵ 求证：a 2b 2 + a 2 + b 2> ab(a + b + 1).解:14 1 1 4 (1)1+^ + 1+b = 4(1+^ + 1+b )(1 + a + 1 + b)1 1 + b 4 + 4a 1 =4(5 +1+^+7+b )》4(5 + 21 + b 1 + a 4+ 4a 91 + b )=4，1 + b 4+ 4a 15等号成立的条件为1+a = 1 + b ，而a + b = 2且a , b 为正实数，所以 a = - , b = 3.9 故所求最小值为-. 4(2)证明：由基本不等式得a 2b 2+ a 2>2a 2b , a 2b 2+ b 2>2b 2a , a 2 + b 2>2ab ,当且仅当a =b = 1时，三式等号成立， 2 2 2 2 2 2 三式相加得 2a b + 2a + 2b >2a b + 2ab + 2ab = 2ab(a + b + 1), 所以 a b + a + b 》ab(a + b + 1). 7、若不等式|a — 1| > 3x + 1+ . 3y + 1+ , 3z + 1对满足x + y + z = 1的一切正实数 x , y , z 恒成立, 求实数a 的取值范围. 解：根据柯西不等式有 (3x + 1 + 3y + 1 + 3z + 1)2= (1 • 3x + 1 + 1 • , 3y + 1 + 1 • . 3z + 1)2W (1 2+ 12+ 12)[( 3x + 1)2+ (3y + 1)2+ ( 3z + 1)2] = 3 • [3(x + y + z) + 3] = 3X 6= 18, 1 • 3x + 1 + 3y + 1+ 3z + 1W 3 ,2,当且仅当，3x + 1 = 3y + 1 = 3z + 1,即 x = y = z =-时，等号 成立.又|a —1|》\/3x + 1 + '■(3y + 1 + J 3z + 1 恒成立，• |a —1|》32,十3而赢+3abc>2abc Tabc = 6,②1 1 1• g + ^3+ c 3+ 3abc > 6,③(2)由(1)知 m 6,则 | x + 1| — 2x <6，即 | x + 1|<6 + 2x ,• — 6— 2x <x +1<6 + 2x ,•原不等式的解集为(一|,+m ).a — 1》3 ?2或 a — 1 w — 3 ■■：, 2，即卩 a 》3 ・J 2+ 1 或 a w 1 —3 ：_/2 , 8、设a , b , c 均为正实数，求证： 111 1 1 1 2 2 2+ + > + + > + + . abcab bc acb+c c+a a+b•••a 的取值范围是(一a, 1 — 3 2] U [1 + 32,+^).证明：f 均为正实数, •叮為当且仅当a=b时等号成立' 尙当且仅当b=c 时等号成乖 熬壽去当且仅十时等号成址 13 17? 7 4 d j三个不等式相加即得古+吉硫+養豪吊+科+席？当且仅当輕=昭号咸立, 即丄+右+、*+鸟+¥二三+三+丄. a b c 寸訪伍 A/ac a+b fe + c c+a 9、已知 a>0, b>0, 1 1 1 ，+ c>0, r+ 3+ 3+ 3abc 的最小值为 a b c m. (1)求m 的值; (2)解关于x 的不等式|x +1| — 2x<m. ” 1 1 1 解：(1) T a , b , C €R +,••飞+ 3+ 3>3a b c 1 b 3 1 _ 3_ c 3 — abc '1 1 1 3 -• a 3+£+ 芦3abc 》赢+ 3abc ，①当且仅当a = b = c 时，①式等号成立；当且仅当 abc=3abc时，②式等号成立;则当且仅当a = b = c = 1时，③式等号成立，即 1 1 1孑+尹尹3abc取得最小值佯&—6 — 2x <x + 1,x + 1<6 + 2x ,解得卜-7,“>—5,10.已知函数f(x) = | x—4| + I x+ 5|.(1)试求使等式f (x) = |2x + 1|成立的x的取值范围；⑵若关于x的不等式f(x)<a的解集不是空集，求实数a的取值范围.■- b解—4| + |x+5 =9 - S<x<4} bx+1, A>4.r 1-2x- b疋一尹又|2x+l日亠2x+ 1 *X. X所以若Ax')— |2x+l ,则x的取值范围杲(-gj -5]U[4j +对・(R 因为J[x)=\x~4+ |x+ 5|>|(jt-4；i-(工 + 5)=9?■卫工)血11=9亠所以若关于工的不等式金)4的解集非空，则血心治二久艮卩口的取倩范围是9 +611 .已知函数f (x) = | x+ 2| —| x—1|.(1)试求f (x)的值域；ay2——3x + 3⑵设g(x) = (a>0)，若任意s € (0,+8 )，任意t € ( —m,+m )，恒有g(s) > f (t)成立, 试求实数a的取值范围.解(1)函数可化为[一3, x<—2,f(x) = 2x + 1,—2< x< 1,3, x>1.••• f(x) € [ —3, 3].2ax —3x+ 3 3 2 —⑵右x>0,贝U g( x) —— ax + 3 >2 寸3a 3,即当ax —3 时，g( x) min —3a 3,x又由(1)知f (x) max= 3.若？s€ (0,+^ ) , ? t € ( —m,+m )，恒有g( s) > f ( t )成立，则有g(x) min> f ( x) max,••2 3a—3 > 3,• a>3,即卩a的取值范围是[3 ,+^).12.设函数f(x) = |2x —1| —|x+ 2|.