空间直角坐标系(一)教学设计
《空间直角坐标系》教学设计 (4)
《空间直角坐标系》教学设计目的要求：理解空间直角坐标系、掌握两点间的距离公式重 点：两点间的距离公式难 点：空间直角坐标系的概念教学方法：讲练结合教学时数：2课时教学进程：一、空间直角坐标系在空间内作三条相互垂直且相交的数轴Oz Oy Ox ,,,这三条数轴的长度单位相同．它们的交点O 称为坐标原点． Oz Oy Ox ,,称为x 轴、y 轴和 z 轴．一般地，取从后向前，从左向右，从下向上的方向作为x 轴，y 轴, z 轴的正方向（图6．1）． Oz Oy Ox ,,统称为坐标轴．由两个坐标轴所确定的平面，称为坐标平面，简称坐标面． x 轴，y 轴, z 轴可以确定zOx yOz xOy ,,三个坐标面．这三个坐标面可以把空间分成八个部分，每个部分称为一个卦限．其中xOy 坐标面之上，yOz 坐标面之前，xOz 坐标面之右的卦限称为第一卦限．按逆时针方向依次标记xOy 坐标面上的其他三个卦限为第二、第三、第四卦限．在xOy 坐标面下面的四个卦限中，位于第一卦限下面的卦限称为第五卦限，按逆时针方向依次确定其他三个卦限为第六、第七、第八卦限．（图2）图1表示的空间直角坐标系也可以用右手来确定．用右手握住z 轴,当右手的四个手指从x 轴正向以 90的角度转向y 轴的正向时，大拇指的指向就是 z 轴的正向．图1 图2二、空间一点的坐标已知M 为空间一点．过点M 作三个平面分别垂直于x 轴，y 轴和z 轴，它们与x 轴、y 轴、z 轴的交 点分别为Ｐ、Q 、R （图3），这三点在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标分别为z y x ,,．于是空间的一点M 就唯一确定了一个有序数组z y x ,,．这组数z y x ,,就叫做点M 的坐标，并依次称z y x ,,为点M 的横坐标，纵坐标和竖坐标．坐标为z y x ,,的点M 通常记为),,(z y x M ．图3反过来，有一个序数组z y x ,,，我们在x 轴上取坐标为x 的点P ，在y 轴上取坐标为y 的点Q ，在z 轴上取坐标为z 的点R ，然后通过P 、Q 与R 分别作x 轴、y 轴与z 轴的垂直平面．这三个垂直平面的交点M 即为以有序数组z y x ,,为坐标的点（图3）．我们通过这样的方法在空间直角坐标系内建立了空间的点M 和有序数组z y x ,,之间的一一对应关系．三、两点间的距离公式设),,(),,,(22221211z y x M z y x M 为空间内的两个点，由图4可知21,M M 两点间的距离为 2221212M M M N NM =+（12M NM ∆是直角三角形），其中222111(M N M P PN M PN =+∆是直角三角形）， 而,1212y y Q Q PN -==1212PM P P x x ==-，.122z z NM -=，所以21M M 之间的距离为21221221221)()()(z z y y M M -+-+-=χχ．例1 求之间的距离)3,2,1(),0,1,2(21-P -P ．解 22221)03())1(2()2)1((-+--+--=P P 图4 .27＝小结本讲内容： 强调空间直角坐标系、两点间的距离公式作业： P184 1（1）；（2）。
《空间向量的坐标与空间直角坐标系》第一课时示范公开课教学设计【高中数学】
《空间向量的坐标与空间直角坐标系》教学设计第一课时◆教学目标1、在理解空间向量基本定理的基础上掌握空间向量正交分解的原理及坐标表示..提升学生的数学抽象素养.2、能正确地运用空间向量的坐标,进行向量的线性运算与数量积运算．提高逻辑推理、数学运算的数学素养．◆教学重难点◆教学重点：掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．教学难点：掌握空间向量的坐标运算◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、整体概览问题1：阅读课本第17-19页，回答下列问题：（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容.预设的答案：（1）本节课主要学习空间向量的坐标与空间直角坐标系第一课时空间中向量的坐标及坐标运算的知识内容．（2）通过类比平面向量及其运算的坐标表示，从而引入空间向量及其运算的坐标表示，为学生学习立体几何提供了新的方法和新的观点，为培养学生思维提供了更广阔的空间，在学生学习了空间向量的几何形式和运算，以及在空间向量基本定理的基础上进一步学习空间向量的坐标运算及其规律，是平面向量的坐标运算在空间推广和拓展，为运用向量坐标运算解决几何问题奠定了知识和方法基础．设计意图：通过对本节知识内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架. 平面向量中,我们借助平面向量基本定理以及两个互相垂直的单位向量,引进了平面向量的坐标.空间向量是否可以引进类似的坐标?