三角恒等变换专题复习学案
三角函数专题复习-三角恒等变换导学案-2023届高三数学二轮专题复习
三角函数第1课时 任意角和弧度制、三角函数的概念【学习目标】1.了解任意角的概念会用公式求扇形弧长、面积；2.会用三角函数定义求值，能判断三角函数在各象限的符号. 【教学过程】 一、基础自测1.下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A.2k π＋45°(k ∈Z )B.k ·360°＋9π4(k ∈Z )C.k ·360°－315°(k ∈Z )D.k π＋5π4(k ∈Z )2.一扇形的圆心角α＝︒60，半径R ＝10 cm ，该扇形的面积为 .3.若角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (－1,2)，则sin α－cos α＋tan α＝________.4.已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限[必备知识] 1.角的概念(1)定义： .(2)分类： (3)终边相同的角： . 2.弧度制的定义和公式(1)定义： .(2)公式： . 3.设角α终边上异于原点的任意一点P (x ，y )，r ＝x 2＋y 2.三角函数 定义 定义域第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号sin αcos αtan α角度 ︒0 ︒30 ︒45 ︒60 ︒90 ︒120 ︒135 ︒150 ︒180弧度 sin αcos α tan α二、典例精讲例1（1）已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0)，且sin α＝2m4，则cos α＝________，tan α＝________. （2）若α为第二象限角，则cos 2α，cos α2，1sin 2α中，其值必为正的有( )A.0个B.1个C.2个D.3个归纳：巩固练习1:（1）已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A.－12B.－32C.12D.32（2）设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角例2.扇形周长为20 cm ，这个扇形的面积最大时，扇形的圆心角α为 弧度归纳：巩固练习2（多选）已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，下列选项可能正确的有( ) A.圆的半径为2 B.圆的半径为1 C.圆心角的弧度数是1 D.圆心角的弧度数是2三、达标检测1.若扇形的面积为3π8、半径为1，则扇形的圆心角为( )A.3π2B.3π4C.3π8D.3π162.已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α等于( )A.－15B.3715C.3720D.13153.(多选)角α的终边在第一象限，则sinα2⎪⎪⎪⎪sin α2＋cos α2⎪⎪⎪⎪cos α2＋tan α2⎪⎪⎪⎪tan α2的值为( )A.－1B.1C.－3D.34.若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________.5.已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义. (1)试判断角α所在的象限； (2)若角α的终边上一点M ),53(m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值.思维导图 三角 函数任意角与弧度制任意角的三角函数角定义弧度制符号角度与弧度互化 特殊角弧度数 扇形弧长、面积三角函数第2课时同角三角函数基本关系与诱导公式【学习目标】1.会用同角基本关系式解决给值求值问题；2.熟记诱导公式并会用诱导公式化简求值. 【教学过程】 二、基础自测1.若sin α＝55，π2<α<π，则αcos = tan α=2.若sin(π＋α)＝12，α∈02π⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则tan(π－α)等于( ) A ．－12B 3C 3D 33．已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则()tan α-=（ ）A ．–2B ．2C ．13- D ．134．sin 1 050°等于( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32 [必备知识]1.同角三角函数的基本关系平方关系： 商数关系： 2.公式 角 正弦 余弦 正切 口诀① 2k π＋α(k ∈Z )奇变偶不变，符号看象限② －α ③ π－α ④ π＋α⑤ π2－α⑥ π2＋α⑦ 32π＋α⑧ 32π－α三、典例精讲例1（1）已知tan α＝2，则3sin α－cos αsin α＋2cos α等于( )A.54 B ．－54 C.53 D ．－53（2）已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈)4,0(π，则sin θ－cos θ的值为 ．归纳：巩固练习1:（1）已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为 ．（2）已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则sin θ－cos θ= ，tan θ＝ . 例2.（1）在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边经过点P (3,4)，则sin )22021(πα-等于( ) A ．－45 B ．－35 C.35 D.45（2）已知sin )3(απ+＝1213，则cos )6(απ-等于( )A.513B.1213 C ．－513 D ．－1213 归纳：巩固练习2：（1）已知α∈(0，π)，且cos α＝－1517，则sin )2(απ+·tan(π＋α)等于( )A ．－1517 B.1517 C ．－817 D.817（2）sin )12(πα-＝13，则cos )1271(πα+＝ .四、达标检测1.已知α是第四象限角，tan α＝－815，则sin α等于( )A.1517 B ．－1517 C.817 D ．－8172.已知(0,)απ∈，若2cos 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭5sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．14B 2C ．2D 143.(多选)在△ABC 中，下列结论正确的是( )A ．sin(A ＋B )＝sinC B ．sin B ＋C 2＝cos A2 C ．tan(A ＋B )＝－tan C )2(π≠C D ．cos(A ＋B )＝cos C4.sin 4π3·cos 5π6·tan )34(π-的值是 ．5.已知－π2<α<0，且函数f (α)＝cos )23(απ+－sin α·1＋cos α1－cos α－1.(1)化简f (α)； (2)若f (α)＝15，求sin αcos α和sin α－cos α的值．思维导图三角函数第3课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式【学习目标】1.会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式化简求值；2.会用辅助角公式化简求值. 【教学过程】 三、基础自测1.(多选)下面各式中，正确的是( )A.cos π12＝cos π3－cos π4B.cos 5π12＝22sin π3－cos π4cos π3C.cos )12(π-＝cos π4cos π3＋64 D.3sin α＋cos α＝2sin )3(πα+2.已知tan θ＝2，则tan )4(πθ-＝ .3.cos 17°cos 77°＋cos 73°cos 13°＝4.tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°＝ . [必备知识]两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C α－β：cos(α－β)＝ ；(2)公式C α＋β：cos(α＋β)＝ ； (3)公式S α＋β：sin(α＋β)＝ ；(4)公式S α－β：sin(α－β)＝ ； (5)公式T α＋β：tan(α＋β)＝ ；(6)公式T α－β：tan(α－β)＝ . (7)(辅助角公式)a sin α＋b cos α＝ .五、典例精讲例1（1）若cos α＝－45，α是第三象限角，则sin )4(πα+等于( )A.－210B.210C.－7210D.7210（2）已知534cos 23sin 23=+αα，则4sin 3απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．23B 23C ．45-D ．45归纳：巩固练习1:（1）已知sin α＝35，α∈),2(ππ，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为( )A.－211B.211C.112D.－112（2）若3sin s 2a a +=，则tan()πα+=（ ）A 3B 2C 2D 3例2.已知sin α＝255，sin(β－α)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于( )A.5π12B.π3C.π4D.π6归纳：巩固练习2：已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β＝ ..六、达标检测1.－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°等于( ) A.12 B.33 C.22 D.322.