范老师(fdx)-第1讲：近年来自主招生试卷解读、应试策略、集合

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华师大二附中范端喜历年复旦交大自主招生数学试题详解与应试指导第1讲近年来.doc

第一讲近年来自主招生数学试卷解读集合与命题授课教师：范端喜第一部分近年来自主招生数学试卷解读一、各学校考试题型分析：交大：题型：填空题10题，每题5分；解答题5道，每题10分；考试吋间：试题难度：考试知识点分布：90分钟，满分100分；略高于高考，比竞赛一试稍简单；基本涵盖高屮数学教材高考所有内容，如：集合、函数、不等式、数列（包括极限）、三角、复数、排列组合、向量、二项式定理、解析几何和立体儿何复旦：题型：试题类型全部为选择题（四选一）；全考试吋间：总的考试吋间为3小吋（共200道选择题，总分1000分，其屮数学部分30题左右，，每题5分）；试题难度：基本相为于高考；考试知识点分布：除高考常规内容之外，还附加了一-些内容，如：行列式、矩阵等;考试重点：同济：题型：侧重于函数和方程问题、不等式、数列及排列组合等填空题8题左右，分数大约40分，解答题约5题，每题大约12分；考试吋间：90分钟，满分100分；试题难度：考试知识点分布：基本上相半于高考；常规高考内容二、试题特点分析：1. 突出对思维能力和解题技巧的考查。

例如，2007年交大冬令营自主招生试题中有这样一个问题：设/(x)二(1 + a)x4 + x3- (3a + 2)x2 - 4a ,试证明对任意实数a:(1) 方程/(x)二0总有相同实根；(2) 存在托，恒有/(X。

)工0・这两问解决的策略和方法是：换一个角度看成一个关于a的一次函数’ 关键步骤提示：/(a) = (x4一3兀2—4)° + (兀"+ x3 - 2x2—(% + 2)(兀一2)(兀~ + 1)Q +(x + 2)(兀—1)2. 注重数学知识和其它科目的整合，考查学生应用知识解决问题的能力。

通信工程中常用〃元数组...............a”)表示信息，其中q = 0或1, i、•设"=(q,a】,® ...... a；：), v = ...... b鳥,表示"和v中相对应的元素不同的个数.(1 ) ” = (0,0,0,0,0)问存在多少个5元数组v使得力(U(2)z/ = (l?Ll丄1)问存在多少个5元数组v使得67(Z/?V)=3；(3)令w = (0.0.0 ........ 0),"二(％6,4 ................. a“)，v = (b“b],b[ .......... b j,朴0求证：〃(2,小：)+ 〃(匕W)> d{u.v)・此问题与计算机中的“二进制”有关，前两问是排列组合计数问题，尤其是第三问有-定的挑战性。