这就是本小节我们要研究的内容（板书：空间向量的坐标系与空间直角坐标系第一课时）二、探索新知 第一部分 空间中向量的坐标问题2：如图所示，已知123,,===OA e OB e OC e ,且OADB-CEGF 是棱长为1的正方体,111111-OF E A A DC B 是一个长方体，1A 为OC 的中点，1FO=2,． （1）设1,,==OG a OC b 将向量,a b 都用123,,e e e 表示；（2）如果p 是空间中任意一个向量，怎样才能写出p 在基底{123,,e e e }下的分解式？师生活动：学生在教师的指导下写出答案．预设的答案：123,=++a e e e 12312,2=-+b e e e 设计意图：问题既是对上一小节空间向量基本定理的检测与巩固,又为引出本小节的空间向量的坐标做了铺垫．追问：根据空间向量基本定理,任意向量p 都可以在基底{123,,e e e }下进行分解;如果123=++p xe ye ze ,那么它的坐标如何表示?师生活动：学生在教师的指导下写出答案．预设的答案：如果123=++p xe ye ze ,那么它的坐标为（x ，y ，z ）．设计意图：把问题分解,分层次、设梯度来进行研究,培养学生的数学抽象核心素养．2、形成定义一般地,如果空间向量的基底{123,,e e e }中,123,,e e e 都是单位向量,而且这三个向量两两垂直,就称这组基底为单位正交基底;在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解,而且,如果123=++p xe ye ze ,则称有序实数组(x ,y ,z )为向量p 的坐标,记作p =(x ,y ,z ),其中x ,y ,z 都称为p 的坐标分量.三、初步应用例1已知{123,,e e e }是单位正交基底，分别求出下列空间向量的坐标；（1）12323=++p e e e ；（2）1232=-+-q e e e ；（3）232=--r e e ；（4）0师生活动：学生根据所学知识做出解答，由老师指定学生给出答案．预设的答案：（1）(2,3,1)=p ；（2）(1,1,2)=--q ；（3）(0,2,1)=--r ；（4）（0,0,0）设计意图：通过例题的训练，强化学生对概念的理解和简单应用．练习：已知{123,,e e e }是单位正交基底，分别求出下列空间向量的坐标；（1）13-2=+p e e ；（2）2132=-+-q e e e ；（3）3=-r e ；师生活动：学生根据例1的讲解做出解答，并由教师给出答案．预设的答案：（1）(-2,0,1)=p ；（2）(1,1,2)=--q ；（3）(0,0,1)=-r设计意图：通过练习题的训练，强化学生对概念的理解和简单应用．第二部分.空间向量的运算与坐标的关系问题3：与平面向量的坐标类似,空间向量有了坐标之后,向量的相等以及加法运算与它们对应的坐标之间有什么关系?师生活动：学生先由平面向量的坐标运算猜测空间向量的坐标运算，教师给出答案． 预设的答案：假设空间中两个向量,a b 满足111222(,,),(,,)==a x y z b x y z ,则121212,,=⇔===a b x x y y z z 121212(,,)+=+++a b x x y y z z ；121212(,,)+=+++ua vb ux vx uy vy uz vz设计意图：利用向量的加法、减法、数乘等运算来证明结论这种类比的探究对于建立新的数学概念、提出新的数学猜想、发现新的规律起着十分重要的作用,也有利于培养学生的数学抽象、逻辑推理等数学学科核心素养．追问：能否证明上述结论？师生活动：学生先尝试自己证明，教师给出证明过程．预设的答案：假设空间中两个向量,a b 满足111222(,,),(,,)==a x y z b x y z ，则111213212223,=++=++a x e y e z e b x e y e z e ，则当=a b 时，111213212223++=++x e y e z e x e y e z e 由{123,,e e e }是单位正交基底和空间向量基本定理可知，121212,,===x x y y z z ，反之，结论也成立，这就是说，空间两个向量相等的充要条件是他们的坐标分量相等．111213212223+=+++++a b x e y e z e x e y e z e =112112221323+++++x e x e y e y e z e z e =121122123)()()+++++（x x e y y e z z e ，所以，121212(,,)+=+++a b x x y y z z ．问题4：通过上面的学习，你是否可以得出,||,cos ,⋅〈〉a b a a b 的坐标运算公式？并给出证明？师生活动：学生先尝试自己得出结论并证明，教师给出证明过程．