已知α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，tan α，tan β是方程x 2＋12x ＋10＝0的两根，则tan(α＋β)等于( ) A.43 B.－2或12 C.12D.－2 3.（多选）已知3cos α－3sin α＝23cos(α＋φ)，则φ的值可能为（ ）A.π6 B.613π C. 6π- D.611π 4.已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝3cos α，tan β＝33，则tan(α＋β)＝ . 5.已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值.思维导图 辅助角公式 a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝aa 2＋b 2三角函数第4课时 三角恒等变换【学习目标】1.熟记正弦、余弦、正切倍角公式；2.会用正弦、余弦、正切倍角公式、半角公式化简求值. 【教学过程】 四、基础自测1.sin 15°cos 15°等于( )A.－14B.14C.－12D.122.已知α，β为锐角，tan α＝43，则cos 2α等于( )A.725B.－725C.2425D.－24253.计算：4tanπ123tan 2π12－3等于( )A.233B.－233C.239D.－239[必备知识]二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S 2α：sin 2α＝ .(2)公式C 2α：cos 2α＝ ＝ ＝ . (3)公式T 2α：tan 2α＝ .(4)(降幂公式)sin 2α＝ ，cos 2α＝ . (5)(半角公式)=2sinα，=2cosα.七、典例精讲例1（1）(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α等于( )A.53B.23C.13D.59正用、逆用公式变形正弦：正余余正符号同余弦：余余正正符号异（2）已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝ .归纳：巩固练习1:（1）(2019·全国Ⅱ)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α等于( ) A.15 B.55 C.33 D.255（2）已知()5sin 26cos 0απα+-=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2cos 24απ⎛⎫ +⎪⎝⎭=（ ）A ．15-B ．15C ．35D ．45例2.若sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝14，则cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α 等于 . 归纳：巩固练习2：若1010)6cos(=+πθ，则)322cos(πθ- 等于 . 八、达标检测1.已知sin α－cos α＝43，则sin 2α等于( )A.－79B.－29C.29D.792.计算：1－cos 210°cos 80°1－cos 20°等于( )A.22B.12C.32D.－223.(多选)已知函数f (x )＝sin x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－14，则f (x )的值不可能是( ) A.－12 B.12C.－2D.24.若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝31010，则tan 2α＝ . 5.已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝210，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π.求： (1)cos α的值；(2)sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4的值思维导图。
三角恒等变换复习学案
第三章 三角恒等变换【复习目标】1.理解并掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，初步运用公式求一些角的三角函数值；2.理解并掌握正弦、余弦和正切的二倍角公式；3.会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明，会推导半角公式，积化和差、和差化积公式（公式不要求记忆），进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。
【重点】以已有公式为依据，以推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。
【难点】认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。
一、知识点回顾cos(α+β)= sin2α=cos(α-β)=sin(α+β)= cos2α= sin(α-β)= tan(α+β)=tan(α-β)= tan2α=二、典型例题分析 例1：已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.例2：求下列函数的最小正周期，递增区间及最大值。
1sin 2cos 2y x x =（） 2(2)2cos 12xy =+(3)sin 4y x x +例3：已知21)2tan(=-βα，31)2tan(-=-αβ，求)tan(βα+的值。
基础题组1.化简00cos(30)cos sin(30)sin αααα+++=2.若()0000cos 60,sin 60,(cos15,sin15)a b ==，则a b ∙=3.=ππππ12cos 24cos 48cos 48sin8____________ 14.cos sin 7αβααββ=+=已知，为锐角，，（），求cos5.求证：sin 1cos tan 21cos sin -==+ααααα能力提升1.化简0cos(30)cos sin(30)sin αααα+++=2..___________40tan 20tan 340tan 20tan =++3.1tan151tan15+-=____________．4. =__________5.中x x x x f ωωωcos sin cos 3)(2+=,其中 ω>0,且)(f x 的图像在y 轴右侧第一个最高点横坐标为6π，求f(x)的解析式；写出f(x)的单调递减区间；由y=sinx 的图像，经过怎样的变换，可以得到f(x)的图像？练习与测试1.已知12cos ,0,132παα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则cos()4πα-的值等于___________2.x x =--------------------- 3.=π-ππ+π)125cos 125)(sin 125cos 125(sin __________________;4．=α+-α-tan 11tan 11___________________;5.求的值。
三角恒等变换学案
三角恒等变换学案(1)两角和与差的余弦预学案：1.利用书P90T22提供的情景和所学知识探究如何用sin ,cos ,sin ,cos ααββ来表示cos αβ±（）2.阅读书P103-104,理解记忆公式公式：cos()αβ-= cos()αβ-= 注意抓住公式的结构特点，记住公式。
预习检测：1. 求值：0cos75，0cos15,tan15 2. 已知：233sin ,(,),cos ,(,)3252πααπββππ=∈=-∈，求cos()αβ+的值。
注：做本题一定要注意符号的选择。
做完后要和书本上的步骤对照，发现并完善自己的书写。
3. 0000cos50cos 20sin50sin 20+=4. cos +cos()sin()sin()αβαβαβαβ-++-（）=5.cos(15)cos15sin(165)sin(15)αα--+-= ； （对公式不但会正用，还要学会逆用） 固学案： 1. 已知4cos ,(,0),52παα=∈-求cos()3πα-的值2. （=1）3.已知锐角,αβ且416cos ,cos(),565ααβ=+=-求cos β的值 （513） （注意：角的变换）巩固练习：1.已知α，β都是锐角，3sin 5α=，5cos 13β=，则cos()αβ+= . 2．使得等式1cos cos sin sin 2αβαβ-=成立的一组α，β的值是 ．3．已知1cos()cos 32παα-=，且02απ<<，则α= ．4．化简（1）cos )cos(60)x x x +++=；（2）sin()cos sin()sin 36ππαααα-++= ． 5．在ABC ∆中，若cos()2cos cos A B A B -=，则ABC ∆的形状是 . 6.若12cos()313πα-=，32ππα<<，求cos α． 7.函数()cos 2sin 2f x x x =-的最小值是 ．习题课一、练习： 1．已知2sin 3α=，3cos 4β=-，α，β都是第二象限角，则cos()αβ-= . 2．不查表求值：sin 402cos 70sin 50+= .3．若sin α=sin β=，α，β为锐角，则αβ+= ．4．已知α与β均为锐角，sin α=tan 3β=.则αβ-= . 5．在ABC ∆中，已知5cos 13A =，4cos 5B =，则cosC = ． 二．合作探究：例1.若sin sin 1αβ-=，1cos cos 2αβ-=，求cos()αβ-的值.变式1：若cos cos cos 0αβγ++=，sin sin sin 0αβγ++=，求cos()αβ-．变式2：已知4cos()5αβ+=，2cos()5αβ-=，求tan tan αβ.例2.已知5cos()1213x π+=-，x 是第三象限角，求cos()6x π-的值．