第六章 第3节定积分在物理上的应用
定积分在物理学上的应用PPT课件
h
wh 0 f(x)dx.
2021
8
wh 0hkxdx
kh 2
2
,
依题意知，每次锤击所作的功相等．
whnw1 kh2
2
n
k 2
,
n次击入的总深度为 h n,
第n次击入的深度为 nn1.
2021
9
二、水压力
由物理学知 道，在水 深为 h处 的压强为
ph， 这 里 是 水 的 比 重 ． 如 果 有 一 面 积 为 A
第三节
第六章
定积分在物理学上的应用
一、 变力沿直线所作的功 二、 液体的侧压力 三、 引力问题
四、 转动惯量 (补充)
2021
1
一、变力沿直线所作的功
由物理学知道，如果物体在作直线运动的
过程中有一个不变的力F 作用在这物体上，且
这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在
物体移动了距离s时，力F 对物体所作的功为
连线方向．
如 果 要 计 算 一 根 细 棒 对 一 个 质 点 的 引 力 ， 那 么 ， 由 于 细 棒 上 各 点 与 该 质 点 的 距 离 是 变 化 的 ， 且 各 点 对 该 质 点 的 引 力 方 向 也 是 变 化 的 ， 就 不 能 用 此 公 式 计 算 ．
2021
15
例 7 有一长度为l 、线密度为 的均匀细棒， 在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量为 m的质
水面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的
边长，求薄板所受的侧压力．
解 建立坐标系如图
2a
o 2a
面积微元 2(ax)d,x
a
d ( P x 2 a ) 2 ( a x ) 1 dx x
定积分在物理学上的应用
详细描述
热量传递是热力学中的基本过程，包括热传 导、热对流和热辐射。在这些过程中，热量 传递的速率通常与温度梯度、物质属性以及 边界条件等因素有关。定积分可以用来求解 这些因素对热量传递速率的影响。
热力学第一定律的推导
总结词
定积分在推导热力学第一定律中具有重要应用，通过能量守恒原理和热力学基本方程， 可以建立热力学第一定律的数学表达式。
详细描述
在推导电磁感应定律的过程中，我们需要考虑磁场的变化对导体中电子运动的影响。通过定积分，我们可以计算 出导体中的电动势，从而理解电磁感应现象的本质。定积分的应用使得我们能够准确地描述和预测电磁感应现象 。
04
定积分在热学中的应用
温度分布的计算
总结词
定积分在计算温度分布问题中具有广泛应用，通过求解偏微分方程，可以得到物体内部和表面的温度 分布情况。
此外，定积分还在相对论中的质能关系推导、引力场中的时空几何结构分析等方面发挥着重要作用。
混沌理论中的分形结构描述
混沌理论是研究非线性系统中复杂行为和现象的学科，分形结构是混沌 理论中的重要概念。分形结构具有自相似性和无穷嵌套的特点，通常用 于描述复杂系统的结构和行为。
定积分在分形结构的描述中起到关键作用。通过定积分，可以计算分形 结构的维数和面积、体积等几何属性，从而更好地理解和描述混沌系统
VS
详细描述
磁场强度是由电流产生的，而电流分布又 是随空间变化的。通过使用定积分，我们 可以计算出任意形状导电物体在空间中任 意一点的磁场强度。这对于理解和预测磁 场的行为至关重要。
电磁感应定律的推导
总结词
电磁感应定律的推导过程中，定积分起到了核心作用，该定律描述了磁场变化时会在导体中产生电动势的现象。
定积分在物理中的应用
定积分在物理中的应⽤定积分在物理中的应⽤⽬录：⼀．摘要⼆．变⼒沿直线所作的功三．液体的侧压⼒四．引⼒问题五．转动惯量摘要：伟⼤的科学家⽜顿，有很多伟⼤的成就，建⽴了经典物理理论，⽐如：⽜顿三⼤定律，万有引⼒定律等；另外，在数学上也有伟⼤的成就，创⽴了微积分。
微积分（Calculus）是⾼等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应⽤的数学分⽀。
它是数学的⼀个基础学科。
内容主要包括极限、微分学、积分学及其应⽤。
微分学包括求导数的运算，是⼀套关于变化率的理论。
它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可⽤⼀套通⽤的符号进⾏讨论。
积分学，包括求积分的运算，为定义和计算⾯积、体积等提供⼀套通⽤的⽅法。