近年来自主招生数学试卷解读及应试策略

近年来自主招生数学试卷解读及应试策略上海华东师大二附中范端喜 200241自从2006年复旦大学、上海交通大学等全国重点院校高考改革试验“破冰”以来，各高校“深化自主选拔录取改革试验”招生方案不断出台，全国自主招生高校不断增多，而且各高校自主招生比例也在增大. 2010年自主招生中一些名牌高校首次实行联合统一考试，如清华大学等5所高校实行“五校联考”. 2011年自主招生呈三足鼎立之势：以清华大学为首的7所高校自主招生称为“华约”；以北京大学为首的13所高校自主招生称为“北约”；9所工科院校组成的自主招生联盟称为“卓越联盟”. 这引起教育界人士和家长们的高度关注，更引起了广大中学生对自主招生考试的兴趣.2012年的自主招生考试难度不减. “华约”、“北约”的自主招生考试中，教材基本内容大约占60%，其余内容涉及竞赛的相关知识. 2012年自主招生考试热点知识为：三角、方程的根的问题、排列组合、二项式定理、概率、解析几何、平面几何、组合、导数、不等式等.1. 试卷特点分析1.1基础知识、基本技能仍是考查的重点没有扎实的“双基”，能力培养就成了无源之水、无本之木. 基础知识、基本技能是数学教学的重要任务之一，是培养学生能力的前提.纵观清华大学、北京大学、复旦大学、上海交通大学、浙江大学等高校近几年自主招生笔试题目，我们会发现，大部分的题目仍是比较基础的问题. 以复旦大学为例，其笔试30道左右的选择题中，也多半是考查学生们平时训练过的一些比较熟悉的题型和知识点.1.2考查知识点的覆盖面广，但侧重点有所不同近几年自主招生的试题，知识点的覆盖面还是很广的，基本上涉及高中数学教学大纲的所有内容，如函数、集合、数列、复数、三角、排列组合、概率统计、向量、立体几何、解析几何等.然而，高校自主招生考试命题是由大学教授完成的，试题侧重考查高等数学与初等数学的衔接. 仍以复旦大学为例，以下是几个在近几年该校自主招生考试中出现的频率较高的知识点：三角、函数和方程问题、排列组合和概率统计、不等式等.1.3注重数学知识和其他科目知识的整合，考查学生应用知识解决问题的能力例如，2010年清华大学等“五校联考”有这样一个问题：已知基因型为AA Aa aa 、、的比例为:2:,2 1.u v w u v w ++=且（1）求子一代AA Aa aa 、、的比例；（2）子二代与子一代比例是否相同？这是一道与生物学知识有密切联系的数学问题，若考生缺乏有关生物学方面的知识，则肯定不能解决此问题. 这道题目在考生中引起了强烈的反响，它考查了学生应用数学解决问题的能力. 本题详细解答见《名牌大学自主招生高效备考数学》的第十讲，为了简便，下称本书.2011年“华约”又考了一道数学与物理学相结合的问题（见本书第十九讲）：有一个圆柱形水杯，质量为a 克（底面质量不计），重心在中轴线中点，装满水时，水的质量为b 克.（1）若3b a =,求水装到一半时，重心到底面的距离与整个水杯高度之比；（2）水的质量是多少时，整体重心最低？2012年复旦大学也考了一道数学与物理学相结合的问题（见本书第十九讲）：某船从B 点出发，以速度v 匀速向东航行，观察者在B 点正南距离为s 的A 点进行观察，当观察者感觉速度是B 处速度的14时，观察者的视线跟随行船偏转的角度为( ). A. 30 B. 60 C. 45 D. 2251.4突出对思维能力和解题技巧的考查近几年的自主招生试卷中对数学思想方法和思维策略的考查达到了相当高的层次，难度上有时与全国高中数学联赛一试试题相当.例如，2007年上海交通大学冬令营自主招生试题中有这样一个问题：设432()(1)(32)4f x a x x a x a =++-+-，试证明对任意实数a ：（1）方程()0f x =总有相同实根；（2）存在0x ，横有0()0.f x ≠这两小问解决的策略和方法是：换一个角度，将函数看成一个关于a 的一次函数. 该题的详解见本书第四讲.又如，对解决学习型问题的能力的考查，一直是高中数学教学大纲中提到的对学生能力要求较高的问题. 学习型问题要求对过去没有学习过的概念、公式、定理或方法，在当前情景下通过阅读理解，即时学习，并运用其解决与之相关的问题.