预设的答案：121212⋅=++a b x x y y z z ；21||=⋅=+a a a x211122cos ,||||⋅〈〉==+++a b a b a b x y z x y 证明：又因为{123,,e e e }是单位正交基底，所以1122331223311,0⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=e e e e e e e e e e e e ，因此，⋅=a b 111213212223)()++⋅++（x e y e z e x e y e z e=121112221233122112)⋅+⋅+⋅++⋅（x x e e y y e e z z e e x y x y e e122123122131))++⋅++⋅（（y z y z e e x z x z e e 121212=++x x y y z z设计意图：利用向量的数量积等运算来证明结论这种类比的探究对于建立新的数学概念，有利于培养学生的数学抽象、逻辑推理等数学学科核心素养．初步应用例2：已知(2,3,5),(3,3,2)=-=-a b ，求下列向量的坐标；（1）-a b ；（2）2+a b ；（3）5-b师生活动：学生先自行解答，教师给出规范解答过程．预设的答案：（1）-a b =(2,3,5)-(3,3,2)-5,6,3--=（） （2）2+a b =2(2,3,5)(3,3,2)-1,3,12-+-=（）；（3）5-53,3,2(15,15,10)-=-=--（）b设计意图：空间向量坐标运算的简单应用，培养学生的数学运算数学学科核心素养．例3：已知(1,0,1),(2,2,0)==-a b ，求,〈〉a b ；师生活动：学生先自行解答，教师给出规范解答过程．预设的答案：120(2)102⋅=⨯+⨯-+⨯=a b ，2||10=+=a2||2(=+=b ，所以，21cos ,2||||2⋅〈〉===⨯a b a b a b ，因此，,〈〉a b =60． 设计意图：空间向量坐标运算的简单应用，也为后面学习直线与平面的夹角、二面角等做准备．培养学生的数学运算数学学科核心素养．练习：在例3的条件下，求：（1）⋅a b ；（2）在a b 上正射影的数量；师生活动：学生根据例题思路尝试自己解答，教师给出规范解答过程．预设的答案：（1）⋅a b =2；（2）2设计意图：空间向量坐标运算的简单应用，培养学生的数学运算数学学科核心素养．四、归纳小结，布置作业问题5：（1）什么是单位正交基底，单位正交分解，坐标，坐标分量？（2）空间向量的坐标运算有哪些？ 师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：(1)一般地,如果空间向量的基底{123,,e e e }中,123,,e e e 都是单位向量,而且这三个向量两两垂直,就称这组基底为单位正交基底;在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解,而且,如果123=++p xe ye ze ,则称有序实数组(x ,y ,z )为向量p 的坐标,记作p =(x ,y ,z ),其中x ,y ,z 都称为p 的坐标分量.（2）121212,,=⇔===a b x x y y z z 121212(,,)+=+++a b x x y y z z ；121212(,,)+=+++ua vb ux vx uy vy uz vz121212⋅=++a b x x y y z z ；21||=⋅=+a a a x21cos ,||||⋅〈〉==+a b a b a b x设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确空间向量坐标运算的有关知识． 布置作业：教科书第25页练习A1,2题．五、目标检测设计1．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，则3a ＋b 为( )A ．(－2，－3，－2)B ．(2,3,2)C ．(－2,3,2)D ．(4,3,2)设计意图：考查学生对空间向量坐标运算的应用．2.已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，则AB →与CA →的夹角θ的大小是________．设计意图：考查学生对空间向量夹角简单应用．3．已知{e1，e2，e3}是单位正交基底，则p＝－e1＋2e2＋3e3的坐标为________．设计意图：考查学生对空间向量坐标概念的应用．参考答案：1．B[3a＋b＝3(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(3,3,0)＋(－1,0,2)＝(2,3,2)．]2．120°[由于AB→＝(－2，－1,3)，CA→＝(－1,3，－2)，所以AB→·CA→＝(－2)×(－1)＋(－1)×3＋3×(－2)＝－7，|AB→|＝14，|CA→|＝14，所以cos θ＝cos〈AB→，CA→〉＝－714×14＝－12，则θ＝120°．]3．(－1,2,3)[p＝(－1,2,3)．。
围绕核心素养的空间直角坐标系教学设计
㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２０ ２５围绕核心素养的空间直角坐标系教学设计围绕核心素养的空间直角坐标系教学设计Һ魏安龙㊀（南京外国语学校仙林分校中学部，江苏㊀南京㊀２１００４６）㊀㊀ʌ摘要ɔ本文是苏教版必修二空间直角坐标系概念课的教学设计，将从教学目标㊁教学过程中的课前准备㊁课堂互动的问题设计等方面，围绕新课程标准的高中数学核心素养进行设计．在教学反思中，联系高中数学核心素养的每个方面，对教学过程的设计思路㊁情境设计和课堂教学等方面进行总结反思．ʌ关键词ɔ空间直角坐标系；核心素养；设计；教学反思写教学设计，就需要我们按照教学设计的标准模式走，要有明确的教材分析㊁学情分析㊁教学目标㊁教学重难点，过程方面需要有合理的引入环节，以及最后的目标达成情况分析等．一㊁教材分析在２０１０年的普通高中数学课程标准中，空间直角坐标系的内容安排在平面解析几何初步的部分，目的是拓展坐标系的知识，但是这样的安排弊大于利．所以在２０１７版的普通高中数学课程标准中，空间直角坐标系的内容就回归到空间向量与立体几何部分，这样能很好地体现学以致用，有利于培养学生直观想象的核心素养．二㊁学情分析学生在学习这部分知识前，已经理解和掌握了平面直角坐标系的有关知识，对坐标㊁象限等概念和联系有了清晰的认识，通过立体几何初步的学习，已经初步形成空间观念，具有一定的空间想象能力．三㊁教学目标㊁重难点设计１．教学目标空间直角坐标系是在学生具备平面直角坐标系知识，学习了立体几何初步后的课程，是学生学习空间向量的基础．依据核心素养的要求，可设计教学目标如下：（１）通过一维到二维知识结构发展的需要以及笛卡尔故事的具体情境，使学生感受学习空间直角坐标系的必要性；（２）通过类比联想，让学生得出空间直角坐标系的概念，并在此基础上知道右手系的概念；（３）结合平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，类比理解在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法；（４）感受二维平面与三维空间的联系，能通过类比探索空间直角坐标系中的有关结论．２．重点与难点理解空间直角坐标系．四㊁课堂教学过程设计１．课前准备（新课引入）（１）数轴是怎样定义的？如何利用数轴确定直线上点的位置？（２）平面直角坐标系是怎样定义的？如何利用平面直角坐标系刻画点的位置？（３）平面直角坐标系中有哪些重要公式？目前研究了哪些曲线的方程？（４）情境问题：笛卡尔的故事．２．课堂互动问题１：如何定义空间直角坐标系？怎样画？（１）空间直角坐标系的概念，右手直角坐标系（见教材）．（２）空间直角坐标系的画法，空间点的坐标表示（见教材）．（３）空间直角坐标系中区域的划分（如图１），三个坐标平面把空间分成八个部分，即八个卦限，每一部分称为一个卦限．图１问题２：空间直角坐标系中怎样画点？例１㊀在空间直角坐标系中，画出点Ｐ（６，４，５）．分析㊀在空间直角坐标系中画出点Ｐ，可按下列步骤进行操作：Ｏ从坐标原点出发，沿ｘ轴正方向移动６个单位ңＰ１从点Ｐ１出发，沿与ｙ轴平行的正方向移动４个单位ңＰ２从点Ｐ２出发，沿与ｚ轴平行的正方向移动５个单位ңＰ．解㊀作空间直角坐标系Ｏ－ｘｙｚ，并在图中作出点Ｐ１（６，０，０），Ｐ２（６，４，０），最后得出点Ｐ（６，４，５）如图２所示．图２例２㊀在长方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，ＡＢ＝１０，ＡＤ＝８，ＡＡ１＝６．若以点Ａ为坐标原点，以射线ＡＢ，ＡＤ，ＡＡ１分别为ｘ轴㊁ｙ轴㊁ｚ轴的正半轴建立空间直角坐标系，试求这个长方体各个顶点的坐标．解㊀据题意，可得Ａ（０，０，０），Ｂ（１０，０，０），Ｃ（１０，８，０），Ｄ（０，８，０），Ａ１（０，０，６），Ｂ１（１０，０，６），Ｃ１（１０，８，６），Ｄ１（０，８，６）．例３㊀（１）在空间直角坐标系Ｏ－ｘｙｚ中，分别画出三个不共线的点Ａ，Ｂ，Ｃ，并且使这三个点的坐标都满足ｚ＝４，画出图形；（２）写出由Ａ，Ｂ，Ｃ这三个点确定的平面内的点的坐标. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２０ ２５应满足的条件．解㊀（１）取三个点分别为Ａ（０，０，４），Ｂ（５，０，４），Ｃ（０，５，４），如图３．图３（２）因为Ａ，Ｂ，Ｃ三点不共线，因此它们可以确定平面ＡＢＣ，平面ＡＢＣ上点的坐标都满足ｚ＝４，如图３．问题３：二维平面中的结论在三维空间中推广可以得出哪些结论？（见下表）平面直角坐标系空间直角坐标系坐标轴上的点ｘ轴ｙ轴坐标轴上的点ｘ轴ｙ轴ｚ轴坐标平面上的点ｘＯｙ平面ｙＯｚ平面ｚＯｘ平面点Ｐ（ｘ，ｙ）关于坐标轴对称ｘ轴ｙ轴原点Ｏ点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）关于坐标轴对称原点Ｏｘ轴ｙ轴ｚ轴点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）关于坐标平面对称ｘＯｙ平面ｙＯｚ平面ｚＯｘ平面中点公式距离公式直线方程圆的方程中点公式距离公式直线方程球面方程例４㊀试求点Ａ（２，－１，－３）关于空间直角坐标系中ｘＯｙ平面㊁ｚＯｘ平面及原点的对称点．解㊀点Ａ（２，－１，－３）关于ｘＯｙ平面的对称点为Ａ１（２，－１，３），关于ｚＯｘ平面的对称点为Ａ２（２，１，－３），关于原点的对称点为Ａ（－２，１，３）．问题４：本节课你学习了哪些知识？学会了解决哪些问题？经学生总结后绘制思维导图（如图４）．图４３．