二次函数的图像(顶点式)
二次函数的图像及其三种表达式
二次函数的图像及其三种表达式学生：时间：学习目标1熟悉常见的二次函数的图像；2、理解二次函数的三种表达式知识点分析1、•二次函数的三种表达式一般式：y=ax A2+bx+c (a, b, c 为常数，a老)顶点式：y=a(x-h)A2+k [ 抛物线的顶点P (h, k)]交点式：y=a(x-x1)(x-x2)[ 仅限于与x轴有交点A (x1 , 0)和B (x2 , 0)的抛物线]2、一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=axA2+bx+c (a, b, c为常数，a M),且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，lal还可以决定开口大小，lal越大开口就越小，lal越小开口就越大.) 则称y 为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
例题精讲2例题1已知函数y=x + bx +1的图象经过点(3, 2).(1)求这个函数的表达式；(2)画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；(3)当x > 0时，求使y》2的x的取值范围.例题2、一次函数y=2x + 3，与二次函数y=ax2+ bx + c的图象交于A ( m 5)和B (3, n)两点，且当x=3时，抛物线取得最值为9.(1)求二次函数的表达式；(2)在同一坐标系中画出两个函数的图象；(3)从图象上观察，x为何值时，一次函数与二次函数的值都随x的增大而增大. (4)当x为何值时，一次函数值大于二次函数值？随堂练习1.已知函数y=ax2+ bx+ c(a M0)的图象，如图①所示，则下列关系式中成立的是(b b b b——=12a 21 2A. y= (x—1) +22 B.y=1 (x—1) 2+2 21 2 1 2C.y =丄(x — 1)2-3D.y =l (x +2)2- 12 23. 抛物线y =- 2x 2-x +1的顶点在第 ______ 象限A. 一B. 二C.三D.四4. 不论m 取任何实数，抛物线 y =a (x +m )2+m (a * 0)的顶点都A.在y =x 直线上B.在直线y =-x 上C.在x 轴上D.在y 轴上25. 任给一些不同的实数 n ,得到不同的抛物线 y =2x +n ，如当n =0,± 2时，关于这些抛物线 有以下结论：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状都相同；④都有最低点，其中判 断正确的个数是A.1个B.2 个C.3 个D.4 个6. 二次函数y =x 2+p x +q 中，若p+q=O ,则它的图象必经过下列四点中,-1)C.(-1,- 1) D.(1 , 1)7. 下列说法错误的是A. 二次函数y =— 2x 2中，当x =0时，y 有最大值是0B. 二次函数y =4x 2中，当x >0时，y 随x 的增大而增大2 2 2 2 . . 2 . .C. 在三条抛物线 y =2x , y =- 0.5 x , y =-x 中，y =2x 的图象开口最大，y =- x 的图象开 口最小D. 不论a 是正数还是负数，抛物线y =ax 2( a 工0)的顶点一定是坐标原点8. 已知二次函数 y =x 2+(2k +1)x +k 2— 1的最小值是0,贝U k 的值是219. 小颖在二次函数 y =2x +4x +5的图象上，依横坐标找到三点(—1, y"，( — , y 2),(-213丄，y 3)，则你认为y 1, y 2,小的大小关系应为2A. y 1 >y 2>y 3B.y 2>y 3>y 1 C. y 3>y 1>y 2 D. y 3>y 2>y 11 210. 抛物线y =-(x +3)的顶点坐标是 __________ .211. _____________________________________________________________ 将抛物线y =3x 2向上平移3个单位后，所得抛物线的顶点坐标是 ______________________________ .4 212. 函数y =-x - 2- 3x 有最 ________ 值为 ____ .313. 已知抛物线 y =ax 2+bx +c 的图象顶点为(—2, 3)，且过(—1, 5)，则抛物线的表达式为 14. ________________________________________________________________ 二次函数y =m )2+2x +m- 4n i 的图象过原点，则此抛物线的顶点坐标是 ______________________15. 抛物线y=ax 2 + bx + c (c 丰0)如图②所示，回答：(1) _______________________________________ 这个二次函数的表达式是 ; (2) 当 x= _____ 时，y=3;16. 