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2022-2023学年人教版高二数学阶段复习精练专题2-1 直线倾斜角与斜率(解析版)

专题2.1 直线倾斜角与斜率知识点1:直线的斜率直线的倾斜角:0180α︒︒≤< (1) 定义法:tan ,90k αα︒=≠; (2)坐标法:()()211112221221,,,,,y y k P x y P x y x x x x -=≠-(3)向量法:直线的方向向量为(,)u m n =,则直线的斜率为(0)nk m m=≠. 【注意】1.直线的倾斜角:0180α︒︒≤<，直线一定有倾斜角，但不一定有斜率。

2.求直线的倾斜角的取值范围, 要注意倾斜角是否包含0︒情形. 求直线的斜率的取值范围, 要注意倾斜角是否包含90︒情形.3.A , B , C 三点共线AB AC k k ⇔=⇔点A 在直线B C 上//AB AC ⇔.4. A , B , C , D 四点共圆⇔四边形ABCD 对角互补.5.单调性:tan k α=在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭和,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递增. 6.若斜率为k ,则直线的一个方向向量为(1,)u k =.7.若两条直线以垂直坐标轴的直线为对称轴, 则两直线的斜率互为相反数知识点2:直线的平行与垂直方法1:设 111222:;:l y k x b l y k x b =+=+, 则 (1) 1212//l l k k ⇔=且12b b ≠; (2) 12121l l k k ⊥⇔⋅=-.(3) 1l 与 2l 重合12k k ⇔=且12b b =; (4) 1l 与 2l 相交12k k ⇔≠;方法2:设11112222:0;:0l A x B y C l A x B y C ++=++=,则 (1) 11112222//A B C l l A B C ⇔=≠; (2) 121212121210A A l l A A B B B B ⎛⎫⎛⎫⊥⇔-⋅-=-⇔+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; (3) 1l 与 2l 重合111222A B C A B C ⇔==;(4) 1l 与 2l 相交11122122A B A B A B A B ⇔≠⇔≠.注：两直线平行则倾斜角相等，可能没有斜率。

2018学年第二学期高二数学《组合(一)》学案含答案

1.2.2组合(一)学习目标 1.理解组合及组合数的概念(重点).2.能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题(重、难点).知识点1组合的概念一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.【预习评价】(1)排列与组合有什么联系和区别？(2)两个相同的排列有什么特点？两个相同的组合呢？提示(1)排列与组合都是从n个不同元素中取出m个不同元素；不同之处是组合选出的元素没有顺序，而排列选出的元素是有顺序的.组合是选择的结果，排列是先选再排的结果.(2)两个相同的排列需元素相同且元素排列顺序相同.两个相同的组合是只要元素相同，不看元素顺序如何.知识点2组合数的概念及公式1.组合的概念从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.2.组合数公式C m n＝A m nA m mn（n－1）（n－2）…（n－m＋1）m！n！m！（n－m）！(n，m∈N*，m≤n).3.组合数的性质C m n＝C n－mnC m n ＋1＝C m n ＋C m －1n规定C 0n ＝1. 【预习评价】(1)把三张游园票分给10个人中的3人，分法有( )A.A 310种B.C 310种C.C 310A 310种D.30种(2)C 26＋C 57的值为( )A.72B.36C.30D.42解析 (1)三张票没区别，从10人中选3人即可，即C 310. (2)C 26＋C 57＝C 26＋C 27＝6×52×1＋7×62×1＝15＋21＝36. 答案 (1)B (2)B题型一组合概念的理解【例1】给出下列问题：(1)从a ，b ，c ，d 四名学生中选两名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？ (2)从a ，b ，c ，d 四名学生中选两名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？(3)a ，b ，c ，d 四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？ (4)a ，b ，c ，d 四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？解 (1)两名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题. (2)两名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题.(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题. (4)冠、亚军是有顺序的，是排列问题.规律方法排列、组合问题的判断方法(1)区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序. (2)区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题.【训练1】判断下列问题是组合还是排列，并用组合数或排列数表示出来. (1)若已知集合{1，2，3，4，5，6，7}，则集合的子集中有3个元素的有多少？ (2)8人相互发一个电子邮件，共写了多少个邮件？(3)在北京、上海、广州、成都四个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？解 (1)已知集合的元素具有无序性，因此含3个元素的子集个数与元素的顺序无关，是组合问题，共有C 37个.(2)发邮件与顺序有关，是排列问题，共写了A 28个电子邮件.(3)飞机票与起点站、终点站有关，故求飞机票的种数是排列问题，有A 24种飞机票；票价只与两站的距离有关，故票价的种数是组合问题，有C 24种票价.方向1 化简与求值【例2－1】求值.(1)3C 38－2C 25；(2)C 38－n 3n ＋C 3n 21＋n .解 (1)3C 38－2C 25＝3×8×7×63×2×1－2×5×42×1＝148.(2)∵⎩⎪⎨⎪⎧38－n ≤3n ，3n ≤21＋n ，∴9.5≤n ≤10.5.∵n ∈N *，∴n ＝10，∴C 38－n 3n ＋C 3n 21＋n ＝C 2830＋C 3031＝30！28！×2！＋31！30！＝466.方向2 与组合数有关的证明【例2－2】证明：m C m n ＝n C m －1n －1.证明m C m n ＝m ·n ！m ！（n －m ）！＝n ·（n －1）！（m －1）！（n －m ）！＝n ·（n －1）！（m －1）！（n －m ）！＝n C m －1n －1.方向3 与组合数有关的方程或不等式【例2－3】 (1)已知1C m 5－1C m 6＝710C m 7，求C m 8＋C 5－m8.(2)解不等式：C 4n ＞C 6n .解 (1)∵1C m 5－1C m 6＝710C m 7∴m ！（5－m ）！5！－m ！（6－m ）！6！＝7×（7－m ）！m ！10×7！，即m ！（5－m ）！5！－m ！（6－m ）（5－m ）！6×5！＝7×m ！（7－m ）（6－m ）（5－m ）！10×7×6×5！，∴1－6－m 6＝（7－m ）（6－m ）60，即m 2－23m ＋42＝0，解得：m ＝2或21.∵0≤m ≤5，m ∈N *，∴m ＝2，∴C m 8＋C 5－m 8＝C 28＋C 38＝C 39＝84.(2)由C 4n ＞C 6n 得⎩⎪⎨⎪⎧n ！4！（n －4）！＞n ！6！（n －6）！，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧n 2－9n －10＜0，n ≥6 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1＜n ＜10，n ≥6，又n ∈N *， ∴该不等式的解集为{6，7，8，9}. 规律方法 (1)组合数公式C m n ＝n （n －1）（n －2）…（n －m ＋1）m ！一般用于计算，而组合数公式C m n ＝n ！m ！（n －m ）！一般用于含字母的式子的化简与证明.(2)要善于挖掘题目中的隐含条件，简化解题过程，如组合数C m n 的隐含条件为m ≤n ，且m ，n ∈N *.(3)计算时应注意利用组合数的两个性质：①C m n ＝C n －m n ；②C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n . 【训练2】 (1)计算：C 98100＋C 199200；(2)证明：C m n ＝n n －m C mn －1. (1)解 C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1200＝100×992＋200 ＝4 950＋200＝5 150. (2)证明n n －mC m n －1＝nn －m ·（n －1）！m ！（n －1－m ）！＝n ！m ！（n －m ）！＝C m n .题型三组合的简单应用【例3】现有10名教师，其中6名男教师，4名女教师. (1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？解(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C210＝10×92×1＝45(种).(2)从6名男教师中选2名的选法有C26种，从4名女教师中选2名的选法有C24种.根据分步乘法计数原理，共有不同的选法C26·C24＝6×52×1×4×32×1＝90(种).规律方法(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关.(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类和分步时，一定要注意有无重复或遗漏.【训练3】现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任).现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？解可以分三类.第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有C24C23种选法；第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有C34C13种选法；第三类，两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有C34C23种选法.根据分类加法计数原理，一共有C24C23＋C34C13＋C34C23＝42(种)不同的选法.课堂达标1.下列等式不正确的是()A.C m n＝n！m！（n－m）！B.C m n ＝C n －m nC.C m n ＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1D.C m n ＝C m ＋1n ＋1答案 D2.某校开设A 类选修课3门，B 类选修课5门，一位同学要从中选3门.若要求两类课程中各至少选1门，则不同的选法共有( ) A.15种B.30种C.45种D.90种解析分两类，A 类选修课选1门，B 类选修课选 2门，或者A 类选修课选 2门，B 类选修课选1门，因此，共有C 13·C 25＋C 23·C 15＝45(种)选法. 答案 C3.某班级要从4名男生、2名女生中派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为________.解析方法一分类完成.第1类，选派1名女生、3名男生，有C 12·C 34种选派方案；第2类，选派2名女生、2名男生，有C 22·C 24种选派方案.故共有C 12·C 34＋C 22·C 24＝14(种)不同的选派方案. 方法二 6人中选派4人的组合数为C 46，其中都选男生的组合数为C 44，所以至少有1名女生的选派方案有C 46－C 44＝14(种).答案 144.有4名男医生、3名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成1个医疗小组，则不同的选法共有________种.解析从4名男医生中选2人，有C 24种选法，从3名女医生中选1人，有C 13种选法.由分步乘法计数原理知，所求选法种数为C 24C 13＝18.答案 185.计算：C 3n 11＋n ＋C 3n －110＋n ＋C 3n －29＋n ＋…＋C 3n －62n (n ＞4，n ∈N *).解根据组合数公式的限制条件，原式中的n 必须适合于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧11＋n ≥3n ≥0，2n ≥3n －6≥0，n ＞4，n ∈N *，解得n ＝5. ∴C 3n 11＋n ＋C 3n －110＋n ＋C 3n －29＋n ＋…＋C 3n －62n ＝C 1516＋C 1415＋C 1314＋…＋C 910＝C 116＋C 115＋C 114＋…＋C 110＝16＋102×7＝91.课堂小结1.排列与组合的联系与区别(1)联系：二者都是从n 个不同的元素中取m (m ≤n )个元素. (2)区别：排列问题中元素有序，组合问题中元素无序. 2.关于组合数的计算(1)涉及具体数字的可以直接用公式Cmn＝A m nA m m＝n （n －1）（n －2）…（n －m ＋1）m ！计算；(2)涉及字母的可以用阶乘式C m n＝n ！m ！（n －m ）！计算； (3)计算时应注意利用组合数的性质C m n ＝C n －mn 简化运算.基础过关1.若A 3n ＝12C 2n ，则n 等于( )A.8B.5或6C.3或4D.4解析因为A 3n ＝n (n －1)(n －2)，C 2n ＝12n (n －1)，所以n (n －1)×(n －2)＝12×12n (n －1)，由n ∈N *，且n ≥3，得n ＝8. 答案 A2.从5人中选3人参加座谈会，其中甲必须参加，则不同的选法有( ) A.60种B.36种C.10种D.6种解析甲必须参加，因此只要从除甲之外的4人中选2人即可，有C 24＝6(种)不同的选法. 答案 D3.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( ) A.60种B.70种C.75种D.150种解析由题意知，选2名男医生、1名女医生的方法有C 26C 15＝75(种).答案 C4.从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖、2名二等奖、3名三等奖，则可能的决赛结果共有________种.解析利用排列组合知识列式求解.根据题意，所有可能的决赛结果有C 16C 25C 33＝6×5×42×1＝60(种). 答案 605.从4台甲型电视机和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法有________种.解析根据结果分类：第一类，两台甲型机，有C 24·C 15＝30(种)；第二类，两台乙型机，有C 14·C 25＝40(种).根据分类加法计数原理，共有C 24·C 15＋C 14·C 25＝70(种)不同的取法. 答案 706.某餐厅供应饭菜，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种.现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同的选择，则餐厅至少还需准备多少不同的素菜品种？解设餐厅至少还需准备x 种不同的素菜. 由题意，得C 25·C 2x ≥200，从而有C2x≥20，即x(x－1)≥40.又x≥2且x∈N*，所以x的最小值为7.7.从5名男生和4名女生中选出3名学生参加一次会议，要求至少有1名女生参加，有多少种选法？解方法一问题可以分成三类.第一类，从5名男生中选出2名男生，从4名女生中选出1名女生，有C25C14＝40(种)选法；第二类，从5名男生中选出1名男生，从4名女生中选出2名女生，有C15C24＝30(种)选法；第三类，从4名女生中选出3名女生，有C34＝4(种)选法.根据分类加法计数原理，共有74种选法.方法二从所有的9名学生中选出3名，有C39种选法，其中全为男生的有C35种选法.所以选出3名学生，至少有1名女生的选法有C39－C35＝74(种).能力提升8.从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，若按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为()A.224B.112C.56D.28解析由分层抽样知，应从8名女生中抽取2名，从4名男生中抽取1名，所以抽取2名女生和1名男生的方法数为C28C14＝112.答案 B9.若C7n＋1－C7n＝C8n，则n等于()A.12B.13C.14D.15解析因为C7n＋1－C7n＝C8n，即C7n＋1＝C8n＋C7n＝C8n＋1，所以n＋1＝7＋8，即n＝14.答案 C10.从2，3，5，7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积；任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则m∶n＝________.解析∵m＝C24，n＝A24，∴m∶n＝1∶2.答案1∶211.盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是________(结果用最简分数表示).解析从编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球中任意取出两个球的方法有C29＝36(种).取出的两个球的编号之积为奇数的方法有C25＝10(种)，则取出的两个球的编号之积为奇数的概率为1036＝518.所以取出的两个球的编号之积为偶数的概率为1－518＝1318.答案13 1812.已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有次品为止.(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次测试才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？解(1)先排前4次测试，只能取正品，有A46种不同的测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C24·A22＝A24种测法，再排余下4件的测试位置，有A44种测法.所以共有不同测试方法A46·A24·A44＝103 680(种). (2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现.所以共有不同测试方法C14·(C16·C33)A44＝576(种).13.(选做题)第21届世界杯足球赛于2018年夏季在俄罗斯举办，共32支球队有幸参加，它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强(每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强)，这16支球队按确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠、亚军，此外还要决出第三名、第四名，问这届世界杯总共将进行多少场比赛？解可分为如下几类比赛：(1)小组循环赛：每组有C24＝6(场)，8个小组共有48场；(2)八分之一淘汰赛：8个小组的第一、二名组成16强，根据赛制规则，每两个队比赛一场，可以决出8强，共有8场；(3)四分之一淘汰赛：根据赛制规则，8强中每两个队比赛一次，可以决出4强，共有4场；(4)半决赛：根据赛制规则，4强每两个队比赛一场，可以决出2强，共有2场；(5)决赛：2强比赛1场确定冠、亚军，4强中的另两支队比赛1场决出第三、四名，共有2场.综上，由分类加法计数原理知，共有48＋8＋4＋2＋2＝64(场)比赛.。

