高中数学第三章导数及其应用31导数311函数的平均变化率素材新人教B版1-1.
高中数学第三章导数及其应用3.1导数3.1.1函数的平均变化率教案新人教B版选修1_1
3.1.1 函数的平均变化率预习导航平均变化率思考1直线的斜率k ，倾斜角θ及直线上两点坐标之间有什么关系？提示：设点A 的坐标为(x 0，y 0)，点B 的坐标为(x 1，y 1)(x 0≠x 1)，自变量x 的改变量x 1－x 0记为Δx ，函数值的改变量y 1－y 0记为Δy ，即Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－y 0. 直线AB 的倾斜角为α，斜率为k ，则有k ＝tan_α＝y 1－y 0x 1－x 0＝Δy Δx. 思考2平均变化率的取值一定是正数吗？提示：不一定．平均变化率可正、可负，也可以为零，平均变化率为0，函数f (x )并不一定没有发生变化．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂； 幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
高中数学第三章导数及其应用3.1.1函数的平均变化率3.1.2瞬时速与导数课件新人教B版选修1107
y′|x＝3＝ lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
(2Δx＋16)＝16.
第二十八页，共29页。
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
Δt→0
v ＝s33－－1s1＝2×32＋3－22×12＋3
＝8(cm/s)．
第十八页，共29页。
[探究共研型]
函数(hánshù)在某点处的导数
探究 导数或瞬时变化率反映函数变化的什么特征？ 【提示】 导数可以反映函数在一点处变化的快慢程度．
第十九页，共29页。
(1)求函数y＝ x在x＝1处的导数； (2)求函数y＝x2＋ax＋b在x处(a，b为常数)的导数． 【精彩点拨】 本题求函数的导数，可以按照“求导数的三步曲”来求解．
【自主解答】 (1)Δy＝ 1＋Δx－1，
ΔΔyx＝ 1＋ΔΔxx－1＝ 1＋1Δx＋1，
lim
Δx→0
1＋1Δx＋1＝12，
∴y′|x＝1＝12.
第二十页，共29页。
(2)Δy＝[(x＋Δx)2＋a(x＋Δx)＋b]－(x2＋ax＋b)＝2x·Δx＋(Δx)2＋a·Δx
＝(2x＋a)·Δx＋(Δx)2，
ΔΔyx＝2x＋a·ΔΔxx＋Δx2
高中数学 第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念课件3 新人教A版选修11
=(2+Δt)2+3(2+Δt)-(22+3×2)
=(Δt)2+7Δt
所以 s (t)2 7t t 7.
t
t
所以当Δt趋近于0时, 趋s 近于7.故该物体在2s时的
t
瞬时速度是7m/s.
4.如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率
是
.
【解析】 y f 3 f 1 1 3 1.
x
数,这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率,它是一个 固定值.
特别提醒:“Δx无限趋近于0”的含义: Δx趋于0的距离要多近有多近,即|Δx-0|可以小于给 定的任意小的正数,且始终Δx≠0.
类型一 求函数的平均变化率
【典例】1.一物体的运动方程是s=3+2t,则在[2,2.1]
这段时间内的平均速度是 ( )
x 3 1 3 1
答案:-1
5.函数y=f(x)= 1 在x=1处的瞬时变化率为
.
x
【解析】因为Δy=f(1+Δx)-f(1)= 1 1 x ，
1 x 1 1 x
所以 y 所1 以，当Δx趋近于0时, 趋近于y -1.
x 1 x
x
故函数f(x)在x=1处的瞬时变化率为-1.
答案:-1
【知识探究】 探究点1 函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率 1.在平均变化率的定义中,自变量x在x0处的改变量Δx 是否可以为任意实数,Δy呢? 提示:在平均变化率的定义中,改变量Δx可正、可负, 但不能等于0;而Δy可以为任意实数.
第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念
【自主预习】
1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率
高中数学第三章导数及其应用3.1.1平均变化率课件10苏教版选修11
2.平均变化率的实质就是：
函数值的改变量与自变量的改变量之比
.