抛物线y=ax 2 + bx + c (c 丰0)如图②所示，回答：(1) _______________________________________ 这个二次函数的表达式是 ; (2) 当 x= _____ 时，y=3;A.( - 1, 1)B.(1 B.C.D.(3)根据图象回答：当x __________________ 时，y>0.17. ____________________________ 已知抛物线y= - x2+( 6- 2k) x+ 2k- 1与y轴的交点位于(0, 5) 上方，则k的取值范围是__ .18. —根长为100 m 的铁丝围成一个矩形的框子，要想使铁丝框的面积最大，边长分别为19. ________________________________________________________________________ 若两个数的差为 3,若其中较大的数为 x ，则它们的积y 与x 的函数表达式为 __________________ _，它有最 _________ 值，即当 x= _________ 时，y= _________ . 20. 边长为12cm 的正方形铁片，中间剪去一个边长为 x 的小正方形铁片，剩下的四方框铁 片的面积y (cm )与x (cm )之间的函数表达式为 ______________________ . 21. 等边三角形的边长 2x 与面积y 之间的函数表达式为 .22. ____________________________________________________________________ 抛物线y=x 2 + kx — 2k 通过一个定点，这个定点的坐标为 __________________________________ . 23. 已知抛物线 y=x 2 + x + b 2经过点(a , — 1 )和(一a , yj ,则y 1的值是 ________________ .424. 如图，图①是棱长为 a 的小正方体，②、③是由这样的小正方体摆放而成，按照这样的 方法继续摆放，由上而下分别叫第一层、第二层……第n 层，第n 层的小正方体的个数记 为S,解答下列问题：(1)按照要求填表:n1234s1 3 6(2) 写出当n=10时，S= __________ .(3) 根据上表中的数据，把 S 作为纵坐标，n 作为横坐标，在平面直角坐标系中描出 相应的点.(4) 请你猜一猜上述各点会在某一函数图象上吗？如果在某一函数的图象上，求出该 函数的表达式.25. 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过 程.图中二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润 S (万元)与销售时间a由(D ②(月)之间的关系(即前t个月的利润总和根据图象提供的信息，解答下列问题：(1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润式；(2)求截止到几月末公司累积利润可达到S与t之间的关系).S (万元)与时间t (月)之间的函数表达30万元;(3)求第8个月公司所获利润是多少万元?精品文档欢迎您的下载，资料仅供参考!致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。
二次函数抛物线顶点式顶点坐标顶点式y=a(x-h)^2+k
二次函数抛物线顶点式顶点坐标 顶点式：y=a(x-h)^2+k 顶点坐标：(-b/2a,(4ac-b^2)/4a) 在二次函数的图像上 顶点式：y=a(x-h)^2+k 抛物线的顶点P（h,k） 顶点坐标：对于二次函数 y=ax^2+bx+c 其顶点坐标为 (-b/2a,(4ac-b^2)/4a)考点扫描 1．会用描点法画出二次函数的图象． 2．能利用图象或配方法确定抛物线的开口方向及对称轴、顶点的位置． 3．会根据已知图象上三个点的坐标求出二次函数的解析式． 4. 将一般式化为顶点式。
讲解 1．二次函数y=ax2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k，y=ax2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表： 解析式 y=ax2 y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 顶点坐标 (0，0) (h，0) (h，k) () 对 称 轴 x=0 x=h x=h x= 当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到， 当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到． 当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象； 当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象； 当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象； 当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象； 因此，研究抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便． 