(1)求不等式f(x) >3的解集;⑵ 若关于x 的不等式f (x ) >t 2— 3t 在［0,1］上无解，求实数t 的取值范围.1x — 3, x > 2,解(1)f (x ) =— 3x — 1,— 2< x v 2,U [6 ,+^)・2⑵只要 f (X )max < t — 3t ,由(1)知 f (X )max =— 1 V t 2— 3t 解得 t > —或 t V ----------- 2"^(1)当a=2时，解不等式f(x)<1.(2)若对于任意实数 x,恒有f(x) < 2a 成立,求a 的取值范围【解析】d)a-2时贞就罡十3 ZK 当x<-2时2"得衣匕不成立； 当-2£x<3 时3-x-x-2<1;,得 x>0: 所以0<X<3； 当 x>3 时,x-3-x-2<k综上可知:不等式«X}<1的解集是©T⑵因为 f(x)=|x-3卜 |x+a| W |(x -3)-(x+a)|=|a+3|, 所以f(x)的最大值为|a+3|.对于任意实数x,恒有f(x) < 2a 成立等价于|a+3| < 2a, 解得a >3;所以a 的取值范围是［3,+ o ).14. 已知函数 f(x)=|x-a|- |x+3|,a € R.(1)当a=-1时,解不等式f(x) < 1.⑵不等式f(x) W4在x €［-2,3］时恒成立，求a 的取值范围所以原不等式转化为3 — x , x v — 2,1x > ，J -輕 x V 1，、一3x — 1>3, x v — 2,或1-XA 3,所以原不等式的解集为4——oo———,313.设函数 f(x)=|x-3|-|x+a|.其中a € R.【解析】 ⑴ 当a=-1时,不等式为|x+1卜|x+3| < 1, 当x w -3时,不等式转化为-(x+1)+(x+3) < 1,恒不成立 当-3<x<-1时，不等式转化为-(x+1)- (x+3) w 1,5解之得-—w x<-1;2当x > -1时，不等式转化为(x+1)- (x+3) w 1,恒成立； 综上不等式的解集为⑵ 若 x €[-2,3]时,f(x)=|x-a|-(x+3),则 f(x) W4 即 |x- a| w x+7, 所以-x- 7wx - a w x+7, 即为-7w a w 2x+7恒成立, 又因为x €[-2,3], 所以-7w a w 3,所以a 的取值范围为[-7,3].15. 已知 a,b € R,f(x)=|x -2|-|x-1|.(1)若f(x)>0,求实数x 的取值范围(2)对? b € R,若|a+b|+|a- b| >f(x)恒成立,求a 的取值范围【解析】(1)由 f(x)>0 得|x-2|>|x-1|, 两边平方得x -4x+4>x -2x+1,3解得x< ,2(2)|a+b|+|a- b| > |a+b+a-b|=2|a|,因为 f(x)=|x-2|-|x-1|,f(x)1 1 1 所以2|a| >1 ? |a| > -? a > -或 a w - _,所以a 的取值范围为一 ' —-16. 设函数 f(x)=|x+2|-|x-2|.即实数x 的取值范围是ma )=1,U(1)解不等式f(x) > 2(2)当x€ R,0<y<1 时,证明:|x+2|-|x-1 1 2| w +y i-y(4 K > 2,【解析】⑴由已知可得:fx)彳2%, —2 < x < 2. I—4, x —2*所^J(x)>2的解集为{xx>l}.⑵由⑴ iQJx+2 - x-2 H(x+2)-(x-2) =4:1 1y i-y1-v y 当且仅当了鼻二：1即尸了寸取等号*y1—y17. 已知函数f(x)=|x-1|.(1)解不等式:f(x)+f(x- 1) < 2.⑵若a>0,求证:f(ax)- af(x) < f(a).【解析】⑴由题f(x)+f(x-1)=|x-1|+|x-2|, 因此只需解不等式|x-1|+|x-2| < 2.当x wi时，原不等式等价于-2x+3W 2,1即 < x< 1.2当1<x W2时,原不等式等价于K 2,即1<x w 2.当x>2时,原不等式等价于2x- 3< 2,5即2<x w .2综上，原不等式的解集为｛x|扌三X⑵由题f(ax)-af(x) =|ax-1|-a|x-1|.当a>0 时,f(ax)-af(x)=|ax_1|_|ax_a|=|ax-1|-|a- ax| < |ax -1+a-ax|=l a-1l=f(a).18. 已知函数f(x)=|x+2|-2|x-1|.(1) 求不等式f(x) > -2的解集.⑵对任意x€ [a,+ g),都有f(x) <x -a成立，求实数a的取值范围【解析】当匹2时7X-4>-2T即虺乙所以圧型当-2*1 时:3x>-2:2即<2所以-尹4当虺1时即0综上｛刘-^ < X < 6).X —4* x 荃一2』(2) f(x)= ■ 3x, - 2 < x < 1,—x+ 4,x > 1,函数f(x)的图象如图所示：令y=x-a,-a表示直线的纵截距当直线过(1,3)点时，-a=2;所以当- a》2,即a w -2时成立;o•寸A e帑G v r o①密起F A e品-—+CXI A P公+。
2017高考数学数列与不等式考题汇编详细解析.doc
2017高考数学数列与不等式考题汇编详细
解析
数列一章的【学习目标】如下：
1．系统掌握数列的有关概念和公式；
2．掌握等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式与前n项和公式，并运用这些知识解决问题；
3．了解数列的通项公式an与前n项和公式Sn的关系，能通过前n项和公式Sn求出数列的通项公式an;
4．掌握常见的几种数列求和方法.
