数学[第三次阶段考]
山东省济宁市第二中学2024_2025学年高一数学上学期第三次阶段检测试题
山东省济宁市其次中学2024-2025学年高一数学上学期第三次阶段检测试题第I 卷（选择题 共60分）一. 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合U={|13x N x ∈-≤≤},A={1,3,5},B={2|230x x x --=},则()U C A B ⋂.{1,2}A .{0,1,2}B .{3}C .{1,0,1,2}D -2.命题2",2"x Z x ∃∈< 的否定是A. 2,2x Z x ∃∈≥B. 2,2x Z x ∀∈≤C. 2,2x Z x ∀∈>D. 2,2x Z x ∀∈≥3.函数的定义域为（ ）A ．(-3,0]B ．(-3,1]C ．(,3)(3,0]-∞-- D ．(,3)(3,1]-∞--4.设0.20.22log 0.330.3a b c ===,，，则c b a ,,的大小关系是A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．b c a >> 5．函数33()log 9f x x x =+-的零点所在区间是（ ） A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)6.已知3tan 4α=， 的值是A.185B. 65-C. 1813D. 6137. 函数()2=1sin 1xf x x e ⎛⎫-⋅ ⎪+⎝⎭的图象形态大致是 2sin()3cos()3cos()sin()22πααππαα-+--++8.()()2log 02()1222x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若a b c 、、互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是A. ()0,1B. ()0,2C. ()1,2D. ()2,4二.多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
哈师大附中 2024 年高三第三次模拟考试数学参考答案
哈师大附中2024年高三第三次模拟考试数学参考答案一.单项选择题1-4 BACD 5-8 AADD 二.多项选择题9.BD 10.BCD 11.BCD 三.填空题12. 4 13. 33[,]44−14. 2 四.解答题15.解：（Ⅰ）221()0(1)x f x x x x +'=>+，()，1(1),(1)02f f '== 3' ∴()f x 在(1,(1))f 处的切线方程为10(1)2y x −=−，即1122y x =−6' （Ⅱ）221()0(1)x f x x x x +'=>+，()，()f x ∴在(0,)+∞上单调递增9'又(1)0f =，(0,1)()0x f x ∴∈<时即1ln 1x x x −<+在(0,1)x ∈上恒成立 11' 20231202312024ln 20232024404712024−∴<=−+ 即20231ln 20244047<− 13' 16.解：（Ⅰ）32nn n S a =−，11132n n n S a +++=−，两式相减得：1232nn n a a +=+2'112(2)3(2)n n n n a a ++−=−，即1132(2)2n n n n a a ++−=−4'111132,1S a a =−∴=11210a ∴−=−≠，20nn a ∴−≠6' 112322n n n n a a ++−∴=−，{}2n na ∴−是以-1为首项，32为公比的等比数列 7'（II ）由（Ⅰ）可知132(1)2n nn a −⎛⎫−=−⋅ ⎪⎝⎭，132()2nn n a −∴=−8'13(1)2(2)()2n n n b λλ−∴=+−+113(1)2(2)()2n n n b λλ++=+−+{}n b 是递增数列，1n n b b +∴>对*n N ∀∈恒成立1133(1)2(2)()(1)2(2)()22n n n n λλλλ+−∴+−+>+−+即33(1)(2)()4n λλ∴+>+10'（1）当20λ+<时，即2λ<−时3(1)3()24n λλ+<+，3()04n >，且3,()04n n ∴→+∞→，故3(1)02λλ+≤+21λ∴−<≤−（舍）12'（2）当20λ+=时，即2λ=−时30−>矛盾，2λ=−（舍）13'（3）当20λ+>时，即2λ>−时3(1)3()24n λλ+>+，1333()()444n ≤=，故3(1)324λλ+>+23λ∴>−，满足2λ>−，故23λ>−15'17.解：（Ⅰ）设第i 局甲胜为事件i A ，则第i 局乙胜为事件i A ，其中1,2,3,i =2'则“第3局甲开球”=2A21212121121()()()()()()()P A P A A P A A P A P A A P A P A A =+=+4'222115()33339P A =⋅+⋅= 6' （II ）依题1,2,3,4X = 7'1231224(1)()33327P X P A A A ===⋅⋅= 1231231232121111217(2)()()()33333333327P X P A A A P A A A P A A A ==++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=1231231232212111128(3)()()()33333333327P X P A A A P A A A P A A A ==++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=1232228(4)()33327P X P A A A ===⋅⋅=X ∴的分布列为478874()12342727272827E x =⨯+⨯+⨯+⨯= 15'18.解：（Ⅰ）在棱AB 上取点F ，使2AF FB =，连接1,DF FB 由已知//,DC FB DC FB =，∴四边形BCDF 为平行四边形，//DF BC ∴2' 又11//BC B C ，11//DF B C ∴，即11,,,D F B C 四点共面4'连接1FC ，由已知//,EF DC EF DC =，1111//,DC D C DC D C =1111//,EF D C EF D C ∴=∴四边形11EFC D 为平行四边形，11//D E FC ∴6'1D E ⊄平面11,DFB C 1FC ⊂平面11DFB C1//D E ∴平面11,DFB C 即1//D E 平面11DB C7'（Ⅱ）在菱形11ADD A 中， 160A AD ∠=，取11A D 中点G ，连接DG ,则DG AD ⊥ 又平面11ADD A ⊥平面ABCD ，DG ∴⊥平面ABCD 8'在等腰梯形ABCD 中，DE DC ⊥，DE =,,DE DC DG 两两互相垂直，以D 为原点,,DE DC DG 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系(0,0,0),10)(0,1,0),D A B C G −，，10'（ⅰ）11113(,22DC DG GD D C −=++=，11(3,1,0),(0,1,0)C B DC == 设(,,)n x y z =为平面11DB C 的一个法向量则1113302230n DC x y n C B x y ⎧⋅=−++=⎪⎨⎪⋅=+=⎩得(1,3,2)n =−11' 设(,,)m x y z =为平面1DCC 的一个法向量则1330220m DC x y m DC y ⎧⋅=−+=⎪⎨⎪⋅==⎩得(2,0,1)m = 12' 设平面11DB C 与平面1DCC 夹角为θ则10cos cos ,5m n m nm nθ⋅=〈〉==⋅ ∴平面11DB C 与平面1DCC 夹角余弦值为514'（ⅱ）1131(,22DA DG GA =+=− ∴点1A 到平面11DB C的距离为1324DA n n⋅== 17'19.解：（Ⅰ） 依题直线AB 方程为1y x =−，代入2y x = 得210y y −−=，2(1)4(1)50∆=−−−=>设1122(,),(,)A x yB x y ，则12121,1y y y y +==− 2' 12AB y y ∴=−=4'（Ⅱ）设:(1)2AB l x m y =−+代入2y x =得220y my m −+−=，6'设2(,)N t t ，1122(,),(,)A x y B x y1212,2y y m y y m +==−8' 22221212()()()()0NA NB y t y t y t y t ⋅=−−+−−= 10'即21212()10y y t y y t ++++=2210m tm t −+++=即2(1)(1)0t m t ++−=1t ∴=−，即(1,1)N − 12'（Ⅲ）设2222(,),(,),(,),(,)A a a B b b E c c D d d:()AB l a b y x ab +=+过(2,1)M ，22,1a ab ab b a −∴+=+∴=− 13' :()ED l c d y x cd +=+过(2,1)M ，22,1d c d cd c d −∴+=+∴=−14':()AD l a d y x cd +=+与12y x =联立 22P ad x a d =+−，同理22Q bc x b c =+− 15'222()()2221122222211P Q a d ad bc ad a d x x a d a d b c a d a d −−−−∴+=+=+−−+−+−+−+−−− 2244844842222M ad ad a d a d x a d a d a d −−++−=+===+−−−+− ,P Q ∴中点为M17'。
翼教版四年级数学下册第三次月考阶段检测及答案(三篇)
翼教版四年级数学下册第三次月考阶段检测及答案(三篇)目录：翼教版四年级数学下册第三次月考阶段检测及答案一翼教版四年级数学下册第三次月考阶段测试卷及答案二翼教版四年级数学下册第三次月考题及答案三翼教版四年级数学下册第三次月考阶段检测及答案一班级：姓名：满分：100分考试时间：90分钟题序一二三四五总分得分一、填空题。
（20分）1、取一张长方形纸，沿相对角的顶点将纸对折，重叠部分是一个_______三角形。
2、用2，8，0，3，1这五个数字组成一个五位数，其中最大的数是（______），最小的数是（______），约等于8万的最小的数是（______），约等于3万的最大的数是（______）。
3、914768050读作，用“万”作单位的近似数是万，省略“亿”后面的尾数约是亿．4、如图，已知∠1=40°，那么，∠2=________．5、小青在计算小数减法时，错把减数20.2看成了2.02，结果得到的差是32.6，正确的差是（________）。
6、一个篮球的单价是120元，买60个，一共需要（_______）元。
7、一个数除以47,商是104,当余数最大时,这个数是（____）。
8、一个长方形一拉，最可能变成________。
9、用放大镜看70°的角，角的度数（________）。
10、和9999999相邻的两个数分别是（__________）和（__________）。
二、选择题（把正确答案前面的序号填在（）里）（10分）1、两个真分数的积是（）。
A．真分数B．假分数C．整数D．无法确定2、用4、5、6和5个0八个数字组成一个八位数，这个数中所有的0都不读出来而且最小，这个数是（）A．45600000 B．40000056 C．400056003、量角器上的∠l所表示的角是（）A．60°B．50°C．120°D．150°4、篮球比赛中，3分线外投中一球得3分，3分线内投中一球得2分．在一场比赛中，王明总共投中9个球（没有罚球），得了20分，他投中（）个2分球．A．7 B．4 C．55、1公顷比1平方千米小( )。
2022-2023学年浙教版七年级数学上册第三次阶段性(第1—5章)综合训练题(附答案)