变式1：已知α、β为锐角，且4cos 5α=，16cos()65αβ+=，则cos β= .变式2：已知：12cos()13αβ-=-，12cos()13αβ+=，且(,)2παβπ-∈，3(,2)2παβπ+∈， 求cos2α、cos 2β及角β的值.例3．函数1()cos 2sin 222f x x x =+的最小正周期是 ．变式：函数()cos f x x x =的单调增区间是 ．三角恒等变换学案(2)两角和与差的正弦预习案：1.探究:如何由cos αβ±（）得到sin()αβ±的公式2.阅读书本P107-109，记住公式：sin()αβ+=sin()αβ-= 预习检测：1. 求值0sin 75,sin15,sin105 2. 已知.233sin ,(,),cos ,(,)3252πααπββππ=∈=-∈,求sin()αβ+的值3. 已知54cos(),cos ,,135αββαβ+==均为锐角，求sin α的值4. 求函数1sin cos 22y x x =-的最大值固学案:1. 求值:0sin105,cos1652．计算22sin 22.5cos 22.5-= . 3．求sincos1212ππ的值.4.001sin15cos1522-=5. cos x x -=6.已知1sin(),(,),432ππθθπ+=∈求sin θ7.化简:0cos10(tan10sin 50g8. 化简2222sin()sin()tan sin cos tan αβαββαβα+-+；9.化简sin()2sin cos 2sin sin cos()αβαβαβαβ+-++10.若35sin()413πα+=，3cos()45πβ-=，且3044ππαβ<<<<，求cos()αβ+的值.正弦的习题课1．sin()cos()63y x x ππ=+++的最大值为 .2. 在ABC ∆中，sin sin cos cos A B A B <，则ABC ∆是 三角形. 变式:在ABC ∆中,若1sin sin cos cos ,A B A B -=则ABC ∆一定为 三角形.3．已知(cos()sin()),(cos(),sin())a b αβαβαβαβ=++=--r r ,，且43(,)55a b +=r r ，则tan α= .4.求002cos10sin 20cos 20-的值5.求值：000cos102cos 40tan 20.6．已知0()22ππαβπ∈∈（，），，，且1cos ,sin 7αβ==βα-的值.7．化简22sin sin cos sin cos sin cos tan 1x x xx x x x x +-----.8．已知3,(,)4παβπ∈，3sin()5αβ+=-，12sin()413πβ-=，求cos()4πα+的值.9.已知tan()2tan ,αββ+=求证:3sin sin(2)ααβ=+10.已知21sin(),sin()35αβαβ+=-=-,求tan tan αβ的值完成书P112的习题。
第三章 三角恒等变换复习-高一数学教材配套学案(人教A版必修4)
第三章 三角恒等变换知识④思维导图专题④综合串讲专题1三角函数式的求值【例1】已知0<α<π4，0<β<π4，且3sin β＝sin （2α＋β），4tan α2＝1－tan 2α2，求α＋β的值. 【分析】 本题主要考查三角函数式的恒等变换及已知三角函数值求角，因为2α＋β＝α＋（α＋β），β＝（α＋β）－α，可先将条件式3sin β＝sin （2α＋β）展开后求α＋β的正切值.【解】∵3sin β＝sin （2α＋β），即3sin （α＋β－α）＝sin （α＋β＋α），整理得2sin （α＋β）cos α＝4cos （α＋β）sin α.即tan （α＋β）＝2tan α.又4tan α2＝1－tan 2α2， ∴tan α＝2tan α21－tan 2α2＝12， tan （α＋β）＝2tan α＝2×12＝1. 又0＜α＜π4，0＜β＜π4， ∴α＋β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴α＋β＝π4. 【方法总结】三角函数式求值的类型与方法三角函数式的求值主要有三种类型：一是给角求值；二是给值求值；三是给值求角.1. 给角求值：这类题目的解法相对简单，主要是利用所学的诱导公式、同角三角函数的基本关系式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式等，化非特殊角为特殊角，在转化过程中要注意上述公式的正用及逆用.2. 给值求值：这类题目的解法较上类题目灵活、多变，主要解答方法是利用三角恒等变形中的拆角变形及同角三角函数的基本关系式，和、差、倍、半角公式的综合应用.由于此类题目在解答过程中涉及的数学方法及数学思想相对较多，因此也是平时乃至高考考查的一个热点.3. 已知三角函数值求角问题，通常分两步：（1）先求角的某个三角函数值（由题中已知名称和范围确定），确定求所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定；（2）根据角的范围确定角及角的范围.必要时，可利用值缩小角的范围.几种形式的题目本质上都是“给值求值”，只不过往往求出的值是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围.【变式训练1】已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，π2≤α＜3π2，求cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值． 【解】 ∵π2≤α＜3π2，∴3π4≤α＋π4＜7π4. ∵cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＞0，∴3π2＜α＋π4＜7π4. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45. ∴cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2×⎝⎛⎭⎫－45×35＝－2425， sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝1－2×⎝⎛⎭⎫352＝725. ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α ＝22×⎝⎛⎭⎫－2425－725＝－31250. 专题2三角函数式的化简【例2】化简：2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α. 【分析】本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系及角的变换，从角的特点及内在联系上探求.π4－α与π4＋α互余，可先用诱导公式减少角的种类.或π4－α与π4＋α均化为α的三角函数. 【解】解法一：原式＝2cos 2α－12sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α·sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝2cos 2α－12·sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α·cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝2cos 2α－1sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝cos 2αcos 2α＝1. 解法二：原式＝cos 2α2·1－tan α1＋tan α（22sin α＋22cos α）2 ＝cos 2αcos α－sin αcos α＋sin α·（sin α＋cos α）2＝cos 2α（cos α－sin α）（cos α＋sin α）＝cos 2αcos 2α－sin 2α＝cos 2αcos 2α＝1. ,【方法总结】三角函数式化简的分类与解题技巧1.三角函数式的化简，主要有以下几类：（1）三角的和式，基本思路是降幂、消项和逆用公式；（2）三角的分式，基本思路是分子与分母的约分和逆用公式，最终变成整式或较简式子；（3）二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式.在具体过程中体现的则是化归的思想，是一个“化异为同”的过程，涉及切弦互化，即“函数名”的“化同”；角的变换，即“单角化倍角”“单角化复角”“复角化复角”等具体手段，以实现三角函数式的化简.2. 化简三角函数式时:（1）若切函数、弦函数共存时，可利用切化弦；（2）若含分式三角函数的问题，一般需分子、分母化简后出现公因式，以便于约分.【变式训练2】化简sin ⎝⎛⎭⎫α＋π42cos 2α2＋2sin α2cos α2－1. 【解】原式＝sin αcosπ4＋cos αsin π4cos α＋sin α＝22（sin α＋cos α）cos α＋sin α＝22. 专题3三角恒等式的证明【例3】求证：sin 4x 1＋cos 4x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x＝tan x 2. 【分析】本题主要考查二倍角公式及其变形应用，因等式右端为tan x 2，故可将左边的角4x ，2x ，x 化为x 2的形式. 【解】∵左边＝2sin 2xcos 2x 2cos 22x ·cos 2x 2cos 2x ·cos x 2cos 2x 2＝2sin 2x·cos 22x·cos x 2cos 22x·2cos 2x·2cos 2x 2＝sin 2x 2cos x·2cos 2x 2＝2sin x 2cos x 22cos 2x 2＝sin x 2cos x 2＝tan x 2＝右边， ∴等式成立.【方法总结】三角函数等式的证明策略三角函数等式的证明包括无条件三角函数等式的证明和有条件三角函数等式的证明.对于无条件三角函数等式的证明，要认真分析等式两边三角函数式的特点，找出差异，化异角为同角，化异次为同次，化异名为同名，寻找证明的突破口.