全等三角形课堂练习
八年级全等三角形专题练习(解析版)
一、八年级数学全等三角形解做题压轴题〔难〕1. 〔1〕如图〔1〕,：在△ ABC中,N BAC=90.,AB二AC,直线m经过点A, 8口,直线m, CE J_直线m,垂足分别为点D、E.证实:DE=BD+CE.〔2〕如图〔2〕,将〔1〕中的条件改为：在△ ABC中,AB=AC, D、A、E三点都在直线m 上,并且有N BDA=Z AEC=Z BAC=.,其中.为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立? 如成立,请你给出证实;假设不成立,请说明理由.〔3〕拓展与应用：如图〔3〕 , D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点〔D、A、E 三点互不重合〕,点F为N BAC平分线上的一点,且△ ABF和^ ACF均为等边三角形,连接BD、CE,假设N BDA=Z AEC=Z BAC,试判断△ DEF 的形状.【答案】(1)见解析(2)成立(3) 4DEF为等边三角形【解析】解：(1)证实：BDL直线m, CEJ_直线m,,N BDA=N CEA=900.: Z BAC=90°, /. Z BAD+Z CAE=90°.•/ Z BAD+Z ABD=90°, /. Z CAE=Z ABD.又AB二“AC〞,「・△ ADB合△ CEA (AAS) . /. AE=BD, AD=CE./. DE=,,AE+AD=H BD+CE.(2)成立.证实如下：: Z BDA =Z BAC=a , /. Z DBA+Z BAD=Z BAD+Z CAE=180°-O r . /. Z DBA=Z CAE.Z BDA=Z AEC=., AB=AC,「・△ AD於△ CEA (AAS). /. AE=BD, AD=CE.DE二AE+AD=BD+CE.(3)△ DEF为等边三角形.理由如下：由(2)知,△ ADB合△ CEA, BD=AE, Z DBA =Z CAE,: △ ABF 和^ ACF 均为等边三角形,J Z ABF=Z CAF=60°.・•, Z DBA+Z ABF=Z CAE+Z CAF. /. Z DBF=Z FAE.; BF=AF,,•・丛DBF合△ EAF (AAS) . /. DF=EF, Z BFD=Z AFE.・•, Z DFE=Z DFA+z AFE=Z DFA+Z BFD=60°.・•.A DEF为等边三角形.(1)由于DE=DA+AE,故由AAS证△ ADB合4 CEA,得出DA=EC, AE=BD,从而证得DE=BD+CE.(2)成立,仍然通过证实△ ADB2 J CEA,得出BD=AE, AD=CE,所以DE=DA+AE=EC+BD.(3)由△ ADB2△ CEA得BD=AE, NDBA=N CAE,由△ ABF和△ ACF均等边三角形,得Z ABF=Z CAF=60°, FB=FA,所以N DBA+N ABF=N CAE+N CAF,即N DBF二N FAE,所以△ DBF^ △ EAF,所以FD=FE, Z BFD=Z AFE,再根据N DFE=Z DFA+Z AFE=Z DFA+Z BFD=60°得到△ DEF是等边三角形.2.如图1,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE, PE 交CD 于 F〔1〕证实：PC=PE；〔2〕求N CPE的度数：〔3〕如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当N ABC=12〔T时,连接【答案】(1)证实见解析(2) 90° (3) AP=CE【解析】【分析】(1)、根据正方形得出AB=BC, ZABP=ZCBP=45%结合PB=PB得出aABP g^CBP,从而得出结论：⑵、根据全等得出NBAP=NBCP, ZDAP=ZDCP,根据PA=PE得出NDAP=NE,即ZDCP=ZE,易得答案；(3)、首先证实4ABP和^CBP全等,然后得出PA=PC, NBAP=NBCP,然后得出NDCP二NE,从而得出NCPF=NEDF=60°,然后得出AEPC是等边三角形,从而得出AP=CE.【详解】⑴、在正方形ABCD 中,AB=BC, ZABP=ZCBP=45%在ZkABP 和4CBP 中,XV PB=PB AAABP^ACBP (SAS) , ,PA=PC, VPA=PE>:.PC=PE；⑵、由(1)知,A ABP^ACBP,.\ZBAP=ZBCP, JNDAP=NDCP,VPA=PE, .\ZDAP=ZE> /. ZDCP=ZE. VZCFP=ZEFD (对顶角相等), A180° - ZPFC - ZPCF=1800 - ZDFE - NE, BPZCPF=ZEDF=90<>：⑶、AP = CE理由是：在菱形ABCD 中,AB=BC, NABP二NCBP,在2\ABP ^lACBP 中,XV PB=PB /.△ABP^ACBP (SAS),,PA二PC, NBAP=NDCP,VPA=PE,,PC=PE,,NDAP=NDCP, V PA=PC,/DAP=NE, A ZDCP=ZE V ZCFP=ZEFD (对顶角相等),A180°- ZPFC - ZPCF=180° - ZDFE - NE, RPZCPF=ZEDF=180° - ZADC=180° - 120°=60°, AAEPC 是等边三角形,,PC=CE, AAP=CE考点：三角形全等的证实3.如图,在AA8C中,NAC8为锐角,点£＞为射线8C上一动点,连接AO.以AO为直角边且在AD的上方作等腰直角三角形ADF.图①图②图③〔1〕假设A3 = AC, ABAC = 90°①当点.在线段BC上时〔与点3不重合〕,试探讨CF与8.的数量关系和位置关系：②当点O在线段C的延长线上时,①中的结论是否仍然成立,请在图2中而出相应的图形并说明理由；〔2〕如图3,假设ABwAC, ABAC90° , ZBC4 = 45°,点.在线段8C上运动,试探究CF与8.的位置关系.【答案】〔1〕①CF_LBD,证实见解析：②成立,理由见解析：〔2〕 CF1BD,证实见解析.【解析】【分析】〔1〕①根据同角的余角相等求出NCAF=NBAD,然后利用"边角边"证实4ACF和4ABD全等,②先求出NCAF=NBAD,然后与①的思路相同求解即可：〔2〕过点A作AE_LAC交BC于E,可得4ACE是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得AC=AE, NAED=45.,再根据同角的余角相等求出NCAF=NEAD,然后利用“边角边〞证实4ACF 和4AED全等,根据全等三角形对应角相等可得NACF=NAED,然后求出ZBCF=90°,从而得到CFJ_BD.【详解】解：〔1〕①•••NBAC=90°, 4ADF是等腰直角三角形,.\ZCAF+ZCAD=90% ZBAD+ZACD=90°,.\ZCAF=ZBAD,在4ACF和4ABD中,VAB=AC, ZCAF=ZBAD, AD=AF,.,.△ACF^AABD〔SAS〕,.・.CF=BD, ZACF=ZABD=45",ZACB=45",AZFCB=90°,.-.CF±BD：②成立,理由如下：如图2：VZCAB=ZDAF=90%,ZCAB+ ZCAD= ZDAF+ ZCAD, 即NCAF=NBAD,在aACF和AABD中,VAB=AC, ZCAF=ZBAD, AD=AF, AAACF^AABD(SAS), ACF=BD, NACF=NB,VAB=AC, ZBAC=90%AZB=ZACB=45%/. Z BCF= ZACF+ ZACB=45o+45o=90°,ACF1BD：(2)如图3,过点A作AE_LAC交BC于E,•/ ZBCA=45",••.△ACE是等腰直角三角形,,AC=AE, NAED=45°, VZCAF+ZCAD=90°, ZEAD+ZCAD=90%,NCAF=NEAD,在4ACF和4AED中,VAC=AE, NCAF=NEAD, AD=AF,.•.△ACF^AAED(SAS), /. ZACF=ZAED=45\,ZBCF= ZACF+ ZBCA=45o+45°=90°, ACF1BD.【点睛】此题考查全等三角形的动点问题,综合性较强,有一定难度,需要熟练掌握全等三角形的判定和性质进行综合运用.4.如图〔1〕,在△A3C中,ZA = 90°, A3 = AC,点.是斜边8C的中点,点E, 产分别在线段A3, 4c上,且NEDF = 90..〔1〕求证：△.所为等腰直角三角形：〔2〕假设△ABC的面积为7,求四边形AEDF•的面积：〔3〕如图〔2〕,如果点E运动到A8的延长线上时,点尸在射线C4上且保持ZEDF = 90°,△.石尸还是等腰直角三角形吗.请说明理由.【答案】〔1〕证实见解析；〔2〕 3.5：〔3〕是,理由见解析.【解析】【分析】〔1〕由题意连接AD,并利用全等三角形的判定判定△ BD年△ ADF〔ASA〕,进而分析证得△.瓦'为等腰直角三角形；〔2〕由题意分析可得S网边形AEDF=S MDF+S AADE=S ABDE+S ACDF,以此进行分析计算求出四边形AEDF的面积即可；〔3〕根据题意连接AD,运用全等三角形的判定判定△ BDE^ △ ADF〔ASA〕,进而分析证得△.所为等腰直角三角形.【详解】解：〔1〕证实：如图①,连接AD.「N BAC=90°,AB=AC,点D是斜边BC的中点,/. AD±BC , AD=BD,・•, Z 1=Z B=45°,Z EDF=90% Z 2+Z 3=90%又,Z 3+Z 4=90°,/. Z 2=Z 4,在^ BDE 和^ ADF 中,Z 1=Z B, AD=BD,Z 2=Z 4,/. △ BDE合 , ADF(ASA),・•, DE二DF,又；Z EDF=90\・•・ ADEF为等腰直角三角形.(2)由(1)可知DE=DF, NON 6=45., 又「N 2+N 3=90°, Z 2+Z 5=90%J Z 3=Z 5,A ADE级△ CDF,・' S N边H,AEDF=S AADF+S CADE二S ABDE+S^CDF,S MBC=2 S 网边毛AEDF,S wijn；AEDF=3.5.(3)是,如图②,连接AD.•/ Z BAC=90\ AB=AC, D 是斜边BC 的中点,/. AD±BC Z AD=BD ,「・Z 1=45°,Z DAF=180°-Z l=180°-45°=135% Z DBE=180°-Z ABC=180°-45°=135%/. Z DAF=Z DBE,「Z EDF=90\/. Z 3+Z 4=90%又；Z 2+Z 3=90°,「・Z 2=Z 4,在仆BDE 和a ADF 中,Z DAF=Z DBE, AD=BD,N 2=Z 4,△ BDE合△ ADF(ASA),・•.DE=DB又：Z EDF=90\.•.A DEF为等腰直角三角形.【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质,根据题意作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.5.如图,在MBC中,ZC = 90°, AC = 3, BC = 7,点.是8c边上的动点,连接AD,以AO为斜边在A.的下方作等腰直角三角形AO石.(1)填空：AABC的面积等于—；(2)连接CE,求证：CE是NAC3的平分线；(3)点.在6C边上,且CO = 1,当.从点.出发运动至点3停止时,求点E相应的运动路程.王O 1 _【答案】〔I〕—：〔2〕证实见解析：〔3〕 3点【解析】【分析】〔1〕根据直角三角形的面积计算公式直接计算可得：〔2〕如下图作出辅助线,证实△AEM名ADEN 〔AAS〕,得至I] ME=NE,即可利用角平分线的判定证实：〔3〕由〔2〕可知点E在NACB的平分线上,当点D向点B运动时,点E的路径为一条直线,再根据全等三角形的性质得出CN=!〔AC + C.〕,根据CD的长度计算出CE的长度即可.【详解】解：〔1〕 ZC = 90°, AC = \ BC = 7= -ACxBC = -x3x7 = — ,故答案为：—2〔2〕连接CE,过点E作EMLAC于点M,作EN_LBC于点N,AZEMA=Z END=90°,XVZACB=90SAZMEN=90%AZMED+Z DEN=90°,•••△ADE是等腰直角三角形AZAED=90\ AE=DEA ZAEM+Z MED=90%, ZAEM=Z DEN,在△AEM 与ZkDEN 中,ZEMA=Z END=90% ZAEM=Z DEN, AE=DEAAAEM^ADEN 〔AAS〕/. ME=NE,点E 在NACB 的平分线上, 即CE 是NAC3的平分线工(3)由(2)可知,点E 在NACB 的平分线上,・•・当点D 向点B 运动时,点E 的路径为一条直线,VAAEM^ADEN,AM=DN,即 AC-CM=CN-CD在 RtZiCME 与 RtZkCNE 中,CE=CE, ME=NE,ARtACME^RtACNE (HL)ACM=CN.,.CN=；(AC + CO),又YNMCE 二NNCE=45°, ZCME=90\・,. CE= y/2CN = —(AC + CD).2当 AC=3, CD=CO=1 时,CE=](3 + 1) = 2&当 AC=3, CD=CB=7 时,5CE=r (3 + 7) = 5 虚,点E 的运动路程为：50-20 = 30,£【点睛】此题考查了全等三角形的综合证实题,涉及角平分线的判定,几何中动点问题,全等三角 形的性质与判定,解题的关键是综合运用上述知识点.6.