2022-2023学年浙教版七年级数学上册第三次阶段性（第1—5章）综合训练题（附答案）一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．的倒数是（）A．﹣2B．2C．D．2．据中国电子商务研究中心监测数据显示，2015年第一季度中国轻纺城市场群的商品成交额达27 800 000 000元，将27 800 000 000用科学记数法表示为（）A．2.78×1010B．2.78×1011C．27.8×1010D．0.278×1011 3．下面四个等式的变形中正确的是（）A．由4x+8＝0得x+2＝0B．由x+7＝5﹣3x得4x＝2C．由x＝4得x＝D．由﹣4（x﹣1）＝﹣2得4x＝﹣6 4．下列各数0，，，，，﹣3.1415926，2π中，是无理数的有（）A．5个B．4个C．3个D．2个5．下面的说法错误的是（）A．单项式﹣πmn的次数是2次B．﹣a可能表示正数C．1是单项式D．是多项式6．有长为l的篱笆，利用他和房屋的一面墙围成如图形状的长方形园子，园子的宽为t，则所围成的园子面积为（）A．（l﹣）t B．（l﹣t）t C．（﹣t）t D．（l﹣2t）t7．某村原有林地108公顷，旱地54公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地面积占林地面积的20%．设把x公顷旱地改为林地，则可列方程（）A．54﹣x＝20%×108B．54﹣x＝20%（108+x）C．54+x＝20%×162D．108﹣x＝20%（54+x）8．已知线段AB＝8，线段BC＝5，则线段AC＝（）A．3B．13C．3或13D．无法确定9．x、y、z在数轴上的位置如图所示，则化简|x﹣y|+|z﹣y|的结果是（）A．x+z﹣2y B．2y﹣x﹣z C．z﹣x D．x﹣z10．将正整数按如图所示的位置顺序排列：根据排列规律，则2017应在（）A．A处B．B处C．C处D．D处二、填空题（共10小题，每小题3分，满分40分）11．﹣的相反数是．12．计算：＝．13．一台电视机的原价是2000元，若按原价的八折出售，则购买a台这样的电视机需要元．14．已知x＝﹣2是关于x的方程3+ax＝x的解，则a的值为．15．已知∠α＝47°15′，则∠α的余角的度数为°．16．已知|3m﹣12|+＝0，则2m﹣n＝．17．如图，将三角形ABC纸片沿MN折叠，使点A落在点A′处，若∠A′MB＝55°，则∠AMN＝°．18．已知x﹣3y＝2，则代数式9﹣4x+12y的值为．19．对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算：＝ad﹣bc，已知＝18，则x ＝．20．小明和小慧两位同学在数学活动课中，把长为30cm，宽为10cm的长方形白纸条粘合起来，小明按如图甲所示的方法粘合起来得到长方形ABCD，粘合部分的长度为6cm，小慧按如图乙所示的方法粘合起来得到长方形A1B1C1D1，黏合部分的长度为4cm．若长为30cm，宽为10cm的长方形白纸条共有100张，则小明应分配到张长方形白纸条，才能使小明和小慧按各自要求黏合起来的长方形面积相等（要求100张长方形白纸条全部用完）．三、解答题（共6小题，满分0分）21．计算：（1）；（2）．22．解方程：（1）8x﹣（x+10）＝5x；（2）．23．先化简，再求值：2（a2+3ab﹣4.5）﹣（a2﹣6ab﹣9），其中a＝﹣5，b＝．24．如图，直线AE与CD相交于点B，∠DBE＝50°，BF⊥AE，求∠CBF和∠DBF的度数．25．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，嘉兴某地区采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的收费标准如表：收费标准：（注：水费按月份结算）每月用水量单价（元/立方米）不超出6立方米的部分2超出6立方米不超出10立方米的部分4超出10立方米的部分8例如：某户居民1月份用水8立方米，应收水费为2×6+4×（8﹣6）＝20（元）．请根据上表的内容解答下列问题：（1）若某户居民2月份用水4立方米，则应收水费多少元？（2）若某户居民3月份交水费44元，则用水量为多少立方米？（3）若某户居民4月份用水a立方米，请用含a的代数式表示应收水费．26．如图，直线l上有A、B两点，AB＝24cm，点O是线段AB上的一点，OA＝2OB．（1）OA＝cm，OB＝cm．（2）若点C是线段AO上一点，且满足AC＝CO+CB，求CO的长．（3）若动点P、Q分别从A、B同时出发，向右运动，点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s，设运动时间为t（s），当点P与点Q重合时，P、Q两点停止运动．①当t为何值时，2OP﹣OQ＝8．②当点P经过点O时，动点M从点O出发，以3cm/s的速度也向右运动．当点M追上点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后立即返回，又以同样的速度向点Q运动，如此往返，直到点P、Q停止时，点M也停止运动．在此过程中，点M行驶的总路程为cm．参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．解：的倒数是﹣2，故选：A．2．解：将27 800 000 000用科学记数法表示为2.78×1010．故选：A．3．解：A、由4x+8＝0方程两边都除以4即可得出x+2＝0，故本选项正确；B、由x+7＝5﹣3x可得4x＝﹣2，故本选项错误；C、由x＝4可得x＝，故本选项错误；D、由﹣4（x﹣1）＝﹣2可得4x＝6，故本选项错误；故选：A．4．解：0，，是整数，属于有理数；，﹣3.1415926是分数，属于有理数；无理数有，，2π，共3个．故选：C．5．解：A、单项式﹣πmn的次数是2次，说法正确，故本选项不符合题意；B、当a＜0时，﹣a表示正数，说法正确，故本选项不符合题意；C、1是单项式，说法正确，故本选项不符合题意；D、x+3不是多项式，多项式属于整式，故本选项符合题意．故选：D．6．解：由题意可得，围成的园子的面积为：t（l﹣2t），故选：D．7．解：设把x公顷旱地改为林地，根据题意可得方程：54﹣x＝20%（108+x）．故选：B．8．解：C点可能在线段AB内，还可能在线段AB外，故无法确定．故选：D．9．解：∵由图可知，x＜y＜0＜z，∴x﹣y＜0，z﹣y＞0，∴原式＝y﹣x+z﹣y＝z﹣x．故选：C．10．解：2017﹣1＝2016，2016÷4＝504，所以2017应在D处．故选：D．二、填空题（共10小题，每小题3分，满分40分）11．解：﹣的相反数是﹣（﹣）＝．故答案为：．12．解：∵42＝16，∴＝4，故答案为4．13．解：2000a×80%＝1600a（元）．故答案为1600a14．解：把x＝﹣2代入方程得：3﹣2a＝﹣2，移项合并得：2a＝5，解得：a＝2.5，故答案为：2.5．15．解：∵∠α＝47°15′＝47.25°，∴∠α的余角的度数为：90°﹣47.25°＝42.75°．故答案为：42.75．16．解：∵|3m﹣12|+＝0，∴|3m﹣12|＝0，（+1）2＝0，∴m＝4，n＝﹣2，∴2m﹣n＝8﹣（﹣2）＝10，故答案为：10．17．解：∵∠A′MB＝55°，∴∠AMA′＝180°﹣∠A′MB＝180°﹣55°＝125°，由折叠的性质得，∠A′MN＝∠AMN＝＝＝62.5°，故答案为：62.5．18．解：9﹣4x+12y＝9﹣4（x﹣3y），把x﹣3y＝2代入，原式＝9﹣4×2＝9﹣8＝1．故答案为：1．19．解：∵＝ad﹣bc，∴＝18可化为：2x﹣（﹣4x）＝18，去括号得：2x+4x＝18，合并得：6x＝18，系数化为1得：x＝3，故答案为：3．20．解：设小明应分配到x张长方形白纸条，则小慧应分配到（100﹣x）张长方形白纸条，依题意有10[30x﹣6（x﹣1）]＝30[10（100﹣x）﹣4（100﹣x﹣1）]，解得x＝43．答：小明应分配到43张长方形白纸条，才能使小明和小慧按各自要求黏合起来的长方形面积相等．故答案为：43．三、解答题（共6小题，满分50分）21．解：（1）原式＝47×+53×＝（47+53）×＝100×＝25；（2）原式＝﹣4﹣×（﹣1）＝﹣4+＝﹣．22．解：（1）8x﹣（x+10）＝5x，去括号得，8x﹣x﹣10＝5x，移项得，8x﹣x﹣5x＝10，合并同类项得，2x＝10，系数化为1得，x＝5；（2），去分母得，12﹣3（3x﹣5）＝2（1+5x），去括号得，12﹣9x+15＝2+10x，移项得﹣9x﹣10x＝2﹣15﹣12，合并同类项得，﹣19x＝﹣25，系数化为1得，x＝．23．解：原式＝2a2+6ab﹣9﹣a2+6ab+9＝a2+12ab，当a＝﹣5，b＝时，原式＝25﹣45＝﹣20．24．解：∵BF⊥AE，∴∠FBE＝∠ABF＝90°，∵∠DBE＝50°，∴∠DBF＝∠FBE﹣∠DBE＝90°﹣50°＝40°，∠ABC＝∠DBE＝50°，∴∠CBF＝∠ABF+∠ABC＝90°+50°＝140°．25．解：（1）∵4＜6，∴某户居民2月份用水4立方米，应收水费为4×2＝8（元）；（2）∵6×2+（10﹣6）×4＝28＜44，∴某户居民3月份交水费44元，则用水量为超过10立方米，设用水量为x立方米，∴6×2+（10﹣6）×4+8（x﹣10）＝44，解得x＝12，答：用水量为12立方米；（3）当0≤a≤6时，应收水费2a元，当6＜a≤10时，应收水费2×6+4（a﹣6）＝（4a﹣12）元，当a＞10时，应收水费2×6+4×（10﹣6）+8（a﹣10）＝（8a﹣52）元，∴应收水费为．26．解：（1）∵AB＝24，OA＝2OB，∴20B+OB＝24，∴OB＝8，0A＝16，故答案分别为16，8．（2）设CO＝x，则AC＝16﹣x，BC＝8+x，∵AC＝CO+CB，∴16﹣x＝x+8+x，∴x＝，∴CO＝．（3）①当点P在点O左边时，2（16﹣2t）﹣（8+t）＝8，t＝，当点P在点O右边时，2（2t﹣16）﹣（8+t）＝8，t＝16，∴t＝或16s时，2OP﹣OQ＝8．②设点M运动的时间为ts，由题意：t（2﹣1）＝16，t＝16，∴点M运动的路程为16×3＝48cm．故答案为48cm．。
2021年湖南省长沙市雅礼集团部分学校 第三次阶段数学试卷
2020-2021年雅礼集团部分学校初三第三次阶段试卷数学科目考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟.一、选择题（每小题3分，共36分）1. -2020的倒数是（ ）A ．-2020B ． 2020C ．20201-D ．20201 2. 下列几何图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3. 2020年5月，中科院沈阳自动化所主持研制的“海斗一号”万米海试成功，下潜深度超10900米，刷新我国潜水器最大下潜深度记录．将数据10900用科学记数法表示为（ ）A ．1.09×103B ．1.09×104C ．10.9×103D ．0.109×1054. 下列各式中，运算正确的是（ ） A ．x 3+x 3＝x 6 B ．x 2•x 3＝x 5 C ．（x +3）2＝x 2+9 D ．﹣＝ 5．甲、乙两地相距200千米，则汽车从甲地到乙地所用的时间y (h )与汽车的平均速度x (km/h )之间的函数表达式为（ ）A ．y ＝200xB ．x ＝200yC ．y ＝x +200D ．xy 200= 6. 一组数据17，35，18，50，36，36的中位数是（ ）A ．35.5B ．36C ．18D ．50 7.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．下列说法正确的是（ ）A ．对角线互相垂直的四边形是菱形B ．有两对邻角互补的四边形为平行四边形C ．平行四边形是轴对称图形D ．矩形的对角线相等9. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ：DB ＝2：3，若△ADE 周长为2a ，则△ABC 周长是（ ）A ．3aB ．9aC ．5aD ．25a10. 如图，BC 是⊙O 的直径，点A 、C 1是圆上两点，连接AC 、AB 、AC 1、BC 1，若∠CBA ＝25°，则∠C 1的度数为（ ）A ．55°B ．65°C ．75°D ．85°11. 如图，一次函数y 1＝kx +b （k ≠0）的图象与反比例函数y 2＝x m （m 为常数且m ≠0）的图象都经过A （﹣1，2），B （2，﹣1），结合图象，则不等式kx +b ＞xm 的解集是（ ） A ．x ＜﹣1 B ．﹣1＜x ＜0 C ．﹣1＜x ＜0或x ＞2 D ．x ＜﹣1或0＜x ＜212. 如图，在平面直角坐标系中，Q 是直线y ＝﹣x +2上的一个动点，将Q 绕点P （1，0）顺时针旋转90°，得到点Q '，连接OQ '，则OQ '的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题 （每小题3分，共12分）13. 在函数y ＝2+x 中，自变量x 的取值范围是 ．14. 关于x 的一元二次方程x 2﹣4x +m ＝0的一个实数根为1，则另外一个实数根是_____.15. 如图，P A 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 是切点，已知∠P ＝60°，OA ＝3，那么AB 的长为 ．