二次函数顶点式解析式的应用
中考复习必备-二次函数总复习
字母符号
a>0 a
a<0 b＝0 b b与a同号 b与a异号 c＝0
c>0
c c＜0 b2 b2－4ac＝0 － b2－4ac>0 4a c b2－4ac<0
图象的特征 开口向上 开口向下 对称轴为y轴 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 经过原点
与y轴正半轴相交 与y轴负半轴相交 与x轴有唯一交点(顶点) 与x轴有两个交点 与x轴没有交点
⑤解析式的求法： 确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，由于二次函数解析式有三 个待定系数a，b，c(或a，h，k或a，x1，x2)，因而确定二次函数解析式需要 已知三个独立的条件： a．已知抛物线上任意三个点的坐标时，选用一般式比较方便． b．已知抛物线的顶点坐标时，选用顶点式比较方便． c．已知抛物线与x轴两个交点的坐标(或横坐标x1，x2)时，选用交点式比 较方便．
命题点4 二次函数的实际应用
3．(2016·丹东24题10分)某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果 园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单 棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y(千克)，增种果树x(棵)，它们 之间的函数关系如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式； (2)在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750 千克？ (3)当增种果树多少棵时，果园的总产量w(千克)最大？最大产量是多少？
命题点1 二次函数的图象与性质 1．(2015·锦州5题3分)在同一坐标系中，一次函数y＝ax＋2与二次函数y＝x2＋a 的图象可能是( C )
2．(2016·阜新10题3分)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列选项中正 确的是( B ) A．a>0 B．b>0 C．c<0 D．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根
二次函数交点问题,解析式,应用
二次函数的交点问题巧解方法：1、二次函数与x 轴、y 轴的交点：分别令y=0,x=0；2、二次函数与一次、反比例函数或者与其他函数等的相点：联立两个函数表达式，解方程.例1、如图，直线ι经过A （3，0），B （0，3）两点，且与二次函数y=x 2＋1的图象，在第一象限内相交于点C ．求：（1）△AOC 的面积；（2）二次函数图象顶点与点A 、B 组成的三角形的面积．例2、已知抛物线y ＝x 2-2x-8，（1）求证：该抛物线与x 轴一定有两个交点，并求出这两个交点的坐标。
（2）若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，且它的顶点为P ，求△ABP 的面积例3、.如图，抛物线2y x bx c =+-经过直线3y x =-与坐标轴的两个交点A 、B ，此抛物线与x 轴的另一个交点为C ，抛物线顶点为D.（1）求此抛物线的解析式；（2）点P 为抛物线上的一个动点，求使APC S ∆：ACD S ∆=5 ：4的点P 的坐标。
例4、已知抛物线y=12x2+x-52．（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．例5、已知抛物线y=mx2＋（3－2m）x＋m－2（m≠0）与x轴有两个不同的交点．（1）求m的取值范围；（2）判断点P（1，1）是否在抛物线上；（3）当m=1时，求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标，并过P′、Q、P三点，画出抛物线草图．例6．已知二次函数y=x2－（m－3）x－m的图象是抛物线，如图2-8-10．（1）试求m为何值时，抛物线与x轴的两个交点间的距离是3？（2）当m为何值时，方程x2－（m－3）x－m=0的两个根均为负数？（3）设抛物线的顶点为M，与x轴的交点P、Q，求当PQ最短时△MPQ的面积．训练题1．抛物线y=a （x －2）（x ＋5）与x 轴的交点坐标为 ．2．已知抛物线的对称轴是x=－1，它与x 轴交点的距离等于4，它在y 轴上的截距是－6，则它的表达式为 ．3．若a ＞0，b ＞0，c ＞0，△＞0，那么抛物线y=ax 2＋bx ＋c 经过 象限．4．抛物线y=x 2－2x ＋3的顶点坐标是 ．5．若抛物线y=2x 2－（m ＋3）x －m ＋7的对称轴是x=1，则m= ．6．抛物线y=2x 2＋8x ＋m 与x 轴只有一个交点，则m= ．7．已知抛物线y=ax 2＋bx ＋c 的系数有a －b ＋c=0，则这条抛物线经过点 ．8．二次函数y=kx 2＋3x －4的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围 ．9．抛物线y=x 2－2x ＋a 2的顶点在直线y=2上，则a 的值是 ．10．抛物线y=3x 2＋5x 与两坐标轴交点的个数为（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．无11．如图1所示，函数y=ax 2－bx ＋c 的图象过（－1，0），则的值是（）A ．－3B ．3C ．D ．－12．已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象如图2所示，则下列关系正确的是（ ）A ．0＜－＜1B ．0＜－＜2C ．1＜－＜2D ．－=113．已知二次函数y=x 2＋mx ＋m －2．求证：无论m 取何实数，抛物线总与x 轴有两个交点．14．已知二次函数y=x 2－2kx ＋k 2＋k －2．（1）当实数k 为何值时，图象经过原点？（2）当实数k 在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？a b a ca cbc b a +++++2121a b 2a b 2a b 2a b2函数解析式的求法例一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax2+bx+c，然后解三元方程组求解；1．已知二次函数的图象经过A（0，3）、B（1，3）、C（－1，1）三点，求该二次函数的解析式。
二次函数特点及应用
三、要充分利用抛物线“顶点”的作用.
