安徽省宣城市八校联考2018-2019学年高二(上)期末数学试卷解析版

安徽省宣城市八校联考2018-2019学年高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.某校采用系统抽样，从该校高二年级全体1000名学生中抽取一个样本做视力检查.现将这1000名学生从1则1000进行编号，已知样本中编号最小的两个数分别是14、64，则样本中最大的编号应该为( )A. 966B. 965C. 964D. 963【答案】C【解析】解：样本间隔为64−14=50，共抽取1000÷50=20个，则最大的编号应该为14+19×50=964，故选：C．求出样本间隔和样本容量，结合系统抽样的定义进行求解即可．本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔和样本容量，结合等差数列的公式是解决本题的关键．2.把红、黄、蓝、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是()A. 对立事件B. 互斥但不对立事件C. 不可能事件D. 以上都不对【答案】B【解析】解：根据题意，把红、蓝、黑、白四张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四个人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，则两者是互斥事件，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”和“丁分得红牌”，则两者不是对立事件．∴事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．故选：B．由题意可知事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”和“丁分得红牌”，则两者不是对立事件．本题考查了互斥事件与对立事件，考查了互斥事件与对立事件的概念，是基础的概念题．3.执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，则输出s=()A. 3B. −3C. 2D. −2【答案】D【解析】解：执行程序框图，a=1，k=1，s=0，满足条件k≤4，执行循环，s=1，a=−1，k=2；满足条件k≤4，执行循环，s=−1，a=1，k=3；满足条件k≤4，执行循环，s=2，a=−1，k=4；满足条件k≤4，执行循环，s=−2，a=1，k=5；此时，不满足条件k≤4，退出循环输出S的值为−2．故选：D．执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，k值，当k=5时，程序终止即可得到结论．本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查，比较基础．4.现有一个k进制的数27(k)，k为其所有可能取值中最小的正整数，则27(k)化为十进制为()A. 24B. 23C. 22D. 21【答案】B【解析】解：∵k进制的数27(k)，k为其所有可能取值中最小的正整数，∴k=8，∴27(8)=2×81+7×80=23．故选：B．由已知可求k的值，利用k进制数化为十进制数的方法即可得解．本题考查了k进制数化为十进制数的方法，考查了计算能力，属于基础题．5.若集合A={3,a2}，B={2,4}，则“a=2”是“A∩B={4}”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：∵“a=2”⇒A={3,4}，又B={2,4}，⇒“A∩B={4}”；反之不成立；∴“a=2”是“A∩B={4}”的充分不必要条件．故选：A．可以根据充要条件的定义进行判断，解题的关键是理清思路．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q 的关系．6.在5场篮球比赛中某篮球运动员A的得分所构成的样本为21，15，17，8，13.若篮球运动员B的得分所构成的样本数据恰好是A样本数据每个都减3后所得的数据，则A，B两名运动员得分所构成的两样本的下列数字特征对应相同的是()A. 平均数B. 众数C. 中位数D. 标准差【答案】D【解析】解：A的样本数据为21，15，17，8，13；B的样本数据恰好是A样本数据每个都减3后所得的数据，则A样本数据比B两样本数据的平均数大3，众数大3，中位数也大3，标准差相同．故选：D．根据平均数、众数、中位数和标准差的定义，结合题意，即可判断出正确的结果． 本题考查了平均数、众数、中位数和标准差的定义与应用问题，是基础题．7. 