课后作业（略）五㊁教学目标达成及教学反思空间直角坐标系一课的设计，总体想法是参考老教材㊁老课标，围绕新课标㊁新高考进行设计，围绕核心素养开展教学．１．目标达成分析根据学生的课堂反应以及作业完成的准确程度分析，本节课能很好地达到既定的教学目标，特别是数学抽象函数与直观想象的核心素养得到了进一步培养．２．本节课的教学设计思路新课程标准提出的 数学抽象㊁逻辑推理㊁数学建模㊁直观想象㊁数学运算和数据分析［２］ 等核心素养是本节课设计的主要线索．（１）围绕核心素养的教学目标的确定．重点围绕逻辑推理㊁数学抽象两方面进行目标的制订（见教学目标）．（２）围绕核心素养开展的课堂情境设计．本节课有两个情境，一个是从数学研究的坐标发展方面，另一个是笛卡尔的故事．在这个过程中，渗透了数学抽象㊁逻辑推理㊁数学建模㊁直观想象的核心素养．（３）以类比推理为主线发展核心素养，以空间直观想象为重点，以数学抽象㊁数学建模问题为课堂互动．本课以设计问题串的形式，引导学生提出㊁分析㊁解决问题，在问题解决的过程中渗透核心素养．（４）利用不同的教学手段和展示，提高教学效果，将核心素养的要求落到实处．教师规范的板书是对学生潜移默化的影响．思维导图的设计与呈现是引导学生知识升华㊁思维能力提高的重要手段．本节课的板书设计主要有三个区域：例题演示区，重点内容呈现区，临时板书区．重点是思维导图的设计，它发展了学生的抽象概括水平和逻辑推理能力．３．不足与存在的问题对照 高效课堂操作指南 ，对照新课程标准教学建议中的落实 四基 ㊁培养 四能 （基础知识㊁基本技能㊁基本思想㊁基本活动经验简称 四基 ，提高从数学角度发现和提出问题的能力㊁分析和解决问题的能力简称 四能 ）的要求，以及新课程标准教学建议中 教学目标的制订要突出数学学科核心素养；情境创设和问题设计要有利于发展数学学科核心素养；整体把握教学内容，促进数学学科核心素养的连续性和阶段性发展；既要重视教，更要重视学，促进学生学会学习 的相关内容，本节课有以下不足：（１）概念的呈现速度快，剖析肤浅，留给学生巩固思考的空间有限；（２）教师的规范给了学生潜移默化的影响，但也可能框住学生的思维，有形的影响不如无痕的渗透；（３）需要进一步提高数学修养，广泛且深入地开展理想教育，加强核心素养在每一个知识点方面的修炼和理解．ʌ参考文献ɔ［１］单墫．普通高中课程标准实验教科书数学：必修２［Ｍ］．南京：凤凰教育出版社，２０１２．［２］中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０１８．. All Rights Reserved.。
1.3.1 空间直角坐标系教学设计-2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
1.3.1 空间直角坐标系一、教学目标1、了解掌握空间直角坐标系；2、通过类比的方式快速掌握空间直角坐标系及其应用.二、教学重点、难点重点：空间直角坐标系的理解与掌握. 难点：空间直角坐标系的熟练应用.三、学法与教学用具1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.2、教学用具：多媒体设备等四、教学过程（一）创设情景，揭示课题平面向量与平面直角坐标系的关系OA xi y j =+向量a 的坐标表示为(,)a x y =已知1122(,),(,)A x y B x y ，则2121(,)AB x x y y =--布置学生阅读课本1617P P -，思考空间向量与平面向量的类比关系，观察两种向量的关联与区别.（二）阅读精要，研讨新知【类比转化】通过空间向量与平面向量的类比，快速掌握空间向量在空间直角坐标系中空间向量与空间直角坐标系空间直角坐标系Oxyz ，其中{,,}i j k 为单位正交基底，O 为原点，坐标轴为x 轴、y 轴、z 轴，坐 标平面为Oxy 平面，Oyz 平面，Ozx 平面，且把空间分成八个部分.本书建立的皆为右手直角坐标系.OA xi y j zk =++点(,,)A x y z 中的x 叫做横坐标，y 叫做纵坐标，z 叫做竖坐标.a xi y j zk =++向量a 的坐标表示为(,,)a x y z =【例题研讨】阅读领悟课本18例1（用时约为1分钟，教师作出准确的评析.） 例1如图 1.3-6， 在长方体OABC D A B C ''''-中，3,4,2OA OC OD '=== 以111{,,}342i j k 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz . （1）写出,,,D C A B '''四点的坐标；（2）写出向量,,,A B B B A C AC ''''''的坐标.解：（1）因为002OD i j k '=++，所以(0,0,2)D '， 因为040OC i j k =++，所以(0,4,0)C ，点A '在x 轴，y 轴，z 轴上的射影分别为,,A O D ' 且在坐标轴上的坐标分别为3,0,2 所以(3,0,2)A '点B '在x 轴，y 轴，z 轴上的射影分别为,,A C D ' 且在坐标轴上的坐标分别为3,4,2 所以(3,4,2)B '.