高二数学复习精练48.doc

数学基础知识复习数学精练（48）1．设13log 2a =，2log 3b =，0.31()2c =，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<2．若函数()y f x =是函数log (0,01)a y x x a a =>>≠且的反函数，且1(1)2f =，则()f x =A ．12xB ．22x -C ．12log xD ．2log x3．给出命题:{}3,24:,13:∈>q p ,则在下列三个复合命题:“p 且q ”“p 或q ”“非p ”中,真命题的个数为（）A ． 0B ． 1C ． 2D ．3 4．若集合{|0},{|4}A x x B x x =>=<，则A B 等于A ．{|0}x x <B ．{|04}x x <<C ．{|5}x x >D ．R 5．若函数c bx x x f ++=2)(的图象的顶点在第四象限，则函数)('x f 的图象是6．“0a =”是“函数ln ||y x a=-为偶函数”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件7．已知f （2x -1）是偶函数，则函数f （2x ）图像的对称轴为 A ．x ＝1 B ．21=x C ．1-=x D ．21-=x 8．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P 、Q 的大小关系是A ．P ＞QB ．P ＝QC ．P ＜QD ．由a 的取值确定9．已知函数()()x x f a-=2log 1在其定义域上单调递减，则函数()()21log x x g a -=的单调减区间是 A ． (]0,∞- B ． ()0,1- C ． [)+∞,0 D ． [)1,010．某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为（参考数据lg2＝0.3010，lg3＝0.4771）A ．5B ．10C ．14D ．15 D C ．11．函数log (01),a y x a a =>≠且当[)2,x ∈+∞时，1,y ≥则a 的取值范围是A ．2102≤<≥a a 或B ．212≥≤a a 或C ． 21121≤<<≤a a 或D ． 221≤≤a 12．偶函数()f x 满足(1)(1),[0,1],()1f x f x x f x x -=+∈=-+且时，则关于x 的方程1()()10x f x =，在[0,3]x ∈上解的个数是 A ．1B ．2C ．3D ．41-6 BACBAA 7-12 DCBCCD。

人教A版18年高二数学选修4-4全册配套试卷-考前过关训练(一).doc

考前过关训练(一)坐标系(40分钟80分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.将点(2,3)变成点(3,2)的伸缩变换是( )A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

【解析】选B.设此变换为错误！未找到引用源。

(λ,μ>0),则错误！未找到引用源。

所以所求变换为错误！未找到引用源。

2.在极坐标系中,圆ρ=2被直线ρsinθ=1截得的弦长为( )A.错误！未找到引用源。

B.2C.2错误！未找到引用源。

D.3【解析】选C.圆ρ=2的极坐标方程转化成直角坐标方程为x2+y2=4.直线ρsinθ=1转化成直角坐标方程为y=1.所以圆心到直线y=1的距离为1.则弦长l=2错误！未找到引用源。