不等式一章的【学习目标】如下：
1.能正确的记忆和灵活运用不等式的性质；
2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型和二元一次不等式组，提高数学建模能力；
3.掌握一元二次方程，二次函数，一元二次不等式，这三个“二次”的联系，会解一元二次不等式；
4.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组，会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；
5.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题，注意基本不等式适用的条件.。
2017届高三最新考试数学理试题分类汇编：不等式含答案
江西省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编不等式2017.02一、选择、填空题1、（红色七校2017届高三第二次联考）设x、y 满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，当+的最小值为m时，则y=sin（mx +）的图象向右平移后的表达式为．2、（赣吉抚七校2017届高三阶段性教学质量监测考试（二））设x y，满足约束条件430 0x yy xx y≥⎧⎪≥-⎨⎪≥≥⎩，，若目标函数()220z x ny n=+>，z最大值为2，则tan6y nxπ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π后的表达式为（）A．tan26y xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭B．cot6y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭C.tan26y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭D．tan2y x=3、（赣中南五校2017届高三下学期第一次联考）4、（上饶市2017届高三第一次模拟考试）已知x，y满足约束条件20,53120,3,x yx yy--≤⎧⎪--≥⎨⎪≤⎩当目标函数z ax by=+（0a>，0b>）在该约束条件下取得最小值1时，则123a b+的最小值为（）A．422+B．42C．322+D．325、（江西省师大附中、临川一中2017届高三1月联考）已知变量,x y满足约束条件26x y y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪≤+⎩，则2z x y =-的取值范围是___________ 6、（新余市2017高三上学期期末考试） 若实数x y 、满足约束条件101010x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨+≥⎪⎩，将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为a b 、，则函数2ax by Z =+在点(2,1)-处取得最大值的概率为（ ）A. 15B. 25C. 16D. 567、（宜春中学2017届高三2月月考）已知关于x 的不等式kx 2﹣6kx+k+8≥0对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．0≤k≤1 B ．0＜k≤1 C ．k ＜0或k ＞1D ．k≤0或k≥18、（宜春中学2017届高三2月月考）设x ，y 满足约束条件，则z=2x﹣y 的最大值为 ．9、（江西省重点中学协作体2017届高三下学期第一次联考）已知实数,x y 满足||1x y ≤+，且11≤≤-y ，则2z x y =+的最大值（ ） A ．2B ．4C ．5D ．610、（江西师范大学附属中学2017届高三12月月考）在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≥⎩所确定的平面区域内的动点，Q 是直线20x y +=上任意一点，O 为坐标原点，则||OP OQ -u u u r u u u r的最小值为A 5B 2C 2D ．1 11、（南昌市八一中学2017届高三2月测试）动点),(y x P 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥3521y x y x y ，点Q 为)1,1(-，O 为原点，OQ OP OQ λ=⋅u u u r u u u r u u u r，则λ的最大值是（ ）A ．1-B ．1C ．2D 2二、解答题1、（江西省师大附中、临川一中2017届高三1月联考）（1）设函数|||2|)(a x x x f ++-=，若关于x 的不等式3)(≥x f 在R 上恒成立，求实数a 的取值范围； （2）已知正数,,x y z 满足231x y z ++=，求321x y z++的最小值.2、（新余市2017高三上学期期末考试）已知关于实数x 的不等式是2211a x x log ---≤ (1)当8a =时，求该不等式的解集； (2)若该不等式有解，求实数a 的范围。
2017高考数学不等式真题汇编
2017年高考数学《不等式》真题汇编1.（全国卷Ⅰ）设z y x 、、均为正数，且235x y z==，则（D ）A ．235x y z <<B ．523z x y <<C ．352y z x <<D ．325y x z << 2（全国卷Ⅰ）已知函数2()4,()|1||1|f x x ax g x x x =-++=++-（1）当1a =时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围.解：（1）当时，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤ ①当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤； 当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而11712x -+<≤ 所以()()f x g x ≥的解集为117{|1}2x x -+-≤≤（2）当[1,1]x ∈-时，()2g x = 所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，得11a -≤≤ 所以a 的取值范围为[1,1]-3.（全国卷Ⅱ）已知330,0,2a b a b >>+=，证明：（1）55()()4a b a b ++≥；（2）2a b +≤．解：（1）556556()()a b a b a ab a b b ++=+++3323344()2()a b a b ab a b =+-++ 2224()ab a b =+-4≥（2）因为33223()33a b a a b ab b +=+++23()ab a b =++1a =23()2()4a b a b +≤++33()24a b +=+ 所以3()8a b +≤，因此2a b +≤.4.（全国卷Ⅲ）已知函数()||||f x x x =+1--2．（1）求不等式()f x ≥1的解集；（2）若不等式()f x x x m 2≥-+的解集非空，求m 的取值范围．