16. 如图，菱形ABCD 的边长为4，E ，F 分别是AB ，AD 边上的动点，BE ＝AF ，∠BAD ＝120°，则下列结论：①△BEC ≌△AFC ； ②△ECF 为等边三角形； ③∠AGE ＝∠AFC ； ④若AF ＝1，则31=GE GF ．其中正确结论的序号有 ．第9题第10题 第11题 第12题第15题 第16题三、解答题 （本大题共9个小题，第17.18.19题每小题6分；第20.21题每小题8分；第22.23题每小题9分；第24.25题每小题10分，共72分）17．计算：20202)1(218)21(----+--． 18．先化简，再求值：14411122-+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x x ，从﹣1，1，2，3中选择一个合适的数代入并求值．19．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （﹣3，1），B （﹣1，1），C （0，3）．（1）画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C ，并写出A 1的坐标；（2）在网格内画出△ABC 以点O 为位似中心的位似图形△A 2B 2C 2．△A 2B 2C 2与△ABC 的位似比为2：1，并写出B 2的坐标．20．每年6月26日是“国际禁毒日”．某中学为了让学生掌握禁毒知识，提高防毒意识，组织全校学生参加了“禁毒知识网络答题”活动．该校德育处对八年级全体学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀、良好、一般、不合格；并绘制成如图不完整的统计图．请你根据图1．图2中所给的信息解答下列问题：（1）该校八年级共有 名学生，“优秀”所占圆心角的度数为 ．（2）请将图1中的条形统计图补充完整．（3）已知该市共有15000名学生参加了这次“禁毒知识网络答题”活动，请以该校八年级学生答题成绩统计情况估计该市大约有多少名学生在这次答题中成绩不合格？（4）德育处从该校八年级答题成绩前四名甲，乙、丙、丁学生中随机抽取2名同学参加全市现场禁毒知识竞赛，请用树状图或列表法求出必有甲同学参加的概率．21．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，过对角线BD的中点O的直线分别交AB、CD 于点E、F，连接DE，BF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．22.长沙市某商店准备购进A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，用2000元购进A种商品和用1200元购进B种商品的数量相同．商店将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元．（1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？（2）商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？（3）国庆期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A种商品售价优惠m（10＜m＜20）元，B种商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出m的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方案．23．如图，AB是⊙O直径，以AB为边作等腰△ABC，且AB＝BC，⊙O与边AC相交于点D，过点D作DE⊥BC于点E，并交AB的延长线于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线．（2）若DF＝2，∠F＝45°，求阴影部分面积．（3）若BD＝1，AD=3，求FD的长．24. 如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点”，把PQ•PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4）．半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点（填“A”、“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为；②若直线n的函数表达式为y＝x+4．求⊙O关于直线n的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F 为圆心，为半径作⊙F．若⊙F与直线l相离，点N（﹣1，0）是⊙F关于直线l的“远点”．且⊙F关于直线l的“特征数”是4，求直线l的函数表达式．25.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记△BDE 的面积为S1，△ABE的面积为S2，求的最大值；（3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使△PQB∽△CAB．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．。
南阳市第一中学2023届高三上学期第三次阶段测数学(理)试卷(PDF版,含解析)
2023届年高三第三次阶段性测试理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若i 为虚数单位，,a b ∈R ，且2a ib i i+=+，则复数a bi −的模等于（ ） A ．2B ．3C ．5D ．62.设集合3(,)2,,1y A x y x y R x −⎧⎫==∈⎨⎬−⎩⎭，{}(,)4160,B x y x ay x y R =+−=∈，若A B ⋂=∅，则实数a 的值为（ ） A ．4B ．2−C ．4或2−D ．4−或23．在等比数列{}n a 中，12318a a a =，且86434a a a =+，则3a =（ ）A ．1B ．2C ．±1D ．2±4．若点(cos ,)P sin αα在直线2y x =−上，则cos(2)2πα+的值等于A ．45−B ．45C ．35-D ．355．设,a b 为两条直线，,αβ为两个平面，下列四个命题中真命题是（ ）A ．若,a b 与α所成角相等，则//a bB ．若//,//,//a b a ααβ，则b β//C ．若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβD ．若,,a b αβαβ⊥⊥⊥，则a ⊥b6．如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是（ ） A ．221x y x =−− B ．2sin y x x =⋅C. ln xy x=D ．2(2)x y x x e =−⋅ 7. 给定两个长度为2的平面向量OA u u u r 和OB u u u r，它们的夹角为120°.如图所示.点C 在以O 为圆心2为半径的圆弧AB 上运动.则的最小值为 A. 4− B. 2− C. 0 D. 28．下列四个结论中正确的个数是 ①若22am bm <，则a b <②“已知直线m ，n 和平面α、β，若m n ⊥，m α⊥，n β∥，则αβ⊥”为真命题③3m =是直线()320m x my ++−=与直线650mx y −+=互相垂直的充要条件A ．1B ．2C ．3D ．49．已知函数()()213cos sin 222x f x x ϕϕ+=−++22ππϕ⎛⎫−<< ⎪⎝⎭，函数()f x 图象的一个对称中心为,03π⎛−⎫⎪⎝⎭，现将()f x 图象上各点的横坐标缩小到原来的13（纵坐标不变），纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数()y g x =的图象，当5,1818x ππ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭时，函数()g x 的值域为（ ）A ．(]1,2B ．(]1,2−C ．1,12⎛⎤− ⎥⎝⎦D ．1,12⎡⎤−⎢⎥⎣⎦10.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为332，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a 的最大值为（ ） A ．3 B ．2 C ．()9322− D ．32211．已知实数a ，b 满足312log 4log 9a =+，51213a a b +=，则下列判断正确的是（ ） A ．2a b >>B ．2b a >>C ．2b a >>D ．2a b >>12. 已知正方体ABCD A B C D ''''−的棱长为4，E ，F ，G 分别为BB '，C D ''，AA '的中点，点P 在平面ABB A ''中，25=PF ，点N 在线段AE 上，则下列结论正确的个数是（ ） ①点P 的轨迹长度为2π；②FP 的轨迹平面A B CD ''的交线为圆弧； ③NP 的最小值为65105−；④若CG P D ⊥'，则tan BPC ∠的最大值为5． A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.12200cos 1πxdx x dx +−=⎰⎰.14.2．已知，，且与的夹角为钝角，则实数k 的取值范围是______．15. 在ABC V 中，若22(sin 3cos )40a a B B −++=，27b =，则的面积为_____．16.已知函数()()e sin 0xf x a x x =−>有两个零点，则正实数a 的取值范围为______．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分.17．（12分）在数列{}n a 和等比数列{}n b 中，10a =，32a =，()1*2n a n b n N +=∈.（1）求数列{}n b 及{}n a 的通项公式； （2）若12n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S .18. （12分）如图所示，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，四边形BCC 1B 1为菱形，BC ＝2，∠BCC 1＝3π，D 为B 1C 1的中点．（1）证明：B 1C 1⊥平面A 1DB ；（2）若AC 1＝2，求二面角C 1﹣A 1B 1﹣C 的余弦值．19．（12分）已知a ，b ，c 分别是ABC ∆内角A ，B ，C 所对的边，1sin cos sin 23cos 2a A C c Ab A +=.（1）求角A ；（2）已知D 是AB 上一点，2AB AD AC =<，7CD =3AC =，求BDC ∆的面积.20．（12分）已知圆C 的方程为22840x y x y +−+=，12,l l 是经过(0,2)P −且互相垂直的两条直线，其中1l 交圆C 于,M N 两点，2l 交x 轴于Q 点． (1)若8MN =，求直线1l 的方程； (2)求面积的最小值．21. （12分）已知函数()()2121ln 1f x x x a x x x ⎛⎫=−+−−+ ⎪⎝⎭.其中()a ∈R(1)当0a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)若对于任意0x >，都有()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22. 在平面直角坐标系中，点()5,0P，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为223645cos ρθ=+，1F ，2F 是曲线C 的下、上焦点．（1）求曲线C 的标准方程和直线2PF 的直角坐标方程；（2）经过点1F 且与直线2PF 垂直的直线l 交曲线C 于A 、B 两点，求11AF BF −的值．23．已知函数()|1||3|f x x x =−+−.(1)解不等式()1f x x ≤+；(2)设函数()f x 的最小值为c ，实数,a b 满足0,0,a b a b c >>+=，求证：22111a ba b +≥++.