第一章第二节概率的定义课件
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概率的概念PPT课件
当 n ＝ k 时，称n个元素的全排列．共有n！种。
例如：从3个元素取 出2个的排列总数有6种
P32 6
pnk n(n 1)(n 2)
(n k 1) n! (n k)!
第27页/共5ห้องสมุดไป่ตู้页
选讲部分
(4) 不同元素的重复排列
从n个不同的元索中，有放回地取k个元素进行的排
列，共有 nk 种（元素允许重复 1 k n）。
nH
1061 2048 6019 12012
f (H ) n的增大 1 .
2
f
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
第3页/共54页
一、事件的频率
从上表中可以看出,出现 正面向上的频率 fnA
虽然随 n的不同而变动 ,但总的趋势是随着试验次 数的增加而逐渐稳定在0.5 这个数值上.
i 1
i 1
An 两两互斥 P( Ai ) P( Ai )
i 1
i 1
第19页/共54页
三、概率的性质
性质3 若A, B为两个任意的随机事件，则 P( A B) P( A) P( AB).
证明 A ( A B) AB,又(A B) AB P( A) P( A B) P( AB) P(A B) P(A) P(AB)
性质4 若A, B为两个随机事件,A B,则
P( A) P(B), P(B A) P(B) P( A).
性质5 设 A 是 A的对立事件，则 P(A) 1 P(A).
第20页/共54页
三、概率的性质
性质6 ( 加法公式) 对于任意两事件 A, B 有
P( A B) P( A) P(B) P( AB).
=
nA n
例如：从3个元素取 出2个的排列总数有6种
P32 6
pnk n(n 1)(n 2)
(n k 1) n! (n k)!
第27页/共5ห้องสมุดไป่ตู้页
选讲部分
(4) 不同元素的重复排列
从n个不同的元索中，有放回地取k个元素进行的排
列，共有 nk 种（元素允许重复 1 k n）。
nH
1061 2048 6019 12012
f (H ) n的增大 1 .
2
f
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
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一、事件的频率
从上表中可以看出,出现 正面向上的频率 fnA
虽然随 n的不同而变动 ,但总的趋势是随着试验次 数的增加而逐渐稳定在0.5 这个数值上.
i 1
i 1
An 两两互斥 P( Ai ) P( Ai )
i 1
i 1
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三、概率的性质
性质3 若A, B为两个任意的随机事件，则 P( A B) P( A) P( AB).
证明 A ( A B) AB,又(A B) AB P( A) P( A B) P( AB) P(A B) P(A) P(AB)
性质4 若A, B为两个随机事件,A B,则
P( A) P(B), P(B A) P(B) P( A).
性质5 设 A 是 A的对立事件，则 P(A) 1 P(A).
第20页/共54页
三、概率的性质
性质6 ( 加法公式) 对于任意两事件 A, B 有
P( A B) P( A) P(B) P( AB).
=
nA n
概率定义与性质ppt课件
上公式一般情况下不成立。如 A、B 互斥， P(A)=0.5,P(B)=0.3,左= P(B)=0.3，右=-0.2 二、古典概型
在概率计算中，比较常见的是所谓古典概型概率计算。为 此，首先定义等概完备事件组的概念。
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5
定义 3：若事件 A1, A2 ,..., An满足 (1)事件 A1, A2 ,..., An发生的概率相等（等可能性）； (2)在每次试验中，事件 A1, A2 ,..., An至少有一个发生（完备性）； (3)在每次试验中，事件 A1, A2 ,..., An只能发生其中之一（互斥性）, 称事件 A1, A2 ,..., An构成等概完备事件组，也称等概基本事件组。
（2） p nCn2 (n 1)! nn
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11
【例5】从5双不同号码的鞋子中任意抽取4只，问这4只至
少有2只配对的概率是多少？
解：法一. n=C140 210 ,m=C52C5 1C422*2130
故所求概率p=13/21。
法二.4只全不配对方法有m= C542*2*2*280
即4只全不配对的概率为8/21，所以至少有2只配对的概率
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13
几何概型介绍: 例1：设某公交车每10分钟到站一辆，乘客到达车站的时 刻是任意的，求某乘客到站候车不超过5分钟的概率？ 解：设乘客所乘车在a时刻到达，则这辆汽车的前一辆车 在(a-10)时刻到达，乘客在时间段(a-10,a]的任意时刻x都 可能到达车站，而若候车不超过5分钟，则x必满足:
P(A) 1 P(A)
例：设事件 A、B，若 A B，则P(B) P( A) 证明 将 B 写成B A (B A) A B A，由于右边两事件互 斥，所以P(B) P(A) P(B A) P(A)。
在概率计算中，比较常见的是所谓古典概型概率计算。为 此，首先定义等概完备事件组的概念。
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定义 3：若事件 A1, A2 ,..., An满足 (1)事件 A1, A2 ,..., An发生的概率相等（等可能性）； (2)在每次试验中，事件 A1, A2 ,..., An至少有一个发生（完备性）； (3)在每次试验中，事件 A1, A2 ,..., An只能发生其中之一（互斥性）, 称事件 A1, A2 ,..., An构成等概完备事件组，也称等概基本事件组。
（2） p nCn2 (n 1)! nn
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【例5】从5双不同号码的鞋子中任意抽取4只，问这4只至
少有2只配对的概率是多少？
解：法一. n=C140 210 ,m=C52C5 1C422*2130
故所求概率p=13/21。
法二.4只全不配对方法有m= C542*2*2*280
即4只全不配对的概率为8/21，所以至少有2只配对的概率
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几何概型介绍: 例1：设某公交车每10分钟到站一辆，乘客到达车站的时 刻是任意的，求某乘客到站候车不超过5分钟的概率？ 解：设乘客所乘车在a时刻到达，则这辆汽车的前一辆车 在(a-10)时刻到达，乘客在时间段(a-10,a]的任意时刻x都 可能到达车站，而若候车不超过5分钟，则x必满足:
P(A) 1 P(A)
例：设事件 A、B，若 A B，则P(B) P( A) 证明 将 B 写成B A (B A) A B A，由于右边两事件互 斥，所以P(B) P(A) P(B A) P(A)。
概率论与数理统计课件：1-2 概率论的基本概念 频率和概率
17
古典概型问题中，样本空间的构造必须 保证其中的每个样本点发生的可能性都相同。
练习1.4.1 抛一枚均匀硬币三次，计算P { 恰好出现一次正面 }。 提示：这里有两种构造样本空间的形式， ① 以随机试验的全部结果构造 S1 = { HHH，HHT，HTH，HTT，THH， THT，TTH，TTT } 因此 P (A ) = 3/8 ； ② 以正面出现的次数构造 S2 = { 0，1，2，3 } 因此 P (A ) = 1/4 。
概率P (B – A) 的值。பைடு நூலகம்
解。分析：由减法公式， P (B – A ) = P (B ) – P (AB ) 只需要计算出概率 P (AB ) 。
(1) A、B互不相容即 AB = ，得到 P (B – A ) = 0.5；
(2) A B 等价于 AB = A，得到 P (B – A ) = 0.2；
频率的这种稳定性表明了随机现象也具有规律性， 称为是统计规律(大量试验下体现出来的规律)。
4
概率的频率定义
自然地，可以采用一个随机事件的频率的稳定值 去描述它在一次试验中发生的可能性大小，即用频率 的极限来作为概率的定义。
然而实际上，我们不可能对每一个随机事件都去 做大量的试验后得到它的频率，并且有些随机事件也 无法去定义它们的频率。
16
例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率 相等,则至少有一个男孩的概率是多少?
解:设A表示事件至少有一个男孩,以H表示某个孩子 是男孩
N(S)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT} N(A)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}
P( A) N ( A) 7 N(S) 8
i 1
古典概型问题中，样本空间的构造必须 保证其中的每个样本点发生的可能性都相同。
练习1.4.1 抛一枚均匀硬币三次，计算P { 恰好出现一次正面 }。 提示：这里有两种构造样本空间的形式， ① 以随机试验的全部结果构造 S1 = { HHH，HHT，HTH，HTT，THH， THT，TTH，TTT } 因此 P (A ) = 3/8 ； ② 以正面出现的次数构造 S2 = { 0，1，2，3 } 因此 P (A ) = 1/4 。
概率P (B – A) 的值。பைடு நூலகம்
解。分析：由减法公式， P (B – A ) = P (B ) – P (AB ) 只需要计算出概率 P (AB ) 。
(1) A、B互不相容即 AB = ，得到 P (B – A ) = 0.5；
(2) A B 等价于 AB = A，得到 P (B – A ) = 0.2；
频率的这种稳定性表明了随机现象也具有规律性， 称为是统计规律(大量试验下体现出来的规律)。
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概率的频率定义
自然地，可以采用一个随机事件的频率的稳定值 去描述它在一次试验中发生的可能性大小，即用频率 的极限来作为概率的定义。
然而实际上，我们不可能对每一个随机事件都去 做大量的试验后得到它的频率，并且有些随机事件也 无法去定义它们的频率。
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例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率 相等,则至少有一个男孩的概率是多少?
解:设A表示事件至少有一个男孩,以H表示某个孩子 是男孩
N(S)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT} N(A)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}
P( A) N ( A) 7 N(S) 8
i 1
概率的定义.ppt
等于( A. 1
3
C)．
B.
1 12
C.
11
2
4
1
D.16
5.中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”
互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如
下：在20个商标中，有5个商标牌的背面
注明了一定的奖金额，其余商标的背面是
一张苦脸，若翻到它就不得奖。参加这个
游戏的观众有三次翻牌的机会。某观众前
两次翻牌均得若干奖金，如果翻过的牌不
能再翻，那么这位观众第三次翻牌获奖的
概率是A1（
）．
1
16
15
A. 6
B.
5
3
20
C.
3
20
1
41
D.
4
6、有100张卡片（从1号到100 号），从中任取1张，取到的卡号 是7的倍数的概率为（ 7 ）。
7.一张圆桌旁有四个座5位0 ,A先 坐在如图所示的座位上,B.C.D 三人随机坐到其他
A
三个座位上.则A与 圆桌
会出现的数字为1，2，3， 4，5，6 ，六种等可能的 结果，每种结果各占总结果 的1
6
问题3.从分别标1，2，3，4， 5的5根纸签中随机抽取一根， 抽出的签上的标号有几种可 能？
会出现抽到பைடு நூலகம்标号为1，2，3，
4，5，5种等可能的结果，
每种结果占总结果数的 1 5
概率的定义：
111
数值 2，6 ，5 反映了实验中相应 随机事件发生的可能性大小．对 于一个事件Ａ，我们把刻画其可 能性大小的数值，称为随机事件 Ａ发生的概率，记为Ｐ（Ａ）．
（1）共有多少种不同的结果？
（2）摸出2个黑球有多种不同的结果？
107521-概率统计随机过程课件-第一章(第二节)古典概率
第一章随机事件的概率第二节概率的定义及性质所谓随机事件的概率,概括地说就是用来描述随机事件出现（或发生）的可能性大小的数量指标.其实概率的思想术语在我们日常生活中经常出现.对未来的不确定事件,我们经说有把握、希望、机会有多大,高考上线率,各种升学率等.“不怕一万，就怕万一”，就是人们对确定事件和不确定事件的认识，为此提前作出的思想准备，表明人类的智慧与先见之明。
古代智人（周文王，姜子牙，诸葛亮，刘伯温等）的掐指一算，就是算的样本空间和随机事件的概率。
数学上只能对简单的随机现象进行概率定义,复杂的随机现象有待于研究.随机事件在一次试验中既可能发生，也可能不发生，似乎无什么规律。
如果在相同的条件下，把一个试验重复做许多次，我们一定会发现，某些事件发生的次数多一些，而另一些事件发生的次数少一些。
表现出一定的规律性。
例如买彩票时投注号码，有极少一部分人能预感到中奖号码的规律。
例如，将一颗骰子重复投掷100次，毫无疑问，事件“出现奇数点”比事件“出现1点”发生的次数会多得多。
那么，发生次数多的事件在每次试验中发生的可能性大一些，而发生次数少的事件在每次试验中发生的可能性小一些。
问题是：如何度量事件发生可能性的大小？对于事件A ，如果实数)(A P 满足：（1）数)(A P 的大小表示事件A 发生可能性的大小；（2）)(A P 是事件A 所固有的，不随人们主观意志而改变的一种度量。
那么数)(A P 称为事件A 的概率。
它是事件A 发生可能性的度量。
在本节中，我们首先介绍一类最简单的概率模型，然后逐步引出概率的一般定义。
一、 概率的古典定义古典型随机试验:如果试验E 的样本空间S 只包含有限个基本事件，设},,,{21n e e e S ，并且每个基本事件发生的可能性相等，即)()()(21n e P e P e P === ，则称这种试验为古典型随机试验，简称古典概型。
下面我们来讨论古典概型中事件A 的概率)(A P 。
第一章 概率论的基本概念PPT课件
（4） A BA BA AB
（5）
n
n
n
n
Ai Ai ,
Ai Ai ,
i 1
i 1
i 1
i 1
Ai Ai ,
Ai Ai .
i 1
i 1
i 1
i 1
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例2: 设A，B，C为三个事件，试用A，B，C表 示下列事件： （1）A发生且B与C至少有一个发生； （2）A与B都发生而C不发生； （3）A，B，C恰有一个发生； （4）A，B，C中不多于一个发生； （5）A，B，C不都发生； （6）A，B，C中至少有两个发生。
例1 : 从一批产品中任取8件，观察其中的正品件数， 则这一试验的样本空间为：
={0，1，2，3，4，5，6，7，8}
引入下列随机事件: A={正品件数不超过3}={0，1，2，3} B={取到2件至3件正品}={2，3} C={取到2件至5件正品}={2，3，4，5}
D={取到的正品数不少于2且不多于5}={2，3，4，5}
上一页 下一页 返 回
样本空间：
随机试验E的全体基本事件组成的集合。记为。
随机事件中有两个极端情况：
•每次试验中都必然发生的事件，称为必然事件 。
•每次试验中都不发生的事件，称为不可能事件 。
基本事件是样本空间的单点集。 复合事件是由多个样本点组成
不可能事件不含任何样本点，它就是空集 。
或A1A2 … An ，也可简记为 n 。A i
i1
在可列无穷的场合，用
i1
A
i
表示事件“A1、A2
、
…诸
事件同时发生。”
上一页 下一页 返 回
40 AB
事件A发生但事件B不发生,称为事件A与事件B的差 事件。显然有：
茆诗松概率论与数理统计教程课件第一章 (2)
上表所列的答案是出乎很多人意料的, 因为”一个 班级至少有两个人生日相同”的概率, 并不如大多 数人直觉中想象的那样小, 而是相当大. 这个例子告 诉我们, “直觉”有时并不可靠, 这就说明研究随机 现象统计规律的重要性.
4. 求概率的几何方法
例四. 设有N件产品,其中D件次品,从中任取n件,求 其中恰有k(k≤D)件次品的概率.
解 : 样本空间就是从 N个产品中取 n件的不同 方式, 样本点数就是方式数
n CN
所求事件是 n个产品中有 k件次品 , 这个事件可以 通过两个步骤完成 :
k (1)从D件次品里取 k件, 方式数为 C D
n k (2)从N D个正品中取 n k件, 方式数为C N D
概率的定义并没有告诉人们如何去求概率, 也没有 说一个特定的样本空间对应一个特定的概率, 只 是告诉人们以任何方式定义的概率必须满足的条 件.
概率的求法, 根据问题的特点, 分别采取以下 的不同途径进行:
• 频率方法
• 古典方法
• 几何方法
2. 求概率的频率方法
事实上, 人们很早就开始了这方面的思考. 例如, “频 率”早就被引入来描述事件发生的频繁程度. 为了研究女婴出生的可能性, 统计学家克 拉梅(1893-1985) 利用瑞典1935年的官 方资料, 测得女婴出生的频率在0.482左 右摆动, 从而得出女婴出生的概率为 0.482.