对于有条件三角函数等式的证明，要认真观察条件式与被证式的区别与联系，灵活使用条件等式，通过代入法、消元法等方法进行证明.【变式训练3】求证：3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4 A .【证明】∵左边＝3－4cos 2A ＋2cos 2 2A －13＋4cos 2A ＋2cos 2 2A －1＝⎝⎛⎭⎫1－cos 2A 1＋cos 2A 2＝⎝⎛⎭⎫2sin 2 A 2cos 2 A 2＝(tan 2 A )2 ＝tan 4 A ＝右边．∴3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4 A . 专题4三角函数与平面向量的综合应用【例4】设a ＝（1＋cos α，sin α），b ＝（1－cos β，sin β），c ＝（1，0），α∈（0，π），β∈（π，2π），a 与c 的夹角为θ1，b 与c 的夹角为θ2，且θ1－θ2＝π6，求sin α－β4的值. 【分析】 利用向量的夹角公式得三角函数式，然后利用三角函数知识得出角之间的关系.【解】 由题意知|a |＝（1＋cos α）2＋sin 2α＝2cos α2， |b |＝（1－cos β）2＋sin 2β＝2sin β2，|c |＝1. 又a·c ＝1＋cos α＝2cos 2α2，b·c ＝1－cos β＝2sin 2β2， ∴cos θ1＝a·c |a||c|＝cos α2，cos θ2＝b·c |b||c|＝sin β2. ∵α∈（0，π），∴α2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴θ1＝α2. 又β∈（π，2π），∴β2∈⎝⎛⎭⎫π2，π，即0<β2－π2<π2. 由cos θ2＝sin β2＝cos ⎝⎛⎭⎫β2－π2，得θ2＝β2－π2. 由θ1－θ2＝π6，得α2－⎝⎛⎭⎫β2－π2＝π6， ∴α－β2＝－π3，∴α－β4＝－π6. ∴sin α－β4＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12. 【方法总结】三角函数与平面向量的解题策略三角函数与平面向量相结合包括向量与三角函数化简、求值与证明的结合，向量与三角函数的图象与性质的结合等几个方面.此类题目所涉及向量的知识往往比较基础，所涉及的三角函数往往是讨论三角函数的图象与性质，以及三角函数的化简、求值.【变式训练4】在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝（22，－22），n ＝（sin x ，cos x ），x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. （1）若m ⊥n ，求tan x 的值；（2）若m 与n 的夹角为π3，求x 的值. 【解】（1）∵m ＝（22，－22），n ＝（sin x ，cos x ），且m ⊥n ， ∴m ·n ＝（22，－22）·（sin x ，cos x ）＝22sin x －22cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝0. 又x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4， ∴x －π4＝0，即x ＝π4，∴tan x ＝tan π4＝1. （2）由（1）知cos π3＝m ·n |m |·|n |＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4（22）2＋（－22）2·sin 2x ＋cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12. 又x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4，∴x －π4＝π6，即x ＝5π12.。
三角恒等变换复习教案(二)(共三个课时)
三角恒等变换复习教案学习目标:(1)了解两角和与差正弦、余弦、正切公式之间的内在联系.培养逻辑推理能力.(2)掌握两角和与差的正弦公式、正切公式,并会运用它们进行有关计算、化简、证明.(3)通过实例熟悉一些解题的技巧并增强利用公式解决具体问题的灵活性. 重点:熟练、灵活的应用三角公式.难点:变换中的技巧.复习与巩固两角和与差的正弦、余弦、正切公式的内在联系：三角函数恒等变形实质是对角、函数名称的变化，而转化的依据就是一系列三角公式，如:①同角三角函数关系——可实现函数名称的转化；②诱导公式及和、差角的三角函数——可实现角的形式的转化.在应用公式时要注意它的逆向变换、多向变换，即对公式要“三会”:正用、逆用、变用.要注意通过拆角、拼角的技巧用已知角表示未知角.一、关于和角与差三角公式特别注意公式的结构,用活公式. :sin()sin cos cos sin ;sin()sin cos cos sin ,,:2sin cos sin()sin();2cos sin sin()sin().αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+=+-=-=++-=+--如在公式中应用方程的思想得 :2cos cos cos()cos();2sin sin cos()cos()C C αβαβαβαβαβαβαβαβ+-=++--=+--同理由公式可得tan tan :tan(),:1tan tan tan tan tan()(1tan tan ),tan tan ,tan tan ,.αβαβαβαβαβαβαβαβ++=-+=+-+又如公式可以变形为特别是公式中有式子因此常又与一元二次方程联系在一起 二、习题复习与巩固231.sin ,,cos ,,tan().34αβαβαβ==-++例已知且是第二象角求的值()()S C αβαβ++()()S C αβαβ--ββ-以代ββ-以代tan(60)tan(30)2..1tan(60)tan(30)αααα+-+++⋅+ 例计算的值 1113.sin ,cos(),,(0,),7142πααβαββ=+=-∈例已知且求的值 31234.,cos(),sin(),sin 2,sin 224135ππβααβαβαβ<<<-=+=-例已知求的值 42sin 3cos (1)55.(1)sin().32cos 3sin (2)547(2)8sin 5cos 6,sin(),808cos 5sin .αβαβαβαβαβαβ⎧+=⎪⎪+⎨⎪+=⎪⎩+=+=+例已知求的值求的值6(1):3cos 3sin ;(2):;(3):sin .1212x x x x ππ-+例化简化简求值7.:tan15tan30tan15tan30++ 例计算():1.[0,];22.;3.;4.π请同学们把下列内容记一记或默一默间的特殊角的三角函数值同角三角函数基本关系式九组诱导公式两角和与差的三角函数公式三、综合训练题 28.0(0)tan ,tan ,tan().ax bx c a a c αβαβ++=≠≠+例已知一元二次方程且的两个根为求的值tan tan :tan()1tan tan αβαβαβ++=-分析tan tan .tan tan b a ca αβαβ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩而代入即可 21.670tan ,tan ,:sin()cos()x x αβαβαβ++=+=+变式题已知一元二次方程的两个根为求证22.,(tan ,0),(tan ,0)()(23)20(0),tan().m A B f x mx m x m m y αβαβ=+-+-=≠=+变式题设为实数是二次函数图象上的两点求的最小值min 923:00,(,0)(0,],tan tan ,4233tan tan tan(),.24m m m m m y m y m αβαβαβ-∆≥≠∈-∞+=--=∴=+==-∴=- 分析且得 9.:tan tan tan tan tan tan ABC A B C A B C ∆++=⋅⋅例在中,求证:tan()tan .A B C +=-分析利用10.,(0,),:(1tan )(1tan )2:.24A B A B A B ππ∈++=+=例已知求证的充要条件是 :tan tan tan()(1tan tan )2T αβπαβαβαβ++=+-分析利用的变式.:(1tan1)(1tan 2)(1tan3)(1tan 44)++++ 变式题化简11.:[2sin50sin10(1)]+ 例求值:50,10,80,60,90,.分析都不特殊角但其和却是特殊角故可考虑逆用两角和公式求其三角函数值:cos10(2sin 50sin10)80cos102cos(6010)(2sin 50sin10)cos1050cos10cos50sin10)60=+-=++==思路一原式:[2sin 50sin10(1tan 60tan10)]80tan 60tan10)[2sin 50sin10]tan(6010)2cos50(2sin 50sin10)cos10=++-=+-=+==思路二原式2222sin()sin()tan 12.:1.sin cos tan αβαββαβα+-=-例求证 :,,.分析观察左右两边的差异从左向右证明要解决角的差异如果从右向左证明解决名称的差异32sin 13.:tan tan .22cos cos 2x x x x x -=+例求证:,,.,,.分析此题各式间的差异较大不仅角之间的差异而且函数名称及结构之间也存在较大差异为此要重点抓住某一特征差异进行分析以求突破 3sin tantan ;322cos cos 222sin sin .333cos()cos()cos cos 222222x x x x x x x x x x x x x =-=⋅==-++⋅左边右边 114.,0,cos(),22292sin(),tan .232ππβαπβαααββ<<<<-=-+-=例已知求的值 :()(),,22242,,,4222αββαπβαβαππαπαββ+=---<-<+<-<分析而再求出的正弦余弦则问题可解22sin ;cos tan 227227235αβαβαβ+++==∴= 33:,0,cos(),4444535sin(),sin().413ππππαβαπβαβ<<<<-=-=+变式题已知求的值15.,,,,tan tan tan .2222ABC A B C A C A C ∆++例在已知成等差数列求的值:,,223tan()22,tan tan tan 2222A C A C A C A C π+=∴+=++=分析由题意得由公式变形得 2cos10sin 2016.cos 20-例求的值:103020=- 分析17.sin(2)2sin 0,:tan 3tan().αββααβ++==+例已知求证 :2();()αβαβαβαβα+=++=+-分析518.sin(),0,:4134cos 2.cos()4x x x x πππ-=<<+例已知求的值 :2()();().44424cos 22413cos()4x x x x x x x ππππππ=+--+=--==+ 分析 2219.(1)tan 5,sin 5(1tan 5tan 2.5).3tan 15(2).13tan 15a =+--例已知求的值求的值:(1),;(2),分析切化弦再逆用公式因式分解后引入辅助角再逆用公式20.,,,lgsin lgsin lgsin lg 2..A B C ABC A B C ∆--=例已知是的三个内角且试判断此三角形的形状特征 :,:sin sin()A B C =+分析利用在三角形中有。