1、要能准确灵活地求出“顶点” .形如y=a（x＋h）2＋K →顶点（－h,k），对于其它形式的二次函数，我们可化为顶点式而求出顶点.
列表：
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
-9
描点，连线成如图13-11所示不能反映其全貌的图象。
正解：由解析式可知，图象开口向下，对称轴是x＝-1,顶点坐标是(-1，-1)
列表：
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ-4
-3
-2
-1
0
1
2
y
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-1.5
-5.5
描点连线：如图13-12
图13-11
例如，要研究抛物线L1∶y＝x2-2x+3与抛物线L2∶y＝x2的位置关系，可将y＝x2-2x+3通过配方变成顶点式y＝(x-1)2+2，求出其顶点M1(1，2)，因为L2的顶点为M2(0，0)，根据它们的顶点的位置，容易看出：由L2向右平移1个单位，再向上平移2个单位，即得L1；反之，由L1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，即得L2.
活动步骤：①举例：x²=y；x²+1=y；x²+x=y；x²+x+1=y。②画直角坐标系；列表（找出（x，y））；描点；连线。③小组一起观察图像并讨论他们的共同点。记下讨论结果。④利用统式（ax²+bx+c=y）证明讨论结果的必然性。
用顶点式确定二次函数表达式
(2,5) (0,1)
知识迁移
抛物线 y 2 x bx c（a≠0），经过向左平移 3个单位，向下平移2个单位，得到新的顶点为 （-2，3）；求抛物线原解析式。
2
知识迁移
已知抛物线C1的解析式为 y 2 x 4 x 5
2
抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，则抛物线C2的解 析式为：_________________ _； 若抛物线C3关于抛物线C1 y轴对称，则抛2 9 8
知识迁移
1.已知二次函数的对称轴为直线x=2,函数的最小值 是-3，且过（0，1），求二次函数解析式？
知识迁移
2.已知抛物线对称轴是直线x＝2，且经过(3，1) 和(0，－5)两点，求二次函数的关系式。
知识迁移
3.抛物线如图所示，请求出抛物线的解析式。
综合应用
要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安 装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水 头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的 水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱 落地处离池中心3m,水管应多长?
解:由题可得, 点(1,3)是图中这段抛 y B(1，3) 物线的顶点.因此可设这段抛物线 3 对应的函数是 A 2 y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3) ∵这段抛物线经过点(3,0) 3 1 2 a= － ∴ 0=a(3－1) ＋3 解得: 4 因此抛物线的解析式为: 2 1 3 O y=－4(x－1)2＋3 (0≤x≤3) 当x=0时,y=2.25 答:水管长应为2.25m.
数形结合 双壁辉映
曾鹏志
顶点式确定二次函数
知识回顾
用待定系数法求二次函数的解析式 常见类型
本节重点 运用
1.顶点式：y a( x h) k (a 0)
二次函数的解析式(包含三种形式,及应用)
2
例2
y (3)交点式： a x x1 x x2
• 已知图象与x轴的两个交点的坐标及另一点 坐标，求解析式
学以致用
变形（观察与上一题的区别）
求二次函数解析式常见的三种方法 (a 0)
(1)一般式： y
ax bx c
2
()顶点式：
y a x h k
2
(3)交点式：y
a x x1 x x2
y (1)一般式： ax bx c
2
已知三个点的坐标，即可求出 过这三点的二次函数的解析式
例1、已知抛物线y=ax2+bx+c图象过A(0， 1) 、B（1，2）、C（2，-1）三点，求 函数的解析式.