数学理论
练习1 f (x0 x) f (x0 ) 表示函数f(x)在区
x
间 [x0,x0 x] 上的平均变化率.
练习2 f (x0 x) f (x0 x)表示函数f(x)在区 2x
问题情境
问题3 在图中的AB、BC段，“记忆保留比率”的改
变量分别是多少？
平均变化率
AB段 : 35.8 44.2 100 100
=-8.4﹪
A
BC段 : 25.4 35.8
B
100 100
C
=-10.4 ﹪
此图中，AB段曲线比CD段曲线更“陡峭”，用怎样 的数学模型刻画曲线的陡峭程度呢？
例2 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s后
容器甲中水的体积V(t)=5×2-0.1t（单位:cm3）， 计算第一个10s内V的平均变化率.
解 ：在区间[0,10]内V的平均变化率为
V (10) V (0) 5 20.110 5 20.10 0.25(cm3 / s)，
4
(2) [1，2]；
3
(3) [1，1.1]； 2.1
(4) [1，1.01] ； 2.01
(5) [1，1.001]； 2.001
变化率为
f (3) f (1) 32 12
4
31
2
函数在[1, 2]上的平均变化
率为 f (2) f (1) 22 12
2 1
1
函数在[1, 1.1]上的平均变
(6) [1，1.0001]；2.0001 2 化率为
高中数学第三章变化率与导数3.1变化的快慢与变化率3.1
【做一做 1】 已知函数 f(x)=2x2-1 的图像上一点(1,1)及邻近一
点(1+Δx,1+Δy),则ΔΔ������������等于(
)
A.4
B.4x
C.4+2Δx
D.4+2(Δx)2
解析:ΔΔ������������
=
������(1+������)-������(1) ������
=2(1+Δ������)2Δ-1������-2×12+1
题型一
题型二
题型三
平均变化率在物理中的应用
【例2】 一辆汽车按s=3t2+1做直线运动,求这辆车从3 s到6 s的
平均速度(位移单位:m,时间单位:s).
分析:求平均速度就是把位移s看成时间t的函数,利用求平均变化
率的公式来求平均速度.来自解:������=
������ ������
=
������(6)-������(3) 6-3
名师点拨1.平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”,或者说,曲线陡
峭程度是平均变化率的“视觉化”.
2.对于函数y=f(x),当自变量x在x0处有改变量Δx时,函数y相应地 有改变量Δy,则f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率有更一般的形式:
������ ������
=
������(������0+ΔΔ������������)-������(������0).
3.1.1 平均变化率
1.理解函数平均变化率的概念. 2.会求给定函数在某个区间上的平均变化率,并能根据函数的平 均变化率判断函数在某个区间上的变化快慢.
函数的平均变化率 对于函数 y=f(x),当自变量 x 从 x1 变为 x2 时,函数值从 f(x1)变为 f(x2),它的平均变化率为������(���������2���2)--������������1(������1).通常自变量的变化 x2-x1 称作自变 量的改变量,记作 Δx,函数值的变化 f(x2)-f(x1)称作函数值的改变量, 记作 Δy.这样,函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自
2019_2020学年高中数学第三章导数及其应用3.1导数3.1.1函数的平均变化率学案新人教B版选修1_1
Δx
Δx
1．函数 y＝f(x)，当自变量 x 由 x0 改变到 x0＋Δx 时，Δy＝( )
A．f(x0＋Δx)
B．f(x0)＋Δx
C．f(x0)·Δx
D．f(x0＋Δx)－f(x0)
答案：D
2．函数 y＝2x＋1 在 x＝3 到 x＝5 的平均变化率是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：B 3．函数 y＝f(x)＝3x2＋2 在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为________，当 x0＝2， Δx＝0.1 时平均变化率的值为________． 解 析 ： 函 数 y ＝ f(x) ＝ 3x2 ＋ 2 在 区 间 [x0 ， x0 ＋ Δ x] 上 的 平 均 变 化 率 为 f（x0＋Δx）－f（x0） （x0＋Δx）－x0 ＝[3（x0＋Δx）2＋2]－[3x20＋2]
Δx ＝6x0·Δx＋3（Δx）2＝6x0＋3Δx.