三角恒等式复习课教案
三角恒等式复习课教案
目标
本节课的目标是复三角恒等式的基本概念和运用，使学生能够理解和应用不同的三角恒等式来解决相关问题。
教学步骤
1. 导入：引入三角恒等式的概念，并激发学生的研究兴趣。
2. 回顾：复基本的三角函数概念和性质，包括正弦、余弦和正切函数。
3. 讲解：讲解三角恒等式的定义和基本推导过程。
4. 实例：通过几个具体的示例，演示如何使用三角恒等式来解决问题。
5. 练：让学生参与练，解决一些练题，加深对三角恒等式的理解和应用能力。
6. 总结：总结本节课的重点内容，强调学生需要在日常研究和实际问题中运用三角恒等式。
7. 反馈：根据学生的表现和问题，给予相应的反馈和指导。
课堂设计
* 时间：本节课预计用时60分钟。
* 教学方法：以讲授、示范和练相结合的方式进行。
* 教学媒体：使用投影仪展示相关的示例、图表和计算步骤。
* 课堂互动：鼓励学生积极参与讨论和解答问题。
资源准备
* 投影仪和屏幕
* 打印好的练题和教学材料
评估方法
* 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与度和回答问题的
能力。
* 练成绩：根据学生完成的练题来评估他们的理解和应用水平。
* 研究反馈：听取学生对本节课的反馈和意见，以及提出问题
的能力。
注意事项
* 确保学生了解三角函数的定义和基本性质。
* 确保学生能够正确地应用三角恒等式来解决问题。
* 鼓励学生在课下练和拓展自己的知识。
* 考虑学生的各种研究风格和水平，适当调整教学策略。
高一数学必修4三角恒等变换复习学案
高一数学期末复习教案（4）编写人：张文英三角恒等变换一、知识重点：1.()： sin() =；S2.C()： cos() =；3.T()： tan() =；4.S2： sin 2=；5.C2：cos2===；6.T2： tan2=；7.a sin b cos==；（此中 sin=； cos =.）你能写出几个公式变形吗1sin 2 1cos2 =1 sin 2=1 cos2=；；；=； sin2=； cos2=.二、典型例题。
例1、 . 已知cos()3,sin(5)12 ,(,3),(0, ) ，求 sin() 的45413444值 .例 2、化简：（1）2cos 21（ 2）sin 40 (tan103) 2 tan()cos 2 ()44例 3、 . 已知函数2 f (x) 2sin x 2 3 sin xcos x 1 ，求：（）f ( x)的最小正周期；1（ 2）f ( x)在[0,] 上的单一递加区间；（3） f ( x) 在 (0,) 上的值域.2例 4、 . 已知函数 f (x)1sin 2x sincos 2x cos1sin()(0) ，其图象过点222( , 1) . （1）求 的值；（2）将函数 y f ( x) 的图象上各点的横坐标缩短为本来的1，纵坐6 22标不变，获得函数y g( x) 的图象，求函数 y g( x) 在 [0,] 上的最大值和最小值 .4.班级：姓名：学号：基础练习（ 3）时间： 50 分钟，满分 100 分一、选择题：1.sin15cos15 的值等于（）A.3B.3C.1D.1 48842.cos80 cos35sin80cos55 的值是（）A.2B.2C.1D.1 22223.tan18tan27tan18 tan27等于（）A.2B.1C.2D.3 24.1 tan2的值（）A.1B. 1C.1D. 2 225.化简 cos2 ()sin 2 (4) 获得（）4A. sin 2B.sin 2C.cos2D.cos26.函数 y3sin 2 2 x 的最小正周期为（）A. B.2C.2D.47.y sin(2 x)cos(2 x) 的最小正周期和最大值分别是（）63A. ，1B., 2C.2，1D. 2 , 28.设向量a (cos,1) 的模为2，则 cos2的值为（）22A.1B.1C.1D.3 42229. 若 sin cos2 ，则 tan1 ）=（A. 1B. 2C. -1D. -2 tancos(4 x) sin(x)10. 化简4的值是（）cos( 4x) sin(x)4A. tanxB.tan2x C.tanxD.tan x211. (sincos )2 2sin 2 ( ) 的值等于（ ）224 2A. 2 sinB. 2C.22 sin()D.22 sin(4)412. 已知,(0, ) ，且 cos 4,cos() 4 ，则 cos 等于（ ）424 57 57 A.B.C.D.2525252513. 已知 A, B 均为锐角， sin A5,sin B10 ，则 A B 为（）510A.B.C.D.324414. 对于 x 的方程 x2x cos A cos B 2sin 2C0 的两根之和等于两根之积的一半，则 ABC2必定是（）A. 直角三角形B. 钝角三角形C.等腰三角形 D. 等边三角形15. 在 ABC 中， sin A5,cos B 3 ，则 cosC 的值为（ ）135A.16 B.16 C.56 D.566565656516. 已知 tan2 ，则 tan() =；化简1cos 4 .=4217. 已知 cos()1,cos()3 ，则 tan tan 的值为.5518. sincos1 =， cos2 = .，则 sin222119. 函数f ( x)cos 2 x 的递加区间是.220. 若3tan )(1 tan ) =.，则 (142x 2x21. 已知函数 f (x)cos(x R) ，给出以下命题：5sin5①函数 f (x) 的最大值是2；②周期是5；③函数 f ( x) 的图象上相邻的两条对称轴之间的距2离为5；④点 (15,0) 是函数 f ( x) 图象的一个对称中心 . 此中正确的命题是.283,6022. （1）已知 sin(30)150 ，求 cos 的值；（提示：(30) 30）5。
三角恒等变换(和差公式、倍角公式、升降幂公式、辅助角公式)(学生版) 2025年高考数学一轮复习学案
第02讲三角恒等变换（和差公式、倍角公式、升降幂公式、辅助角公式）（14类核心考点精讲精练）1. 5年真题考点分布2. 命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较中等或偏难，分值为5-11分【备考策略】1.推导两角差余弦公式，理解两角差余弦公式的意义2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式3.能推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，能运用公式解决相关的求值与化简问题【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式变形应用和半角公式变形应用，需加强复习备考1.正弦的和差公式()βαsinβααβ=sin++sincoscos ()ββαsinααβ-=sincoscossin-2.余弦的和差公式()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-3.正切的和差公式()βαβαβαtan tan 1tan tan tan -+=+()βαβαβαtan tan 1tan tan tan +-=-4.正弦的倍角公式⇒=αααcos sin 22sin ααα2sin 21cos sin =5.余弦的倍角公式()()αααααααsin cos sin cos sin cos 2cos 22-+=-=升幂公式：αα2sin 212cos -=，1cos 22cos 2-=αα降幂公式：22cos 1sin 2αα-=，22cos 1cos 2αα+=6.正切的倍角公式ααα2tan 1tan 22tan -=7.半角公式(1)sin α2＝(2)cos α2＝(3)tan α2＝±＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.以上称之为半角公式，符号由α2所在象限决定．8.万能公式22222tan1tan 2tan222sin cos tan 1tan1tan 1tan 222x x x x x x xxx -===++-9.和差化积与积化和差公式sin sin 2sincos22sin sin 2cos sin22cos cos 2cos cos22cos cos 2sin sin22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=+--=+-+=+--=2sin cos sin()sin()A B A B A B =++-2cos cos cos()cos()A B A B A B =++-2sin sin cos()cos()A B A B A B =--+10.推导公式2)cos (sin )cos (sin 22=-++αααα11.