（2）040(0,4,0)A B OC i j k ''==++=，002(0,0,2)B B OD i j k '=-=+-=-340(3,4,0)A C A D D C i j k ''''''=+=-++=-342(3,4,2)AC AO OC CC i j k ''=++=-++=-. 【小组互动】完成课本18P 练习1、2、3、4，同桌交换检查，老师答疑.【练习答案】（三）探索与发现、思考与感悟1．在空间直角坐标系中，点(2,1,4)P -关于点()2,1,4M --的对称点的坐标是（ ） A ．(0,0,0) B ．214()--，， C ．6312()--，， D ．2312()-，， 解：设所求对称点为,(),P x y z '，则点M 为线段PP '的中点， 类比直角坐标系中的中点坐标公式可得222112442x yz-+⎧=⎪⎪+⎪=-⎨⎪+⎪=-⎪⎩，解得6,3,12x y z ==-=-，故选C2.已知棱长为3的正四面体A BCD -，O 为A 在底面BCD 上的射影，建立如图所示的空间直角坐标系，点B 的坐标是_________．解：由已知BCD ∆为边长为3的正三角形，则BC 33所以01333233360332B B y x =-==-=-， 所以点B 的坐标为33(0)2-，. 答案：33(0)2--， 3.（多选）在空间直角坐标系中，已知点(,,)P x y z ，那么下列说法正确的是（ ） A ．点P 关于x 轴对称的点的坐标是1(,,)P x y z -；B ．点P 关于yOz 平面对称的点的坐标是2,(,)P x y z --；C ．点P 关于xOy 平面对称点的坐标是3(,,)P x y z -；D ．点P 关于原点对称点的坐标是4(,,)P x y z ---．解：对于A ，(,,)P x y z 关于x 轴对称的点的坐标是()1,,P x y z --，故A 错误； 对于B ，(,,)P x y z 关于yOz 平面对称的点的坐标是()2,,P x y z -，故B 错误； 对于C ，(,,)P x y z 关于xOy 平面对称的点的坐标是()3,,P x y z -，故C 正确； 对于D ，(,,)P x y z 关于原点对称点的坐标是()4,,P x y z ---，故D 正确. 故选CD（四）归纳小结，回顾重点空间向量与空间直角坐标系空间直角坐标系Oxyz，其中{,,}i j k 为单位正交基底，O 为原点，坐标轴为x 轴、y 轴、z 轴，坐 标平面为Oxy 平面，Oyz 平面，Ozx 平面，且把空间分成八个部分.本书建立的皆为右手直角坐标系.OA xi y j zk =++点(,,)A x y z 中的x 叫做横坐标，y 叫做纵坐标，z 叫做竖坐标.a xi y j zk =++向量a 的坐标表示为(,,)a x y z =（五）作业布置，精炼双基1.完成课本22P 习题1.3 1、2、32.预习1.4 空间向量的应用五、教学反思：（课后补充，教学相长）。
高中数学必修二《空间直角坐标系》优秀教学设计
4.3空间直角坐标系4.3.1空间直角坐标系教材分析本节课内容是数学必修2 第四章圆与方程的最后一节的第一小节。
课本之所以把“空间直角坐标系”的内容放在必修2的最后即第四章的最后，原因有三：一、“空间直角坐标系”的内容为以后选修中用空间向量解决空间中的平行、垂直以及空间中的夹角与距离问题打基础，做好准备；二、必修2第三、四章是平面解析几何的基础内容，本节“空间直角坐标系”的内容是空间解析几何的基础，与平面解析几何的内容共同体现了“用代数方法解决几何问题”的解析几何思想；三、本套教材从整体上体现了“螺旋式上升”的思想，本节内容安排“空间直角坐标系”，为以后的学习作铺垫，正是很好地体现了这一思想。
本小节内容主要包含空间直角坐标系的建立、空间中由点的位置确定点的坐标以及由点的坐标确定点的位置等问题。
结合图形、联系长方体和正方体是学好本小节的关键。
课时分配本小节内容用1课时的时间完成，主要讲解空间直角坐标系的建立以及空间中的点与坐标之间的联系。
教学目标重点：空间直角坐标系，空间中点的坐标及空间坐标对应的点。
难点：右手直角坐标系的理解，空间中的点与坐标的一一对应。
知识点：空间直角坐标系的相关概念，空间中点的坐标以及空间坐标对应的点。
能力点：理解空间直角坐标系的建立过程，以及空间中的点与坐标的一一对应。
教育点：通过空间直角坐标系的建立，体会由二维空间到三维空间的拓展和推广，让学生建立发展的观点；通过空间点与坐标的对应关系，进一步加强学生对“数形结合”思想方法的认识。
自主探究点：如何由空间中点的坐标确定点的位置。
考试点：空间中点的确定及坐标表示。
易错易混点：空间中的点与平面内的点以及它们的坐标之间的联系与区别；空间直角坐标系中x轴上单位长度的选取。
拓展点：不同空间直角坐标系下点的坐标的不同；空间中线段的中点坐标公式。
教具准备多媒体课件和三角板课堂模式师生互动、小组评分以及兵带兵的课堂模式。
一、引入新课由数轴上的点和平面直角坐标系内的点的表示引入空间中点的表示。
数学空间直角坐标系教学设计
（2）为什么？
不能。住楼上的不能在平面直角坐标系里正确反映。
由现实中的例子将平面直角坐标系推广。
为了准确表示自己的住处。我们需要如何变化坐标系才可以准确表示我们的住处?
