立体几何(向量法)

2．已知两平面的法向量分别为 m＝(0,1,0)， n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小 为( C ) A．45° C．45° 135° 或 B．135° D．90°
解析
1 2 m· n cos〈m，n〉＝|m||n|＝ ＝2， 1× 2
即〈m，n〉＝45° ，其补角为 135° ， ∴两平面所成的二面角为 45° 135° 或 .
设点 P2，2，t 0<t≤2，平面 ACP 的一个法向量为 n
n AC 0, ，则 n 0. ∵ AP ＝0，2，t， AC AP
＝x，y，z
= －2，2，
2 2 0， y＝1， x＝1， 则 z＝－ t ， ∴n＝ (1， － t ). 1， 易知平面 ABC 的一个法向量 BB ＝0， 0，2， 依题意知, BB ， 〈
3．已知向量 m，n 分别是直线 l 和平面 α 的方 1 向向量、法向量，若 cos〈m，n〉＝－2， 则 l 与 α 所成的角为( A ) A．30° B．60° C．120° D．150°
设 l 与 α 所成的角为 θ， 1 则 sin θ＝|cos〈m，n〉|＝2，∴θ＝30° . 解析
4．如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为 a 的正 方体 ABCO—A′B′C′D′，A′C 的中点 E 与 AB 的中点 F
2 2 2 0,2a,1 . EG BD 3 a 3 0 ,
2a 3
， )，
1 3
2,2, 2 .
ABD 的一个法向量. ,
2 3
且 cos
∴A1B 与平面 ABD 所成角的正弦值是
.
探究提高
平面的法向量，有时需要求出，有
时题目本身就有，要准确理解题意，把法向量 找出来.如本题中由于 E 在平面 A B D 上的射影 是△A B D 的重心 G ，则 E G ⊥平面 为平面 A B D 的法向量.
(3)求二面角的大小 1°如图①，AB、CD 是二面角 l 的两个面内与棱 l 垂
直的直线，则二面角的大小是 θ＝ AB, CD
2° 如图②③，n1，n2 分别是二面角 α—l—β 的两个半平面 α， β 的法向量，则二面角的大小 θ 满足 cos θ＝ cos〈n1，n2〉 或 -cos〈n1，n2〉．
cos BB1，n〉 〈 n〉＝30° 或〈 BB ，n〉＝150° ，∴ 4 t 4 t2 3 2 ,
－x＋y＝0, 取 y＋tz＝0.
2 2
6 4 4 6 6 (2 2 ), 解得 t＝ 即 t2 4 t 3 或 t＝－ 3 舍去.∵ 3 ∈0，2]，
思维启迪： 本题易于建立空间直角坐标系， （1） → → 把 E C 1 与 F D 1 所成的角看向量EC1与FD1的夹 角，用向量法求解． (2)平移线段 C1E 让 C1 与 D1 重合，转化为平面 角，放到三角形中，用几何法求解．
AD AA 解 方法一 以 A 为原点， AB、 、 1 分别为 x 轴、y
变式训练 1 如图所示，在棱长为 2 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E、F 分别为 A1D1 和 CC1 的中点.1求证：EF∥平面 ACD1； 2求异面直线 EF 与 AB 所成角的余弦值； 3在棱 BB1 上是否存在一点 P，使得二面角 P—AC—B 的大小为 30° ？若存在，求出 BP 的长，若不存在，请说明理由.
BB′D′D 中， ,延长 DP 交 B′D′于 H.设 DH
基础自测 1．如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射 影的方向向量分别是 a＝(1,0,1)， b＝(0,1,1)， 那么，这条斜线与平面所成的角是( D ) A．90° B．30° C．45° D．60° 1 1 解析 ∵cos〈a，b〉＝ ＝ ， 2· 2 2
又∵〈a，b〉∈[0° ，180° ]，∴〈a，b〉＝60° .
1×－4＋3×2＋2×2 ＝ 2 1 ＋32＋22× －42＋22＋22 21 ＝ 14 ， ∴直线 EC1 与 FD1 所成的角 21 的余使 AE1＝1， 连接 E1F、DE1、D1E1、DF， 有 D1C1∥E1E，D1C1＝E1E， 则四边形 D1E1EC1 是平行四边形． 则 E1D1∥EC1. 于是∠E1D1F(或补角)为直线 EC1 与 FD1 所成的角． 在 Rt△BE1F 中， E1F＝ E1B2＋BF2＝ 52＋12＝ 26.