解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c
∵图象过A(0，1) 、B（1，2）、C（2， -1）三点 b 0 c 1 a 0 2
2 ∴ a 1 b 1 c 2 a 2 2 b 2 c 1 a 2 ∴ b 3 c 1
∴y= -2x2+3x+1
(2)顶点式：
y = a ( x - h) + k
2
已知顶点坐标及另一个点的坐标，求解析式 知道顶点，如何设顶点式？
y = a ( x - 2， ) 如果顶点是（2,0），应设
1 如果顶点是（-3,1），应设 y = a ( x + 3) +， 2 如果对称轴是x= 1，应设 y = a ( x - 1) + k，
求二次函数的解析式及二次函数的应用
求二次函数的解析式及二次函数的应用2014.6.8一、求二次函数的解析式：最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：（1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；（2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；（3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；（4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
二、二次函数的应用：（1）应用二次函数解决实际问题的一般思路：理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。
三、二次函数的三种表达形式：1、一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为[,]把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。
2、顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最值=k。
有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
具体可分为下面几种情况：当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；当h>0，k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h<0，k<0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k 的图象。
二次函数五种解析式
二次函数五种解析式五种二次函数解析式的文章一、一般式解析式二次函数是代数学中的重要内容之一，其解析式的形式有多种。
其中，一般式解析式是最常见的一种形式。
一般式解析式的形式为：f(x) = ax^2 + bx + c。
其中，a、b、c为常数，且a不等于0。
在这个解析式中，a决定了二次函数的开口方向和形状。
当a大于0时，二次函数的开口向上，形状为一个向上的弧形；当a小于0时，二次函数的开口向下，形状为一个向下的弧形。
而b则决定了二次函数的位置。
当b大于0时，二次函数向左平移；当b小于0时，二次函数向右平移。
c则决定了二次函数的纵轴截距。
当c大于0时，二次函数与纵轴的交点在纵轴上方；当c小于0时，二次函数与纵轴的交点在纵轴下方。
二、顶点式解析式顶点式解析式是另一种常见的二次函数解析式形式。
顶点式解析式的形式为：f(x) = a(x-h)^2 + k。
其中，a、h、k为常数，且a不等于0。
在这个解析式中，(h, k)表示二次函数的顶点坐标。
当a大于0时，二次函数的开口向上，顶点坐标为(h, k)；当a小于0时，二次函数的开口向下，顶点坐标也为(h, k)。
顶点式解析式的优点在于能够直接读取二次函数的顶点坐标，从而更加方便地确定二次函数的位置和形状。
三、描点式解析式描点式解析式是一种较为灵活的二次函数解析式形式。
描点式解析式的形式为：f(x) = (x-x1)(x-x2)。
其中，x1和x2为已知的两个点的横坐标，且x1不等于x2。
在这个解析式中，二次函数的两个零点为x1和x2。
通过这两个已知点，可以确定二次函数的形状和位置。
描点式解析式的优势在于能够直接读取二次函数的零点，从而更加方便地确定二次函数的位置和形状。
四、焦点式解析式焦点式解析式是一种特殊的二次函数解析式形式。
焦点式解析式的形式为：f(x) = a(x-h)^2 + k。
其中，a、h、k为常数，且a不等于0。
在这个解析式中，(h, k)表示二次函数的焦点坐标。
顶点式求二次函数解析式
顶点式求二次函数解析式二次函数是高中数学中的一个经典主题，它在物理、经济等领域都有着广泛的应用。
求解二次函数的解析式是我们学习这个主题的重要内容之一。
本文将介绍通过顶点式求二次函数解析式的方法，希望对学习这个主题的同学有所帮助。
一、顶点式的定义顶点式是指把二次函数写成顶点和对称轴的形式，它的一般形式为：y = a(x-h)² + k其中，h和k分别表示函数图像的顶点坐标，a表示开口方向和大小。
二、顶点式的求解步骤1. 确定二次函数的顶点坐标：通过计算二次函数的导函数，可得到最值点处的横坐标，再通过带入原方程求出纵坐标，从而得到顶点坐标。
2. 确定二次函数的开口方向和大小：根据a的符号，可知函数开口方向和大小。
3. 带入顶点坐标和a的值，求出二次函数的解析式。
三、顶点式求解的例题1. 求二次函数y=x²+4x+3的顶点式解析式。
解：首先，通过求导数可得到最值点的横坐标为-2，然后再把x=-2带入原方程可得到最值点的纵坐标为-1，所以顶点坐标为(-2，-1)。
其次，根据二次函数的一般形式，可知a=1大于0，说明函数开口向上，且开口大小为1。
最后，带入顶点坐标和a的值，得到该二次函数的解析式为 y = (x+2)² -1。
2. 已知二次函数y=ax²+bx+c向下开口，其顶点坐标为(-1,2)，求解该二次函数的解析式。
解：根据题意，可知二次函数开口向下，即a小于0。
又因为顶点坐标为(-1，2)，所以h=-1，k=2。
带入顶点坐标和a的值，得到该二次函数的解析式为 y = -a(x+1)²+2。
四、顶点式的特点1. 顶点式是指把二次函数写成顶点和对称轴的形式，易于分析图像特征。
2. 通过顶点式求解二次函数的解析式，可以有效地提高解题效率，减少出错的概率。
3. 顶点式是求解二次函数的解析式的一种方法，还有其他方法可以求解二次函数的解析式，如标准式和一般式等。