2．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=，顶点坐标是()． 3．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x≤时，y随x的增大而减小；当x≥时，y随x的增大而增大．若a<0，当x≤时，y随x的增大而增大；当x≥时，y随x的增大而减小． 4．抛物线y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的交点： (1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)； (2)当△=b2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x1,0)和B(x2,0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x2-x1|=． 当△=0．图象与x轴只有一个交点； 当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0． 5．抛物线y=ax2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x=时，y最小(大)值=． 顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值． 6．用待定系数法求二次函数的解析式 (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式： y=ax2+bx+c(a≠0)． (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h) 2+k(a≠0)． (3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)． 7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。
初三数学《二次函数》考点整理与例题解析
初三数学《二次函数》考点整理与例题解析二次函数重难点分析:1、二次函数的图像2、二次函数的性质以及性质的综合应用3、二次函数的应用性问题：①面积最值问题②高度、长度最值问题③利润最大化问题④求近似解知识点归纳：1、二次函数的概念y=ax2+bx+c(a≠0)2、求二次函数的解析式一般式y=ax2+bx+c、顶点式y=a（x+m）2+k交点式y=a（x-x1）(x-x2)3、二次函数的图像和性质当a>0时，图像开口向上，有最低点，有最小值当a<0时，图像开口向下，有最高点，有最大值顶点式对称轴：直线x=-m一般式对称轴：直线x=-b/2a交点式对称轴：直线x=（x1+x2）/24.二次函数图像的平移函数y=a（x+m）2+k的图像，可以由函数y=ax2的图像先向右（当m<0时）或向左（m>0时）平移|m|个单位，再向上（当k>0时）或向下（当k<0时）平移|k|个单位得到5、抛物线与系数的关系二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
常数项c决定抛物线与y轴交点抛物线与y轴交于（0，c）抛物线与x轴交点个数?= b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
?= b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
?= b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点知识拓展：初中数学最重要的部分，在中考中占的比重大，跟其他知识点联系多，以数形结合的题型考查几何，解方程、代数等都相互联系，知识点多题型多变，压轴题多以此为出题点1、考查形式：以选择题、填空题形式考察二次函数图像的性质，以解答题形式考察以二次函数为载体的综合题。
2、考察趋势：二次函数图像与系数的关系，二次函数的应用仍是重点3、二次函数求最值的应用：依据实际问题中的数量关系，确定二次函数的解析式，结合方程、一次函数等知识解决实际问题（对于二次函数最大（小）值的确定，一定要注意二次函数自变量的取值范围，同时兼顾实际问题中对自变量的特殊约定，结合图像进行理解）经典例题。
二次函数解析式顶点式
二次函数解析式顶点式1. 引言大家好，今天咱们来聊聊一个听起来有点高深的数学话题——二次函数的顶点式。
说到二次函数，可能有的小伙伴会觉得这是个“深不可测”的领域，其实不然。
二次函数就像是一个会“打滚”的球，有它自己的起伏和节奏，了解它之后，你会发现这其中的奥秘其实非常简单，也很有趣。
别担心，今天我会用最简单的语言和最轻松的方式来给大家讲解。