微积分最重要的思想就是⽤"微元"与"⽆限逼近"，好像⼀个事物始终在变化你很难研究，但通过微元分割成⼀⼩块⼀⼩块，那就可以认为是常量处理，最终加起来就⾏。
微积分学是微分学和积分学的总称。
它是⼀种数学思想，‘⽆限细分’就是微分，‘⽆限求和’就是积分。
⽆限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是⽤⼀种运动的思想看待问题。
微积分堪称是⼈类智慧最伟⼤的成就之⼀。
在⾼中物理中，微积分思想多次发挥了作⽤。
定义：设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a ，b]中任意插⼊若⼲个分点 a=X0在每个⼩区间[Xi-1，Xi]上任取⼀点ξi(Xi-1≤ξi≤Xi)，作函数值f(ξi)与⼩区间长度的乘积f(ξi)△Xi ，并作出和()in i ix s ?=∑=1ξ如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在⼩区间上的点ξi 怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S 总趋于确定的极限I ，这时我们称这个极限I 为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作： ()dx x f ab ?即： ()()ini iab x f I dx x f ?==∑?==11设物体在连续变⼒F(x)作⽤下沿x 轴从x=a 移动到x=b,⼒的⽅向与运动⽅向平⾏,求变⼒所作的功.在[a,b]上任取⼦区间[x,x+dx],在其上所作的功元素为()dx x F dW =因此变⼒F(x)在区间[a,b]上所作的功为()dx x F W b a=例1．在⼀个带+q 电荷所产⽣的电场作⽤下，⼀个单位正电荷沿直线从距离点电荷a 处移动到b 处（a解：当单位正电荷距离原点r 时，由库仑定律电场⼒为2rq kF =则功的元素为dr rkq dW 2=所求功为：-=-==b a kq r kq dr r kq W bab a1112说明：电场在r=a 处的电势为akq dr r kq a=?∞+2例2. 在底⾯积为S 的圆柱形容器中盛有⼀定量的⽓体，由于⽓体的膨胀，把容器中的⼀个⾯积为S 的活塞从点a 处移动到点b 处（如图），求移动过程中⽓体压⼒所作的功.解：建⽴坐标系如图.由博伊尔马略特定律知压强p 与体积V 成反⽐，即xSpS F ==功元素为dx xkFdx dW ==所求功为[]ab k x k dx x k W babaln ln ===?例3.⼀蓄满⽔的圆柱形⽔桶⾼为5m ，底圆半径为3m ，试问要把桶中的⽔全部吸出需做多少功？解：建⽴坐标系如图，在任⼀⼩区间[x,x+dx]上的⼀薄层⽔的重量为dx g 23πρ??（KN ）这薄层⽔吸出桶外所做的功(功元素)为xdx dW πρ9=故所求功为：5502299?==xg xdx g W ρπρπρπg 5.112=（KJ ）液体侧压⼒设液体密度为ρ深为h 处的压强：h g pρ=*当平板不与⽔⾯平⾏时，所受侧压⼒就需⽤积分解决.例4.⼀⽔平横放的半径为R 的圆桶，内盛半桶密度为ρ的液体，求桶的⼀个端⾯所受的侧压⼒. 解：建⽴坐标系如图.所论半圆的⽅程为 2 2xR y-±=()R x ≤≤0利⽤对称性，侧压⼒元素 dx x R x g dP222-=ρ端⾯所受侧压⼒为322322R g dx x R x g P ?=-=ρρ说明：当桶内充满液体时，⼩窄条上的压强为()x R g +ρ,侧压⼒元素 ()dx x R x R g dP222-+=ρ，故端⾯所受侧压⼒为 ()dx x R x R g PR R222++=?-ρ令 t R x sin =↓Rg 0222arcsin 224?+-=ρ3R g ρπ=引⼒问题质量分别为1m ，2m 的质点，相距r ，⼆者间的引⼒：⼤⼩：221rmm kF =⽅向：沿两质点的连线若考虑物体对质点的引⼒，则需⽤积分解决.例5.设有⼀长度为l ，线密度为µ的均匀直棒，在其中垂线上距a 单位处有⼀质量为m 的质点M.式计算该棒对质点的引⼒.解：建⽴坐标系如图.细棒上⼩段[x ，x+dx]对质点的引⼒⼤⼩为22xa dxm kdF +=µ故垂直分⼒元素为αcos dF dF y22xa a x a dx m k +?