高三第三次阶段性测试理科数学试题解析版一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若i 为虚数单位，,a b ∈R ，且2a ib i i+=+，则复数a bi −的模等于（ ） A 2B 3C 5D 6【答案】C2．设集合3(,)2,,1y A x y x y R x −⎧⎫==∈⎨⎬−⎩⎭，{}(,)4160,B x y x ay x y R =+−=∈，若A B ⋂=∅，则实数a 的值为（ ） A ．4 B ．2− C ．4或2− D ．4−或2【答案】C【分析】本题先化简集合A 、集合B ，再结合A B ⋂=∅，确定直线21y x =+与4160x ay +−=平行或直线4160x ay +−=过点(1,3)，最后求实数a 的值.【详解】解：集合A 表示直线32(1)y x −=−，即21y x =+上的点，但除去点(1,3)， 集合B 表示直线4160x ay +−=上的点， 当A B ⋂=∅时，直线21y x =+与4160x ay +−=平行或直线4160x ay +−=过点(1,3)， 所以42a−=或43160a +−=， 解得2a =−或4a =． 故选：C.3．在等比数列{}n a 中，1238a a a =，且86434a a a =+，则3a =（ ）A ．1B ．2C ．±1D ．2±【答案】C4．若点(cos ,)P sin αα在直线2y x =−上，则cos(2)2πα+的值等于A ．45−B ．45C ．35-D ．35【答案】B5．设,a b 为两条直线，,αβ为两个平面，下列四个命题中真命题是（ D ）A ．若,a b 与α所成角相等，则//a bB ．若//,//,//a b a ααβ，则b β//C ．若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβD ．若,,a b αβαβ⊥⊥⊥，则a ⊥b6．如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是（ ）． D A ．221x y x =−− B ．2sin y x x =⋅ C. ln xy x=D ．2(2)x y x x e =−⋅u u u r u u u rA. 4−B. 2−C. 0D. 2【答案】B 【解析】【分析】设([0,120])AOC αα︒∠=∈，以,OA OB u u u r u u u r为平面内一组基底，根据平面向量的加法的几何意义、平面向量数量积的定义和运算性质，结合辅助角公式、余弦函数的单调性进行求解即可. 【详解】设([0,120])AOC αα︒∠=∈，因此有2()()CB CA CO OB CO OA CO CO OA OB CO OB OA ⋅=+⋅+=+⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2CO OC OA OB OC OB OA =−⋅−⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r422cos 22cos(120)22cos120αα︒︒=−⨯−⨯⋅−+⨯⋅44cos 4cos(120)2αα︒=−−−− 24cos 2cos 23ααα=−+− 22cos 23αα=−−24cos(60)α︒=−−，因为[0,120]α︒∈，所以60[60,60]α︒︒︒−∈−，所以当600α︒︒−=时，即60α︒=，CB CA ⋅u u u r u u r有最小值，最小值为242−=−. 故选：B8．下列四个结论中正确的个数是 ①若22am bm <，则a b <②“已知直线m ，n 和平面α、β，若m n ⊥，m α⊥，n β∥，则αβ⊥”为真命题 ③3m =是直线()320m x my ++−=与直线650mx y −+=互相垂直的充要条件 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】A9．已知函数()()213cos 22x f x x ϕϕ+=−+22ππϕ⎛⎫−<< ⎪⎝⎭，函数()f x 图象的一个对称中心为,03π⎛−⎫⎪⎝⎭，现将()f x 图象上各点的横坐标缩小到原来的13（纵坐标不变），纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数ππA ．(]1,2B ．(]1,2−C ．1,12⎛⎤− ⎥⎝⎦D ．1,12⎡⎤−⎢⎥⎣⎦【答案】B ()()21cos 22x f x x ϕϕ+=−+ ()()1cos sin 26x x x πϕϕϕ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， ∵函数()f x 的一个对称中心为,03π⎛−⎫ ⎪⎝⎭，∴36k ππϕπ−++=，∴6k πϕπ=+，∵22ππϕ−<<，∴6π=ϕ，∴()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将()f x 图象上各点的横坐标缩小到原来的13（纵坐标不变），纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则()sin 332g x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，∵51818x ππ−<<，73636x πππ<+<，所以函数()g x 的值域为(]1,2−.故选：B .10.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为2，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a 的最大值为（ ）BA ．3 BC．92D．211．已知实数a ，b 满足312log 4log 9a =+，51213a a b +=，则下列判断正确的是（ ） A ．2a b >> B ．2b a >> C ．2b a >> D ．2a b >>【详解】由题意，31333323log 92lo 12g 4log 9log 4log 4log 1log 4a =+=+=++， 所以3322log 421log 4a −=+−+()333log log 1g 4144lo =+−，因为3log 41>，所以()333414log log 01log 4>+−，即2a >.所以2213512512169b a a >==++,即21313b >， 所以2b >.再来比较,a b 的大小： 因为20a −>， 所以222512135144122511693a a a a a a −−−++⨯−=⨯−⨯22212144122516913a a a −−−<⨯−⨯+⨯221691216931a a −−=−⨯⨯()2216912301a a −−=−<，所以b a <.综上所述，2a b >>. 故选：A.12. 已知正方体ABCD A B C D ''''−的棱长为4，E ，F ，G 分别为BB '，C D ''，AA '的中点，点P 在平面ABB A ''中，25=PF ，点N 在线段AE 上，则下列结论正确的个数是（ ） ①点P 的轨迹长度为2π；②FP 的轨迹平面A B CD ''的交线为圆弧； ③NP 的最小值为65105−；④若CG P D ⊥'，则tan BPC ∠的最大值为5． A. 4 B. 3C. 2D. 1【答案】D【详解】解：根据正方体的性质知，F 到平面''ABB A 的距离为4，因为254PF =>，所以FP 的轨迹为圆锥的侧面，P 点在圆锥底面的圆周上，圆锥的底面的圆半径为()222542−=，圆锥的高为4，母线25=PF ，对于①，点P 的轨迹长度为224ππ⨯=，故①错误，对于②，由题意知，平面''A B CD 与圆锥的高不垂直，所以平面''A B CD 截圆锥所形成的曲线为椭圆，所以FP 的轨迹与平面''A B CD 的交线不是圆弧，故②错误，对于③，以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，以'AA 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，所以()0,0A ，()4,2N ，P 点所在的圆的圆心为()2,4O ，所以圆的标准方程为()()22244x y −+−=，AE 所在的直线方程为12y x =，所以圆心到直线的距离为222465512−⨯=+，所以圆上的点到直线的距离最小值为6525−，即NP 的最小值为65105−，故③正确；则(0,D 0，0)，'(0,D 0，4)，(0,C 4，0)，(4,G 0，2)，(4,B 4，0)设(4,P y ，)z ，因为'D P CG ⊥，所以'0D P CG =g u u u u r u u u r，即()164240y z −+−=，对于P ，()()22244y z −+−=，tan BC BPC BP∠=，即求BP 的最小值，()222452432BP y z y y =−+=−+，由二次函数的性质知，当24 2.425y −=−=⨯时，BP 取得最小值455，又因为42BC =，所以10BC BP=，所以tan BPC ∠的最大值为10，所以④错误，故选：D ．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 12200cos 1πxdx x dx +−=⎰⎰. 14π+14.已知(),2a k =−r ，() 3,5b =−r ，且a r 与b r的夹角为钝角，则实数k 的取值范围是______． 【答案】1066,,355⎛⎫⎛⎫−⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;15. 在中，若22(sin 3cos )40a a B B −++=，27b =，则的面积为_____．【答案】3【详解】解：由题得24sin()403a a B π−++=，因为方程有解，所以2216sin ()160,sin ()133B B ππ∆=+−≥∴+≥,所以sin()13B π+=±,因为0.333B B πππππ<<∴<+<+,所以24402a a a −+=∴=，. 由余弦定理得22328=4+22,23240,432c c c c c −⨯⨯⨯∴−−=∴=. 所以的面积为111sin 24323222S ac B ==⨯⨯⨯=. 故答案为：2316.已知函数()()e sin 0xf x a x x =−>有两个零点，则正实数a 的取值范围为______．【答案】944(2e ,2e )ππ【分析】由已知可得方程e sin x a x =其中()2,2N x k k k πππ∈+∈，有两个根，利用导数研究e sin xy x=，()2,2N x k k k πππ∈+∈，的单调性，作出其函数图象，观察图象可求出a 的取值范围.【详解】因为函数()()e sin 0,0xf x a x x a =−>>有两个零点， 所以方程()e sin 00,0xa x x a −=>>有两个根，所以()2,2N x k k k πππ∈+∈，所以方程e sin xa x =其中()2,2N x k k k πππ∈+∈，有两个根，设e ()sin xg x x=，()2,2N x k k k πππ∈+∈，，所以2e sin cos e ()sin x xx x g x x−'=，令()0g x '=可得e sin cos e 0x x x x −=， 化简可得24x k ππ=+，N k ∈，所以当22,N 4k x k k πππ<<+∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，当22,N 4k x k k ππππ+<<+∈时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，作函数()g x 的图象可得，由图象可得，当9()()g a g ππ<<时，直线y a =与函数e()xg x =，()2,2N x k k k πππ∈+∈，，的图象有且仅有所以当9442e 2e a ππ<<时，函数()()e sin 0xf x a x x =−>()0a >有两个零点，故答案为：944(2e ,2e )ππ．题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分.17．（12分）在数列{}n a 和等比数列{}n b 中，10a =，32a =，()1*2n a n b n N +=∈.（1）求数列{}n b 及{}n a 的通项公式； （2）若12n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S . 