2. 什么是二次函数？2.1 二次函数的定义首先，我们得知道什么是二次函数。
简单来说，二次函数就是形如 ( y = ax^2 + bx + c ) 的数学表达式。
这里的 ( a )、( b ) 和 ( c ) 可不是随便写的，它们是常数，其中 ( a ) 不能等于零哦。
要是 ( a ) 等于零了，那就变成了一次函数，跟我们今天的主题可就没关系啦。
2.2 二次函数的图像接下来，咱们聊聊这个二次函数的图像。
想象一下，二次函数的图像就像是一座大山，山顶就是它的最高点或最低点，取决于 ( a ) 的符号。
要是 ( a ) 是正的，图像就像微笑的弯曲，称为“开口向上”；如果 ( a ) 是负的，那就是愁眉苦脸的样子，叫做“开口向下”。
所以，二次函数就有点像人生，有高兴也有低谷，真是颇具哲理呀！3. 顶点式的形成3.1 顶点式的定义说到顶点，咱们就得介绍一下顶点式。
顶点式是二次函数的一种表现形式，写作( y = a(x h)^2 + k )，其中 ( (h, k) ) 就是这个二次函数的顶点坐标。
就像每个人都有自己的特点，二次函数也有它的“个性”，通过顶点式，我们可以一眼看出它的“明星”在哪里。
3.2 如何转换为顶点式那么，如何把普通的二次函数变成顶点式呢？这就涉及到一个叫“完全平方法”的小技巧。
听起来复杂，但其实就像把一个脏衣服洗干净一样。
你只需要把 ( ax^2 + bx + c ) 转换成 ( a(x h)^2 + k ) 的形式。
简单的步骤是，先提取出 ( a )，然后在括号里搞定( (x h)^2 ) 的部分，最后再加上常数项 ( k )。
二次函数图像(顶点式)-2022年学习资料
例1.已知函数y=-3x-22+9:-确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标：-该函数可由y= 3x2的图像经过怎样的平移得到？-当X=-时，函数有最-值，是-4-时，y随x的增大而增大；x-时，y随x的增大而减小；-5-求出该抛物线与x轴，y轴的交点坐标
例2.已知一个二次函数，它的顶点坐标与抛物线-y=x一12一2的顶点坐标关于原点对称，其图像经 过点A2,-16,求该二次函数的解析式。
指出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：-1y=-6x2-3-向下-X3y=-x+12-1-X=-1-1,-1-4y=0.4x-22 2-X=2-2,2-5y=-2x2-0,0-6y=7x+22-1-X=-2--2,1-7y=-22-2-2,-2-8y=-x-12+1-1,1
y=ax-h2+k的图像性质：-对称轴：X=h-顶点坐标：h,k-参数a、h、k对图像的影响：
小结：y=ax-h2+k的图像性质-a>0-a<0-简图-开口方向-向上-向下-对称轴-x=h 顶点坐标-h,k-增减性-x<h,y随x增大而减小-x<h,y随x增大而增大-x>h,y随x增 而增大-x>h,y随x增大而减小-最值-当x=h,Y最小=k-.当x=h,y最大=k-开口大小 Ia越大，开口越小，y随x变化的速度越快
小结：y=ax-h2+k的图像性质-a>0-a<0-简图-开口方向-向上-向下-对称轴-x=h 顶点坐标-h,k-增减性-x<h,y随x增大而减小-x<h,y随x增大而增大-x>h,y随x增 而增大-x>h,y随x增大而减小-最值-当x=h,Y最小=k-.当x=h,y最大=k-开口大小 Ia越大，开口越小，y随x变化的速度越快
九年级数学 二次函数顶点公式
二次函数顶点公式对于二次函数y=ax^2+bx+c其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)交点式：y=a(x-x₁)(x-x ₂) [仅限于与x轴有交点A（x₁，0）和B（x₂，0）的抛物线]其中x1，2= -b±√b^2－4ac顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P（h，k）]一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:h=-b/2a= （x₁+x₂）/2 k=(4ac-b^2)/4a 与x轴交点：x₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2a抛物线y=ax²+bx+c 的图象与坐标轴的交点：(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；(2)当△=b²-4ac>0，图象与x轴交于两点A( ,0)和B( ,0)，其中的 , 是一元二次方程y=ax²+bx+c(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=| - |.当△=0,图象与x轴只有一个交点；当△<0,图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．用待定系数法求二次函数的解析式(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax2+bx+c(a≠0)．