辅助角公式x b x a y cos sin +=，)0(>a )sin(22ϕ++=⇒x b a y ，其中a b =ϕtan ，)2,2(ππϕ-∈1．（福建·高考真题）sin15cos 75cos15sin105°°+°°等于（ ）A ．0B ．12C ．1D2．（全国·高考真题）o o o o sin 20cos10cos160sin10-=A．BC ．12-D ．123．（2020·全国·高考真题）已知πsin sin =31q q æö++ç÷èø，则πsin =6q æö+ç÷èø（ ）A ．12BC ．23D4．（2024·全国·高考真题）已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan tan 4αβ+=，tan tan 1αβ+，则sin()αβ+=.1．（2024高三·全国·专题练习）sin 435=o ．2．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(P -，则πsin 6αæö-=ç÷èø（ ）A ．12-B ．12C D ．13．（2024高三·全国·专题练习）化简：ππsin cos cos sin 33æöæö+-+=ç÷ç÷èøèøαααα．4．（2024·河南·三模）若1sin()6αβ-=，且tan 2tan αβ=，则sin()αβ+=（ ）A B C ．23D ．125．（2024·云南·模拟预测）若πsin sin 3q q æö++=ç÷èøπsin 6q æö+=ç÷èø（ ）A ．12B C ．13D1．（高考真题）()sin163sin223sin253sin313 °°+°°=A ．12B ．12-C D ．2．（2024·全国·高考真题）已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ-=（ ）A ．3m-B ．3m-C ．3m D ．3m3．（2023·全国·高考真题）已知()11sin ,cos sin 36αβαβ-==，则()cos 22αβ+=（ ）．A ．79B ．19C ．19-D ．79-1．（2024·山东枣庄·模拟预测）已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点ππcos ,sin 33P æöç÷èø，则πcos 6αæö-=ç÷èø（ ）A ．0B ．12C D 2．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知35=cos α，π0,2αæö∈ç÷èø，12sin 13β=，π,π2βæö∈ç÷èø，则()cos αβ-=（ ）A ．3365B ．5665C ．6365D ．1665-3．（2024·四川宜宾·模拟预测）若πcos cos 13ααæö-+=-ç÷èø，则πcos 6αæö-=ç÷èø（ ）A ．BCD ．4．（23-24高三下·江苏扬州·开学考试）已知()1cos 3αβ+=，1tan tan 4αβ=，则()cos 22αβ-=（ ）A ．3181B ．59C ．3181-D ．59-5．（2024·全国·模拟预测）已知π,02q æö∈-ç÷èø，32tan 25sin2q q =，则πcos 4q æö-=ç÷èø（ ）A B C ．D ．1．（2019·全国·高考真题）tan255°=A ．－2B ．－C ．2D ．2．（重庆·高考真题）若11tan ,tan()32ααβ=+=,则tan =βA ．17B ．16C ．57D ．563．（2024·全国·高考真题）已知cos cos sin ααα=-πtan 4αæö+=ç÷èø（ ）A ．1+B ．1C D ．14．（2020·全国·高考真题）已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（ ）A ．–2B ．–1C ．1D ．25．（2022·全国·高考真题）若sin()cos()sin 4παβαβαβæö+++=+ç÷èø，则（ ）A ．()tan 1αβ-=B ．()tan 1αβ+=C ．()tan 1αβ-=-D ．()tan 1αβ+=-1．（2024·山西吕梁·二模）已知角α的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，终边经过点()，则tan π6αæö-=ç÷èø（ ）A ．B ．CD 2．（2024·重庆·三模）已知ππcos 3cos 44ααæöæö-=+ç÷ç÷èøèø，则tan α=（ ）A ．2B ．12C ．3D ．133．（2024·江苏·模拟预测）若3sin 4cos 5αα+=，则πtan 4αæö+=ç÷èø（ ）A ．7-B ．7C ．17D ．17-4．（2024·福建泉州·模拟预测）已知()()()1sin 2cos ,tan 2αβαβαβ-=+-=，则tan tan αβ-=（ ）A ．35B ．53C ．45D ．655．（2024·贵州黔东南·二模）已知0παβ<<<，且()()sin 2cos αβαβ+=+，sin sin 3cos cos 0αβαβ-=，则()tan αβ-=（ ）A ．1-B ．C ．12-D ．121．（2024·四川·模拟预测）已知π,π2αæö∈ç÷èø，π1sin 65αæö+=ç÷èø，则sin α=（ ）A B C D2．（浙江·高考真题）若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos （+α）=，cos （﹣）=，则cos （α+）=（ ）A ．B ．﹣C ．D ．﹣3．（23-24高三下·浙江金华·阶段练习）已知()1cos 3αβ-=，1sin sin 12αβ=-，则22cos sin αβ-=（ ）A ．12B ．13C ．16D ．184．（22-23高一下·江西景德镇·期中）已知()0,πα∈，ππ,22βæö∈-ç÷èø满足π1sin 33αæö+=ç÷èø，πcos 6βæö-ç÷èø则()sin 2αβ+=（ ）A B C D ．1．（2024·河北石家庄·三模）已知角,αβ满足()1tan ,2sin cos sin 3αβαβα==+，则tan β=（ ）A ．13B ．16C ．17D ．22．（2024·山西·三模）若()sin 2αβα=-=，且π3π,π,π,42αβéùéù∈∈êúêúëûëû，则()cos αβ+=（ ）A B C D3．（2024·重庆·模拟预测）已知,αβ都是锐角，1cos sin()7ααβ=+cos 2β的值为（ ）A ．12-B ．12C ．D1．（23-24高三上·贵州铜仁·阶段练习）已知sin αβ=α和β均为钝角，则αβ+的值为（ ）A ．π4B ．5π4C ．5π4或7π4D ．7π42．（2024高三·全国·专题练习）已知()1tan 2αβ-=,1tan 7β=-,且α,(0,)βπ∈,则2αβ-=（ ）A ．34π-B ．4πC ．34πD ．4π-3．（22-23高三·全国·期末）已知()()π0,cos 2cos 212cos cos 2αβαβαβαβ<<<++=-++，则（ ）A ．π6αβ+=B ．π3αβ+=C ．π6βα-=D ．π3βα-=1．（2023高三·全国·专题练习）已知cos α=sin β=，且0,2παæö∈ç÷èø，0,2πβæö∈ç÷èø，则αβ+的值是（ ）A ．34πB ．4πC ．74πD ．54π2．（22-23高三上·山东青岛·期中）已知ππ4α££，3ππ2β££，4sin 25α=，()cos αβ+=则βα-=（ ）A ．3π4B ．π4C ．5π4D ．π23．（2024·吉林长春·模拟预测）已知cos 2α=()sin αβ+=π0,2αéù∈êúëû，π,02βéù∈-êúëû，则αβ-=（ ）A ．π4B ．3π4C ．5π4D ．π4或3π41．sin15cos15=o o （ ）A ．14B ．14-C D ．2．（2024·河南·二模）已知1sin cos 3x x +=，则πcos 22x æö-=ç÷èø（ ）A ．35-B ．35C ．89D ．89-3．（2024·四川自贡·三模）已知角α满足1cos 23sin 2αα-=，则sin 2α=（ ）A．BC ．35-D ．351．（2024·山东济南·三模）若sin cos αα-=，则tan α=（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-2．（2024·山东·模拟预测）已知4sin25α=-，则tan2πtan 4αα=æö+ç÷èø（ ）A ．4B ．2C ．2-D ．4-1．（山东·高考真题）已知3cos 4x =，则cos 2x =（ ）A ．14-B ．14C ．18-D ．182．（2022·北京·高考真题）已知函数22()cos sin f x x x =-，则（ ）A ．()f x 在,26ππæö--ç÷èø上单调递减B ．()f x 在,412ππæö-ç÷èø上单调递增C ．()f x 在0,3πæöç÷èø上单调递减D ．()f x 在7,412ππæöç÷èø上单调递增3．（2021·全国·高考真题）22π5πcoscos 1212-=（ ）A ．12BCD4．（全国·高考真题）函数44()cos sin f x x x =-的最小正周期是A ．2πB ．πC ．2πD ．4π1．（2020·全国·高考真题）若2sin 3x =-，则cos 2x =．2．（2024·北京顺义·三模）已知函数()22cossin 22x xf x =-，则（ ）A ．()f x 为偶函数且周期为4πB ．()f x 为奇函数且在ππ,412æö-ç÷èø上有最小值C ．()f x 为偶函数且在π0,3æöç÷èø上单调递减D ．()f x 为奇函数且π,04æöç÷èø为一个对称中心3．（2022·浙江·高考真题）若3sin sin 2παβαβ-=+=，则sin α=，cos 2β=．1．（浙江宁波·期末）12πsin 2=A B C ．34D ．142．（2024·浙江·模拟预测）若8tan 3cos αα=，则cos 2=α ．3．（2024·浙江·三模）已知ππ1cos cos 23264q q æöæö+-=ç÷ç÷èøèø，则πcos 23q æö+=ç÷èø（ ）A ．