17．解：（1）依题意12b =,3328b ==,设数列{}n b 的公比为q ,由120n a n b +=>,可知0q >,由223128b b q q =⋅=⨯=,得24q =,又0q >,则2q =,故111222n n n n b b q−−==⨯=,┅┅┅┅┅┅4分又由122n a n +=,得1n a n =−. ┅┅┅┅┅┅6分 （2）依题意1(1)2n n c n −=−⨯.┅┅┅┅┅┅7分01221021222(2)2(1)2n n n S n n −−=⨯+⨯+⨯+⋯+−⨯+−⨯,①则12312021222(2)2(1)2n n n S n n −=⨯+⨯+⨯+⋯+−⨯+−⨯,②①-②得12122222(1)2(1)212nn nn n S n n −−−=+++−−⨯=−−⨯−…,┅┅┅┅┅┅10分即2(2)2n n S n −=−+−⨯,故2(2)2nn S n =+−⨯.┅┅┅┅┅┅12分18. 如图所示，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，四边形BCC 1B 1为菱形，BC ＝2，∠BCC 1＝3π，D 为B 1C 1的中点．（1）证明：B 1C 1⊥平面A 1DB ；（2）若AC 1＝2，求二面角C 1﹣A 1B 1﹣C 的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （215（1）证明：由AB ＝AC ，则有A 1B 1＝A 1C 1. ∵D 为B 1C 1的中点，∴A 1D ⊥B 1C 1. 由BC ＝2，则有B 1D ＝1，BB 1＝2， ∵1113B BC C BC π=∠=∠，∴2222111112cos21221332BD B B B D B B B D π=+−⋅=+−⨯⨯⨯= ∴BD 2+B 1D 2＝BB 12，∴BD ⊥B 1C 1，∵A 1D ∩BD ＝D ，∴B 1C 1⊥平面A 1DB . ┅┅┅┅┅┅6分（2）取BC 中点为E ，连接AE ，C 1E ， 由AB ⊥AC ，得AE ＝12BC ＝1， 由题意得C 1E ＝BD ＝3，∴222114AE C E AC +==，∴AE ⊥C 1E ，又可知AE ⊥BC ，AE ∩C 1E ＝E ，则AE ⊥平面BB 1C 1C ，如图，以E 为坐标原点，1C E BE AE u u u u r u u u r u u u r，，分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，┅┅┅┅┅┅7分则C （0，﹣1，0），B 1（3，2，0），A 1（3，1，1），B （0，1，0），D （3，1，0），由A 1D ∥AE ，得A 1D ⊥平面BB 1C 1C ，∴BD ⊥B 1C 1，∵BD ⊥B 1C 1，A 1D ∩B 1C 1＝D ，∴BD ⊥平面A 1B 1C 1， ∴平面A 1B 1C 1的法向量BD u u u r＝（3，0，0），┅┅┅┅┅┅8分设平面A 1B 1C 的法向量n r＝（x ，y ，z ），则，不妨取x ＝﹣3，得n r＝（﹣3，3，3），┅┅┅┅┅┅9分设二面角C 1﹣A 1B 1﹣C 的平面角为θ，由图示θ为锐角. ┅┅┅┅┅┅10分 则cosθ＝，┅┅┅┅┅┅11分 ∴二面角C 1﹣A 1B 1﹣C 的余弦值为155．┅┅┅┅┅┅12分 19．（12分）已知a ，b ，c 分别是ABC ∆内角A ，B ，C 所对的边，1sin cos sin 23cos 2a A C c Ab A +=. （1）求角A ；（2）已知D 是AB 上一点，2AB AD AC =<，7CD =，3AC =，求BDC ∆的面积.19．（1）∵1sin cos sin 23cos 2a A C c Ab A +=， ∴sin cos sin cos 3cos a A C c A A b A +=，由正弦定理得()sin sin cos cos sin 3sin cos A A C A C B A +=， ∴()sin sin 3sin cos A A C B A +=，即sin sin 3sin cos A B B A =， ∵0B π<<，∴sin 0B ≠，∴sin 3cos A A =，显然cos 0A ≠，∴tan 3A =，∵0A π<<，∴3A π=.┅┅┅┅┅┅6分（2）在ADC ∆中，由余弦定理知，2222cos DC AD AC AD AC A =+−⋅，即()222173232AD AD =+−⨯⨯⨯，解得1AD =或2AD =（舍），∵2AB AD =，∴1BD AD ==，∴133313224BDC ACD S S ∆∆==⨯⨯⨯=.┅┅┅┅┅┅12分20．已知圆C 的方程为22840x y x y +−+=，12,l l 是经过(0,2)P −且互相垂直的两条直线，其中1l 交圆C 于,M N 两点，2l 交x 轴于Q 点．(1)若8MN =，求直线1l 的方程； (2)求面积的最小值．20.（1）圆C 的方程为22(4)(2)20x y −++=，圆心(4,2)C −，半径25r =． 若1l 垂直于x 轴，则4MN =不合题意，┅┅┅┅┅┅2分故1l 斜率存在，设为k ，则1l 的方程为2y kx =−，即20kx y −−=．┅┅┅┅┅┅3分8MN =，C 到1l 的距离()222542d =−=，242221k k +−=+，解得33k =±，┅┅┅┅┅┅4分故直线1l 的方程为323y x =±−，即3360x y ±−−=．┅┅┅┅┅┅5分 （2）由已知，2l 斜率不为0，故1l 斜率存在．┅┅┅┅┅┅6分当2l 斜率不存在时，2l 方程为0x =，则(0,0)Q ，此时1l 方程为=2y −，此时45MN =， 1452452QMN S =⨯⨯=△．┅┅┅┅┅┅7分当2l 斜率存在时，设1:2l y kx =−即20kx y −−=，则圆心C 到直线MN 的距离为241k k +．┅┅┅┅┅8分()222222216420522524111k k k MN k k k ++=−==+++，┅┅┅┅┅┅9分 2l 方程为12y x k =−−，即20x ky ++=，()2,0Q k −，则点Q 到MN 的距离为22221k k−−+．┅┅┅┅┅┅10分22222122454545211QMNk k S k k k ++=⨯⨯=+>++△.┅┅┅┅┅┅11分 综上：面积的最小值为45．┅┅┅┅┅12分21. 已知函数()()2121ln 1f x x x a x x x ⎛⎫=−+−−+ ⎪⎝⎭.其中()a ∈R(1)当0a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)若对于任意0x >，都有()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围. 解：（1）()12ln 1f x x x ⎛⎫'=+− ⎪⎝⎭，令其为()p x ，则()21120p x x x ⎛⎫'=+> ⎪⎝⎭┅┅┅┅┅┅1分 所以可得()p x ，即单调递增，┅┅┅┅┅┅2分而()10f '=，则在区间()0,1上，，函数()f x 单调递减；┅┅┅┅┅┅3分在区间上，函数()f x 单调递增┅┅┅┅┅┅4分（2）()()2112ln x f x x x a x ⎛⎫−=−+ ⎪⎝⎭，令()212ln x h x x ax −=+，可知()10h =. ()222ax x a h x x++'=，令()22,0g x ax x a x =++>，┅┅┅┅┅┅5分 ①当1a ≤−时，结合()g x 对应二次函数的图像可知，()0g x ≤，即()0h x '≤，所以函数()h x 单调递减，∵()10h =，∴()0,1∈x 时，()0h x >，()1,∈+∞x 时，()0h x <， 可知此时()0≤f x 满足条件；┅┅┅┅┅┅7分②当0a ≥时，结合()g x 对应的图像可知，()0h x '>，()h x 单调递增， ∵()10h =，∴()0,1∈x 时，()0h x <，()1,∈+∞x 时，()0h x >， 可知此时()0≤f x 不恒成立，┅┅┅┅┅┅9分 ③当10a −<<时，研究函数()22g x ax x a =++.可知()10g >.对称轴11x a=−>. 那么()g x 在区间11,a ⎛⎫−⎪⎝⎭大于0，即()h x '在区间11,a ⎛⎫− ⎪⎝⎭大于0， ()h x 在区间11,a ⎛⎫− ⎪⎝⎭单调递增，()()10h x h >=，可知此时()0f x >.所以不满足条件. ┅┅┅┅┅11分综上所述：1a ≤−.┅┅┅┅┅┅12分（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系中，点)P，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为223645cos ρθ=+，1F ，2F 是曲线C 的下、上焦点．（1）求曲线C 的标准方程和直线2PF 的直角坐标方程；（2）经过点1F 且与直线2PF 垂直的直线l 交曲线C 于A 、B 两点，求11AF BF −的值．解：由223645cos ρθ=+得()2245cos 36ρρθ+=， 即()2224536y x x ++=，所以229436x y +=，即22149x y +=，┅┅┅┅┅┅2分∴(2F ，∴直线2PF 1=，即0x y +=；┅┅┅┅┅┅4分（2）解：由（1）知(10,F ，直线l的直角坐标方程为y x =，直线l的参数方程为x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将直线l 的参数方程代入曲线C的标准方程可得：213320t −−=，┅┅┅┅┅┅6分 设A 、B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则12t t +=123213t t =−，∴1t ，2t 异号，┅┅┅┅┅┅8分∴111213AF BF t t −=+=．┅┅┅┅┅┅10分 23．已知函数()|1||3|f x x x =−+−.(1)解不等式()1f x x ≤+；(2)设函数()f x 的最小值为c ，实数,a b 满足0,0,a b a b c >>+=，求证：22111a ba b +≥++.23．(1)()1f x x ≤+，即131x x x −+−≤+.当1x <时，不等式可化为421x x −≤+，解得：1≥x 又∵1x <，∴x ∈∅； ┅┅┅┅┅┅1分当13x ≤≤时，不等式可化为21x ≤+，解得：1≥x 又∵13x ≤≤，∴13x ≤≤.┅┅┅┅┅┅2分当3x >时，不等式可化为241x x −≤+，解得：5x ≤ 又∵3x >，∴35x <≤.┅┅┅┅┅┅3分综上所得，13x ≤≤或35x <≤，即15x ≤≤.┅┅┅┅┅┅4分 ∴原不等式的解集为[]1,5.┅┅┅┅┅┅5分(2)由绝对值不等式性质得，()()13132x x x x −+−≥−−−=， ∴2c =，即2a b +=.┅┅┅┅┅┅6分令1,1a m b n +=+=，则1,1m n >>，114a m b n m n =−=−+=,,，┅┅┅┅┅┅7分()()2222211114441112m n a b m n a b m n m n mn m n −−+=+=+++−=≥=+++⎛⎫ ⎪⎝⎭， ┅┅┅┅┅┅9分 当且仅当2m n ==即1a b ==时等号成立.原不等式得证. ┅┅┅┅┅┅10分。
2025届湖南省两校联考高三下-第三次阶段测试数学试题试卷