解：（1）3,1,()21,12,3,2x f x x x x -<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪>⎩当1x <-时，()1f x ≥无解；当12x -≤≤时，由()1f x ≥得，211x -≥，解得12x ≤≤；当2x >时，由()1f x ≥解得2x >，所以()1f x ≥的解集为{|1}x x ≥（2）由2()f x x x m ≥-+得2|1||2|m x x x x ≤+---+，而22|1||2|||1||2||x x x x x x x x +---+≤++--+235(||)24x =--+54≤ 且当32x =时，25|1||2|4x x x x +---+=，故m 的取值范围为5(,]4-∞5.（山东卷（理））若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是（B ）（A ）()21log 2a b a a b b +<<+（B ）()21log 2a b a b a b<+<+ （C ）()21log 2a b a a b b +<+<（D ）()21log 2a b a b a b +<+< 6.（山东卷（文））若直线1(00)x y a b a b +=＞，＞ 过点（1,2），则2a b +的最小值为8 7.（天津卷（理））已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =， (3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（C ）（A ）a b c <<（B ）c b a <<（C ）b a c << （D ）b c a <<8.（天津卷（理））若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________4 9.（江苏卷）已知,,,a b c d 为实数，且22224,16a b c d +=+=，证明：8ac bd +≤. 证明：由柯西不等式可得：22222()()()ac bd a b c d +≤++，因为22224,16a b c d +=+=所以2()64ac bd +≤，因此8ac bd +≤10.（浙江卷）已知数列{x n }满足：1111,ln(1)(*)n n n x x x x n N ++==++∈证明：当n ∈N*时，（Ⅰ）10n n x x +<<； （Ⅱ）1122n n n n x x x x ++-≤； （Ⅲ）121122n n n x ++≤≤ 证明：（Ⅰ）用数学归纳法证明：0n x >当1n =时，110x =>假设n k =时，0k x >，那么1n k =+时，若10k x +≤，则110ln(1)0k k k x x x ++<=++≤，矛盾，故10k x +>因此*0()n x n N >∈，所以111ln(1)n n n n x x x x +++=++> 因此*10()n n x x n N +<<∈（Ⅱ）由11ln(1)n n n x x x ++=++得，2111111422(2)ln(1)n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++ 记函数2()2(2)ln(1)(0)f x x x x x x =-+++≥22()ln(1)0(0)1x x f x x x x +'=++>>+， 函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，所以()(0)0f x f ≥=，因此2111112(2)ln(1)()0n n n n n x x x x f x +++++-+++=≥， 故*112()2n n n n x x x x n N ++-≤∈ （Ⅲ）因为11111ln(1)2n n n n n n x x x x x x +++++=++≤+=， 所以112n n x -≥，由1122n n n n x x x x ++≥-得 111112()022n n x x +-≥->， 所以12111111112()...2()2222n n n n x x x ----≥-≥≥-=， 故212n n x -≤ 综上，*1211()22n n n x n N --≤≤∈。
2017年高考试题分类汇编(不等式)
2017年高考试题分类汇编（不等式）考点1 解不等式或不等式的证明 考法1 解不等式1.（2017·全国卷Ⅰ·文科）已知集合{}2A x x =<，{}320B x x =->，则A ．32AB x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭ B.A B =∅C ．32A B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭ D.A B R =2.（2017·全国卷Ⅰ·理科）已知集合{}1A x x =<,{}31x B x =<,则 A.{|0}A B x x =< B.A B R = C.{|1}A B x x => D.A B =∅ 3.（2017·全国卷Ⅰ·理科）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3] 4.（2017·天津卷·文科）设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 考法2不等式的证明1.（2017·全国卷Ⅰ·理科）设,,x y z 为正数，且235x y z ==，则 A ．235x y z << B ．523z x y << C ．352y z x << D ．325y x z <<2.（2017·天津卷·理科）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则,,a b c 的大小关系为A.a b c <<B.c b a <<C.b a c <<D.b c a << 3.（2017·北京卷·文科）能够说明“设,,a b c 是任意实数．若a b c >>，则a b c +>”是假命题的一组整数,,a b c 的值依次为_____________．4.（2017·山东卷·理科）已知命题p :任意0x >，ln(1)0x +>；命题q :若a b >,则22a b >.下列命题为真命题的是A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝5．（2017·山东卷·理科）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是A ．21log ()2a b a a b b +<<+B ．21log ()2a b a b a b <+<+C ．21log ()2a b a a b b +<+<D ．21log ()2a ba b a b +<+<6.（2017·山东卷·文科）已知命题p ：存在x R ∈:210x x -+≥；命题q ：若22a b <,则a b <.下列命题为真命题的是A.p q ∧B.C.p q ⌝∧D.p q ⌝∧⌝ 考点2 简单线性规划1.（2017·全国卷Ⅰ·理科）设,x y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则32z x y =-的最小值为 .2.（2017·全国卷Ⅲ·理科）若x ，y 满足约束条件y 0200x x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z 34x y=-的最小值为____．3.（2017·全国卷Ⅲ·文科）设,x y 满足约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则z x y =-的取值范围是A.[]3,0-B.[]3,2-C.[]0,2D.[]0,34.（2017·北京卷·文理科）若,x y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则2x y +的最大值为 A.1 B.3 C.5 D.95.