已知双曲线的一个焦点与抛物线x 2=24y 的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为60∘，则该双曲线的标准方程为( )A. x 29−y 227=1 B. y 29−x 227=1 C. y 227−x29=1 D. x 227−y29=1 【答案】C【解析】解：抛物线x 2=24y 的焦点：(0,6)，可得c =6，双曲线的渐近线的倾斜角为60∘，双曲线的焦点坐标在y 轴上．可得ab =√3，即b 2a 2=13，36=a 2+b 2，解得a 2=27，b 2=9．所求双曲线方程为：y 227−x 29=1．故选：C ．求出抛物线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程得到a ，b 关系，求解即可． 本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．8. 下列命题中是真命题的是( )A. ∃x 0∈R ，2x 0≤0B. ∀x ∈R ，lg(x 2+1)≥0C. 若x 2>x ，则x >0”的逆命题D. 若x <y ，则x 2<y 2”的逆否命题 【答案】B【解析】解：对于选项A ，对于∃x 0∈R ，2x 0≤0为假命题． 故错误， 对于选项C ：当0<x <1时，逆命题不成立．对于选项D ：若“x <y ，则x 2<y 2”为假命题，故逆否命题为假命题． 故选：B ．直接利用排除法和命题的真假的判断求出结果．本题考查的知识要点：简易逻辑的应用，不等式的应用，等价命题的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9. 等边三角形OAB 的三个顶点都在抛物线y 2=2px(p >0)上，O 为坐标原点，则这个三角形的边长为()A. √3pB. 2√3pC. 4√3pD. 2p 【答案】C【解析】解：∵抛物线y 2=2px 关于x 轴对称，∴若正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2=2px(p >0)上，则A ，B 点关于x 轴对称， ∴直线OA 倾斜角为30⋅斜率为√33∴直线OA 方程为y =√33x ，由{y =√33xy 2=2px得，{x =6p y =2√3p ，∴A(6p,2√3p)，则B(6p,−2√3p)，∴|AB|=4√3p∴这个正三角形的边长为4√3p. 故选：C ．根据抛物线的对称性可知，若正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2=2px(p >0)上，则另外两个定点关于x 轴对称，就可的直线OA 的倾斜角，据此求出直线OA 的方程，与抛物线方程联立解出A 点坐标，就可求出正三角形的边长．本题主要考查了抛物线的对称性，直线方程的点斜式，以及曲线交点的求法，属于圆锥曲线的综合题．10. 已知直线y =kx +1与曲线y =x 3+ax +b 切于点(1,3)，则b 的值为( )A. 3B. −3C. 5D. −5 【答案】A【解析】解：把(1,3)代入直线y =kx +1中，得到k =2，求导得：y′=3x 2+a ，所以y′x=1=3+a =2，解得a =−1， 把(1,3)及a =−1代入曲线方程得：1−1+b =3， 则b 的值为3． 故选：A ．因为(1,3)是直线与曲线的交点，所以把(1,3)代入直线方程即可求出斜率k 的值，然后利用求导法则求出曲线方程的导函数，把切点的横坐标x =1代入导函数中得到切线的斜率，让斜率等于k 列出关于a 的方程，求出方程的解得到a 的值，然后把切点坐标和a 的值代入曲线方程，即可求出b 的值． 此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是一道基础题．11. 如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点.若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( ) A. 3 B. 2 C. √3 D. √2 【答案】B【解析】解：∵M ，N 是双曲线的两顶点，M ，O ，N 将椭圆长轴四等分 ∴椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍 ∵双曲线与椭圆有公共焦点，∴双曲线与椭圆的离心率的比值是2 故选：B ．根据M ，N 是双曲线的两顶点，M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，可得椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍，利用双曲线与椭圆有公共焦点，即可求得双曲线与椭圆的离心率的比值．本题考查椭圆、双曲线的几何性质，解题的关键是确定椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍．12. 