如图1,在长方形ABCD 中,AB=CD=5 cm, BC=12 cm,点P 从点B 出发,以2cm/s 的 速度沿BC 向点C 运动,设点P 的运动时间为ts.(1) PC=—cm ：(用含t 的式子表示)■I) I)(2)当t 为何值时,△ABPg^DCP?.(3)如图2,当点P从点B开始运动,此时点Q从点C出发,以vcm/s的速度沿CD向点D运动,是否存在这样的v值,使得某时刻4ABP与以P, Q, C为顶点的直角三角形全等？假设存在,请求出v的值：假设不存在,请说明理由.【答案】(1) (12-2/)； (2)1 = 3;(3)存在,P = 2或忏1【解析】【分析】(1)根据P点的运动速度可得BP的长,再利用BC的长减去BP的长即可得到PC的长：(2)先根据三角形全等的条件得出当BP=CP,列方程求解即得；(3)先分两种情况：当BP=CQ, AB=PC 时,△ABPgZ\PCQ：或当BA=CQ, PB=PC 时,△ABPgaQCP,然后分别列方程计算出t的值,进而计算出v的值.【详解】解：(1)当点P以2cm/s的速度沿BC向点C运动时间为ts时3P = 2/57•・• BC = \2cin：.PC = BC-BP = (n-2i)cm故答案为：(12—27)(2) MBP = ^DCP・•. BP = CP・•・ 2/= 12-2/解得1 = 3.(3)存在,理由如下：①当BP=CQ, AB=PC 时,ZiABP名△PCQ,1. PC=AB=5.•.BP=BC-PC=12-5=7•・• BP = Item：.2t=7解得t=3.5.\CQ=BP=7,那么 3.5v=7解得y = 2.②当B4 = C.,PB = PC 时,MBP = \QCP,: BC = ncm,BP = CP = -BC = 6c7〃 2V BP = Item:.2t = 6解得/ = 3CQ = 3vcm,: AB = CQ = 5cm, 3v = 5解得U3综上所述,当u = 2或i,=,时,A48尸与以P, Q,C为顶点的直角三角形全等.【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质和矩形的性质,解题关键是将动态情况化为某一状态情况,并以这一状态为等量关系建立方程求解.7.：在MBC中,AB = AC,ZBAC = 90° ,尸Q为过点4的一条直线,分别过B、C两点作8M_LP0,CN_L尸.,垂足分别为M、N.(1)如图①所示,当P.与BC边有交点时,求证：MN = CN — BM ；(2)如图②所示,当与6C边不相交时,请写出线段8M、CN和MN之间的数量关系,并说明理由. 【答案】(1)见解析：(2) MN = BM + CN (或BM = MN — CN或CN = MN-BM ),理由见解析【解析】【分析】(1)根据条件先证AAA/i运ACN4,得到AM = CN,BM = AN,即可证得MN = CN — BM： (2)由(1)知AAMBYACNA,得到4M =CN,8M = AN,即可确定MN = BM + CN.【详解】证实：・・・BM_LPQ,CN_LP0,・•. ZAMB=ZCAN=90°,V ZBAC=90 ° ,AZCAN+ZACN=90°,ZCAN+ZBAM=90°(或NCW + NAC/V = NC4N+NMM)・•. ZBAM = ZACN,在AAMB和ACN4中,'ZAMB = 4CNA・.• ZBAM = AACN , AB = CA:.AAM“ACN4(A4S),.・.AM =CN,BM =AN,,: MN = AM-AN,:.MN = CN — BM.(2) MN = BM + CN (或BM=MN-CN或CN = MN-BM) .理由：•.・BM_LPQ,CN_LP.,・•・ ZAMB=ZCAN=90°,V ZBAC=90 ° ,.\ZCAN+ZACN=90°,ZCAN+ZBAM=90°(或NCW + NAC/V = NC4N+NBAM ),:.ZBAM = ZACN,在AAMB和ACNA中,'AAMB = ZCNAZ.B\M = ZACN , AB = CA：.AAM*ACNA( AAS),.・.AM =CN,BM =AN,:.MN = AN + AM = BM+CN.【点睛】此题考察三角形全等的应用,正确确定全等三角形是解题关键,由此得到对应相等的线段,确定它们之间的和差关系得到80、CN和MN之间的关系式.8.操作发现：如图,己知"配和"DE均为等腰三角形,AB=AC, AD=AE,将这两个三角形放置在一起,使点8, D, E在同一直线上,连接CE.(1)如图1, ZABC= ZACB= ZADE= ZAED=55Q,求证：△BADgZkCAE；(2)在(1)的条件下,求N8EC的度数：拓广探索：(3)如图2,假设NC48=NEAD=120.,8D=4, CF为aBCE中8E边上的高,请直接写出讦的长度.【答案】(1)见解析：(2) 70°； (3) 2【解析】【分析】(1)根据SAS证实△BADg/kCAE即可.(2)利用全等三角形的性质解决问题即可.(3)同法可证4BAD丝ZkCAE,推出EC=BD=4,由NBEC=NBAC=12O0,推出NFCE=30°即可解决问题.(1)证实：如图1中,图1Z ABC=^ ACB = Z ADE=N AED, /. Z EAD=Z CAB,：.Z EAC=A DAB,AE=AD. AC=AB9：.△ BAD^ & CAE (SAS).(2)解：如图1中,设AC交8E于O. •「N A8C=N4C8 = 55°,/. Z 84c=180° - 110° = 70°,BAD^△ CAE,Z ABO=Z ECO,Z EOC=ZAOB,・•, Z CEO = Z 840=70°,即 N BEC= 70°.(3)解：如图2中,A图2Z C48 = N EAD=120\•. Z BAD=A CAE,：AB=AC, AD=AE.△ BAD^ 4 CAE 〔SAS〕,•. Z BAD=A ACE. 8D=EC=4,同理可证N BEC- 8AC=120°,Z F£C=60%CFLEF,Z F=90",•. Z FCE=30\1•. EF=-EC=2. 2此题属于三角形综合题,考查了全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于中考常考题型.9.在等边aABC中,点.是边8C上一点.作射线AO,点3关于射线AO的对称点为点E.连接CE并延长,交射线AO于点〔1〕如图,连接AE,①AE与AC的数量关系是；②设NBA尸=a,用.表示NBCF的大小；〔2〕如图,用等式表示线段A尸,CF.所之间的数量关系,并证实.【答案】⑴①AB二AE；②NBCF=.：(2)AF-EF=CF,理由见详解.【解析】【分析】(1)①根据轴对称性,即可得到答案；②由釉对称性,得：AE二AB, NBAF=NEAF=.,由△A3C是等边三角形,得AB=AC, ZBAC=ZACB=60° ,再根据等腰三角形的性质和三角形内角和等于180°,即可求解：(2)作NFCG=60°交AD于点G,连接BF,易证AFCG是等边三角形,得GF=FC,再证△ACG会ABCF(SAS),从而得AG=BF,进而可得至lj结论.【详解】(1)①•・•点4关于射线的对称点为点E , AAB和AE关于射线AD的对称,AAB=AE.故答案是:AB=AE;②•.•点3关于射线的对称点为点E , ,AE二AB, NBAF=NEAF=.,•二△A3c是等边三角形,AAB=AC, ZBAC=ZACB=60" ,：.ZEAC=60° -2a, AE=AC,ZACE=1[180 - (60 - 2a)] = 60 +6?,A ZBCF=ZACE-ZACB=60 +a-60°=a .(2) AF-EF=CF,理由如下：作NFCG=60.交AD于点G,连接BF,•••NBAF=NBCF=a , NADB=NCDF,A ZABC=ZAFC=60c ,••.△FCG是等边三角形,AGF=FC,•二△A3c是等边三角形,ABC=AC, ZACB=60° , AZACG=ZBCF=« .在AACG和ABCF中,CA = CBZACG = ABCF , CG = CF,AACG 仝ABCF(SAS),.,.AG=BF,•・•点4关于射线AO的对称点为点E , .\AG=BF=EF,VAF-AG=GF,.\AF-EF=CE【点睛】此题主要考查等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质定理,添加辅助线,构造全等三角形,是解题的关键.10.如图,AA8C是等边三角形,点.在边4c上〔“点D不与A,C重合〕,点石是射线5c上的一个动点〔点E不与点8,C重合〕,连接OE,以OE为边作作等边三角形hDEF,连接CF.〔1〕如图1,当.石的延长线与A3的延长线相交,且CF在直线OE的同侧时,过点D 作DG//AB, DG 交BC 于点、G ,求证：CF = EG ；〔2〕如图2,当.石反向延长线与A8的反向延长线相交,且.,尸在直线OE的同侧时,求证：CD = CE+CF；〔3〕如图3,当OE反向延长线与线段A8相交,且.,厂在直线O石的异侧时,猜测CD、CE、CP之间的等量关系,并说明理由.【答案】〔1〕证实见详解；〔2〕证实见详解：〔3〕 CF = CO-CE,理由见详解.【解析】【分析】(1)由AABC 是等边三角形,DG//AB,得NCDG=NA=60° , NACB=60.,ACDG 是等边三角形,易证AGDE仝ACDF(SAS),即可得到结论：(2)过点D作DG〃AB交BC于点G,易证A GDE仝△ CDF(SAS),即可得到结论；(3)过点D作DG〃AB交BC于点G,易证A GDE仝A CDF(SAS),即可得到结论.【详解】(1)•・• AA3C是等边三角形,DG//AB, ：.ZCDG=ZA=60° , ZACB=60° , ・•. ACQG是等边三角形,.\DG=DC.是等边三角形, .,.DE=DF, ZEDF=60° , A ZCDG-ZGDF=ZEDF-ZGDF,即：ZGDE=ZCDF, 在4 GDE和八CDF中,DE = DFNGDE = NCDF ,DG = DC.,.△GDE^A CDF(SAS),：.CF = EG ；(2)过点D作DG〃AB交BC于点G,如图2,•・• AABC是等边三角形,DG//AB、：.ZCDG=ZA=60° , ZACB=60" ,••・ACDG是等边三角形,:.DG=DC.•••ADE/是等边三角形,,DE=DF, ZEDF=60c ,A ZCDG-ZCDE=ZEDF-ZCDE> 即：ZGDE=ZCDF, 在4 GDE和^ CDF中,DE = DFNGDE = ZCDF ,DG = DC.,.△GDE^ACDF(SAS),:・CF = GE,••. CD = CG = CE+GE = CE+CF(3)CF = CD + CE,理由如下：过点D作DG〃AB交BC于点G,如图3,•・・AA8C是等边三角形,DGUAB, .,.ZCDG=ZA=60° , ZACB=60" ,,ACDG是等边三角形, ADG=DC=GC.•・• ADEF是等边三角形, ,DE=DF, ZEDF=60° ,A ZCDG+ZCDE=ZEDF+ZCDE,即：NGDE=NCDF, 在A GDE和4 CDF中,DE = DFNGDE = ZCDF , DG = DCAAGDE^ACDF(SAS),,CF = G£=GC+CE=CD+CE.【点睛】此题主要考查等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质定理,添加辅助线,构造全等三角形,是解题的关键.。
七年级第一章全等三角形章节练习题