（2017·全国卷Ⅱ·文理科）设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是A ．15-B ．9-C ．1D ．96.（2017·天津卷·理科）设变量,x y 满足约束条件2022003x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩,则目标函数z x y =+的最大值为A.23B.1C.32D.3 7.（2017·山东卷·理科）已知,x y 满足约束条件3035030x y x y x -+≤⎧⎪++≤⎨⎪+≥⎩,则2z x y =+的最大值是A ．0B ．2C ．5D ．68.（2017·山东卷·文科）已知,x y 满足约束条件250302x y x y -+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则2z x y =+的最大值是A.3-B.1-C.1D.39.（2017·浙江卷）若,x y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+->⎨⎪-≤⎩,则2z x y =+的取值范围是A.[]0,6B.[]0,4C.[)6,+∞D.[)4,+∞10.（2017·全国卷Ⅰ·文科）设,x y 满足约束条件3310x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则z x y =+的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．3 考点3 不等式选讲1.（2017·全国卷Ⅰ·文理科）已知函数2()4f x x ax =-++，()11g x x x =++-. （Ⅰ）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（Ⅱ）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，求a 的取值范围.2.（2017·全国卷Ⅱ·文理科）已知0a >，0b >，332a b +=，证明： （Ⅰ）55()()4a b a b ++≥； （Ⅱ）2a b +≤．3.（2017·全国卷Ⅲ·文理科）已知函数()12f x x x =+--． （Ⅰ）求不等式()1f x ≥的解集；（Ⅱ）若不等式2()f x x x m ≥-+的解集非空，求m 的取值范围．。
2017数学高考分类·理科(2017高考真题+模拟新题)E单元 不等式
E 单元 不等式E1 不等式的概念与性质7．E1[2017·山东卷] 若a>b>0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＋1b <b2a <log 2(a ＋b)B .b 2a <log 2(a ＋b)<a ＋1bC ．a ＋1b <log 2(a ＋b)<b 2aD ．log 2(a ＋b)<a ＋1b <b2a7．B [解析] 利用特殊值法检验排除，当a ＝2，b ＝12时，选项A ，C ，D 对应的不等式不成立，故选B .E2 绝对值不等式的解法E3 一元二次不等式的解法1．A1、B1、E3[2017·山东卷] 设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln (1－x)的定义域为B ，则A ∩B ＝( )A ．(1，2)B ．(1，2]C ．(－2，1)D ．[－2，1)1．D [解析] 由4－x 2≥0得－2≤x ≤2，所以A ＝{x|－2≤x ≤2}；由1－x>0得x<1，所以B ＝{x|x<1}．故A ∩B ＝{x|－2≤x<1}，故选D .E4 简单的一元高次不等式的解法E5 简单的线性规划问题2．E5[2017·天津卷] 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥0，x ＋2y －2≥0，x ≤0，y ≤3，则目标函数z ＝x ＋y的最大值为( )A .23 B ．1 C .32D ．3 2．D [解析] 由题意画出可行域如图所示，且A(0，1)，B(0，3)，C ⎝⎛⎭⎫－32，3，D(－23，43)．由图可知，当直线z ＝x ＋y 过B 点时，目标函数取得最大值，且z max ＝0＋3＝3.4．E5[2017·山东卷] 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≤0，3x ＋y ＋5≤0，x ＋3≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值是( )A ．0B ．2C ．5D ．64．C [解析] 画出约束条件所表示的平面区域，如图，平移直线x ＋2y ＝0，当直线过A 点时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋5＝0，x ＝－3， 得A(－3，4)，所以z max ＝－3＋8＝5，故选C .5．E5[2017·全国卷Ⅱ] 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15B ．－9C ．1D ．95．A [解析] 已知不等式组表示的平面区域如图中阴影区域所示，根据目标函数的几何意义，可知该目标函数在点A 处取得最小值．由2x －3y ＋3＝0，y ＝－3，得A(－6，－3)，故z min ＝－12－3＝－15.14．E5[2017·全国卷Ⅰ] 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为________．14．－5 [解析] 已知不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由z ＝3x －2y ，得y ＝32x －z 2，当z 最小时，－z2最大，故在点A 处目标函数取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，2x ＋y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，所以z min ＝－3－2＝－5.13．E5[2017·全国卷Ⅲ] 若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________．13．－1 [解析] 作出约束条件表示的可行域，如图所示．目标函数为z ＝3x －4y ，则直线y ＝34x －z4的纵截距越大，z 的值越小．由图可知，目标函数线过点A (1，1)时，z 取得最小值，故z min ＝3×1－4×1＝－1. 4．E5[2017·北京卷] 若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥2， y ≤x ，则x ＋2y 的最大值为( )A ．1B ．3C ．5D ．94．D [解析] 画出约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示，平移直线x ＋2y ＝0，当直线经过A 点时，x ＋2y 的值最大．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＝3得A (3，3)，所以x ＋2y 的最大值为3＋2×3＝9，故选D.4．E5[2017·浙江卷] 若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞)4．D [解析] 画出二元一次不等式组所表示的平面区域(如图中阴影部分所示)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －2y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，因此图中点A 的坐标为(2，1)．