2025届湖南省两校联考高三下-第三次阶段测试数学试题试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，函数()f x 满足()()4f x f x =+，且(]0,1x ∈时，()2()log 1f x x =+，则()()20182019f f +=（ ） A ．2B ．2-C ．1D ．1-2．如图在一个60︒的二面角的棱有两个点,A B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱AB ，且2,4AB AC BD ===，则CD 的长为（ ）A ．4B ．25C ．2D ．233．设m ，n 为非零向量，则“存在正数λ，使得λ=m n ”是“0m n ⋅>”的（ ） A ．既不充分也不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．充分不必要条件4．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（ ）A ．B ．C ．D ．5．在ABC ∆中，D 为BC 中点，且12AE ED =，若BE AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．1B ．23-C ．13-D ．34-6．已知集合{}{}22(,)4,(,)2xA x y x yB x y y =+===，则AB 元素个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．47．已知,a R b R ∈∈，则“直线210ax y +-=与直线(1)210a x ay +-+=垂直”是“3a =”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．网格纸上小正方形边长为1单位长度，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A ．1B ．43C ．3D ．49．在四边形ABCD 中，//AD BC ，2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，点M 在边CD 所在直线上，则AM ME ⋅的最大值为（ ） A ．714-B ．24-C ．514-D ．30-10．点O 在ABC ∆所在的平面内，OA OB OC ==，2AB =，1AC =，AO AB ACλμ=+(),R λμ∈，且()420λμμ-=≠，则BC =（ ）A ．73B 7C ．7D 711．已知函数()sin 22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象的对称轴方程为（ ） A ．,4x k k Z ππ=-∈ B ．+,4x k k Z ππ=∈C ．1,2x k k Z π=∈ D ．1+,24x k k Z ππ=∈12．已知函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，若()()()f a f b a b =<，则ab 的最小值为（ ） 参考数据：2ln 20.69,ln 20.48≈≈A ．12B ．24C ．2log 3D ．22二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021-2022学年天津市武清区杨村第一中学高一上学期第三次阶段性检测数学试题(解析版)
2021-2022学年天津市武清区杨村第一中学高一上学期第三次阶段性检测数学试题一、单选题1．已知集合{}{2|450,|A x x x B x y =--≤==，则A B =（ ）A ．{|15}x x <≤B ．{|15}x x -<≤C ．{}|15x x ≤≤D ．{}|15x x -≤≤【答案】C【分析】解一元二次不等式求集合A ，由函数定义域求集合B ，最后应用集合交运算求结果.【详解】由{}2|450{|(5)(1)0}{|15}A x x x x x x x x =--≤=-+≤=-≤≤，{|{|1}B x y x x ==≥，所以A B ={}|15x x ≤≤. 故选：C2．已知0.2log 2a =，20.3b =，0.32c =，则（ ） A ．c a b << B ．a c b << C ．b c a << D ．a b c <<【答案】D【分析】根据指对数函数的性质判断对数式、指数幂的大小关系.【详解】0.3022.log 20120.3b a c ==<<<<=，∴a b c <<. 故选：D3．已知函数()log 23a y x =++的图象恒过定点A ，若角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，且点A 在角α的终边上，则sin α的值为（ ）A ．BCD ．【答案】C【分析】先由对数函数图象的特征求出定点()1,3A -，再由三角三函数的定义求解即可 【详解】函数()log 23a y x =++的图象恒过定点()1,3A -，且点()1,3A -在角α的终边上， 所以()223sin 1331010α==-+，故选：C4．已知a ，b 都是实数，那么“22log log a b >”是“a b >”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用对数函数的单调性解不等式得到22log log a b >⇒a b >，取特殊值得到22log log a a b b >>⇒/，从而得到“22log log a b >”是“a b >”的充分不必要条件. 【详解】因为22log log a b >，所以0a b >> 根据不等式的性质得到：a b > 即22log log a b >⇒a b >反过来，因为当1,0a b ==时，2log b 的值没有意义，所以22log log a a b b >>⇒/ 则“22log log a b >”是“a b >”的充分不必要条件 故选:A【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的证明，属于基础题. 5．函数sin 4xx xy e+=的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据函数的奇偶性，可排除C 、D ，利用()1f 和x →+∞时，()0f x →，结合选项，即可求解.【详解】由题意，函数()sin 4xx xf x e+=的定义域为R ， 且()()sin()4()sin 4x xx x x xf x f x e e --+-+-==-=-， 所以函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除C 、D ； 当1x =时，可得()sin141(1,2)f e+=∈，且x →+∞时，()0f x →， 结合选项，可得A 选项符合题意. 故选：A.6．关于函数()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为πB ．函数()f x 在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C ．函数()f x 的图象与y 轴的交点为10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．点7π,06⎛⎫⎪⎝⎭为函数()f x 图象的一个对称中心【答案】D【分析】由正弦函数的图象与性质逐一判断即可【详解】对于A ：由()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可知()11f x -≤≤，2ππ2T ==，又()()122f x f x -=，故()()12,f x f x 一个是最大值一个是最小值，所以12π,N 22kT k x x k *-==∈，所以1k =时，则12x x -的最小值为π2，故A 错误； 对于B ：当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，π2π5π2,333x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，因为sin y x =在2π5π,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上不单调，故B 错误；对于C ：令0x =，则()π0sin 3f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以函数()f x 的图象与y 轴的交点为0,⎛ ⎝⎭，故C 错误；对于D ：若点7π,06⎛⎫⎪⎝⎭为函数()f x 图象的一个对称中心，则7π06f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 而当7π6x =时，7π7ππsin 2sin 2π=0663f ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点7π,06⎛⎫⎪⎝⎭为函数()f x 图象的一个对称中心，故D 正确；故选：D7．下列命题正确的个数是（ ）①命题“0,2sin 0x x x ∃>+<”的否定形式是“0,2sin 0x x x ∀>+≥”；②函数()()212log 62f x x x =+-的单调递增区间是1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；③函数,1()(32)2,1ax f x x a x x ⎧-≤-⎪=⎨⎪-+>-⎩是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；④函数()23log f x x x=-的零点所在的区间()2,3，且函数()f x 只有一个零点. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】B【分析】对于①，特称命题否定为全称命题即可，对于②，先求函数的定义域，再利用换元法求解，对于③，每一段上都为增函数，再考虑端点处的函数值，对于④，利用零点存在性定理判断.【详解】对于①，命题“0,2sin 0x x x ∃>+<”的否定形式是“0,2sin 0x x x ∀>+≥”，所以①正确，对于②，由2620x x +->，得322x -<<，令262x t x +-=，则12log y t=，因为262x t x +-=在31,24⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增，在1,24⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，12log y t =在定义域内递减，所以()f x 在31,24⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减，在1,24⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，所以②错误， 对于③，因为,1()(32)2,1ax f x x a x x ⎧-≤-⎪=⎨⎪-+>-⎩是R 上的增函数，所以0320(32)(1)21a a a a ⎧⎪>⎪->⎨⎪⎪--+≥--⎩，解得312a ≤<，所以③错误， 对于④，因为3y x=和2log y x =-在()2,3上递减，所以()23log f x x x=-在()2,3上递减，因为()23(2)(3)11log 302f f ⎛⎫⋅=-⋅-< ⎪⎝⎭，所以函数()f x 只有一个零点且在()2,3上，所以④正确， 故选：B8．已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间3ππ,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，且在区间[]0,2π内恰好取得一次最大值2，则ω的取值范围是（ ）A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】利用函数在区间3ππ,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，在区间[]0,2π上恰好取得一次最大值2，建立关系，即可求解【详解】因为函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间3ππ,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，可得1π3π224T ⎛⎫≥-- ⎪⎝⎭，即5π2T ≥，所以45ω≤且ππ2π22π3π2π24k k ωω⎧≤+⎪⎪⎨⎪-+≤-⎪⎩，Z k ∈解得142833kk ωω≤+⎧⎪⎨≤-⎪⎩，Z k ∈，又0>ω，当0k =时，可得203ω<≤， 因为函数()f x 在区间[]0,2π上恰好取得一次最大值2， 且函数()2sin (0)f x x ωω=>的图象过原点， 所以π2π25π2π2ωω⎧≥⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，解得1544ω≤< 综上可得：1243ω≤≤， 故选：B二、填空题9．若2323ba⎛⎫== ⎪⎝⎭，则11a b +=______.【答案】1【分析】先求出,a b ，再根据换底公式和对数加法运算可得出结果.【详解】由2323ba⎛⎫== ⎪⎝⎭，得3log 2a =，23log 2b =，则2232311112log 3log 1log 2log 23a b +=+=+=. 