学习型问题对培养学生的阅读理解问题、独立获取知识的能力以及创新精神和实践能力都是大有裨益的，在平时的学习中应适当加以训练.2007年清华大学自主招生考试中有这样一个学习型问题（见本书第一讲）：对于集合2M ⊆R (2R 表示二维点集)，称M 为开集，当且仅当0,0,P M r ∀∈∃>使得{}20.P PP r M ∈<⊆R判断集合{}{}(,)4250(,)0,0x y x y x y x y +->≥>与是否为开集，并证明你的结论.2010年复旦大学自主招生考试32道试题中，有六七道题涉及此方面的问题，例如：设集合X 是实数集R 的子集，如果点0x ∈R 满足：对任意0a >，都存在x X ∈，使得00x x a <-<，那么称0x 为集合X 的聚点. 用Z 表示整数集，则在下列集合{}1(1),0,(2)\0,(3),0,1n n n n n n n ⎧⎫⎧⎫∈≥∈≠⎨⎬⎨⎬+⎩⎭⎩⎭Z R Z (4)Ζ整数集中，以0为聚点的集合有（）. A (2)(3) B.(1)(4) C.(1)(3) D.(1)(2)(4).该题的详细解答请参考本书的第一讲.“开集”、“聚点”等是高等数学中非常重要的概念，同学们以后会在数学分析、拓扑等课程中学习到.1.5 考试题量大、对考生熟练程度要求极高由于自主招生考试只是针对少数特长生、优秀精英学生的考试，无论是“北约”、“华约”，还是“卓越联盟”、复旦大学“千分考”等，对考生的解题速度都有很高的要求.2012年，“北约”考试题型是文理科各7道（文科1-7题，理科3-9题），全部是解答题，语、数、外三科合在一起，考试时间共计3小时；“卓越联盟”试卷有6道解答题、6道填空题，考试时间是90分钟；“华约”试卷有10道选择题、5道解答题，考试时间是90分钟；复旦大学“千分考”十门共计200道选择题，其中数学题32道，考试时间为3小时，平均每道题54秒.2. 应试和准备策略针对自主招生试题的上述特点，大家在复习时应注意以下几点：2.1注意知识点的全面数学题目被猜中的可能性很小，知识一般都是靠平时积累，剩下的就是个人的临场发挥. 数学需要靠平时扎扎实实的学习才能考出好成绩.另外，对有些平时不太注意或高考不一定考的知识点，如矩阵、行列式等也不能忽视.2.2适当做一些近几年的自主招生考试的真题俗话说，知己知彼，百战百胜. 同学们可适当地训练自己报考的或其他高校近几年自主招生考试的试题，熟悉一下题型是有益的.自主招生考试中有一些题是前几年的考试真题改编，甚至是原题，例如前面提到的2007年上海交通大学冬令营的问题，其实在2004年上海交通大学冬令营中就已出现过类似问题（见本书第四讲）：已知432()(58)69.f x ax x a x x a =++-+-试求出：当实数x 取何值时，（1）总有()=0f x ；（2）总有()0f x ≠.又如，下面两题是同一类问题：（2012年“卓越联盟”，本书第十二讲）求：cos ()2sin y θθθ=∈+R 的值域. （2005年复旦大学，本书第十二讲）求：1sin 2cos x y x +=+的最大值. 再如，下面3道都是姊妹题：（2012年复旦大学，本书第十七讲）记2012=1232012⨯⨯⨯⨯！为从1到2012之间所有整数的连乘积，则2012！值的尾部（从个位往前计数）连续的0的个数是 .A.504B.503C.502D.501（2003年上海交通大学，本书第十七讲）100！的末尾有个连续的零.（2006年上海交通大学，本书第十七讲）2005！的末尾有个连续的零.大家留意一下2012年苏州大学自主招生的最后一道压轴题（见本书第七讲）：已知数列{}{},n n a b 满足12,n n n a a b +=--且166,n n n b a b +=+ 且112,4,,.n n a b a b ==求其实，这道题就是2004年复旦大学自主招生的试题.2.3注重知识的延伸全国重点院校自主招生考试试题比高考试题稍难，比数学竞赛试题又稍易.有些问题有一定的深度，这就要求考生平时要注意知识点的延伸.例如，2012年复旦大学“千分考”的第128题（见本书第七讲）：{}101101______.2211A. B. D.332n n n n x x x x x x -++===设，，，则数列的极限为这道题实际上是利用特征方程特征根求数列通项公式.