第一章全等三角形测试1全等三角形的概念和性质学习要求1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素．2．掌握全等三角形的性质；会利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题．课堂学习检测一、填空题1．_____的两个图形叫做全等形.2．把两个全等的三角形重合到一起，_____叫做对应顶点；叫做对应边；_____叫做对应角．记两个三角形全等时，通常把表示_____的字母写在_____上．3．全等三角形的对应边_____，对应角_____，这是全等三角形的重要性质．4．如果ΔABC≌ΔDEF，则AB的对应边是_____，AC的对应边是_____，∠C的对应角是_____，∠DEF的对应角是_____．图1－15．如图1－1所示，ΔABC≌ΔDCB．（1）若∠D＝74°∠DBC＝38°，则∠A＝_____，∠ABC＝_____（2）如果AC＝DB，请指出其他的对应边_____；（3）如果ΔAOB≌ΔDOC，请指出所有的对应边_____，对应角_____．图1－2图1－36．如图1－2，已知△ABE≌△DCE，AE＝2 cm，BE＝1.5 cm，∠A＝25°，∠B＝48°；那么DE＝_____cm，EC＝_____cm，∠C＝_____°；∠D＝_____°．7．一个图形经过平移、翻折、旋转后，_____变化了，但__________都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形二、选择题8．已知：如图1－3，ΔABD≌CDB，若AB∥CD，则AB的对应边是（）A．DB B．BC C．CD D．AD9．下列命题中，真命题的个数是（）①全等三角形的周长相等②全等三角形的对应角相等③全等三角形的面积相等④面积相等的两个三角形全等A．4B．3C．2D．110．如图1－4，△ABC≌△BAD，A和B、C和D是对应顶点，如果AB＝5，BD＝6，AD ＝4，那么BC等于（）A．6 B．5C．4D．无法确定图1-4 图1-5 图1-611．如图1－5，△ABC≌△AEF，若∠ABC和∠AEF是对应角，则∠EAC等于（）A．∠ACB B．∠CAF C．∠BAF D．∠BAC12．如图1－6，△ABC≌ΔADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．25°三、解答题13．已知：如图1－7所示，以B为中心，将Rt△EBC绕B点逆时针旋转90°得到△ABD，若∠E＝35°，求∠ADB的度数．图1－7图1－8图1－9综合、运用、诊断一、填空题14．如图1－8，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，则∠α的度数为______．15．已知：如图1－9，△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2．（1）求∠F的度数与DH的长；（2）求证：AB∥DE．拓展、探究、思考16．如图1－10，AB⊥BC，ΔABE≌ΔECD．判断AE与DE的关系，并证明你的结论．图1－10测试2 三角形全等的条件（一）学习要求1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边边边”，2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．课堂学习检测一、填空题1．判断_____的_____ 叫做证明三角形全等．2．全等三角形判定方法1——“边边边”（即______）指的是________________________________________________________________________________．3．由全等三角形判定方法1——“边边边”可以得出：当三角形的三边长度一定时，这个三角形的_____也就确定了．图2－1图2－2图2－34．已知：如图2－1，△RPQ 中，RP ＝RQ ，M 为PQ 的中点． 求证：RM 平分∠PRQ ．分析：要证RM 平分∠PRQ ，即∠PRM ＝______， 只要证______≌______证明：∵ M 为PQ 的中点（已知）， ∴______＝______在△______和△______中，⎪⎩⎪⎨⎧===),______(____________,),(PM RQ RP 已知 ∴______≌______（ ）． ∴ ∠PRM ＝______（______）． 即RM ．5．已知：如图2－2，AB ＝DE ，AC ＝DF ，BE ＝CF . 求证：∠A ＝∠D ．分析：要证∠A ＝∠D ，只要证______≌______． 证明：∵BE ＝CF （ ）， ∴BC ＝______．在△ABC 和△DEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧===______,______,______,AC BC AB ∴______≌______（ ）． ∴ ∠A ＝∠D （______）．6．如图2－3，CE ＝DE ，EA ＝EB ，CA ＝DB ， 求证：△ABC ≌△BAD ．证明：∵CE ＝DE ，EA ＝EB ，∴______＋______＝______＋______， 即______＝______． 在△ABC 和△BAD 中， ＝______（已知），⎪⎩⎪⎨⎧===),______(______),______(______),______(______已证已知 ∴△ABC ≌△BAD （ ）．综合、运用、诊断一、解答题7．已知：如图2－4，AD＝BC．AC＝BD．试证明：∠CAD＝∠DBC.图2－48．画一画．已知：如图2－5，线段a、b、c．求作：ΔABC，使得BC＝a，AC＝b，AB＝c．图2－59．“三月三，放风筝”．图2－6是小明制作的风筝，他根据DE＝DF，EH＝FH，不用度量，就知道∠DEH＝∠DFH．请你用所学的知识证明．图2－6拓展、探究、思考10．画一画，想一想：利用圆规和直尺可以作一个角等于已知角，你能说明其作法的理论依据吗？测试3 三角形全等的条件 （二）学习要求1．理解和掌握全等三角形判定方法2——“边角边”．2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等图3－1图3－2课堂学习检测一、填空题1．全等三角形判定方法2——“边角边” （即______）指的是_________________________________________________________________________________． 2．已知：如图3－1，AB 、CD 相交于O 点，AO ＝CO ，OD ＝OB ． 求证：∠D ＝∠B ．分析：要证∠D ＝∠B ，只要证______≌______ 证明：在△AOD 与△COB 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=),______(),______(______),(OD CO AO ∴ △AOD ≌△______ （ ）． ∴ ∠D ＝∠B （______）．3．已知：如图3－2，AB ∥CD ，AB ＝CD ．求证：AD ∥BC ． 分析：要证AD ∥BC ，只要证∠______＝∠______， 又需证______≌______． 证明：∵ AB ∥CD （ ）， ∴ ∠______＝∠______ （ ）， 在△______和△______中，⎪⎩⎪⎨⎧===),______(______),______(______),______(______ ∴ Δ______≌Δ______ （ ）． ∴ ∠______＝∠______ （ ）． ∴ ______∥______（ ）．综合、运用、诊断一、解答题4．已知：如图3－3，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD．求证：∠B＝∠C．图3－35．已知：如图3－4，AB＝AC，BE＝CD．求证：∠B＝∠C．图3－46．已知：如图3－5，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2．求证：BC＝DE．图3－5拓展、探究、思考7．如图3－6，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．图3－6测试4 三角形全等的条件 （三）学习要求1．理解和掌握全等三角形判定方法3——“角边角”，判定方法4——“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等．2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．课堂学习检测一、填空题 1．（1）全等三角形判定方法3——“角边角”（即______）指的是_________________________________________________________________________________； （2）全等三角形判定方法4——“角角边” （即______）指的是_________________________________________________________________________________．图4－12．已知：如图4－1，PM ＝PN ，∠M ＝∠N ．求证：AM ＝BN ． 分析：∵PM ＝PN ，∴ 要证AM ＝BN ，只要证P A ＝______， 只要证______≌______．证明：在△______与△______中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠),______(______),______(______),______(______∴ △______≌△______ （ ）． ∴P A ＝______ （ ）． ∵PM ＝PN （ ），∴PM －______＝PN －______，即AM ＝______．3．已知：如图4－2，AC BD ．求证：OA ＝OB ，OC ＝OD ． 分析：要证OA ＝OB ，OC ＝OD ，只要证______≌______． 证明：∵ AC ∥BD ，∴ ∠C ＝______． 在△______与△______中，⎪⎩⎪⎨⎧==∠∠=∠),______(______),______(),______(C AOC∴______≌______ （ ）． ∴ OA ＝OB ，OC ＝OD （ ）．图4－2二、选择题4．能确定△ABC ≌△DEF 的条件是 （ ） A ．AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠A ＝∠E B ．AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠C ＝∠E C ．∠A ＝∠E ，AB ＝EF ，∠B ＝∠D D ．∠A ＝∠D ，AB ＝DE ，∠B ＝∠E5．如图4－3，已知△ABC 的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC 全等的图形是 （ ）图4－3A ．甲和乙B ．乙和丙C ．只有乙D ．只有丙6．AD 是△ABC 的角平分线，作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，下列结论错误的是（ ） A ．DE ＝DF B ．AE ＝AF C ．BD ＝CD D ．∠ADE ＝∠ADF 三、解答题7．阅读下题及一位同学的解答过程：如图4－4，AB 和CD 相交于点O ，且OA ＝OB ，∠A ＝∠C ．那么△AOD 与△COB 全等吗？若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由．答：△AOD ≌△COB ．证明：在△AOD 和△COB 中，图4－4⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠),(),(),(对顶角相等已知已知COB AOD OB OA C A∴ △AOD ≌△COB （ASA ）．问：这位同学的回答及证明过程正确吗？为什么？综合、应用、诊断8．已知：如图4－5，AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∠E ＝∠B ，DE ＝CB ． 求证：AD ＝AC ．图4－59．已知：如图4－6，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ． 求证：HN ＝PM.图4－610．已知：AM 是ΔABC 的一条中线，BE ⊥AM 的延长线于E ，CF ⊥AM 于F ，BC ＝10，BE＝4．求BM 、CF 的长．拓展、探究、思考11．填空题（1）已知：如图4－7，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E .欲证明BD ＝CE ，需证明Δ______≌△______，理由为______． （2）已知：如图4－8，AE ＝DF ，∠A ＝∠D ，欲证ΔACE ≌ΔDBF ，需要添加条件______,证明全等的理由是______；或添加条件______，证明全等的理由是______；也可以添加条件______，证明全等的理由是______．图4－7 图4－812．如图4－9，已知ΔABC≌ΔA'B'C'，AD、A'D'分别是ΔABC和ΔA'B'C'的角平分线．（1）请证明AD＝A'D'；（2）把上述结论用文字叙述出来；（3）你还能得出其他类似的结论吗？图4－913．如图4－10，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．（1）当直线l不与底边AB相交时，求证：EF＝AE＋BF．图4－10（2）如图4－11，将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D，请你探究直线l在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系．①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD．图4－11测试5 直角三角形全等的条件学习要求掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法一“斜边、直角边”（即“HL”），能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形全等的特殊方法判定两个直角三角形全等．课堂学习检测一、填空题1．判定两直角三角形全等的“HL”这种特殊方法指的是_____．2．直角三角形全等的判定方法有_____ （用简写）．3．如图5－1，E、B、F、C在同一条直线上，若∠D＝∠A＝90°，EB＝FC，AB＝DF．则ΔABC≌_____，全等的根据是_____．