(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0)．(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0)．二次函数顶点坐标公式及推导过程二次函数顶点式及推导过程二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0) 二次函数的顶点式：y=a(x-h)^2+k k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k)推导过程：y=ax^2+bx+cy=a(x^2+bx/a+c/a)y=a(x^2+bx/a+b^2/4a^2+c/a-b^2/4a^2)y=a(x+b/2a)^2+c-b^2/4ay=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a对称轴x=-b/2a顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)2二次函数的其他表达式交点式[仅限于与x轴即y=0有交点时抛物线，即b2-4ac≥0] a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。
二次函数顶点式正负号
二次函数顶点式正负号二次函数的顶点式可以表示为：$$y=a(x-h)^2+k$$其中，$(h,k)$为顶点坐标，$a$为开口方向和开口程度的系数。
在这个式子中，正负号起到了重要的作用。
我们来讨论$a$的正负号对二次函数的开口方向的影响。
当$a$为正数时，二次函数的开口方向向上，形状类似于一个"U"；当$a$为负数时，二次函数的开口方向向下，形状类似于一个"∩"。
这是因为$a$决定了二次函数的凹凸性质，正数对应凹形，负数对应凸形。
我们来讨论顶点坐标$(h,k)$中$k$的正负号对二次函数的顶点位置的影响。
当$k$为正数时，顶点在$y$轴上方；当$k$为负数时，顶点在$y$轴下方。
这是因为顶点的纵坐标$k$决定了二次函数的最低点或最高点的位置。
二次函数顶点式正负号的不同会影响二次函数的开口方向和顶点的位置。
通过改变正负号，我们可以得到不同形状的二次函数图像。
接下来，我们将通过实例来进一步说明二次函数顶点式正负号的作用。
例1：$y=2(x-3)^2+1$在这个例子中，$a$的正负号为正，表示二次函数的开口方向向上。
顶点坐标为$(3,1)$，其中$k$的正负号为正，表示顶点在$y$轴上方。
根据这些信息，我们可以确定这个二次函数的图像是一个开口向上的"U"形，最低点在$(3,1)$处。
例2：$y=-2(x+1)^2-4$在这个例子中，$a$的正负号为负，表示二次函数的开口方向向下。
顶点坐标为$(-1,-4)$，其中$k$的正负号为负，表示顶点在$y$轴下方。
根据这些信息，我们可以确定这个二次函数的图像是一个开口向下的"∩"形，最高点在$(-1,-4)$处。
通过以上两个例子，我们可以看出二次函数顶点式的正负号对二次函数的图像形状起到了至关重要的作用。
正负号不同，开口方向和顶点位置也会有所变化。
总结起来，二次函数顶点式正负号决定了二次函数的开口方向和顶点的位置。
二次函数所有表达式
二次函数所有表达式
二次函数是一种常见的数学函数，它的一般表达式为
y=ax^2+bx+c，其中a、b、c都是常数。
除了一般表达式，二次函数还可以用其他形式来表示。
1. 顶点式：y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点坐标。
2. 截距式：y=a(x-p)(x-q)，其中p、q分别为x轴上的两个点的坐标。
3. 标准式：(x-h)^2/4p+(y-k)^2/4q=1，其中(h,k)为椭圆的中心坐标，2p为椭圆在x轴上的轴长，2q为椭圆在y轴上的轴长。
4. 参数式：x=acosθ，y=bsinθ，其中(a,b)为椭圆的长短半轴长度，θ为椭圆上某一点与x轴正方向的夹角。
了解不同的二次函数表达式，可以更方便地进行函数的转化、计算和图像绘制。
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学习目标: 1、会用描点法画出函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k 的图像
2、通过画图像会总结出二次函数的平移规律
学习重点: 1．会用描点法画出二次函数
的图像
2．知道抛物线
的对称轴与顶点坐标； 学习难点:确定形如 的二次函数的顶点坐标和对称轴。
一、自主探究：
1、在同一坐标系中画出函数y=3 x 2 , y=3(x-1)2 ，y=3（x+1）2的图像 观察图像完成下表：
2、在（1）中的坐标系中画出y=3(x-1)2+2的图像，它与y=3(x-1)2的图像有什么联系？与y=3 x 2呢？
二、研讨展示： 1、重点研讨：
研讨一、观察函数y= 3x 2 , y=3(x-1)2 , y=3(x+1)2的图像，回答问题： （1）它们的形状_________，位置____________.