+-=µ()2322x a dxakm +-=µ棒对质点的引⼒的垂直分⼒为()+-=2023222l yxa dxa km F µ2222l x a a x a km+-=µa a l km +-=µ棒对质点引⼒的⽔平分⼒0=x F故棒对质点的引⼒⼤⼩为22412la a l km F +=µ说明1.当细棒很长时，可视l 为⽆穷⼤，此时引⼒⼤⼩为akm µ2⽅向与细棒垂直且指向细棒.2. 若考虑质点克服引⼒沿y 轴从a 处移动到b （a dy ly y l km dW 22412+-=µ+-=b aly y dyl km W 2242µ3.当质点位于棒的左端点垂线上时，()2cos xa dxakm dF dF y +-=?-=µα()2322sin xa xdxkm dF dF x +=?=µα∴ ()+-=lyxa dxa km F 02322µ()+=lxkm F 02322µ引⼒⼤⼩为yxFF F22+=转动惯量质量为m 的质点关于轴l 的转动惯量为2mr I =与轴l 的距离为ir ，质量为im （i =1,2,…,n ）的质点系关于轴l 的转动惯量为2inli irm I ∑==若考虑物体的转动惯量，则需⽤积分解决. 例6.设有⼀个半径为R,质量为M 的均匀圆盘，（1）求圆盘对通过中⼼与其垂直的轴的转动惯量. （2）求圆盘对直径所在轴的转动惯量.解：（1）建⽴坐标系如图.设圆盘⾯积为ρ.对应于[x,x+dx]的⼩圆环对轴l 的转动惯量为 dx x dI32πρ=故圆盘对轴l 的转动惯量为321212I MRR dx x ===?πρπρ ??? ?=2R M πρ(2)取旋转轴为y 轴，建⽴坐标系如图.对应于[x,x+dx]的平⾏y 轴的细条关于y 轴的转动惯量元素为dx x R xdx yx dI y222222-==ρρ故圆盘对y 轴的转动惯量为dx x R RR y--=222I ρdx x R xR2224-=?ρtdt t R 220ρ（令x=Rsint ）244141MRR ==ρπ ??? ?=2R M πρ1. ⽤定积分求⼀个分布在某区间上的整体量Q 的步骤：（1）先⽤微分分析法求出它的微分表达式dQ ⼀般微分的⼏何形状有：条、段、环、带、扇、⽚、壳等. （2）然后⽤定积分来表⽰整体量Q ，并计算他. 2. 定积分的物理应⽤：变⼒做功，侧压⼒，引⼒，转动惯量等.○1抓起污泥后提出井⼝，已知井深30m ，抓⽃⾃重400N ，缆绳每⽶重50N ，抓⽃抓起的污泥中2000N ，提升速度为3m/s,在提升过程中污泥以20N/s 的速度从抓⽃缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓⽃提升到井⼝，问克服重⼒需做多少焦⽿（J ）功？（99考研）提⽰：作x 轴如图.将抓起污泥的抓⽃由x 提升dx 所作的功为井深30m ，抓⽃⾃重400N ，缆绳每⽶重50N ，抓⽃抓起的污泥中2000N,提升速度为3m/s,污泥以20N/s 的速度从抓⽃缝隙中漏掉321d dW dW dW W ++=克服抓⽃⾃重：dx dW 4001=克服缆绳中：()dx x dW -?=30502抓⽃升⾄x 处所需时间：3x（s ）提升抓⽃中的污泥：-=32020003()dx x x W??-+-+=∴30032020003050400()J 91500=○2.设星形线t a x 3cos =，t a y 3sin =上没⼀点处线密度的⼤⼩等于该点到原点距离的⽴⽅，再点O 处有⼀单位质点，求星形线在第⼀象限的弧段对这质点的引⼒.提⽰：如图.()()ds y x k yx ds y x k dF 2122222322+=++=αcos ?=dF dF x()ds yx x yx k 222122+?+=kxds =kyds dF dF y=?=αsin()[]()dtt t a t t a t a k F x22223cos sin3sin cos 3cos ?+-??=? ??=2042sin cos 3πtdt t k a253ka=同理253kaF y=故星形线在第⼀象限的弧段对该质点的引⼒⼤⼩为2253kaF =在⾼中物理中还有很多例⼦，⽐如我们学过的瞬时速度，瞬时加速度、感应电动势、引⼒势能等都⽤到了微积分思想，所有这些例⼦都有它的共性。
第三节定积分在物理上的应用
第三节定积分在物理上的应用定积分除了在几何中有着广泛的应用外，还在自然科学、工程技术等领域中有着广泛的应用。
这一节我们就来介绍定积分在物理学中的应用。