图5－14．判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（）（2）一个锐角和这个角的邻边对应相等；（）（3）一个锐角和斜边对应相等；（）（4）两直角边对应相等；（）（5）一条直角边和斜边对应相等．（）二、选择题5．下列说法正确的是（）A．一直角边对应相等的两个直角三角形全等B．斜边相等的两个直角三角形全等C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等D．一边长相等的两等腰直角三角形全等6．如图5－2，AB＝AC，AD⊥BC于D，E、F为AD上的点，则图中共有（）对全等三角形．A．3B．4C．5D．6图5－2三、解答题7．已知：如图5－3，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．求证：（1）AB＝DC：（2）AD∥BC．图5－38．已知：如图5－4，AC＝BD，AD⊥AC，BC⊥BD．求证：AD＝BC；图5－4综合、运用、诊断9．已知：如图5－5，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．求证：ED⊥AC．图5－510．已知：如图5－6，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，DE＝BF.求证：AB∥DC.图5－611．用三角板可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB的两边上，分别取OM＝ON（如图5－7），再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB，请你说出其中的道理．图5－7拓展、探究、思考12．下列说法中，正确的画“√”；错误的画“×”，并作图举出反例．（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．（）（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．（）（3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．（）13．（1）已知：如图5－8，线段AC、BD交于O，∠AOB为钝角，AB＝CD，BF⊥AC于F，DE⊥AC于E，AE＝CF．求证：BO＝DO．图5－8（2）若∠AOB为锐角，其他条件不变，请画出图形并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．测试6 三角形全等的条件（四）学习要求能熟练运用三角形全等的判定方法进行推理并解决某些问题．课堂学习检测一、填空题1．两个三角形全等的判定依据除定义外，还有①_____；②_____；③_____；④_____；⑤_____．2．如图6－1，要判定ΔABC≌ΔADE，除去公共角∠A外，在下列横线上写出还需要的两个条件，并在括号内写出由这些条件直接判定两个三角形全等的依据．（1）∠B＝∠D，AB＝AD（）；（2）_____，_____（）；（3）_____，_____（）；（4）_____，_____（）；（5）_____，_____（）；（6）_____，_____（）；（7）_____，_____（）．图6－13．如图6－2，已知AB⊥CF，DE⊥CF，垂足分别为B，E，AB＝DE．请添加一个适当条件，使ΔABC≌ΔDEF，并说明理由添加条件：_________________________________________________________________，理由是：___________________________________________________________________．图6－24．在ΔABC和ΔDEF中，若∠B＝∠E＝90°，∠A＝34°，∠D＝56°，AC＝DF，贝ΔABC和ΔDEF是否全等？答：______，理由是______．二、选择题5．下列命题中正确的有（）个①三个内角对应相等的两个三角形全等；②三条边对应相等的两个三角形全等；③有两角和一边分别相等的两个三角形全等；④等底等高的两个三角形全等．A．1B．2C．3D．46．如图6－3，AB＝CD，AD＝CB，AC、BD交于O，图中有（）对全等三角形．A．2B．3C．4D．5图6－37．如图6－4，若AB ＝CD ，DE ＝AF ，CF ＝BE ，∠AFB ＝80°，∠D ＝60°，则∠B 的度数是 （ ） A ．80° B ．60° C ．40° D ．20°8．如图6－5，△ABC 中，若∠B ＝∠C ，BD ＝CE ，CD ＝BF ，则∠EDF ＝ （ ） A ．90°－∠A B ．A ∠-2190oC ．180°－2∠AD ．A ∠-2145o图6－4 图6－5 图6－69．下列各组条件中，可保证△ABC 与△A 'B 'C '全等的是 （ ） A ．∠A ＝∠A '，∠B ＝∠B '，∠C ＝∠C ' B ．AB ＝A 'B '，AC ＝A 'C '，∠B ＝∠B ' C ．AB ＝C 'B '，∠A ＝∠B '，∠C ＝∠C ' D ．CB ＝A 'B '，AC ＝A 'C '，BA ＝B 'C '10．如图6－6，已知MB ＝ND ，∠MBA ＝∠NDC ，下列条件不能判定△ABM ≌△CDN 的是（ ）A ．∠M ＝∠NB ．AB ＝CDC ．AM ＝CND ．AM ∥CN综合、运用、诊断一、解答题11．已知：如图6－7，AD ＝AE ，AB ＝AC ，∠DAE ＝∠BAC ．求证：BD ＝CE ．图6－712．已知：如图6－8，AC 与BD 交于O 点，AB ∥DC ，AB ＝DC ．（1）求证：AC 与BD 互相平分；图6－8（2）若过O点作直线l，分别交AB、DC于E、F两点，求证：OE＝OF.13．如图6－9，E在AB上，∠1＝∠2，∠3＝∠4，那么AC等于AD吗？为什么？图6－9拓展、探究、思考14．如图6－10，△ABC的三个顶点分别在2×3方格的3个格点上，请你试着再在格点上找出三个点D、E、F，使得△DEF≌△ABC，这样的三角形你能找到几个？请一一画出来．图6－1015．请分别按给出的条件画△ABC（标上小题号，不写作法），并说明所作的三角形是否唯一；如果有不唯一的，想一想，为什么？①∠B＝120°，AB＝2cm，AC＝4cm；②∠B＝90°，AB＝2cm，AC＝3cm；③∠B＝30°，AB＝2cm，AC＝3cm；④∠B＝30°，AB＝2cm，AC＝2cm；⑤∠B＝30°，AB＝2cm，AC＝1cm；⑥∠B＝30°，AB＝2cm，AC＝1.5cm．测试7三角形全等的条件（五）学习要求能熟练运用三角形全等的知识综合解决问题．课堂学习检测解答题1．如图7－1，小明与小敏玩跷跷板游戏．如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是50 cm，当小敏从水平位置CD下降40 cm时，小明这时离地面的高度是多少？请用所学的全等三角形的知识说明其中的道理．图7－12．如图7－2，工人师傅要在墙壁的O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的B点处打开，墙壁厚是35 cm，B点与O点的铅直距离AB长是20 cm，工人师傅在旁边墙上与AO水平的线上截取OC＝35 cm，画CD⊥OC，使CD＝20 cm，连接OD，然后沿着DO的方向打孔，结果钻头正好从B点处打出，这是什么道理呢？请你说出理由．图7－23．如图7－3，公园里有一条“Z”字形道路ABCD，其中AB∥CD，在AB、BC、CD三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试判断三只石凳E，M，F恰好在一直线上吗？为什么？图7－34．在一池塘边有A、B两棵树，如图7－4．试设计两种方案，测量A、B两棵树之间的距离．方案一：方案二：图7－4测试8 角的平分线的性质（一）学习要求1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法．课堂学习检测一、填空题1．_____叫做角的平分线．2．角的平分线的性质是___________________________．它的题设是_________，结论是_____．3．到角的两边距离相等的点，在_____.所以，如果点P到∠AOB两边的距离相等，那么射线OP是_____．4．完成下列各命题，注意它们之间的区别与联系．（1）如果一个点在角的平分线上，那么_____；（2）如果一个点到角的两边的距离相等，那么_____；（3）综上所述，角的平分线是_____的集合．5．（1）三角形的三条角平分线_____它到___________________________．（2）三角形内．．．．，到三边距离相等的点是_____．6．如图8－1，已知∠C＝90°，AD平分∠BAC，BD＝2CD，若点D到AB的距离等于5cm，则BC的长为_____cm．图8－1二、作图题7．已知：如图8－2，∠AOB．求作：∠AOB的平分线OC．作法：图8－28．已知：如图8－3，直线AB及其上一点P．求作：直线MN，使得MN⊥AB于P．作法：图8－39．已知：如图8－4，△AB C．求作：点P，使得点P在△ABC内，且到三边AB、BC、CA的距离相等．作法：图8－4综合、运用、诊断一、解答题10．已知：如图8－5，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求证：DE＝DF．图8－511．已知：如图8－6，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD、BE交于O，∠1＝∠2．求证：OB＝OC.图8－612．已知：如图8－7，△ABC中，∠C＝90°，试在AC上找一点P，使P到斜边的距离等于PC．（画出图形，并写出画法）图8－7拓展、探究、思考13．已知：如图8－8，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：（1）可选择的地点有几处？（2）你能画出塔台的位置吗？图8－814．已知：如图8－9，四条直线两两相交，相交部分的线段构成正方形ABCD．试问：是否存在到至少三边所在的直线的距离都相等的点？若存在，请找出此点，这样的点有几个？若不存在，请说明理由．图8－9测试9 角的平分线的性质 （二）学习要求熟练运用角的平分线的性质解决问题．课堂学习检测一、选择题1．如图9－1，若OP 平分∠AOB ，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是C 、D ，则下列结论中错误的是 （ ） A ．PC ＝PD B ．OC ＝OD C ．∠CPO ＝∠DPO D ．OC ＝PC图9－12．如图9－2，在Rt ΔABC 中，∠C ＝90°，BD 是∠ABC 的平分线，交AC 于D ，若CD ＝n ，AB ＝m ，则ΔABD 的面积是（ ）A ．mn 31B ．mn 21C ．mnD ．2mn图9－2二、填空题3．已知：如图9－3，在Rt ΔABC 中，∠C ＝90°，沿着过点B 的一条直线BE 折叠ΔABC ，使C 点恰好落在AB 边的中点D 处，则∠A 的度数等于_____．图9－34．已知：如图9－4，在ΔABC中，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，且BD、CE交于点O，过O作OP⊥BC于P，OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，则OP、OM、ON的大小关系为_____．图9－4三、解答题5．已知：如图9－5，OD平分∠POQ，在OP、OQ边上取OA＝OB，点C在OD上，CM ⊥AD于M，CN⊥BD于N.求证：CM＝CN．图9－56．已知：如图9－6，ΔABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线BF、CF交于点F.求证：一点F必在∠DAE的平分线上．图9－67．已知：如图9－7，A、B、C、D四点在∠MON的边上，AB＝CD，P为∠MON内一点，并且△P AB的面积与△PCD的面积相等．求证：射线OP是∠MON的平分线．图9－78．如图9－8，在ΔABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，若△BCD与△BCA的面积比为3∶8，求△ADE与△BCA的面积之比．图9－89．已知：如图9－9，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠DAB；（2）猜想AM与DM的位置关系如何？并证明你的结论．图9－9拓展、探究、思考10．已知：如图9－10，在ΔABC中，AD是△ABC的角平分线，E、F分别是AB、AC上一点，并且有∠EDF＋∠EAF＝180°．试判断DE和DF的大小关系并说明理由．图9－10。
(完整版)全等三角形基础练习及答案