12-B ．12C ．D4．（2024·全国·模拟预测）已知,αβ为锐角，满足()1sin sin 9αβαβ+=+=-，则sin 2αβ+= ，()cos αβ-=．1．（2024·浙江绍兴·二模）若5π1sin 123αæö+=ç÷èø，则πcos 26αæö-=ç÷èø（ ）A B ．C ．79D ．79-2．（2024·安徽合肥·三模）已知2sin 1αα=+，则πsin 26αæö-=ç÷èø（ ）A ．18-B ．78-C ．34D ．783．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知π1sin 35ααæö+=ç÷èø，则sin 26παæö-=ç÷èø ．4．（2024·黑龙江·三模）已知()11cos ,sin sin 23αβαβ-==，则()cos 22αβ+=.5．（2024·湖南长沙·二模）已知 ππ12cos 2cos cos312124x x x æöæö+--=ç÷ç÷èøèø ，则 πcos 23x æö+=ç÷èø1．（2024高三·全国·专题练习）若1tan(π)2α-=，则tan 2α= ．2．（2024·安徽合肥·三模）已知ππ20,,tan tan 243q q q æöæö∈+=-ç÷ç÷èøèø，则tan 2q = .3．（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）已知π(0,)2q ∈，且sin sin 2sin cos qq q q=+，则tan q =（ ）A1B1C1D11．（2024高三·全国·专题练习）2π1tan 8πtan 8-=．2．（2024·辽宁沈阳·二模）已知()0,πa ∈，且1sin cos 5a a +=，则tan2a =（ ）A ．127B ．127-C ．247D ．247-3．（2024·全国·模拟预测）已知π0,2q æö∈ç÷èø，2π1sin 842q æö+=ç÷èøπtan 24q æö-=ç÷èø（ ）A ．113B ．1731C ．3117D ．131．（2023·全国·高考真题）已知α为锐角，cos αsin 2α=（ ）．A B C D 2．（2024·湖南邵阳·二模）已知α为锐角，若1sin 4α=，则2cos2α=（ ）A B C D 3．（2023·浙江·二模）数学里有一种证明方法叫做Proofwithoutwords ，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证时被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.如下图，点C 为半圆O 上一点，CH AB ^，垂足为H ，记COB q Ð=，则由tan BHBCH CHÐ=可以直接证明的三角函数公式是（ ）A ．sin tan 21cos qq q =-B ．sin tan 21cos qq q =+C ．1cos tan2sin qq q-=D ．1cos tan2sin qq q+=1．（2024·全国·模拟预测）已知角α是第二象限角，且终边经过点()3,4-，则tan 2α=（ ）A ．3B ．12C ．2D ．12或22．（2023·全国·模拟预测）已知α是锐角，1cos 3α=，则πcos 26αæö+=ç÷èø（ ）A ．12B ．12C -D 3．若3sin 5q =，5π3π2q <<，则tan cos 22q q+=（ ）A ．3+B ．3C ．3D ．31．（2024·全国·高考真题）函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是 ．2．（2020·北京·高考真题）若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为 ．3．（全国·高考真题）设当x q =时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos q = .4．（2024高三·湖北·二模）在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，1cos 3C =，8c =，则当a b +取得最大值时，sin A = .1．（2024·湖北·二模）函数()3cos 4sin f x x x =-，当()f x 取得最大值时，sin x =（ ）A ．45B ．45-C ．35D ．35-2．（2024·四川南充·二模）已知函数()3sin 4cos f x x x =+．设x q =时，()f x 取得最大值．则πcos 4q æö+=ç÷èø（ ）AB．CD．3．（2024·山东·模拟预测）若函数()()πcos sin 3f x x x ϕæö=-++ç÷èø的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为 ．4．（2024·河北保定·三模）已知锐角α，β（αβ¹）满足sin 2cos sin 2cos ααββ+=+，则sin()αβ+的值为（ ）ABC ．35D ．451．（21-22高三上·四川成都·阶段练习）已知α为锐角且tan 23tan 4απα=-æö+ç÷èø，则sin 22παæö+ç÷èø的值是 ．2．（2023·江苏徐州·模拟预测）已知πsin(212α-ππtan()tan()312αα++=．1．（2022·四川眉山·模拟预测）若0,2παæö∈ç÷èø，2sin 2cos αα=，则cos 2α的值为（ ）A ．35-B ．12-C ．0D ．352．（2024高三·全国·专题练习）已知ππsin 2sin 44ααæöæö+=-ç÷ç÷èøèø，则πsin 24αæö-=ç÷èø（ ）A ．BCD ．1．（2024高三·全国·专题练习）已知43cos cos ,sin sin 55αβαβ+=-=-，则()tan αβ-的值为（ ）A ．247-B ．724-C ．724D ．2472．（2024·安徽阜阳·一模）已知()sin sin ,cos cos 0a b ab αβαβ+=+=¹，则()cos αβ-= ，()sin αβ+= .3．（2024·广东·一模）已知()2211cos cos ,sin 124αβαβ-=--=，则()cos 22αβ+=（ ）A ．79-B ．79C ．29-D ．291．（2024·山东·模拟预测）已知1sin cos cos sin 2x y x y +=，1cos 2cos 24x y -=，则()sin x y -=（ ）A ．12B ．14C ．34-D ．14-2．（2024·全国·模拟预测）已知角A ，B ，C 满足πA B C ++=，且cos cos cos 1A B C ++=，则(1cos A -)(1cos B -)(1cos C -)=（ ）A ．0B ．1CD1．（23-24高二上·湖南长沙·期末）函数()(1cos )f x x x =+的最大值为（ ）ABC ．58D ．942．（2024·新疆·一模）已知: ()()()sin 20sin 20sin 400q q q -+++-=o o o，则tan q =（ ）A．B．CD3．（2024·全国·模拟预测）已知角,αβ满足：()sin sin 5sin αβαβ+=-，其中π2πk αβ-¹+，π2πk α¹+，()π2πk k β¹+∈Z ，则tan 2tan2αβ=（ ）A ．1B ．32C ．2D ．524．（2024·辽宁丹东·一模）已知π(0,)2α∈1=，则sin 2α=（ ）ABCD1．（2024·安徽阜阳·一模）已知()sin sin ,cos cos 0a b ab αβαβ+=+=¹，则()cos αβ-= ，()sin αβ+= .2．（2024·重庆·三模）已知函数()f x 满足()1tan sin 2f x x=.若12x x 、是方程2202420240x x +-=的两根，则12()()f x f x += .3．（2024·湖北荆州·三模）设π02αβ<<<，tan tan m αβ=，()3cos 5αβ-=，若满足条件的α与β存在且唯一，则m =， tan tan αβ=.4．（2024·四川成都·三模）若ABC V 为锐角三角形，当2tan 9tan 17tan A B C ++取最小值时，记其最小值为m ，对应的tan A n =，则mn =.1．（2024·上海·高考真题）下列函数()f x 的最小正周期是2π的是（ ）A ．sin cos x x +B ．sin cos x x C ．22sin cos x x+D ．22sin cos x x-2．（2024·河北保定·二模）若154tan sin αα=，则cos2α=（ ）A ．18B ．18-C ．78D ．78-3．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知2πsin2,0,34ααæö=∈ç÷èø，则πsin 4αæö+=ç÷èø（ ）A B ．56C D 4．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知ππsin sin cos sin 63ααααæöæö+=-ç÷ç÷èøèø，则πtan 24αæö+=ç÷èø（ ）A ．2B ．2-C ．2D ．2-+5．（2024·江苏扬州·模拟预测）若ππ44αβ-<<<，且1cos sin 2αβ=，tan 2tan 3αβ=，则()cos αβ-=（ ）A B ．C D ．6．（2024·陕西·模拟预测）已知ππ,24αæö∈--ç÷èø，若3tan 2tan 24πααæö=-+ç÷èø，则2sin 22cos tan ααα+=（ ）A ．185-B ．25-C ．25D ．185二、填空题7．（2024·广东深圳·模拟预测）计算：()cos 72cos 36°-°= .8．（2024·上海·模拟预测）已知7cos 9α=-，3(π,π)2α∈，则cos 2α= ．9．（2024·江苏苏州·三模）函数()|sin |cos f x x x =+的值域是.10．（2024·湖南·模拟预测）已知tan 3α=，tan()5αβ+=-，则tan(2)αβ+=.1．