又如，2012年复旦大学“千分考”的第113题（见本书第十五讲）：设1234,,,P P P k P k (1,2,3)(2,4,1)(1,,5)(4,+1,3)是空间直角坐标系中一个体积为1的四面体的四个顶点，其中k 是实数，那么k 的值为 .A.-B.-C.-D.- 1或2 1或2 3或4 6或12这道题实际上是要用到用四阶行列式表示四面体的体积公式，是教材中三阶行列式表示三角形面积公式的一个推广.再如，2008年复旦大学“千分考”的第88题（见本书第十五讲）：123312323131220x x x x x x x x x x x x x x ++=设、、是方程的三个根，则行列式=( ). A.4 B.1 C.0 D.2--此题要用到两个课本之外的知识点，即三次方程的韦达定理和公式3332223()().a b c abc a b c a b c ab ac bc ++-=++++---三次方程的韦达定理虽不难推导，但平时同学们对三次方程比较陌生. 而该公式对于参加过数学竞赛的同学并不陌生.再看一下2010年“五校联考”中有这样一个问题：在三角形ABC ∆，H 为垂心，O 为外心，中线AD 交OH 于G ，求AGH OGDS S ∆∆. 参加过数学竞赛的同学都清楚，这实际上是一道与欧拉线有关的问题，若平时接触或了解欧拉线的知识，则做这道题就不费吹灰之力.2.4 关注高考要求很淡化、但自主招生要求很高的内容；注重教材之外、课本中没有出现的知识自主招生与高考大约有60%-70%的知识点是重合的，如数列、解析几何、不等式等，这些知识点无论是高考还是自主招生都是重点，但下面几个知识点要提醒考生注意：（1）三角：高考对三角的要求比较低，高考中一般出现在解答题的第一或第二题，属于送分题. 但在自主招生中，三角所占的比例比较高，尤其是三角变换，而积化和差、和差化积公式在自主招生考试中是“家常便饭”. 大学教授对三角比较重视是有道理的，这是因为大学里很多内容，比如：微积分、复变函数、傅里叶级数等都要用到三角.以下两题分别是2012年“卓越联盟”和“北约”自主招生试题，都有相当的挑战性.（2012年“卓越联盟”，本书第十二讲）设()sin()(0,)f x x ωφωφ=+>∈R ，设)0(<T T ，若存在T ，使)()(x Tf T x f =+恒成立，则ω的范围为 .（2012年“北约”，本书第十二讲）有唯一解的sin4sin2sin sin3求使得在[)-=x x x x a0π，.a（2）平面几何：这块内容是高中数学联赛加试中必考的，但除了少数省市，如北京市、江苏省等在高考中还没涉及平面几何内容，大多数省市高考不考平面几何.显然，初中也学习过平面几何，但由于时间长，多数同学早已忘得一干二净，所以平面几何得分率很低，多数同学在考试中碰到平面问题时，往往不知所措.以下两道题是2012年“北约”自主招生考试中与平面几何中圆有关的真题：（2012年“北约”，本书第十九讲）求证：若圆内接五边形的每个角都相等，则它为正五边形.∆的外接圆圆心为O，求O到三角形三边的距离比（用三角形的（2012年“北约”）如果锐角ABC角和三角函数表示）.（3）组合：熟悉和学习过数学竞赛的同学知道，组合是全国高中数学联赛加试中必考的内容之一（联赛加试共四道），2012年“华约”和“北约”分别考到一道组合问题，其中“北约”的组合问题带有数论的味道，下面是2012年“华约”和“北约”自主招生真题：n n≥位乒乓球选手，他们互相进行了若干场乒乓球双打比（2012年“华约”，本书第十八讲）有(2)赛，并且发现任意两名选手作为队友恰好只参加过一次比赛，请问n的所有可能值.，，，中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，（2012年“北约”，本书第十八讲）在122012最多能取多少个数？2.5 加强运算能力的训练，提高解题速度前面提到，自主招生考试中对考生解题速度要求极高，在此提醒同学们注意的是，平时少用计算器，尤其是上海的考生. 首先我要说的是适当的使用计算器并不是坏事，但确实有不少学生过分依赖计算器，而自主招生考试中是禁止使用计算器的，所以习惯使用计算器的不少上海学生，在自主招生考试中会手忙脚乱，不知所措.（注：本文是根据作者编著《名牌大学自主招生高效备考数学》（华东师范大学出版社）一书改编）。