一、 变力沿直线做功由物理学我们知道，如果在恒力F （大小和方向都不发生变化）的作用下质点的移动方向与力的方向一致并且质点移动了距离S ，那么力F 对质点做的功为S F W ⋅=但是，如果质点在运动的过程中受到的力的大小是变化的，那么这个变力对物体所做的功又是多少呢？由于根据物理学可知功是具有可加性的，因此我们可以用元素法来计算变力做功。
我们以质点的移动方向为x 轴的正向，并且以质点的起点作为a 点，以终点作为b 点建立直角坐标系（如图所示）我们选质点的移动距离x 为积分变量，它的变化区间为[]b a ,。
考察[]b a ,上的经典子区间[]dx x x +,，当质点从点x 处移动到点dx x +时，变力可以近似的看作是一个常力，因此变力对质点所做的功近似等于()dx x F ，从而得功元素为dx x F dW )(=，于是所求的功为()⎰=ba dx x F W 。
例1 把一个带q +电量的点电荷放在坐标原点处，它会产生一个电场。
这个电场对周围的电荷有作用力。
由物理学可知，在距坐标原点x 的地方，这个电场对单位正电荷的作用力的大小为2xq k F =（k 是常数）。
现把这个单位正电荷从距坐标原点a 处沿x 轴移动到距坐标原点b 处，求电场所做的功。
解：在把单位正电荷从a 处移动到b 处的过程中，电场对这个正电荷的作用力2x q kF =是一个变力。
在这里我们取正电荷与原点的距离x 为积分变量，它的变化区间为[]b a ,。
考察[]b a ,上的经典子区间[]dx x x +,，当单位正电荷从x 移动到dx x +时，电场对正电荷的作用力近似等于2x q k，因此当单位正电荷从x 移动到dx x +时，电场对单位正电荷做的功近似等于dx x q k 2，从而得功元素为dx x q k dW 2=，于是所求的功为⎰=b a dx x q k W 2。
定积分在物理上的应用ppt
解 在 r 轴上, 当单位正电荷从 r 移动到 r+dr 时,
电场力对它所作的功近似为
k
q r2
dr
,
提示：
根据物理学, 在电量为+q的点电荷所产生的电场中, 距离
点电荷r处的单位正电荷所受到的电场力的大小为
Jlin Institute of ChemiFcalTkecrqh2no(lokgy是常数).
p h，这里 是水的比重．如果有一面积为
A 的平板水平地放置在水深为 h 处，那么，平 板一侧所受的水压力为 P p A．
如果平板垂直放置在水中，由于水深不同
的点处压强p 不相等，平板一侧所受的水压力
就不能直接使用此公式，而采用“微元法”思 想．
Jlin Institute of Chemical Technology
包权
人书友圈7.三端同步
上页 下页 返回 退出
包权
人书友圈7.三端同步
Jlin Institute of Chemical Technology
上页 下页 返回 退出
这一薄层水的重力为 9.8 32 dx
功元素为 dw 88.2 x dx,
o
x x dx
5
x
5
w 0 88.2 x dx
88.2
x2 2
5 0
3462 (千焦)．
0下载券文档一键搜索 VIP用户可在搜索时使用专有高级功能：一键搜索0下载券文档，下载券不够用不再有压力！
内容特 无限次复制特权 权 文档格式转换
知识影响格局，格局决定命运！ VIP有效期内可以无限次复制文档内容，不用下载即可获取文档内容
VIP有效期内可以将PDF文档转换成word或买的VIP时长期间，下载特权不清零。
第六章 第3节定积分在物理上的应用
P = ∫0 2γx R − x dx
2 2
R
= −γ ∫0
R
R2 − x 2d ( R2 − x 2 )
3 R
2γ 3 2 2 2 R . = −γ R − x = 3 0 3
例4 将直角边各为 a 及 2a 的直角三角形薄板 垂直地浸人水中，斜边朝下，直角边的边长与 垂直地浸人水中，斜边朝下， 水面平行， 水面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的 边长，求薄板所受的侧压力． 边长，求薄板所受的侧压力．
练习题答案
π 焦耳). 一、800π ln 2 (焦耳). 2 7 25 3 3 比例常数) 二、 kc a (其中 k 为比例常数) . 7
三、14373(千牛) . 14373(千牛) 千牛
2km ρ ϕ sin ,方向 为 M 指 向圆弧 六、引力的大小为 R 2 的中心 .