全等三角形判断一一、选择题1.△ABC和△中，若AB＝，BC＝，AC＝. 则（）A. △ABC≌△B. △ABC≌△C. △ABC≌△D. △ABC≌△2.如图，已知 AB＝ CD， AD＝ BC，则以下结论中错误的选项是（）∥DC B. ∠B＝∠ D C.∠A＝∠ C＝ BC3.以下判断正确的选项是（）A.两个等边三角形全等B.三个对应角相等的两个三角形全等C.腰长对应相等的两个等腰三角形全等D.直角三角形与锐角三角形不全等4.如图，AB、CD、EF订交于O，且被O点均分，DF＝CE，BF＝AE，则图中全等三角形的对数共有（）A. 1 对B. 2 对C. 3 对D. 4 对5.如图，将两根钢条，的中点O连在一起，使，能够绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则的长等于内槽宽AB，那么判断△ OAB≌△的原由是( )A. 边角边B. 角边角C. 边边边D. 角角边6.如图，已知AB⊥BD 于 B，ED⊥BD 于 D， AB＝CD， BC＝ ED，以下结论不正确的选项是（）⊥AC＝ AC＋AB＝DB D.DC ＝ CB二、填空题7.如图，AB＝CD，AC＝DB，∠ ABD＝25°，∠ AOB＝82°，则∠ DCB＝_________.8.如图，在四边形 ABCD中，对角线 AC、BD互相均分，则图中全等三角形共有_____对 .9.如图，在△ ABC和△ EFD中，AD＝FC，AB＝FE，当增加条件_______时，即可得△ ABC≌△ EFD（SSS）10.如图，AC＝AD，CB＝DB，∠ 2＝30°，∠ 3＝26°，则∠ CBE＝_______.11.如图，点 D在 AB上，点 E 在 AC上， CD与 BE 订交于点 O，且 AD＝AE， AB＝AC，若∠ B ＝20°，则∠C ＝______．12.已知，如图，AB＝CD， AC＝BD，则△ ABC≌______，△ ADC≌ ______.三、解答题13.已知：如图，四边形 ABCD中，对角线 AC、 BD订交于 O，∠ ADC＝∠ BCD， AD＝BC，求证： CO＝ DO．14.已知：如图， AB∥CD， AB＝CD．求证： AD∥BC．解析：要证AD∥BC，只要证∠ ______＝∠ ______，又需证 ______≌______．证明：∵ AB∥CD （），∴ ∠______＝∠ ______ （），在△ ______和△ ______中，∴______≌Δ ______ （）．∴∠______＝∠ ______ （）．∴______ ∥______（）．15.如图，已知AB＝DC， AC＝ DB， BE＝ CE求证： AE＝ DE.答案与解析一. 选择题1.【答案】 B；【解析】注意对应极点写在相应的地址.2.【答案】 D；【解析】连接 AC或 BD证全等 .3.【答案】 D；4.【答案】 C；【解析】△ DOF≌△ COE，△ BOF≌△ AOE，△ DOB≌△ COA.5.【答案】 A；【解析】将两根钢条，的中点O连在一起，说明OA＝，OB＝，再由对顶角相等可证.6.【答案】 D；【解析】△ ABC≌△ EDC，∠ ECD＋∠ ACB＝∠ CAB＋∠ ACB＝90°，所以EC⊥AC， ED ＋ AB ＝ BC＋CD ＝ DB.二. 填空题7.【答案】 66°；【解析】可由SSS证明△ ABC≌△ DCB，∠ OBC＝∠ OCB＝，所以∠ DCB＝∠ABC＝25°＋ 41°＝ 66°.8.【答案】 4；【解析】△ AOD≌△ COB，△ AOB≌△ COD，△ ABD≌△ CDB，△ ABC≌△ CDA.9.【答案】 BC＝ ED；10.【答案】 56°；【解析】∠ CBE＝26°＋ 30°＝ 56°.11.【答案】 20°；【解析】△ ABE≌△ ACD（ SAS）12.【答案】△ DCB，△ DAB；【解析】注意对应极点写在相应的地址上.三. 解答题13. 【解析】证明：在△ ADC 与△ BCD中，14.【解析】3 ， 4；ABD，CDB；已知；1， 2；两直线平行，内错角相等；ABD， CDB；AB， CD，已知；∠1＝∠ 2，已证；BD＝ DB，公共边；ABD， CDB， SAS；3， 4，全等三角形对应角相等；AD， BC，内错角相等，两直线平行.15.【解析】证明：在△ ABC 和△ DCB中∴△ ABC≌△ DCB（ SSS）∴∠ ABC＝∠ DCB，在△ ABE和△ DCE中∴△ ABE≌△ DCE（ SAS）∴AE＝ DE.全等三角形判断二一、选择题1.能确定△ ABC≌△ DEF的条件是（）A． AB＝ DE， BC＝ EF，∠ A＝∠EB． AB＝ DE， BC＝ EF，∠ C＝∠EC．∠ A＝∠ E， AB＝ EF，∠ B＝∠DD．∠ A＝∠ D， AB＝ DE，∠ B＝∠E2．如图，已知△ ABC 的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是（）图4－ 3A．甲和乙 B ．乙和丙 C ．只有乙 D ．只有丙3． AD是△ ABC的角均分线，作A． DE＝ DF B ． AE＝ AF DE⊥AB 于 E，DF⊥AC于 C ．BD＝ CDF，以下结论错误的选项是（D．∠ ADE＝∠ ADF）4．如图，已知MB＝ND，∠ MBA＝∠ NDC，以下条件不能够判断△ ABM≌△ CDN的是（）A．∠ M＝∠N B ． AB＝ CD C ．AM＝ CN D ．AM∥CN5.某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块 , 现在要到玻璃店去配一块完满相同的玻璃, 那么最省事的方法是()A. 带①去B. 带②去C. 带③去D.①②③都带去6．如图，∠ 1＝∠ 2，∠ 3＝∠ 4，下面结论中错误的选项是（）A．△ ADC≌△ BCD B ．△ ABD≌△ BACC．△ ABO≌△ CDO D ．△ AOD≌△ BOC二、填空题7.如图 , ∠1＝∠ 2，要使△ ABE≌△ ACE，还需增加一个条件是 _________.( 填上你认为合适的一个条件即可).8.在△ ABC和△中，∠ A＝44°，∠ B＝67°，∠＝69°，∠＝44°，且AC＝，则这两个三角形 _________全等 . （填“必然”或“不用然”）9.已知，如图，AB∥CD，AF∥DE，AF＝ DE，且 BE＝ 2， BC＝ 10，则 EF＝ ________.10.如图， AB∥CD，AD∥BC， OE＝ OF，图中全等三角形共有 ______ 对.11.如图, 已知：∠ 1 ＝∠ 2 , ∠3 ＝∠ 4 , 要证BD ＝CD , 需先证△ AEB ≌△ AEC , 依照是_________ ，再证△ BDE ≌△ ______ ___，依照是_________．12.已知 : 如图，∠ B＝∠ DEF， AB＝ DE，要说明△ ABC≌△ DEF，（1）若以“ ASA”为依照，还缺条件_________（2）若以“ AAS”为依照，还缺条件_________（3）若以“ SAS”为依照，还缺条件_________三、解答题13．阅读下题及一位同学的解答过程：如图，AB和CD订交于点O，且 OA＝ OB，∠A＝∠ C．那么△ AOD与△COB全等吗？若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明原由．答：△ AOD≌△ COB．证明：在△ AOD和△ COB中，∴△AOD≌△ COB（ ASA）．问：这位同学的回答及证明过程正确吗？为什么？14.已知如图， E、 F 在 BD上，且 AB＝ CD， BF＝ DE， AE＝ CF，求证： AC与 BD互相均分 .15.已知：如图, AB∥CD,OA＝OD, BC 过 O点 ,点E、F在直线AOD上,且AE＝DF.求证： EB∥CF.答案与解析【答案与解析】一.选择题1.【答案】 D；【解析】 A、 B 选项是 SSA，没有这种判断， C 选项字母不对应 .2.【答案】 B；【解析】乙可由 SAS证明，丙可由 ASA证明 .3.【答案】 C；【解析】可由AAS证全等，获取A、 B、 D 三个选项是正确的.4.【答案】 C；【解析】没有 SSA定理判断全等 .5.【答案】 C；【解析】由 ASA定理，能够确定△ ABC.6.【答案】 C；【解析】△ ABO 与△ CDO中，只能找出三对角相等，不能够判断全等.二、填空题7.【答案】∠ B＝∠ C；【解析】可由 AAS来证明三角形全等 .8.【答案】必然；【解析】由题意，△ ABC≌△，注意对应角和对应边.9.【答案】 6；【解析】△ ABF≌△ CDE， BE＝CF＝ 2，EF＝ 10－2－ 2＝ 6.10.【答案】 5；【解析】△ ABO≌△ CDO，△ AFO≌△ CEO，△ DFO≌△ BEO，△ AOD≌△ COB，△ ABD≌△ CDB.11.【答案】 ASA， CDE， SAS；【解析】△ AEB ≌△ AEC 后可得 BE＝ CE.12.【答案】（1）∠ A＝∠D；（ 2）∠ ACB＝∠F； (3) BC ＝ EF.三、解答题13.【解析】解：这位同学的回答及证明过程不正确.因为∠D 所对的是AO，∠C所对的是OB，证明中用到了OA＝ OB，这不是一组对应边，所以不能够由ASA去证明全等 .14.【解析】证明：∵ BF＝ DE，∴B F－ EF＝ DE－EF，即 BE＝ DF在△ ABE和△ CDF中，∴△ ABE≌△ CDF（ SSS）∴∠ B＝∠ D，在△ ABO和△ CDO中∴△ ABO≌△ CDO（ AAS）∴AO＝ OC， BO＝DO， AC与 BD互相均分 .15.【解析】证明：∵ AB∥CD,∴∠ CDO＝∠ BAO在△ OAB和△ ODC中，∴△ OAB≌△ ODC（ ASA）∴OC＝ OB又∵ AE ＝ DF ，∴AE＋ OA＝ DF＋ OD，即 OE＝ OF 在△ OCF和△ OBE中∴△ OCF≌△ OBE（ SAS）∴∠ F＝∠ E，∴CF∥EB.。
全等三角形练习题含答案
.七年级全等测试一．选择题〔共3 小题〕1．如图， EB 交 AC 于 M，交 FC 于 D，AB 交 FC 于 N，∠E=∠F=90 °，∠B=∠C，AE=AF ，给出以下结论：①∠1= ∠2；② BE=CF ；③△ACN ≌△ABM ；④ CD=DN ．其中正确的结论有〔〕A．4 个B．3 个 C． 2 个D．1 个2．如图，△ABC 为等边三角形， D、 E 分别是 AC 、 BC 上的点，且AD=CE ，AE 与 BD 相交于点 P，BF ⊥AE 于点 F．假设 BP=4 ，那么 PF 的长〔〕A．2 B．3 C． 1 D．23．如图，OA=OC ，OB=OD 且 OA ⊥OB ，OC ⊥OD ，以下结论：①△AOD ≌△COB ；② CD=AB ；③∠CDA= ∠ABC ；其中正确的结论是〔〕.A．①②B．①②③C．①③D．②③二．解答题〔共11 小题〕4．如图，四边形ABCD 中，对角线 AC、 BD 交于点 O， AB=AC ，点 E 是 BD 上一点，且 AE=AD ，∠EAD= ∠BAC ．（1〕求证：∠ABD= ∠ACD ；（2〕假设∠ACB=65 °，求∠BDC 的度数．5．〔 1〕如图①，在四边形 ABCD 中，AB ∥DC ，E 是 BC 的中点，假设 AE 是∠BAD 的平分线，试探究AB ，AD ，DC 之间的等量关系，证明你的结论；〔 2〕如图②，在四边形ABCD 中， AB ∥DC ，AF 与 DC 的延长线交于点F， E是BC 的中点，假设 AE 是∠BAF 的平分线，试探究 AB ，AF ，CF 之间的等量关系，证明你的结论．6．：在△ABC 中， AB=AC ， D 为 AC 的中点， DE⊥AB ，DF ⊥BC，垂足分别为点 E， F，且 DE=DF ．求证：△ABC 是等边三角形．.7．，在△ABC 中，∠A=90 °， AB=AC ，点 D 为 BC 的中点．（1〕如图①，假设点 E、F 分别为（2〕假设点 E、F 分别为 AB 、CA请利用图②说明理由．AB 、AC 上的点，且 DE ⊥DF ，求证： BE=AF ；延长线上的点，且DE ⊥DF，那么 BE=AF 吗？8．如图，在Rt △ABC ，∠ACB=90 °， AC=BC ，分别过 A、B 作直线 l 的垂线，垂足分别为 M、N．（1〕求证：△AMC ≌△CNB ；（2〕假设 AM=3 ，BN=5 ，求 AB 的长．9．，如图，在等腰直角三角形中，∠ C=90 °，D 是 AB 的中点， DE ⊥DF ，点E、 F 在 AC 、BC 上，求证： DE=DF ．10 ．如图， OC 是∠MON 内的一条射线， P 为 OC 上一点， PA ⊥OM ，PB ⊥ON ，垂足分别为 A，B， PA=PB ，连接 AB ，AB 与 OP 交于点 E．（1〕求证：△OPA ≌△OPB ；（2〕假设 AB=6 ，求 AE 的长．11 ．如图，△ABC 和△ADE 分别是以 BC ，DE 为底边且顶角相等的等腰三角形，点D 在线段 BC 上，AF 平分 DE 交 BC 于点 F，连接 BE，EF．〔 1〕 CD 与 BE 相等？假设相等，请证明；假设不相等，请说明理由；〔 2〕假设∠BAC=90 °，求证： BF 2+CD 2=FD 2．12 ．如图， OC 是∠AOB 的角平分线， P 是 OC 上一点， PD ⊥OA ， PE⊥OB ，垂足分别为 D，E．F 是 OC 上另一点，连接DF，EF．求证： DF=EF ．13 ．如图， OP 平分∠AOB ， PE⊥OA 于 E，PF ⊥OB 于 F，点 M 在 OA 上，点 N在OB 上，且 PM=PN ．求证： EM=FN ．14 ．如图，△ABC 中，D 为 BC 边上一点， BE ⊥AD 的延长线于 E，CF ⊥AD 于 F，BE=CF ．求证： D 为 BC 的中点．答案一．选择题〔共3 小题〕1．