将目标函数转化为y ＝－12x ＋12z ，可知当直线y ＝－12x ＋12z 过点A 时，z 取得最小值，且最小值为2＋2×1＝4，故z ＝x ＋2y 的取值范围是[4，＋∞)，因此选D.E610．H8、E6[2017·全国卷Ⅰ] 已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．1010．A [解析] 根据题意可知直线l 1，l 2的斜率存在且不为零，抛物线C 的焦点F 的坐标为(1，0)，设直线l 1的方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程得，k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k 2，根据抛物线定义得|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2＝4＋4k 2.因为l 2⊥l 1，所以用－1k 代替k ，得|DE |＝4＋4k 2，所以|AB |＋|DE |＝8＋4⎝⎛⎭⎫1k 2＋k 2≥8＋4×2 1k 2·k 2＝16，当且仅当k ＝±1时，等号成立，故所求的最小值为16.10．E6[2017·江苏卷] 某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．10．30 [解析] 总费用为600x×6＋4x ＝4⎝⎛⎭⎫900x ＋x ≥4×2900＝240，当且仅当x ＝30时等号成立，故x 的值是30.12．E6[2017·天津卷] 若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________．12．4 [解析] 由题意得a 2>0，b 2>0，ab >0，所以a 4＋4b 4＋1ab ＝（a 2）2＋（2b 2）2＋1ab≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24＝4，当且仅当a 2＝2b 2＝22时，等号成立．E7 不等式的证明方法22．D1、E7、E8、M3[2017·浙江卷] 已知数列{x n }满足：x 1＝1，x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)(n ∈N*)．证明：当n ∈N *时， (1)0<x n ＋1<x n ； (2)2x n ＋1－x n ≤x n x n ＋12；(3)12n －1≤x n ≤12n －2. 22．证明：(1)用数学归纳法证明：x n >0. 当n ＝1时，x 1＝1>0. 假设当n ＝k 时，x k >0，那么当n ＝k ＋1时，若x k ＋1≤0，则0<x k ＝x k ＋1＋ln(1＋x k ＋1)≤0，矛盾，故x k ＋1>0. 因此x n >0(n ∈N *)．所以x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)>x n ＋1. 因此0<x n ＋1<x n (n ∈N *)． (2)由x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)得，x n x n ＋1－4x n ＋1＋2x n ＝x 2n ＋1－2x n ＋1＋(x n ＋1＋2)ln(1＋x n ＋1)． 设函数f (x )＝x 2－2x ＋(x ＋2)ln(1＋x )(x ≥0)， f ′(x )＝2x 2＋x x ＋1＋ln(1＋x )>0(x >0)，函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以f (x )≥f (0)＝0， 因此x 2n ＋1－2x n ＋1＋(x n ＋1＋2)ln(1＋x n ＋1)＝f (x n ＋1)≥0， 故2x n ＋1－x n ≤x n x n ＋12(n ∈N *)．(3)因为x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)≤x n ＋1＋x n ＋1＝2x n ＋1， 所以x n ≥12n －1.由x n x n ＋12≥2x n ＋1－x n 得1x n ＋1－12≥21x n －12， 所以1x n －12≥21x n －1－12≥…≥2n －11x 1－12＝2n －2，故x n ≤12n －2.综上，12n －1≤x n ≤12n －2(n ∈N*)．E8 不等式的综合应用22．D1、E7、E8、M3[2017·浙江卷] 已知数列{x n }满足：x 1＝1，x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)(n ∈N*)．证明：当n ∈N *时， (1)0<x n ＋1<x n ；(2)2x n ＋1－x n ≤x n x n ＋12；(3)12n －1≤x n ≤12n －2. 22．证明：(1)用数学归纳法证明：x n >0. 当n ＝1时，x 1＝1>0. 假设当n ＝k 时，x k >0，那么当n ＝k ＋1时，若x k ＋1≤0，则0<x k ＝x k ＋1＋ln(1＋x k ＋1)≤0，矛盾，故x k ＋1>0. 因此x n >0(n ∈N *)．所以x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)>x n ＋1. 因此0<x n ＋1<x n (n ∈N *)． (2)由x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)得，x n x n ＋1－4x n ＋1＋2x n ＝x 2n ＋1－2x n ＋1＋(x n ＋1＋2)ln(1＋x n ＋1)． 设函数f (x )＝x 2－2x ＋(x ＋2)ln(1＋x )(x ≥0)， f ′(x )＝2x 2＋x x ＋1＋ln(1＋x )>0(x >0)，函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以f (x )≥f (0)＝0， 因此x 2n ＋1－2x n ＋1＋(x n ＋1＋2)ln(1＋x n ＋1)＝f (x n ＋1)≥0， 故2x n ＋1－x n ≤x n x n ＋12(n ∈N *)．(3)因为x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)≤x n ＋1＋x n ＋1＝2x n ＋1， 所以x n ≥12n －1.由x n x n ＋12≥2x n ＋1－x n 得1x n ＋1－12≥21x n －12， 所以1x n －12≥21x n －1－12≥…≥2n －11x 1－12＝2n －2，故x n ≤12n －2.综上，12n －1≤x n ≤12n －2(n ∈N *)．E9 单元综合1年模拟3. 2017·齐齐哈尔月考若a <b <0，则下列不等式不成立的是( ) A.1a －b >1aB. 1a >1bC. ||a >||bD. a 2>b 23. A [解析] 对于选项A ，因为1a －b －1a ＝ba （a －b ）<0，故选项A 中的不等式不成立．根据不等式的性质知其余选项中的不等式均成立．4. 2017·宜宾月考设A ＝{}x |－2≤x <4，B ＝{}x |x 2－ax －4≤0，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是( )A. []－1，2B. [)－1，2C. []0，3D. [)0，34. D [解析] 对于方程x 2－ax －4＝0，判别式Δ＝a 2＋16>0，所以不等式x 2－ax －4≤0的解集非空．