=2错误！未找到引用源。

.3.已知圆的极坐标方程为ρ=6sinθ,圆心为M,点N的极坐标为错误！未找到引用源。

,则|MN|=( ) A.错误！未找到引用源。

B.2错误！未找到引用源。

C.3错误！未找到引用源。

D.4错误！未找到引用源。

【解析】选C.圆的极坐标方程为ρ=6sinθ,转化成:ρ2=6ρsinθ,进一步转化成直角坐标方程为x2+(y-3)2=9,则M(0,3),点N的极坐标为错误！未找到引用源。

,则转化成直角坐标为(3错误！未找到引用源。

,3),所以|MN|=错误！未找到引用源。

=3错误！未找到引用源。

.4.极坐标方程ρ=cos错误！未找到引用源。

表示的曲线是( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【解析】选A.极坐标方程ρ=cos错误！未找到引用源。

,即ρ2=错误！未找到引用源。

ρcosθ+错误！未找到引用源。

ρsinθ,化为直角坐标方程为x2+y2-错误！未找到引用源。

x-错误！未找到引用源。

y=0,表示圆.5.(2016·石家庄高二检测)在极坐标系中,设曲线C1:ρ=2sinθ与C2:ρ=2cosθ的交点分别为A,B,则线段AB的垂直平分线的极坐标方程为( )A.ρ=错误！未找到引用源。

2022-2023学年人教版高二数学复习精练第二章直线与圆的方程-综合检测卷(基础卷)(解析版)