(2)函数y= 3x 2 y=3(x-1)2的图像与函数y=3(x+1)2的图像有什么联系？
研讨二、观察函数y= 3x 2 , y=3(x-1)2，y=3(x-1)2+2的图像，（1）填写下表
（2）二次函数y ＝a(x －
h)2+k 图象及性质 ：
归纳总结：（1）函数y=a(x-h)2（a ≠0）的图像可以看作是由y=ax 2的图像沿 轴
向 平移 个单位得到。
（2）函数y=a(x-h)2+k 的图像是由y=a(x-h)2的图像向 平移 个单位得到；是由y=ax 2向左或向右平移_______个单位，再向上或向下平移___________个单位得到的。
平移规律“ 加 减， 加 减”
.2、巩固练习：
A 组
1、抛物线y =
2
1
(x +3)2的顶点坐标是___ _，对称轴是 ，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，函数有最 值是
2、抛物线.若抛物线y =a(x+1)2经过点A (3，－9)，则a=___，对称轴为
3、将抛物线y =3x 2向左平移3个单位后，所得抛物线的表达式是
顶点坐标是___ _.当x= 时，函数有最 值是
4、抛物线y =－41x 2+1，y =－41(x +1)2与抛物线y =－4
1
(x 2+1)的_____相同，_____
不同.
5、指出下列抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、最值及y 随x 增大而减小的x 取值范围。
（1）y=－6(x-2)2 (2)y=3x 2－6 (3)y=3－x 412 (4) y=x 5
1
2 (5) y=2(x+3)2+7
(6) y=4－2(x+4)2
6、抛物线y=－4（x －6）2－3的图像向 平移_________个单位，再向_______平移___个单位得到y=－4x 2 . B 组
7、已知抛物线的解析式为y ＝(x －2)2＋1，则抛物线的顶点坐标是 。
8、抛物线y = 4(x +2)2+5的对称轴是______. 9、二次函数y=(x-1)2+2的最小值是 。
10、已知抛物线y =－2(x +1)2－3，如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是______.
11、一个二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状与抛物线y= - 2x 2相同，这个函数解析式为
3、延伸迁移：
如图，某公路的隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，，底部宽OM 为12
米，建立如图所示的直角坐标系。
（1） 直接写出M 及抛物线顶点P 的坐标；
（2） 求这条抛物线的解析式。
4、学习小结：
与同桌交流，本节学会了什么，还有哪些疑惑？ 三、达标检测：
1、课本53页知识技能1
2、函数y =2（x 2的对称轴是__ ____，顶点坐标是___ ___.
3、直线y =x +3与抛物线y =（x+3）2的交点坐标是____ __.
4、写出一个开口向上，顶点是（－2，0）的二次函数的表达式：______
5、抛物线y=3（x+h ）2+k 的顶点坐标是（1，5），则h=_____；k=_____。
6、抛物线y =2
1
x 2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线
表达式是（ ）
A.y =21(x +3)2－2
B.y =21
(x －3)2+2
C.y =21(x －3)2－2
D.y =2
1(x +3)2
+2
7、作出二次函数y=﹣(x ﹣2)2
+4的草图，并根据图象说明： （1）x 取何值时，y 随x 的增大而增大；x 取何值时，y 随x 的增大而减小。
（2）函数y 有最大值还是最小值，最值是多少？
（3）当y ﹥0，y=0，y ﹤0时，x 的取值范围分别是什么？
8、若抛物线y =2
1
(x －1)2沿x 轴方向向左平移后，经过点（4，1），求平移后所
得的抛物线表达式。
9、某市民广场上要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子OP ，柱子顶端P 处装上喷头，由P 处向外喷出的水流（在各个方向上）沿形状相同的抛物
线路径落下（如图所示）。
若已知OP＝3米，喷出的水流的最高点A距水平面的高度是4米，离柱子OP的距离为1米。
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？
10、如图2-4-16所示，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在圆形水面中心，OA=1．25米．由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线的路线落下．为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在与高OA距离为1米处达到距水面最大高度2．25米．（1）如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不致落到池外？
（2）若水池喷出的抛物线形状如（1）相同，水池的半径为3．5米，要使水流不致落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到0．1米，提示：可建立如下坐标系：以OA所在的直线为y轴，过点O垂直于OA的直线为x轴，点O为原点）
填一填：。