Δx
当 x0＝2，Δx＝0.1 时，
1
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函数 y＝3x2＋2 在区间[2，2.1]上的平均变化率为 6×2＋3×0.1＝12.3. 答案：6x0＋3Δx 12.3
求函数的平均变化率[学生用书 P44]
函数的平均变化率反映的是函数的图象在这一点附近的“陡峭”程度，此题中“函数在
x＝3 附近平均变化率的绝对值最大”说明在 x＝1，2，3 这三点中，在 x＝3 附近函数的图
象最为“陡峭”．
函数 f(x)＝2x2＋1 在 x＝1 附近的平均变化率________在 x＝3 附近的变
化率(填“大于”“小于”“等于”)．
Δx
＝－2x0·Δx－（Δx）2＝－2x0－Δx， Δx
高中数学 311平均变化率、瞬时速与导数课件 新人教B版选修1
所以 liΔxm→0 ΔΔyx＝liΔxm→0 (2＋Δx)＝2.
所以 y′|x＝1＝2.
[说明] 用导数的定义求一个函数的导数的步骤：第一 步：求函数的增量，即求 Δy＝f(x＋Δx)－f(x)．第二步：求平 均变化率，即求ΔΔyx.第三步：求极限，即求 liΔxm→0 ΔΔyx，可简 记为“一差二化三极限”．
• 3．情感、态度与价值观 • 经历由平均速度到瞬时速度刻画现实问题的过程，感受
导数在实际问题中的应用，初步认识导数的应用价值， 树立学好数学的信心．
• 本节重点：函数在某一点的平均变化率，瞬时变化率、导 数的概念．
• 本节难点：导数的概念．
• 本节学习的有关概念比较抽象，学习时应通过实例理解 相关概念，深刻体会数学源于生活，又应用于生活．
• 2．情感目标
• 通过具体实例，认识导数的工具性及其与实际问题的联 系，感受和体会导数在解决实际问题中的作用，提高学 生学习兴趣，感受导数在解题中的作用和威力，自觉形 成将数学理论和实际问题相结合的思想，在解题过程中， 逐步养成扎实严格、实事求是的科学态度．
• ●重点难点 • 本章重点：导数的运算和利用导数解决实际问题． • 本章难点：导数概念的理解． • ●学法探究 • 导数是微积分的初步知识，是研究函数、解决实际问题
的有力工具．学习本章要认真理解平均变化率、瞬时速 度的概念，进一步理解导数的概念和导函数的定义，掌 握导数的几何意义，掌握基本初等函数的导数公式和导 数的四则运算法则，通过具体实例，认识导数的工具性 及其与实际问题的联系，感受导数在解题中的作用，充 分体会数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想及 理论联系实际的思想方法．
• [例4] 已知f(x)＝(x－1)2，求f′(x)，f′(0)，f′(2)． • [分析] 求导数的步骤一般是先求导函数，再求导函数
高中数学 第三章 导数及其应用 3.1 导数 3.1.1 函数的
3.1.1 函数的平均变化率课堂探究探究一 求函数的平均变化率求函数的平均变化率应按照定义应用公式来求．第一步，计算自变量的改变量：Δx ＝x －x 0；第二步，计算函数值的改变量：Δy ＝f (x )－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；第三步，计算平均变化率：Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. 【典型例题1】 已知函数f (x )＝2x 2＋1，分别计算f (x )在－3到－1之间和在1到1＋Δx 之间的平均变化率．思路分析：先由题目条件求出自变量的改变量Δx 与函数值的改变量Δy ，再根据定义代入公式求解．解：(1)Δx ＝－1－(－3)＝2，Δy ＝f (－1)－f (－3)＝[2×(－1)2＋1]－[2×(－3)2＋1]＝－16，所以Δy Δx ＝－162＝－8， 即f (x )在－3到－1之间的平均变化率为－8.(2)因为Δx ＝1＋Δx －1＝Δx ，Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝[2×(1＋Δx )2＋1]－(2×12＋1)＝4Δx ＋2(Δx )2， 所以Δy Δx ＝4Δx ＋2(Δx )2Δx＝4＋2Δx ， 即f (x )在1到1＋Δx 之间的平均变化率为4＋Δx .探究二 平均变化率的比较函数的平均变化率反映的是函数的图象在这一点附近的“陡峭”程度．