4 4 四、 πr g . 3
油类通过直油管时，中间流速大， 七、 油类通过直油管时 ，中间流速大， 越靠近管壁流 速越小，实验测定， 速越小，实验测定，某处的流 速 v 与 流处到管子 中心的距 离 r 之间 有关系式 v = k ( a 2 − r 2 ) , 其中 常数， 半径. k 为比例 常数， a 为油管 半径. 求通过油管的流 当流速为常量时， 截面积） 量 注： （ 当流速为常量时， 流量 = 流速 × 截面积） .
m1 m 2 r 的两个质点间的引力的大小为 F = k 2 ， r 其中 k 为引力系数，引力的方向沿着两质点的 为引力系数，
连线方向． 连线方向．
如果要计算一根细棒对一个质点的引力， 如果要计算一根细棒对一个质点的引力， 那么， 那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化 且各点对该质点的引力方向也是变化的， 的，且各点对该质点的引力方向也是变化的， 就不能用此公式计算． 就不能用此公式计算．
【教学课件】第三节 定积分在物理中的应用
ay22
1,(0xb)
2b
l* 2a
图5-19 例3水箱
整理课件
7
( 1 ) 取 积 分 变 量 为 x , 积 分 区 间 0 , b ; (2)在 0,b上 任 取 一 小 区 间 x,xdx,而 面 积 为
dA2a b2x2dx的 小 窄 条 (见 图 520阴 影 部 分 ) b
一 侧 所 受 的 液 体 压 力 ,也 就 是 压 力 微 元 为
f krq2,(k为常数) 如 图 5 1 7 所 示 ,当 这 个 单 位 正 电 荷 在 电 场 中 从 r a 处 沿 r a 处 沿 r轴 移 动 到 r b ,(a b )处 时 ,计 算 电 场 力 对 它 所 做 的 功 .
q
Oa
x xdx
b
r
图5-17 电场整力理课所件做的功
2
解 ( 1 ) 取 积 分 变 量 为 r , 积 分 区 间 为 a , b ; (2)在 区 间 a,b上 作 取 一 小 区 间 r,rdr,与 它 相 应 的 电 场
学模型. 例2 修建一座大桥墩时先要下围囹,
10m
并抽尽其中的水以便施工,已知半径是
2m
10m的圆柱形围囹的上沿高出水面2m,
x
河水深18m,问抽尽围囹内的水做多少功?
18m
dx
图5-18 例题 抽水做功
高等数学课件D6_3定积分在物理学上的应用 16页PPT文档
F
k
m1m2 r2
r m1
方向: 沿两质点的连线
若考虑物体对质点的引力, 则需用积分解决 .
例5. 设有一长度为 l, 线密度为 的均匀细直棒, 在
其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M, 试计算
该棒对质点的引力. 解: 建立坐标系如图. 细棒上小段
y a M d Fx
[x , x d x] 对质点的引力大小为
R
4R g R R2 x2 dx 0 令 x R sin t
奇函数
4R g x R2 x2 R2 arcsin x R
2
2
R0
g R3
O
x
y
xdx
R
x
三、 引力问题
质量分别为 m1 , m2 的质点 , 相距 r ,
m2
二者间的引力 :
大小:
y
1) 当细棒很长时,可视 l 为无穷大 ,
b
此时引力大小为 2k m
y
a
方向与细棒垂直且指向细棒 .
a
2) 若考虑质点克服引力沿 y 轴从 a 处
移到 b (a < b) 处时克服引力作的功,
则有
dW
2k
m y
l
1 4y 2 l2 dy
b
W 2km l
dy
a y 4y2 l2
素为
dW F(x)dx
a x xdx b x
因此变力F(x) 在区间 [a ,b]上所作的功为
b
W a F (x) dx
例1. 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下, 一个单
位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a < b) ,
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x k m a 2 2 2 a a x 0
l 2
d Fy
y M a d Fx
dF
l 2
2k m l 1 a 4a 2 l 2
o
xdx x l x
2
利用对称性
棒对质点引力的水平分力 Fx 0 . 故棒对质点的引力大小为 F
2k m l
a
方向: 沿两质点的连线
m2
r
m1
若考虑物体对质点的引力,则需用积分解决 .