若B ⊆A ，则方程x 2－ax －4＝0的两根均在区间[－2，4)内，令f (x )＝x 2－ax －4，则只要满足⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a2<4，f （－2）＝2a ≥0，f （4）＝12－4a >0即可，解得0≤a <3，所以B ⊆A 时，实数a 的取值范围是[0，3)．6．2017·洛阳二次统考设a >0，b >0，若3是3a 与32b 的等比中项，则2a ＋1b 的最小值为________．6．8 [解析] 由题意，有(3)2＝3a ·32b ＝3a＋2b，所以a ＋2b ＝1，所以2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋1b (a ＋2b )≥4＋2a b ·4b a ＝8，当且仅当a ＝2b ＝12时等号成立． 9. 2017·滨州月考设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≤0，2x －y ≥0，x 2＋y 2－2x －2y ≤0，则目标函数z ＝x ＋y的最大值为________．9. 4 [解析] 已知不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图可知，当直线z ＝x ＋y 在第一象限与圆x 2＋y 2－2x －2y ＝0相切时z 最大．由||1＋1－z 2＝2，解得z ＝4(z ＝0舍去)，故所求z 的最大值为4.4. 2017·雅安月考在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车的运输费用为400元，可装洗衣机20台，每辆乙型货车的运输费用为300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多运一次，则该厂所需运输费用的最小值为( )A. 2000元B. 2200元C. 2400元D. 2800元4. B [解析] 设甲型货车需要x 辆，乙型货车需要y 辆，由题意得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，x ∈N ，0≤y ≤8，y ∈N ，20x ＋10y ≥100，目标函数z ＝400x ＋300y .上述不等式组表示的平面区域是图中阴影部分内(包括边界)的整点．根据目标函数的几何意义可知，当直线z ＝400x ＋300y 过点A (4，2)时，z min ＝2200，故选B.。
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基本不等式一、选择题1.（2013·重庆高考理科·Ｔ363)a -≤≤的最大值为 ( ) A.9 B.29C.3D. 223 【解题指南】直接利用基本不等式求解.【解析】选B. 当6-=a 或3=a 时, 0)6)(3(=+-a a ，当36<<-a 时,29263)6)(3(=++-≤+-a a a a ,当且仅当,63+=-a a 即23=a 时取等号.2. （2013·山东高考理科·Ｔ12）设正实数x,y,z 满足x 2-3xy+4y 2-z =0.则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ）A.0B.1C.94D.3 【解题指南】此题可先利用已知条件用x,y 来表示z ，再经过变形，转化为基本不等式的问题，取等号的条件可直接代入212xyz+-，进而再利用基本不等式求出212xyz+-的最值.【解析】选B. 由22340x xy y z -+-=，得2234z x xy y =-+. 所以2214343xy xy x y z x xy y y x ==-++-1≤=，当且仅当4x y y x =，即2x y =时取等号此时22y z =， 1)(max =zxy. xy y y z y x 2122212-+=-+)211(2)11(2y y x y -=-=211122412y y ⎛⎫+- ⎪⎪≤= ⎪⎪⎝⎭.3. （2013·山东高考文科·Ｔ12）设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ，则当zxy取得最大值时，2x y z +-的最大值为（ ） A.0 B.98 C.2 D.94【解题指南】此题可先利用已知条件用x,y 来表示z ，再经过变形，转化为基本不等式的问题，取等号的条件可直接代入2x y z +-，进而再利用基本不等式求出2x y z +-的最值.【解析】 选C. 由22340x xy y z -+-=，得2234z x xy y =-+.所以1342344322=-⋅≥-+=+-=xyy x x y y x xy y xy x xy z ，当且仅当4x y y x =， 即2x y =时取等号此时22y z =，所以()222222242222222=⎪⎭⎫⎝⎛-+≤-=-=-+=-+y y y y y y y y y z y x ，当且仅当y=2-y 时取等号.4.(2013·福建高考文科·T7)若2x +2y =1,则x+y 的取值范围是 ( ) A ．[]0,2 B ．[]2,0- C ．[)2,-+∞ D ．(],2-∞-【解题指南】“一正二定三相等”,当题目出现正数,出现两变量,一般而言,这种题就是在考查基本不等式.【解析】选D. ≤2x +2y =1,所以2x+y ≤14,即2x+y ≤2-2,所以x+y ≤-2. 二、填空题5. （2013·四川高考文科·Ｔ13）已知函数()4(0,0)a f x x x a x=+>>在3x =时取得最小值，则a =____________。
【解题指南】本题考查的是基本不等式的等号成立的条件，在求解时需要找到等号成立的条件，将3x =代入即可.【解析】由题()4(0,0)a f x x x a x =+>>，根据基本不等式4a x x+≥当且仅当4a x x=时取等号，而由题知当3x =时取得最小值，即36a =. 【答案】366.（2013·天津高考文科·Ｔ14）设a + b = 2, b >0, 则1||2||a a b+的最小值为 . 【解题指南】将1||2||a a b+中的1由a + b 代换，再由均值不等式求解.【解析】因为a + b = 2, b >0，所以1||||||2||4||4||4||++=+=++a ab a a b a a b a b a a b14||4||≥+=+a a a a ，当且仅当||4||=b a a b时等号成立，此时2=-a ，或23=a ，若2=-a ，则314||4+=a a ，若23=a ，则51.4||4+=a a 所以1||2||a a b +的最小值为3.4【答案】347. （2013·天津高考理科·Ｔ14）设a + b = 2, b >0, 则当a = 时,1||2||a a b+取得最小值.【解题指南】将1||2||a a b+中的1由a + b 代换，再由均值不等式求解.【解析】因为a + b = 2, b >0，所以1||||||2||4||4||4||++=+=++a ab a a b a a b a b a a b14||4||≥+=+a a a a ，当且仅当||4||=b a a b时等号成立，此时2=-a ，或23=a ，若2=-a ，则314||4+=a a ，若23=a ，则51.4||4+=a a 所以1||2||a a b +取最小值时，2=-a .【答案】-28.（2013·上海高考文科·T13）设常数a ＞0.若1x 92+≥+a xa 对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为 . 