解析
2 a 的距离为________． 2
由图易知 A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，A′(a,0，a)． a a a a ∴Fa，2，0，E2，2，2. ∴|EF|＝
a2 a a2 a2 a－ ＋ － ＋0－ ＝ 2 2 2 2
思维启迪： 建立空间直角坐标系， 求出各点及向量的坐标，
求出 AB 与 EG 夹角的余弦值的绝对值即可. 1
解 如图所示，建立空间直角坐标系，坐标原点为 C， 设 CA＝2a，则 A2a，0，0，B0，2a，0，D0，0， 1 ， A12a ， 0 ， 2,Ea ， a ， 1 ， G(
2．空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线 l1，l2 的方向向量分别为 m1，m2，则 l1 与 l2 所成的角 θ 满足 cos θ＝|cos〈m1，m2〉|. (2)设直线 l 的方向向量和平面 α 的法向量分别为 m，n， 则直线 l 与平面 α 所成角 θ 满足 sin θ＝|cos〈m，n〉|.
轴、z 轴的正向建立空间直角坐标系，则有 D1(0,3,2)， → → E(3,0,0)，F(4,1,0)，C1(4,3,2)，于是EC1＝(1,3,2)，FD1＝ (－4,2,2)，设 EC1 与 FD1 所成的角为 β，则： cosβ=
EC1 FD1 EC1 FD1
A B D ，EG 即
变式训练 2 如图所示，已知点 P 在正方体 ABCD—A′B′C′D′的对角线 BD′上，∠PDA ＝60° . 1求 DP 与 CC′所成角的大小； 2求 DP 与平面 AA′D′D 所成角的大小.
解
建立空间直角坐标系 Dxyz. DA ＝1， 0， ' 0， CC
1证明 如图所示，分别以 DA、DC、DD1 所在的直线为 x 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 D—xyz， y z 由已知得 D0， 0， 0，A2，0，0，B2，2，0，C0，2，0，,B12，2，2，D10， 0，2，E1，0，2，F0，2，1.易知平面 ACD1 的一个法向量
∴在棱 BB1 上存在一点 P，当 BP 的长为 P—AC—B 的大小为 30° .
6 3
时，二面角
题型二
求直线与平面所成的角
例 2 如图所示，直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，底面是 等腰直角三角形，∠ACB＝90° ，侧棱 AA1＝2，D、 E 分别是 CC1、A1B 的中点，点 E 在平面 ABD 上的 射影是△ABD 的重心 G.求 A1B 与平面 ABD 所成角 的正弦值.

∴EF 和 BC1 所成角为 60° .
答案 60°
题型分类 深度剖析
题型一 求异面直线所成的角 例 1 如图所示，在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，已知 AB＝4，AD＝3，AA1＝2.E、F 分 别是线段 AB、BC 上的点，且 EB＝BF＝1. 求直线 EC1 与 FD1 所成的角的余弦值．
是 DB1 ＝2，2，2.又∵ EF ＝－1，2，－1，∴ EF DB1 ＝ －2＋4－2＝0，∴ EF ⊥ DB1 ,而 EF⊄平面 ACD1，∴EF∥平面
ACD1.
2解 3解
EF AB 4 6 cos EF , AB ∵ AB ＝0， 0， 2， ∴ 3 EF AB 2 6
2 在 Rt△D1DE1 中，D1E1＝ DE2＋DD1 1
＝ AE2＋AD2＋DD2＝ 12＋32＋22＝ 14. 1 1 在 Rt△D1DF 中，FD1＝ FD2＋DD2 1
2 ＝ CF2＋CD2＋DD1＝ 22＋42＋22＝ 24.
在△E1FD1 中，由余弦定理得： D1E2＋FD2－E1F2 21 1 1 cos∠E1D1F＝ ＝ . 14 2×D1E1×FD1 21 ∴直线 EC1 与 FD1 所成的角的余弦值为 . 14
a2 a2 2 4 ＋ 4 ＝ 2 a.
5．如图所示，在三棱柱 ABC—A1B1C1 中，AA1⊥底面 ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90° ，点 E、F 分别 是棱 AB、BB1 的中点，则直线 EF 和 BC1 所成的角 是________．
解析 以 BC 为 x 轴，BA 为 y 轴，BB1 为 z 轴， 建立空间直角坐标系． 设 AB＝BC＝AA1＝2， 则 C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)， 则 EF ＝(0，－1,1)， BC1 ＝(2,0,2)， ∴ EF BC1 ＝2， 2 1 EF , BC1 ＝ ∴cos ＝ ， 2×2 2 2
2a 3
，
1 1 2 ∴a=1, EG 3 , 3 , 3 , AB
EG 为平面
A1B EG 2 A1B, EG 3 A1B EG
a a 2 EG , , , BD 3 3 3
§8.8 立体几何中的向量方法（Ⅱ）—— 求空间角与距离 基础知识 自主学习
要点梳理 1．直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它 的方向向量． (2)平面的法向量可利用方程组求出：设 a，b 是平面 α 内两不共线向量，n 为平面 α 的法向量，则求法向量的 n· a＝0 方程组为 . n· b＝0