在坐标系中加入一个竖着的轴。
引出空间直角坐标系。
1.、现用我们熟悉的单位正方体做模型来建立。（PPT页3）
高一数学
空间直角坐标系
教学知识点：1，空间直角坐标系的建立。
2，空间中任意点的概念，画法。
3，中点，对称点的求法。
教学重难点：空间直角坐标系的建立。
教学流程:
↓
↓
↓
↓
配套：（空间直角坐标系.ppt）
教学过程：
老师
学生
教学意图
引入：现在大家都住在学校附近，以学校及其周边的地面建立平面直角坐标系。大家的住处就能显示在上面了。（PPT页2）
课堂教学总结:
本节课学习了空间直角坐标系的概念及其相关内容，重在使学生熟悉空间直角坐标系，并能灵活运用它来帮助解决实际问题。
重视知识与实际的联系。通过例题讲解，诱导学生自主分析归纳出教学知识，活泼课堂气氛。
重视引导学生，在老师的带领下让学生自然轻松地学会空间直角坐标系及其相关内容。为后面的空间两点间距离公式做准备。
思考，书写。
初步运用空间直角坐标系。
3、例，（PPT页5）已知点M（1，2，3），在空间直角坐标系中画出它的位置。
（介绍空间直角坐标系中点的作法。）
学习，作图。
让学生了解空间中任意点的画法。
练习：已知点N（-2，2，-1），在空间直角坐标系中画出它的位置。
作图。
让学生熟悉空间直角坐标系中任意点的作法。
《空间直角坐标系》教学设计 (3)
《空间直角坐标系》教学设计一、教学目标：1、知识技能目标：（1）能说出空间直角坐标系的构成，特征。
（2）会自己画出空间直角坐标系。
（3）能够在空间直角坐标系下表示点。
2、过程与方法：尝试自己建立空间直角坐标系，在这一过程中体会空间直角坐标系的特点。
3、情感目标：培养学生严谨的学习态度以及勇于探索的学习精神。
说明：教学目标是在进行了学习者的学习需求分析基础上制定的，分析了学习者的现有状态、想要达到的理想状态、以及当前存在的问题，针对这些制定出学习目标。
教学目标分为认知领域、动作技能领域和情感态度领域三维目标。
在制定具体教学目标时，使用行为动词进行表述，这样才可以使教学目标更具有可操作性。
二、教学任务分析1、学生的起点能力：学生已经掌握平面直角坐标系的知识，又学习了立体几何内容，具备了一定的空间想象能力。
2、学习类型与先决条件：本课属于智力技能中的规则学习，先决条件是规则中的有关要领要先行掌握。
课时安排：1课时说明：任务分析是教学目标设计的一个重要组成部分，它是对学生完成任务所允许的条件进行分析。
因此在进行教学目标设计时，需要见其作为目标设计的一部分。
教学重点和难点重点：空间直角坐标系的建立过程难点：空间任意点的坐标如何表示教学方法：探究式教学手段：实物模型，多媒体教学任务：课前准备：学生根据自己的预习制作空间直角坐标系模型由实际问题引出空间直角坐标系，探索空间直角坐标系的建立方法讨论分析空间任意点的坐标表示说明：教学任务的制定采用了“信息加工分析法”将学习过程看作是信息流的流动过程，所以这种方法强调任务分析过程中的连续性。
三、教学过程说明：根据布鲁纳发现学习的教学理论，学习过程分成以下几步：创设问题情境，使学习者在情境中产生矛盾，提出要解决的问题；学习者利用所提供的材料，对问题提出假设，并检验假设，不同观点可以争论；对争论作出总结，得出结论。
这种发现学习的教学顺序，实际上就是从具体到抽象的教学顺序，它有利于激发学习者的智慧潜能，有利于培养学习者的内在动机，学会发现的技巧。
1.3.1空间直角坐标系(教学教学设计)-高二数学同步备课系列(人教A版2019选择性必修第一册)
- 提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。
教学方法/手段/资源：
- 讲授法：通过详细讲解，帮助学生理解空间直角坐标系的基本概念和性质。
- 实践活动法：设计小组讨论，让学生在实际操作中加深对坐标系的理解。
- 合作学习法：通过小组讨论等活动，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
在能力方面，学生已经具备了一定的逻辑推理能力和数学抽象能力。他们能够通过例题解析和实际问题解决，运用逻辑推理方法，掌握空间直角坐标系的运算规则和解题方法。然而，空间想象能力是学生在学习空间直角坐标系时面临的一大挑战。空间直角坐标系是一个三维的概念，学生需要具备良好的空间想象能力，才能更好地理解和运用空间直角坐标系。
r = √(x^2 + y^2 + z^2)
其中，r表示点P到原点O的距离。
4. 坐标点的坐标应用
①坐标应用的定义：坐标应用是指在空间直角坐标系中，利用坐标点的坐标值进行实际应用的过程。
作用与目的：
- 帮助学生深入理解空间直角坐标系的基本概念和性质，掌握其在数学中的应用。
- 通过实践活动，培养学生的动手能力和解决问题的能力。
- 通过合作学习，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
3. 课后拓展应用
教师活动：
- 布置作业：根据空间直角坐标系的性质和应用，布置适量的课后作业，巩固学习效果。
教学实施过程
1. 课前自主探索
教师活动：
- 发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标和要求。