自主招生“四大联盟”数学备考方向解密

自主招生“四大联盟”数学备考方向解密近期，自主招生战争硝烟充满，从政策到学科差不多进入全面备战状态。

2021年自主招生考试中，数学无疑仍是学科中的重头戏。

那么，复旦“千分考”以及“三大联盟”的数学学科考试有何区别和特色，备考需要有哪些侧重？采访专家：自主招生研究会会员、华师大二附中数学老师、奥赛教练范端喜老师自招考试聚焦在深度、广度、速度一样说来，大学自主招生考试是由大学教师命题的，大学教师更倾向于中学和大学衔接的知识点，他们对这些知识点更熟悉。

比如，数学自主招生考试中排列组合、概率统计、数列、三角等占得比例相对较高。

复旦千分考：题目多，重速度自主招生考试从宏观来说确实是考三度，即“深度”、“广度”、“速度”。

其中最能表达“速度”这一特色的是复旦千分考，尽管复旦“千分考”在“广度”方面也有少数知识点属于高考考纲范畴之外，但这还不是它的最明显特色。

复旦千分考最大的特色确实是对考生解题速度要求极高。

简单运算一下，千分考共200道选择题，考试时刻是3小时，平均每道题只有54秒，其中数学部分是32道题。

这32道题花的时刻尽管比平均可稍多一点，比如大约35至40分钟左右，但也不能太多，否则会阻碍其它科目。

略微统计一下2021年复旦的千分考试题，发觉其中大约有5道题目属于较难的，其它的题目难度和高考难度相当，有的甚至低于高考难度。

北约：有3道较难的题目北约自主招生考试数学部分一样文理共计9道试题，全部差不多上解答题。

其中文科生做1至7题，理科生做3至9题，考试时刻与语文、外语合计共3.5个小时。

统计2021年北约自主招生考试题目的难度，其中大约有3道属于较难题目，其它几道和高考难度相当。

杰出联盟：题目多为中档难度2021年杰出联盟考试的题型是填空题和解答题，其中填空题6道，每道5分；解答题6道，共70分（前4道每题10分、最后两道每题15分）。

范端喜老师表示：基础题、中档题、难题的比例大约是20：50：30，也确实是说杰出联盟试题中档难度的题目较多。

【精品讲义】2016年竞赛与自主招生专题第一讲：集合与命题(教师版)(数理化网)

2016年竞赛与自主招生专题第一部分近年来自主招生数学试卷解读从2015年开始自主招生考试时间推后到咼考后，政策刚出时，很多人认为, 是不是要在咼考出分后再考自主招生，是否咼考考完了，自主招生并不是失去其意义。

自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距 .所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。

函数、方程、数列、不等式、排列组合等内容是高频考点。

1、注重基础：一般说来，自主招生中，中等难度题目分数比例大约 60% 左右。

、联系教材，适度拓宽知识面：注意课本上的自主.探究和阅读材料，对和大学数学联系紧密的内容进行深度挖掘。

自主招生中，有不少试题都来源于这些材料。

、掌握竞赛数学的基本知识和解题技巧，着重培养数学思维能力。

、考前进行模拟训练，熟悉每个高校的命题特点，掌握答题技巧。

高频考点一览：试题特点分析:1. 突出对思维能力的考查。

n n n【2014年北约】已知x ^^i =1,2, ...n ）叮X =1.求证：□（ 72+人）二（血+1）.i zt i zt【解析】不等式；柯西不等式或 AM -GM 平均不等式.法一：AM -GM 不等式.调和平均值 H n = —— g =也（J 2+X i ），送〔止J总的来说, 应试策略:n血+X i )，=■厂斗［y^+X i丿X i'令右（0 + X i ）彳耳（Q+X i可得血一n 二料（渥+X i（7^+1 n n 上述两式相加得? -匹料（后X i ） 1 红4〕i W+X i 丿即（近 +1 ）＜和（72 +X i ），即（72十1 i 兰叮（72+X i）n法二：由n X i =1.及要证的结论分析，由柯西不等式得i 土（72+x）仿+ 丄'（血+1）2，＜X i丿1 n n 1从而可设y =—，且n y i =n 一—1.从而本题也即证X 土X n (d + yi )工(72+1)".i 二从而n（72+x）（刁+丄*（72+1），即n（72+x W2 + yi）工（/2+1），i V X i 丿in n假设原式不成立，即n （72+x ）＜（血+1、，则n （迈+ y）＜（v2+o.i ±i ±n_ L —2n从而n （V2十X帖+ yi ）＜W2 +1），矛盾得证.i2.注重和解题技巧，考查学生应用知识解决问题的能力。