故答案为：1.【点睛】本题考查对数的运算，属于基础题.10．已知α是第四象限角，且cos α=，则()()sin cos cos sin 22πααππαα++-=⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭___________.【答案】3-【分析】利用同角三角函数关系可得sin α=，再由诱导公式化简目标式求值即可. 【详解】由题设，sin α= ()()sin cos cos sin 3sin cos cos sin 22πααααππαααα++--===-+⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：3-11．已知函数()tan()f x x ϕ=+，||2ϕπ<的图像的一个对称中心为(,0)3π，则ϕ的值为__________． 【答案】-63ππ或【分析】将π3ϕ+代入正切函数的对称中心，利用π2ϕ<求得ϕ的值. 【详解】由于π,03⎛⎫⎪⎝⎭是函数的对称中心，故πππ,π3223k k ϕϕ+==-，由于π2ϕ<，故取0,1k =时，π6ϕ=或π3ϕ=-符合题意.【点睛】本小题主要考查正切函数的对称性，属于基础题.正切函数tan y x =的对称中心是π,02k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，值的注意的是π,02⎛⎫⎪⎝⎭虽然不在函数的图像像上，但它是正切函数的对称中心.12．对任意的0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，不等式22141sin cos m θθ+≥-恒成立，则实数m 的取值范围是___________. 【答案】[]8,10-【分析】先对2214sin cos θθ+变形化简后利用基本不等式可求出其最小值，从而将问题转化为22min141sin cos m θθ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭，进而可求出实数m 的取值范围. 【详解】因为0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0,cos 0,tan 0θθθ>>>，所以2222222214sin cos 4sin 4cos sin cos sin cos θθθθθθθθ+++=+2222cos 4sin 5sin cos θθθθ=++ 2214tan 5tan θθ=++59≥=， 当且仅当2214tan tan θθ=，即tan θ= 所以2214sin cos θθ+的最小值为9，所以91m ≥-，解得810m -≤≤， 即实数m 的取值范围是[]8,10-， 故答案为：[]8,10-三、解答题13．已知()()()sin 2cos 2cos tan 2f ππαααπαπα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭.(1)化简()f α，并求76f π⎛⎫⎪⎝⎭；(2)求函数()()2212g x f x f x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭的值域.【答案】(1)cos α，(2)250,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）先利用诱导公式对函数化简，再代值计算即可，（2）由（1）可得()22cos cos 12g x x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，化简后结合二次函数的性质可求得函数的值域.【详解】(1)由题意可得()()()()sin 2cos sin sin 2cos sin tan cos tan 2f ππααααααπαααπα⎛⎫-+ ⎪-⋅-⎝⎭===⋅⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，故77cos cos cos 6666f πππππ⎛⎫⎛⎫==+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)因为()cos f αα=，()222cos cos 12cos sin 12g x x x x x π⎛⎫=-++=++ ⎪⎝⎭22sin sin 3x x =-++21252sin ,48x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭因为[]sin 1,1x ∈-，所以当1sin 4x =时，max 25()8g x =，当sin 1x =-时，min ()0g x =所以()g x 的值域为250,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦.14．武清政府为增加农民收入，根据本区区域特点，积极发展农产品加工业.经过市场调查，加工某农产品需投入固定成本3万元.因人工投入和仪器维修等原因，每加工x 吨该农产品，需另投入成本()f x 万元，且()216,06,2641125, 6.x x x f x x x x ⎧+<<⎪⎪=⎨⎪+-≥⎪⎩已知加工后的该农产品每吨售价为10万元，且加工后的该农产品能全部销售完.(1)求加工后该农产品的利润y （万元）与加工量x （吨）的函数关系式；(2)求加工多少吨该农产品，使加工后的该农产品利润达到最大？并求出利润的最大值. 【答案】(1)2143,0626422,6x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--+≥⎪⎩；(2)加工8（吨），利润的最大值6万元.【分析】（1）根据已知条件及投入成本函数，讨论06x <<、6x ≥对应利润函数式，即可得其分段函数形式；（2）分别求出不同分段上的最值，并比较大小，即可得结果. 【详解】(1)当06x <<时，221110634322y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭.当6x ≥时，6464101125322y x x x x x ⎛⎫=-+--=--+ ⎪⎝⎭.故加工后该农产品的利润y （万元）与加工量x （吨）的函数关系式为： 2143,0626422,6x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--+≥⎪⎩.(2)当06x <<时，221143(4)522y x x x =-+-=--+，所以4x =时，y 取得最大值5万元；当6x ≥时，因为6416x x+≥=，当且仅当8x =时，等号成立， 所以当8x =时，y 取得最大值6万元， 因为56<，故当8x =时，y 取得最大值6万元.15．已知函数()π2sin 21(0)6f x x ωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，且函数图像中相邻两条对称轴间的距离为π2. (1)求ω的值及函数()f x 的单调递增区间；(2)当π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最值，并写出相应的自变量的取值.【答案】(1)1ω=，单调递增区间为πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦(2)π3x =-时，取最小值1-；0x =时，取最大值2【分析】（1）先由题意求出1ω=，再由πππ2π22π,Z 262k x k k -≤+≤+∈解出x 即可求解； （2）由π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦可得5πππ2666x -≤+≤，结合函数的图像求解即可. 【详解】(1)因为函数图像中相邻两条对称轴间的距离为π2，所以πT =， 所以2ππ2ω=，即1ω=， 所以()π2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由πππ2π22π,Z 262k x k k -≤+≤+∈，得ππππ,Z 36k x k k -≤≤+∈， 所以()f x 的单调递增区间为πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.(2)因为π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以5πππ2666x -≤+≤， 所以π11sin 262x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以π22sin 216x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，π12sin 2126x ⎛⎫-≤++≤ ⎪⎝⎭，所以ππ262x +=-即π3x =-时，()f x 取最小值1-；ππ266x +=即0x =时，()f x 取最大值2. 16．已知函数()12(log 94343)x x f x +=-⨯+，函数()222log 7g x x mx =-+.（1）求不等式()4f x ≤的解集；（2）若[][]121,2,1,2x x ∀∈∃∈，使()()12f x g x ≥，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）{}|12x x ≤≤；（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【分析】（1）确定函数定义域为R ，带入化简得到1943270x x +-⨯+≤，令3x t =，则212270t t -+≤，解得答案.（2）()22log 367[()]x f x =-+，计算()2min log 7f x =，题目转化为()2min log 7g x ≤，根据对称轴讨论1m ，12m <<，2m ≥三种情况，计算最小值得到答案. 【详解】()1由12943433(67)x x x +-⨯+=-+可知()f x 的定义域为R ， 由1log 9434342()x x +-⨯+≤，得1943270x x +-⨯+≤.令3x t =，则212270t t -+≤，解得39t ≤≤，由339,x ≤≤得12,x ≤≤ 所以不等式()4f x ≤的解集为{}|12x x ≤≤.()2由题意，[]11,2x ∀∈，有()()21g x f x ≤，所以()()2min g x f x ≤.因为()22log 367[()]x f x =-+，[]11,2x ∀∈，有339,x ≤≤所以()2min log 7,f x =[]21,2x ∃∈，使()22log 7g x ≤，只要()2min log 7g x ≤.函数()g x 的图象为开口向上的抛物线，且它的对称轴方程为x m =. ①当1m 时，()()22min 112log 7log 7g g m x ==-+≤，所以112m ≤≤； ②当12m <<时，()()222min log 7log 7g x g m m ==-+≤，所以12m <<；③当2m ≥时，由()()22min 244log 7log 7g g m x ==-+≤，得1,m ≥所以2m ≥. 综上所述，m 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.17．已知函数()(1)x g x a a =>，且1()()()tf xg x g x +=+是定义在R 上的奇函数． （1）求实数t 的值并判断函数()f x 的单调性（不需要证明）；（2）关于x 的不等式2()(4)0f x bx f x ++->在(0,)+∞上恒成立，求实数b 的取值范围；（3）若1(2)[(2)])2()(g x x f x h g x m --=+在(0,)+∞上有两个零点12,x x，求证：m >且12log (2a x x +>．【答案】（1）2t =-，R 上的增函数 （2）(3,)-+∞ （3）证明见解析【解析】（1）根据(0)0f =计算得到2t =-，再判断函数的单调性得到答案. （2）变换不等式得到41b x x >--+在(0,)+∞上恒成立，利用均值不等式计算最值得到答案.（3）令1,x x u a a =-则222()p u u u m =-+在(0,)+∞有两个不相等的零点，解得m >，设12,u u 是方程222=0u mu -+的两个不等的正实数根，利用韦达定理和均值不等式得到证明.