- 设计预习问题：围绕空间直角坐标系的概念和性质，设计一系列具有启发性和探究性的问题，引导学生自主思考。
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公开课教案
定远民族中学郑青云
课题：§4.3.1空间直角坐标系
※教学目标：
知识与技能：
1、掌握空间直角坐标系的建立过程和相关概念
2、学会在坐标系中找出空间点的位置，会写一些简单几何体中有关点的
坐标
过程与方法：
1、经历运用空间直角坐标系来描述空间图形的过程，初步建立数感和空
间感，从空间的点的坐标培养学生的空间想象能力、抽象思维和探索能
力。
2、通过类比、迁移、的方法得出空间直角坐标系的建立的过程和空间点
的坐标确定的方法。
情感、态度与价值观：
1、让学生认识到数学与日常生活的密切联系，从而能够积极的参与数学
的学习活动。
2、通过学生的自主学习和合作学习，培养学生合作精神。
※教学重、难点：
重点：空间直角坐标系的建立，点在空间直角坐标系中的坐标表示
难点：通过建立适当的空间直角坐标系来确定空间点的坐标，以及相关的应用。
※教学准备：
教师准备：制作本节图4.3-1、图4.3-2、图4.3-3、图4.3-4、图4.3-5和食盐晶体模型的投影片
学生准备：直尺和正方形纸片
※教学过程：
（一）问题情境、导入课题
【投影】问题1、数轴Ox上的点M，用代数的方法怎样表示呢？
问题2、直角坐标平面上的点M，怎样表示呢？
问题3、怎样确切的表示室内灯泡的位置？
（学生复习回顾后回答问题1和问题2，思考、讨论后回答）【点拨】1、问题1和问题2是确定点在直线和直角坐标平面的位置的方法。
2、问题3是空间点的位置确定的问题，我们可以类比平面直角坐
标的方法，建立空间直角坐标系来确定空间点的位置（板书课题）（二）师生互动、探究新知
1、空间直角坐标系的建立
【投影】问题4、空间中的点M用代数的方法又怎样表示呢？
y
（教师设问）空间直角坐标系该如何建立呢？
【投影】（1）直角坐标系的建立过程
如图：OABC-DABC 是单位正方体，以O 为原点，分别以射线OA,OC,OD 的方向为正方向，以OA,OC,OD 的长为单位长，建立三条数轴： x 轴、y 轴、z 轴．这时我们说建立了一个空间直角坐标系O-xyz ，其中点O 叫做坐标原点， x 轴（横轴）、y 轴（纵轴）、z 轴（竖轴）叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面．（引导学生仔细观察和理解）
【说明】①三条数轴两两相互垂直且相交于原点O ，同时都有相同的单位
长度
②任意两条确定一个平面，共有三个平面，称坐标平面
③三个坐标平面把空间分成8个部分（让同学动手操作亲历感受）
【投影】（2）空间直角坐标系的画法
（3）右手直角坐标系
2、空间点的坐标表示
【投影】合作探究：
有了空间直角坐标系，那空间中的任意一点Ａ怎样来表示它的坐标呢？
（设问）平面直角坐标系中的点与坐标有着一一对应关系，那么在空
间直角坐标系中点与三维有序实数组之间也有一一对应关系
吗？（学生自行阅读教材P134）
【点拨】是一一对应关系。
3、坐标平面及坐标轴上的点的特征
【投影】练习：如图，OABC —A ’B ’C ’D ’是单位正方体．以O 为原点，分别以射线OA ,OC , OD ’的方向为正方向，以线段OA ,OC , OD ’的长为单位长，建立空间直角坐标系O —xyz ．试说出正方体的各个顶点的坐标．并指出哪些点在坐标轴上，哪些点在坐标平面上
（师生共同完成后，投影幻灯片）
【投影】想一想？
在空间直角坐标系中,x 、y 、z 坐标轴上的点、xoy 、xoz 、yoz 坐标平面
内的点的坐标各有什么特点？
（学生思考、讨论后教师总结）
（三）典型例题、解释应用
【投影】例1:如图在长方体OABC-A 1B 1C 1D 1 中,|OA|=3,|OC|=4,|OD 1|=2,写出点D 1,C,A 1,B 1的
坐标及BB 1的中点M 的坐标和A1AOO1的对角线的交点N 的坐标.. 目标：学生在教师的指导下完成，加深对点的坐标的理解.
（解的分析和过程见投影）
【投影】例2:结晶体的基本单位称为晶胞,下图是食盐晶胞的示意图(可看成八个棱长是2
1的小正方体堆积成的正方体),其中色点代表钠原子,黑点代表绿原子.如图建立空间直角坐标系,试写出全部钠原子所在的位置的坐标.
目标：教师引导学生先阅读教材,根据建立的空间直角坐标系，写出所求
点的坐标.
（解的分析和过程见投影）
（ 四）随堂练习、巩固新知
练习1、教材P136练习第2小题
（五）课堂小结、温故知新
1、空间直角坐标系的建立
2、空间直角坐标系的画法
3、空间直角坐标系中点的坐标表示方法及点与坐标的一一对应关系
（六）布置作业
教材P136练习第1、3小题。
（七）板书设计：
§4.3.1空间直角坐标系
一、空间直角坐标系的建立
1、建立过程
2、空间直角坐标系画法
3、空间直角坐标系是右手系
二、空间坐标系中点的坐标表示方法
三、坐标系中特殊点的坐标特征
1、坐标轴上点的坐标特征
2、坐标平面上点的坐标特点
四、例题分析。