自主招生数学典例解析

4、善于对现实世界中的现象和过程进行合理的简化和量化，建立数学模型的素养。
一、数学能力和数学思想
变知识立意为能力立意考查数学的基本思想和方法
1. 注重考查学习新的数学知识的能力、应用数学知识解决实际问题的能力、探究数学规律的能力和创造能力，以此体现加强对学生发展性学力和创造性学力的科学培养。
二、试卷特点分析
变知识立意为能力立意考查数学的基本思想和方法
1、试题构思特色 (2)知识点的考查覆盖面广, 侧重点有所不同
知识点涉及高中数学教学大纲的所有内容, 如集合、函数、三角、数列、向量、解析几何、立体几何、复数等.
考虑到大学与中学、高等数学与初等数学的衔接，近几年在试题中出现频率较高的有 :函数和方程、排列组合和概率统计、不等式等. 还出现了微积分、行列式、矩阵等新颖考点的相关试题.
二、试卷特点分析
变知识立意为能力立意考查数学的基本思想和方法
1、试题构思特色
(4)突出思维能力和解题技巧的考查
2010年复Hale Waihona Puke 大学自主招生有几道这方面的试题 :
设集合 X 是实数集 R的子集, 如果点 x0 R满足 :对任意a 0, 都存在 x X , 使得 0 x x0 a, 那么称 x0 为集合 X 的聚点. 用Z 表示整数集, 则在下列集合 :
解决策略: 等价转换 f (x) 0 (a) 0
二、试卷特点分析
变知识立意为能力立意考查数学的基本思想和方法
1、试题构思特色 (4)突出思维能力和解题技巧的考查
学习能力型问题对培养学生的阅读理解能力、独立获取知识的能力以及创新精神和实践能力都是十分重要的.
2007年清华大学自主招生有一道试题 : 对于集合 M R2, 称 M 为开集, 当且仅当 P0 M , r 0, 使得 P R2 | PP0 r M . 判断集合 (x, y) | 4x 2 y 5 0 与 (x, y) | x 0, y 0 是否为开集? 并证明你的结论.

自主招生数学解读(二)

1.方程论的相关知识
1.(2008年南开大学) 求证: 方程2x x2 7 0有唯一的实数根x 5.
f (x) 2x ln 2 2x(x 4) f (x) 2x ln2 2 2(x 4) 且24 ln 2 2 ln 2 2 0.35.
4 而很显然有ln 2 1 ,即ln 4 1
3.函数与方程
6.(2010年南京大学)
函数f (x)是定义在(0, )上的减函数,满足f (x y) f (x) f ( y).
(1)证明:f ( x ) f (x) f ( y); y
(2) f (4) 4,求f (x) f ( 1 ) 12的解集. x 12
解 : (1)令x y 1,则f (1) f (1) f (1),得f (1) 0.
2 从而f (x) 0(x 4),所以f (x)单调递增, 且f (4) 16ln 2 8 8(ln 4 1) 0,知f (x) 0. 所以f (x)在[4, )上单调递增,因而原命题成立.
1.方程论的相关知识
其实本题，我们可以非常容易地利用观察法发现x=5是原方程的一个根，但利用观察法的缺点是会减根，不能找到全体的根.确定唯一性的方法是多种多样的，构造函数证明该函数的单调性来进行说明唯一性是我们最常用的一种方法. 但对本题而言，直接证明单调性却很难做出，应该首先对根所在的区间进行缩小范围，再来证明其单调性.类似的题目在2009年的南京大学的自主招生试题中也有所体现，例如：
1.方程论的相关知识
2.(2009年南京大学)
解方程 x3 3x x 2.
令x 2cos,0
则方程变为8cos3 6cos 2cos 2,
s三c即io从n又s倍233而因c角o得为 s公334s3式cion:s3202,c4o4ss3i[2nc0,o34,(s720.])sicno(s3于(所3是以 )3ns)icno0s2或 sincn(o2s3(n31.(n)) Z )