例4. 设有一长度为L,线密度为 的均匀细直棒, 在
其中垂线上距a单位处有一质量为m的质点M, 试计算 该棒对质点的引力. 细棒上小段 解: 建立坐标系如图.
y M dF a x
d Fa y
[ x , x dx] 对质点的引力大小为 m dx dF k 2 a x2
o
5m
xdx
g 32 dx (KN)
这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为
x
d W 9 g x dx
故所求功为
x2 5 W 9 g x d x 9 g 0 2 0 112.5 g ( KJ )
5
3m x
设水的密 度为
二、水压力
设液体密度为
第6 章
第6章 定积分的应用
本章内容：
第一节、定积分的元素法
第二节、定积分在几何上的应用 第三节、定积分在物理上的应用
第三节 定积分在物理上的应用
一、变力沿直线所作的功 二、水压力
三、引力
四、小结及作业
一、 变力沿直线所作的功
设物体在连续变力F(x)作用下沿x轴从x＝a移动到
力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 .
l
a dFx d Fy d F k m2 d x a x2 o
x dx Fx k m 2 0 (a x 2 ) 3 2
l
x x d xl x
引力大小为 F Fx 2 F y 2
四、内容小结
1.用定积分求一个分布在某区间上的整体量Q的步骤: (1) 先用微元分析法求出它的微分表达式dQ 一般微元的几何形状有: 条、段、环、带、
o x y d P 2 g x R 2 x 2 dx xdx 端面所受侧压力为 R 2g 3 x R 2 2 R P 2 g x R x dx 0 3 小窄条上各点的压强
利用对称性,侧压力元素
pgx
说明: 当桶内充满液体时,小窄条上的压强为 g ( R x ) ,
侧压力元素 d P 2 g ( R x) R 2 x 2 dx ,
故端面所受侧压力为
o x y xdx R x
4R g
R
0
R x dx
2
2
奇函数
1 2 4 Rg . R 4
g R3
三、 引力问题
质量分别为 的质点,相距r,
二者间的引力 : 大小:
故垂直分力元素为
dF
l 2
d Fy dF cos m dx k 2 2 a x
o
2
xdx x l x
2
a a x
2 2
k m a
dx (a x )
2
3 2
棒对质点的引力的垂直分力为 l dx 2 F y 2 k m a 2 0 (a x 2 ) 3 2
o
xdx x l x
2
3) 当质点位于棒的左端点垂线上时,
dx 2 2 32 (a x ) x d x d F sin d Fx km 2 y 2 32 (a x )
dF y d F cos k m a
注意正负号
dx Fy k m a 2 0 (a x 2 ) 3 2
1 4 a 2 l 2
说明: 1)当细棒很长时,可视L为无穷大 , 2k m 此时引力大小为 a 方向与细棒垂直且指向细棒 . 2)若考虑质点克服引力沿y轴从a处 移到b(a<b)处时克服引力作的功,
y b
y
a
则有
l 2k m l 1 2 y 4 y 2 l 2 b dy W 2 k m l a y 4 y2 l 2
扇、片、壳等.
(2) 然后用定积分来表示整体量Q,并计算之.
2.定积分的物理应用:
变力作功, 侧压力 , 引力 等.
习题6 3 P291
3(1), 6, 10
深为h处的压强: p g h
•当平板与水面平行时, 平板一侧所受的压力为
h
P pA
•当平板不与水面平行时, 面积为A的平板 所受侧压力问题就需用积分解决 .
例3. 一水平横放的半径为R的圆桶,内盛半桶密度为
的液体,求桶的一个端面所受的侧)
在其上所作的功元
素为
d W F ( x ) dx
a
x xdx b x
因此变力F(x)在区间
上所作的功为
W F ( x ) dx
a
b
例1. 在一个带+q电荷所产生的电场作用下, 一个单
位正电荷沿直线从距离点电荷a处移动到b处(a<b), 求电场力所作的功 . 解: 当单位正电荷距离原点r时, 由库仑定律电场力为
则功的元素为 d W k q d r r2
所求功为
q o
1 1
a
r r dr b
r
1 b 1 1 k q k q ( ) a b r a
例2. 一蓄满水的圆柱形水桶高为5m,底圆半径为3m,
试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 建立坐标系如图. 在任一小区间 [ x , x dx] 上的一薄层水的重力为 解: