06点的运动学
工程力学之点的运动学
简谐振动
点在平衡位置附近作周期性往 复运动，加速度与位移成正比 、方向相反。
抛体运动
点在重力作用下沿抛物线轨迹 的运动，如平抛、斜抛等。
一般平面曲线运动
点在平面内沿任意曲线轨迹的 运动，加速度和速度方向可任
意变化。
05
工程应用实例分析
机械手臂的运动控制
运动学建模
01
通过D-H参数法或旋量理论建立机械手臂的运动学模型，描述
在航空航天工程中，点的运动学可用于分 析飞行器的飞行轨迹和姿态控制，为航空 航天技术的发展提供理论支持。
土木工程
生物医学工程
在土木工程中，点的运动学可用于研究结 构的动力响应和稳定性问题，为工程结构 的设计和施工提供科学依据。
在生物医学工程中，点的运动学可用于分 析人体运动系统的生物力学特性，为医疗 器械的设计和康复治疗提供理论指导。
曲线运动的合成与分解
运动的合成
将点的运动分解为沿不同坐标轴的分运动，通过矢量合成得到点 的实际运动。
运动的分解
根据实际需要，将点的曲线运动分解为多个简单的直线或圆周运动， 便于分析和计算。
运动的叠加原理
多个独立的分运动可以线性叠加，形成复杂的曲线运动。
曲线运动的特殊形式
匀速圆周运动
点绕固定中心以恒定速率作圆 周运动，加速度始终指向圆心
速直线运动。
特点
速度大小随时间均匀变化，加速度 大小和方向保持不变。
公式
s = v0t + 1/2at^2，其中s为位移， v0为初速度，a为加
已知分运动求合运动，其位移、速度、加速度遵 循平行四边形定则。
分解
已知合运动求分运动，可将合运动分解为两个简 单的分运动进行处理。
第六章点的运动和刚体的基本运动
例 题 6-1
解：取坐标轴 Ox 如图。由三角形相似关
L A
系，有
l
B
OM BM OL AB
h O
M x
即
x x vt h l
vt
x
从而求得 M 点的直线运动方程
x h vt hl
M 点的速度
v dx h v dt h l
而加速度 a = 0 ，即 M 点作匀速运动。
理论力学电子教程
理论力学电子教程
第六章 点的运动与刚体的基本运动
例 题 6-6
解：
已知销钉B的轨迹是圆弧DE，中心 在A点 ， 半径是R。选滑道上O' 点作为 弧坐标的原点，并以O'D为正向。则B
+s ω O R -s E φ A
D
C B s
点在任一瞬时的弧坐标
s R
但是，由几何关系知 且 得
θ R O'
2 ，
dr dx dy dz v i j k dt dt dt dt
又 v vx i vy j vz k
理论力学电子教程
第六章 点的运动与刚体的基本运动
dx 故 vx dt
速度大小
dy vy dt
2 2
dz vz dt
2
v v x v y vz vx vy vz 方向 cos( v , i ) cos( v , k ) cos(v , j ) v v v
π sin 2π t ，将其代入上式， 8
π sin 2π t 40
s 2 R
这就是B点的自然形式的运动方程。
理论力学电子教程
第六章 点的运动与刚体的基本运动
点的运动及刚体的简单运动
4.3.3曲率
因为 d d d d 1 ds d ds ds
方向同 n
所以 n d
ds
4.3.4点的速度
v dr dr ds ds v
dt ds dt dt
4.3.5点的加速度 a dv dv v d
dt dt dt
代入
d d ds v n
dt ds dt
则
a
l2 a2 2al cos 2t
cos(v, j) vy (l a) cost v l2 a2 2al cos 2t
已知：OC AC BC l , MC a , t。
求：运动方程、轨迹、速度和加速度。
加速度
ax vx x l a 2 cost ay vy y l a2 sin t
加速度
dv d2 r
a
v r
dt dt 2
单位 m/s2
矢端曲线
速度 矢径矢端曲线切线
加速度 速度矢端曲线切线
4.2 用直角坐标法研究点的运动
4.2.1 运动方程
x x(t) y y(t) z z(t)
直角坐标与矢径坐标之间的关系
r (t) x t i y(t) j z(t)k
4.2.2 点的速度
① 啮合条件
R11 vA vB R22
② 传动比
i12
1 2
R2 R1
z2 z1
4.5.2 带轮传动
r11 vA vA vB vB r22
i12
1 2
r2 r1
4.6 以矢量表示角速度和角加速度 以矢积表示点的速度和加速度
4.6.1角速度矢量和角加速度矢量
角速度矢量
大小 作用线 沿轴线
4.1.2 点的速度
(完整版)点的运动学
dz dt
z
★点的速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间
的一阶导数。
点的运动学
速度的大小：
v (dx )2 (dy )2 (dz )2 dt dt dt
(vx )2 (v y )2 (vz )2
速度的方向余弦： cos(v, i )vx源自cos(v ,j)
v vy
v
cos(v ,
k)
vz
v
直角坐标法
z
vz
M
vy
rz
v
vx
a
k
O j
y
i
x
xy
点的运动学
3、点的加速度
设： a axi a y j azk
ax
dv x dt
d2 x dt 2
x
ay
dv y dt
d2 y dt 2
y
az
dvz dt
d2z dt 2
z
直角坐 标法
z
vz
M
vy
rz
v
vx
a
k
d2r dt 2
r
v(t )
v2 a
M a
r
M
v(t t)
a
加速度 — 描述点在 t 瞬时速度大小和方向变化O率的力学量。加速度
的方向为v的极限方向(指向与轨迹曲线的凹向一致) 加速度大小等
于矢量 a 的模。
点的运动学
§6-2 直角坐标法
直角坐标法
1、点的运动方程和轨迹方程
不受约束的点在空间有3个自由度，
r (t )
M
r (t )
末端将描绘出一条连续曲线，称为
矢径端图，它就是动点运动的轨迹。 O
理论力学课件：点的运动学
点的运动学
2.速度
点的运动学
上式表明动点 M 的速度v在直角坐标轴上的投影等于该
点相应坐标对时间的一阶导数。
速度大小为
其方向由方向余弦来确定:
点的运动学
3.加速度
点的运动学
因此,动点的加速度a 在直角坐标轴上的投影等于速度
在相应坐标轴上的投影对时间的一阶导数,也等于其相应坐
标对时间的二阶导数。
点,其弧坐标为s,位置矢径为r,经 Δt时间后,弧坐标为s+Δs,矢
径变为r',根据点的速度公式有
点的运动学
图5-9
点的运动学
点的运动学
3.加速度
将v=vτ 代入式(5-5),得
点的运动学
(1)
d
的大小。设瞬时t,动点
d
M 处对应的切线单位矢量
为τ,经过时间 Δt,动点运动到 M',其切线单位矢量为τ'。Δt时
点的运动学
点的运动学
5.1 点的运动的矢量表示法
5.2 点的运动的直角坐标表示法
5.3 点的运动的自然坐标表示法
思考题
点的运动学
5.1 点的运动的矢量表示法
1.运动方程、轨迹
点的运动学
图5-1
点的运动学
点的运动学
3.加速度
点在运动过程中,其速度v 的大小和方向往往都随着时间
而变化,速度对时间的变化率称为加速度。
cm,时间单位为s。
解 由题知,点的运动方程为
点的运动学
速度的大小为
从运动方
点的运动学
点的切向加速度、法向加速度的大小分别为
点的运动学
思考题
5-2 结合v t图,说明平均加速度和瞬时加速度的几何意义。
理论力学-点的运动学
6.1 点的运动方程.速度和加速度
图6-3
6.1 点的运动方程轨迹的参数方程，在时间
t赋予不同数值时，将依次得到每一瞬时点的坐标x,y,z的相
应数值，根据这些数值就可描绘出点的运动轨迹。从运动方
程中消去参数t
当矢径的原点与直角坐标系的原点重合时，将有式（6-4）
当点M运动时，其弧坐标s随时间不断变化，是时间t的单 s=f(t) 6-5
6.1 点的运动方程.速度和加速度
式(6-5)表示点沿已知轨迹的运动规律，称为以弧坐标表
示的点的运动方程
s=f(t )
位置便可唯一确定。这种利用点的运动轨迹建立弧坐标，并
利用弧坐标来描述和分析点的运动的方法称为自然法。在点
的运动轨迹为已知的情况下，采用自然法描述点的运动较为
理论力学
运动学-点的运动学
分析物体的运动时，习惯上从最简单物体的运动开始， 即先研究点的运动，这是本章学习的重点。点的运动学主要 研究点在空间中的位置随时间变化的规律，它既是研究一般 物体运动的基础，又具有独立的应用意义。
6.1 点的运动方程.速度和加速度
6.1.1 点的运动方程
若点M做直线运动，利用点的坐标x来确定点在空间的
t 0
t0 t dt
式（6-6
t瞬时的速度，用v
(6-6)
v
=
•
r
6.1 点的运动方程.速度和加速度
6.1.3 点的加速度
设点M 在瞬时t的速度为v，经过时间间隔Δt后，点的位
置到达M ′时的速度为v ′，如图6-6所示。速度矢的变化量
Δv =v′－v，定义速度矢的变化量Δv与相应的时间间隔Δt
的比值为点的平均加速度，记为a。当Δt→0
006理论力学-点的运动学
x = (BC+ CM) cosϕ = (l + a) cosωt y = AMsinϕ = (l − a) sinωt
9
这就是动点M的运动方程。从运动方程中消去时间t，即得轨 迹方程
x2 y2 + =1 2 2 (l + a) (l − a) 可见，动点M的轨迹为一椭圆，其长轴与x轴重合，短轴与y 轴重合。当M点在BC段上时，椭圆的长轴将与y轴重合，短轴 将与x轴重合。 x M点的速度在坐标轴上的投影为
1
引
言
运动学的一些基本概念 是研究物体在空间位置随时间变化的几何性质的科学。 ① 运动学 (包括轨迹、速度、加速度等)，而不考虑运动的原因。 ② 运动学研究的对象 ③ 运动学学习目的 ① 建立机械运动的描述方法 ② 建立运动量之间的关系 为后续课打基础及直接运用于工程实际。
④ 运动是相对的 ( relativity ) ：参考体(物)；参考系； 静系；动系。 瞬时、 ⑤ 瞬时、时间间隔 (⋅)t (⋅− − − ⋅)∆t = t 2 − t1 ⑥ 运动分类 1)点的运动； 2)刚体的运动
dx = −ω (l + a ) sin ωt vx = dt dy vy = = ω (l − a ) cos ωt dt
10
速度的大小为
2 2 v = vx + vy =ω (l + a)2 sin2 ωt + (l − a)2 cos2 ωt =ω l 2 + a2 − 2alcos2ωt
速度的方向余弦为
12
§6-3 平面极坐标法
• 平面极坐标系 • 位置坐标（r , • 轨道方程 •
ϑ）
r = r (t ),
r j
r
理论力学第5章(点的运动)
(2) 运动学: 研究点与刚体运动的几何性质。
包括位移、轨迹、速度、加速度。 (与力无关、也是变形体运动基础)
A B
F
C
B
刚体运动
C
变形(包含刚体位移和相对位移)
(3) 动力学: 研究物体所受力与运动间的关系。
包括质点系、刚体，变形体的动力效应。
第五章 点的运动学
§5-1 运动学的基本概念
速度
已知： OC AC BC l , MC a , t。 求：运动方程、轨迹、速度和加速度。
x l a cost ax v x 2 a y vy y l a sin t
2
加速度
a a a
F ( x, y) 0
二、点的速度v
又
r = xi + yj + zk
式中 v x 所以得
dr dx dy dz v i j k dt dt dt dt v = vx i + vy j + vz k
、v y
、v z
vx
dx dt
v
表明：“动点的速度在坐标轴上的投影，等于动点对应的位置 坐标对时间 t 的一阶导数”。 则速度的大小和方向余弦为
弧坐标的运动方程sf切向加速度表示速度大小的变化三点的加速度法向加速度表示速度方向的变化匀速运动v常数常数常数匀变速直线运动匀速圆周运动匀速直线运动或静止直线运动匀速运动圆周运动匀速运动直线运动匀速曲线运动匀变速曲线运动点作曲线运动画出下列情况下点的加速度方向
(1) 静力学: 研究物体所受力系的简化、平衡规律及其应用。
△r称为在△t时间内动点M的位移。
间间隔△t内的平均速度。以 v*表示。则： Δr v Δt 平均速度表示动点在△t内平均运动的快慢和运动方向。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第6章
点的运动学
返回总目录
6.1 矢量法研究点的运动
图6.1 点M的矢径图6.2 动点M的位置
二、点的速度
点的速度用v表示。
当点沿曲线运动时，每一瞬时点的速度矢量的大小表示点沿轨迹运动的快慢，矢量的指向表示运动的方向。
设有动点沿轨迹运动，为了确定其位置，取原点O。
在瞬时t，动点的位置由矢径r所确定，如图6.2所示。
M v
M'
v'
M"
v"
v' a*
D v
v'
v
O
v"
a
z
M O z
x x
y
y
ϕ
滑块的运动方程、速度和加速度。
ϕ ψ
ω
的位置为：
用自然法研究点的运动自然法密切联系着轨迹的性质来分析点的运动，物理意义清晰，便于说
明运动的性质。
在动点的轨迹已知的情况下，采用自然法比较方便。
一、运动方程
在工程实际问题中，有些点的运动轨迹往往是已知的。
在轨迹上任取一
固点O为作为原点，并规定在起点O某一边的弧长为正，在另一边的弧长为负，取轨迹作为参考系来确定动点位置的方法称为自然法，如图6.9所示。
图6.9 动点M的运动轨迹
s为代数量，称为动点M的弧坐标。
s是时间t的单值连续函数，可表示为
s=f(t)(6.17)
这个方程称为动点沿已知轨迹的运动方程。
曲率圆 密切面
M
b
B
A
O ρ n τ
O
M d s
r
d r
v
O n
M'
M
ρ
τ'
τ' τ
Δτ
φD
M O
a n
a
a τ
α
例6.4】用自然法求例6.1中点的运动方程，速度和加速度。
6.3 用自然法研究点的运动
解：A0为弧坐标原点，如图6.14所示。
图6.14 飞轮上一点M 的运动
2502s R t ϕ=⋅=⨯2
100t =d 200d s
v t
t ==d 200
d v a t τ==2
2
800n v a t ρ
==
z
k O
x
r
M
z
y
ρ
ρ0
0ϕ
ϕ
O
ρ0
ϕ
ρ
M
ρ
0ϕ
2⎭
z
k
O x r
M
z
y ρ
ρ0
ϕ
ϕ
O ρ0
ϕ
ρ
M
ρ
0ϕ
O
α
ρ0
ρ'0
φD
D ρ0
习题及思考题
一、思考题
1. 平均速度与瞬时速度有什么不同？在什么情况下，它们是一致的？
2. 点作直线运动，某瞬时的速度为v=6m/s ，问这时的加速度是否
为。
为什么？点作匀速曲线运动，是否加速度等于零？
3. 当= 常数，常数，则点作什么运动？
4. 设动点作曲线运动，速度和加速度的情形如图6.18所示，哪几种是可能的，哪几种是不可能的？为什么？
d 0d v a t
==a τ=n a
M
习题及思考题
ϕ ω
图6.20 曲线规尺
图6.21 题6.3图
4. 已知动点的加速度在直角坐标轴上的投影为：，。
当t =0时，x =40，y =50，(长度以mm 计，时间以s 计)，试求其运动方程和轨迹方程。
5. 如图
6.22所示，偏心凸轮半径为R ，绕轴转动，转角(ω为常量)，偏心距OO1=e ，凸轮带动顶杆AB 沿铅垂直线作往复运动。
试求顶杆的运动方程和速度。
160cos(2)x a t =-200sin(2)y a t =-0,100
x y v v ==t ϕω=
ϕϕ
ϕ
图6.24 题6.8图图6.25 题6.10图图6.26 题6.12图
13. 某点的运动方程为：，，长度以mm 计，时间以s 计，
求该点的速度，切向加速度和法向加速度。
14. 已知动点的方程为：，，求该点轨迹及t =1s 的速度、切向275cos 4x t =275sin 4y t =2
x t t =-2y t =6.5 习题及思考题。