上海中考自主招生试卷

上海中考自主招生试卷精选 [复旦附中]考智慧、测文理知识综合运用能力自主招生题：■说游戏每个人都玩过游戏，从纵向的角度来看，游戏有时代特征，有年龄特点；从横向的角度来看，游戏有益智类、竞技类、休闲类等等。

当然，在游戏中，也有一些趣味低下、恶作剧的内容。

请谈谈你对“游戏”的思考。

题目背后：初三学生特别喜欢这道题目，他们谈杀人游戏、弄堂游戏、CS等电脑游戏、魔兽世界等网络游戏，甚至有人说出“传承网络游戏”等另类观点。

复旦附中副校长吴坚说，出这道贴近生活的题目，就是让学生有话可说，充分发挥出学生各自的个性。

■说外语随着全球化时代的到来，作为最古老而又最基本的交流工具，语言的重要性显得日益突出。

“英语热”在当前上海中学生中持续升温。

你是如何看待“母语”学习与“外语”学习之间的关系的？可不可以借用数学名词或符号来回答这一题目？题目背后：题目出得有点刁难学生，可学生们的回答却充满了智慧。

有学生用“正比例函数”指出母语、外语学习的相辅相成，有同学用“2条平行线”表达母语、外语学习同样重要，还有同学用“母语学习在底层、外语学习在上层，共同构成圆柱体”，来强调学好母语是学好外语的基础。

吴坚说，该题主要考查学生文理知识综合运用的能力。

--推优题：■学生、家长对于学校的选择热情高涨。

小学生要进名气大的中学往往是几十个人争一个位子；在今年的自主招生和推优生招生工作中也可以看到人们对名校趋之若鹜。

针对这种现状，请你谈谈进“名校”的利弊。

题目背后：该题主要通过学生对进“名校”利弊的辨析，了解学生对于“名校”的定义以及对于自己未来的设计。

■总是觉得别人自私的人，通常对待他人也不免有些自私之嫌；总是觉得别人对不起自己的人，自己对别人也未必厚道；总是觉得别人没有趣味的人，自己也通常是令人烦闷的。

读了这段话，你有什么感想与启发？题目背后：现代学生大多是独生子女，遇到问题往往只考虑自己的利益，极少考虑他人的感受。

该题主要检测学生的自省态度，让学生懂得“你对别人的观感和态度其实很大程度上取决于别人对你的观感和态度”。

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第一讲近年来自主招生数学试卷解读
集合与命题
授课教师：范端喜————————————————————————————————————————————
第一部分近年来自主招生数学试卷解读
一、各学校考试题型分析：
交大：
题型：填空题10题，每题5分；解答题5道，每题10分；
考试时间：90分钟，满分100分；
试题难度：略高于高考，比竞赛一试稍简单；
考试知识点分布：基本涵盖高中数学教材高考所有内容，如：集合、函数、不等式、数列（包括极限）、三角、复数、排列组合、向量、二项式定理、解析几何和立体
几何
复旦：
题型：试题类型全部为选择题（四选一）；
全考试时间：总的考试时间为3小时（共200道选择题，总分1000分，其中数学部分30题左右，，每题5分）；
试题难度：基本相当于高考；
考试知识点分布：除高考常规内容之外,还附加了一些内容,如：行列式、矩阵等；
考试重点：侧重于函数和方程问题、不等式、数列及排列组合等
同济：
题型：填空题8题左右，分数大约40分，解答题约5题，每题大约12分；
考试时间：90分钟，满分100分；
试题难度：基本上相当于高考；
考试知识点分布：常规高考内容
二、试题特点分析：
1. 突出对思维能力和解题技巧的考查。