已知函数f(x)=xlnx −ae x (e 为自然对数的底数)有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )A. (0,1e )B. (0,e)C. (1e ,e)D. (−∞,e)【答案】A【解析】解：f′(x)=lnx −ae x +1， 若函数f(x)=xlnx −ae x 有两个极值点， 则y =a 和g(x)=lnx+1e x在(0,+∞)有2个交点，g′(x)=1x−lnx−1e x，(x>0)，令ℎ(x)=1x −lnx−1，则ℎ′(x)=−1x2−1x<0，ℎ(x)在(0,+∞)递减，而ℎ(1)=0，故x∈(0,1)时，ℎ(x)>0，即g′(x)>0，g(x)递增，x∈(1,+∞)时，ℎ(x)<0，即g′(x)<0，g(x)递减，故g(x)max=g(1)=1e，而x→0时，g(x)→−∞，x→+∞时，g(x)→0，若y=a和g(x)在(0,+∞)有2个交点，只需0<a<1e，故选：A．求出函数的导数，问题转化为y=a和g(x)=lnx+1e x在(0,+∞)2个交点，根据函数的单调性求出g(x)的范围，从而求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.命题：∃x0∈R，x02+2x0+2<0的否定______．【答案】∀x∈R，x2+2x+2≥0．【解析】解：∵“特称命题”的否定一定是“全称命题”，∴：∃x0∈R，x02+2x0+2<0的否定是：∀x∈R，x2+2x+2≥0．故答案为：∀x∈R，x2+2x+2≥0．存在性命题”的否定一定是“全称命题”．命题的否定即命题的对立面.“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述.如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”．14.某人发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，则他等待的时间不多于15分钟的概率为______．【答案】14【解析】解：在一个小时内对应的区间为[0,60]，若等待的时间不多于15分钟，则此时对应的时间段在(0,15)，则对应的概率P=15−060−0=14，故答案为：14．根据几何概型的定义求出等待的时间段，进行求解即可．本题主要考查几何概型的概率的计算，转化为长度型是解决本题的关键．15.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，|AB|=4√3；则C的实轴长为______．【答案】4【解析】解：设等轴双曲线C的方程为x2−y2=λ.(1)∵抛物线y2=16x，2p=16，p=8，∴p2=4．∴抛物线的准线方程为x=−4．设等轴双曲线与抛物线的准线x=−4的两个交点A(−4,y)，B(−4,−y)(y>0)，则|AB|=|y−(−y)|=2y=4√3，∴y=2√3．将x=−4，y=2√3代入(1)，得(−4)2−(2√3)2=λ，∴λ=4∴等轴双曲线C的方程为x2−y2=4，即x24−y24=1∴C的实轴长为4．故答案为：4设出双曲线方程，求出抛物线的准线方程，利用|AB|=4√3，即可求得结论．本题考查抛物线，双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．16.若函数f(x)=2x2−lnx在其定义域内的一个子区间(k−1,k+1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是______．【答案】[1,32)【解析】解：因为f(x)定义域为(0,+∞)，又，由，得x=12．据题意，{k−1<12<k+1k−1≥0，解得1≤k<32故答案为：[1,32)先对函数进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减得解．本题主要考查函数的单调性与导函数的关系.属基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.现将某校高二年级某班的学业水平测试数学成绩分为[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100)五组，绘制而成的茎叶图、频率分布直方图如下，由于工作疏忽，茎叶图有部分被损坏，频率分布直方图也不完整，请据此解答如下问题：(注：该班同学数学成绩均在区间[50,100)内)(1)将频率分布直方图补充完整．(2)该班希望组建两个数学学习互助小组，班上数学成绩最好的两位同学分别担任两组组长，将此次成绩低于60分的同学作为组员平均分到两组，即每组有一名组长和两名成绩低60分的组员，求此次考试成绩为52分、54分和98分的三名同学分到同一组的概率．【答案】解：(1)由茎叶图得成绩在[50,60)中的人数为4人，由频率分布直方图得成绩在[50,60)中的人数所点的频率为0.008×10=0.08，∴总人数为4÷0.08=50人，∴成绩在[70,80)组的人数为50−4−14−12−4=16(人)， ∴频率分布直方图中成绩在[70,80)和[80,90)组高度分别为： 16÷50÷10=0.032和12÷50÷10=0.024， ∴频率分布直方图补充完整如下：(2)与成绩为98分的同学同组的两名同学有如下6种可能： (52,54)，(52,56)，(52,57)，(54,56)，(54,57)，(56,57)，∴此次考试成绩为52分、54分和98分的三名学生恰好分到同一组的概率为16．【解析】(1)由茎叶图得成绩在[50,60)中的人数为4人，由频率分布直方图得成绩在[50,60)中的人数所点的频率为0.08，从而总人数为50人，由此能把频率分布直方图补充完整．(2)与成绩为98分的同学同组的两名同学有如下6种可能，由此能求出此次考试成绩为52分、54分和98分的三名学生恰好分到同一组的概率．本题考查频率分布直方图的画法，考查概率的求法，考查频率分布直方图的性质、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18. p ：关于x 的方程x 2+(a −2)x +4=0无解，q ：2−m <a <2+m(m >0)(1)若m =5时，“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围．(2)当命题“若p ，则q ”为真命题，“若q ，则p ”为假命题时，求实数m 的取值范围． 【答案】解：(1)命题p ：关于x 的方程x 2+(a −2)x +4=0无解， 则：△=(a −2)2−16<0， 解得：−2<a <6．命题：q ：2−m <a <2+m(m >0) 由于m =5，故：−3<a <7．由于“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题， 故：①p 真q 假②p 假q 真，故：①{−2<a <6a ≥7或a ≤−3，无解．②{a ≥6或a ≤−2−3<a <7解得：−3<a ≤−2或6≤a <7，故：a 的取值范围是：−3<a ≤−2或6≤a <7．(2)命题“若p ，则q ”为真命题，“若q ，则p ”为假命题时， 故命题p 为命题q 的充分不必要条件． 故：命题p 表示的集合A ={a|−2<a <6}是命题q 表示的集合B ={a|2−m <a <2+m(m >0)}的真子集．故：{−2≥2−m 6≤2+m，解得：m ≥4，当m =4时：A =B ， 故：m >4．【解析】(1)直接利用函数的性质和真值表的应用求出参数的取值范围． (2)直接利用四个条件的应用和集合间的关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：真值表的应用，四个条件的应用，集合间的关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．19. 企业需为员工缴纳社会保险，缴费标准是根据职工本人上一年度月平均工资(单位：元)的8%缴纳，年份 2014 2015 2016 2017 2018 t 1 2 3 4 5 y270330390460550某企业员工甲在2014年至2018年各年中每月所撒纳的养老保险数额y(单位：元)与年份序号t 的统计如下表：(1)求出t 关于t 的线性回归方程y ̂=b ̂t +a ̂；(2)试预测2019年该员工的月平均工资为多少元？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： (注：b̂=∑t i n i=1y i −nt⋅−y−∑t i 2n i=1−n−t−2=∑(n i=1t i −t −)(y i −y −)∑(n i=1t i −t −)2，a ̂=y −−bt −，其中∑t i 5i=1y i =6440)【答案】解：(1)t −=3，y −=390， b ̂=6440−5×3×3901+4+9+16+25−5×9=59， ∴â=y −−b ̂t −=390−59×3=213， 故ŷ=59t +213； (2)由题意得：t =7，故ŷ=59×7+213=626， 故2019年度月平均工资是626÷0.08=7825(元)．【解析】(1)分别求出相关系数，求出回归方程即可；(2)求出t 的值，代入回归方程求出y 的预报值，求出平均工资即可．本题考查了求回归方程问题，考查代入求值，是一道中档题．20. 设抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，过F 且斜率为k 的直线l 交抛物线C 于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)两点，且y 1y 2=−4． (Ⅰ)求抛物线C 的标准方程；(Ⅱ)已知点P(−1,k)，且△PAB 的面积为6√3，求k 的值．【答案】解：(Ⅰ)F(p 2，0)，设直线AB 的方程为y =k(x −p2)，…(2分) 代入抛物线，消x ，得：ky 2−2py −kp 2=0，…(4分) ∴y 1y 2=−p 2=−4，从而p =2，∴抛物线C的方程为y2=4x.…(6分)(Ⅱ)由已知，F(1,0)，直线AB的方程为y=k(x−1)，代入抛物线方程，消x，得ky2−4y−4k=0，∴y1+y2=4k，y1y2=−4，…(8分)∴|AB|=√1+1k2⋅√16k2−4×(−4)=4(1+1k2).又∵P到直线AB的距离d=√k2+1…(10分)故△PAB的面积S=12⋅|AB|⋅d=6√1+1k2=6.…(12分)故得k=±√22.…(14分)【解析】(Ⅰ)设直线AB的方程为y=k(x−p2)，代入抛物线，消x，利用y1y2=−4，求出p，即可求抛物线C的标准方程；(Ⅱ)求出P到直线AB的距离，|AB|，利用S△PAB=12⋅|AB|⋅d，△PAB的面积为6√3，求k的值．本题考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，属于中档题．21.已知函数f(x)=x2−(a−2)x−alnx(a∈R)．(1)求函数y=f(x)的单调区间．(2)当a=3时，证明：对任意x>0，都有f(x)≥2(1−x)成立．【答案】解：(1)函数f(x)的定义域是(0,+∞)，f′(x)=2x−(a−2)−ax =(x+1)(2x−a)x，当a≤0时，f′(x)>0对任意x∈(0,+∞)恒成立，所以，函数f(x)在区间(0,+∞)单调递增；当a>0时，由f′(x)>0得x>a2，由f′(x)<0，得0<x<a2，所以，函数在区间(a2,+∞)上单调递增，在区间(0,a2)上单调递减；(2)a=3时，令g(x)=f(x)−2(1−x)=x2+x−3lnx−2，则g′(x)=2x+1−3x =(2x+3)(x−1)x，∵x>0，∴x∈(0,1)时，g′(x)<0，g(x)递减，x∈(1,+∞)时，g′(x)>0，g(x)递增，故g(x)min=g(1)=0，故g(x)≥0，即f(x)≥2(1−x)．【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；(2)令g(x)=f(x)−2(1−x)=x2+x−3lnx−2，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，右焦点为F2(2,0)，点B(2,−√2)在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线y=kx(k≠0)与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N，在x轴上，是否存在点P，使得无论非零实数k怎样变化，总有∠MPN为直角？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)依题意，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)右焦点为F2(2,0)，c=2，∵点B(2,−√2)在C上，∴4a2+2b2=1，又∵a2=b2+c2，∴a2=8，b2=4，∴椭圆方程为x28+y24=1；(2)假设存在这样的点P，设P(x0,0)，E(x1,y1)，则F(−x1,−y1)，联立直线与椭圆的方程，{y=kxx28+y24=1⇒(1+2k2)⋅x2−8=0，解得x1=√2√1+2k2y1=√2k√1+2k2，A(−2√2,0)，∴AE所在直线方程为y=1+√1+2k2(x+2√2)，∴√2k1+√1+2k2)，同理可得√2k1−√1+2k2)，PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x√2k1+√1+2k2),PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x√2k1−√1+2k2)，PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒x2−4=0，∴x0=2或x0=−2，∴存在点P，使得无论非零实数k怎么变化，总有∠MPN为直角，点P坐标为(2,0)或(−2,0)．【解析】(1)根据题意，由椭圆的焦点坐标分析可得c的值，又由B在椭圆上，可得4a2+2b2=1，由椭圆的几何性质计算可得a2、b2的值，即可得椭圆的方程；(2)假设存在这样的点P，设P(x0,0)，E(x1,y1)，联立直线与椭圆的方程，变形可得(1+2k2)⋅x2−8=0，利用根与系数的关系用k表示PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，由向量垂直与向量数量积的关系有PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒x2−4=0，即可得答案．本题考查椭圆的几何性质与标准方程，涉及直线与椭圆的位置关系，关键是求出椭圆的标准方程．。