第4讲 电磁场的位函数
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第四章时变电磁场
时谐电磁场的概念
假如场源以一定的角频率随时间呈时谐〔正弦或余弦〕变化， 那么所产生电磁场也以同样的角频率随时间呈时谐变化。这种以 一定角频率作时谐变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁场。
研究时谐电磁场具有重要意义 在工程上，应用最多的就是时谐电磁场。播送、电视和通信
的载波等都是时谐电磁场。 任意的时变场在一定的条件下可通过傅立叶分析方法展开为不 同频率的时谐场的叠加。
d1 212
2
S ( E 0 H 0 ) e n d S d tV ( 2H 0 2 E 0) d V VE 0d V
根据E 0 和 H 0 的边界条件，上式左端的被积函数为
( E 0 H 0 ) e n S ( e n E 0 ) H 0 S ( H 0 e n ) E 0 S 0
也就是说，对一给定的电磁场可用不同的位函数来描绘。不同位
函数之间的上述变换称为标准变换 原因：未规定 A的散度
位函数的标准条件
造成位函数的不确定性的原因就是没有规定 A的散度。利用位 函数的不确定性，可通过规定 A的散度使位函数满足的方程得以简 化。
在电磁理论中，通常采用洛伦兹条件，即
A
0
t
除了利用洛伦兹条件外，另一种常用的是库仑条件，即
第四章时变电磁场
引入位函数的意义 引入位函数来描绘时变电磁场，使一些问题的分析得到简化。
位函数的定义
B0
Ε B t
BA
(ΕA)0 t
E A
t
位函数的不确定性
满足下列变换关系的两组位函数（A、）和（A、）能描述同
一个电磁场问题。
A
A
t
为任意可微函数
A (A ) A
即
A t ( t) t(A ) A t
电磁场与电磁波 第4章 静态场的边值问题
像电荷 q’ 应位于球内。由对 称性， q’ 在球心与 q 的连线上。
设 q’ 距球心为b，则 q 和 q’ 在球外 任一点(r,,)处产生的电位为
第四章 静态场的边值问题
1 ( q q) 4π 0 R R
1(
q
4π 0 r 2 d 2 2rd cos
q
)
r 2 b2 2rb cos
径为a 的圆的反演点。
第四章 静态场的边值问题
将式(4-2-3)代入(4-2-2)，可得球外任意点(r,,)的电位
q (
1
a
)
4π 0 r 2 d 2 2rd cos d r 2 b2 2rb cos
（4-2-5）
若导体球不接地且不带电，则当球外放置点电荷 q 后，它的
电位不为零，球面上净电荷为零。此情形下，为满足边界条件，
第四章 静态场的边值问题
第四章 静态场的边值问题
在给定的边界条件下求解泊松方程或拉普拉斯方程称为边 值问题。根据场域边界面上所给定的边界条件的不同，边值问 题通常分为 3 类：
第一类边值问题，给定位函数在场域边界面上的值； 第二类边值问题，给定位函数在场域边界面上的法向导数值； 第三类边值问题又称混合边值问题，一部分边界面上给定的 是位函数值，另一部分边界面上给定的是位函数的法向导数 值。
4.3.1 直角坐标系中的分离变量
直角坐标系中，标量拉普拉斯方程为
2 2 2
0 x2 y2 z2
（4-3-1）
第四章 静态场的边值问题
设 (x,y,z) = X (x)Y(y)Z(z)，代入方程(4-3-1)，整理可得
1 X
d2 X dx2
1 Y
d 2Y dy2
1 Z
d2Z dz2
设 q’ 距球心为b，则 q 和 q’ 在球外 任一点(r,,)处产生的电位为
第四章 静态场的边值问题
1 ( q q) 4π 0 R R
1(
q
4π 0 r 2 d 2 2rd cos
q
)
r 2 b2 2rb cos
径为a 的圆的反演点。
第四章 静态场的边值问题
将式(4-2-3)代入(4-2-2)，可得球外任意点(r,,)的电位
q (
1
a
)
4π 0 r 2 d 2 2rd cos d r 2 b2 2rb cos
（4-2-5）
若导体球不接地且不带电，则当球外放置点电荷 q 后，它的
电位不为零，球面上净电荷为零。此情形下，为满足边界条件，
第四章 静态场的边值问题
第四章 静态场的边值问题
在给定的边界条件下求解泊松方程或拉普拉斯方程称为边 值问题。根据场域边界面上所给定的边界条件的不同，边值问 题通常分为 3 类：
第一类边值问题，给定位函数在场域边界面上的值； 第二类边值问题，给定位函数在场域边界面上的法向导数值； 第三类边值问题又称混合边值问题，一部分边界面上给定的 是位函数值，另一部分边界面上给定的是位函数的法向导数 值。
4.3.1 直角坐标系中的分离变量
直角坐标系中，标量拉普拉斯方程为
2 2 2
0 x2 y2 z2
（4-3-1）
第四章 静态场的边值问题
设 (x,y,z) = X (x)Y(y)Z(z)，代入方程(4-3-1)，整理可得
1 X
d2 X dx2
1 Y
d 2Y dy2
1 Z
d2Z dz2
《电磁波与电磁场》4-恒定磁场
若回路电流为I，面积S，定义磁偶极矩m=IS。通常，热运动使 磁偶极子的方向杂乱无章，宏观合成磁矩为零，对外不显磁性。
外加磁场时，磁场力使带电粒子的运动方向发生变化或产生 新的电流，使磁矩重新排列，宏观的合成磁矩不再为零，这 种现象称为磁化。
媒质磁化 B
B
B'
磁化结果出磁偶现极的子 合成磁矩产生二次磁场BS，这种二次 磁场影响外加磁场Ba，导致磁化状态发生改变，从而又使J’S
Chapter 4 恒定磁场
磁场是由运动电荷或电流产生的；当产生磁场 的电流恒定时，它所产生的磁场不随时间变化， 这种磁场称为恒定磁场。
4.1 磁感应强度 4.3 磁场的基本方程 4.5 电感 4.7 磁路
4.2 安培环路定律 4.4 磁场位函数 4.6 磁场能量
第4章 恒定磁场
1. 磁场是由运动电荷或电流产生的。 2. 运动电荷或载流导线在磁场中要受到磁场的作用力。 3. 检验磁场是否存在的一种方法是改变载流导线在磁
抗磁性。媒质正常情况下，原子中的合成磁矩为零。当外 加磁场时，电子进动产生的附加磁矩方向总是与外加磁场 的方向相反，导致媒质中合成磁场减弱。如银、铜、铋、 锌、铅及汞等属抗磁性媒质。 顺磁性。媒质在正常情况下，原子中的合成磁矩并不为零， 只是由于热运动结果，宏观的合成磁矩为零。在外加磁场的 作用下，磁偶极子的磁矩方向朝着外加磁场方向转动。使合 成磁场增强。如铝、锡、镁、钨、铂及钯等属顺磁性媒质。
但是，无论抗磁性或者顺磁性媒质，其磁化现象均很微弱，因此，可 以认为它们的相对磁导率基本上等于1。铁磁性媒质的磁化现象非常 显著，其磁导率可以达到很高的数值。值得注意的是，近年来研发的 新型高分子磁性材料，其相对磁导率可达到与介电常数同一数量级。
媒质 金 银 铜
外加磁场时，磁场力使带电粒子的运动方向发生变化或产生 新的电流，使磁矩重新排列，宏观的合成磁矩不再为零，这 种现象称为磁化。
媒质磁化 B
B
B'
磁化结果出磁偶现极的子 合成磁矩产生二次磁场BS，这种二次 磁场影响外加磁场Ba，导致磁化状态发生改变，从而又使J’S
Chapter 4 恒定磁场
磁场是由运动电荷或电流产生的；当产生磁场 的电流恒定时，它所产生的磁场不随时间变化， 这种磁场称为恒定磁场。
4.1 磁感应强度 4.3 磁场的基本方程 4.5 电感 4.7 磁路
4.2 安培环路定律 4.4 磁场位函数 4.6 磁场能量
第4章 恒定磁场
1. 磁场是由运动电荷或电流产生的。 2. 运动电荷或载流导线在磁场中要受到磁场的作用力。 3. 检验磁场是否存在的一种方法是改变载流导线在磁
抗磁性。媒质正常情况下，原子中的合成磁矩为零。当外 加磁场时，电子进动产生的附加磁矩方向总是与外加磁场 的方向相反，导致媒质中合成磁场减弱。如银、铜、铋、 锌、铅及汞等属抗磁性媒质。 顺磁性。媒质在正常情况下，原子中的合成磁矩并不为零， 只是由于热运动结果，宏观的合成磁矩为零。在外加磁场的 作用下，磁偶极子的磁矩方向朝着外加磁场方向转动。使合 成磁场增强。如铝、锡、镁、钨、铂及钯等属顺磁性媒质。
但是，无论抗磁性或者顺磁性媒质，其磁化现象均很微弱，因此，可 以认为它们的相对磁导率基本上等于1。铁磁性媒质的磁化现象非常 显著，其磁导率可以达到很高的数值。值得注意的是，近年来研发的 新型高分子磁性材料，其相对磁导率可达到与介电常数同一数量级。
媒质 金 银 铜
时变电磁场的矢量位和标量位
1
时变电磁场的位函数
讨论内容
位函数的定义 位函数的性质 位函数的规范条件 位函数的微分方程
19:29
2
引入位函数的意义 引入位函数来描述时变电磁场，使一些问题的分析得到简化。
位函数的定义
r ∇⋅B = 0
r r ∂B ∇× Ε = − ∂t
r r B = ∇× A
r r ∂A ∇ × (Ε + ) = 0 ∂t
r r r ∂E ∇ × B = μ J + εμ ∂t
μ
r r r 2 ∇ × ∇ × A = ∇(∇ ⋅ A) − ∇ A
r r r ∂ ∂A ∇ × ∇ × A = μ J + εμ (− − ∇φ ) ∂ ∂φ 2 ∇ A − εμ 2 = − μ J + ∇(∇ ⋅ A + με ) ∂t ∂t
r r r ∂ ∂A ∇ × ∇ × A = μ J + εμ (− − ∇φ ) ∂t ∂t r
r ∂φ ∇ ⋅ A + με =0 ∂t
r 2 r r r ∂ A ∂φ 2 ∇ A − εμ 2 = − μ J + ∇(∇ ⋅ A + με ) ∂t ∂t
r r r ∂ A 2 ∇ A − εμ 2 = − μ J ∂t
r r ∂A E=− − ∇φ ∂t
19:29
3
位函数的不确定性
r r （ ϕ 和 满足下列变换关系的两组位函数 A、φ） （A′、φ ′） 能描述同
一个电磁场问题。r r ⎧ A′ = A + ∇ψ ⎪ ⎨ ∂ψ ′ =ϕ − ⎪ϕ ∂t ⎩ 即
ψ为任意可微函数
r r r ⎧∇ × A′ = ∇ × ( A + ∇ψ ) = ∇ × A ⎪ r r ⎨ ∂A′ ∂ψ ∂ r ∂A ) − ( A + ∇ψ ) = −∇ϕ − = −∇(ϕ − ⎪−∇ϕ ′ − ∂t ∂t ∂t ∂t ⎩
时变电磁场的位函数
讨论内容
位函数的定义 位函数的性质 位函数的规范条件 位函数的微分方程
19:29
2
引入位函数的意义 引入位函数来描述时变电磁场，使一些问题的分析得到简化。
位函数的定义
r ∇⋅B = 0
r r ∂B ∇× Ε = − ∂t
r r B = ∇× A
r r ∂A ∇ × (Ε + ) = 0 ∂t
r r r ∂E ∇ × B = μ J + εμ ∂t
μ
r r r 2 ∇ × ∇ × A = ∇(∇ ⋅ A) − ∇ A
r r r ∂ ∂A ∇ × ∇ × A = μ J + εμ (− − ∇φ ) ∂ ∂φ 2 ∇ A − εμ 2 = − μ J + ∇(∇ ⋅ A + με ) ∂t ∂t
r r r ∂ ∂A ∇ × ∇ × A = μ J + εμ (− − ∇φ ) ∂t ∂t r
r ∂φ ∇ ⋅ A + με =0 ∂t
r 2 r r r ∂ A ∂φ 2 ∇ A − εμ 2 = − μ J + ∇(∇ ⋅ A + με ) ∂t ∂t
r r r ∂ A 2 ∇ A − εμ 2 = − μ J ∂t
r r ∂A E=− − ∇φ ∂t
19:29
3
位函数的不确定性
r r （ ϕ 和 满足下列变换关系的两组位函数 A、φ） （A′、φ ′） 能描述同
一个电磁场问题。r r ⎧ A′ = A + ∇ψ ⎪ ⎨ ∂ψ ′ =ϕ − ⎪ϕ ∂t ⎩ 即
ψ为任意可微函数
r r r ⎧∇ × A′ = ∇ × ( A + ∇ψ ) = ∇ × A ⎪ r r ⎨ ∂A′ ∂ψ ∂ r ∂A ) − ( A + ∇ψ ) = −∇ϕ − = −∇(ϕ − ⎪−∇ϕ ′ − ∂t ∂t ∂t ∂t ⎩
第4章 时变电磁场
(2)
对方程（2）两边取旋度有 E H t 2 2 E H E E ( E ) E
E t
2
对于各向同性的介质，得
2 E 2 E 2 0 t (5)
E 0 t
t
同理可得
2 H 2 H 2 0 t (6)
第四章 时 变 电 磁 场
从上方程可以看出：时变电磁场的电场场量和磁场场量在 空间中是以波动形式变化的，因此称时变电磁场为电磁波。 上两式为关于场量 E、H 的矢量波动方程，表示时变电磁场 以波的形式在空间存在和传播，其波速为
A E ex Am cos(t kz ) t
第四章 时 变 电 磁 场
§4.3 电磁能量守恒定律
能量守恒定律是一切物质运动过程遵守的普遍规律，作为特殊形态的物 质，电磁场及其运动过程也遵守这一规律。 下面讨论电磁场的能量和能量守恒定律，引入重要的坡印廷矢量和坡印廷 定理，分析讨论电磁场能量、电荷电流运动及电磁场做功之间的相互联系。
其中Am、k是常数，求电场强度、磁场强度。
解：
Ax B A ey ey kAm cos(t kz ) z k H ey Am cos(t kz )
A 0 t
C
如果假设过去某一时刻，场还没有建立，则C=0。
量位只决定于ρ，这对求解方程特别有利。只需解出A，无需
解出 就可得到待求的电场和磁场。 电磁位函数只是简化时变电磁场分析求解的一种辅助函数，应 用不同的规范条件，矢量位A和标量位 的解也不相同，但最终 得到的电磁场矢量是相同的。
第4讲电磁场的位函数
,
t)
(r
,
t)
动态标 量位
第四讲 电磁场的位函数
一、电磁场位函数的引入
位函数的规范条件
在前述定义中，磁位函数 A的散度未规定，导致位函数解的不 确定性。通过恰当地规定 A的散度可简化位函数满足的方程。
在电磁理论中，通常采用洛仑兹规范条件，即
A 0
t
dr q ( 1 1 )
40 rP rQ
选取Q点为电位参考点，遵循最简单原则，Q应在无穷远处
(r) q 4 0 r
点电荷在空间中产生的电位
说明：若电荷分布在有限区域，一般选择无穷远点为电位参考点
第四讲 电磁场的位函数
三、位函数的求解
1、标量电位函数的求解
几种典型电荷的静电位
x
1(x)
x
xb
S0 0
1 ( x)
S0 (a b) 0a
x,
(0≤ x ≤b)
C2
S 0b 0a
E1 ( x)
D2
1 ( x)
S 0b 0
ex
S0 (a b) 0a
2 ( x)
S 0b 0a
(a
x),
(b ≤ x ≤a)
第四讲 电磁场的位函数
电磁场与电磁波
第四讲 电磁场的位函数
电子工程学院 陈其科
第四讲 电磁场的位函数
本讲拟讨论的问题
• 什么是电磁场的位函数？ • 为什么要引入位函数？ • 怎样引入位函数？ • 位函数有何物理意义？ • 如何计算位函数？
第四讲 电磁场的位函数
问题一：什么是电磁场的位函数？
电磁场与电磁波及其应用 第四章
将以上两式相减， 得到
在线性、 各向同性媒质中， 当参数不随时间变化时，
于是得到 再利用矢量恒等式
可得到 (4.3.4)
在体积V上， 对式（4.3.4）两端积分， 并应用散度定理即 可得到
(4.3.５)
由于E和H也是相互垂直的， 因此S、 E、 H三者是相互 垂直的， 且构成右旋关系， 如图4.3-1 所示。
第四章 时变电磁场
4.1 波动方程 4.2 时变场的位函数 4.3 时变电磁场的能量与能流 4.4 时谐电磁场 4.5 左手媒质 4.6 时变电磁场的应用
4.1 波 动 方 程
在无源空间中， 电流密度和电荷密度处处为零， 即 ρ=0、 J=0。 在线性、 各向同性的均匀媒质中， E和H满足 麦克斯韦方程
图4.3-1 能流密度矢量与电场及磁场的方向关系
例4.3.1 同轴线的内导体半径为a、 外导体半径为b， 其 间均匀充填理想介质。 设内外导体间电压为U， 导体中流过 的电流为 I。 （1） 在导体为理想导体的情况下， 计算同轴线 中传输的功率； （2） 当导体的电导率σ为有限值时， 计算通 过内导体表面进入每单位长度内导体的功率。
磁场仍为 内导体表面外侧的坡印廷矢量为
由此可见内导体表面外侧的坡印廷矢量既有轴向分量， 也 有径向分量， 如图4.3-3所示。
图4.3-3 同轴线中电场、 磁场和坡印廷矢量 （非理想导体情况）
进入每单位长度内导体的功率为
式中
是单位长度内导体的电阻。 由此可见，
进入内导体中的功率等于这段导体的焦耳损耗功率。
利用复数取实部表示方法， 可将式（4.5.1）写成
式中
(4.4.2)
称为复振幅， 或称为u(r, t)的复数形式。 为了区别复数形 式与实数形式， 这里用打“•”的符号表示复数形式。
在线性、 各向同性媒质中， 当参数不随时间变化时，
于是得到 再利用矢量恒等式
可得到 (4.3.4)
在体积V上， 对式（4.3.4）两端积分， 并应用散度定理即 可得到
(4.3.５)
由于E和H也是相互垂直的， 因此S、 E、 H三者是相互 垂直的， 且构成右旋关系， 如图4.3-1 所示。
第四章 时变电磁场
4.1 波动方程 4.2 时变场的位函数 4.3 时变电磁场的能量与能流 4.4 时谐电磁场 4.5 左手媒质 4.6 时变电磁场的应用
4.1 波 动 方 程
在无源空间中， 电流密度和电荷密度处处为零， 即 ρ=0、 J=0。 在线性、 各向同性的均匀媒质中， E和H满足 麦克斯韦方程
图4.3-1 能流密度矢量与电场及磁场的方向关系
例4.3.1 同轴线的内导体半径为a、 外导体半径为b， 其 间均匀充填理想介质。 设内外导体间电压为U， 导体中流过 的电流为 I。 （1） 在导体为理想导体的情况下， 计算同轴线 中传输的功率； （2） 当导体的电导率σ为有限值时， 计算通 过内导体表面进入每单位长度内导体的功率。
磁场仍为 内导体表面外侧的坡印廷矢量为
由此可见内导体表面外侧的坡印廷矢量既有轴向分量， 也 有径向分量， 如图4.3-3所示。
图4.3-3 同轴线中电场、 磁场和坡印廷矢量 （非理想导体情况）
进入每单位长度内导体的功率为
式中
是单位长度内导体的电阻。 由此可见，
进入内导体中的功率等于这段导体的焦耳损耗功率。
利用复数取实部表示方法， 可将式（4.5.1）写成
式中
(4.4.2)
称为复振幅， 或称为u(r, t)的复数形式。 为了区别复数形 式与实数形式， 这里用打“•”的符号表示复数形式。
时变电磁场
y, y,
z, z,
t) t)
Exm E ym
(x, (x,
y, y,
z) z)
cos[t cos[t
x (x, y (x,
y, y,
z)] z)]
Ez
(x,
y,
z,
t)
Ezm
(x,
y,
z)
cos[t
z
(
x,
y,
z)]
式中：Exm , Eym , Ezm 为电场在x,y,z方向分量的幅度
x， y，z 为电场x,y,z分量的初始相位
电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
第四章 时变电磁场
时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 时变电场和磁场能量在空间中不断相互转换，并以电磁波动的 形式从一个地方传递到另外一个地方
本章主要内容： ➢ 时变电场和磁场满足的方程——波动方程 ➢ 时变电磁场的辅助函数——标量电位和矢量磁位 ➢ 时变电磁场的能量守恒定律 ➢ 正弦规律变化的时变场——时谐电磁场
对于时变场来说，动态位函数常用的规范条件为洛伦兹规范条件
A
t
洛伦兹规范条件
思考：库仑规范条件和洛伦兹规范条件有何联系？
15:54
电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
4.2.2 达朗贝尔方程
E (
H H
J
1
E
t A
A) 2
t
t
1 A J E
t
(
A)
Σ
J EdV
V
15:54
E, H
V
电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
坡印廷定理物理意义：单位时间内流入体积V内的电磁能量等于 体积V内增加的电磁能量与体积V内损耗的电磁能量之和。
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静态电场——无旋场
E 0 E (r ) 0
静态磁场——无散场
B0 B A(r ) ( A) 0 时变电磁场：
标量电位函数
矢量磁位函数
B 0 B A(r , t )
动态矢量位
电偶极子
电场线 等位线
电偶极子的场图
第四讲 电磁场的位函数
四、典型例题
【例3】两块无限大接地导体平板分别置于 x = 0 和 x = a 处，在两板
之间的 x = b 处有一面密度为 S 0的均匀电荷分布，如图所示。求两导 体平板之间的电位和电场。
解：在两块无限大接地导体平板之间，除 x = b 处有均匀面电荷分布外，
在电磁理论中，通常采用洛仑兹规范条件，即
A 0 t
对于恒定磁场中的矢量磁位，则通常采用 库仑规范条件，即
A 0
第四讲 电磁场的位函数
二、位函数的物理意义
标量电位函数的物理意义
E E dl dl d
E dl d ( P) (Q)
介质球
E (r ) ?
第四讲 电磁场的位函数 问题三：如何引入电磁场的位函数？
根据电磁场的性质引入。
静态电场：有散无旋场
标量电位 ( r )
矢量磁位 A( r )
静态磁场：无散有旋场 时变电磁场：
动态标量位 (r , t ) 动态矢量位 A( r , t )
第四讲 电磁场的位函数
一、电磁场位函数的引入
两块无限大平行板
第四讲 电磁场的位函数
四、典型例题
利用边界条件，有 （续前）
x 0 处，1 (0) 0 x a 处，2 (a) 0
S 0 (b a) C1 0a
D1 0
S 0b C2 S 0 0a 2 ( x) 1 ( x) S 0b x xb 0 x D2 故得到 0 S 0 ( a b) ( a b) 1 ( x) x, (0 ≤ x ≤ b) E1 ( x) 1 ( x) ex S 0 0a 0a S 0b S 0b 2 ( x) (a x), (b ≤ x ≤ a) E2 ( x) 2 ( x) ex 0a 0a
s (r ')
dS c
第四讲 电磁场的位函数
三、位函数的求解
1、标量电位函数的求解
电位方程及电位边界条件 • 电位方程
E1 1
介质1 1
介质2 2
2
21
n 1 0
22 0
电荷区
E2 2
电位的泊松方程
D E 2 / 0 / 0 E 在无源区域( 0 ) 电位的拉普拉斯方程 2 0
r 0 (无穷远为电位参考点)
电位满足拉普拉斯方程：2 0 导体球电位球面对称： (r )
1 d 2 d 2 (r ) 0， r dr dr
2
C1 d r C1 C2 dr r
2
由边界条件： C1 r a U U , C1 aU
其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉斯方程
方程的解为
d 21 ( x) 0, 2 dx d 22 ( x) 0, 2 dx
(0 x b) (b x a)
o
y
S 0
1 ( x) 2 ( x)
b
a
x
1 ( x) C1 x D1 2 ( x) C2 x D2
r
M
1 E (r ) 4π
(r ) R
R
3
o
y
V
dV
R 1 E ( ) 3 R R 式中：R r r '
1 (r ) 4π
x
(r )
R
V
dV C
(r ) 面电荷：
1
4 0 S R l (r ') 1 线电荷： (r ) dV c l 4 0 R
点电荷在空间中产生的电位 4 r
0
q
说明：若电荷分布在有限区域，一般选择无穷远点为电位参考点
第四讲 电磁场的位函数
三、位函数的求解
1、标量电位函数的求解
几种典型电荷的静电位 • 无限长线电荷的电位
P'
E
Q
l l E er P (ln Q ln P ) 2 0 2 0
• 电位边界条件
理想介质 E E 0 ( ) 0 1 2 1 2 1t 2t t 2 1 1 2 D D 2 S 2n S 1 1n 2 1
n
n
e : 2 1
n
n
第四讲 电磁场的位函数
p qd
—— 电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。
第四讲 电磁场的位函数
四、典型例题
（续前） 电偶极子的电场强度
r r d o r
+q
－q
z
P(r , , )
1 1 E (r ) (er e e ) r r r sin p (er 2 cos e sin ) 3 4π 0 r
动态标 A B A(r , t ) (Ε ) 0 E (r , t ) 量位 Ε t t t
第四讲 电磁场的位函数
一、电磁场位函数的引入
位函数的规范条件
在前述定义中，磁位函数 A 的散度未规定，导致位函数解的不 确定性。通过恰当地规定 A 的散度可简化位函数满足的方程。
电磁场位函数特性与电磁场性质相关。
第四讲 电磁场的位函数 问题二：为什么要引入电磁场的位函数？
引入位函数是为了简化电磁场边值问题的求解。
1 E (r ) 4π 0
(r ) R
R
3
V
dV
矢量积分，计算较难
B(r )
4π V
a
0
J (r ) R dV 3 R
ε
ε0
q
（电位零点）。由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点 的电位也就具有确定值，即 选参考点 令参考点电位为零
电位确定值(电位差)
两点间电位差有定值
电位参考点选取原则 • 应使电位表达式有意义。 • 应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无限远处作电位 参考点。 • 同一个问题，否则表达式无意义。 根据表达式最简单原则，选取ρ=1柱面为电位参考面，则
l P ln rP 2 0
无限长线电流在空间中产生的电位
第四讲 电磁场的位函数
三、位函数的求解
1、标量电位函数的求解
几种典型电荷的静电位
• 体分布电荷的电位
z
Vi V
r (r )
r
a 0
aU r C2 0
第四讲 电磁场的位函数
四、典型例题
【例2】 求电偶极子的电位和电场。
+q
z d o
－q
解：在球坐标系中 q 1 1 q r r (r ) ( ) 4π 0 r r 4π 0 r r
r r
P(r , , )
2
J (r , t ) A(r , t ) dV V 4π R 1 (r , t ) (r , t ) dV 4π V R
t t R / v
洛伦兹条件
A 0 t
(r , t )
A(r , t )dt
第四讲 电磁场的位函数
三、位函数的求解
1、标量电位函数的求解
电位差 由电位函数引出的经典物理量电压（电位差）
E dl
( A) ( B) E dl E dl
B A A B
E
A
B
A、B 两点间的电位差
电场力对 单位正电 荷做的功
由场点与电位参考点的电位差即可描述场点电位。
• 磁位边界条件
无源区：2 A 0
A ( A) 2 A
A1 A2 1 1 en ( A1 A2 ) J S
1
2
第四讲 电磁场的位函数
三、位函数的求解
3、动态位函数的求解
动态位函数方程
达朗贝尔方程
2 A A 2 J t 2 2 2 t
第四讲 电磁场的位函数
电磁场与电磁波
第四讲 电磁场的位函数
电子工程学院 陈其科
第四讲 电磁场的位函数
本讲拟讨论的问题
• • • • • 什么是电磁场的位函数？ 为什么要引入位函数？ 怎样引入位函数？ 位函数有何物理意义？ 如何计算位函数？
第四讲 电磁场的位函数 问题一：什么是电磁场的位函数？
电磁场的位函数是求解电磁场边值问题过程中，为了便 于求解，根据电磁场性质引入的辅助函数。
2m 0
m 0 M
在线性、各向同性的均匀媒质中，媒质均匀磁化，即有
m 0 M 0
第四讲 电磁场的位函数
四、典型例题
【例1】 半径为 a 的导体球电位为U ( 无穷远处电位为0 )，求 球外的电位函数。 解：在球外： 0, 满足拉普拉斯方程
边界条件： r a U
Q P' Q
E
q 4 0 r
2
er
q O
P Q E dl ( ) E dl
P P P'
P'
E 0 E (r ) 0
静态磁场——无散场
B0 B A(r ) ( A) 0 时变电磁场：
标量电位函数
矢量磁位函数
B 0 B A(r , t )
动态矢量位
电偶极子
电场线 等位线
电偶极子的场图
第四讲 电磁场的位函数
四、典型例题
【例3】两块无限大接地导体平板分别置于 x = 0 和 x = a 处，在两板
之间的 x = b 处有一面密度为 S 0的均匀电荷分布，如图所示。求两导 体平板之间的电位和电场。
解：在两块无限大接地导体平板之间，除 x = b 处有均匀面电荷分布外，
在电磁理论中，通常采用洛仑兹规范条件，即
A 0 t
对于恒定磁场中的矢量磁位，则通常采用 库仑规范条件，即
A 0
第四讲 电磁场的位函数
二、位函数的物理意义
标量电位函数的物理意义
E E dl dl d
E dl d ( P) (Q)
介质球
E (r ) ?
第四讲 电磁场的位函数 问题三：如何引入电磁场的位函数？
根据电磁场的性质引入。
静态电场：有散无旋场
标量电位 ( r )
矢量磁位 A( r )
静态磁场：无散有旋场 时变电磁场：
动态标量位 (r , t ) 动态矢量位 A( r , t )
第四讲 电磁场的位函数
一、电磁场位函数的引入
两块无限大平行板
第四讲 电磁场的位函数
四、典型例题
利用边界条件，有 （续前）
x 0 处，1 (0) 0 x a 处，2 (a) 0
S 0 (b a) C1 0a
D1 0
S 0b C2 S 0 0a 2 ( x) 1 ( x) S 0b x xb 0 x D2 故得到 0 S 0 ( a b) ( a b) 1 ( x) x, (0 ≤ x ≤ b) E1 ( x) 1 ( x) ex S 0 0a 0a S 0b S 0b 2 ( x) (a x), (b ≤ x ≤ a) E2 ( x) 2 ( x) ex 0a 0a
s (r ')
dS c
第四讲 电磁场的位函数
三、位函数的求解
1、标量电位函数的求解
电位方程及电位边界条件 • 电位方程
E1 1
介质1 1
介质2 2
2
21
n 1 0
22 0
电荷区
E2 2
电位的泊松方程
D E 2 / 0 / 0 E 在无源区域( 0 ) 电位的拉普拉斯方程 2 0
r 0 (无穷远为电位参考点)
电位满足拉普拉斯方程：2 0 导体球电位球面对称： (r )
1 d 2 d 2 (r ) 0， r dr dr
2
C1 d r C1 C2 dr r
2
由边界条件： C1 r a U U , C1 aU
其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉斯方程
方程的解为
d 21 ( x) 0, 2 dx d 22 ( x) 0, 2 dx
(0 x b) (b x a)
o
y
S 0
1 ( x) 2 ( x)
b
a
x
1 ( x) C1 x D1 2 ( x) C2 x D2
r
M
1 E (r ) 4π
(r ) R
R
3
o
y
V
dV
R 1 E ( ) 3 R R 式中：R r r '
1 (r ) 4π
x
(r )
R
V
dV C
(r ) 面电荷：
1
4 0 S R l (r ') 1 线电荷： (r ) dV c l 4 0 R
点电荷在空间中产生的电位 4 r
0
q
说明：若电荷分布在有限区域，一般选择无穷远点为电位参考点
第四讲 电磁场的位函数
三、位函数的求解
1、标量电位函数的求解
几种典型电荷的静电位 • 无限长线电荷的电位
P'
E
Q
l l E er P (ln Q ln P ) 2 0 2 0
• 电位边界条件
理想介质 E E 0 ( ) 0 1 2 1 2 1t 2t t 2 1 1 2 D D 2 S 2n S 1 1n 2 1
n
n
e : 2 1
n
n
第四讲 电磁场的位函数
p qd
—— 电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。
第四讲 电磁场的位函数
四、典型例题
（续前） 电偶极子的电场强度
r r d o r
+q
－q
z
P(r , , )
1 1 E (r ) (er e e ) r r r sin p (er 2 cos e sin ) 3 4π 0 r
动态标 A B A(r , t ) (Ε ) 0 E (r , t ) 量位 Ε t t t
第四讲 电磁场的位函数
一、电磁场位函数的引入
位函数的规范条件
在前述定义中，磁位函数 A 的散度未规定，导致位函数解的不 确定性。通过恰当地规定 A 的散度可简化位函数满足的方程。
电磁场位函数特性与电磁场性质相关。
第四讲 电磁场的位函数 问题二：为什么要引入电磁场的位函数？
引入位函数是为了简化电磁场边值问题的求解。
1 E (r ) 4π 0
(r ) R
R
3
V
dV
矢量积分，计算较难
B(r )
4π V
a
0
J (r ) R dV 3 R
ε
ε0
q
（电位零点）。由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点 的电位也就具有确定值，即 选参考点 令参考点电位为零
电位确定值(电位差)
两点间电位差有定值
电位参考点选取原则 • 应使电位表达式有意义。 • 应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无限远处作电位 参考点。 • 同一个问题，否则表达式无意义。 根据表达式最简单原则，选取ρ=1柱面为电位参考面，则
l P ln rP 2 0
无限长线电流在空间中产生的电位
第四讲 电磁场的位函数
三、位函数的求解
1、标量电位函数的求解
几种典型电荷的静电位
• 体分布电荷的电位
z
Vi V
r (r )
r
a 0
aU r C2 0
第四讲 电磁场的位函数
四、典型例题
【例2】 求电偶极子的电位和电场。
+q
z d o
－q
解：在球坐标系中 q 1 1 q r r (r ) ( ) 4π 0 r r 4π 0 r r
r r
P(r , , )
2
J (r , t ) A(r , t ) dV V 4π R 1 (r , t ) (r , t ) dV 4π V R
t t R / v
洛伦兹条件
A 0 t
(r , t )
A(r , t )dt
第四讲 电磁场的位函数
三、位函数的求解
1、标量电位函数的求解
电位差 由电位函数引出的经典物理量电压（电位差）
E dl
( A) ( B) E dl E dl
B A A B
E
A
B
A、B 两点间的电位差
电场力对 单位正电 荷做的功
由场点与电位参考点的电位差即可描述场点电位。
• 磁位边界条件
无源区：2 A 0
A ( A) 2 A
A1 A2 1 1 en ( A1 A2 ) J S
1
2
第四讲 电磁场的位函数
三、位函数的求解
3、动态位函数的求解
动态位函数方程
达朗贝尔方程
2 A A 2 J t 2 2 2 t
第四讲 电磁场的位函数
电磁场与电磁波
第四讲 电磁场的位函数
电子工程学院 陈其科
第四讲 电磁场的位函数
本讲拟讨论的问题
• • • • • 什么是电磁场的位函数？ 为什么要引入位函数？ 怎样引入位函数？ 位函数有何物理意义？ 如何计算位函数？
第四讲 电磁场的位函数 问题一：什么是电磁场的位函数？
电磁场的位函数是求解电磁场边值问题过程中，为了便 于求解，根据电磁场性质引入的辅助函数。
2m 0
m 0 M
在线性、各向同性的均匀媒质中，媒质均匀磁化，即有
m 0 M 0
第四讲 电磁场的位函数
四、典型例题
【例1】 半径为 a 的导体球电位为U ( 无穷远处电位为0 )，求 球外的电位函数。 解：在球外： 0, 满足拉普拉斯方程
边界条件： r a U
Q P' Q
E
q 4 0 r
2
er
q O
P Q E dl ( ) E dl
P P P'
P'