函数在某点附近的平均变化率的绝对值越大，说明函数在此点附近的图象越“陡峭”． 比较平均变化率的方法步骤：(1)求出两不同点处的平均变化率；(2)作差(或作商)，并对差式(商式)作合理变形，以便探讨差的符号(商与1的大小)；(3)下结论．【典型例题2】 已知函数f (x )＝3－x 2，计算当x 0＝1,2,3，Δx ＝13时，平均变化率的值，并比较函数f (x )＝3－x 2在哪一点附近的平均变化率最大．思路分析：先求f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，再求各点附近的平均变化率，最后比较得结论．解：函数f (x )＝3－x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝[3－(x 0＋Δx )2]－(3－x 20)Δx＝－2x 0·Δx －(Δx )2Δx ＝－2x 0－Δx .当x 0＝1，Δx ＝13时，平均变化率的值为－73； 当x 0＝2，Δx ＝13时，平均变化率的值为－133； 当x 0＝3，Δx ＝13时，平均变化率的值为－193. 因为－73＞－133＞－193，所以函数f (x )＝3－x 2在x 0＝1附近的平均变化率最大．。
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3.1.1 函数的平均变化率
课堂探究
探究一 求函数的平均变化率
求函数的平均变化率应按照定义应用公式来求．第一步，计算自变量的改变量：Δx ＝x －x 0；第二步，计算函数值的改变量：Δy ＝f (x )－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；第三步，计
算平均变化率：Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx
. 【典型例题1】 已知函数f (x )＝2x 2＋1，分别计算f (x )在－3到－1之间和在1到1＋Δx 之间的平均变化率．
思路分析：先由题目条件求出自变量的改变量Δx 与函数值的改变量Δy ，再根据定义代入公式求解．
解：(1)Δx ＝－1－(－3)＝2，
Δy ＝f (－1)－f (－3)＝[2×(－1)2＋1]－[2×(－3)2＋1]＝－16，
所以Δy Δx ＝－162
＝－8， 即f (x )在－3到－1之间的平均变化率为－8.
(2)因为Δx ＝1＋Δx －1＝Δx ，
Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝[2×(1＋Δx )2＋1]－(2×12＋1)＝4Δx ＋2(Δx )2， 所以Δy Δx ＝4Δx ＋2(Δx )2Δx
＝4＋2Δx ， 即f (x )在1到1＋Δx 之间的平均变化率为4＋Δx .
探究二 平均变化率的比较
函数的平均变化率反映的是函数的图象在这一点附近的“陡峭”程度．函数在某点附近的平均变化率的绝对值越大，说明函数在此点附近的图象越“陡峭”． 比较平均变化率的方法步骤：
(1)求出两不同点处的平均变化率；
(2)作差(或作商)，并对差式(商式)作合理变形，以便探讨差的符号(商与1的大小)；
(3)下结论．
【典型例题2】 已知函数f (x )＝3－x 2，计算当x 0＝1,2,3，Δx ＝13
时，平均变化率的值，并比较函数f (x )＝3－x 2在哪一点附近的平均变化率最大．
思路分析：先求f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，再求各点附近的平均变化率，最后比较得结论．
解：函数f (x )＝3－x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为
f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx
＝[3－(x 0＋Δx )2
]－(3－x 20)
Δx
＝－2x 0·Δx －(Δx )
2
Δx ＝－2x 0－Δx .
当x 0＝1，Δx ＝13时，平均变化率的值为－73； 当x 0＝2，Δx ＝13时，平均变化率的值为－133； 当x 0＝3，Δx ＝13时，平均变化率的值为－193. 因为－73＞－133＞－193，
所以函数f (x )＝3－x 2在x 0＝1附近的平均变化率最大．。