如图， EB 交 AC 于 M，交 FC 于 D，AB 交 FC 于 N，∠E=∠F=90 °，∠B=∠C，AE=AF ，给出以下结论：①∠1= ∠2；② BE=CF ；③△ACN ≌△ABM ；④ CD=DN ．其中正确的结论有〔〕A．4 个B．3 个 C． 2 个D．1 个【解答】解：∵∠E=∠F=90 °，∠B=∠C，AE=AF∴△ABE ≌△ACF∴BE=CF∠BAE= ∠CAF∠BAE ﹣BAC=∠ ∠CAF ﹣BAC∠∴∠1=∠2△ABE ≌△ACF∴∠B=∠C，AB=AC又∠BAC= ∠CAB△ACN ≌△ABM ．④CD=DN 不能证明成立， 3 个结论对．应选： B．2．如图，△ABC 为等边三角形， D、 E 分别是 AC 、 BC 上的点，且AD=CE ，AE 与 BD 相交于点 P，BF ⊥AE 于点 F．假设 BP=4 ，那么 PF 的长〔〕A．2 B．3 C． 1 D．2【解答】解：∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC ．∴∠BAC= ∠C．在△ABD 和△CAE 中，，∴∠ABD= ∠CAE ．∴∠APD= ∠ABP+ ∠PAB= ∠BAC=60 °．∴∠BPF= ∠APD=60 °．∵∠BFP=90 °，∠BPF=60 °，∴∠PBF=30 °．∴PF=．应选： A．3．如图，OA=OC ，OB=OD 且 OA ⊥OB ，OC ⊥OD ，以下结论：①△AOD ≌△COB ；② CD=AB ；③∠CDA= ∠ABC ；其中正确的结论是〔〕A．①②B．①②③C．①③D．②③【解答】解：∵OA ⊥OB， OC ⊥OD ，∴∠AOB= ∠COD=90 °．∴∠AOB+ ∠AOC= ∠COD+ ∠AOC ，即∠COB= ∠AOD ．在△AOB 和△COD 中，，∴AB=CD ，∠ABO= ∠CDO ．在△AOD 和△COB 中，∴△AOD ≌△COB 〔SAS 〕∴∠CBO= ∠ADO ，∴∠ABO ﹣CBO=∠ ∠CDO ﹣ADO∠，即∠ABC= ∠CDA ．综上所述，①②③都是正确的．应选： B．二．解答题〔共11 小题〕4．如图，四边形ABCD 中，对角线 AC、 BD 交于点 O， AB=AC ，点 E 是 BD 上一点，且 AE=AD ，∠EAD= ∠BAC ．（1〕求证：∠ABD= ∠ACD ；（2〕假设∠ACB=65 °，求∠BDC 的度数．【解答】证明：〔1〕∵∠BAC= ∠EAD∴∠BAC ﹣EAC=∠ ∠EAD ﹣EAC∠即：∠BAE= ∠CAD在△ABE 和△ACD 中∴△ABE ≌△ACD∴∠ABD= ∠ACD（2〕∵∠BOC 是△ABO 和△DCO 的外角∴∠BOC= ∠ABD+ ∠BAC ，∠BOC= ∠ACD+ ∠BDC∴∠ABD+ ∠BAC= ∠ACD+ ∠BDC∵∠ABD= ∠ACD∴∠BAC= ∠BDC∵∠ACB=65 °，AB=AC∴∠ABC= ∠ACB=65 °∴∠BAC=180 °﹣ABC∠ ﹣ACB=180∠ °﹣65°﹣65 °=50 °∴∠BDC= ∠BAC=50 °．5．〔 1〕如图①，在四边形 ABCD 中，AB ∥DC ，E 是 BC 的中点，假设 AE 是∠BAD 的平分线，试探究AB ，AD ，DC 之间的等量关系，证明你的结论；〔 2〕如图②，在四边形ABCD 中， AB ∥DC ，AF 与 DC 的延长线交于点F， E是BC 的中点，假设 AE 是∠BAF 的平分线，试探究 AB ，AF ，CF 之间的等量关系，证明你的结论．.【解答】解：〔1〕证明：延长 AE 交 DC 的延长线于点 F，∵E 是 BC 的中点，∴CE=BE ，∵AB ∥DC ，∴∠BAE= ∠F，在△AEB 和△FEC 中，，∴△AEB ≌△FEC ，∴AB=FC ，∵AE 是∠BAD 的平分线，∴∠BAE= ∠EAD ，∵AB ∥CD ，∴∠BAE= ∠F，∴∠EAD= ∠F，∴AD=DF ，∴AD=DF=DC+CF=DC+AB，（2〕如图②，延长 AE 交 DF 的延长线于点 G，∵E 是 BC 的中点，∴CE=BE ，∵AB ∥DC ，∴∠BAE= ∠G，在△AEB 和△GEC 中，，∴△AEB ≌△GEC ，∴AB=GC ，∵AE 是∠BAF 的平分线，∴∠BAG= ∠FAG ，∵AB ∥CD ，∴∠BAG= ∠G，∴∠FAG= ∠G，∴FA=FG ，∴AB=CG=AF+CF ，6．：在△ABC 中， AB=AC ， D 为 AC 的中点， DE⊥AB ，DF ⊥BC，垂足分别为点 E， F，且 DE=DF ．求证：△ABC 是等边三角形．【解答】证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别为点E， F，∴∠AED= ∠CFD=90 °，∵D 为 AC 的中点，∴AD=DC ，在Rt△ADE 和 Rt△CDF 中，，∴Rt△ADE ≌Rt△CDF ，∴∠A=∠C，∴BA=BC ，∵AB=AC ，∴AB=BC=AC ，∴△ABC 是等边三角形．7．，在△ABC 中，∠A=90 °， AB=AC ，点 D 为 BC 的中点．（1〕如图①，假设点 E、F 分别为 AB 、AC 上的点，且 DE ⊥DF ，求证： BE=AF ；（2〕假设点 E、F 分别为 AB 、CA 延长线上的点，且 DE ⊥DF，那么 BE=AF 吗？请利用图②说明理由．【解答】〔1〕证明：连接 AD ，如图①所示．.∵∠A=90 °， AB=AC ，∴△ABC 为等腰直角三角形，∠ EBD=45 °．∵点D 为 BC 的中点，∴AD=BC=BD ，∠FAD=45 °．∵∠BDE+ ∠EDA=90 °，∠EDA+ ∠ADF=90 °，∴∠BDE= ∠ADF ．在△BDE 和△ADF 中，，∴△BDE ≌△ADF 〔ASA 〕，∴BE=AF ；（2〕 BE=AF ，证明如下：连接 AD ，如图②所示．∵∠ABD=∠BAD=45 °，∴∠EBD=∠FAD=135 °．∵∠EDB+ ∠BDF=90 °，∠BDF+∠FDA=90 °，∴∠EDB= ∠FDA ．在△EDB 和△FDA 中，，∴△EDB ≌△FDA 〔ASA 〕，∴BE=AF ．..8．如图，在Rt △ABC ，∠ACB=90 °， AC=BC ，分别过 A、B 作直线 l 的垂线，垂足分别为 M、N．（1〕求证：△AMC ≌△CNB ；（2〕假设 AM=3 ，BN=5 ，求 AB 的长．【解答】解：〔1〕∵AM ⊥l，BN ⊥l，∠ACB=90 °，∴∠AMC= ∠ACB= ∠BNC=90 °，∴∠MAC+ ∠MCA=90 °，∠MCA+ ∠NCB=180 °﹣90°=90°，∴∠MAC= ∠NCB ，在△AMC 和△CNB 中，，.∴△AMC ≌△CNB 〔AAS 〕；（2〕∵△AMC ≌△CNB ，∴CM=BN=5 ，∴Rt△ACM 中， AC===，∵Rt△ABC ，∠ACB=90 °， AC=BC=，∴AB===2．9．，如图，在等腰直角三角形中，∠ C=90 °，D 是 AB 的中点， DE ⊥DF ，点E、 F 在 AC 、BC 上，求证： DE=DF ．【解答】证明：连接 CD ．∵在等腰直角三角形 ABC 中， D 是 AB 的中点．∴CD 为等腰直角三角形ABC 斜边 BC 上的中线．∴CD ⊥AB ，∠ACD= ∠BCD=45 °， CD=BD=AD ．又∵DE ⊥DF∴∠EDC= ∠FDB在△ECD 和△FBD 中.∴△ECD ≌△FDB 〔ASA 〕∴DE=DF10 ．如图， OC 是∠MON 内的一条射线， P 为 OC 上一点， PA ⊥OM ，PB ⊥ON ，垂足分别为 A，B， PA=PB ，连接 AB ，AB 与 OP 交于点 E．（1〕求证：△OPA ≌△OPB ；（2〕假设 AB=6 ，求 AE 的长．【解答】解：〔1〕∵PA⊥OM ， PB⊥ON ，∴∠PAO= ∠PBO=90 °，又∵PA=PB ，PO=PO ，∴Rt△AOP ≌Rt△BOP ；（2〕∵△OPA ≌△OPB ，∴∠APE= ∠BPE ，又∵PA=PB ，∴AE=BE ，∴AE=AB=3 ．11 ．如图，△ABC 和△ADE 分别是以 BC ，DE 为底边且顶角相等的等腰三角形，点 D 在线段 BC 上，AF 平分 DE 交 BC 于点 F，连接 BE，EF．（1〕 CD 与 BE 相等？假设相等，请证明；假设不相等，请说明理由；（2〕假设∠BAC=90 °，求证： BF 2+CD 2=FD 2．【解答】解：〔1〕CD=BE ，理由如下：∵△ABC 和△ADE 为等腰三角形，∴AB=AC ， AD=AE ，∵∠EAD= ∠BAC ，∴∠EAD ﹣BAD=∠ ∠BAC ﹣BAD∠，即∠EAB= ∠CAD ，在△EAB 与△CAD 中，∴△EAB ≌△CAD ，∴BE=CD ，（2〕∵∠BAC=90 °，∴△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∴∠ABF= ∠C=45 °，∵△EAB ≌△CAD ，∴∠EBA= ∠C，∴∠EBA=45 °，∴∠EBF=90 °，在Rt△BFE 中， BF 2+BE 2=EF 2，∵AF 平分 DE ，∴AF 垂直平分 DE，∴EF=FD ，由〔 1〕可知， BE=CD ，∴BF 2+CD 2=FD 212 ．如图， OC 是∠AOB 的角平分线， P 是 OC 上一点， PD ⊥OA ， PE⊥OB ，垂足分别为 D，E．F 是 OC 上另一点，连接DF，EF．求证： DF=EF ．【解答】证明：∵OC 是∠AOB 的角平分线， P 是 OC 上一点， PD ⊥OA ，PE⊥OB ，∴∠DOP= ∠EOP ，PD=PE ．在 Rt△POD 和 Rt△POE 中，，∴Rt△POD ≌Rt△POE 〔HL 〕，∴OD=OE ．在△ODF 和△OEF 中，，∴△ODF ≌△OEF 〔SAS 〕，∴DF=EF ．13 ．如图， OP 平分∠AOB ， PE⊥OA 于 E，PF ⊥OB 于 F，点 M 在 OA 上，点 N 在OB 上，且 PM=PN ．求证： EM=FN ．【解答】证明：∵点 P 在∠AOB 的平分线上， PE 丄 0A 于 E， PF 丄 OB 于 F，∴PF=PE ，在Rt△PEM 和 Rt△PEN 中，∴Rt△PEM ≌Rt△PEN 〔HL 〕，∴EM=FN ．14 ．如图，△ABC 中，D 为 BC 边上一点， BE ⊥AD 的延长线于 E，CF ⊥AD 于 F，BE=CF ．求证： D 为 BC 的中点．....【解答】证明：∵BE ⊥AD 的延长线于 E，CF ⊥AD 于 F，∴∠CFD= ∠BED=90 °，在△BED 和△CFD 中，∴△CDF ≌△BDE 〔AAS 〕∴CD=BD ．∴D 为 BC 的中点．....。
全等三角形练习(基础证明题)
全等三角形的判定训练1．已知AD是⊿ABC的中线，BE⊥AD，CF⊥AD，问BE=CF吗？说明理由。
2．已知AC=BD，AE=CF，BE=DF，问AE∥CF吗？3．已知AB=CD，BE=DF，AE=CF，问AB∥CD吗？4．已知在四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB，问AB∥CD吗？说明理由。
5．已知∠BAC=∠DAE，∠1=∠2，BD=CE，问ABD≌⊿ACE.吗？为什么？6．已知CD∥AB，DF∥EB，DF=EB，问AF=CE吗？说明理由。
AB CDFEA C DE FDCFEA BAB CADEB C1 2AD CEFB7．已知BE=CF，AB=CD，∠B=∠C.问AF=DE吗？8．已知AD=CB，∠A=∠C，AE=CF，问EB∥DF吗？说明理由。
9．已知，M是AB的中点，∠1=∠2，MC=MD，问∠C=∠D吗？说明理由。
10．已知，AE=DF，BF=CE，AE∥DF，问AB=CD吗？说明理由。
11．已知∠1=∠2，∠3=∠4，问AC=AD吗？说明理由。
12．已知∠E=∠F，∠1=∠2，AB=CD，问AE=DF吗？说明理由。
13．已知ED⊥AB，EF⊥BC，BD=EF，问BM=ME吗？说明理由。
ACDB1234A B C DE F1 2ACDB E FBA DFECMA BC D1 2DCFEA B14．在⊿ABC 中，高AD 与BE 相交于点H ，且AD =BD ，问⊿BHD ≌⊿ACD ，为什么？15．已知∠A =∠D ，AC ∥FD ，AC =FD ，问AB ∥DE 吗？说明理由。
16．已知AC =AB ，AE =AD ， ∠1=∠2，问∠3=∠4吗？17．已知EF ∥BC ，AF =CD ，AB ⊥BC ，DE ⊥EF ，问⊿ABC ≌⊿DEF 吗？说明理由。
18．已知AD =AE ，∠B =∠C ，问AC =AB 吗？说明理由。
A B C EH DACME F B D A B C E FD AB C ED F ADE AD E B C 1 23 419．已知AD⊥BC，BD=CD，问AB=AC吗？20．已知∠1=∠2，BC=AD，问⊿ABC≌⊿BAD吗？21．已知AB=AC，∠1=∠2，AD=AE，问⊿ABD≌⊿ACE.说明理由。
全等三角形练习题(含答案)
全等三角形练习题(含答案)篇一：全等三角形习题选(含)经典三角形证明题选讲（含答案）三角形辅助线做法线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验1.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求ADD1. 证明：延长AD到E,使DE=AD, 则△ADC≌△EBD ∴BE=AC=2 在△ABE中,AB-BE AE AB+BE ，∴10-2 2AD 10+2 4 AD 6又AD是整数,则AD=5思路点拨：三角形中有中线，延长中线等中线。
2.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠22.证明：连接BF和EF.∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴ △BCF≌△EDF(边角边). ∴BF=EF,∠CBF=∠DEF. 连接BE.在△BEF中,BF=EF，∴∠EBF=∠BEF又∵ ∠ABC=∠AED，∴ ∠ABE=∠AEB. ∴ AB=AE在△ABF和△AEF中，AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF. ∴△ABF≌△AEF∴∠1=∠2.思路点拨：解答本题的关键是能够想到证明AB=AE,而AB、AE在同一个△ABE 中，可利用∠ABE=∠AEB来证明.同一三角形中线段等，可用等角对等边3.已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC 证明：过E点，作EG//AC，交AD延长线于G则∠DEG=∠DCA，∠DGE=∠2又∵CD=DE∴△ADC≌△GDE（AAS）∴EG=AC ∵EF∥AB∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE∴EF=EG∴EF=AC 思路点拨：角平分线平行线，等腰三角形来添。
4.已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C 证明：延长AC到E使CE=CD，连接 ED，则∠CDE= ∠E∵ AB=AC+CD ∴AB=AC+CE=AE又∵∠BAD=∠EAD，AD=AD∴△BAD≌△EAD ∴∠B=∠E∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴∠ACB=2∠B方法二在AC上截取AE=AB，连接ED A∵A D平分∠BAC∴∠EAD=∠BAD又∵AE=AB，AD=AD∴⊿AED≌⊿ABD（SAS）∴∠AED=∠B，DE=DB CBD∵AC=AB+BD ，AC=AE+CE∴CE=DE∴∠C=∠EDC∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C∴∠B=2∠C思路点拨：线段等于线段和，理应截长或补短5.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明：过C作CF⊥AD交AD的延长线于F.在△CFA和△CEA中∴∠CFA＝∠CEA＝90°又∵∠CAF＝∠CAE， AC=AC∴△CFA≌△CEA ，∴AE＝AF＝AD＋DF， CE=CF∵∠B＋∠ADC＝180°，∠FDC＋∠ADC＝180°∴∠B＝∠FDCE在△CEB和△CFD中，CE=CF,∠CEB＝∠CFD＝90°, ∠B＝∠FDCE∴△CEB≌△CFD∴BE＝DF∴ AE＝AD＋BE思路点拨：图中有角平分线，可向两边作垂线。
(完整版)全等三角形练习题及答案(一)
ir全等三角形练习一、填空题：1.如图，△ABC≌△DEB，AB=DE，∠E=∠ABC，则∠C的对应角为，BD的对应边为 .2.如图，AD=AE，∠1=∠2，BD=CE，则有△ABD≌△，理由是，△ABE≌△，理由是 .（第1题）（第2题）（第4题）3.已知△ABC≌△DEF，BC=EF=6cm，△ABC的面积为18平方厘米，则EF边上的高是cm.4.如图，AD、A´D´分别是锐角△ABC和△A´B´C´中BC与B´C´边上的高，且AB= A´B´，AD=A´D´，若使△ABC≌△A´B´C´，请你补充条件（只需填写一个你认为适当的条件）5. 若两个图形全等，则其中一个图形可通过平移、或与另一个三角形完全重合.6. 如图，有两个长度相同的滑梯（即BC＝EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC＋∠DFE＝___________度（第6题）（第7题）（第8题）7．已知：如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN＋MN的最小值为__________．8．如图，在△ABC中，∠B＝90o，D是斜边AC的垂直平分线与BC的交点，连结AD，若∠DAC：∠DAB＝2：5，则∠DAC＝___________．9．如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90o，BD平分∠ABC交AC于点D，若AB＋AD＝8cm，则底边BC上的高为___________．MNDCBAEDCBAHEDCBAB ′C ′D ′O ′A ′ODC BA（第1410．如图，锐角三角形ABC 中，高AD 和BE 交于点H ，且BH ＝AC ，则∠ABC ＝__________度．（第9题） （第10题）13题）二、选择题：11．已知在△ABC 中，AB =AC ，∠A =56°，则高BD 与BC 的夹角为（ ）A ．28°B ．34°C ．68°D ．62°12．在△ABC 中，AB =3，AC =4，延长BC 至D ，使CD =BC ，连接AD ，则AD 的长的取值范围为（ ）A ．1＜AD ＜7B ．2＜AD ＜14C ．2.5＜AD ＜5.5 D ．5＜AD ＜1113．如图，在△ABC 中，∠C =90°，CA =CB ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于点E ，且AB =6，则△DEB 的周长为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．1014．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则说明∠A ′O ′B ′＝∠AOB 的依据是A ．（S ．S ．S ．）B ．（S ．A ．S ．）C ．（A ．S ．A ．）D ．（A ．A ．S ．15. 对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是（ ）A.∠α=60º，∠α的补角∠β=120º，∠β>∠αB.∠α=90º，∠α的补角∠β=900º，∠β=∠αC.∠α=100º，∠α的补角∠β=80º，∠β<∠αD.两个角互为邻补角16. △ABC 与△A´B´C ´中，条件①AB =A´B´，②BC = B´C´，③AC=A´C´，④∠A=∠A´，⑤∠B =∠B´，⑥∠C =∠C´，则下列各组条件中不能保证△ABC ≌△A´B´C´的是（ ）A. ①②③B. ①②⑤C. ①③⑤D. ②⑤⑥17．如图，在△ABC 中，AB =AC ，高BD ，CE 交于点O ，AO 交BC 于点F ，则图中共有全等三角形（）A ．7对B ．6对C ．5对D ．4对D CBAn h18．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，若△DEB 的周长为10cm ，则斜边AB 的长为（ ）A ．8 cmB ．10 cmC ．12 cmD ． 20 cm19．如图，△ABC 与△BDE 均为等边三角形，AB ＜BD ，若△ABC 不动，将△BDE 绕点B 旋转，则在旋转过程中，AE 与CD 的大小关系为（ ）A ．AE =CDB ．AE ＞CDC ．AE ＜CD D ．无法确定20．已知∠P =80°，过不在∠P 上一点Q 作QM ，QN 分别垂直于∠P 的两边，垂足为M ，N ，则∠Q 的度数等于（ ）A ．10°B ．80°C ．100°D ．80°或100°三、解答题（每小题5分，共30分）21.如图，点E 在AB 上，AC =AD ，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明.所添条件为，你得到的一对全等三角形是 .∆∆≅（第21题）22.如图，EG ∥AF ，请你从下面三个条件中再选两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况），并给予证明.①AB =AC ，②DE =DF ，③BE =CF ，已知：EG ∥AF ， = ， = ，求证：证明：（第22题）ECD BAEA BD FC23. 如图，在△ABC 和△DEF 中，B 、E 、C 、F 在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选择3个作为题设，余下的1个作为结论，写一个真命题，并加以证明.①AB =DE ，②AC =DF ，③∠ABC =∠DEF ，④BE =CF（第23题）24. 如图，四边形ABCD 中，点E 在边CD 上.连结AE 、BF ，给出下列五个关系式：①AD ∥BC ；②DE =CE ③. ∠1=∠2 ④. ∠3=∠4 . ⑤AD +BC =AB 将其中的三个关系式作为假设，另外两个作为结论，构成一个命题.(1)用序号写出一个真命题，书写形式如：如果……，那么……，并给出证明；(2)用序号再写出三个真命题（不要求证明）；（3）真命题不止以上四个，想一想就能够多写出几个真命题25.已知，如图，D 是△ABC 的边AB 上一点,DF 交AC 于点E , DE =FE , AB ∥FC . 问线段AD 、CF 的长度关系如何？请予以证明.（第25题）E DAC4321FB26.如图，已知ΔABC 是等腰直角三角形，∠C =90°.（1）操作并观察，如图，将三角板的45°角的顶点与点C 重合，使这个角落在∠ACB 的内部，两边分别与斜边AB 交于E 、F 两点，然后将这个角绕着点C 在∠ACB 的内部旋转，观察在点E 、F 的位置发生变化时，AE 、EF 、FB 中最长线段是否始终是EF ？写出观察结果.（2）探索：AE 、EF 、FB 这三条线段能否组成以EF 为斜边的直角三角形？如果能，试加以证明.四、探究题 （每题10分，共20分）27.如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B =60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F .请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系；（2）如图③，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.OPAMNEB CD FACEFBD图①图②图③28.如图a，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE.(1)线段AF和BE有怎样的大小关系?请证明你的结论；(2)将图a中的△CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；(3)若将图a中的△ABC绕点C旋转一定的角度，请你画山一个变换后的图形(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由；(4)根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现）ACF BE ACFB图a 图b参考答案一、1.∠DBE， CA 2.△ACE， SAS，△ACD， ASA（或SAS）3. 64.CD=C´D´（或AC=A´C´，或∠C=∠C´或∠CAD=∠C´A´D´）5.平移，翻折6. 907. 10 8. 20º 9. 10. 4548-2二、11. A 12. D 13. B 14.A 15.C 16.C 17.A 18.B 19.A 20.D三、21.可选择等条件中的一个.可得到△ACE≌△ADE∠=、∠=、BDBCDABCABDECE=或△ACB≌△ADB等.22.结合图形，已知条件以及所供选择的3个论断，认真分析它们之间的内在联系可选①AB=AC，②DE=DF，作为已知条件，③BE=CF作为结论；推理过程为：∵EG∥AF，∴∠GED=∠CFD，∠BGE=∠BCA，∵AB=AC，∴∠B=∠BCA，∴∠B=∠BGE∴BE=EG，在△DEG和△DFC中，∠GED=∠CFD，DE=DF，∠EDG=∠FDC，∴△DEG≌△DFC，∴EG=CF，而EG=BE，∴BE=CF；若选①AB=AC，③BE=CF为条件，同样可以推得②DE=DF，23.结合图形，认真分析所供选择的4个论断之间的内在联系由④BE=CF还可推得BC=EF，根据三角形全等的判定方法，可选论断：①AB=DE，②AC=DF，④BE=CF为条件，根据三边对应相等的两个三角形全等可以得到：△ABC≌△DEF，进而推得论断③∠ABC=∠DEF，同样可选①AB=DE，③∠ABC=∠DEF，④BE=CF为条件，根据两边夹角对应相等的两个三角形全等可以得到：△ABC≌△DEF，进而推得论断②AC=DF.24. （1）如果①②③，那么④⑤证明：如图，延长AE交BC的延长线于F因为AD∥BC 所以∠1=∠F又因为∠AED=∠CEF，DE=EC所以△ADE≌△FCE，所以AD=CF,AE=EF因为∠1=∠F,∠1=∠2所以∠2=∠F所以AB=BF.