【详解】（1）由题意1()x xt f x a a +=+是定义在R 上的奇函数 所以(0)0f =，所以1(1)0t ++=，即2t =-，经检验，2t =-是()f x 是奇函数） 由题意得：1()x x f x a a=-，因为1a >，()f x 是R 上的增函数. （2）因为奇函数()f x 是定义域在R 上的增函数又222()(4)0()(4)4f x bx f x f x bx f x x bx x ++->⇒+>-⇔+>- 即41b x x >--+在(0,)+∞上恒成立由基本不等式，当且仅当2x =时，41x x --+取得最大值-3所以3b >-，则实数b 的取值范围为(3,)-+∞.（3）由题意：22211112()()2()()2x x x x x x x x a m a a m a a a a h a x +--=---+= 令1,(0,),(0,)x x u a x u a =-∈+∞∴∈+∞则222()p u u u m =-+在(0,)+∞有两个不相等的零点，函数的对称轴是u m =200(0)0(0)20()0()20m m p p p m p m m >>⎧⎧⎪⎪∴>⇒=>⎨⎨⎪⎪<=-+<⎩⎩解得：m >设12,u u 是方程222=0u mu -+的两个不等的正实数根12122u m u m u u ==∴= 又12121211,x x x x u a u a a a=-=- 21121212121212111()()()2x x x x x x x x x x x x a a u u a a a a a a a a ∴=--=+-+= 由基本不等式211212,2x x x x a a x x a a≠∴+>121212122122,()410x x x x x x x x a a a a ++++∴<+-∴-+>解得：122x x a +<122x x a +>1212120,1,1,2x x x x x x a a a +++>>∴>∴>+121,log (2a a x x >∴+>+所以：m >12log (2a x x +>.【点睛】本题考查了函数的单调性，奇偶性，恒成立问题，函数的零点问题，均值不等式，知识点多，计算量较大，意在考查学生对于函数知识和不等式知识的综合应用.四、双空题18．已知函数|1|e ,0()43,0x x f x x x x +⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，函数()y f x a =-有四个不同零点，从小到大依次为1234,,,x x x x ，则实数a 的取值范围为___________；1234x x x x +的取值范围为___________.【答案】 (1,e] [4,5)【分析】根据函数性质画出()f x 的图象，将问题化为()f x 与y a =有四个交点，数形结合法求a 范围，再由12,x x 是22(1)ln 0x a +-=的两个根、34,x x 是2(3)40x a x -++=的两个根，结合根与系数关系求1234x x x x +的范围.【详解】由题设，当(,1)x ∈-∞-时，1e (1,)x y --=∈+∞，且单调递减；当(1,0]x ∈-时，1e (1,e]x y +=∈，且单调递增；当(0,2)x ∈，43(1,)y x x=+-∈+∞，且单调递减； 当(2,)x ∈+∞，43(1,)y x x =+-∈+∞，且单调递增； 综上，()f x 的函数图象如下：所以()y f x a =-有四个不同零点，即()f x 与y a =有四个交点，由图知：1e a <≤， 则12,x x 在|1|e x y +=上，34,x x 在43y x x=+-上， 令12|1||1|e e x x a ++==，则12|1||1|ln x x a +=+=，即12,x x 是22(1)ln 0x a +-=的两个根，故2121ln x x a =-，而34,x x 是43x a x+-=，即2(3)40x a x -++=的两个根，故344x x =， 所以123425ln [4,5)x x x a x =-∈+.故答案为：(1,e]，[4,5)【点睛】关键点点睛：将问题转化为()f x 与y a =有四个交点，数形结合求参数范围，进而把1234,,,x x x x 看作对应方程的根，应用根系关系及对数性质求范围.。
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B
正方体
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6
实验二中2013 -2014学年度第二学期九年级第三次阶段考试
数 学 试 卷 （2014.5.27）
命题组：张小华（组长） 孙土发 肖地长 审稿组：王华（组长） 钟筠 曾观福 测评组：邱金兰（组长） 陈云军 陈春兰 整理组：康雪英（组长）刘梨 曾根发 教研组长：陈云军 学科分管领导：丁石福
（考试说明：本卷共 六 大题；24小题，满分为120分，考试时间120分钟）
一． 选择题.（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. －2014的相反数是（ ）
A.20141
B.－2014
1 C.－2014 D.2014 2. 如图，AD BC ∥，点E 在BD 的延长线上，若143ADE ∠=︒，
则DBC ∠的度数为（ ）．
A ． 37︒
B ．43︒
C ． 33︒
D ．47︒ 3. 在下面的四个几何体中，它们各自的主视图与左视图不相同的是（ ）
4.不等式组1340x x +>⎧⎨-⎩
≥的解集用数轴表示为（ ）．
5. 在同一平面内，已知线段AO = 2，⊙A 的半径为r ，将⊙A 绕点O 按逆时针方向旋转90°，得到的圆记作⊙B ，如果⊙
A 与⊙
B 外切，那么r 的值为（ ）
A.1
B.
2
2
C. 2
D. 2
6. 如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别 为S 1、S 2，则S 1+S 2的值为（ ）
A ．16
B ．17
C ．18
D ．19 第6题图
二．填空题.（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
7. 写出一个绝对值小于3的数
.
8. 近年来，我国许多城市的“灰霾”天气增加，严重影响大家身体健康．“灰霾”天气的最主要成因是直径小于或等于2.5微米的细颗粒物（即PM2.5），也称为可入肺颗粒物．已知2.5微米=0.000 0025米，此数据用科学记数法表示为 米．
9．计算：x
x
x x -+-112= ． 10.如图△ABC 中，∠A=30°，∠C =90°，作△ABC 的外接圆．若弧AB 的长为12cm ，那么弧AC 的
长是 .
11. 如图，平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边，则_______=∠α.
12. 在本学期的“献爱心”的捐款活动中，九（1）班学生捐款情况如图所示，那么捐款金额的中位数是 .
13. 如图，反比例函数x
k
y =的图象上有一点P ，PA ⊥x 轴于点A ，点B 在y 轴的负半轴上，若
∆PAB 的面积为3，那么反比例函数的解析式是 .
14. 在某张三角形纸片上，取其一边的中点，沿着过这点的 两条中位线分别剪去两个三角形，
剩下的部分就是如图所示的四边形；经测量这个四边形的相邻两边长为10cm 、6cm ，一条对角线的长为8cm ；则原三角形纸片的周长是 ．
三．（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
15.︒++++
30tan 32-331-0
2
）（π 16.解分式方程：
2
1
22x -1-=+-x x
17.如图，点O 是菱形ABCD 对角线的交点，AE ∥OB ，OA ∥BE. 求证：OE ＝AD
18.如图，ABC ∆的三个顶点分别在正方形网格中的格点上．
(1)请在网格中找得一个格点P ，连接PB 、PC ，使1
2
BPC BAC ∠=∠.
(2)直接写出此时tan BPC ∠的值．
B
E
C
A
D
第2题图
C
2 4
B
2 4 A
2 4
D
2 4
第18题图
班级 姓名 学号 考号
………………………………..密…………………………………封………………………….线………………………………
第10题图
A
B
C
第12题图
x
y
第13题图
O P A
B
x
y P
C
B
A O 四．（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
19.为响应赣州市2014年创建国家级卫生城市的号召，某校对八年级各班文明行为劝导志愿者 人数进行了统计，各班统计人数有6名、5名、4名、3名、2名、1名共计六种情况，并制作如下两幅不完整的统计图.
(1) 求该年级平均每班有多少文明行为劝导志愿者？并将条形图补充完整；
(2) 该校决定本周开展主题实践活动，从八年级只有2名文明行为劝导志愿者的班级中任选两名，请用列表或画树状图的方法，求出所选文明行为劝导志愿者有两名来自同一班级的概率.
（第19题图） （第20题图） 20.某商场为缓解我市“停车难”问题，拟建造地下停车库，图18是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中AB ⊥BD ，∠BAD ＝18o ，C 在BD 上，BC ＝0.5m ．根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入．小明认为CD 的长就是所限制的高度，而小亮认为应该以CE 的长作为限制的高度．小明和小亮谁说得对？请你判断并计算出正确的结果．（结果精确到0.1m ）
参考数据：（sin18°＝0.31，cos18°＝0.95,tan18°＝0.32）
21.某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成，如图，⊙O 1和扇形O 2CD 中，⊙O 1与O 2C 、O 2D 分别相切于点A 、B ，已知∠CO 2D ＝60°，E 、F 是直线O 1O 2与⊙O 1、扇形O 2CD 的两个交点，且EF ＝24厘米，设⊙O 1的半径为x 厘米． （1）用含x 的代数式表示扇形O 2CD 的半径；
（2）若⊙O 1、扇形O 2CD 两个区域的制作成本分别为
0.45元/厘米2和0.06元/厘米2
，当⊙O 1的半径 为多少时，该玩具的制作成本最小？
五．（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
22.我市某海域内有一艘渔船发生故障，海事救援船接到求救信号后立即从港口出发沿直线匀速前往救援，与故障渔船会合后立即将拖回．如图，折线段O －A －B 表示救援船在整个航行过
程中离港口的距离y （海里）随航行时间x （分钟）的变化规律．抛物线k ax y +=2
表示故障渔船在漂移过程中离港口的距离y （海里）随漂移时间x （分钟）的
变化规律．已知救援船返程速度是前往速度的3
2
．
根据图象提供的信息，解答下列问题：
(1)救援船行驶了 海里与故障渔船会合； （2）求救援船的前往速度；
(3)若该故障渔船在发出求救信号后40分钟内得不到营救就会有危险，
请问救援船的前往速度每小时至少是多少海里，才能保证渔船的安全．
23.已知抛物线c bx x y ++=2与x 轴交于点A （－1，0）、C ，与y 轴交于点B （0，3）， 抛物线的顶点为 P. （1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线向下平移k 个单位后经过点（－5，6）. ①求k 的值及平移后抛物线所对应函数的最小值；
②设平移后抛物线与y 轴交于点D ，顶点为Q ，点M 是平移后的抛
物线上的一个动点.请探究：当点M 在何处时，△MBD 的面积是 △MPQ 面积的2倍?求出此时点M 的坐标.
六．（本大题共1小题，共12分）
24.小明在玩一副三角板时发现：含45°角的直角三角板的斜边可与含30°角的直角三角板的较长直角边完全重合（如图①）．即△C′DA′的顶点A′、C ′分别与△BAC 的顶点A 、C 重合．现在，他让△C′DA′固定不动，将△BAC 通过变换使斜边BC 经过△C′DA ′的直角顶点D ．
（1）如图②，将△BAC 绕点C 按顺时针方向旋转角度α（0°＜α＜180°），使BC 边经
过点D ，则α= 度。
（2）如图③，将△BAC 绕点A 按逆时针方向旋转，使BC 边经过点D ．试说明：BC ∥A′C′． （3）如图④，若AB =2，将△BAC 沿射线A′C ′方向平移m 个单位长度，使BC 边经过点
D ，求m 的值．。