分房模型在统计物理学里也有应用. 在那里将本例 中的“人”理解成“粒子”, “房间”理解成不同 的“能级”.
例七.(生日问题) 某班级有n个人 (n≤365), 问至少 有两个人的生日在同一天的概率有多大? 解: 假定一年按365天计算, 把365天当作365个“房间”,
那么问题类比于例五. 这时, 事件“n个人生日全不相同”就相当于例五中 的(2):“恰有n个房间, 其中各住一人”. 令A={n个人中至少有两个人的生日在同一天}, 则其 对立事件是{n个人的生日全不相同}. 根据例五(2)知
4. 求概率的几何方法
例四. 设有N件产品,其中D件次品,从中任取n件,求 其中恰有k(k≤D)件次品的概率.
解 : 样本空间就是从 N个产品中取 n件的不同 方式, 样本点数就是方式数
n CN
所求事件是 n个产品中有 k件次品 , 这个事件可以 通过两个步骤完成 :
k (1)从D件次品里取 k件, 方式数为 C D
n k (2)从N D个正品中取 n k件, 方式数为C N D
概率的定义并没有告诉人们如何去求概率, 也没有 说一个特定的样本空间对应一个特定的概率, 只 是告诉人们以任何方式定义的概率必须满足的条 件.
概率的求法, 根据问题的特点, 分别采取以下 的不同途径进行:
• 频率方法
• 古典方法
• 几何方法
2. 求概率的频率方法
事实上, 人们很早就开始了这方面的思考. 例如, “频 率”早就被引入来描述事件发生的频繁程度. 为了研究女婴出生的可能性, 统计学家克 拉梅(1893-1985) 利用瑞典1935年的官 方资料, 测得女婴出生的频率在0.482左 右摆动, 从而得出女婴出生的概率为 0.482.
分房模型在统计物理学里也有应用. 在那里将本例 中的“人”理解成“粒子”, “房间”理解成不同 的“能级”.
例七.(生日问题) 某班级有n个人 (n≤365), 问至少 有两个人的生日在同一天的概率有多大? 解: 假定一年按365天计算, 把365天当作365个“房间”,
那么问题类比于例五. 这时, 事件“n个人生日全不相同”就相当于例五中 的(2):“恰有n个房间, 其中各住一人”. 令A={n个人中至少有两个人的生日在同一天}, 则其 对立事件是{n个人的生日全不相同}. 根据例五(2)知
概率论第一章ppt课件
A 1 “: 至少有一人命中目标 A 2 “: 恰有一人命中目标” A 3 “: 恰有两人命中目标” A 4 “: 最多有一人命中目标 A 5 “: 三人均命中目标” A 6 “: 三人均未命中目标”
”:
ABC
: ABCABCABC
: AC BABC ABC
”: BCACAB
:
ABC
:
ABC
21
小结
i1
i1
13
3. 积（交）事件 : 事件A与事件B同时发生，记
作 AB 或AB。
推广：n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作
n
n
A1A2…An或 A i 或 A i
i1
i1
14
4. 差事件： A－B称为A与B的差事件, 表示事件 A发生而事件B不发生
15
5. 互不相容事件（也称互斥的事件）： 即事件 A与事件B不能同时发生。AB＝ 。
3
第一章 概率论的基本概念
§1.1 随机事件及其运算 §1.2 概率的定义及其性质 §1.3 古典概型与几何概型 §1.4 条件概率 §1.5 独立性
4
§1.1 随机事件及其运算
1.1.1 随机现象
自然界的现象按照发生的可能性（或者必然 性）分为两类：
一类是确定性现象，特点是条件完全决定结果 一类是随机现象，特点是条件不能完全决定结 果 在一定条件下，可能出现这样的结果，也可 能出现那样的结果，我们预先无法断言，这类现象 成为随机现象。
概率论与数理统计
1
概率论与数理统计是研究什么的？
随机现象：不确定性与统计规律性 概率论——从数量上研究随机现象的统计规律性的
科学。
数理统计——从应用角度研究处理随机性数据，建 立有效的统计方法，进行统计推理。