所以∠3=∠4所以AD+BC=CF+BC=BF=AB（2）如果①②④，那么③⑤;如果①③④，那么②⑤;如果①③⑤，那么②④.(3) 如果①②⑤，那么③④;如果②④⑤，那么①③;如果③④⑤，那么①②.25. （1）观察结果是：当45°角的顶点与点C 重合，并将这个角绕着点C 在重合，并将这个角绕着点C 在∠ACB 内部旋转时，AE 、EF 、FB 中最长的线段始终是EF . （2）AE 、EF 、FB 三条线段能构成以EF 为斜边的直角三角形，证明如下：在∠ECF 的内部作∠ECG =∠ACE ，使CG =AC ，连结EG ，FG ，∴ΔACE ≌ΔGCE ，∴∠A =∠1，同理∠B =∠2，∵∠A +∠B =90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠EGF =90°，EF 为斜边.四、27.（1）FE 与FD 之间的数量关系为FE =FD （2）答：（1）中的结论FE=FD 仍然成立图① 图②证法一：如图1，在AC 上截取AG =AE ，连接FG∵ ∠1=∠2，AF =AF ，AE =AG ∴ △AEF ≌△AGF∴ ∠AFE =∠AFG ，FG =FE ∵ ∠B=60°,且AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线∴ ∠2+∠3=60°，∠AFE =∠CFD =∠AFG =60°∴ ∠CFG =60° ∵ ∠4=∠3，CF =CF ，∴ △CFG ≌△CFD ∴ FG =FD ∴ FE =FD 证法二：如图2，过点F 分别作FG ⊥AB 于点G ，FH ⊥BC 于点H ∵ ∠B =60°,且AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线∴ ∠2+∠3=60° ∴ ∠GEF =60°+∠1,FG =FH∵ ∠HDF =∠B +∠1 ∴ ∠GEF =∠HDF ∴ △EGF ≌△DHF ∴ FE =FD28. （1）AF =BE . 证明：在△AFC 和△BEC 中， ∵△ABC 和△CEF 是等边三角形，∴AC =BC ，CF =CE ，∠ACF =∠BCE =60.∴△AFC ≌△BEC . ∴AF =BE . (2)成立. 理由：在△AFC 和△BEC 中， ∵△ABC 和△CEF 是等边三角形， ∴AC =BC ，CF =CE ，∠ACB =∠FCE =60°. ∴∠ACB -∠FCB =∠FCE -∠FCB.图⑤ 即∠ACF=∠BCE. ∴△AFC≌△BEC. ∴AF=BE. (3)此处图形不惟一，仅举几例. 如图，(1)中的结论仍成立. (4)根据以上证明、说明、画图，归纳如下：如图a，大小不等的等边三角形ABC和等边三角形CEF有且仅有一个公共顶点C，则以点C为旋转中心，任意旋转其中一个三角形，都有AF=BE. 。
全等三角形练习题及答案
全等三角形练习题及答案1、下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是（）A 、两条直角边对应相等。
B 、斜边和一锐角对应相等。
C 、斜边和一条直角边对应相等。
D 、两锐角相等。
C. / CD. / B 或/ C3、下列各条件中，不能作岀唯一三角形的是（ ）A.已知两边和夹角B.已知两角和夹边C.已知两边和其中一边的对角 D.已知三边4、在△ DEF 中，已知AB=DE / A =Z D;再加一个条件，却不能判断△ ABC WA DEF 全等的是(A. BC=EF B . AC=DFC.Z B=Z E D ./ C=Z F5、使两个直角三角形全等 的条件是A . —锐角对应相等 D.两条直角边对应相等6、在△ ABC ^A ABC 中有① ABA ' B ，② BC =B C ，③ AC=A C ，④/ A =Z A ，⑤/ B =Z B ，⑥/ C =Z C ，则下列各组条件中不能保证厶 AB9A ABC 的是 （）2、在△ ABC 中，/ B = Z 0与厶ABC 全等的三角形有一个角是100 °，那么在厶ABC 中与这100 °角对应相等的角是B.两锐角对应相等C . 一条边对应相等A、①②③B、①②⑤C、①②④D、②⑤⑥7、如图，已知/ 仁/2,欲得到△ ABD^A ACD 还须从下列条件中补选一个，错误的选法是8、如图，△ ABC^A ADE 若/ BAE =120°,/ BAt =40°,则/ BAC 的度数为9、如图，AE = AF , AB= AC EC 与 BF 交于点 O, / A = 600,/ B = 25°，则/ EOB 的度数为()10、 如图，已知 AB= DC AD= BC,在 DB 上两点且 BF = DE,若/ AEB= 12°°, / ADB= 3°°,则/ BCF= ( )D. 90应相等，以上条件能判断两个三角形全等的是 （ ）A 、/ ADB=/ ADCB 、/ B=/C C 、DB=DCD 、 AB=ACA. 40B. 8 0 D.不能确定A . 60°B . 70° C. 75° D. 85°A. 150 11、①两角及一边对应相等②两边及其夹角对应相等 ③两边及一边所对的角对应相等 ④两角及其夹边对A .①③B •②④C •②③④D •①②④B •两边和一角对应相等C .两角及其一角的对边对应相等D •两角和它们的夹边对应相等13、如图，已知…二八二，二归七=4■.二厂，下列条件中不能判定/ 「上工幻/ f 「的是（ ）15、如图，△ ABC 中，AD 丄BC 于D, BE 丄AC 于E ，AD 与BE 相交于点F ,若BF = AC,则/ ABC 的度数是 _____________________16、在厶 ABC 和△」-'-•中，/ A=44°,Z B=67°,/ -=69 °，/丄=44 °,且 AC='则这两个三角形 ___________________ 全等（填“一定”或“不一定”）17、如图，止，L'，丄-在同一直线上，-匚|'，若要使一-，则还需要补充个条件： _________________ 或 ______________A .三条边对应相等 (C)--V(B)二二i =-—(D )匚If II -14、如图，AB 与 CD 交于点 O, 0¥OC OD= OB, / A=50°,Z B= 30° ,则/D 的度数为( ).r第上题A . 50B . 30°C . 80°D .10018、(只需填写一个你认为适合的条件)如图，已知/ CABN DBA 要使△ AB3A BAD,需增加的一个条件F21、如图，△ ABD △ ACE都是正三角形，BE和CD交于0点，则/ BOC= ________________ :22、已知：如图，/ ABC=Z DEF，，AB= DE 要说明△ ABC^A DEF,(1)若以“ SAS'为依据，还须添加的一个条件为 _____________________(2)若以“ ASA'为依据，还须添加的一个条件为 _____________________(3)若以“ AAS'为依据，还须添加的一个条件为 _____________________23、如图4,如果AB= AC, ______________________ ，即可判定△ ABD^A AC吕A24、如图2, Z仁/2,由AAS判定△ ABD^A ACD，则需添加的条件是__________________25、如图，已知 / ACBM BDA 只要再添加一个条件： ________________ ,就能使△ ACB^A BDA (填一个即可)26、已知，如图 2:Z ABCK DEF, AB=DE 要说明△ ABC^A DEF⑴ 若以“ SAS'为依据，还要添加的条件为 ___________________(2) 若以“ ASA ”为依据，还要添加的条件为 __________________27、如图9所示，BC=EC /仁/ 2,要使△ ABC^A DEC 则应添加的一个条件为 ________________________________ ［答案不唯一,只需填一个］。
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• 变2 ：四边形ABCD和CEFG都是正方 形，请说明BG和DE的关系（包含数量 关系和位置关系）。
• 如图，已知OB=OA,OC=OD，AD,BC 交于点O，证明：OE平分∠AOB。
如图由六个边长相同的正方形拼成， 求∠1+∠2+∠3的度数。
如图由六个边长相同的正方形拼成， (1)证明：CH=CL； (2)证明：△HCL是等腰直角三角形； (3)证明：∠1+∠2=45°.
辅助线
• 如图，△ABC中，AB=AC，证明：∠B=∠C
• 如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，证明： • （1）AD是中线 • （2）AD是角平分线
等腰三角形的性质： （1）等腰对等角（边角转化的一种） （2）底边上三线合一
• 如图，四边形ABCD中，AB=DC，∠A=∠D • 证明：∠B=∠C（尝试用多种方法）
全等三角形
复习课本P31-32，回答下列问题：
• 三角形和全等三角形的区别是什么？ • 全等三角形中的边，角，顶点分别 叫什么？ • “≌”表示什么？为什么用“≌”？ • 全等三角形的性质是什么？
将△ABC平移， 写出全等的三角形 以及它们的 对应元素
平移
将△ABC绕A点旋转， 写出全等的三角形 以及它们的 对应元素
例题：如图,AB=AC,AD=AE,∠BAD=∠ CAE，证明：△ADM≌△AEN
• 例题：△ABC和△CDE都正三角形， （1）证明：AD=BE • （2）证明：∠APB=60°
• 变1：△ABC和△CDE都正三角形， （1）证明：AD=BE • （2）证明：∠APB=60°
• 变2：△ABC和△CDE都正三角形， （1）证明：AD=BE • （2）证明：∠APB=60°
例题2：如图，AB=AC，∠B=∠C， 证明：BE=CD
变式：如图，BE=CD，∠B=∠C 证明：AB=AC
O
变式：如图，AB=AC,∠BEC=∠CDB， 证明：OB=OC
O
例题3：如图，AB=DC，∠A=∠D，证 明：AC=BD
例题3：如图，AB=DC，∠A=∠D，证 明：AC=BD
证明： ∵ 在△ABC和△DCB中： AB DC（已知） A D（已知） BC CB（公共边） △ABC △DCB(?) × AC BD
• 如图，四边形ABCD中，AB//DC，∠A=∠D • 证明：AB=CD（尝试用多种方法）
如图，△ABC是等腰直角三角形，AD 是角平分线，DE⊥AC于E点，求 证:△CDE的周长=AC
如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB 的平分线交于D点；证明：AD平分 ∠BAC
如图，△ABC中，∠ABC的平分线 和∠ACB的外角平分线交于P点；证 明：AP平分∠BAC的外角
如图，△ABC中，AB>AC，AD平 分∠BAC,P是线段AD线段上的任意， 证已知两角对应相等？
直角三角形如何找条件？ • 已知直角和一锐角对应相等？ • 已知直角和一边对应相等？
将△ABC绕着旋转再平移， 写出全等的三角形以及它们的对应元素
练习题
如图，已知AM//BC，试添加一个边相等 的条件使得△AMC≌△CBA，并证明
例题1：如图，BA⊥AD,ED⊥AD,C在 AD上，BC⊥CE，AB=CD，证明： BC=DE
• 变1：△ABC和△CDE都正三角形， （1）证明：AD=BE • （2）证明：∠APB=60° • （3）PC平分∠BPD
• 如图，四边形ABCD中，AB//CD， BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD， 证明：AB+CD=BC
如图，△ABC中，∠A=60°， ∠ABC和∠ACB的平分线交于O点， 证明：BF+CE=BC
一般旋转
将△ABC沿虚线翻折， 写出全等的三角形 以及它们的对应 元素
反射
将△ABC绕着B点旋转， 写出全等的三角形以及 它们的 对应元素
特殊旋转
将△ABC绕着某点旋转， 写出全等的三角形以及它们的对应元素
特殊旋转
找全等三角形
（1）观察法 （2）推测法（根据结果猜测） （3）测量法（图形准确）
然后再找条件证明！
• 如图，已知DA=DB,CA=CB，AB,CD 交于O点， • 证明（1）AB⊥CD • （2）AO=BO
标记法
不同颜色识别法
不同标记识别法
说出对应顶点
说出对应顶点
说出对应顶点
说出对应顶点
说出对应顶点
一般三角形如何找条件？ • 已知两边对应相等？ • 已知一边一角对应相等？
P
• 变2：△ABC是等腰直角三角形，（1） 找出图中全等的三角形并证明 • （2）证明： BF⊥AD
• 例题3：四边形ABCD和CEFG都是正 方形，请说明BG和DE的关系（包含数 量关系和位置关系）。
• 变1 ：四边形ABCD和CEFG都是正方 形，请说明BG和DE的关系（包含数量 关系和位置关系）。
变式：如图，OA=OD,OB=OC，证明： ∠ABC=∠DCB
例题3：如图，OB=OC，∠A=∠D，证 明：△ABC≌△DCB
变式：如图，OA=OD,OB=OC，证明： ∠ABC=∠DCB
例题：如图，三个正方形如图摆放，已 知BC=3，GH=7，求HI
例题：如图，AB=AC,AD=AE， ∠BAC=∠DAE，找出图中一组全等的 三角形，并证明。 （2）证明：∠BCE+∠DAE=180°