关键步骤提示：
2. 注重数学知识和其它科目的整合，考查学生应用知识解决问题的能力。

关键步骤提示：
三、
应试和准备策略
()()()
4
2
4
3
2
22
342(2)(2)(1)(2)(1)
f a x x a x x x
x x x a x x x =--++-=+-+++-1
1
1
(,),
(,),
(,)n n n
i i i i
i i i i i i i d u w a d v w b d u v a b a b a b ====
=
=
-+≥-∑
∑
∑
由绝对值不等式性质，
1. 注意知识点的全面
数学题目被猜中的可能性很小，一般知识点都是靠平时积累，因此，要求学生平时要把基础知识打扎实。

剩下的就是个人的现场发挥。

2. 注意适当补充一点超纲内容
如上面提及的一些平时不太注意的小章节或高考不一定考的问题，如矩阵，行列式等也不可忽视。

3. 适当做近几年的自主招生的真题
俗话说，知己知彼，百战百胜。

同学们可适当地训练近几年自己所考的高校自主招生的试题，熟悉一下题型和套路还是有益的。

4. 注重知识的延伸加深
复旦，交大，清华等全国重点院校自主招生试题比高考试题稍难，比数学竞赛试题又稍简单。

有些问题稍有一定的深度，这就要求考生平时注意知识点的延伸加深。

例如2008年复旦自主招生的第88题：
关键步骤提示：上式＝
此题若是知道三次方程的韦达定理，则容易解决。

但平时同学们对二次方程的韦达定理
很熟悉，对三次方程的韦达定理则比较陌生。

又比如，柯西不等式可以解决许多不等式问题，但由于目前上海高考不考，所以很多高中生对此此不等式并不十分熟悉。

但柯西不等式其实应用得非常广泛，我们将在不等式一讲中将会介绍它。

总之，同学们若是注意一些知识点的延伸和加深，考试时必定会有一种居高临下的感觉。

23312112
3
3
2
3
1
1
2
3
3
3
1231223()
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+=-++32
1231
23121323123
3
3
3
2
2
2
03,,,
3()()
ax bx cx d x x x b x x x a
c x x x x x x a
d x x x a a b c abc a b c a b c ab ac bc +++=⎧
++=-⎪⎪⎪
++=
⎨⎪
⎪
=-⎪⎩
++-=++++---设的个根为则有
第二部分：集合与命题一、
知识补充：
二、
真题精析：
关键步骤提示：
关键步骤提示：
关键步骤提示：
()A B C A B C A B A C B C A B C
⋃⋃=++-⋂+⋂+⋂+⋂⋂(2)(2)3(2)014(2)()0
2a a a a a a +-++=+-=,X X Y X Y X X Y X X Y
⊆⊆∴=⇒⊆ 而
关键步骤提示：
三、仿真训练
仿真训练一
某校六（1）班有学生54人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，
参加排球队的有22人，参加游泳队的有34人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有18人，排球、游泳都参加的有14人，问：三项都参加的有多少人？
2
2
122
2
2
2
Sin Sin
C os
Sin
C os
θ
θ
θ
θ
θ+=++1111122222211212
,,
,,
,S R C R C S C S S R C R C S C S C C C C C C ⊂
≠⊂
≠∴∈∉∉∈∉∉=+=+ 必存在若，则很明显；
同理，，必存在，若则很明显；
否则，令即可（
）
想一想，除了令还可以怎样令？
关键步骤提示：
{}{}36
110,.,
1,1,3,6,
1113162k
M x x x N A A K A A M =≤≤∈-=-⋅+-⋅+-⋅=仿真训练二
已知集合对它的非空子集将中每个元素都乘以（）再求和（如可求得和为（）（）（））称为集合的特殊和。

求集合的所有非空子集特殊和的总和。

{}{}10
9
1,3,62,4,5,7,8,9,10245789101086421357952252152
A
U A
U A
U A C C A C ==+--+-+++++-++++=-⨯=-⨯分析：本题所求的“特殊和”有如下特点：
奇数元素前面添上负号，偶数元素前面添上正号，再代数求和。

例如：对于，则考虑的“特殊和”为与的“特殊和”的和（）（）同理，对其它非空集合也有这样特点，将它们两两配对（空集与本身集合除外），值为（）。