第二章直线与圆方程本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若直线1:2330l x y --=与2l 互相平行，且2l 过点(2,1)，则直线2l 的方程为（） A ．3270x y +-= B ．3240x y -+= C ．2330x y -+= D ．2310x y --=【答案】D【解析】因为直线1:2330l x y --=与2l 互相平行，所以设直线2l 的方程为230x y m -+=，因为直线2l 过点(2,1)，所以430m -+=，得1m =-，所以直线2l 的方程为2310x y --=，故选：D2．已知直线l 的方程为sin 10,x R αα-=∈，则直线l 的倾斜角范围是（） A ．20,,33πππ⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．50,,66πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ C ．50,,66πππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．20,,33πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【答案】B【解析】由直线l 的方程为sin 10x α+-=，所以y = 即直线的斜率k =，由1sin 1α-≤≤.所以k ≤≤，又直线的倾斜角的取值范围为0,，由正切函数的性质可得：直线的倾斜角为50,,66πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭. 故选：B3．已知“m t ≤”是“220x y m ++=”表示圆的必要不充分条件，则实数t 的取值范围是（）A ．()1,-+∞ B ．[)1,+∞C ．(),1-∞D ．(),1-∞-【答案】B【解析】若表示圆，则22(40+->m ，解得1m <.“m t ≤”是“220x y m ++=”表示圆的必要不充分条件，所以实数t 的取值范围是[1,)+∞. 故选：B4．已知直线3410x y --=与圆22:(1)(2)16C x y -++=相交于A ，B 两点，P 为圆C 上的动点，则PAB △面积的最大值为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由22:(1)(2)16C x y -++=可知：圆心(1,2)C -，半径为4，圆心C 到直线AB 距离|381|25d +-==，∴||AB ==∴()max11||()622PAB SAB r d =⋅+=⨯= 故选：C5．已知直线2y kx k =-+与圆()()22214x y -+-=相交于P 、Q 两点，则弦PQ 最短时所在的直线方程是（） A ．10x y ++= B ．10x y +-= C ．10x y --= D ．10x y -+=【答案】D【解析】直线y =kx -k +2=k （x -1）+2，所以直线恒过A （1，2），因为22(21)(12)4-+-< ，故该点在圆内，设圆心为B （2，1），由圆的几何性质知，当直线y =kx -k +2与直线AB 垂直时，弦PQ 最短，此时，直线AB 的斜率为21112AB k -==--， ∴kPQ =1，∴弦PQ 最短时所在的直线方程是y -2=x -1，即x -y +1=0，故选：D6．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为()2,4B ，若将军从点()2,0A -处出发，河岸线所在直线方程为-2+80x y =，则“将军饮马”的最短总路程为( ) AB ．10 C．D．【答案】A【解析】如图，点A 关于直线的对称点为A '，则A B '即为“将军饮马 ”的最短总路程，设(),A a b '，则22+8=0221122a b b a -⎧-⨯⎪⎪⎨⎪⨯=-⎪+⎩，解得2224,55a b =-=，则A B '＝故“将军饮马”故选：A7．已知圆C ：22(2)2x y -+=，点P 是直线l ：420x y --=上的动点，过点P 引圆C 的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点，则直线AB 经过定点（） A ．21(,)33-B ．21(,)33-C ．21(,)33--D ．21(,)33【答案】D【解析】因为PA 、PB 是圆C 的两条切线，所以,PA AC PB BC ⊥⊥，因此点A 、B 在以PC 为直径的圆上，因为点P 是直线l ：420x y --=上的动点，所以设(,42)P m m -，点(2,0)C ，因此PC 的中点的横坐标为：22m +，纵坐标为：42212m m -=-，12PC PC 为直径的圆的标准方程为：22221()(21)(17208)(1)24m x y m m m +-+-+=-+，而圆C ：22(2)2(2)x y -+=， (1)(2)-得：(2)(42)220m x m y m ---+-=，即为直线AB 的方程，由(2)(42)220222(42)m x m y m x y m x y ---+-=⇒+-=+-22220342013x x y x y y ⎧=⎪+-=⎧⎪⇒⇒⎨⎨+-=⎩⎪=⎪⎩，所以直线AB 经过定点21(,)33，故选：D8．已知点Q 在圆()()22:334M x y ++-=上，直线:2360l x y -+=与x 轴、y 轴分别交于点P 、R ，则下列结论中正确的有（）∴点Q 到直线l 的距离小于4.5 ∴点Q 到直线l 的距离大于1∴当QRP ∠最小时，RQ =∴当QRP ∠最大时，RQ =A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】圆M 的圆心为()3,3M -，半径为2r =，圆心M 到直线l 的距离为2=>，所以，直线l 与圆M 相离，点Q 到直线l 22，21-<2 4.5<，故∴对，∴错；直线:2360l x y -+=交x 轴于点()3,0P -，交y 轴于点()0,2R ，MR = 过点R 作圆M 的两条切线，切点分别为E 、N ，如下图所示：当QRP ∠最小时，点Q 与点E 重合，此时226QR RM r =-=，当QRP ∠最大时，点Q 与点N 重合，此时QR ==∴∴都对.故选：C.一、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．在下列四个命题中，错误的有（） A ．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B ．直线的倾斜角的取值范围是[0，π]C ．若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为45度D ．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα 【答案】ABD 【解析】对于A ，倾斜角为90的直线斜率不存在所以A 错误对于B直线的倾斜角的取值范围为0,所以B 错误对于C因为tan 1α=且[)0,απ∈，所以4πα=所以C 正确对于D 倾斜角为90的直线斜率不存在所以D 错误故选：ABD10．已知直线l ：()()221310m x m y m ++---=与圆C ：()()222116x y -++=交于A ，B 两点，则弦长|AB |的可能取值是（） A ．6 B ．7C ．8D ．5【答案】BC【解析】：由()()221310m x m y m ++---=，得()23210x y m x y +-+--=，令230210x y x y +-=⎧⎨--=⎩解得1,1,x y =⎧⎨=⎩故直线l 恒过点(1,1)M .圆心(2,1)C ，半径4r =，CM =2AB r ≤，即8AB ≤. 故选：BC.11．已知直线:10l mx y m +-+=，圆22:2410E x y x y +--+=，则下列说法正确的是（）A ．直线l 与圆E 一定有公共点B ．当12m =-时直线l 被圆E 截得的弦最长C ．当直线l 与圆E 相切时，34m =D ．圆心E 到直线l 【答案】BCD【解析】由题意知直线l 过定点()1,1M -，且点M 在圆E 外部，所以A 错误；当12m =-时，l 的方程为230x y -+=，直线l 过圆心()1,2E ，截得的弦恰为直径，故B 正确；当l 与圆E2=，解得34m =，故C 正确；当l 与ME 垂直时，圆心E 到l 的距离取得最大值，其最大值为ME =D 正确. 故选：BCD.12．已知圆O ：224x y +=和圆C ：22231x y .现给出如下结论，其中正确的是（）A ．圆O 与圆C 有四条公切线B ．过C 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为为5x y +=或10x y -+= C ．过C 且与圆O 相切的直线方程为9x -16y +30=0D ．P ､Q 分别为圆O 和圆C 上的动点，则PQ 3 【答案】AD【解析】圆22:4O x y +=的圆心(0,0)O ，半径为2；圆22:(2)(3)1C x y -+-=，圆心(2,3)C ，半径为1，A 中，圆心距||21OC >+，所以两个圆相离，所以两个圆有4条公切线，所以A 正确；B 中，过点(2,3)C 又过原点的直线在两坐标轴的截距相等，即32y x =在坐标轴上的截距相等，当直线不过O 时，设x y a +=，将C 的坐标代入可得5a =，所以过点C 点在坐标轴的截距相等的直线为5x y +=，过C 在两坐标轴上的截距相等的直线有两条，所以B 不正确；C 中，过点(2,3)C 的直线斜率不存在时，即直线2x =显然与圆O 相切，当切线的斜率存在时，设为3(2)y k x -=-，即230kx y k --+=，圆心O 到直线的距离2d ==，解得512k =，则这时切线方程为：512260x y -+=，所以过C 且与圆O 相切的直线为2x =或512200x y -+=，故C 不正确；D 中，圆心距||OC =，由题意可得||PQ 的最大值为||(21)OC ++3，所以D 正确；故选：AD ．一、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设点(2,3),(0,)A B a -，若直线AB 关于y a =对称的直线与圆22(3)(2)1x y +++=有公共点，则a 的取值范围是________．【答案】13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】：()2,3A -关于y a =对称的点的坐标为()2,23A a '--，()0,B a 在直线y a =上，所以A B '所在直线即为直线l ，所以直线l 为32a y x a -=+-，即()3220a x y a -+-=；圆()()22:321C x y +++=，圆心()3,2C --，半径1r =，依题意圆心到直线l 的距离1d ≤，即()()2225532a a -≤-+，解得1332a ≤≤，即13,32a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；故答案为：13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．