【解析】 考查均值不等式的应用，5116929)(,022≥⇒+≥=+≥+=>a a a x a x x a x x f x 时由题意知，当【答案】 ),51[∞9. （2013·陕西高考文科·Ｔ14）在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x 为 (m ).【解题指南】设出矩形的高y ，由题目已知列出x ，y 的关系式，整理后利用均值不等式解决应用问题. 【解析】设矩形高为y , 由三角形相似得:40,40,0,0,404040<<>>-=y x y x y x 且 40020,240取最大值时，矩形的面积仅当xy s y x xy y x ===≥+=⇒.【答案】20.不等关系与不等式一、选择题1. （2013·北京高考文科·Ｔ2）设a,b,c∈R,且a>b,则( )A.ac>bcB.11a bC.a2>b2D.a3>b3【解题指南】利用不等式的性质求解.【解析】选D.y=x3在(-∞,+∞)上为增函数,所以a3>b3.2. (2013·浙江高考文科·T10)设a,b∈R,定义运算“∧”和“∨”如下:a∧a∨若正数a,b,c,d满足ab≥4,c+d≤4,则()A.a∧b≥2,c∧d≤2B.a∧b≥2,c∨d≥2C.a∨b≥2,c∧d≤2D.a∨b≥2,c∨d≥2【解题指南】充分理解新定义的运算,根据它的运算性质求解.【解析】选C.因为a∧b=min{a,b},a∨b=max{a,b},又ab≥4,所以a,b 中至少有一个大于等于2,所以a∨b≥2,排除A,B;因为c+d≤4,所以c,d 中至少有一个小于等于2,所以c∧d≤2,故选C.二、填空题3.(2013·浙江高考文科·T16)设a,b∈R,若x≥0时恒有0≤x4-x3+ax+b ≤(x2-1)2,则ab=.【解题指南】由不等式恒成立可取特殊值得到a,b的关系,再由不等式恒成立求得ab.【解析】因为x≥0时,0≤x4-x3+ax+b≤(x2-1)2恒成立,所以当x=1时,0≤a+b ≤0成立,所以a+b=0,a=-b,当x=0时,0≤b ≤1,所以-1≤a ≤0,所以原不等式为0≤x 4-x 3+ax-a≤(x 2-1)2,ax-a ≤x 3-2x 2+1,所以a(x-1)≤(x 2-x-1)(x-1),当x>1时, a ≤x 2-x-1=21524⎛⎫--⎪⎝⎭x (x ≥1)恒成立,得a ≤-1;所以a=-1.当x<1时,同理可得a=-1,所以ab=-a 2=-1. 【答案】-1一元二次不等式及其解法一、选择题1. （2013·重庆高考文科·Ｔ7）关于x 的不等式22280x ax a --<（0a >）的解集为12(,)x x ，且2115x x -=，则a = ( ) A.52B.72C.154 D.152【解题指南】直接求出不等式的解集,根据2115x x -=求出a 的值. 【解析】选A.由题意知, 不等式22280x ax a --<（0a >）的解集为)4,2(a a -,因为2115x x -=,所以15)2(4=--a a ,解得25=a . 2.（2013·江西高考文科·Ｔ6）下列选项中，使不等式x ＜1x＜x 2成立的x 的取值范围是（ ）A.（-∞，-1）B. （-1，0）C.（0，1）D.（1，+∞） 【解题指南】转化为不等式组，应注意x>0与x<0的区别. 【解析】选A.当x 0>时不等式化为23x 1x 1⎧<⎪⎨>⎪⎩，此时无解；当x 0<时不等式化为23x 1x 1⎧>⎪⎨<⎪⎩，此时解得x 1<-.3.（2013·安徽高考理科·Ｔ6）已知一元二次不等式()<0f x 的解集为1x|<-1>2⎧⎫⎨⎬⎩⎭或x x ，则(10)>0xf 的解集为 （ ）A ． {}|<-1>lg2x x x 或 B.{}|-1<<lg2x x C. {}|>-lg2x x D.{}|<-lg2x x 【解题指南】根据一元二次不等式、指数函数、对数函数的图像与性质进行判断.【解析】选D 。
由()<0f x 的解集为1x|<-1>2⎧⎫⎨⎬⎩⎭或x x ，可得2111()=-(x-)(x+1)=-x x+222f x -，当(10)>0x f 时，有1102x<，即1lg lg 22x <=-。
4. （2013·陕西高考理科·Ｔ9）在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x (单位m )的取值范围是 ( ) A. [15,20] B. [12,25] C. [10,30]D. [20,30]【解题指南】设出矩形的高y ，由题目已知列出x ，y 的关系式，整理得x 的一元二次不等式，解之可得x 的取值范围. 【解析】选C. 设矩形高为y, 由三角形相似得:x 40y,x 0,y 0,x 40,y 40xy 300,4040且，-=>><<≥ 整理得2y x 40,y 40x 30040x 30001030.将代入xy ，整理得x ，解之得x +==-≥-+≤≤≤5. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ4）不等式222x -<的解集是（ ）A.()-1,1B.()-2,2C.()()-1,00,1UD.()()-2,00,2U【解题指南】利用绝对值不等式)0(||><a a x ，则a x a <<-，去掉绝对值.【解析】选D.由2|2|2<-x 得，2222<-<-x ，即402<<x ，所以不等式的解集为()()-2,00,2U . 二、填空题6. （2013·重庆高考文科·Ｔ15）设0απ≤≤，不等式28(8sin )cos 20x x αα-+≥对x R ∈恒成立，则a 的取值范围40m为 ．【解题指南】因为不等式恒成立,所以判别式小于等于零,直接求解即可.【解析】因为不等式28(8sin )cos 20x x αα-+≥对x R ∈恒成立， 所以02cos 32sin 642≤-=∆αα,即0sin 6432sin 6422≤+-αα,解得21sin ≤α 因为0απ≤≤,所以∈α5[0,][,]66πππU 【答案】 5[0,][,]66πππU7.（2013·上海高考文科·T1）不等式12-x x＜0的解为 .【解析】)21,0(0)12(∈⇒<-x x x 【答案】 )21,0(8. （2013·广东高考理科·Ｔ9） 不等式220x x +-<的解集为 .【解题指南】本题考查二次不等式的解法，注意应用口诀“小于取中间”.【解析】22(1)(2)0x x x x +-=-+<，解得21x -<<，解集为{|21}x x -<<. 【答案】{|21}x x -<<.二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题一、选择题1.(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T9)已知a>0,x,y 满足约束条件()133x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩若z=2x+y 的最小值为1,则a= ( ) A.14 B. 12C.1 D .2【解题指南】结合线性约束条件,画出可行域,由目标函数取得最小值1,结合图形可求得a.【解析】选B.画出不等式组表示的平面区域如图所示:当目标函数z=2x+y 表示的直线经过点A 时,z 取得最小值,而点A 的坐标为(1,-2a),所以2-2a=1,解得a=1,2,故选B.2.（2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ3）设,x y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是（ ） A.7- B.6- C.5- D.3-【解题指南】结合线性约束条件，画出可行域，将目标函数平移得最小值.【解析】选B.由z=2x-3y 得3y=2x-z ，即233z y x =-。