（2024·山东·模拟预测）已知π4cos cos 35ααæö--=ç÷èø，则πsin 26αæö+=ç÷èø（ ）A ．725B ．725-C ．2425D ．2425-2．（2024·河北衡水·三模）已知sin(3)sin()tan(2)tan m n αβαβαβα-=--=，，则m ，n 的关系为（ ）A ．2m n=B ．1m n m+=C ．1m n m =-D ．11m n m +=-3．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知()()()cos 10cos 50cos 50ααα-+°°-°=+，则tan α=（ ）A B ．C D ．4．（2024·湖北襄阳·模拟预测）设,αβ∈R ，则“()()cos 2cos sin 2sin sin cos cos sin 4444ππππαββαββααααæöæöæöæö+++=+--+-ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø”是“ππ8k α=+，()k ∈Z ”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要5．（2024·福建泉州·二模）若π3,0,,tan tan ,sin()25m αβαβαβæö∈=-=ç÷èø，且α与β存在且唯一，则tan tan m αβ+=（ ）A ．2B ．4C ．12D ．146．（2024·江苏南通·模拟预测）已知π02βα<<<，()4sin 5αβ-=，tan tan 2αβ-=，则sin sin αβ=（ ）A ．12B ．15C ．25D7．（2024·山西吕梁·三模）设函数()sin 1f x x x =++.若存在实数,,a b ϕ使得()()1af x bf x ϕ+-=对任意x ∈R 恒成立，则a b -=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．1±8．（2024·重庆·模拟预测）（多选）在ABC V 中，若22sin sin 1A B +=，则下列说法正确的是（ ）A ．sin cos A B=B ．π2A B +=C ．sin sin A B ×的最大值为12D ．tan tan 1A B ×=9．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知π,(0,)2a β∈，sin(2)2sin αββ+=，2tan 3α=，则tan()αβ+= ．10．（2024·山东泰安·模拟预测）已知()()()cos 20cos 20cos 400q q q °-+°+-°-=，则tan q = .1．（2023·全国·高考真题）过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（ ）A ．1BCD2．（2021·北京·高考真题）函数()cos cos 2f x x x =-是A ．奇函数，且最大值为2B ．偶函数，且最大值为2C ．奇函数，且最大值为98D ．偶函数，且最大值为983．（2021·浙江·高考真题）已知,,αβg 是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββg g α三个值中，大于12的个数的最大值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．（2020·全国·高考真题）已知πsin sin =31q q æö++ç÷èø，则πsin =6q æö+ç÷èø（ ）A ．12BC ．23D5．（2020·全国·高考真题）已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（ ）A ．–2B ．–1C ．1D ．26．（2020·浙江·高考真题）已知tan 2q =，则cos 2q =；πtan(4q -= ．7．（2020·江苏·高考真题）已知2sin ()4πα+ =23，则sin 2α的值是 .8．（2020·全国·高考真题）若2sin 3x =-，则cos 2x =．9．（2019·全国·高考真题）已知α ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A ．15BCD10．（2019·江苏·高考真题）已知tan 2π3tan 4αα=-æö+ç÷èø，则πsin 24αæö+ç÷èø的值是 .11．（2019·北京·高考真题）函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是．12．（2019·全国·高考真题）函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为 ．13．（2018·全国·高考真题）已知51tan 45παæö-=ç÷èø，则tan α= ．14．（2018·全国·高考真题）已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+ ．15．（2018·全国·高考真题）若1sin 3α=，则cos2α=A ．89B ．79C ．79-D ．89-16．（2018·全国·高考真题）函数()2tan 1tan xf x x=+的最小正周期为A ．4πB ．2πC ．πD ．2π17．（2018·全国·高考真题）已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4。
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【学习目标】
1、通过专题训练，进一步熟练掌握同角三角函数基本关系式，和、差、倍、半角公式及辅助角公式；
2、能熟练利用上述公式（包括正用、逆用、变形使用等）进行三角函数式的求值、化简，以及解三角形或结合三角函数图象解题。
【考情分析】
1、三角函数是历年高考重点考察内容之一，三角恒等变换的考查，经常以选择与填空题的形式出现，还常在解答题中与其它知识结合起来考查，其中升幂公式、降幂公式、辅助角公式是考查的重点．在考查三角知识的同时，又考查用函数思想、数形结合思想解决问题的能力。
2、2014年高考将会继续保持稳定，坚持考查三角恒等变换，命题形式将会更加灵活。
【知识梳理】
1、基本公式：
=±)sin(βα ；=±)cos(βα =±)tan(βα
2、 二倍角公式:
=α2sin ；=α2cos ；=α2tan
3、半角公式：
=2sin α ;=2cos α ;=2
tan α
4、辅助角公式：=+x b x a cos sin
【考题体验】
1．（2013·高考课标卷）已知2sin 23α=，则2cos ()4
πα+=（ ） A.16 B.13 C.12 D.23
2.(2012·山东理)若θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，sin 2θ＝378
，则sin θ＝( ) A.35 B.45 C.74 D.34 3．（2013·四川理）设sin 2sin αα=-,(,)2π
απ∈,则tan 2α的值是_________. 4.（2013· 江苏理）已知a (cos ,sin )b (cos ,sin )ααββ= ＝，，παβ<<<0，设c (0,1)= ，若a b c += ，求βα,的值。
【典型例题】
考向一：求角问题
例1：已知,(0,)αβπ∈且11tan(),tan 27αββ-=
=-，求2αβ-的值.
变式1：（1
）已知10tan .22210
π
ααβπβαβ<<<<，=,cos(-)=求的值
考向二：求值问题
例2、(2013全国Ⅰ)设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ＝__________.
, =3,sin =2sin(2+)ααβαββαβ-（2）求的值. 已知，为锐角，且tan(+)
变式2：(2013全国Ⅱ)设θ为第二象限角，若
π1
tan
42
θ⎛⎫
+=
⎪
⎝⎭
，则sin cos
θθ
+= __________.
考向三：综合应用
例3 、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2
ab＝c2.
(1)求角C；(2)设cos A cos B
＝
5
，
2
cos()cos()
cos5
A B
αα
α
++
=，求tanα的值．
变式3：（2013·辽宁理）
设向量)()
,sin,cos,sinx,0,.
2
a x x
b x x
π
⎡⎤==∈⎢⎥
⎣⎦
(1)
=，求x的值。
(2)设函数x
f⋅
=
)
(，求)
(x
f的最大值。
【课堂小结】
【巩固检测】
1．若tan θ＋1tan θ
＝4，则sin 2θ＝( ) A.15 B.14 C.13
D.12
2．已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( )
3．已知sin 2α＝－2425
，α∈⎝⎛⎭⎫－π4，0，则sin α＋cos α＝( ) A ．－15 B.15 C ．－75
D.75 4．若sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，则cos ⎝⎛⎭
⎫π2－2α＝( ) A.429 B ．－429 C.79 D ．－79 5．设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝
⎛⎭⎫2α＋π12的值为________． 6. 已知 A 、B 、C 是△ABC 三内角，向量1),sin ,(cos ),3,1(=⋅=-=A A .
(1)求角A .
【基本思想与方法】一角二名三结构，即用转化与化归思想“去异求同”的过程，具体分析如下：
（1）首先观察角与角之间的关系，用已知角表示未知角，角的变换是三角恒等变换的核心；
（2）其次是看三角函数名称之间的关系，通常是常值代换或者切化弦；
（3）再就是观察代数式的结构特点，合理的选择三角函数公式，化繁为简.
.tan ,3sin cos 2sin 1222C B
B B 求若
）（-=-+。