若直线()100,0ax by a b +-=>>始终平分圆2224160x y x y +---=的周长，则12a b+的最小值为_______．【答案】9【解析】由题知直线()100,0ax by a b +-=>>过圆心(1,2)，得21a b +=，所以121222()(2)5549b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当22b a a b =，即13a b ==时，取等号. 故答案为：915．已知圆C ：224210x y x y +--+=及直线l ：()2y kx k k =-+∈R ，设直线l 与圆C 相交所得的最长弦长为MN ，最短弦为PQ ，则四边形PMQN 的面积为______．【答案】：将圆C 方程整理为22214x y -+-=，得圆心()21C ，，半径2r =，将直线l 方程整理为()12y k x =-+，得直线l 恒过定点()12，，且()12，在圆C 内， ∴最长弦MN 为过()12，的圆的直径，即4MN =，最短弦PQ 为过()12，，且与最长弦MN 垂直的弦， 21112MN k -==--，1PQ k ∴=， ∴直线PQ 方程为21y x -=-，即10x y -+=，∴圆心C 到直线PQ的距离为d==PQ ∴= ∴四边形PMQN的面积11422S MN PQ =⋅=⨯⨯，故答案为：16．过圆224x y +=内点M 作圆的两条互相垂直的弦AB 和CD ，则AB CD +的最大值为__．【答案】【解析】取AB 中点E ，CD 中点F ，如图，则OEMF 是矩形，2223OE OF OM +==，2AB AE ==CD =注意到0,0a b >>时，由222a b ab +≥得222()()2a b a b +≥+，从而a b +≤仅当a b =时取等号．所以AB CD +=≤=当且仅当2244OE OF -=-，即OE OF ==所以AB CD +的最大值是四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在平面直角坐标系中，光线l 过点()2,1A -，经x 轴反射后与圆D ：()()22234x y -+-=有交点(1)当反射后光线经过圆心D ，求光线l 的方程； (2)当反射后光线与圆D 相切，求光线l 的方程．【答案】(1)10x y ++= (2))12y x -=+或)12y x -=+ 【解析】 (1)点()2,1A -关于x 轴对称的点为()2,1A '--，由光线的折射性质，反射光线经过圆心2,3O ，所以OA OA K K '=，易知()()31122OA K '--==--，所以1OA K =-，所以光线l 的方程为10x y ++=.(2)设经过()2,1A '--的直线方程为()12y k x +=+由于折射光线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即2d ==,化简得：33830k k -+=,解得k =所光线l 的方程为)12y x -=+或)12y x -=+. 18（12分）．已知圆22:6440C x y x y +--+=．(1)若一直线被圆C 所截得的弦的中点为(2,3)M ，求该直线的方程；(2)设直线:l y x m =+与圆C 交于A ，B 两点，把CAB △的面积S 表示为m 的函数，并求S 的最大值．【答案】(1)1y x =+(2)()11,1S m m -<=<≠-，最大值为92.【解析】(1)圆22:6440C x y x y +--+=化为标准方程为：()()22329x y -+-=. 则32123CM k -==--. 设所求的直线为m .由圆的几何性质可知：1C m M k k ⋅=-，所以1m k =，所以所求的直线为：()312y x -=⋅-，即1y x =+.(2)2AB因为直线:l y x m =+与圆C 交于A ，B 两点，所以03d <<,解得：11m -<<且1m ≠-.而CAB △的面积：()1121,1S m B m A d =⨯=-<<≠-因为2292AB d ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以221192222S AB d AB d ⎛⎫⎡⎤⎢⎥=⨯≤+ ⎪⎝⎭=⎢⎥⎣⎦（其中2AB d ==. 所以S 的最大值为92.19．在直角坐标系xOy 中，若圆C 与y 轴相切，且过点43,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，圆心C 在直线20x y -=上．(1)求圆C 的标准方程； (2)若直线13y x =与圆C 交于A ，B 两点，求ABC 的面积．【答案】(1)()()22214x y -+-=【解析】【分析】（1）利用待定系数法可得圆的方程；（2）根据点到直线距离求得弦长，即可得三角形面积. (1)由圆心C 在直线20x y -=上，且圆C 与y 轴相切，故设圆心()2,C a a ，圆的方程为()()22224x a y a a -+-=，又圆C 过点43,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则222432455a a a ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2210a a -+=，解得1a =，即圆心()2,1C ，半径2r =，所以圆C 的标准方程为()()22214x y -+-=；(2)因为圆心()2,1C 到直线13y x =的距离d =，所以弦长AB ==，所以1122ABCSAB d =⋅⋅==. 20．（12分）已知圆M 与x 轴相切于点（a ，0），与y 轴相切于点（0，a ），且圆心M 在直线360x y --=上.过点P （2，1）的直线与圆M 交于1122(,),(,)A x y B x y 两点，点C 是圆M 上的动点.(1)求圆M 的方程；(2)若直线AB 的斜率不存在，求∴ABC 面积的最大值；(3)是否存在弦AB 被点P 平分？若存在，求出直线AB 的方程；若不存在，说明理由. 【答案】(1)()()22339x y -+-= (2)(3)存在，方程为240x y +-=【解析】(1)∴圆M 与x 轴相切于点（a ，0），与y 轴相切于点（0，a ），∴圆M 的圆心为M （a ，a ），半径r a =.又圆心M 在直线360x y --=上，∴360a a --=，解得3a =.∴圆M 的方程为：()()22339x y -+-=.(2)当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为2x =，∴由()()222339y -+-=，解得3y =±∴12AB y y =-=易知圆心M 到直线AB 的距离1d =，∴点C 到直线AB 的最大距离为134+=.∴∴ABC面积的最大值为142⨯= (3)方法一：假设存在弦AB 被点P 平分，即P 为AB 的中点.又∴MA MB =，∴MP AB ⊥.又∴直线MP 的斜率为13223-=-， ∴直线AB 的斜率为-12. ∴()1122y x -=--. ∴存在直线AB 的方程为240x y +-=时，弦AB 被点P 平分.方法二：由（2）易知当直线AB 的斜率不存在时，126y y +=，∴此时点P 不平分AB .当直线AB 的斜率存在时，120x x -≠，假设点P 平分弦AB .∴点A ､B 是圆M 上的点，设()11,A x y ，()22,B x y .∴()()()()22112222339339x y x y ⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩ 由点差法得()()()()12121212660x x x x y y y y -+-+-+-=.由点P 是弦AB 的中点，可得12124,2x x y y +=+=， ∴121212y y x x -=--. ∴()1122y x -=-- ∴存在直线AB 的方程为240x y +-=时，弦AB 被点P 平分.21．（12分）已知圆C与直线30x -=相切于点(P，且与直线50x +=也相切.(1)求圆C 的方程；(2)若直线:30l mx y ++=与圆C 交于A ，B 两点，且0CA CB ⋅<，求实数m 的范围.【答案】(1)()2214x y ++=(2)1m 或7m <-【解析】(1)：设圆C 的方程为()222()x a y b r -+-=，由题意得(2221r a b r ⎛=- ⎝⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪+=⎪⎩，即(22222(1))54a r b b a a r ⎧⎪⎪++=⎨⎪+==⎩+⎪，解得1a =-，0b =，2r =，即圆C 的方程为()2214x y ++=.(2)解：由题意，得ACB ∠为钝角或平角，当A ，B ，C 共线时，3m =，此时ACB ∠为平角；当A ，B ，C 不共线时，3m ≠，ACB ∠为钝角，设圆心C 到直线l的距离为d ，则02d <<，于是，有0<，解之得1m 或7m <-，且3m ≠；综上，实数m 的取值范围是1m 或7m <-.22．（12分）莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ，瑞士数学家），1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心（三条中线的交点）、垂心（三条高线的交点）和外心（三条中垂线的交点）共线．这条线被后人称为三角形的欧拉线．已知QMN 的顶点()1,0M ，()3,2N -，()1,4Q -．(1)求QMN 的欧拉线方程；(2)记QMN 的外接圆的圆心为C ，直线l ：()10kx y k k ---=∈R 与圆C 交于A ，B 两点，且C l ∉，求ABC 的面积最大值．【答案】(1)2y =-【解析】(1) QMN 的顶点()1,0M ，()3,2N -，()1,4Q -利用两点之间距离公式知MN QN ==4MQ = 又222MN QN MQ +=，所以QMN 为等腰直角三角形， MQ 的中垂线方程是2y =-，也是MNQ ∠的平分线，三线合一， ∴欧拉线方程是2y =-．(2)由（1）知QMN 为等腰直角三角形，故外心为斜边MQ 中点，即外心是()1,2C -，2r =圆心C 到直线l 的距离1d =≤，AB =所以12ABC S AB d =⋅=△利用二次函数性质知，当21d =时，即0k =时，max S。

2018学年第二学期高二数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》学案含答案

正弦定理、余弦定理及解三角形最新考纲 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题.知识梳理1.正、余弦定理在△2.S△ABC＝2ab sin C＝2bc sin A＝2ac sin B＝4R＝2(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.3.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).(2)方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).(3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(×)(2)在△ABC中，A＞B必有sin A＞sin B.(√)(3)在△ABC中，若sin A sin B＜cos A cos B，则此三角形是钝角三角形.(√)(4)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(×)(5)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.(√)2.(2015·广东卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝23，cos A＝32，且b＜c，则b＝( )A.3B.2 2C.2D. 3解析由余弦定理b2＋c2－2bc cos A＝a2，得b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4，∵b＜c＝23，∴b＝2.选C.答案 C3.一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( ) A.102海里 B.103海里 C.203海里 D.202海里解析如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20海里，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝ABsin 45°，解得BC ＝102(海里).答案 A4.(2014·江西卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A.3B.932 C.332D.3 3解析 ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6.∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.答案 C 5.(2015·北京卷)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C＝________.解析由余弦定理：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，∴sin A ＝74，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝16＋25－362×4×5＝18，∴sin C ＝378，∴sin 2Asin C ＝2×34×74378＝1.答案 1考点一利用正、余弦定理解三角形【例1】设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a ，c 的值； (2)求sin(A －B )的值. 解 (1)由余弦定理得：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－42ac ＝79，即a 2＋c 2－4＝149ac .∴(a＋c )2－2ac －4＝149ac ，∴ac ＝9.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝6，ac ＝9，得a ＝c ＝3. (2)在△ABC 中，cos B ＝79，∴sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫792＝429. 由正弦定理得：asin A ＝bsin B，∴sin A ＝a sin B b ＝3×4292＝223.又A ＝C ，∴0＜A ＜π2，∴cos A ＝1－sin 2A ＝13，∴sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝223×79－13×429＝10227.规律方法 (1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断. 【训练1】设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B . (1)求a 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4的值.解 (1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B .由正、余弦定理得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac .因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3.(2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13.由于0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－19＝223.故sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝223×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×22＝4－26.考点二利用正、余弦定理判定三角形的形状【例2】在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C . (1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状. 解 (1)由2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ，得2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，即bc ＝b 2＋c 2－a 2，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∵0°＜A ＜180°，∴A ＝60°.(2)∵A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＋C ＝180°－60°＝120°. 由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B )＝3， ∴sin B ＋sin 120°cos B －cos 120°sin B ＝ 3. ∴32sin B ＋32cos B ＝3，即sin(B ＋30°)＝1. ∵0°<B <120°，∴30°<B ＋30°<150°.∴B ＋30°＝90°，B ＝60°.∴A ＝B ＝C ＝60°，△ABC 为等边三角形.规律方法 (1)三角形的形状按边分类主要有：等腰三角形，等边三角形等；按角分类主要有：直角三角形，锐角三角形，钝角三角形等.判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形. (2)边角转化的工具主要是正弦定理和余弦定理.【训练2】 (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，则△ABC 是( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形 (2)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若c b<cos A ，则△ABC 为( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形D.等边三角形解析 (1)由2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，得a 2＋b 2－c 2＝－12ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12ab 2ab ＝－14＜0，所以90°＜C ＜180°，即△ABC 为钝角三角形.(2)依题意得sin Csin B<cos A ，sin C <sin B cos A ，所以sin(A ＋B )<sin B cos A ，即sin B cos A ＋cos B sin A －sin B cos A <0，所以cos B sin A <0.又sin A >0，于是有cos B <0，B 为钝角，△ABC 是钝角三角形. 答案 (1)A (2)A考点三和三角形面积有关的问题【例3】 (2015·全国Ⅱ卷)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍.(1)求sin B sin C ；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长. 解 (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC .由正弦定理可得 sin B sin C ＝AC AB ＝12. (2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知 AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC .故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6，由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1.规律方法三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. 【训练3】 (2015·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14.(1)求a 和sin C 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6的值. 解 (1)在△ABC 中，由cos A ＝－14，可得sin A ＝154.由S △ABC ＝12bc sin A ＝315，得bc ＝24，又由b －c ＝2，解得b ＝6，c ＝4.由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得a ＝8.由a sin A ＝c sin C ，得sin C ＝158. (2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝cos 2A ·cos π6－sin 2A ·sin π6 ＝32(2cos 2A －1)－12×2sin A ·cos A ＝15－7316. 考点四正、余弦定理在实际问题中的应用【例4】如图，在海岸A 处，发现北偏东45°方向距A 为(3－1)海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°方向，距A 为2海里的C 处的缉私船奉命以103海里/时的速度追截走私船.此时走私船正以10海里/时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：6≈2.449). 解设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则有CD ＝103t (海里)，BD ＝10t (海里).在△ABC 中，∵AB ＝(3－1)海里，AC ＝2海里，∠BAC ＝45°＋75°＝120°，根据余弦定理，可得 BC ＝（3－1）2＋22－2×2×（3－1）cos 120°＝6(海里).根据正弦定理，可得sin ∠ABC ＝AC sin 120°BC ＝2×326＝22.∴∠ABC ＝45°，易知CB 方向与正北方向垂直，从而∠CBD ＝90°＋30°＝120°. 在△BCD 中，根据正弦定理，可得sin ∠BCD ＝BD sin ∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t＝12，∴∠BCD ＝30°，∠BDC ＝30°，∴BD ＝BC ＝6(海里)，则有10t ＝6，t ＝610≈0.245小时＝14.7分钟.故缉私船沿北偏东60°方向，需14.7分钟才能追上走私船.规律方法解三角形应用题的两种情形：(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解.【训练4】 (2015·湖北卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.解析在△ABC 中，AB ＝600，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝75°－30°＝45°，由正弦定理得BC sin ∠BAC ＝AB sin ∠ACB ，即BC sin 30°＝600sin 45°，所以BC ＝300 2.在Rt △BCD 中，∠CBD ＝30°，CD ＝BC tan ∠CBD ＝3002·tan 30°＝1006(m).答案 100 6[思想方法]正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形形状的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系.一般地，利用公式a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C (R 为△ABC 外接圆半径)，可将边转化为角的三角函数关系，然后利用三角函数知识进行化简，其中往往用到三角形内角和定理A ＋B ＋C ＝π.利用公式cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，可将有关三角形中的角的余弦化为边的关系，然后充分利用代数知识求边. [易错防范]1.在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形有时出现一解、两解，所以要进行分类讨论(此种类型也可利用余弦定理求解).2.利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.3.解三角形实际问题时注意各个角的含义，根据这些角把需要的三角形的内角表示出来.而容易出现的错误是把角的含义弄错，把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2016·哈尔滨模拟)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，△ABC 的面积为32，则C ＝( )A.30°B.45°C.60°D.75°解析法一 ∵S △ABC ＝12|AB ||AC |sin A ＝32，即12×3×1×sin A ＝32，∴sin A ＝1，∴A ＝90°， ∴C ＝60°，故选C.法二由正弦定理，得sin B AC ＝sin C AB ，即12＝sin C3，∴C ＝60°或C ＝120°.当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝34≠32(舍去).而当C ＝60°时，A ＝90°，S △ABC ＝32，符合条件，故C ＝60°.故选C. 答案 C2.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定解析由正弦定理，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2 A ，即sin(π－A )＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A .∵A ∈(0，π)，∴sin A ＞0，∴sin A ＝1，即A ＝π2，故选B.答案 B3.(2016·哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( ) A.12B.1C. 3D.2 解析 ∵a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴cos A ＝12，∴A ＝π3，又bc ＝4，∴△ABC 的面积为12bc sin A ＝3，故选C.答案 C4.(2016·东北三省三校联考)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“a ＞b ”是“cos 2A ＜cos 2B ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析因为在△ABC 中，a ＞b ⇔sin A ＞sin B ⇔sin 2A ＞sin 2B ⇔2sin 2A ＞2sin 2B ⇔1－2sin 2A ＜1－2sin 2B ⇔cos 2A ＜cos 2B .所以“a ＞b ”是“cos 2A ＜cos 2B ”的充分必要条件. 答案 C5.(2016·河南六市联考)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝2，S △ABC ＝2，则b 的值为( )A. 3B.322C.2 2D.2 3解析由S △ABC ＝12bc sin A ＝2，得bc ＝3，①又由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得b 2＋c 2＝6.② 由①②解得b ＝ 3. 答案 A 二、填空题6.(2015·广东卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.解析因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6.又C ＝π6，所以B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3.又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝bsin B，即3sin 2π3＝bsinπ6，解得b ＝1. 答案 17.(2015·福建卷)若锐角△ABC 的面积为103，且AB ＝5，AC ＝8，则BC 等于________.解析 S ＝12AB ·AC ·sin A ，∴sin A ＝32，在锐角三角形中A ＝π3，由余弦定理得BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝7.答案 78.(2014·新课标全国Ⅰ卷)如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m. 解析在Rt △ABC 中，∠CAB ＝45°，BC ＝100 m ，所以AC ＝100 2 m. 在△AMC 中，∠MAC ＝75°，∠MCA ＝60°，从而∠AMC ＝45°，由正弦定理，得AC sin 45°＝AMsin 60°，因此AM ＝100 3 m.在Rt △MNA 中，AM ＝100 3 m ，∠MAN ＝60°，由MN AM＝sin 60°，得MN ＝1003×32＝150(m). 答案 150 三、解答题9.(2016·武汉质量预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a 2－b 2－c 2＋3bc ＝0，2b sin A ＝a ，BC 边上中线AM 的长为14. (1)求角A 和角B 的大小； (2)求△ABC 的面积.解 (1)由a 2－b 2－c 2＋3bc ＝0，得b 2＋c 2－a 2＝3bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，∴A ＝π6，由2b sin A ＝a ，得b ＝a ，∴B ＝A ＝π6.(2)设AC ＝BC ＝x ，由余弦定理，得AM 2＝x 2＋x 24－2x ·x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝(14)2，解得x ＝22，故S △ABC ＝12×22×22×32＝2 3.10.(2015·四川卷)已知A 、B 、C 为△ABC 的内角，tan A ，tan B 是关于x 的方程x 2＋3px －p ＋1＝0(p ∈R )的两个实根. (1)求C 的大小；(2)若AB ＝3，AC ＝6，求p 的值.解 (1)由已知，方程x 2＋3px －p ＋1＝0的判别式Δ＝(3p )2－4(－p ＋1)＝3p 2＋4p －4≥0，所以p ≤－2，或p ≥23，由根与系数的关系，有tan A ＋tan B ＝－3p ，tan A tan B ＝1－p ，于是1－tan A tan B ＝1－(1－p )＝p ≠0，从而tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－3pp ＝－3，所以tan C ＝－tan(A ＋B )＝3，所以C ＝60°.(2)由正弦定理，得sin B ＝AC sin C AB ＝6sin 60°3＝22，解得B ＝45°，或B ＝135°(舍去)，于是A ＝180°－B －C ＝75°，则tan A ＝tan 75°＝tan(45°＋30°)＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°tan 30°＝1＋331－33＝2＋3，所以p ＝－13(tan A ＋tan B )＝－13(2＋3＋1)＝－1－ 3.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.(2014·新课标全国Ⅱ卷)已知钝角△ABC 的面积为12，AB ＝1，BC ＝2，则AC 等于( )A.5B. 5C.2D.1解析 ∵S ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝22，∴B ＝π4或3π4. 当B ＝3π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2＋2＝5，∴AC ＝5，此时△ABC 为钝角三角形，符合题意；当B ＝π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2＝1，∴AC ＝1，此时AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不符合题意.故AC ＝ 5. 答案 B12.(2016·江西师大附中模拟)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若S △ABC ＝23，a＋b ＝6，a cos B ＋b cos Ac＝2cos C ，则c ＝( )A.27B.4C.2 3D.3 3解析 ∵a cos B ＋b cos Ac＝2cos C ，由正弦定理，得sin A cos B ＋cos A sin B ＝2sin C cos C ，∴sin(A ＋B )＝sin C ＝2sin C cos C ，由于0＜C ＜π，sin C≠0，∴cos C ＝12，∴C ＝π3，∵S △ABC ＝23＝12ab sin C ＝34ab ，∴ab ＝8，又a ＋b ＝6，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋16－8＝12，∴c ＝23，故选C.答案 C13.(2014·新课标全国Ⅰ卷)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________.解析由正弦定理得(2＋b )(a －b )＝(c －b )c ，即(a ＋b )·(a －b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3，又b 2＋c 2－a 2＝bc ≥2bc －4，即bc ≤4，故S △ABC ＝12bc sin A≤12×4×32＝3，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立，则△ABC 面积的最大值为 3. 答案 314.已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，角B 所对的边b ＝3，且函数f (x )＝23sin 2x ＋2sin x cos x －3在x ＝A 处取得最大值. (1)求f (x )的值域及周期； (2)求△ABC 的面积.解 (1)因为A ，B ，C 成等差数列，所以2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3，即A ＋C ＝2π3.因为f (x )＝23sin 2x ＋2sin x cos x － 3 ＝3(2sin 2x －1)＋sin 2x ＝sin 2x －3cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以T ＝2π2＝π. 又因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3∈[－1，1]，所以f (x )的值域为[－2，2].(2)因为f (x )在x ＝A 处取得最大值，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π3＝1. 因为0<A <23π，所以－π3<2A －π3<π，故当2A －π3＝π2时，f (x )取到最大值，所以A ＝512π，所以C ＝π4.由正弦定理，知3sin π3＝csinπ4⇒c ＝ 2.又因为sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π6＝2＋64，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝3＋34.复习导读正、余弦定理是解三角形的主要工具，高考中主要考查用其求三角形中的边和角及实现边、角之间的转化；解三角形是三角函数的知识在三角形中的应用，高考中可单独考查，也可以与三角函数、不等式综合考查.考点一解三角形与三角恒等变换的综合【例1】 (满分12分)(2015·浙江卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2.(1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值.[满分解答] (1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理，得sin 2B －12＝12sin 2C .(2分)所以－cos 2B ＝sin 2C .(4分)又由A ＝π4，即B ＋C ＝34π，得－cos 2B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ＝sin 2C ，解得tan C ＝2.(6分)(2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)得sin C ＝255，cos C ＝55，(8分)又因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C ，(9分) 所以sin B ＝31010，(10分)由正弦定理得c ＝223b ，又因为A ＝π4，12bc sin A ＝3，所以bc ＝62，故b ＝3.(12分)❶利用正弦定理进行边化角得2分； ❷由cos 2B 为桥梁解得tan C 得4分； ❸由tan C 求得sin C ，cos C 得2分；❹正弦定理得b 与c 的关系及△ABC 的面积可求b 得2分.第一步：利用正(余)弦定理进行边角转化；第二步：利用三角恒等变换求边与角；第三步：代入数据求值；第四步：查看关键点，易错点.探究提高三角恒等变换和解三角形的结合，一般有两种类型：一是先利用三角函数的平方关系、和角公式等求符合正、余弦定理中的边与角，再利用正、余弦定理求值；一是先利用正、余弦定理确定三角形的边角，再代入到三角恒等变换中求值.【训练1】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2. (1)求sin 2Asin 2A ＋cos 2A的值； (2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积.解 (1)由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2，得tan A ＝13.所以sin 2A sin 2A ＋cos 2A ＝2tan A 2tan A ＋1＝25. (2)由tan A ＝13，A ∈(0，π)，得sin A ＝1010，cos A ＝31010. 又由a ＝3，B ＝π4及正弦定理a sin A ＝b sin B，得b ＝3 5. 由sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4，得sin C ＝255，设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ab sin C ＝9. 考点二解三角形与三角函数的综合【例2】 (2015·山东卷)设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间； (2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值. 解 (1)由题意知f (x )＝sin 2x 2－1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π22 ＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12. 由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z, 可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )；单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z ). (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立.因此12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34. 探究提高三角函数和解三角形的结合，一般可以利用三角变换化简所给函数关系式，再结合正、余弦定理解三角形.【训练2】 (2016·成都诊断)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋2sin 2ωx 2(ω＞0)，已知函数f (x )的图象的相邻两对称轴间的距离为π.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c (其中b ＜c )，且f (A )＝32，△ABC 的面积为S ＝63，a ＝27，求b ，c 的值.解 (1)f (x )＝32sin ωx ＋12cos ωx ＋1－cos ωx ＝32sin ωx －12cos ωx ＋1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1. ∵函数f (x )的图象的相邻两对称轴间的距离为π，∴函数f (x )的周期为2π.∴ω＝1.∴函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋1. (2)由f (A )＝32，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3. ∵S ＝12bc sin A ＝63，∴12bc sin π3＝63，bc ＝24，由余弦定理，得a 2＝(27)2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝b 2＋c 2－24. ∴b 2＋c 2＝52，又∵b ＜c ，解得b ＝4，c ＝6.考点三解三角形中的最值问题【例3】 (2016·临川一中模拟)已知f (x )＝3cos 2x ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋x sin(π－x )， x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期及单调增区间；(2)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且f (A )＝－3，a ＝3，求BC 边上的高的最大值.解 (1)f (x )＝3cos 2x －sin 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， ∴f (x )的最小正周期为π，令2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋32π(k ∈Z )，得 k π＋512π≤x ≤k π＋1112π(k ∈Z )， ∴单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋512π，k π＋1112π(k ∈Z ). (2)由f (A )＝－3得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π3＝32，又A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＝π3.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得9＝b 2＋c 2－bc ≥bc ，即bc ≤9(当且仅当b ＝c 时取等号)，设BC 边上的高为h ，由三角形等面积法知12ah ＝12bc sin A ，得3h ＝32bc ≤932，∴h ≤332，即h 的最大值为332. 探究提高解三角形的最值问题常需结合基本不等式求解，关键是由余弦定理得到两边关系，再结合不等式求解最值问题，或者将所求转化为某个角的三角函数，借助三角函数的值域求范围.【训练3】 (2015·湖南卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A ，且B 为钝角.(1)证明：B －A ＝π2； (2)求sin A ＋sin C 的取值范围.(1)证明由a ＝b tan A 及正弦定理，得sin A cos A ＝a b ＝sin A sin B，所以sin B ＝cos A ，即sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A .又B 为钝角，因此π2＋A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，故B ＝π2＋A ，即B －A ＝π2. (2)解由(1)知，C ＝π－(A ＋B )＝π－⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π2＝π2－2A ＞0，所以A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4. 于是sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2A ＝sin A ＋cos 2A ＝－2sin 2A ＋sin A ＋1＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98. 因为0＜A ＜π4，所以0＜sin A ＜22，因此22＜－2⎝⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98≤98. 由此可知sin A ＋sin C 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤22，98. (建议用时：45分钟)一、选择题1.(2016·长沙模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“a ＝2b cos C ”是“△ABC 是等腰三角形”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析依题意，由a ＝2b cos C 及正弦定理，得sin A ＝2sin B cos C ，sin(B ＋C )－2sin B cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C －2sin B cos C ＝sin(C －B )＝0，C ＝B ，△ABC 是等腰三角形；反过来，由△ABC 是等腰三角形不能得知C ＝B ，a ＝2b cos C .因此，“a ＝2b cos C ”是“△ABC 是等腰三角形”的充分不必要条件，故选A.答案 A2.(2015·郑州质量预测)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且(b －c )(sin B ＋sin C )＝(a － 3 c )sin A ，则角B 的大小为( )A.30°B.45°C.60°D.120°解析由正弦定理可知(b －c )(b ＋c )＝(a －3c )a ，∴b 2－c 2＝a 2－3ac ，即a 2＋c 2－b 2＝3ac .∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32， ∴B ＝30°.答案 A3.(2015·太原二模)在△ABC 中，cos A ＝35，cos B ＝45，BC ＝4，则AB ＝( ) A.5 B.4 C.3 D.2解析 ∵cos A ＝35，cos B ＝45，∴sin A ＝45，sin B ＝35，∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝0，∴A ＋B ＝C ＝π2，∴AB ＝BC sin A＝5.故选A. 答案 A4.(2016·乌鲁木齐诊断)在△ABC 中，AC ·cos A ＝3BC ·cos B ，且cos C ＝55，则A ＝( ) A.30° B.45° C.60° D.120°解析由题意及正弦定理，得sin B cos A ＝3sin A cos B ，∴tan B ＝3tan A ，∴0°＜A ，B ＜90°，又cos C ＝55，故sin C ＝255，∴tan C ＝2，而A ＋B ＋C ＝180°， ∴tan(A ＋B )＝－tan C ＝－2，即tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－2，将tan B ＝3tan A 代入，得4tan A 1－3tan 2A＝－2，∴tan A ＝1或tan A ＝－13，而0°＜A ＜90°，则A ＝45°，故选B. 答案 B5.(2016·洛阳统考)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边长，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝( )A.12B.1C.22D.32解析由A ＋C ＝2B ，且A ＋B ＋C ＝π，得到B ＝π3， ∴cos B ＝12，又a ＝1，b ＝3，根据余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ，即c 2－c －2＝0，解得c ＝2，c ＝－1(舍去)，又sin B ＝32，b ＝3，根据正弦定理b sin B ＝c sin C得 sin C ＝c sin B b ＝2×323＝1. 答案 B6.(2016·石家庄模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝3a cos C ，则sin A ＋sin B 的最大值是( )A.1B. 2C. 3D.3解析由c sin A ＝3a cos C ，得sin C sin A ＝3sin A cos C ，又在△ABC 中sin A ≠0，所以sin C ＝3cos C ，tan C ＝3，C ∈(0，π)，所以C ＝π3. 所以sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋A ＝32sin A ＋32cos A ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6，A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3，所以当A ＝π3时，sin A ＋sin B 取得最大值3，故选C.答案 C二、填空题7.(2015·重庆卷)在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝________. 解析依题意知∠BDA ＝C ＋12∠BAC ，由正弦定理得2sin ∠BDA ＝3sin B ，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋12∠BAC ＝22， ∵C ＋∠BAC ＝180°－B ＝60°，∴C ＋12∠BAC ＝45°，∴∠BAC ＝30°，C ＝30°. 从而AC ＝2·AB cos 30°＝ 6.答案 68.(2016·陕西八校联考)设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，面积为S ，且满足S ＝a 2－(b －c )2，b ＋c ＝8，则S 的最大值为________.解析 ∵S ＝a 2－(b －c )2，b ＋c ＝8，∴12bc sin A ＝2bc －(b 2＋c 2－a 2)＝2bc －2bc cos A ，即sin A ＋4cos A ＝4.联立⎩⎪⎨⎪⎧sin A ＋4cos A ＝4，sin 2A ＋cos 2A ＝1，解得sin A ＝817， ∴S ＝12bc sin A ＝417bc ≤417×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c 22＝6417，当且仅当b ＝c ＝4时取等号.答案 64179.(2015·云南检测)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin A ＋2sin B ＝2sin C ，b ＝3，则cos C 的最小值等于________.解析由sin A ＋2sin B ＝2sin C 可得a ＋2b ＝2c ，∵b ＝3，∴a ＋32＝2c .∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9－c 26a. ∴由c ＝a ＋322，得cos C ＝a 2＋9－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32226a ＝a 2－22a ＋68a ＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋6a －22≥6－24， ∵当且仅当a ＝6a，即a ＝6时，等号成立， ∴cos C ≥6－24.∴cos C 的最小值为6－24. 答案 6－24三、解答题10.(2016·烟台一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝3，b ＝5，c ＝7.(1)求角C 的大小；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3的值. 解 (1)由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32＋52－722×3×5＝－12. ∵0＜C ＜π，∴C ＝2π3. (2)由正弦定理b sin B ＝c sin C，得 sin B ＝b sin C c ＝5sin 2π37＝5314， ∵C ＝2π3，∴B 为锐角， ∴cos B ＝1－sin 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫53142＝1114. ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝sin B cos π3＋cos B sin π3 ＝5314×12＋1114×32＝437. 11.已知向量p ＝(2sin x ，3cos x )，q ＝(－sin x ，2sin x )，函数f (x )＝p ·q .(1)求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且f (C )＝1，c ＝1，ab ＝23，且a >b ，求a ，b 的值.解 (1)f (x )＝－2sin 2x ＋23sin x cos x＝－1＋cos 2x ＋23sin x cos x ＝3sin 2x ＋cos 2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1. 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ， ∴f (x )的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ). (2)∵f (C )＝2sin(2C ＋π6)－1＝1， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝1， ∵C 是三角形的内角，∴2C ＋π6＝π2，即C ＝π6. ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32，即a 2＋b 2＝7. 将ab ＝23代入可得a 2＋12a2＝7，解得a 2＝3或4. ∴a ＝3或2，∴b ＝2或 3.∵a >b ，∴a ＝2，b ＝ 3.12.已知函数f (x )＝3sin x cos x －cos 2x ＋12. (1)求f (x )的最小正周期及对称轴方程；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝12，bc ＝6，求a 的最小值. 解 (1)f (x )＝3sin x cos x －cos 2x ＋12＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，故最小正周期T ＝2π2＝π. 令2x －π6＝k π＋π2，得x ＝k π2＋π3(k ∈Z ). 故图象的对称轴方程为x ＝k π2＋π3(k ∈Z ). (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12，可知A －π6＝π6或A －π6＝5π6，即A ＝π3或A ＝π，又0＜A ＜π，故A ＝π3. ∵bc ＝6，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ≥bc ＝6，当且仅当b ＝c 时等号成立，故a的最小值为 6.。

2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析(466)

张北县第二中学校2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．已知全集U=R ，集合A={1，2，3，4，5}，B={x ∈R|x ≥3}，图中阴影部分所表示的集合为（）A ．{1}B ．{1，2}C ．{1，2，3}D ．{0，1，2}2．已知，，那么夹角的余弦值（）A ．B ．C ．﹣2D ．﹣3．函数f （x ）=x 2﹣2ax ，x ∈[1，+∞）是增函数，则实数a 的取值范围是（） A ．RB ．[1，+∞）C ．（﹣∞，1]D ．[2，+∞）4．下列各组函数中，表示同一函数的是（）A 、()f x =x 与()f x =2x xB 、()1f x x =- 与()f x =C 、()f x x =与()f x = D 、()f x x =与2()f x =5．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则异面直线EF 和BC 1所成的角是（）A ．60°B ．45°C ．90°D ．120°6．如图甲所示，三棱锥P ABC - 的高8,3,30PO AC BC ACB ===∠= ，,M N 分别在BC和PO 上，且(),203CM x PN x x ==∈（，，图乙的四个图象大致描绘了三棱锥N AMC -的体积y 与的变化关系，其中正确的是（）A．B． C. D．1111]7．函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．8．如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．9．独立性检验中，假设H0：变量X与变量Y没有关系．则在H0成立的情况下，估算概率P（K2≥6.635）≈0.01表示的意义是（）A．变量X与变量Y有关系的概率为1%B．变量X与变量Y没有关系的概率为99%C．变量X与变量Y有关系的概率为99%D．变量X与变量Y没有关系的概率为99.9%10．sin3sin1.5cos8.5，，的大小关系为（）A．sin1.5sin3cos8.5<<<<B．cos8.5sin3sin1.5C.sin1.5cos8.5sin3<<D．cos8.5sin1.5sin3<<11．用秦九韶算法求多项式f（x）=x6﹣5x5+6x4+x2+0.3x+2，当x=﹣2时，v1的值为（）A．1 B．7 C．﹣7 D．﹣512．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(0)2πϕ<<与y 轴的交点为(0,1)，且图像上两对称轴之间的最小距离为2π，则使()()0f x t f x t +--+=成立的t 的最小值为（）1111] A ．6π B ．3π C ．2πD ．23π二、填空题13．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与函数()()2220f x x ax =+>和()()3220g x x a x =+>均相切（其中a 为常数），切点分别为()11,A x y 和()22,B x y ，则12x x +的值为__________．14．已知θ是第四象限角，且sin （θ+）=，则tan （θ﹣）= ．15．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=5，BC=4，AA 1=3，沿该长方体对角面ABC 1D 1将其截成两部分，并将它们再拼成一个新的四棱柱，那么这个四棱柱表面积的最大值为．16．（若集合A ⊊{2，3，7}，且A 中至多有1个奇数，则这样的集合共有个．17．为了近似估计π的值，用计算机分别产生90个在[﹣1，1]的均匀随机数x 1，x 2，…，x 90和y 1，y 2，…，y 90，在90组数对（x i ，y i ）（1≤i ≤90，i ∈N *）中，经统计有25组数对满足，则以此估计的π值为．18．在直角梯形,,DC//AB,AD DC 1,AB 2,E,F ABCD AB AD ⊥===分别为,AB AC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 上变动（如图所示）．若AP ED AF λμ=+，其中,R λμ∈，则2λμ-的取值范围是___________．三、解答题19．设圆C 满足三个条件①过原点；②圆心在y=x 上；③截y 轴所得的弦长为4，求圆C 的方程．20．已知（+）n 展开式中的所有二项式系数和为512，（1）求展开式中的常数项；（2）求展开式中所有项的系数之和．21．甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2个、3个、4个，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3个，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球．（1）若左右手各取一球，问两只手中所取的球颜色不同的概率是多少？（2）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球的成功取法次数为X，求X的分布列和数学期望．22．我市某校某数学老师这学期分别用m，n两种不同的教学方式试验高一甲、乙两个班（人数均为60人，入学数学平均分和优秀率都相同，勤奋程度和自觉性都一样）．现随机抽取甲、乙两班各20名的数学期末考试成绩，并作出茎叶图如图所示．（Ⅰ）依茎叶图判断哪个班的平均分高？（Ⅱ）现从甲班所抽数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，用ξ表示抽到成绩为86分的人数，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）学校规定：成绩不低于85分的为优秀，作出分类变量成绩与教学方式的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？”下面临界值表仅供参考：P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）23．已知曲线C1：ρ=1，曲线C2：（t为参数）（1）求C1与C2交点的坐标；（2）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C1′与C2′，写出C1′与C2′的参数方程，C1与C2公共点的个数和C1′与C2′公共点的个数是否相同，说明你的理由．2015-2016学年安徽省合肥168中学高三（上）10月月考数学试卷（理科）24．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，，E，F分别是A1C1，AB的中点．（I）求证：平面BCE⊥平面A1ABB1；（II）求证：EF∥平面B1BCC1；（III）求四棱锥B﹣A1ACC1的体积．张北县第二中学校2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】B【解析】解：图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合A中，但不在集合B中．由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（C U B）∩A，又A={1，2，3，4，5}，B={x∈R|x≥3}，∵C U B={x|x＜3}，∴（C U B）∩A={1，2}．则图中阴影部分表示的集合是：{1，2}．故选B．【点评】本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、Venn图的应用等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．2．【答案】A【解析】解：∵，，∴=，||=，=﹣1×1+3×（﹣1）=﹣4，∴cos＜＞===﹣，故选：A．【点评】本题考查了向量的夹角公式，属于基础题．3．【答案】C【解析】解：由于f（x）=x2﹣2ax的对称轴是直线x=a，图象开口向上，故函数在区间（﹣∞，a]为减函数，在区间[a，+∞）上为增函数，又由函数f（x）=x2﹣2ax，x∈[1，+∞）是增函数，则a≤1．故答案为：C4．【答案】C【解析】试题分析：如果两个函数为同一函数，必须满足以下两点：①定义域相同，②对应法则相同。

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8 2 6 乙甲数学基础知识复习
数学精练（46）
1. 设一组数据的方差为s 2，将这组数据的每个数据都乘以10，所得到的一组新数据的方差
是( )
A ．0.1s 2
B ．s 2
C ．10s 2
D ．100s 2
2. ．如图所示的是一个算法的流程图，已知a 1＝3，
输出的b ＝7，则a 2的值是( )
A ．11
B ．17
C ．0.5
D ．12
3．红、黑、蓝、白4张牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )
A ．对立事件
B ．不可能事件
C ．互斥事件但不是对立事件
D ．以上答案都不对
4. 在五个数字1，2，3，4，5中，若随机取出三个数字，则剩下的两个数字都是奇数的概率是( )
A ．0.2
B ．0.8
C ．0.3
D ．0.7
5. 某校有40个班，每班50人，每班选派3人参加“学代会”，在这个问题中样本容量是
A.120
B.50
C.40
D.150
6．一个年级有12个班，每个班的同学从1至50排学号，为了交流学习经验，要求每班学号为14的同学留下进行交流，这里运用的是
A.分层抽样
B.抽签抽样
C.随机抽样
D.系统抽样
7. 甲乙两位同学在高三的5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是x x 乙甲，，
则下列正确的是（）
A. x x >乙甲；乙比甲成绩稳定
B. x x >乙甲；甲比乙成绩稳定
C. x x <乙甲；乙比甲成绩稳定
D. x x <乙甲；甲比乙成绩稳定
8. 已知回归直线斜率的估计值为 1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线方程为
( )(注样本中心为),(y x ，其中y x ,为平均数)
A ．y ˆ＝1.23x ＋4
B ．y
ˆ＝1.23x ＋5 C ．y
ˆ＝1.23x ＋0.18 D ．y ˆ＝0.18＋1.23 9．一个容量为20的样本数据，分组后，各组与频数如下：
(10，20]，2；(20，30]，3；(30，40]，4；(40，50]，5；(50，60]，4；(60，70]，2 则样本在区间(－∞，50]上的频率为（）
A ．5%
B ．25%
C ．50%
D ．70%
10．从分别写有A 、B 、C 、D 、E 的5张卡片中，任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为 A.51 B.52 C.103 D.107
DACCA DCCDB。